CTRABALHOMATERIAL_2012MATERIA_2OSEMESTREPOI_PUCPOSOTIMO

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Análise de Sensibilidade (ou Pós-Otimalidade) 
 
Considerações gerais 
 
A análise de sensibilidade é o estudo de como variações nos parâmetros do problema de 
programação linear afetam a solução ótima. Por exemplo: 
 
– Se variarmos os coeficientes da FO como isso afeta a solução ótima? 
– Se variarmos o lado direito das restrições como é que isso afeta o ótimo? 
 
Entre diversos aspectos, a análise de sensibilidades é importante porque em problemas reais é 
natural que haja modificações: preços variam ao longo do tempo, a procura varia,... A análise de 
sensibilidade confere, portanto, um caráter dinâmico a PL. 
 
A análise de sensibilidade permite identificar quais são os coeficientes relativamente aos quais a 
solução é mais sensível (esses parâmetros vão ter que ser estimados com muito mais precisão). 
 
- Alteração nos coeficientes da FO: 
 
Uma pergunta interessante é: quanto é que podemos variar o coeficiente, sem que haja alteração 
no ponto ótimo? A resposta a esta pergunta indica-nos o intervalo de otimalidade do coeficiente. O 
intervalo de otimalidade só pode ser utilizado quando apenas um dos coeficientes varia. Se os dois ou 
mais coeficientes da função-objetivo variarem simultaneamente para verificarmos o que acontece à 
solução ótima basta vermos o que acontece ao declive das curvas de nível da função objetivo. 
 
 
- Alterações no lado direito da restrição 
 
A variação no valor ótimo da função objetivo quando o lado direito de uma restrição aumenta de 
uma unidade chama-se o preço sombra ou preço dual. O preço sombra indica-nos o valor que 
implicitamente o decisor dá a ter mais uma unidade daquele recurso. Temos que ter cuidado ao usar o 
preço dual no caso de variações grandes no lado direito da restrição. Com variações grandes pode haver 
alteração do ponto extremo ótimo, e as restrições que são ativas mudam. uma restrição que não é ativa 
tem um preço dual nulo. 
Resumindo, a análise de sensibilidade tem por objetivo verificar a validade da solução obtida, 
quanto submetida a variações nos coeficientes do modelo original. Vamos aqui nos limitar a interpretar 
algumas variações fornecidas por meio da ferramenta LINDO. 
 
 O Relatório de Sensibilidade: 
Max z = 4 x1 + x2 
 sujeito a 
 9x1 + x2  18 e 
 3x1 + x2  12 
 x1  0 e x2  0 
 
 
 x1 x2 x3 x4 b i 
z 0 0 1/6 5/6 13 
R1 1 0 1/6 -1/6 1 
R2 0 1 -1/2 3/2 9 
 
Quadro final do simplex do modelo apresentado. 
 
 
Problema formulado no LINDO 
 
cujo relatório de sensibilidade gerado pela ferramenta LINDO é: 
 
 
 
 
 
 
Esse relatório é dividido em duas partes. A primeira apresenta o valor final da FO, das variáveis de 
decisão, os respectivos custos-reduzidos, as folgas (ou excessos) e os valores das variáveis duais (preços-
sombra). A outra parte mostra: 
i. Os intervalos de variação que os coeficientes na FO das variáveis dde decisão podem 
sofrer sem alterar o esquema ótimo. 
ii. as possíveis alterações que as constantes do lado direito podem sofrer, que não alteram a 
sequência básica ótima. 
 
Algumas definições na análise de resultados 
 
Sobra/Falta : A diferença entre o valor assumido por cada restrição e o seu valor correspondente no bi. 
 
Preço Sombra: O preço sombra é o valor das variáveis do problema dual. Representa a melhoria marginal 
da função objetivo (aumento para maximização e diminuição para minimização) causado pela relaxação 
da restrição em 1 unidade. A interpretação econômica seria até quanto estaríamos dispostos a pagar por 
uma unidade adicional de um recurso. 
O LINDO reporta o valor do preço-sombra como um valor positivo, negativo ou zero. Se o preço–
sombra for positivo, o incremento de uma unidade na constante da restrição resulta num aumento do valor 
da FO. Se o preço–sombra for negativo, o incremento de uma unidade na constante da restrição resulta na 
diminuição do valor da FO. O valor do preço-sombra permanecerá constante desde que o valor da 
constante fique no intervalo descrito nas duas últimas colunas (acréscimo máximo permissível e 
decréscimo máximo permissível). 
 
 
Custo Reduzido: O valor que o coeficiente da função objetivo de uma variável de decisão tem de 
melhorar (aumento para maximização e diminuição para minimização) para que a solução ótima sofra 
alteração. Também pode ser interpretado como a penalização que deverá ser paga para tornar uma 
variável básica. 
 
Coeficientes da Função Objetivo: Os limites inferior e superior dos coeficientes da função objetivo em 
que a solução ótima não sofre alteração. 
 
Valores bi: Os limites inferior e superior dos coeficientes bi (constantes do lado direito das restrições) 
podem variar mantendo os preços sombra válidos. 
 
Análise do exemplo dado: 
 
Parte das informações disponíveis no relatório de sensibilidade está no quadro final do método 
simplex. O quadro final do simplex do exemplo é: 1/6 é o 0,166666667 = 1,67; 5/6 é o 0,8333333333 = 
0,84; custos-reduzidos com valor zero podem ser tirados dos coeficientes das variáveis de decisão na 
linha correspondente á FO do quadro final simplex.