MAT1163_2010_2_gabarito_P3

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MAT-1163: CVV2
Prova 03 [SOLUC¸A˜O]
22 de Novembro de 2010
1 a Questa˜o (Integral de Linha)
Considere a curva
C = {(x, y) ∈ R2| (x− 1)2 + (y + 2)2 = 9, x ≥ 1, y ≤ c}.
(resolva um dos dois casos: Caso 1: c = c1 =
−7
2
ou Caso 2: c = c2 =
−4−3√2
2
)
1. (Valor: 1,0 pts) Calcule o comprimento de C (obs.: usando ca´lculo).
2. (Valor: 1,5 pts) Calcule o centro´ide de C (obs.: usando ca´lculo).
SOLUC¸A˜O
1. Calcule o comprimento de C (obs.: usando ca´lculo).
A func¸a˜o r(θ) =
(
1 + 3 cos θ, −2 + 3 sin θ), θa ≤ θ ≤ θb parametriza o arco de c´ırculo. (Em ambos
os casos vale θa = 3pi2 ; no Caso 1 temos θb =
11pi
6 e no Caso 2 temos θb =
7pi
4 ).
Tem-se enta˜o √
9 sin2 θ + 9 cos2 θ = 3
Segue enta˜o
compr(C) =
∫
C
d` =
∫ θb
θa
∥∥∥∥drdθ
∥∥∥∥ dθ = 3(θb − θa).
e, finalmente,
compr(C) =
{
pi (Caso 1)
3pi
4 (Caso 2)
2. Calcule o centro´ide de C (obs.: usando ca´lculo).
Integrais subsidia´rias
Ix =
∫
C
xd` =
∫ θb
θa
3
(
1 + 3 cos θ
)
dθ = 3(θb − θa) + 9(sin θb − sin θa).
Iy =
∫
C
yd` =
∫ θb
θa
3
(− 2 + 3 sin θ)dθ = −6(θb − θa)− 9(cos θb − cos θa).
centroide(C) =
(
x
y
)
=
 Ixcompr(C)
Iy
compr(C)

Finalmente (considerando-se que θa = 3pi2 ):
Caso 1: (sin θb = −12 , cos θb =
√
3
2 , θb − θa = pi3 ) ⇒ centroide(C) =
(
2pi+9
2pi ;
−4pi−9√3
2pi .
)
ou,
Caso 2: (sin θb = −
√
2
2 , cos θb =
√
2
2 , θb − θa = pi4 ) ⇒ centroide(C) =
(
· · · ;
· · · .
)
2 a Questa˜o (Teorema de Green)
Considere o semic´ırculo
S = {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 = 4, x ≥ 0}.
1. (Valor: 0,5 pts) Parametrize esta curva no sentido hora´rio.
2. (Valor: 1,0 pts) Usando a parametrizac¸a˜o acima,integer a func¸a˜o f(x, y) = xy2 ao
longo deste semi-c´ırculo.
3. (Valor: 2,0 pts) Use o Teorema de Green pra calcular o trabalho do campo F (x, y) =
(y, x2 + ey) ao longo deste semi-c´ırculo (no sentido hora´rio).
SOLUC¸A˜O
1. Parametrize esta curva no sentido hora´rio.
Ha´ va´rias maneiras de parametrizar esta linha. Por exemplo,
r(t) =
(
2 sin t, 2 cos t
)
, t ∈ (0, pi). (1)
2. Usando a parametrizac¸a˜o acima, integre a func¸a˜o f(x, y) = xy2 ao longo deste semi-c´ırculo.∥∥∥∥drdt
∥∥∥∥ = ∥∥(2 cos t, −2 sin t)∥∥ = 2,
∫
S
xy2d` =
∫ pi
0
f(2 sin t, 2 cos t)
∥∥∥∥drdt
∥∥∥∥ dt.
= 23
∫ pi
0
(cos t) sin2 t dt =
8
3
cos3 t
∣∣∣∣pi
0
= −32
3
.
3. Use o Teorema de Green pra calcular o trabalho do campo F (x, y) = (y, x2 + ey) ao longo deste
semi-c´ırculo (no sentido hora´rio).
Considere L = {(x, y) ∈ R2 | x = 0, |y| ≤ 2} e a a linha fechada C = S ∪ L. Seja RC a regia˜o
formada pelos pontos do interior de C. A propriedade da aditividade da integral permite escrever∫
S
F (x, y) · dr
dt
d` =
∮
C
F (x, y) · dr
dt
d`−
∫
L
F (x, y) · dr
dt
d`.
O Teorema de Green permite escrever (se a linha esta´ orientada no sentido hora´rio),∮
C
xy2d` = −
∫∫
RC
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA
= −
∫∫
RC
(2x− 1)dA = ... = −32/3 + 2pi
Tem-se ainda, usando rL(t) =
(
0
t
)
, |t| ≤ 2 para parametrizar L,
∫
L
F (x, y) · dr
dt
d` =
∫ 2
−2
(t, et) · (0, 1)dt =
∫ 2
−2
etdt = et
∣∣2
−2 = e
2 − e−2.
∫
S
F (x, y) · dr
dt
d` = · · · = −32/3 + 2pi − e2 + e−2.
3 a Questa˜o (Teorema de Gauss)
Considere a regia˜o
U = {(x, y, z) ∈ R2| 0 ≤ z ≤ 4− x2 − y2}.
1. (Valor: 1,5 pts) Calcule a a´rea da superf´ıcie S que limita a regia˜o U acima.
2. (Valor: 2,0 pts) Verifique o Teorema de Gauss para a regia˜o acima e o campo
F (x, y, z) = (x, y, z + 1).
SOLUC¸A˜O
1. Calcule a a´rea da superf´ıcie S que limita a regia˜o U acima.
Note que S = S1 ∪ S2, Area(S) = Area(S1) + Area(S2) e,
S1 = {(x, y, z) ∈ R2| 0 ≤ z = 4− x2 − y2}
S2 = {(x, y, z) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 4, z = 0}.
De imediato, Area(S1) = 4pi. Para obter Area(S2), considere:
Parametrizac¸a˜o 1: func¸a˜o vetorial
r(r, θ) =
 r cos θr sin θ
4− r2

com domı´nio Srθ = [0, 2]× [0, 2pi]. Tem-se enta˜o
dr
dr
=
(
cos θ sin θ −2r ) , dr
dθ
=
( −r sin θ r cos θ 0 ) .
e
dr
dr
× dr
dθ
= 2r2 cos θ~ı+ 2r2 sin θ~+ r~k
Da´ı,
Area(S1) =
∫∫
S1
dS =
∫∫
Srθ
∥∥∥∥∂r∂r × ∂r∂θ
∥∥∥∥︸ ︷︷ ︸
r
√
4r2+1
drdθ = . . . =
17
√
17− 1
6
pi.
Parametrizac¸a˜o 2:
r(θ, z) =
 √4− z cos θ√4− z sin θ
z

com domı´nio Sθz = [0, 2pi]× [0, 4]. Tem-se enta˜o
dr
dθ
=
( −√4− z sin θ, √4− z cos θ, 0 ) , dr
dz
=
(
−1
2
√
4−z cos θ,
−1
2
√
4−z sin θ, 1
)
.
e
dr
dr
× dr
dθ
=
√
4− z cos θ~ı+√4− z sin θ~+ 12~k
Da´ı,
Area(S1) =
∫∫
S1
dS =
∫∫
Srθ
∥∥∥∥∂r∂r × ∂r∂θ
∥∥∥∥︸ ︷︷ ︸r
17
4 −z
drdθ
=
∫ 2pi
0
∫ 4
0
√
17
4 − z dz dθ
= 2pi
∫ 1
4
1
4
√
u du = . . . = 2pi(
2
3
)
17
√
17− 1
8
.
Finalmente, Area(S) = 4pi + 17
√
17−1
6 pi.
2. Verifique o Teorema de Gauss para a regia˜o acima e o campo F (x, y, z) = (x, y, z + 1).
Pelo Teo. de Gauss,∫∫
S
F (x, y, z) · −→NdS =
∫∫
S1
F (x, y, z) · −→N 1 dS︸ ︷︷ ︸
I1
+
∫∫
S2
F (x, y, z) · −→N 2 dS︸ ︷︷ ︸
I2
=
∫∫∫
U
∇ · F (x, y, z)dV︸ ︷︷ ︸
I3
I1 =
∫∫
Srθ
(r cos θ, r sin θ, 4− r2) · (2r2 cos θ, 2r2 sin θ, r) dA
=
∫ 2
0
∫ 2pi
0
(
2r3 + r(4− r2)︸ ︷︷ ︸
r3+5r
)
dθ dr = · · · = 28pi.
I2 =
∫∫
S2
(x, y, 1) · (0, 0,−1) dA
= −
∫∫
S2
dA = −4pi.
∇ · F (x, y, z) = 3 ⇒ I3 = 3 vol(U) =
∫ 2
0
∫ 2pi
0
∫ 4−r2
0
r dz dθ dr = . . . = 24pi.