Apostila 4 - Medidas de Posição - TRANPARÊNCIAS DE AULA

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Os dados abaixo representam as idades de 90 crianças de um 
condomínio de luxo. 
a) Determine a distribuição de frequências; 
b) Determine as frequências relativas. 
5 5 6 7 8 9 9 10 11 
5 5 6 7 8 9 9 10 11 
5 5 6 7 8 9 9 10 11 
5 6 6 7 8 9 9 10 11 
5 6 6 7 8 9 10 10 11 
5 6 6 7 8 9 10 10 11 
5 6 6 7 8 9 10 10 11 
5 6 7 7 8 9 10 10 11 
5 6 7 8 9 9 10 11 11 
5 6 7 8 9 9 10 11 11 
Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa 
uma amostra dos salários dos funcionários de uma empresa. 
Determine as frequências relativas. 
0,06 0,31 0,48 0,61 0,8 0,86 1,29 1,5 1,66 1,79 
1,79 1,88 1,88 2,03 2,28 2,43 2,66 2,92 3,06 3,42 
3,6 3,6 3,78 3,89 4,34 4,51 4,56 4,58 4,66 4,68 
4,71 4,9 5,3 5,31 5,52 5,76 5,82 5,89 6,05 6,45 
6,56 6,65 6,7 6,9 6,95 7,05 7,12 7,44 7,49 7,55 
8,65 8,77 8,83 8,85 9,61 9,63 9,64 
MEDIDAS DE 
POSIÇÃO CENTRAL 
4 
MEDIDAS ÚTEIS PARA A DECISÃO 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL 
Média 
Mediana 
Moda 
 
2 
MÉDIA 
 Mais usual das medidas 
estatísticas 
contagem
soma
média 
Dados não tabulados 
n
X
Xou i


SÍMBOLOGIA 

x
População 
Amostra 
1. Determinar a média para os dados 
abaixo: 
 
 2, 2, 8, 11, 13, 17, 22, 30 
EXEMPLO 
MÉDIA PONDERADA 
Dados tabulados 
n
fX
X
ii

3 
Determinar a média para as distribuições 
abaixo: 
Xi fi 
22 11 
52 41 
62 13 
82 21 
EXEMPLO 
Determinar a média para as distribuições 
abaixo: 
 Xi fi 
12 |— 15 11 
15 |— 18 100 
18 |— 21 18 
21 |— 24 11 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
Uma empresa de aviação observou em seus registros, o 
tempo, em horas, de mão-de-obra gasto na revisão completa 
de um motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça uma tabela de distribuição de frequências. Determine o 
número médio de horas de mão-de-obra necessário para a 
revisão do motor. 
0 1 4 7 9 11 14 16 18 
0 2 4 7 9 11 14 16 19 
0 2 5 8 9 12 14 16 19 
0 2 5 8 9 12 15 16 19 
0 3 5 8 10 12 15 17 19 
0 3 5 8 10 12 15 17 20 
1 3 6 8 10 13 15 17 20 
1 3 7 8 11 13 15 17 20 
1 3 7 9 11 13 16 17 20 
1 4 7 9 11 13 16 18 20 
Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de 
supermercados, fez um levantamento do consumo 
de seu principal produto em vários supermercados 
obtendo em determinado mês, a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o consumo médio deste produto por 
supermercado pesquisado. 
EXEMPLO 
Número de unidades consumidas Número de supermercados 
50 |— 100 10 
100 |— 150 15 
150 |— 200 25 
200 |— 250 42 
250 |— 300 15 
300 |— 350 30 
4 
CUIDADO COM AS MÉDIAS!!! 
Aparências 
podem enganar! 
MAIOR PROBLEMA DA MÉDIA … 
Maldição 
dos 
extremos 
ou outliers 
Extremos distorcem 
algumas medidas 
Eu venho 
para 
bagunçar 
!!! 
SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA … 
Remover 
os extremos!! 
PESQUISA SOBRE REMUNERAÇÃO 
 Empresa paga $400,00 aos 
estagiários de Administração 
 Quer saber … 
É muito ou pouco? 
 Coletou amostra de dados 
 Dados: 
{300; 350; 6000; 340; 310; 380} 
contagem
soma
média 
7680 
6 
$1.280,00 
Pouquíssimo!!
! 
5 
ORGANIZANDO OS DADOS … 
 Dados: 
{300; 350; 6000; 340; 310; 380} 
 Rol: 
{300; 310; 340; 350; 380; 6000} 
 
 
$400,00 
Extremo distorce a média! 
 Rol sem extremo: 
{300; 310; 340; 350; 380} 
 
 
Média = 1680/5 = $336,00 
Alto! 
O CENTRO DOS DADOS 
ORDENADOS 
Onde 
está o 
centro 
??? 
MEDIANA 
 Valor central de uma série ordenada de 
dados (Rol) 
{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2} 
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10} 
Ordenando no Rol 
3 menores 
3 maiores 
{2; 3; 4; 8; 9; 10} 
n par? 
mediana = 6 
DADOS NÃO TABULADOS 
n  ímpar 
1º - Ordenar os valores 
2º - Verificar se n é impar ou par 
n  ímpar: 
 
EMd = 
 
3º - Calcular o EMd 
4º - Localizar a Md através do EMd 
2
1n
6 
1. Determinar a mediana para os dados 
abaixo: 
 X = 15, 16, 10, 16, 11, 20, 11 
EXEMPLO DADOS NÃO TABULADOS 
n  par 
 
1º - Ordenar os valores 
2º - Verificar se n é impar ou par 
n  par: 
 
EMd = 
 
EMd = 
 
3º - Calcular o EMd 
4º - Localizar a Md através do EMd 
2
n
2
2n
1. Determinar a mediana para os dados 
abaixo: 
 Y = 4,4 ; 8,7 ; 10,23 ; 15,12 
EXEMPLO 
2. Determinar a mediana para os dados 
abaixo: 
 X = 2, 3, 5, 8, 17, 82, 27, 11, 4, 2, 2 
 
 Y = 6, 11, 16, 21, 3, 8, 5, 14 
EXEMPLO 
7 
DADOS TABULADOS NÃO 
AGRUPADOS 
n  ímpar 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada 
2º - Verificar se n é impar ou par 
n  ímpar: 
 
EMd = 
 
 
3º - Calcular o EMd 
4º - Localizar a Md através do EMd dentro da Fa 
 
2
1n
1. Determinar a mediana: 
 
 
Xi fi 
20 11 
30 14 
40 14 
50 12 
EXEMPLO 
DADOS TABULADOS NÃO 
AGRUPADOS 
n  par 
 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada 
2º - Verificar se n é impar ou par 
n  par: 
 
EMd = 
 
EMd = 
 
3º - Calcular o EMd 
4º - Localizar a Md através do EMd dentro da Fa 
 
2
n
2
2n
2. Determinar a mediana: 
 
 
Xi fi 
7 5 
8 20 
9 19 
10 10 
11 6 
EXEMPLO 
8 
 
DADOS TABULADOS AGRUPADOS 
 
1º - Verificar se a coluna de Xi está 
 ordenada 
2º - Calcular a posição da mediana 
 
 
3º - Identificar o EMd na Fa 
4º - Aplicar a fórmula: 
 
 
2
n
EMd 
h.
f
FE
lMd
MdE
i
aaMd
i


1. Determinar a mediana: 
 
 Xi fi 
40 |— 50 22 
50 |— 60 25 
60 |— 70 18 
70 |— 80 13 
80 |— 90 11 
90 |— 100 11 
EXEMPLO 
Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma 
nova ração para animais, em termos de ganho de 
peso, mostrou que houve um aumento de peso , 
em kg, conforme dados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Determinar a distribuição de frequências, as 
frequências relativas, a média e a mediana 
EXEMPLO 
0,2 0,4 0,4 0,4 0,5 0,6 
0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 
1,1 1,1 1,2 1,8 2 2,1 
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,9 
3,3 3,5 4 4,1 4,9 5,1 
5,9 6 6,1 6,2 6,5 6,6 
O QUE É MAIS FREQUENTE 
Será que 
está na 
moda
??? 
9 
MODA 
 Valor que se repete com maior frequência 
{2; 3; 4; 7; 7; 9; 10} 
{2; 2; 4; 7; 7; 9; 10} 
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10} 
unimodal 
bimodal 
amodal 
{2; 2; 4; 7; 7; 9; 9;10} 
polimodal 
DADOS NÃO TABULADOS 
A determinação 
é imediata 
1. Determinar a moda para os dados 
abaixo: 
 
X = 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 15, 18 
 
Y = 12, 12, 15, 16, 16, 16, 19, 20, 20, 20 
 
W = 22, 22, 22, 22, 25, 26, 26, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 33 
 
Z = 32, 32, 35, 35, 36, 36, 39, 39, 40, 40 
EXEMPLO 
TABULADOS NÃO AGRUPADOS 
A moda será o 
valor de Xi 
correspondente 
à maior 
frequência. 
10 
1. Determinar a moda: 
 
 
Xi fi 
20 30 
40 52 
60 28 
80 7 
90 3 
EXEMPLO 
2. Determinar a moda: 
 
 Xi fi 
4 11 
8 50 
12 100 
16 80 
20 100 
EXEMPLO 
TABULADOS AGRUPADOS 
EM CLASSES 
1º - Identificar a classe 
modal 
2º - Aplicar a fórmula : 
h.lMo
21
1
i



1. Determinar a moda: 
 
 Xi fi 
0 |— 10 10 
10 |— 20 50 
20 |— 30 20 
30 |— 40 32 
40 |— 50 15 
50 |— 60 30 
EXEMPLO 
11 
Uma máquina produz peças que são embaladas em 
caixas contendo 48 unidades. Uma pesquisa 
realizada em 59 caixas, revelou a existência de 
peças defeituosas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar a distribuição de frequências, as 
frequências relativas, a média, a mediana
e a moda 
EXEMPLO 
0 1 1 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 2 3 4 5 
0 1 3 4 4 5 
0 1 3 4 4 5 
0 1 3 4 4 5 
0 1 3 4 5 5 
0 1 3 4 5 
O consumo de energia elétrica verificado em 250 
residências de família da classe média, com dois 
filhos, revelou a distribuição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar as frequências relativas, a média, a 
mediana e a moda 
EXEMPLO 
Consumo kwh No. de famílias 
0 |— 50 20 
50 |— 100 150 
100 |— 150 320 
150 |— 200 470 
200 |— 250 500 
250 |— 300 800 
300 |— 350 240 
Calcule a moda das séries abaixo: 
 
a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7 
 
b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3 
 
c) 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 
 
d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11 
 
e) 2, 5, 9, 8, 10, 12 
EXEMPLO