Modelos-GestaoRecursosHidricos

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
CCuurrssoo ddee GGeessttããoo AAmmbbiieennttaall ddee BBaacciiaass HHiiddrrooggrrááffiiccaass 
SSeeççããoo IIII :: AA BBaacciiaa HHiiddrrooggrrááffiiccaa ccoommoo UUnniiddaaddee ddee GGeessttããoo AAmmbbiieennttaall 
TTééccnniiccaa ee MMooddeellooss ddee SSuuppoorrttee àà GGeessttããoo:: 
MMOODDEELLOOSS PPAARRAA RREECCUURRSSOOSS HHÍÍDDRRIICCOOSS 
 
Prof. Paulo Cesar Colonna Rosman 
Departamento de Recursos Hídricos e Meio Ambiente / EE 
Área de Engenharia Costeira e Oceanográfica / COPPE-PenO 
 
 
 
 
1. Introdução............................................................................................................................ 1 
2. O processo de modelagem................................................................................................... 3 
3. O processo de modelagem em recursos hídricos................................................................. 5 
3.1. Modelos de interesse .................................................................................................. 10 
3.1.1. Tipos de modelos computacionais mais usuais............................................ 11 
3.1.2. Sobre o pré e o pós-processamento .............................................................. 12 
4. Fundamentos dos modelos hidrodinâmicos e de transporte de escalares .......................... 13 
4.1. Escalas de interesse .................................................................................................... 13 
4.2. Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Advecção e 
Difusão 14 
4.2.1. A água natural e seus constituintes – Equação de Estado ............................ 15 
4.3. Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da massa .......................... 16 
4.4. Movimento da água – Princípio de conservação da quantidade de 
movimento 17 
4.5. Escoamento e transporte de grande escala ................................................................. 17 
5. Exemplos de aplicação de modelos ................................................................................... 19 
 
 
 
1. Introdução 
Nesta seção apresenta-se uma visão geral de algumas técnicas de modelagem e uso de alguns 
modelos computacionais para suporte à gestão de Recursos Hídricos. Embora se apresente as-
pectos de caráter geral, o enfoque da seção está em modelos computacionais para previsão do 
escoamento ou movimento das águas, e em modelos computacionais para previsão da quali-
dade das águas ou transporte de grandezas escalares qualificadoras. Tais modelos são ferra-
mentas usuais na gestão ambiental de recursos hídricos, isto é, uma forma de gestão que con-
sidera conjuntamente os aspectos de quantidade e qualidade dos recursos hídricos. Em geral 
os modelos para previsão do movimento das águas (quantidade) são denominados “modelos 
hidrodinâmicos”, por sua vez, os modelos de transporte de escalares (qualidade) são comu-
mente chamados de “modelos de dispersão”. Com maior freqüência tais modelos são empre-
gados para simulações de cenários em águas costeiras, baías, estuários, rios, reservatórios, la-
gos e lagoas. Ressalte-se na lista a indistinta presença de corpos de água continentais e costei-
ros, o que merece a reflexão seguinte. 
No Brasil quando se refere a Recursos Hídricos ou a Bacia Hidrográficas há a tendência 
a se considerar apenas os recursos continentais e os rios, sem incluir-se os recursos hídricos da 
zona costeira das bacia hidrográficas, que incluem estuários, baías e a zona costeira adjacente. 
Entretanto, grande parte dos desafios à gestão ambiental de recursos hídricos no Brasil encon-
tra-se justamente na zona costeira das bacias hidrográficas. Basta correr o litoral de Sul a Nor-
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
te, selecionando apenas alguns exemplos de áreas que colocam sérios desafios à gestão ambi-
ental de recursos hídricos: 
• Rio Grande do Sul 
!"Complexo da Lagoa dos Patos, com o estuário do Rio Guaíba ao Norte, em cu-
jas margens está a cidade de Porto Alegre. Ao Sul da Lagoa, próximo à sua 
embocadura encontra-se o porto de Rio Grande. 
• Santa Catarina 
!"Estuário do Rio Itajaí, que passa por passa pelas cidades de Blumenau e Itajaí, 
com importante porto. 
!"Região da Ilha de Florianóplolis, capital do Estado. 
!"Complexo da Baía de Babitonga, com o porto de São Francisco do Sul, e na 
extremidade Oeste a cidade de Joinville. 
• Paraná 
!"Complexo da Baía de Paranaguá, porto de Paranaguá, e ao Norte o Parque Na-
cional do Superagui . 
• São Paulo 
!"Região de Cananéia. 
!"Estuário de Santos, com o maior porto do Brasil, e costa adjacente, Guarujá, 
etc. 
!"Região da Ilha e do estreito de São Sebastião. 
• Rio de Janeiro 
!"Complexo das Baías de Ilha Grande e Sepetiba. Vários portos e cidades, prin-
cipalmente parte da zona metropolitana do Rio de Janeiro. 
!"Região da Baía de Guanabara. Vários portos e cidades, principalmente parte da 
zona metropolitana do Rio de Janeiro. 
!"Região dos Lagos. 
!"Região do Estuário do Paraíba do Sul. 
• Espírito Santo 
!"Região da Baía de Vitória, porto e cidade de Vitória, além dos portos de Tuba-
rão e Praia Mole. 
• Bahia 
!"Região de Ilhéus, porto e cidade de Ilhéus. 
!"Região da Baia de Todos os Santos, porto e cidade de Salvador. Muitos outros 
terminais portuários, zonas industriais etc. 
!"Região do Estuário do Rio São Francisco. 
• Sergipe 
!"Região do Estuário do Rio Sergipe, com o porto e cidade de Aracajú 
• Alagoas 
!"Lagoas de Mundaú e Manguaba, cidade de Maceió. 
• Pernambuco 
!"Complexo de Suape. 
!"Região de metropolitana de Recife. 
• Paraíba 
!"João Pessoa 
• Rio Grande do Norte 
!"Região do estuário do rio Potengi, com o porto e a região metropolitana da ci-
dade de Natal. 
• Ceará 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
!"Região metropolitana de Fortaleza 
• Piauí e Maranhão 
!"Região do delta do Parnaíba, e a região da Baía de São Marcos. 
• Pará, Amazonas e Amapá 
!"A região do delta do rio Amazonas, incluindo as zonas metropolitanas de Be-
lém a Leste e de Macapá a Oeste. 
 
Em todos os exemplos acima, a necessidade da aplicação de modelos é inquestionável, 
face à complexidade do ambiente nos trechos costeiros das bacias hidrográficas. Modelos são 
ferramentas integradoras, sem os quais não se consegue uma visão de processos do sistema 
ambiental. 
Usualmente quando se levantam dados ambientais para planejamento, gestão ou geren-
ciamento, obtêm-se séries temporais em uns poucos pontos distribuídos na área de interesse. 
Através de modelos pode-se interpolar as informações obtidas nestes poucos pontos para toda 
a área de interesse. E, se os modelos, uma vez calibrados, são capazes de bem reproduzir situ-
ações para as quais se fez levantamentos, não há porque duvidar que possam ser usados para 
prever impactos de modificações a serem introduzidas no meio, ou prever situações com cená-
rios diferentes dos que ocorreram nas situações de medições. 
Além disso, a análise de medições em pontos isolados por vezes fica dificultada se não 
se tiver uma idéia clara da dinâmica do sistema. Por exemplo, pode-se interpretar muito me-
lhor as medição de concentrações de um contaminante obtidas em diversos pontos, sabendo-
se de onde vêm e para onde vai o contaminante medido. A dinâmica espacial da dispersão de 
um contaminante é difícil de se obter através de medições pontuais, mas é facilmente obtida 
através de modelos. O mesmo vale para a maioria das grandezas relevantes à gestão em bacias 
hidrográficas. 
Desta forma, em linhas gerais, modelos são ferramentas indispensáveis à gestão e ao ge-
renciamento de bacias hidrográficas, pois permitem integrar informações espacialmente dis-
persas, interpolar informações para regiões nas quais não há medições, ajudar a interpretação
de medições feitas em estações pontuais, prever situações simulando cenários futuros, etc. O 
uso de modelos como ferramentas de previsão inclusive pode ser feito quase em tempo real, 
para planejar operações de limpeza ambiental em decorrência de derrames acidentais de con-
taminantes tóxicos como óleos e solventes. 
2. O processo de modelagem 
Modelagem é um processo de traduções em diferentes etapas, no qual o sucesso de uma etapa 
nunca supera o da etapa anterior. Em cada etapa, a realidade traduzida nunca é mais verdadei-
ra que a realidade da etapa anterior. Considerando um fenômeno qualquer na natureza, a pri-
meira e mais fundamental modelagem é a conceptual. 
Se ouvimos uma melodia complexa apenas uma vez é pouco provável que consigamos 
“modelá-la” mentalmente. Entretanto, com a repetida escuta da melodia, “observação do fe-
nômeno”, acabamos por compreendê-la, e assim desenvolvendo um modelo conceptual em 
nossas mentes. Dizemos então que entendemos o fenômeno, ou conhecemos a melodia. Par-
tindo desta compreensão ou conhecimento pode-se traduzir o fenômeno, em diferentes mode-
lagens. Por exemplo, um leigo em teoria musical com uma melodia na cabeça, pode traduzi-la 
em modelos analógicos através de canto ou assobio. Entretanto, alguém versado na linguagem 
musical pode traduzir o modelo conceptual da melodia para uma partitura, obtendo assim um 
modelo escrito. Por sua vez, alguém que não conhece a melodia, mas conhece os princípios da 
teoria musical e sabe ler a partitura, pode “modelar a melodia” em um instrumento capaz de 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
tocar as notas da partitura escrita. A idéia é clara, o processo de modelagem não é muito dife-
rente quer se trate de músicas, sistemas hídricos, ou de outros sistemas quaisquer. 
 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
3. O processo de modelagem em recursos hídricos 
O processo de modelagem para suporte à gestão e ao gerenciamento de recursos hídricos pode 
ser sintetizado com o diagrama apresentado na Figura 1. 
 
 
 
 
Figura 1. Diagrama do processo de modelagem em recursos hídricos. A parte realçada é a rota usual. 
Analisando o diagrama, pode-se dizer que para a maior parte das pessoas que lidam com 
gestão ambiental de recursos hídricos o que realmente importa é o último quadro. De fato para 
a gestão, o que vale são as informações que podem auxiliar no processo de tomada de deci-
sões. Os modelos são apenas ferramentas que propiciam a obtenção de tais informações em 
forma adequada. Usualmente em forma de relatórios com mapas, gráficos e tabelas, incluindo 
respectivas análises, e por vezes usa-se técnicas multimídia para gerar animações por exem-
plo. 
Entretanto, para poder entender e fazer bom uso das informações, é imperativo que o 
gestor conheça o que ele está gerindo. Dentro do diagrama do processo de modelagem, isso 
implica nos três primeiros quadros. Portanto, para o gestor fazer pleno uso das informações 
apresentadas, é fundamental que ele tenha para si modelos conceptuais dos fenômenos sob sua 
gestão. Inclusive para poder julgar a qualidade das informações recebidas e rejeita-las se ne-
cessário. Este processo é paralelo ao da apreciação de uma música. 
Só se pode apreciar e avaliar uma música (fenômeno de interesse) se tivermos a mode-
lagem conceptual da mesma. Mesmo desconhecendo teoria musical (modelagem matemática), 
ou não sabendo tocar qualquer instrumento (outras modelagens abaixo da matemática) uma 
pessoa pode avaliar a qualidade de uma interpretação musical (resultados de modelos), se tiver 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
um bom conhecimento (modelagem conceptual) da música sendo interpretada. E, para conhe-
cer bem uma música é necessário ouvi-la repetidas vezes (observação+medição). Como na 
música, o gestor não necessita conhecer o modelo matemático ou o modelo computacional de 
um dado fenômeno, para poder avaliar os resultados que lhe são apresentados. Mas não saberá 
criticar ou bem aproveitar tais resultados, se não uma tiver uma boa concepção dos fenômenos 
modelados. 
Comenta-se a seguir, seguindo de cima para baixo, os diversos quadros e rotas do dia-
grama do processo de modelagem: 
 Fenômeno de interesse : no caso de corpos de água, em geral os fenômenos de interesse es-
tão relacionados à quantidade e à qualidade da água, e por vezes também dos sedimentos. Em 
outras palavras pode-se dizer que os fenômenos de interesse são os movimentos ou os trans-
portes de substâncias e propriedades nos corpos de água a serem geridos. 
 Observação e medição : em geral a observação inicial de um dado fenômeno é qualitativa, 
tendo por intuito propiciar um entendimento das causas, efeitos e agentes intervenientes. Em 
uma segunda etapa, parte-se para observações quantitativas, fazendo-se medições das grande-
zas das causas, efeitos e agentes intervenientes inferidos na etapa de observação qualitativa. 
Através das observações e medições desenvolvem-se modelos conceptuais dos fenômenos de 
interesse. 
 Modelo conceptual : a modelagem conceptual corresponde a formar na mente a concepção 
do fenômeno observado, conhecer suas causas e efeitos, compreender as interações e relevân-
cia dos agentes intervenientes na sua ocorrência. Voltando ao paralelo musical da introdução, 
ter um modelo conceptual é semelhante a “ouvir” a música na cabeça. Por exemplo, basta ler 
as palavras “Parabéns pra Você” que a conhecida música vem à mente1. 
Quando se atinge uma compreensão profunda de um fenômeno, a modelagem conceptu-
al é em geral boa o bastante para propiciar modelos de caráter muito amplo. Neste caso é co-
mum que os modelos conceptuais sejam chamados de “leis” ou “princípios”. Por exemplo, as 
“Leis de Newton”, que explicam muito bem a dinâmica dos movimentos nas escalas mais u-
suais2, inclusive a dinâmica dos fluidos, o que permite descrever os escoamentos ou padrões 
de circulação hidrodinâmica em corpos de água. Entretanto, por vezes não se consegue um 
entendimento suficientemente abrangente para conceber “Leis”, e obtêm-se apenas modelos 
conceptuais correlacionando magnitudes de efeitos com magnitudes de supostos agentes cau-
sadores. Neste caso obtêm-se modelos empíricos. E, claro, entre “Leis” e “empíricos” há uma 
vasta variedade de modelos conceptuais, como os semi empíricos por exemplo. 
Como indica o diagrama, a partir do modelo conceptual existem duas rotas. A mais co-
mum é a tradução para um modelo matemático, mas por vezes o entendimento não é suficien-
te para isso, a recorre-se diretamente a um modelo físico. Como exemplo deste caso, recorre-
se novamente à música. Há músicas que usam sons para os quais não há notas musicais, por-
tanto não há como traduzi-los adequadamente em um modelo formal via teoria musical. Em 
aplicações de recursos hídricos tal caso é cada vez mais raro, pois quando o entendimento do 
fenômeno é falho quase sempre se desenvolve um modelo conceptual empírico. 
 Modelo matemático : a modelagem matemática consiste na tradução para a linguagem ma-
temática do modelo conceptual do fenômeno de interesse. Os diferentes modelos matemáticos 
são diferentes arranjos, incluindo um número maior ou menor de causas e efeitos, e de agentes 
 
1 Se o leitor não conhece a música, não a “ouvirá” mentalmente. Isso só ocorre nos que já desenvolveram um 
modelo conceptual de tal música. 
2 As Leis de Newton são imperfeitas em escalas cósmicas e em escalas quânticas. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
intervenientes em diferentes formas. Para tanto há regras e princípios formais a serem segui-
dos. De certo modo, a modelagem matemática é semelhante escrever a partitura de uma músi-
ca, em diferentes arranjos. 
Nesta etapa do processo de modelagem ocorre um paradoxo. É de certo modo paradoxal 
que, em geral, quanto melhor e mais completo o modelo
conceptual, mais complexo é o mo-
delo matemático, e menor é a nossa capacidade em obter uma solução geral. Os modelos con-
ceptuais empíricos quando traduzidos para os modelos matemáticos freqüentemente o são em 
equações relativamente fáceis de resolver. Por sua vez, os modelos mais gerais, freqüentemen-
te ao serem traduzidos em modelos matemáticos são escritos em termos de equações diferen-
ciais. E, na grande maioria dos casos, não se consegue obter uma solução geral para tais equa-
ções. Por esta razão o modelo matemática é a grande encruzilhada do processo de modelagem, 
pois dependendo da possibilidade de resolve-lo, quatro rotas são possíveis, levando respecti-
vamente aos modelos físico, numérico, analítico e analógico. 
Os modelos matemáticos para representar a hidrodinâmica e a qualidade das águas em 
corpos de água são bastante abrangentes, e são baseados em “leis” e “princípios” expressos 
em termos de equações diferenciais e condições de contorno adequadas. Por outro lado, é co-
mum que modelos matemáticos envolvendo detalhes do escoamento ao redor de estruturas 
hidráulicas, ou modelos matemáticos de transporte de sedimentos em corpos de água, sejam 
semi-empíricos. 
 Modelo analítico : As equações diferencias que regem o escoamento e o transporte de esca-
lares qualificadores em corpos de água só propiciam soluções gerais para situações bastante 
simplificadas e idealizadas. E por isso, só nestas situações é que se obtêm os chamados mode-
los analíticos. Nas demais situações, que compreendem a grande maioria das de interesse prá-
tico, não há solução geral conhecida. Neste caso, resta recorrer aos modelos físicos e aos 
modelos numéricos. 
Na prática há pouquíssimos casos de modelos matemáticos traduzíveis em modelos ana-
líticos aplicáveis, entretanto nestes casos, os modelos analíticos são incrivelmente poderosos, 
pois permitem cálculos diretos em qualquer posição e instante do domínio espaço-tempo re-
presentado no modelo. Em contraponto, os modelos numéricos podem resolver praticamente 
qualquer modelo matemático, e portanto são aplicáveis a quase tudo. Mas, mas só fazem con-
tas passo a passo, não têm o poder dos modelos analíticos. 
Em vários casos há eficientes modelos analítico-numéricos. Isto é, parte do modelo ma-
temático é resolvida através de um modelo numérico, e parte através de um modelo analítico. 
 Modelo analógico : Os modelos analógicos de fato só são usados em situações muito peculi-
ares e em geral de cunho mais acadêmico do que prático, por exemplo, fazendo-se a analogia 
entre o fluxo das correntes elétricas e o fluxo das correntes hidráulicas pode-se desenvolver 
alguns modelos de circuito hidráulico em analogia a modelos de circuitos elétricos. 
 Modelo físico : em geral são modelos que reproduzem em escala reduzida modelos concep-
tuais de fenômenos de interesse, chamados de protótipos. Uma etapa de modelagem matemá-
tica prévia é necessária, já que a modelagem conceptual por trás do modelo físico reduzido é a 
hipótese de semelhança entre os fenômenos em diferentes escalas. Assim, através de um mo-
delo matemático de semelhança, define-se as escalas de semelhança entre o protótipo e mode-
lo físico reduzido. Tal necessidade está indicada no diagrama pela rota ligando o modelo ma-
temático ao modelo físico. 
A modelagem física foi vastamente utilizada até meados dos anos 70, pois era pratica-
mente a única alternativa viável para se obter soluções para inúmeros problemas práticos. À 
medida que foram surgindo computadores mais capazes, os modelos físicos foram sendo subs-
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
tituídos por modelos numéricos, e a tendência continua. Hoje em dia os modelos físicos estão 
restritos a casos muito especiais, pois sempre que possível recorre-se a modelos numéricos por 
serem incomparavelmente mais baratos. 
No passado a rota dos modelos matemáticos para os modelos numéricos era freqüente-
mente inviável para muitos casos práticos. A tradução de modelos matemáticos em modelos 
numéricos é conhecida há mais de um século. Entretanto, na grande maioria dos casos, os mo-
delos numéricos para serem resolvidos exigem a realização de um número incrivelmente gran-
de de contas e o armazenamento de imensos bancos de dados. Por isso, na medida em que os 
computadores vão ficando mais rápidos e tendo maior capacidade de memória, a realização de 
um número cada vez maior de contas vai se tornando viável, e os modelos numéricos vão 
substituindo os modelos físicos. 
Por conta disso muitos modelos físicos foram desenvolvidos com o intuito de gerenciar 
corpos de água de grande complexidade. Exemplos notáveis são os enormes modelos reduzi-
dos do estuário do Rio Tejo em Portugal, e da baía de São Francisco nos Estados Unidos. Este 
último continua funcionando mais como uma ferramenta didática freqüentemente visitado por 
estudantes, como se fosse uma exposição viva de um museu, do que como efetiva ferramenta 
de gestão ambiental. 
Os modelos físicos envolvem enorme patrimônio imobiliário, enormes gastos em equi-
pamentos eletromecânicos, alto consumo de energia, e grande número de técnicos especializa-
da, por isso são incomparavelmente mais lentos e custosos que os modelos numéricos. Por 
conta desta enorme desvantagem econômica em relação aos modelos numéricos, hoje em dia 
os modelos físicos só são utilizados de forma muito otimizada, e cada vez mais restritos a ca-
sos muito específicos. Mas, enquanto houver fenômenos de interesses mal compreendidos, 
haverá modelos conceptuais empíricos ou semi empíricos e, conseqüentemente, modelos ma-
temáticos falhos. Nestes casos, embora seja possível fazer modelos numéricos, estes terão em 
si inexoravelmente as falhas do modelo matemático, e a alternativa dos modelos físicos per-
manecerá necessária e muito importante. Tal fato é indicado no diagrama pela rota que liga 
diretamente o modelo conceptual ao modelo físico. 
Os modelos físicos têm uma enorme vantagem sobre quaisquer outros: por serem físi-
cos, são prontamente reconhecíveis por pessoas leigas no assunto. Isso é um aspecto altamente 
relevante em gestão de recursos hídricos. E, por conta disso, em vários casos na atualidade, 
ainda que sejam os modelos numéricos e computacionais os efetivamente usados para estudos, 
projetos e obtenção de informações quantitativas, constrói-se um modelo físico ilustrativo. Em 
tal situação, o modelo físico não é feito para funcionar como ferramenta de obtenção de in-
formações quantitativas, mas sim como meio de divulgação de um dado trabalho em desen-
volvimento. 
 Modelagem numérica : são traduções dos modelos matemáticos adaptados para diferentes 
métodos de cálculo, por exemplo, diferenças finitas, volumes finitos e elementos finitos, além 
de modelos estocásticos. Com a viabilização de se fazer um grande número de contas muito 
rapidamente através dos computadores, esta se tornou a rota mais comum para resolver os 
modelos matemáticos. Praticamente qualquer modelo matemático pode ser resolvido através 
de um modelo numérico, e em geral há relativamente pouca perda de informação na tradução 
de um para o outro. 
Hoje em dia praticamente não é possível se fazer adequadamente a gestão ambiental de 
bacias hidrográficas sem modelos numéricos para previsão da quantidade e da qualidade dos 
recursos hídricos da bacia. O mesmo é verdade para se projetar obras e intervenções em cor-
pos de água, bem como no processo de licenciamento ambiental da maioria dos empreendi-
mentos em bacias hidrográficas. No item ?? apresenta-se alguns exemplos de aplicações. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
Os modelos numéricos permitem a solução de uma gama de problemas muitíssimo mais 
abrangente que qualquer outra modalidade de modelos. Há muito mais casos que podem ser 
adequadamente modelados numericamente e que são inviáveis em modelos físicos, que o o-
posto. 
 Montagem,
pré-processamento, definição de parâmetros e similares : esta etapa do pro-
cesso de modelagem poderia ser resumida por “pré-processamento”. Trata-se de uma etapa 
comum a qualquer tipo modelo usado para obter informações quantitativas do modelo concep-
tual e do modelo matemático. De fato, qualquer que seja o modelo usado para obter-se infor-
mações quantitativas, antes de obtê-las será preparar o modelo e organizar os dados de entra-
da. Evidentemente o tipo de pré-processamento a ser feito depende do modelo adotado. 
 Rotas para obtenção de informações quantitativas: Conforme indica o diagrama na Figura 
1, após a etapa de pré-processamento, para cada do tipo de modelo haverá uma rota diferente 
para se obter os resultados quantitativos desejados. Para os modelos físicos, as informações 
quantitativas são obtidas através de medição direta, através de diversos equipamentos especí-
ficos. Para os modelos numéricos, os resultados quantitativos desejados serão obtidos via um 
modelo computacional, que é a tradução de um modelo numérico para uma linguagem com-
putacional que possa ser compilada e executada em um computador por um operador experi-
ente. Os computadores estão para os modelo numérico como os equipamentos de medição es-
tão para os modelos físicos. No caso dos modelos analíticos, as informações quantitativas são 
obtidas diretamente através de cálculo. E, por fim, no caso de modelos analógicos podem ser 
obtidos por meio de cálculo e medição. 
 Pós-processamento : esta etapa do processo de modelagem é também comum a todos os 
modelos. O fato é que o cérebro humano é incapaz de assimilar um grande número de infor-
mações quantitativas, se estas não forem organizadas ou “modeladas” de maneira adequada. 
Por isso a etapa de pós processamento é uma importantíssima etapa de modelagem na qual 
faz-se a tradução da massa de informações quantitativas saída dos modelos, em formas que 
possam mais facilmente ser assimiladas. 
 Mapas, gráficos e tabelas : Tradicionalmente na etapa de pós-processamento os resultados 
quantitativos dos modelos são transformados em mapas, gráficos e tabelas. Mais recentemen-
te, resultados de modelos computacionais têm sido apresentados também através de anima-
ções. Dependendo do fenômeno sendo modelado, a animação ajuda na compreensão da dinâ-
mica do fenômeno. 
Hoje em dia os modelos computacionais são prevalecentes em quase todos os campos 
ligados à gestão ambiental de recursos hídricos. Mas, via de regra os modelos computacionais 
são áridos, e dificilmente seus resultados são facilmente compreendidos por pessoas leigas, 
ainda que expressos através de mapas, gráficos e tabelas. Os modelos computacionais carecem 
da enorme vantagem visual intrínseca aos modelos físicos. Por isso, muitas vezes faz-se um 
grande esforço em computação gráfica, para gerar animações com os resultados de modelos 
computacionais, pois deste modo em geral as informações são muito mais facilmente entendi-
das por pessoa leigas. E, a compreensão pelas pessoas em geral, a respeito do que está sendo 
feito em um determinado estudo ou projeto é fundamental na gestão ambiental de recursos 
hídricos. 
 Calibração e Validação : é nesta imprescindível etapa do processo de modelagem que está a 
“hora da verdade” para qualquer modelo. É nesta etapa que se pode de fato verificar e validar 
um dado modelo através da pergunta: Os resultados obtidos conferem com o que se observa e 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
se mede a respeito do fenômeno de interesse? Para esta pergunta há duas respostas levando a 
duas rotas em respectivamente: 
 Não : neste caso o modelo não está validado e entra-se no processo de calibração efeti-
vamente, com duas rotas possíveis. Note que no diagrama da Figura 1, as duas são rotas 
circulares pois seguindo o processo volta-se à caixa de “calibração e validação”. A mais 
comum é a rota circular curta que leva à caixa do pré processamento, o que corresponde 
ao usual procedimento de calibração via ajuste de parâmetros, acertos de dados de en-
trada e coeficientes em qualquer tipo de modelo. A menos comum, é a rota circular lon-
ga levando novamente para o modelo conceptual. A rota longa é seguida apenas no caso 
de repetidos insucessos de validação do modelo com a rota curta. Neste caso há que se 
questionar coisas mais fundamentais, e verificar se não há erro de concepção. Por exem-
plo: por vezes se imagina que um determinado agente, entre os vários identificados em 
um dado fenômeno de interesse, pode ser pouco relevante na determinação de causas e 
efeitos. E, no modelo conceptual utilizado tal agente é desprezado, o que pode ter que 
ser repensada se não se conseguir validar o modelo. 
 Sim : neste caso o modelo está validado e o processo de modelagem termina na efetiva 
incorporação dos resultados do modelo ao acervo de informações a serem consideradas 
no processo de tomada de decisão. 
 Relatório para auxílio no processo de tomada de decisões : é o objetivo final do processo 
de modelagem, ou seja, produzir informações organizadas para auxiliar um processo de toma-
da de decisões. 
Por ser o procedimento mais amplamente utilizado na atualidade, o que segue foca na 
seqüência central do processo de modelagem, que está realçada no diagrama da Figura 1, pas-
sando pelos modelos numérico e computacional. Vale repetir que, embora se aborde alguns 
outros casos, o enfoque principal está em modelos computacionais para previsão do escoa-
mento ou movimento das águas, e em modelos computacionais para previsão da qualidade das 
águas ou transporte de grandezas escalares qualificadoras. 
3.1. Modelos de interesse 
Quando se diz “modelagem do movimento” ou “modelagem do transporte de escalares quali-
ficadores” em corpos de água, uma questão primária é a definição das variáveis, isto é, as 
substâncias e propriedades de interesse. Estas são muitas, mas sem dúvida a principal é a que 
denominamos “água”. 
A “água” de corpos d’água naturais é uma mistura de muitas substâncias, na qual a con-
centração3 de H2O é vastamente predominante. A qualidade desta “água” é definida pela con-
centração de outras substâncias e propriedades além de H2O e sua massa. Portanto, conhecer o 
movimento da massa de H2O e da massa de outras substâncias, ou outras propriedades rele-
vantes, é fundamental em estudos ambientais e em projetos de engenharia em corpos d’água. 
Algumas das principais substâncias e propriedades de interesse são: 
• Massa, volume e quantidade de movimento da “água”. 
• Massa e concentração de sal (NaCl). 
• Massa, concentração e volume de sedimentos. 
• Massa e concentração de contaminantes diversos, e.g., hidrocarbonetos, agrotóxi-
cos, demandas química e bioquímica de oxigênio, oxigênio dissolvido, componen-
 
3 Entenda-se por “concentração” de uma dada substância a razão entre a massa da substância e o volume da mis-
tura. Como em um estuário na mistura fluida que vulgarmente denominamos “água”, a massa de H2O é responsá-
vel por quase 100% do volume (e da massa) da mistura, a concentração de H2O é vastamente predominante. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
tes dos ciclos do nitrogênio e do fósforo, coliformes, metais pesados, microorga-
nismos, etc. 
• Quantidade de calor, ou distribuição de temperaturas. 
Usualmente dá-se o nome de modelagem hidrodinâmica à determinação da quantidade 
de movimento da água4, entendendo-se por “água” a mistura natural, resultando na definição 
dos padrões de correntes ou circulação hidrodinâmica, níveis de água e vazões. Chama-se de 
modelagem do transporte de escalares à determinação da concentração de substâncias, ou ou-
tras propriedades escalares, por exemplo quantidade de calor ou temperatura. O termo mode-
lagem de qualidade da água em geral é adotado quando os escalares de interesse são parâme-
tros que qualificam a água. Comumente
também chama-se o modelos de transporte de escala-
res incluindo os de qualidade de água de “modelos de dispersão”5. Uma classe dos modelos 
dos transporte ou de qualidade de água, são também chamados de modelos de eutroficação, 
nos quais os escalares de interesse são as concentrações dos nutrientes relevantes no corpo de 
água em questão (em geral componentes dos cilcos do nitrogênio e do fósforo, além de micro-
organismos como plâncton). 
 
3.1.1. Tipos de modelos computacionais mais usuais 
Os modelos computacionais relevantes para gestão ambiental de bacias hidrográficas cobrem 
uma vasta gama de características, com metodologias específicas a diferentes classes de 
modelos. Dentre as metodologias mais usadas estão os métodos de diferenças finitas, 
elementos finitos, elementos de contorno, volumes finitos, métodos espectrais, elementos 
móveis, etc. Em face à grande complexidade numérica e quantidade de equações a serem 
resolvidas, metodologias de otimização numérica são freqüentemente assuntos em constante 
evolução. Cita-se a seguir algumas classes de modelos computacionais relevantes para o gerencia-
mento ambiental e bacias hidrográficas: 
!"Modelos sistêmicos: são modelos integradores e relacionais, tendo um caráter mais 
generalista. Em geral resolvem sistemas de equações ordinárias, segmentando o “espaço” 
da bacia hidrográfica em regiões homogêneas, mas heterogêneas entre si, nas quais 
admite-se afluxos e efluxos. Geralmente são modelos que lidam com grandes escalas, 
utilizados para avaliar tendências de longo prazo. 
!"Modelos Estocásticos: são modelos típicos por exemplo da área de hidrologia, possibili-
tando a previsão e simulação do comportamento de variáveis ambientais aleatórias, como 
o regime de chuvas e vazões em bacias hidrográficas, regime de ondas, variação de marés 
meteorológicas, transporte sólido, entre outros. 
!"Modelos de propagação de ondas geradas por ventos: são modelos de refração-difração de 
ondas, que são os principais agentes geradores da morfologia de praias oceânicas, ou prai-
as lacustres como as que ocorrem em vários reservatórios de barragens no Brasil.. Tais 
modelos são básicos para estudos morfológicos em regiões costeiras, e usualmente envol-
vem de dezenas a centenas de milhares de pontos de cálculo. Metodologias de cálculo u-
suais empregam elementos finitos, diferenças finitas etc. 
!"Modelos hidrodinâmicos, de transporte de escalares e de qualidade de água: 
!"Modelos hidrodinâmicos em fluido homogêneo: são modelos para determinação do 
padrão de correntes, níveis de água e vazões em diferentes partes de uma bacia hidro-
 
4 Neste capítulo, ao se mencionar “água”, deve-se entender não apenas H2O, mas a mistura natural. 
5 Neste caso o termo “dispersão” deve ser entendido como sinônimo de espalhamento ou mistura no meio. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
gráfica, indo desde as águas costeiras, baías, sistemas estuarinos e subindo aos rios, la-
gos, reservatórios, etc. Tais modelos variam grandemente em complexidade indo des-
de modelos unidimensionais (1D) até modelos tridimensionais (3D), passando por 
modelos bidimensionais em planta ou promediados verticalmente (2DH), bidimensio-
nais em perfil ou promediados lateralmente (2DV), modelos quase-3D, etc... 
!"Modelos hidrodinâmicos em fluidos não homogêneos: são semelhantes aos descritos 
acima mas por incluírem gradientes de densidade são acoplados a modelos de 
transporte advectivo-difusivo dos escalares constituintes da equação de estado, 
usualmente salinidade, temperatura, e por vezes concentração de sedimentos finos em 
suspensão. !"Modelos de transporte de escalares e de qualidade de água: são modelos que descre-
vem o transporte advectivo-difusivo e possíveis reações cinéticas de grandezas escala-
res. Quando tais grandezas são utilizadas como parâmetros qualificadores da água os 
modelos são chamados de modelos de qualidade de água. Algums dos escalares co-
mumente relevantes são temperatura, salinidade, concentração de metais pesados, con-
tagem de coliformes, oxigênio dissolvido, demanda bioquímica de oxigênio, 
componentes do ciclo do nitrogênio e do fósforo, etc...Usualmente tais modelos são 
resolvidos desacoplados dos modelos hidrodinâmicos, sendo a circulação 
hidrodinâmica um conjunto de dados de entrada fundamental. Tais modelos também 
têm dimensionalidade variada em função do corpo d’água de interesse, indo desde 
modelos 1D até 3D como exemplificado acima. 
!"Modelos de processos sedimentológicos e evolução morfológica: 
!"Modelos de evolução de linha de costa ou margens: são modelos para previsão dos 
processos sedimentológicos de erosão transporte e deposição de sedimentos ao longo 
de costas e margens, indo desde modelos unidimensionais até modelos tridimensio-
nais. Tem como uma das entradas básicas os dados de onda e correntes obtidos dos 
modelos de propagação de ondas e de circulação hidrodinâmica citados acima. As me-
todologias empregadas na modelação variam com a dimensionalidade do problema e 
com a escalas temporais e espaciais de interesse. 
!"Modelos de transporte de sedimentos: são modelos que visam a simular os processos 
sedimentológicos, ou seja, erosão, transporte e deposição de sedimentos em corpos 
d’água. Têm como entrada básica os resultados de modelos hidrodinâmicos, e opr ve-
zes funcionam acoplados aos modelos hidrodinâmicos. As metodologias empregadas 
variam em função do tipo de sedimentos, coesivos ou não, forma do corpo d’água, es-
calas temporais e espaciais de interesse. 
3.1.2. Sobre o pré e o pós-processamento 
Modelos computacionais do ambiente envolvem freqüentemente grande quantidade de dados 
de entrada e geram uma quantidade ainda maior de resultados numéricos. Tais dados e resul-
tados são virtualmente intratáveis se não forem organizados em mapas, gráficos e tabelas. 
Freqüentemente há necessidade de interação com sistemas de informação geográfica (SIG), 
visto que os muitos modelos ambientais têm como dados básicos de entrada dados de geogra-
fia física. Usualmente a análise de consistência dos dados de entrada e a assimilação dos resul-
tados é extremamente difícil sem uma visualização gráfica, e ferramentas de pré e pós proces-
samento, como indicam alguns exemplos abaixo: 
!"modelos de refração-difração de ondas se propagando em direção à costa são usados para 
determinação do padrão de agitação numa dada região costeira, gerando como resultado 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
dezenas (às vezes centenas) de milhares de valores de altura e fase de onda distribuídos 
espacialmente na região modelada. A análise dos resultados é praticamente impossível 
sem uma boa visualização. 
!"modelos de padrões de correntes e dispersão de contaminantes em corpos d’água geram 
vários milhares de resultados a cada passo de tempo, cuja visualização é imprescindível. 
!"modelos hidrodinâmicos e de qualidade de água em corpos d’água multidimensionais, u-
sualmente necessitam de malhas de discretização com milhares de pontos. Ferramentas de 
geração e otimização de grades e malhas numéricas são básicas. 
!"modelos de sistemas estuarinos, baías e áreas costeiras envolvem extensas áreas cujos da-
dos e resultados são de difícil análise sem ferramentas de visualização. 
!"a base de dados de entrada para os modelos supra exemplificados são enormes e sua pre-
paração necessita de sistemas digitalizadores, e ferramentas de visualização e análise de 
consistência para detecção de erros. 
4. Fundamentos dos modelos hidrodinâmicos e de transporte de 
escalares 
Apresenta-se neste item uma discussão sobre os fundamentos da modelagem matemática de 
corpos d’água naturais. Como o objetivo do modelo matemático é determinar o movimento da 
água natural e o transporte de substância pelo escoamento resultante, utiliza-se como base
fundamental os princípios de conservação da quantidade de movimento e da massa. Os princí-
pios são aplicados a parcelas de água e substâncias no corpo d’água que dependem da escala 
de interesse, conforme se define a seguir. 
4.1. Escalas de interesse 
A questão das escalas de interesse é um dos pontos geradores de confusão na gestão de recur-
sos hídricos. Especialmente na aplicação de modelos. É imprescindível haver uma coerência 
nas escalas de interesse dos diversos profissionais que possam vir a participar em um processo 
de modelagem. Mesmo para aqueles que apenas medem e observam, e para aqueles que ape-
nas recebem os relatórios com mapas gráficos e tabelas. 
Alguns princípios fundamentais devem ficar patentes. Em primeiro lugar, sabe-se que 
toda substância é composta por moléculas discretas, entretanto, na nossa menor escala de inte-
resse, qualquer “substância” será sempre contínua. Assim, a menor parcela de substância à 
qual podemos referenciar é uma “partícula”, e qualquer propriedade, (e.g. massa, velocidade, 
temperatura, salinidade, etc.) ou princípio de conservação se aplica no mínimo a uma partícu-
la. Na modelagem conceptual a matéria é contínua, e os princípios a serem empregados são os 
da mecânica do meio contínuo6. Uma partícula de “água” é definida por sua massa e seu vo-
lume, que pode ser de qualquer forma. Imaginando que a partícula tenha dimensões δx, δy e 
δz, sua massa, m, é o produto de sua massa específica, ρ, por seu volume, δxδyδz: 
 zyxm δδρδ= (1) 
O fato de se definir a escala do contínuo como a escala mínima para o volume de uma partícu-
la7, não implica no interesse estar neste mínimo. De fato, na prática as escalas de interesse são 
 
6 Se fôssemos considerar moléculas de substâncias, acabaríamos tendo que partir de princípios de mecânica 
quântica, e físico-química. 
7 A escala do contínuo, obriga que uma partícula tenha um volume mínimo que seja maior que o cubo do máximo 
deslocamento livre entre as moléculas das substâncias, que constituem a partícula. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
muito maiores, pois o que se busca é o conhecimento do movimento de um conjunto de partí-
culas em escoamento, e no transporte que tal escoamento faz, levando as diversas substâncias 
e propriedades das partículas para diferentes lugares de um corpo d’água. 
 
4.2. Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Advecção 
e Difusão 
Os movimentos e transportes resolvíveis são aqueles que podem ser observados e medidos na 
escala de interesse. É fácil mostrar que para ser resolvível o fenômeno tem que ter dimensões 
pelo menos duas vezes maiores que as menores escalas de interesse, (teorema de Nyquist). A 
limitação das escalas de interesse impõe paradoxos, pois inexoravelmente haverá movimentos 
e transportes em escalas menores, e portanto, não resolvíveis. Todos os fenômenos em esca-
las não resolvíveis têm que ser modelados de algum modo através de variáveis resolvíveis 
na escala de interesse. 
Considere por exemplo um recipiente com partículas de água pura em repouso. Em se-
guida, suponha que da forma mais controlada e suave possível sejam colocadas umas gotas de 
corante. O paradoxo resultante é conhecido: embora a “água” esteja parada, e portanto não 
exista movimento algum na escala de interesse, observa-se que o corante é transportado len-
tamente e acaba por se misturar pelo recipiente todo. Na realidade as partículas contínuas que 
definem a mínima escala de interesse no caso, tem velocidade resolvível nula. Mas, existe um 
“escoamento molecular” não resolvível, associado a escalas sub-partículas ou moleculares, 
que transporta o corante. 
Considere outra vez o mesmo recipiente com água pura, mas suponha que há uma gra-
de oscilando em seu interior cerca de dez vezes por segundo. Em uma escala temporal de inte-
resse mínima de um segundo, a velocidade resolvível do escoamento no recipiente será nula. 
De fato, na escala de interesse a velocidade resolvível seria o valor médio das velocidades ins-
tantâneas ao longo de pelo menos dois segundos, o qual tenderia a ser zero devido ao caráter 
oscilatório do movimento da grade. Portanto, tem-se estabelecido no recipiente, um 
escoamento com velocidade resolvível nula. O paradoxo agora fica mais forte pois, apesar de, 
na escala de interesse, o fluido estar em repouso, é evidente que se agora fosse colocado no 
recipiente umas gotas com corante, este se misturaria rapidamente. Como no caso anterior, 
apesar da velocidade resolvível ser nula, há movimento e transporte em escalas inferiores às 
resolvíveis, pois há uma turbulência devida à agitação da grade. Existe portanto um 
escoamento turbulento, não resolvível, que transporta o corante. 
Todo movimento ou transporte RESOLVÍVEL é denominado ADVECÇÃO, e é refe-
renciado como movimento ou transporte ADVECTIVO8. E, todo movimento ou transporte 
NÃO RESOLVÍVEL é denominado DIFUSÃO, e é referenciado como movimento ou transpor-
te DIFUSIVO9. O transporte advectivo está sempre associado ao campo de velocidades resolví-
vel na escala de interesse. O transporte difusivo sempre leva um adjetivo indicativo da 
maior escala não resolvível. Por exemplo, no primeiro caso do recipiente com corante antes 
mencionado, tem-se difusão molecular, ou transporte difusivo molecular, e zero advecção, ou 
zero transporte advectivo. No segundo caso tem-se difusão turbulenta, ou transporte difusivo 
turbulento, também com advecção nula. 
 
8 O termo “convectivo” também é por vezes empregado com o mesmo significado, entretanto é mais usual em 
movimentos verticais decorrentes de gradientes de temperatura. 
9 Nesta definição supõe-se um escoamento tridimensional (3D). Em modelos de escoamentos com menos dimen-
sões (2D ou 1D) obtêm valores médios em uma dada dimensão. Na dimensão promediada, a escala de interesse é 
infinita, e ao escoamento ou transporte não resolvível pela perda da dimensão, chama-se dispersão. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
Como dito, todo movimento ou transporte não resolvível tem que ser modelado em 
termos de grandezas resolvíveis. Quando se está na escala instantânea pontual das partículas, 
essa modelagem advém de observações e medições através da física experimental, gerando 
“leis da física”. Por exemplo, a difusão molecular de massa é explicada pela Lei de Fick, a 
difusão molecular de quantidade de movimento leva às tensões viscosas. E, quando a escala 
de interesse é superior à das partículas, como é usual, há que se modelar a difusão turbulenta. 
E aí é que está um grande desafio, pois ao contrário da difusão molecular, não há uma “Lei” 
para a difusão turbulenta. 
4.2.1. A água natural e seus constituintes – Equação de Estado 
A princípio a massa de uma partícula de “água” pode mudar tanto por variações em sua massa 
específica ρ quanto em seu volume δxδyδz. Para um dado volume, ρ pode variar com a con-
centração de algumas substâncias, nomeadamente o sal e sedimentos finos no caso de corpos 
de água em bacias hidrográficas. O volume de uma partícula de água por sua vez pode mudar 
por variações na pressão ou na temperatura. Entretanto, verifica-se que nos escoamentos natu-
rais as variações de volume por variação de pressão são desprezíveis. Assim, diz-se que é in-
compressível o escoamento de partículas de água com uma dada massa específica, função da 
temperatura e da concentração de algumas substâncias. Esta última frase traduz-se matemati-
camente em duas equações extremamente importantes. 
A primeira é a que define a massa específica da “água”; explicitando que nos escoamen-
tos de interesse a massa específica não depende da pressão, através da chamada Equação de 
Estado ou Equação Constituinte que, para o caso de corpos de água naturais pode ser conve-
nientemente escrita como: 
 ( )nCCCT ,....,,,
21ρ=ρ (2) 
onde T representa a temperatura da partícula e C1 a Cn as concentrações das “n” substâncias 
constituintes de sua massa. 
 
A segunda equação é a chamada Equação da Continuidade, e vem da imposição da condição 
de incompressibilidade. O fato da pressão não constar na Equação de Estado, e portanto do 
escoamento ocorrer como se o fluido fosse incompressível, precisa ser imposto como uma 
condição para definir as classes de escoamento nos quais é válida a equação (2).. Tal equação 
exprime que o volume de um conjunto de partículas, ∆x∆y∆z, em um dado escoamento, sem-
pre continua o mesmo10. Tal equação exprime que o volume de um conjunto de partículas, 
∆x∆y∆z, em um dado escoamento, sempre continua o mesmo11. Em termos matemáticos po-
de-se escrever que a variação do volume ∆x∆y∆z no tempo é nula: 
 ( ) 0=∆∆∆
dt
zyxd (3) 
 
10 Repare que a continuidade do volume, ou condição de incompressibilidade, é uma condição estritamente geo-
métrica, e não uma conseqüência da conservação de massa. De fato, em corpos d’água naturais, nomeadamente 
em estuários, a massa específica da “água” não é constante mas o escoamento é incompressível. Entretanto, é 
comum apresentar-se a incompressibilidade como conseqüência da conservação de massa. O inverso é o correto, 
isto é, se um fluido for homogêneo e seu escoamento incompressível, como conseqüência, sua massa específica é 
constante. 
11 Repare que a continuidade do volume, ou condição de incompressibilidade é uma condição estritamente geo-
métrica, e não uma conseqüência da conservação de massa. De fato, em corpos d’água naturais, nomeadamente 
em estuários, a massa específica da “água” não é constante mas o escoamento é incompressível. Entretanto, é 
comum apresentar-se a incompressibilidade como conseqüência da conservação de massa. O inverso é o correto, 
isto é, se um fluido for homogêneo e seu escoamento incompressível, como conseqüência, sua massa específica é 
constante. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
Entretanto esta forma da equação da continuidade não é adequada, pois não é fácil medir o 
volume de um grupo de partículas em escoamento. É mais fácil medir a velocidade com que 
as partículas estão escoando, ou a velocidade do escoamento. Assim após uma manipulação 
algébrica chega-se à conhecida forma da Equação da Continuidade: 
 
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
 (4) 
onde u, v e w são as componentes da velocidade do escoamento respectivamente nas direções 
x, y e z. A equação (4), é a condição a ser satisfeita pelo escoamento para validade da equação 
(2). Em termos matemáticos a condição de escoamento incompressível equivale a dizer que o 
divergente da velocidade do escoamento é nulo. Em outras palavras, as partículas de um con-
junto em escoamento não estão convergindo nem divergindo, o volume do conjunto permane-
ce constante, independente da forma que assuma ao escoar12. 
Na maioria dos corpos d’água naturais, é conveniente modelar a “água” como um siste-
ma binário, composto pela água propriamente dita e por outra substância genérica. Isso não 
quer dizer que não se possa tratar simultaneamente do transporte de várias substâncias, decor-
rentes do escoamento da água natural. A única implicação é que o transporte advectivo e difu-
sivo de cada substância pode ser tratado independentemente em conjunto com a água apenas, 
como se fosse um sistema binário. A aproximação de sistema binário será sempre válida 
quando a concentração das substâncias for muito pequena em relação à concentração de H2O. 
A grande maioria das substância presentes na água natural não é relevante na definição 
de sua massa especifica. Quando a concentração de uma substância é relevante para o cálculo 
de ρ, esta é chamada de contaminante ativo, caso contrário de contaminante passivo. Dentro 
deste contexto, o calor contido em uma partícula, embora não seja uma substância, pode ser 
tratado como um contaminante ativo, cuja concentração é expressa pela temperatura T. Todo 
contaminante ativo interfere na hidrodinâmica do corpo d água. 
4.3. Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da massa 
O transporte de contaminantes presentes na constituição da massa de uma partícula de água de 
qualquer corpo d’água natural, pode ser determinado a partir do princípio da conservação da 
massa do contaminante. 
Para modelagem conceptual do princípio da conservação da massa, suponha um volume 
de controle, no qual se possa medir os fluxos de entrada e de saída da massa de contaminante. 
Considere também que se pode medir, as possíveis reações que porventura ocorram produzin-
do ou consumindo massa do contaminante, enquanto este está dentro do volume de controle. 
O modelo conceptual do princípio da conservação de massa pode então ser escrito como: 
 
“A variação por unidade de tempo da massa de contaminante dentro do volume de con-
trole, é igual ao fluxo de entrada menos o fluxo de saída, mais a massa resultante das 
reações de produção ou consumo no interior do volume na unidade de tempo13.” 
 
Para o modelo matemático de tal princípio suponha que o volume de controle seja um 
cubo com dimensões ∆x, ∆y e ∆z. Em um dado instante a massa de contaminante no interior 
 
12 Em oceano profundo, o escoamento também é localmente incompressível, mas a densidade da água é maior 
devido à pressão. 
13 Tais reações são usualmente denominadas “reações cinéticas”, e podem envolver fenômenos químicos, bioló-
gicos e físicos. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
do volume de controle será o produto da concentração de contaminante C pelo volume 
∆x∆y∆z. Em termos matemáticos pode-se escrever: 
 
 
( )
somatório das reações d
variação da massa fluxo de entrada menos fluxo de saídapor unidade de tempo nas direções , , .
( ) ( ) ( )c c c
c
x y z
C x y z u C v C w C x y z R x y z
t x y z
∂ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ 
= − + + ∆ ∆ ∆ + Σ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ !""#""$ !"""""""#"""""""$ e
produção ou consumo de 
 contaminante
!"#"$ 
Os fluxos acima estão representados de forma global, mas sempre terão uma parte re-
solvível, e outra não resolvível. O fluxo resolvível ou fluxo advectivo está associado ao pa-
drão de correntes ou circulação hidrodinâmica do corpo de água. O fluxo não resolvível está 
associado à turbulência, pois as escalas de interesse quase sempre são muito maiores que uma 
partícula fluida. Por isso pode-se dizer que os fluxos não resolvíveis são fluxos difusivos tur-
bulentos, estando associados à turbulência do escoamento. Se a escala de interesse fosse a das 
partículas, ter-se-ia fluxos difusivos moleculares. 
 
4.4. Movimento da água – Princípio de conservação da quantidade de 
movimento 
Conhecer o escoamento, o padrão de correntes, os níveis d’água ou vazões em um corpo de 
água, depende de se conhecer como as águas se movimentam. E para isso, é necessário conhe-
cer a quantidade de movimento de cada partícula, ou seja, a sua massa e a sua velocidade. A 
massa das partículas é definida pela equação de estado ou equação constituinte. Resta calcular 
a velocidade e o movimento estará resolvido. 
 Na escala da mecânica do contínuo, qualquer movimento resolvível de uma partícula é re-
gido pelo princípio da conservação da quantidade de movimento (2a Lei de Newton)14, cujo 
modelo conceptual é: 
 
“A variação temporal da quantidade de movimento de uma partícula 
é igual à resultante das forças atuantes”. 
 
O modelo matemático de tal princípio pode ser escrito como: 
 3,2,1;)()( =
δδδ
Σ
=
ρ
∴Σ= i
zyx
F
dt
udF
dt
mud ii
i
i
%%
 (3.5) 
onde m é a massa da partícula, ui e ΣFi são as componentes na direção xi, respectivamente da 
velocidade e da soma das forças atuantes na partícula. 
4.5. Escoamento e transporte de grande escala
Todos os modelos hidrodinâmicos e de transporte de escalares ou qualidade de água em cor-
pos de água de bacias hidrográficas são desenvolvidos com base nos princípios de conserva-
ção de massa e de quantidade de movimento, incluído a equação de estado e a da continuida-
de. Em geral aplica-se tais princípios para o escoamento principal ou de grande escala, dei-
xando-se para ser modelado como turbulência os fenômenos de menor escala. 
 
O termo “grande escala” significa de fato a menor escala de interesse que se deseja re-
solver na modelagem de um dado fenômeno. O escoamento e transporte de escalares em cor-
 
14 Uma forma simplificada, válida quando a massa é constante, e mais popular da 2a. Lei de Newton é a que diz 
“A soma das forças é igual à massa vezes a aceleração, ou ΣF=ma.” 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
pos d’água são resultado da soma de fenômenos em uma miríade de escalas. Tais escalas vari-
am continuamente, desde as diminutas em escala sub-partículas, associadas às tensões visco-
sas e às difusões moleculares, até as maiores, que são limitadas pela geometria do corpo 
d’água. Os fenômenos com escalas maiores que as “grandes escalas” serão tão melhor resolvi-
dos em detalhes quanto maior seu comprimento ou período característico. Já os fenômenos 
inferiores às grandes escalas, não são resolvíveis e têm que ser modelados. É similar ao que o 
artista faz ao pintar uma paisagem, o que está em primeiro plano é bem resolvido e detalhado, 
mas a vegetação do fundo não é resolvível, apenas seus efeitos aparecem no quadro através de 
diferentes tons de verde. 
Ao se medir uma variável instantânea de um escoamento em corpos d’água naturais, 
como a velocidade da corrente por exemplo, obtêm-se um resultado como ilustrado pela curva 
no topo da Figura 2. O aspecto confuso e irregular da curva tipifica o registro que usualmente 
se obtêm nos chamados escoamentos turbulentos. Claramente, na escala de resolução dos nos-
sos olhos trata-se de um registro muito irregular. Através de métodos matemáticos, como aná-
lise de Fourier por exemplo, pode-se decompor o fenômeno registrado em uma soma de parce-
las simples. De fato, a curva no topo da Figura 2 foi artificialmente construída somando-se as 
componentes harmônicas simples que aparecem abaixo. Cada componente tem sua identidade 
definida por seu período ou comprimento de onda, sua amplitude e sua fase. Na curva irregu-
lar da Figura 2, as menores escalas resolvíveis correspondem ao período e ao comprimento de 
onda da menor componente ilustrada. Se passássemos as diversas componentes por um filtro 
que removesse as de menor escala e deixa-se passar apenas as maiores, o resultado seria uma 
curva mais suave, como a indicada também no topo da Figura 2. Tal curva corresponderia à 
parte resolvível se o fenômeno fosse modelado tendo como grande escala apenas as quatro 
primeiras, e maiores, componentes. O efeito das compo-
nentes não resolvíveis teria que ser modelado em termos 
de variáveis nas escalas resolvíveis e incluído no resulta-
do final. 
O que se deseja então é filtrar as variáveis presentes 
nas equações do modelo matemático geral, de modo que 
as equações representem bem apenas fenômenos de gran-
de escala. Posteriormente, ter-se-á que incluir de alguma 
forma nas equações, o efeito geral dos fenômenos que 
ocorrem nas escalas não resolvíveis, ou seja, modelar a 
turbulência. 
 
Figura 2. Ilustração da decomposição de um sinal complexo 
em componentes harmônicas simples. A linha fina irregular da 
parte superior é formada pela soma das senóides regulares que 
estão abaixo. A linha grossa da parte superior seria a parte re-
solvível, se apenas as quatro primeiras componentes de grande 
escala fossem consideradas. 
 
A maneira de se filtrar algo matematicamente é a-
través de um processo de média ponderada, dando-se um 
peso de ponderação grande para as escalas que se quer 
resolver, e um peso muito pequeno ou nulo para as esca-
las que se deseja eliminar. Generalizando a média ponde-
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
rada da aritmética para funções continuas da álgebra, chega-se à integral de convolução. Tal 
integral corresponde a uma soma de parcelas infinitesimais do produto de uma função filtro, 
ou peso de ponderação, pela função que se quer filtrar. 
5. Exemplos de aplicação de modelos 
Os tipos de modelos mais adequados para um dado caso, dependem fortemente das caracterís-
ticas do corpo de água de interesse, do nível de detalhamento desejado, e das variáveis alvo. 
Quanto à características do corpo de água, especificamente deve-se observar a estrutura típica 
da coluna de água e se existem padrões significativos de estratificação. 
Existem vários sistemas de modelos disponíveis no mercado internacional. Como e-
xemplo de um sistema de modelos aplicável a uma vasta de situações em bacias hidrográficas, 
cita-se o Sistema BAse de HIdrodinâmica Ambiental, SisBAHIA, em contínuo desenvolvi-
mento na COPPE/UFRJ desde 1988. Em linhas gerais o SisBAHIA contém: 
1. Um modelo hidrodinâmico, chamado FIST3D, para simular a circulação hidrodinâmica 
sob diferentes cenários em corpos de água de uma bacia hidrográfica. Tal modelo é otimi-
zado para aplicações em corpos de água sem estratificação significativa, como é o caso de 
várias baías, estuários, sistemas lagunares, águas costeiras, da maioria dos rios, e de boa 
parte dos lagos e reservatórios. Para vários casos práticos a simulação de campos de cor-
rentes promediadas na vertical, bidimensional na horizontal (2DH), é adequada. Contudo, 
em alguns casos, por exemplo, para geração de padrões de correntes para transporte de 
manchas de óleo, ou para plumas de emissários, o conhecimento de perfis verticais de ve-
locidade de natureza tridimensional, se torna necessário. Para isso, o sistema de modela-
gem hidrodinâmica do SisBAHIA também é capaz de simular campos de correntes tridi-
mensionais (3D). 
2. Um modelo de transporte Euleriano advectivo-difusivo do tipo 2DH, promediado na verti-
cal, para simular o transporte de escalares, isto é, substâncias dissolvidas ou em suspensão, 
contaminantes ou parâmetros de qualidade da água que estejam bem misturados na coluna 
de água. Em geral, este modelo é mais útil para problemas de grande escala, pois funciona 
acoplado à malha do módulo 2DH do modelo hidrodinâmico. 
3. Um modelo de transporte Lagrangeano advectivo-difusivo, para simular o transporte de 
escalares, tais como substâncias dissolvidas ou em suspensão, contaminantes ou parâme-
tros de qualidade da água que possam estar bem misturados, ocupando apenas uma cama-
da, ou flutuando na coluna d’água. Esse tipo de modelo é, na maioria das vezes, utilizado 
no estudo do transporte, relativamente local, de plumas ou nuvens de contaminantes origi-
nados a partir de fontes de pequena escala em relação ao domínio do modelo hidrodinâmi-
co. Este modelo permite também que se marque a água de diferentes setores do corpo de 
água para estudos de misturas de massas de água. 
 
Uma série de atributos de vêm sendo incluídos nestes modelos à medida que são formulados e 
desenvolvidos. Isso inclui características necessárias à modelagem adequada de diversos cor-
pos de água naturais, facilidades para exibição dos resultados, características que aumentam a 
confiabilidade e aceitação dos modelos, e que permitam que tais modelos sejam aperfeiçoados 
para estudos futuros. Dessa forma, destaca-se algumas características que vêm sendo conside-
radas no continuado desenvolvimento do SisBAHIA: 
!"Tensões e difusividades turbulentas estão sendo modeladas de modo a tornar o processo 
de calibragem dos modelos o mais possível baseada em variáveis naturais. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
!"Isso se dá através do emprego de sofisticados modelos de turbulência, auto-ajustáveis às
escalas da malha de discretização e à hidrodinâmica local, o que minimiza o processo de 
calibragem.. 
!"De modo a manter os dados do modelo o mais natural possível, e também visando à mi-
nimização da calibragem dos modelos, o campo de ventos e as condições de atrito no fun-
do podem ser variáveis no espaço e no tempo. 
!"Respeitando os pontos acima, mesmo se não de dispuser de medições que possibilitem 
uma calibração refinada, pode-se obter resultados acurados se a topo-hidrografia do corpo 
de água e os forçantes do escoamento forem bem definidos. 
!"O modelo hidrodinâmico do SisBAHIA, (FIST3D), é capaz de calcular campos de veloci-
dade promediado na vertical, 2DH, e campos de velocidades tridimensionais, 3D, gerando 
assim os perfis de velocidade ao longo da profundidade (ao longo do eixo vertical). Isso 
pode ser obtido de duas maneiras: através de um eficiente método analítico-numérico que 
funciona muito bem na maioria dos casos, ou diretamente através de uma formulação 
completa de modelo numérico 3D. A primeira maneira é mais rápida e gera resultados a-
curados, se o interesse estiver voltado para regiões com acelerações advectivas ao longo 
da coluna de água pouco variáveis, isto é, os efeitos da advecção 2DH predominam. A se-
gunda alternativa requer um maior esforço computacional, mas pode fornecer resultados 
precisos para uma grande variedade de situações, respeitando a validade das equações go-
vernantes. Embora possa-se computar apenas o módulo 2DH do modelo hidrodinâmico, 
quando se computa escoamento 3D por qualquer dos dois métodos, as soluções 2DH e 3D 
passam a ser interdependentes. Desta forma, em alguns casos a solução puramente 2DH 
pode diferir um pouco da solução 2DH+3D. 
!"Varias opções para resultados de formato gráfico já estão incluídas no SisBAHIA. Entre-
tanto, os resultados dos modelos podem ser exportados e usados em qualquer programa 
gráfico. Especificamente, as muitas opções de apresentação gráfica já embutidas no Sis-
BAHIA para visualização e impressão usam de forma automática em os conhecidos pro-
gramas Surfer e Grapher. 
!"Os modelos são baseados em esquemas numéricos bem estabelecidos, para aumentar a 
validade e a aceitação. 
 
Como dito, os diferentes modelos que compõem o SisBAHIA estão sendo continuamente de-
senvolvidos na COPPE/UFRJ, e têm sido utilizados em várias aplicações práticas, projetos de 
engenharia e de pesquisa e também em gestão ambiental. Algumas aplicações recentes dos 
modelos são exemplificadas a seguir: 
1. Aplicação do módulo hidrodinâmico 2DH do FIST3D para o estudo de possíveis ações 
a fim de diminuir as inundações na cidade de Joinville causadas por marés e tempesta-
des na Baia da Babitonga - SC. Interessado: Município de Joinville no Estado de Santa 
Catarina. Relatório ET-150693, 03/97, Fundação Coppetec - COPPE/UFRJ. 
2. Aplicação do modelo FIST3D completo e dos modelos de transporte para o estudo do 
impacto ambiental associado à construção de um poliduto para o transporte de álcool, 
diesel e gasolina, na Baía da Guanabara. Interessado: empresa Habtec S.A., companhia 
responsável pela elaboração do EIA/RIMA para a construção do poliduto. Relatório 
ET-170305, 05/97, Fundação Coppetec - COPPE/UFRJ. 
3. Aplicação do modelo FIST3D completo e dos modelos de transporte para avaliar a efi-
ciência do emissário submarino e as condições de balneabilidade da praia de Ipanema. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
Interessada: CEDAE, Companhia Estadual de Águas e Esgotos, Rio de Janeiro. Rela-
tório ET150663, 08/97 e 02/98. Fundação Coppetec - COPPE/ UFRJ. 
4. Aplicação do módulo 2DH do FIST3D e dos modelos de transporte para um estudo da 
hidrodinâmica geral e dos padrões de transporte na baía de Sepetiba - RJ, com objetivo 
de auxiliar na definição do Plano Diretor Econômico e Ecológico da bacia da baía de 
Sepetiba. Interessado: empresa ETEP S.A., companhia responsável pelo desenvolvi-
mento do Plano Diretor para o governo do Estado do Rio de Janeiro. Relatório ET-
170334, 03/98. Fundação Coppetec - COPPE/ UFRJ. 
5. Aplicação do módulo 2DH do FIST3D para estudar possíveis ações para restabelecer a 
circulação em torno da Ilha do Fundão, obstruída pelo assoreamento do canal do Fun-
dão na Baía da Guanabara - RJ. Interessado: Fundação SERLA no âmbito do Plano de 
Despoluição da Baía de Guanabara, Governo do Estado do Rio de Janeiro. Relatório 
ET-150786, 05/98. Fundação Coppetec - COPPE/ UFRJ. 
6. Aplicação do módulo 2DH do FIST3D para estudar a dragagem e disposição de sedi-
mentos no sistema Lagunar da Tijuca. Interesado: Prefeitura da Cidade do Rio de Ja-
neiro. Relatório ET-150849, 11/98. Fundação Coppetec - COPPE/ UFRJ. 
7. Desde Março de 1999, o SisBAHIA vem sendo aplicado à região da Baía de Todos os 
Santos, BTS, Além de parte integrante dos estudos de diagnóstico e prognóstico ambi-
entais para a BTS, desde Junho de 2000, o SisBAHIA está instalado no Centro de Re-
cursos Ambientais (CRA), órgão do Governo da Bahia, e vem sendo usado como fer-
ramenta de gestão ambiental da BTS. O SisBAHIA já foi usado para diversas simula-
ções pertinentes a estuários na região, especialmente em estudos referentes ao Estuário 
do Rio Vermelho. A título ilustrativo apresenta-se algumas figuras relativas ao uso do 
SisBAHIA na Baía de Todos os Santos. 
 
 
Figura 3. Exemplo de malha de discretização em elementos finitos aplicada à região da Baía de Todos os 
Santos, BA. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
 
Figura 4. Exemplos de representação da batimetria do fundo da região da Baía de Todos os Santos, BA, 
como representada no modelo. 
 
 
Figura 5. Exemplo de resultados de previsão de níveis de água. As linhas representam resultados simula-
dos e os pontos representam os valores medidos. Baía de Todos os Santos, BA. 
 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
 
Figura 6. Exemplo de resultados de previsão de correntes, confrontados com valores medidos nas esta-
ções assinaladas. Baía de Todos os Santos, BA. 
 
Figura 7. Exemplo de padrão de correntes na Baía de Todos os Santos, BA. É de se esperar que se os 
resultados são bons nos pontos indicados nas duas figuras anteriores, também serão bons nas 
demais áreas cobertas pelo modelo. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
 
Figura 8. Exemplo de resultados de previsão de correntes detalhadas nas cercanias do emissário do Rio 
Vermelho, visando a modelo de transporte de contaminantes, como apresentado a seguir. Situa-
ção de máximas velocidades de vazante em maré de sizígia com frente fria. Baía de Todos os 
Santos, BA. 
E:\UFRJ\GestaoRH\CapituloPCCRosman.doc 
 
 
 
Figura 1. Exemplo de plumas de contaminação de colimetria com T90 = 1½ horas, no mesmo instante 
do padrão de correntes da Figura anterior. Baía de Todos os Santos, BA. 
	Modelos para Recursos Hídricos
	Introdução
	O processo de modelagem
	O processo de modelagem em recursos hídricos
	Modelos de interesse
	Tipos de modelos computacionais mais usuais
	Sobre o pré e o pós-processamento
	Fundamentos dos modelos hidrodinâmicos e de transporte de escalares
	Escalas de interesse
	Movimentos e transportes resolvíveis e não resolvíveis - Advecção e Difusão
	A água natural e seus constituintes – Equação de Estado
	Transporte de contaminantes – Princípio da conservação da massa
	Movimento da água – Princípio de conservação da quantidade de movimento
	Escoamento e transporte de grande escala
	Exemplos de aplicação de modelos