Apostila 6 - Probabilidade - TRANSPARÊNCIAS DE AULA

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PROBABILIDADE 
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1 - CONCEITOS PRELIMINARES 
Em geral, um experimento 
determinístico, ao ser observado e 
repetido sob um mesmo conjunto 
específico de condições conduz 
invariavelmente ao mesmo resultado. 
Existem experimentos que 
apresentam um novo resultado a 
cada realização, mesmo que sob 
condições idênticas. 
A variabilidade no resultado destes 
experimentos estatísticos é objeto de 
estudo da Teoria de Probabilidade. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Um experimento é dito 
aleatório quando o seu 
resultado não for previsível 
antes da sua realização, ou 
seja, é um experimento cujos 
resultados estão sujeitos 
unicamente ao acaso. 
 
EXEMPLOS 
1. No lançamento de um dado honesto, observe 
o número da face voltada para cima. 
2. No lançamento de uma moeda por quatro 
vezes, observe o número de caras obtido. 
3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. 
Observe o seu tempo de vida. 
4. Observe o tempo de espera de uma 
determinada pessoa numa fila para 
atendimento. 
5. Peças são fabricadas até que 10 peças 
perfeitas sejam produzidas. O número total 
de peças é observado. 
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ESPAÇO AMOSTRAL 
 Espaço amostral é o conjunto de 
todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório. Geralmente é 
denotado como S. 
EXEMPLOS 
1. No lançamento de um dado honesto, observe o 
número da face voltada para cima. 
 
2. No lançamento de uma moeda por quatro vezes, 
observe o número de caras obtido. 
 
3. Uma lâmpada ao ser fabricada e ensaiada. 
Observe o seu tempo de vida. 
 
4. Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas 
sejam produzidas. O número total de peças é 
observado. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
S = {0, 1, 2, 3, 4} 
S = {t  R | t  0} 
S = {10, 11, 12, 13,….} 
EXEMPLOS 
EXEMPLO: 
Lançamento de dois dados. 
 1 2 3 4 5 6 
1 11 12 13 14 15 16 
2 21 22 23 24 25 26 
3 31 32 33 34 35 36 
4 41 42 43 44 45 46 
5 51 52 53 54 55 56 
6 61 62 63 64 65 66 
EXEMPLOS 
EXEMPLO: Baralho de 52 cartas. 
 
 
 
 
Às, 
2 ... 10 
 Rei, Dama, Valete 
 
Às, 
2 ... 10 
 Rei, Dama, Valete 
Às 
2 ... 10 
Rei, Dama, Valete 
Às 
2 ... 10 
Rei, Dama, Valete 
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DIAGRAMA DE ÁRVORE 
EXEMPLO: Um experimento consiste em se 
jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, 
caso ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no 
primeiro lançamento, então um dado é lançado 
uma única vez. Listar os elementos de S. 
 
EVENTOS 
 
 É qualquer subconjunto 
de um espaço amostral. 
Geralmente denotado por 
uma letra maiúscula. 
 Dizemos que o evento A 
ocorre se qualquer um 
dos resultados de E 
ocorre. 
 
EXEMPLOS 
Considere a jogada de um dado e observe o 
número da face voltada para cima. 
O espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
O evento A = número par é o conjunto: 
A = {2, 4, 6} 
 
O evento B = número maior que 5 é o conjunto: 
B = {6} 
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EVENTOS 
 EVENTO SIMPLES: 
formado apenas por um elemento do 
 espaço amostral 
 
Ex.:  = lançamento de um dado 
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 C = sair face 4 
 C = { 4 } 
 EVENTO COMPOSTO: 
formado por dois ou mais elementos 
do espaço amostral 
 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
D = sair face maior que 3 
 
EVENTOS 
D = { 4, 5, 6 } 
Evento Certo 
EVENTOS 
ocorre em qualquer das 
realizações do experimento 
 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
E = sair face menor que 7 
 
 EVENTO IMPOSSÍVEL: 
não ocorre em qualquer realização do 
experimento 
Ex.: 
 = lançamento de um dado 
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
F = sair face maior que 6 
 
EVENTOS 
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OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento União: (A  B) 
 
S 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento Interseção: A ∩ B 
 
S 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Evento complementar: AC 
 
S Ac 
OPERAÇÕES COM EVENTOS 
 Eventos Mutuamente Exclusivos 
S 
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EXEMPLOS 
Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço 
amostral e os eventos: 
a) faces iguais; 
b) cara na 1ª. moeda; 
c) coroa na 2ª. e 3ª. moedas. 
 C K 
C CC CK 
K KC KK 
 CC CK KC KK 
C CCC CCK CKC CKK 
K KCC KCK KKC KKK 
2 MOEDAS 
3 MOEDAS 
a) A = { ccc ; kkk } 
b) B = { ccc ; cck ; ckc ; ckk } 
c) C = { ckk ; kkk } 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A 
 N. º total de casos possíveis 
Retira-se uma carta de um baralho completo 
de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um 
Às? 
AXIOMAS 
 0  P(A) 1, para todo A 
 
 P(S) = 1 
 
 P( ) = 0 
 
 
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DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Seja  = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. 
Qual a probabilidade de se obter pelo menos 1 cara ? 
Um dado é construído de tal forma que um número par é 
duas vezes mais provável de acontecer do que um ímpar. 
Seja A = um número menor que 4 ocorre. 
Calcular P(A) 
Seja o mesmo dado do exercício anterior 
B - um número par ocorre 
C - um número divisível por três ocorre 
Calcular: 
a) P(B  C) 
b) P(B  C) 
TEOREMA DA SOMA 
P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A  B) , se A  B   
P (A+B) = P (A) + P(B) , se A  B =  
Retira-se uma carta de um baralho completo 
de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei 
ou uma carta de espadas? 
EXEMPLO 
Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e três pretas. 
Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a 
probabilidade de escolher: 
a) 1 vermelha 
b) 1 azul ou 1 preta 
A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a 
probabilidade de passar em Inglês é 4/9. Se a probabilidade de 
Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual a probabilidade 
de que Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Sendo A e B eventos, define-se a probabilidade 
condicional do evento A dado que B ocorreu 
(ou probabilidade de A sabendo-se que B 
ocorreu) por: P(A / B) 
 
 )B(P
)BA(P
 P(A/B)


 , se P(B)  0 
 
Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
)B/A(P

 
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EXEMPLO 
Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. 
Sejam os eventos: 
A= {sair o número 3} e B = {sair um número ímpar} 
Calcular P(A), dado que já ocorreu o evento B. 
Dois dados são lançados. Considere os eventos: 
A= {(x1, x2) | x1 + x2 = 10} 
B = {(x1, x2) | x1 > x2} 
Determinar: 
a) P(A) 
b) P(B) 
c) P(A/B) 
d) P(B/A) 
EXEMPLO 
Sendo P(A) = 1/3 , P(B) = ¾ e P(A U B) = 11/12 , calcular 
P(A/B). 
Numa dada cidade, tem-se a seguinte situação: 
Qual a probabilidade de um homem ser escolhido, dado 
que está empregado? 
EXEMPLO 
A probabilidade de um voo regular partir no horário é P (D) = 0,83 ; a 
probabilidade deste voo chegar no horário é P(A) = 0,82; a probabilidade de que 
parta e chegue no horário P(D∩A) = 0,78. Calcule: 
a) A probabilidade do voo chegar no horário tendo saído no horário e 
b) A probabilidade do voo ter saído no horário dado que chegou no horário. 
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EVENTOS INDEPENDENTES 
 
 Se A e B são independentes, então: 
 
 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) 
 
EXEMPLO 
Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável 
Sejam A = {1, 2} B = {2, 3} C = {4}, três eventos de S. 
Verificar quais eventos são independentes. 
EXEMPLO 
Lança-se um par de dados não-viciados. 
Determine:
a) A probabilidade de ocorrer face dois em qualquer um 
deles. 
 
b) A probabilidade da soma das faces ser 6. 
 
c) Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a 
face 2 em qualquer um deles? 
 
d) Os eventos soma é 6 e face 2 em qualquer um deles, 
são independentes? 
TEOREMA DO PRODUTO 
 
 P(A  B) = P(A). P(B/A)  se A e B forem 
 dependentes 
 P(A  B) = P(A). P(B)  se A e B forem 
 independentes 
 
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EXEMPLO 
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são 
retiradas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? 
Um saco contém 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Um segundo 
saco contém 3 bolas brancas e 5 pretas. Uma bola é retirada do 
primeiro saco e colocada no segundo. Qual a probabilidade de 
se retirar uma bola preta do segundo saco? 
Uma pequena cidade tem um extintor de incêndio e uma 
ambulância disponíveis para emergências. A probabilidade do 
extintor estar disponível quando necessário é de 0,98 e a 
probabilidade da ambulância estar disponível quando chamada é 
de 0,92. No caso de um acidente com vítimas resultante de um 
incêndio em um edifício, qual a probabilidade de que tanto o 
extintor como a ambulância estejam disponíveis ? 
TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 Supondo que os eventos A1 , A2 , ... , Ai, 
constituam uma partição de S, então: 
 
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) = P(Ai).P(B/Ai) 
 
EXEMPLO 
Em uma fábrica, 3 máquinas B1, B2 e B3 fazem, 
respectivamente, 30%, 45% e 25% dos produtos. Sabe-se de 
experiências passadas que 2%, 3% e 2%, respectivamente 
dos produtos fabricados são defeituosos. 
Suponha que um produto seja escolhido ao acaso. Qual a 
probabilidade de ele ser defeituoso ? 
 
TEOREMA DE BAYES 
Seja B um evento desse espaço amostral. Sejam conhecidas P(A) e 
P(B/A). Então: 
 
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EXEMPLO 
No exemplo anterior, um produto foi escolhido ao acaso e 
verificou-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de ter 
sido fabricado pela máquina B3 ? 
 
 
EXEMPLO 
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola 
também ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual 
a probabilidade da bola ter vindo da urna 1 ? E da urna 2 ?