Lista 4-2008.1.Gabarito

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DSE –Quarta Lista de Exercícios 
Professores: Juliano Assunção e Paulo Mansur Levy 
Monitora: Patricia Costa 
 
Questão 1 
 
 No modelo agregado de crescimento, a função de produção de bens é dada por Y = 
K

(ALY)
1-
, onde LY é a quantidade de trabalho alocada à produção de bens; a equação de 
movimento do capital é dada por 
KdYsK .. 
 , onde d é a taxa de depreciação; e a função de 
acumulação de progresso técnico é dado por 
 ALA A
 , onde 

 é uma constante, LA é a 
quantidade de trabalho alocado ao setor de P&D e  e  são parâmetros. 
 
a) Explique a presença de  e  na função de progresso técnico; 
 
São parâmetros que captam a intensidade das externalidades associadas aos efeitos 
”duplicação" () e "transbordamento" (). No caso do "", como a externalidade é negativa 
(quanto maior La, menor a produtividade no setor), o efeito duplicação será tanto mais forte 
quanto mais próximo de zero estiver o "". Por exemplo, quanto maior o número de 
pesquisadores, maior a chance de alguns estarem pesquisando a mesma coisa que outros. Esse 
efeito é chamado pisar nos pés. 
Para 

 maior do que zero, isso implica que existe uma externalidade positiva da existência 
de idéias anteriores para a produção de novas idéias. É o chamado efeito subir nos ombros. 
Um exemplo é o cálculo, que com seu desenvolvimento facilita o estudo de várias áreas do 
conhecimento, como a economia. Supõe-se positivos. 
 
b) Derive a taxa de crescimento do PIB per capita dessa economia estado 
estacionário; 
 
A função de produção descrita já foi estudada, e concluímos que a taxa de crescimento do 
produto per capita será igual à taxa de crescimento da tecnologia. Assim, pela equação de 
movimento da tecnologia: 
 
Devemos procurar quando essa taxa será constante, condição necessária para atingirmos o 
estado estacionário. Essa taxa só será igual a uma constante se o denominador crescer a uma 
mesma taxa que o numerador: 
 
A taxa de crescimento dos pesquisadores é igual a da população, já que estamos em 
equilíbrio. Temos então: 
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E então a taxa de crescimento per capita é dada por: 
 
 
 
Questão 2 
 
Considere o modelo de crescimento do capítulo 6 de Jones, descrito pelas seguintes 
equações: 
 
(1) 



h
j
jxLY
1
1 
 Função de produção 
(2) 
)t(K)t(x
h
j
j 
1
 Quantidade total de bens de capital = Oferta de capital bruto 
(3) 
dKYsK K 
 Acumulação de capital 
(4)    1hAeh u Acumulação de qualificações 
 
Suponha  > 0 e 
10  
 e que a fronteira tecnológica se expande a uma taxa constante g: 
(5) 
g
A
A

 
 
(a) Determine as taxas de crescimento de longo prazo das variáveis per capita. 
 
Primeiramente, pela simetria que se obtém entre os vários tipos de bens de capital após 
maximização de lucros pelo concorrente monopolista, sujeito à curva de demanda derivada 
pelo bem de capital do tipo j no setor de bens finais, tal que pj = (1/α).r, o que implica que pj = 
p para todo α e que xj = x para todo j, podemos escrever K(t)=hx, e colocar isso na função de 
produção: 



h
1j
j
h
)t(K
xhx)t(K)t(K)t(x
 
Agora colocando este resultado na função de produção 






 






h
1j
111
h
1j
j
1 KhL
h
)t(K
LxLY
 
Passando o log e derivando, 
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   
K
K
h
h
1
L
L
1
Y
Y 

 
Pela função de acumulação de capital, a taxa de crescimento do capital é igual à taxa de 
crescimento do produto (basta lembrar que no longo prazo a acumulação de capital é 
constante e, pela função, vemos que, para isso acontecer, é necessário que a taxa de 
crescimento do capital seja igual à taxa de crescimento do produto. Resultado largamente 
utilizado em outras derivações!). Portanto, 
h
h
L
L
Y
Y 

 
Em termos per capita, 
h
h
y
y 

 
Falta apenas dividir a equação (4) por h e então teremos 









h
A
e
h
h
y
y u

 
O resultado a se destacar aqui é que o crescimento do produto per capita depende, dentre 
outras coisas, do hiato tecnológico 
h
A
, onde A é o estado da tecnologia na fronteira (digamos, 
dos países avançados) e h representa o nível local. No steady-state a taxa acima deve ser 
constante, o que implica que o numerador e o denominador da fração devem crescer a taxas 
iguais. Ou seja, 
g
A
A
h
h

 (por hipótese) 
 
 
 
(b) Determine o nível de produto per capita no estado estacionário. Analise cada um dos 
três termos que o compõem. 
 
Sabendo a taxa de crescimento do produto (e que é igual à taxa de crescimento do capital), 
podemos usar a função de acumulação de capital, 
dKhLsd
K
KhL
sd
K
Y
s
K
K
dKYsK 111k
11
kkk 



 
Em termos per capita, 
gndKhLs
k
k 111
k 

 
Agora o trabalho é algébrico de explicitar k*. O resultado final será 
*
1
1
1
*
1
1
*
*
A
g
e
dgn
s
k
h
dgn
s
k
u
k
k



























 
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(c) Associe  ao grau de abertura dessa economia à transferência de tecnologia. Desenhe 
um gráfico com
h
h
 no eixo vertical e 
h
A
 no eixo horizontal (Dica: veja gráfico 5.1 do livro). 
No gráfico, desenhe as seguintes equações: 
(6) 








h
A
e
h
h u
 (observe que se está supondo =1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira função (ascendente) representa a taxa de crescimento das qualificações locais 
como função do hiato tecnológico. A função horizontal vem do fato que, em steady-state, a 
acumulação de qualificações locais deve ser igual a g, como discutido anteriormente. Assim, 
pode-se ver que a interseção define o hiato tecnológico. 
Se aumentarmos o grau de abertura da economia 

, a acumulação de qualificações 
aumenta inicialmente. Assim, h cresce mais que A, ficando a nova razão A/h menor. Mas 
quanto maior o montante de h, menor sua taxa de crescimento (observar a fórmula), logo, com 
o tempo, seu crescimento volta ao valor do estado estacionário. Em outras palavras, se a 
economia repentinamente se abrir, o nível de qualificações sofrerá um aumento transitório 
acima de g, cujo nível mais elevado também elevará o nível de produto (este último resultado 
pode ser visto na resposta do item anterior: 
*kh 
). 
 
 
(d) O que representam as duas linhas e qual o significado de sua interseção? 
Respondido acima. 
 
 
(e) A partir do estado estacionário, analise os efeitos no curto e longo prazos de um 
aumento do grau de abertura à transferência de tecnologia  sobre a taxa de crescimento de h. 
Respondido acima. 
 
 
 
Questão 3 
 
 Considere uma economia em desenvolvimento que absorve as novas tecnologias 
desenvolvidas nos países mais avançados. As equações que descrevem essa economia em 
desenvolvimento são as seguintes: 
 
h
h
 
h
A
 






 
h
A
e
h
h u

 
g
 
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1) 
  



h
j
jtt xuLY
1
1 
, 
10 
 
2) 
ttt dKsYK 

 
 
3)
 









t
t
t
t
h
A
u
h
h
1 10  
 
4) 
g
A
A
t
t

 
Onde: Yt=produto agregado, Lt=estoque de trabalhadores, Kt=Estoque de capital físico, 
ht=número de bens intermediários que os trabalhadores nessa economia são capazes de usar, 
xj=quantidade utilizada do bem intermediário j, que é a mesma para todo j, u=fração do tempo 
total dedicado a produção e At=fronteira tecnológica. 
 
 
(a) Encontre a taxa de crescimento do produto agregado no estado estacionário. 
t
t
t
t
t
t
t
t
K
K
L
L
h
h
Y
Y   

)1()1(
 
No estado estacionário, sabemos que: 
t
t
K
K
 e 
t
t
h
h
 são constantes. Portanto, pelas equações (2) e (3), respectivamente, 
encontraremos que no estado estacionário: 
t
t
t
t
Y
Y
K
K


 e 
g
h
h
A
A
t
t
t
t 

 
Logo, reescrevendo a taxa de crescimento do produto agregado, temos: 
ng
L
L
h
h
Y
Y
t
t
t
t
t
t


 
 
 
 
 
(b) a quantidade de bens intermediários que os trabalhadores são capazes de usar (ht), no 
estado estacionário. 
 
 
 
Sabemos que: 
 









t
t
t
t
h
A
u
h
h
1
, 
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e que no estado estacionário 
 
g
h
h
t
t

 
Assim, temos: 
 
tt A
g
u
h .
1
1
*






 

 
 
 
 
 
 
(c) 
Qual é o produto per capita dessa economia no estado estacionário? 
 
     
 
   
 
















 



















































t
tt
h
j
jtt
A
g
u
gn
s
uhyy
gn
s
uu
gn
s
ukuyu
gn
s
k
ku
hL
Y
y
KuhLhKuLYxuLY
.
1
*))(*(*
**
1
1~
11
1
~
1
~1
1
~
~
1
~
111
1
1















 
 
















 

1
/1
* ..
)1(
gn
s
A
g
u
uy t
 
 
 
 (d) Interprete a equação (3). Analise intuitivamente o que acontece quando  
 
Quando 
 









t
t
t
t
h
A
u
h
h
1
é maior. Ou seja, os países mais distantes da fronteira 
tecnológica crescem mais rápido, se aproximando da fronteira. 
 
 
 
 
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(f) Qual o efeito de uma redução em u sobre o produto per capita no estado estacionário? 
 
Como podemos perceber, u tem um efeito ambíguo no produto per capita do estado 
estacionário, pois, embora quão menos as pessoas trabalharem, mais elas se qualificarão, no 
entanto quão menos trabalharem, menos produzirão. 
 
 
 
(f) Como um aumento na taxa de poupança (s) influencia o crescimento do produto per 
capita no curto prazo e no longo prazo? 
 
Como podemos perceber neste modelo, assim como no modelo de Solow, um aumento de s 
influencia o nível do produto no estado estacionário, mas não influencia o crescimento nele. 
Logo um aumento de s elevará o crescimento de curto prazo, mas não o crescimento de 
longo prazo. 
 
 
Questão 4 
 
 
Sobre o modelo de Romer, responda: 
(obs: as respostas aqui dão somente uma idéia geral do que vocês deveriam escrever) 
 
a) Qual o objetivo do modelo e por que nele o crescimento é endógeno? 
 O objetivo do modelo é fazer com que o motor do crescimento, a tecnologia, não seja 
mais exógena, mas o resultado de escolhas econômica racionais, internalizando assim o 
processo de escolha de investimento em pesquisa e, por conseguinte, o crescimento 
tecnológico. 
 
 
b) Caracterize o setor de bens finais. 
 O setor de bens finais se parece com o setor produtivo do modelo de Solow, é um setor 
produtivo competitivo cujos únicos fatores de produção são os bens intermediários e o 
trabalho. 
 
c) Caracterize o setor de bens intermediários. 
 O setor de bens intermediários é constituído de monopolistas que vendem seus produtos 
ao setor de bens finais e compram seus insumos do setor de pesquisa e, em decorrência das 
patentes, são monopolistas. 
 
d)Caracterize o setor de PeD. 
No setor de pesquisa e desenvolvimento a entrada de novos pesquisadores é livre, e as 
pessoas vendem os produtos inventados para o setor de bens intermediários. 
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e)Como a empresa de bens intermediários determina o preço a ser cobrado? (5.2.2 – pg 
95) 
Como ele tem como curva de demanda própria, a curva de demanda total da economia por 
aquele bem, ele pode escolher o bem que quiser, maximizando assim sua receita e 
estabelecendo o preço por seu produto igual a (1/α)r. 
 
f) Derive algebricamente a equação 5.19 do livro do Jones. 
 
g) Por que a fração da população que se dedica à pesquisa não é, em geral, ótima? 
A fração não é em geral ótima porque existe uma externalidade na produção de idéias que 
é o aumento da produtividade da pesquisa e essa externalidade não é absorvida pelos 
produtores de idéias, o que leva a uma produção sub-ótima. Ela diverge do ótimo também por 
uma externalidade negativa, associada ao efeito duplicação – também nesse caso, o sR – a 
fração da força de trabalho no setor de P&D – pode divergir do ótimo, nesse caso sendo 
superior a ele. 
 
 
h) Diferencie o argumento da teoria econômica clássica da economia das idéias quanto à 
presença de monopólios e concorrência imperfeita. 
A teoria econômica clássica nos diz que monopólios e concorrência imperfeita são sempre 
prejudiciais a economia. No entanto, isso não é verdade quando existem externalidades ou 
quando o bem é não-rival, como no caso da economia das idéias, neste caso, algum poder de 
mercado, como as patentes, pode ajudar, pois incentiva a produção desse bem. 
 
 
i) Quem é o ‘motor do crescimento’? 
O motor do crescimento é a tecnologia, mas ela não é exógena, ela é o fruto das idéias, que 
são um processo produtivo racional como os outros e, portanto, pode ser tornado endógeno. 
Ainda assim, a taxa de crescimento da economia no s.s. é meio exógena, pois dependerá de n 
(taxa de crescimento da população), de lambda e de phi, que são parâmetros exógenos no 
sentido de que políticas econômicas tradicionais não conseguem influenciá-los. 
 
 
Questão 5 
Qual a justificativa do modelo de transferência de tecnologia para a equação 6.8? 
 
Ver Jones, 6.3 e 6.4. 
 
Questão 6 
Considere uma economia com a seguinte função de produção: Yt = Kt
tLt

, onde 
0<<1, Kt é o estoque de capital agregado, Lt é o trabalho e At é a tecnologia e  é a fração da 
força de trabalho empregada na produção. 
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 O progresso tecnológico é descrito pela seguinte equação: 
   ]1[ tt LA 
 , onde 
 é um parâmetro positivo que representa a produtividade da pesquisa e 0<<1. A acumulação 
do capital agregado é dada por:
ttt KsYK 
 , onde s é a taxa de poupança e  é a taxa de 
depreciação do capital. Além disso, temos: 
n
L
L
t
t 
 .
a) Obtenha a taxa de crescimento do produto per capita no estado estacionário em função 
apenas dos parâmetros do modelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Suponha agora que o progresso tecnológico passe a depender do estoque de idéias 
existentes: 
   ttt ALA ]1[ 
 , onde 0<<
influenciam a taxa de crescimento de longo prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 7 (P2-2007/1) 
 
No modelo de Romer, a função de produção no setor de bens finais é dada por: 








 


A
j
jY
A
jjY xLdxLY
0
1
0
1 ou 
 
 
Como resultado da maximização de lucros pela firma competitiva obtém-se a demanda 
inversa pelo bem de capital do tipo j: 
 
pj(xj) = (LY/xj)
1-
. 
 
No estado estacionário 
 
n
A
A
Y
Y
A
A
L
L
t
g
A
L
A
A
g
tt
t
t
t
t
t   






0
ln]1[ 
No estado estacionário 
 
)1(
)1(0
ln]1[
)1(  











n
A
A
Y
Y
A
A
L
L
t
g
A
L
A
A
g
tt
t
t
t
t
t
 
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No setor de bens de capital, a função de produção da firma monopolista produtora de bens 
de capital é dada por xj=x, onde x é a quantidade de capital bruto necessária à produção de xj 
unidades do bem de capital especializado do tipo j utilizando-se tecnologia específica 
adquirida dos produtores de idéias no setor de P&D. O capital bruto é remunerado à taxa r. A 
firma maximiza seu lucro a partir da função de produção, sujeita à curva de demanda pelo 
bem que produz. 
 
a) Supondo perfeita simetria no setor de bens de capital (ou seja, que 
pp j 
 e 
xx j 
), derive o lucro bruto j da firma j no setor de bens de capital — i.e, o lucro acrescido 
do preço das patentes, PA, pago aos produtores de idéias no setor de P&D. 
 
0)())((':)(
)())((max
)())((




rxjpxjxjpxjCPO
xjrxjxjpj
Pajj
Pajxjrxjxjp
 
Manipulando essa igualdade, encontramos: 
]})(/)('[1/{)( xjxjpxjxjprxjp 
 (1) 
 
No setor de bens finais, sabemos que também maximizamos o lucro: 
 



A
j
jj xpwLyY
0
max
 
Achamos, pelas CPO’s: 
xjxjpxjxjpxj
wLyYLy
)(/)(')1(:
/)1(:



 (2) 
 
 
Substituindo (2) em (1): 
 
 
jxpLxj
pxLxjp
jrxjpj
y
jy





,]/[
)(
,/)(
)1/(11
11





 
 
Estoque de capital agregado: 



A
j
xjK
1
 
Logo, x=K/A. 
 
Vejamos o lucro bruto: 
 
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AY
AKALy
AKLyxjLyxjxjLy
xjpjxjpjpjxjrpjj
/)1(
/])())(1([
)/()1()1()1(
)1())(())((
1
1111












 
 
b) A partir da condição de arbitragem: 
AjA PrP
 
, derive o preço das patentes no 
estado estacionário. Qual sua relação com os lucros brutos obtidos no setor de bens de capital? 
 
)/()/( PaaPPar 
 
 
Conjectura: r é constante e 
)/( PaaP
 também é constante. Logo: 
 
PaaP //  
 
 
)/()/( PaaPPar 
 
 
Sabemos do item (a) que: 
AAYYjj ///  
 
E da primeira parte do curso, sabemos que no longo prazo: 
ngYY A /

 
 
Assim, 
PaaPngngAAYYjj AA ////
 
 
Logo: 
)/(
)/(
nrPa
nPar

 
 
O preço cobrado pelas patentes é o suficiente para fazer com que as firmas tenham lucro 
líquido zero, ou seja, é igual ao lucro bruto. 
 
c) Por que a existência de um setor monopolista e de uma legislação de patentes são 
necessários para justificar a expansão tecnológica fundada na pesquisa desenvolvida pelas 
firmas? Justifique sua resposta chamando a atenção para as características específicas deste 
bem denominado “idéia”, e mostrando que, se o ambiente fosse perfeitamente competitivo ou 
se não houvesse mecanismo de patentes, não seria possível para as firmas manter um setor de 
P & D. 
 
O preço pago às patentes justifica o incentivo à pesquisa de novas tecnologias. Se fosse 
competição perfeita, o setor de pesquisa e desenvolvimento não poderia retirar o lucro da 
firma de bens intermediários. As patentes assim, custando zero, não seriam incentivo nenhum 
à pesquisa. 
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