UNIDADE II - ESPAÇO VETORIAL

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APOSTILA 
 
DE
ÁLGEBRA LINEAR
(2ª PARTE)
CURSO: ENGENHARIA DE PETRÓLEO
PROF.: MÁRIO S. TARANTO
CÓDIGO DA DISCIPLINA: FIM0431
EMENTA:
Sistemas Lineares. Espaços vetoriais. Transformações lineares. Autovalores e autovetores.
OBJETIVO(S) GERAL (IS):
Adquirir e aplicar os conhecimentos de álgebra linear na resolução de problemas e situações concretas em Engenharia.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS :
1. Compreender o conceito de vetor.
2. Utilizar o cálculo com matrizes na resolução de sistemas lineares
3. Compreender o conceito de espaços vetoriais
4. Aplicar o conceito de Transformação Linear na resolução de problemas
5. Calcular autovalores e autovetores
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Unidade I - SISTEMAS LINEARES
1.1 Matrizes e determinantes
1.2 Discussão e resolução de sistemas lineares
1.4 Método da Matriz inversa
Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 Definição.
2.2 Subespaços vetoriais - definição; subespaços gerados
2.3 Dependência e independência linear; base e dimensão.
Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES
3.1 Definição e propriedades; matriz de uma transformação
3.2 Operações com transformações lineares
3.3 Transformações lineares no plano e no espaço
Unidade IV - AUTOVALORES E AUTOVETORES
4.1 Definição; polinômio característico.
4.2 Determinação dos autovalores e autovetores de um operador
4.3 Diagonalização
PROCEDIMENTOS DE ENSINO:
Aulas Teóricas:
Aulas expositivas dialogadas com apresentação dos conteúdos relevantes e potencialmente significativos, exemplificações e discussão dos resultados. Resolução de exercícios, objetivando desenvolver habilidades. Uso de transparências e de outros recursos didáticos.
Atividades de Campo:
Serão desenvolvidas atividades de pesquisa e aplicação na prática (ex: lista de exercícios) dos conhecimentos estudados na disciplina pelos alunos, sob a orientação do professor.
AVALIAÇÃO:
Aulas Teóricas:
Consiste na avaliação continuada do desempenho dos alunos, sendo sistematizado em três momentos no calendário acadêmico: AV1, AV2 e AV3.
2 ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 VETORES NO PLANO
	No plano cartesiano ortogonal um ponto P do plano é identificado pelo par (a,b) de números reais, onde as quantidades a e b são as coordenadas do ponto P.
	Os segmentos orientados com ponto inicial na origem e ponto final em P, são denominados vetores no plano e são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, uma vez que o ponto inicial é fixo na origem.
	A cada ponto no plano P(a,b) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do plano, que é seu ponto final.
	Desta forma, um vetor v = 
 é representado, simplesmente, pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b). Usamos a notação v ou v = (a,b) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b).
	A origem do plano fica associada a um vetor denominado vetor nulo, que tem os pontos
inicial e final coincidentes com a origem. O vetor nulo é representado por 0 = (0,0).
	O oposto de um vetor v = 
 é o vetor w = 
, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então w = (-a,-b) e denotamos w = –v.
2.1.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO PLANO
a) Multiplicação de um vetor v por um escalar k:
• Se k > 0, o vetor w = kv possui mesma direção de v e comprimento k vezes o comprimento de v.
• Se k < 0, o vetor w = kv será igual ao oposto do vetor |k|v.
• Se k = 0, w = kv será o vetor nulo.
A multiplicação de um vetor por um escalar corresponde à multiplicação de cada coordenada desse vetor por esse escalar. Assim, se v = (a,b) e w = kv, então w = (ka,kb).
b) Adição de dois vetores:
• Se v = (a,b) e w = (c,d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d).
• A soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w = -v = (-a,-b) é o vetor nulo.
Isto é, v + w = v + (-v) = (a - a, b - b) = (0,0).
• A diferença entre dois vetores v e w, é a soma do primeiro com o oposto do segundo vetor: v – w = v + (-w).
2.2 VETORES NO ESPAÇO
	
	Analogamente ao caso de vetores no plano, podemos estender a idéia de vetor ao espaço tridimensional, onde um ponto P do espaço é identificado com uma terna de números reais (x,y,z), onde x, y e z são as coordenadas do ponto P.
	Agora cada ponto do espaço P(a,b,c) é associado um único vetor v = 
 e, reciprocamente, dado um vetor, este fica associado a um único ponto do espaço, que é seu ponto final.
	Assim, um vetor v = 
 é representado pelas coordenadas do seu ponto final P(a,b,c).
Denotamos v = 
 ou v = (a,b,c) para identificar um vetor cujo ponto final é (a,b,c).
	A origem do espaço representa o vetor nulo 0 = (0,0,0).
	Se V é o conjunto de vetores no espaço, então V = {(x1, x2, x3); xi ( R} = R × R × R = R3.
2.2.1 OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO
	Sejam u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3) vetores no espaço. A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um escalar, são denotados respectivamente por u + v e ku, e são definidos da forma: u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) e ku = (kx1, kx2, kx3).
2.2.1.1 PROPRIEDADES
	Sejam u, v, w ( V e a, b escalares quaisquer, então podem ser facilmente verificadas as propriedades seguintes:
i) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)
ii) u + v = v + u (comutativa)
iii) existe 0 ( V tal que u + 0 = u, onde 0 é chamado vetor nulo (existência de elemento neutro)
iv) existe –u ( V tal que u + (-u) = 0 (existência de simétrico aditivo)
v) a(u + v) = au + av
vi) (a + b)v = av + bv
vii) (ab)v = a(bv)
viii) 1u = u
2.3 ESPAÇOS VETORIAIS
	Um espaço vetorial real é um conjunto V ≠ (, sobre o qual estão definidas duas operações: soma e multiplicação por escalar, tais que, para quaisquer u,v,w ( V e a,b ( R, as propriedades de i a vii sejam satisfeitas.
	Se ao invés de escalares reais, tivermos escalares complexos, V será um espaço vetorial complexo.
	Neste contexto, a palavra vetor é utilizada de maneira mais geral, ou seja, designa um elemento de um espaço vetorial. Contudo, considerando o espaço vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, denotado por V = M(2,2), um vetor deste espaço será na realidade uma matriz real 2x2.
Notas: 
1 – Retas que passam pela origem são espaços vetoriais.
2 – Planos que passam pela origem são espaços vetoriais.
3 – O elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.
2.3.1 SUPESPAÇOS VETORIAIS
	Dado um espaço vetorial real V, um subconjunto W ≠ (, será um subespaço vetorial de V se:
i) 
u,v ( W ( u + v ( W
ii) 
a ( R, u ( W ( au ( W
	A definição acima garante que operações realizadas em W, no caso a adição e a multiplicação por escalar, resultam em elementos de W, sendo o suficiente para afirmar o próprio W é um espaço vetorial. As operações são bem definidas e não é preciso verificar as sete propriedades que definem um espaço vetorial, pois, sendo válidas em V, que contém W, também o são em W.
	Todo subespaço W ( V, necessariamente contém o vetor nulo (devido à definição ii). É fácil verificar esta condição, quando se faz a = 0.
	Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços, denominados subespaços triviais, o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial (0 e V).
EXERCÍCIOS
1 – Verifique quais, dentre os subconjuntos abaixo, são subespaços vetoriais?
	a) {(x, y) ( R2 / x = y} 
	b) {(x, y, z) ( R3 / x = y = 2z}
	c) {(x, y, z) ( R3 / x2 = y}
	d) {(x, y, z, w) ( R4 / x + z = y + w}
	e) {(x, y) ( R2 / x + 1 = y}
	f) {(x, y, z, w) ( R4 / x – 2y = 3z + w}
	g) {(x, y) ( R2 / x3 = y}
	
2.4 COMBINAÇÃO LINEAR
	Consideremos um espaço vetorial real V (ou complexo), v1, v2, ..., vn ( V e a1, a2, ..., an númerosreais (ou complexos). Chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn como sendo o vetor v ( V, definido por v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn.
EXERCÍCIOS
2 – Dados os vetores v = (1, -2, 1), v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 2, 0). Verifique se v é combinação linear de v1 e v2.
3 – Sendo v = (1, 3, -4) ( R3 e v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, -1, 1) e v4 = (0, 0, 1). Verifique se v pode ser escrito como combinação linear de v1, v2, v3 e v4.
4 – Escreva o vetor v = (0, 1) ( R2 como combinação linear dos vetores v1 = (3, 2) e v2 = (2, 2).
5 – Sendo o vetor v = (1, -1, 4) ( R3. Escreva-o como combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 4), v2 = (1, -3, 2) e v3 = (0, 0, 1). 
2.5 SUBESPAÇO GERADO
	Fixados os vetores v1, v2, ..., vn ( V, o conjunto W de todos os vetores que são combinação linear dos vi (i = 1, 2, ..., n) é chamado subespaço gerado pelos vi e usamos a notação: W = [v1, v2, ..., vn].
	Escrevendo W = [v1, v2, ..., vn] = {v ( V: v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn, ai ( R, 1 ≤ i ≤ n}, onde W é o “menor” subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn}. O termo “menor” significa que qualquer outro subespaço W’ de V que contenha {v1, v2, ..., vn} deverá satisfazer W’ ( W. 
EXERCÍCIOS
6 – Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (0, 1, 1). Determine o subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana. 
7 – Verifique se W ( R3 gerado por u1 = (1, 1, -1), u2 = (2, 3, -1) e u3 = (3, 1, -5), é o mesmo subespaço gerado por v1 = (1, -1, -3), v2 = (3, -2, -8) e v3 = (2, 1, -3). Escreva a solução em equação cartesiana.
8 – Sendo V o conjunto de vetores v1 = (1, -2, 0), v2 = (2, -1, -1) e v3 = (0, 3, -1). Determine o subespaço gerado por esses vetores. Escreva a solução em equação cartesiana. 
9 – Determine o subespaço W ( V, sendo V o conjunto de vetores formado por v1 = (1, -1, 0, 2), v2 = (3, 5, 2, -4) e v3 = (5, 3, 6, 1). Escreva a solução em equação cartesiana.
2.5.1 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial e v1, ... , vn ( V. Dizemos que o conjunto {v1, ... , vn} é linearmente independente (LI), ou que os vetores v1, ... , vn são LI, se (a1, ... , an) = (0, ... , 0) for a única solução da equação 
a1v1 + ... + anvn = 0.
Se existir algum a1 ( 0, que satisfaça a equação anterior dizemos que {v1, ... , vn} é linearmente dependente (LD), ou que os vetores v1, ... , vn são LD.
O conjunto de vetores { v1, ... , vn} é LD se, e somente se existe um vi neste conjunto que é combinação linear de v1, v2, ... , vi-1, vi+1, ... , vn.
Um conjunto de vetores é LI se, e somente se nenhum deles for uma combinação linear dos outros. 
EXERCÍCIOS
10 – Verifique se v1 = (1, 2, 3) e v2 = (2, 4, 6) são LD ou LI.
11 – Sejam V = R2 e o conjunto P = {(1, –1), (1, 0), (1, 1)}. Verifique se P é LD ou LI.
12 – Dados v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 2, 3). Verifique se são LD ou LI.
13 – Verifique se o conjunto de vetores do R4, v1 = (1, 0, -1, 0), v2 = (0, 1, 1, 1) e v3 = (1, 1, 0, 1) são LD ou LI.
14 – Verifique se o conjunto de matrizes A = 
, B = 
 e C = 
 é LD ou LI.
15 – Verifique se o conjunto de matrizes A = 
, B = 
 e C = 
 é LD ou LI.
2.6 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Um conjunto {v1, ... , vn} de vetores de um espaço vetorial V será uma base de V se este conjunto for LI e se ele gerar o espaço, ou seja:
i) {v1, ... , vn} é LI
ii) [v1, ... , vn] = V
Sejam v1, v2, ..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre estes vetores podemos extrair uma base de V.
Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2, ..., vn. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores).
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dimV.
Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.
Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Além disso, 
dim(U + W) = dimU + dimW – dim(U∩W).
Dada uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ..., vn.
EXERCÍCIOS
16 – Exiba uma base para cada um dos subespaços W, gerado pelos conjuntos de vetores a seguir, determine sua dimensão e descreva W em equações paramétricas.
a) {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (-1, 0, 1), (1, 4, 7)} do R3.
b) {(1, -1, 0, 2), (3, 5, 2, -4), (5, 3, 6, 1)} do R4.
c) {(1, 1, -1, 0), (4, 8, -4, -3), (2, 5, 2, 4)} do R4.
d) {(1, 1, -1), (2, 3, -1), (3, 1, -5)} do R3.
17 – Dados os subespaços vetoriais do R4:
W1 = {(x, y, z, w) / x = y, z = w} 
W2 = {(x, y, z, w) / x – y + z + w = 0}
Determine:
a) uma base e a dimensão de W1;
b) uma base e a dimensão de W2;
c) uma base e a dimensão de W1 + W2; e
d) W1 ( W2 em equações paramétricas e sua dimensão (W1 ( W2).
2.7 MUDANÇA DE BASE
COORDENADAS DE UM VETOR EM RELAÇÃO A UMA BASE
( = {e1, e2} base canônica do R2.
v = (x, y) 
v = xe1 + ye2 
(’ = {v1, v2} base do R2.
v( = (x’, y’) 
v = x’v1 + y’v2 
COMO RELACIONAR AS COORDENADAS (x, y) COM (x’, y’) DO VETOR v?
Seja ( = {(1, 0), (0, 1)} base canônica do R2. (’ = {(a, b), (c, d)} base do R2.
v = (x, y) = xe1 + ye2 
v = (x’, y’) = x’v1 + y’v2 = x’(a, b) + y’(c, d) = (x’a, x’b) + (y’c, y’d) = (ax’ + cy’, bx’ + dy’)(
 
v = (x’, y’) = x’(ae1 + be2) + y’(ce1 + de2) = (ax’ + cy’)e1 + (bx’ + dy’)e2
, logo:
A matriz 
 é a matriz mudança da base (’ para base (.
Portanto, para o cálculo das coordenadas de (v)(, temos:
(v)( = M ( (v)(’
Para o cálculo das coordenadas de (v)(’ devemos fazer:
M –1 ( (v)( = M –1 ( M ( (v)(’
M –1 ( (v)( = I ( (v)(’
I ( (v)(’ = M –1 ( (v)(
(v)(’ = M –1 ( (v)(
EXERCÍCIOS
18 – Seja (’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2 e (v)(’ = (2, 3). Quais são as coordenadas de (v)(?
19 – Seja (’ = {(1, 1), (–1, 1)} base do R2 e (v)( = (3, 4). Quais são as coordenadas de (v)(’?
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