Provinha 1 - Resolução

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Microeconomia II
Resolução da Provinha 1
Maximiliano Barbosa da Silva
Universidade de São Paulo
22 de Agosto de 2011
Questão 1 (40 pontos) Considere uma economia com 2 bens e N indiví-
duos indexados por i onde a utilidade do indivíduo i é dada por ui
(
xi1, x
i
2
)
=(
2
√
xi1 + x
i
2
)i
, onde xij denota a quantidade consumida do bem j ∈ {1, 2} pelo
indivíduo i ∈ {1, 2, . . . , N}. A renda do indivíduo i é dada por mi > 0, onde
mi ≥
(
p2
p1
)2
para qualquer i ∈ {1, 2, . . . , N} onde pj é o preço do bem j.
i) (20 pontos) Para denotar a renda agregada da economia use M =
N∑
i=1
mi.
Encontre as expressões das demandas agregadas pelos bens 1 e 2.
Para encontrar a demanda agregada de cada bem, primeiramente, é necessário
calcular as demandas individuais. Como se pode perceber, todos os indivíduos
possuem a mesma relação preferência, pois as suas funções utilidade são apenas
transformações monotônicas umas das outras. Sendo assim, todos os indivívuos
terão a mesma função demanda que é obtida resolvendo o seguinte problema:
max
xi1,x
i
2
v
(
xi1, x
i
2
)
= 2
√
xi1 + x
i
2
sujeito a :
p1x
i
1 + p2x
i
2 ≤ mi;
xi1, x
i
2 ≥ 0.
As utilidades marginais, calculadas sobre v
(
xi1, x
i
2
)
, (abaixo) são estrita-
mente positivas, indicando que as preferências são (estritamente) monotônicas,
e, por este motivo, sabe-se que a restrição orçamentária vale com igualdade.
∂v
(
xi1, x
i
2
)
∂xi1
=
1√
xi1
> 0;
1
∂v
(
xi1, x
i
2
)
∂xi2
= 1 > 0.
Vale notar também que lim
xi1→0
∂v(xi1,x
i
2)
∂xi1
= +∞. Nestas condições, os indiví-
duos sempre demandam uma quantidade estritamente positiva deste bem. A
função Lagrangeana é a seguinte:
L (xi1, xi2, λ) = 2√xi1 + xi2 − λ (p1xi1 + p2xi2 −mi) .
As condições de primeira ordem são:
1√
xi1
= λp1; (1)
1 ≤ λp2, com igualdade se xi2 > 0. (2)
Além destas condições, a restrição orçamentária também deve ser respeitada.
Pela equação (1), obtém-se que λ = 1
p1
√
xi1
, que substituindo na inequação (2),
diz que:
1 ≤ p2
p1
√
xi1
. (3)
Suponha que xi2 = 0. Pela restrição orçamentária, tem-se que x
i
1 =
mi
p1
.
Substituindo na inequação (3), encontra-se que:
1 ≤ p2
p1
√
mi
p1
⇔ mi ≤ p
2
2
p1
. (4)
Logo, existem dois casos: (1) mi ≤ p
2
2
p1
, em que xi2 = 0 e (2) mi >
p22
p1
, em
que xi2 > 0. No caso (1), as demandas individuais são: x
i
1 =
mi
p1
e xi2 = 0. Já no
caso (2), as demandas individuais são: xi1 =
(
p2
p1
)2
e xi2 =
mi
p2
− p2p1 . Denote por
P o conjunto de indivíduos com renda menor ou igual a p22p1 e por R o conjunto
de indivíduos com renda estritamente superior a
p22
p1
, ou seja: P:=
{
i : mi ≤ p
2
2
p1
}
e R :=
{
i : mi >
p22
p1
}
. Então as demandas agregadas são:
X1 =
1
p1
∑
i∈P
mi + |R|
(
p2
p1
)2
; (5)
X2 =
1
p2
∑
i∈R
mi − |R|p2
p1
. (6)
ii) (20 pontos) Suponha agora que a renda dos indivíduos é redistribuída de
forma que o indivíduo com a menor renda, depois da redistribuição, ainda possui
2
uma renda maior ou igual a
(
p2
p1
)2
. As demandas agregadas por 1 e 2 irão se
alterar? Justifique sua resposta.
Seja m′i a renda do indivíduo i ∈ {1, 2, . . . , N} após uma redistribuição de
renda que atenda à condição imposta no enunciado. Defina P ′:=
{
i : m′i ≤ p
2
2
p1
}
e R′ :=
{
i : m′i >
p22
p1
}
. As demandas agregadas não se alterarão desde que∑
i∈P′
m′i =
∑
i∈P
mi, o que implica que
∑
i∈R′
m′i =
∑
i∈R
mi, e |R| = |R′|.
Questão 2 (20 pontos) Suponha que x∗1 (α) e x
∗
2 (α) são a solução do problema:
max
x1,x2
f (x1, x2, α) sujeito a g (x1, x2, α) = 0.
Defina H (α) ≡ f (x∗1 (α) , x∗2 (α) , α)+λ∗ [0− g (x∗1 (α) , x∗2 (α) , α)], isto é, H (α)
é o valor máximo do problema acima para um dado α. Mostre que ∂H(α)∂α =
∂f(x∗1(α),x
∗
2(α),α)
∂α − λ∗ ∂g(x
∗
1(α),x
∗
2(α),α)
∂α . (Dica: Utiliza as condições de primeira
ordem do problema acima).
Como se sabe, resolver o problema original é equivalente a resolver o seguinte
problema:
max
x1,x2,λ
H (x1, x2, α, λ) = f (x1, x2, α) + λ [0− g (x1, x2, α)] .
Assumindo que f (·) e g (·) são diferenciáveis, as condições de primeira ordem
estabelecem que:
∂f (x∗1, x
∗
2, α)
∂x1
− λ∗ ∂g (x
∗
1, x
∗
2, α)
∂x1
= 0; (7)
∂f (x∗1, x
∗
2, α)
∂x2
− λ∗ ∂g (x
∗
1, x
∗
2, α)
∂x2
= 0; (8)
g (x∗1, x
∗
2, α) = 0. (9)
Resolvendo este sistema encontram-se x∗1 = x
∗
1 (α), x
∗
2 = x
∗
2 (α) e λ
∗ = λ∗ (α)
como funções implícitas de α, que, pelo teorema da função implícita, são difer-
enciáveis em torno de α. Sendo assim, derivando H (α) ≡ f (x∗1 (α) , x∗2 (α) , α)+
λ∗ (α) [0− g (x∗1 (α) , x∗2 (α) , α)] em relação a α, obtém-se que:
∂H (α)
∂α
=
[
∂f (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂x1
+ λ∗ (α)
∂g (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂x1
]
∂x∗1 (α)
∂α
+
+
[
∂f (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂x2
+ λ∗ (α)
∂g (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂x2
]
∂x∗2 (α)
∂α
+
+
∂λ∗ (α)
∂α
g (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)+
+
∂f (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂α
− λ∗ (α) ∂g (x
∗
1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂α
. (10)
3
Pelas condições de primeira ordem, obtém -se que:
∂H (α)
∂α
=
∂f (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂α
+ λ∗ (α)
∂g (x∗1 (α) , x
∗
2 (α) , α)
∂α
. (11)
Questão 3 (40 pontos) Considere uma firma que possui uma função de pro-
dução dada por y = f (x1, x2) = x
1
2
1 x
1
2
2 , onde xi denota a quantidade de insumo
i ∈ {1, 2} empregado na produção do bem final y. O preço do insumo i ∈ {1, 2}
é denotado por wi.
i) (20 pontos) Suponha que no curto prazo a firma está comprometida com
4 unidades do insumo 2, i.e. x2 = 4. Suponha ainda que w1 = 1 e w2 = 2.
Monte o problema de minimização de custo da firma no curto prazo e encontre
as funções custo, custo médio e custo marginal de curto prazo desta firma.
Nas condições do enunciado, o problema que define a função custo de curto
prazo é o seguinte:
Ccp = min
x1
x1 + 8
sujeito a:
f (x1, 4) = 2x
1
2
1 ≥ y;
x1 ≥ 0.
Como o custo e a produção são estritamente crescentes em x1, a solução
deste problema é:
x1 =
1
4
y2. (12)
e, portanto, a função custo de curto prazo é dada por:
Ccp (y) =
1
4
y2 + 8. (13)
Sendo assim, a função custo médio de curto prazo é:
CMecp (y) :=
Ccp (y)
y
=
1
4
y +
8
y
. (14)
Já a função custo marginal de curto prazo é:
CMgcp (y) :=
dCcp (y)
dy
=
1
2
y. (15)
Os gráficos destas funções são apresentados abaixo:
4
ii) (20 pontos) Mostre que quando p = 1, w1 = 1 e w2 = 2 o custo de longo
prazo é sempre menor ou igual ao custo de curto prazo. Para quais níveis de
produto final os custos de curto e longo prazo seriam iguais? Justifique sua
resposta.
O custo de longo prazo é obtido resolvendo o seguinte problema:
Clp = min
x1,x2
x1 + 2x2
sujeito a:
f (x1, x2) = x
1
2
1 x
1
2
2 ≥ y;
x1, x2 ≥ 0.
Como o custo e a produção são estritamente crescentes tanto em x1 quanto
em x2, a primeira restrição vale com igualdade. Além disto, x1, x2 = 0 se y = 0
e x1, x2 > 0 se y > 0. Sendo assim, para y > 0, o problema de minimização de
custo no longo prazo pode ser escrito da seguinte maneira:
Ccp = min
x1,x2
x1 + 2
y2
x1
.
A condição de primeira ordem impõe que:
1− 2
(
y
x1
)2
= 0⇔ x1 =
√
2y. (16)
5
Logo:
Clp (y) =
√
2y + 2
y2√
2y
=2
√
2y. (17)
Subtraindo a função custo de longo prazo da função custo de curto prazo,
obtém-se que:
Ccp (y)− Clp (y) = 1
4
y2 − 2
√
2y + 8. (18)
Denote por y˜ o nível de produção tal que Ccp (y)− Clp (y) = 0. Então:
1
4
y˜2 − 2
√
2y˜ + 8
= 0. (19)
Resolvendo esta equação de segundo grau pela fórmula de Bhaskara:
y˜ =
2
√
2±
√(
2
√
2
)2 − 4 · 14 · 8
2 14
= 4
√
2. (20)
Portanto, o custo de curto prazo é igual ao custo de longo prazo apenas
quando o nível de produção é y˜ = 4
√
2. Como Ccp (y) − Clp (y) = 8 > 0,
segue-se que Ccp (y) > Clp (y) para todo y 6= 4
√
2 porque
d [Ccp (y)− Clp (y)]
dy
=
1
2
y − 2
√
2 > 0⇔ y > 4
√
2. (21)
Isto significa que a diferença entre custo de curto prazo e o custo de longo
prazo diminui para y ∈ [0, 4√2) até atingir o mínimo em y = 4√2 e, então,
aumenta para y > 4
√
2. Graficamente:
6
7