Provinha 5 - Resolução

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Microeconomia II
Resolução da Provinha 5
Maximiliano Barbosa da Silva
Universidade de São Paulo
28 de Novembro de 2011
Questão 1 (50 pontos) Considere dois fazendeiros, 1 e 2, que criam vacas, para a produção de
leite, em um pasto comum. A quantidade de vacas mantidas no pasto por cada fazendeiro é dada
por qi, (i = 1, 2). O valor (ou qualidade) do leite produzido por vaca depende da quantidade total
de vacas no pasto, através da função vi (q1, q2) = 120− q1 − q2, onde v (·) denota o valor do leite por
vaca. O payoff do fazendeiro i, ui (q1, q2), é dado pelo valor do leite produzido pelas suas vacas, isto
é ui (q1, q2) = qiv (q1, q2).
(a) (15 pontos) Encontre o equilíbrio de Nash deste jogo. Isto é, em equilíbrio, quantas vacas cada
fazendeiro irá manter no pasto.
O fazendeiro i resolve o seguinte problema:
max
qi≥0
qi (120− qi − q−i) .
Assumindo solução interior, q∗i > 0, a condição de primeira ordem estabelece que:
120− 2q∗i − q−i = 0. (1)
Em equilíbrio de Nash, a equação (1) deve ser válida para todo i. Note também que todos os
fazendeiros são idênticos, o que implica que q∗i = q
∗
para todo i. Sendo assim, no equilíbrio de Nash
tem-se o seguinte:
120− 2q∗ − q∗ = 0⇔ q∗ = 40. (2)
Note que no equilíbrio de Nash, o payoff de cada fazendeiro é 1600 > 0, o que valida a hipótese de
que q∗i > 0.
b) (15 pontos) Se os fazendeiros fizessem um acordo para produzir leite conjuntamente, quantas
vacas seriam mantidas no pasto? Os fazendeiros sustentariam tal acordo em equilíbrio? Justifique a
sua resposta.
Se os fazendeiros fizessem tal acordo, eles maximizariam o payoff conjunto, o que significa que eles
resolveriam o seguinte problema:
max
Q>0
Q (120−Q) ,
onde Q := q1 + q2. A condição de primeira ordem impõe que:
120− 2Q˜ = 0⇔ Q˜ = 60. (3)
Como os fazendeiros são idênticos, assuma que eles possuam também o mesmo poder de barganha
e que, por este motivo, q˜1 = q˜2 = 30. Se este jogo não for repetido infinitas vezes, não é possível
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que os fazendeiros sustentem este equilíbrio, pois ele não coincide com o equilíbrio de Nash. De fato,
note que, sem perda de generalidade, se o fazendeiro 2 respeita o acordo colocando apenas 30 vacas
no pasto, o fazendeiro 1 tem o incentivo a desviar do acordo e colocar mais vacas. Ou seja, dado que
o fazendeiro 2 possui 30 vacas no pasto, o fazendeiro 1 depara-se com o seguinte problema:
max
q1≥0
q1 (120− q1 − 30) .
Pela condição de primeira ordem:
90− 2qˆ1 = 0⇔ qˆ1 = 45. (4)
c) (20 pontos) Suponha agora que o valor do leite produzido pelas vacas do fazendeiro 1 depende
da realização de uma variável aleatória t, tal que v1 (q1, q2) = t − q1 − q2. Com probabilidade 2/3
temos t = 130 e com probabilidde 1/3 temos t = 100. O fazendeiro 1 conhece a realização da variável
aleatória t, mas o fazendeiro 2 não conhece. O valor do leite produzido pelas vacas do fazendeiro 2
continua sendo v2 (q1, q2) = 120− q1 − q2. Encontre o Equilíbrio Bayesiano deste jogo.
O problema do fazendeiro 1 é:
max
q1≥0
q1 (t− q1 − q2) .
A condição de primeira ordem diz que:
t− 2q∗1 − q2 = 0⇔ q∗1 (t) =
t− q2
2
. (5)
A problema do fazendeiro 2 é:
max
q2≥0
2
3
q2 (120− q1 (130)− q2) + 1
3
q2 (120− q1 (100)− q2) .
Pela condição de primeira ordem:
2
3
(120− q1 (130)− 2q∗2) +
1
3
(120− q1 (100)− 2q∗2) = 0. (6)
No equilíbrio de Nash, as equações (5) e (6) devem ser respeitadas simultaneamente, ou seja, deve-se
resolver o seguinte sistema de equações:
q∗1 (130) =
130− q∗2
2
; (7)
q∗1 (100) =
100− q∗2
2
; (8)
2
3
(120− q1 (130)− 2q∗2) +
1
3
(120− q1 (100)− 2q∗2) = 0. (9)
Substituindo as equações (7) e (8) em (9), encontra-se que:
2
3
(
120− 130− q
∗
2
2
− 2q∗2
)
+
1
3
(
120− 100− q
∗
2
2
− 2q∗2
)
= 0⇔ q∗2 = 24. (10)
Plugando (10) em (7) e (8), tem-se que:
q∗1 (130) =
130− 24
2
= 53. (11)
2
q∗1 (100) =
100− 24
2
= 38. (12)
Concluindo, o equilíbrio de Nash Bayesiano é dado por q∗1 (130) = 53, q
∗
1 (100) = 38 e q
∗
2 = 24.
Questão 2 (50 pontos) Considere um mercado onde existemN firmas indexadas por i ∈ {1, 2, . . . , N}
produzindo um mesmo produto denotado por y. A demanda por este produto é dada por y = 100− p.
A firma 1, indexada por i = 1, é uma firma líder em preço. Todas as demais firmas, indexadas por
i > 2, são firmas seguidoras, ou seja, escolhem quanto devem produzir dado o preço escolhido pela
firma líder. A função custo da firma líder, firma 1, é c1 = y1. A função custo das firmas seguidoras,
i.e. para i > 2, é dada por ci = y
2
i
2(i−1) .
a) (25 pontos) Suponha que N = 3, encontre p e yi para i ∈ {1, 2, 3} vigentes no Equilíbrio de Nash
Perfeito em Subjogos deste mercado. Mostre seus cálculos.
Sendo as firmas 2 e 3 tomadoras de preço, estabelecido pela firma 1, elas maximizam lucro igualando
preço a custo marginal. Ou seja, a firma 2 determina y2 resolvendo a seguinte equação:
y∗2 = p (13)
e a firma 3 determina y3 resolvendo a seguinte equação:
y∗3 = 2p. (14)
A firma 1, conhecendo as funções de melhor resposta das firmas 2 e 3, dadas pelas equações (13) e
(14), respectivamente, resolve o seguine problema:
max
p≥0
p (100− p− 2p− p)− (100− p− 2p− p) .
Segundo a condição de primeira ordem:
100− 8p∗ + 1 + 2 + 1 = 0⇔ p∗ = 13. (15)
Plugando (15) em (13), em (14) e na função demanda, encontram-se as quantidades vendidas pelas
empresas: y∗1 = 48, y
∗
2 = 13 e y
∗
3 = 26.
b) (25 pontos) Suponha que N = 10, encontre o preço, p, vigente no Equilíbrio de Nash Perfeito em
Subjogos deste mercado. O que ocorre na medida em que N fica arbitrariamente grande? Justifique
sua resposta.
Seja i > 1 uma firma seguidora e, portanto, tomadora do preço estabelecido pela firma 1. Esta
firma maximiza lucro igualando preço a custo marginal. Ou seja, a firma i determina yi resolvendo a
seguinte equação:
y∗i = (i− 1) p. (16)
Assim, se existem N firmas, a quantidade ofertada pelas seguidoras é:
Ys =
N∑
i=2
(i− 1) p
=
pN (N − 1)
2
. (17)
Se N = 10, pela equação (17), as seguidoras ofertam Ys = 45p. Sabendo disto, a firma líder resolve
o seguinte problema:
max
p≥0
p (100− 45p− p)− (100− 45p− p) .
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Assumindo solução interior, a condição de primeira ordem diz que:
100− 92p∗ + 46 = 0⇔ p∗ = 73
46
. (18)
Logo, a oferta da firma líder é y∗1 = 27 e a firma seguidora i oferta y
∗
i =
73(i−1)
46 .
Para determinar formalmente o que acontece quando N fica arbitrariamente grande, considere o
problema geral da firma líder:
max
p≥0
p
(
100− pN (N − 1)
2
− p
)
−
(
100− pN (N − 1)
2
− p
)
. (19)
Pela condição de primeira ordem:
100− p∗N (N − 1)− 2p∗ + N (N − 1)
2
+ 1 = 0⇔ p∗ = 202 +N (N − 1)
2 [N (N − 1) + 2] . (20)
Consequentemente, pela equação (20), lim
N→∞
p∗ = 12 e, pela equação (17), limN→∞
Ys = ∞. Porém,
nesta situação lim
N→∞
pi1 = −∞. Com isto, conclui-se que existe uma quantidade máxima de firmas
seguidoras que sustenta esta estrutura de mercado, pois, caso este número de firmas seguidoras torne-
se suficientemente grande, a firma líder passa a ter prejuízo e deve sair do mercado.
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