LISTA_18

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Lista 18 Ca´lculo I -A- 2007-1 34
Universidade Federal Fluminense
EGM - Instituto de Matema´tica
GMA - Departamento de Matema´tica Aplicada
LISTA 18 - 2007-1
Anti-derivada
Integral indefinida
Problema de valor inicial
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 16.
1.
∫ (
( 3
√
t )2 − 2
)
dt
2.
∫
x−√x
3
dx
3.
∫ (
3
x2
− 1
)
dx
4.
∫ √
2
x
dx
5.
∫
(2− s)√s ds
6.
∫
x9 − x3
x4
dx
7.
∫
sen 2θ
cos θ
dθ
8.
∫
cosx
1− cos2(x) dx
9.
∫
tan2 u du
10.
∫
1 + x2 +
1
1 + x2
dx
11.
∫
e2x − 3ex
ex
dx
12.
∫
x2
1 + x2
dx
13.
∫ √
1− x2
1− x2 dx
14.
∫
1
1 + senh 2y
dy
15.
∫ (
et − e−t) dt
16.
∫
x
(
1− tanh2 x) cosh2 x dx
17. Encontre a expressa˜o que define a func¸a˜o f , cujo gra´fico conte´m o ponto
(
4, 53
)
e cuja derivada
e´ f ′(x) =
√
x (2
√
x− 1).
Resolva os problemas de valor inicial dos exerc´ıcios 18. a 20.
18.
{
y′ =
1
x2
− 1
x3
y(1) = 32
19.
{
y′ =
1
x
− 1
x3
y(1) = 2
20.
{
f ′(x) = 2 cosx− 3 csc2 x
f
(
pi
2
)
= 8
21. Uma func¸a˜o tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x − 6. Encontre a expressa˜o da f ,
sabendo que seu gra´fico conte´m o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente tem equac¸a˜o
3x− y − 5 = 0.
RESPOSTAS
1. 35 t
5
3 − 2t+ C
2.
x2
6
− 2
√
x3
9
+ C
3. − 3
x
− x+ C
4. 2x
√
2
x
+ C
5. 43 s
3
2 − 25 s
5
2 + C
6.
x6
6
− ln |x|+ C
7. −2 cos θ + C
8. − cscx+ C
9. −u+ tanu+ C
10. x+
x3
3
+ arctanx+ C
11. ex − 3x+ C
12. x− arctanx+ C
13. arcsenx+ c
14. tanh y + C
15. 2 cosh t+ C = et + e−t + C
16.
x2
2
+ C
17. f(x) = x2 − 43
√
x3 − 9
18. y = 2− 1
x
+
1
2x2
19.
3
2
+
1
2x2
+ ln |x|
20. 6 + 2 senx+ 3 cotx
21. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1