P1.2010.2 - Gabarito

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
MICROECONOMIA III - 2010.2
Professores: Antônio Marcos Hoelz Ambrozio, Hamilton Kai e Sheila Najberg
Monitores: Gabriela Rochlin e Murilo Fonseca
Nome completo:_________________________________________________________
 1º Prova
1º questão (2,5 pontos): Considere o jogo com três jogadores abaixo:
7
	
	L
	R
	U
	0, 1, 3
	2, 0, 0
	D
	1, 1, 1
	1, 0, 0
 A
	
	L
	R
	U
	2, 2, 2
	0, 0, 0
	D
	2, 2, 0
	2, 2, 2
 B
	
	L
	R
	U
	0, 1, 0
	0, 0, 0
	D
	1, 1, 0
	1, 0, 3
 C
onde o jogador 1 escolhe entre as linhas (U ou D), o jogador 2 escolhe entre as colunas (L ou R) e o jogador 3 escolhe entre as matrizes (A, B ou C). Imagine que os jogadores 1 e 2 são firmas escolhendo investimentos, com seus payoffs sendo seus lucros, enquanto o jogador 3 é o governo escolhendo o marco regulatório, com seu payoff sendo o excedente do consumidor (esse governo não se importa com as firmas). As escolhas são feitas independente e simultaneamente.
a) (0,5 ponto) Verifique que há apenas um equilíbrio de Nash (EN) em estratégias puras. (dica: encontre o EN por eliminação iterada de estratégias fracamente dominadas – onde uma estratégia x é fracamente dominada por outra estratégia y se, para cada escolha dos rivais, o payoff obtido com y for maior ou igual que o payoff obtido com x.)
Resposta: Eliminando estratégias fracamente dominadas:
 1a iteração: jogador 2 elimina a coluna R;
 2a iteração: jogador 3 elimina a matriz C;
	 3a iteração: jogador 1 elimina a linha U;
 4a iteração: jogador 3 elimina a matriz B.
EN: (D, L, A).
b) (1 ponto) Suponha que o governo contrata um auditor independente para lançar uma moeda honesta (ou seja, probabilidade igual a ½ de chance de dar cara ou coroa), e propõe a seguinte estratégia para as firmas:
Firma 1: jogue U se der “cara” e D se der “coroa”.
Firma 2: jogue L se der “cara” e R se der “coroa”.
O governo se compromete a não tomar conhecimento do resultado do lançamento da moeda. Qual seria a melhor resposta do governo se as firmas seguirem a estratégia proposta? As firmas 1 e 2 têm incentivo a seguir a estratégia proposta acima se o governo seguir sua melhor resposta? Houve uma melhora em relação ao EN do item (a)? 
Resposta: 
Governo: se as firmas seguirem a estratégia, a melhor resposta do governo é jogar B, pois consegue um payoff de 2; se jogasse A ou C, seu payoff esperado seria de apenas 3/2.
Firma 1: se a firma 2 e o governo seguirem a estratégia e o lançamento da moeda resultar em:
	i) “cara” → se 1 desvia, seu payoff não aumenta (continua igual a 2);
 ii) “coroa” → se 1 desvia, seu payoff diminui (de 2 para zero);
Logo, a firma 1 não tem incentivo a desviar.
Firma 2: raciocínio idêntico ao da firma 1. Também não tem incentivo a desviar.
Se a proposta do governo for jogada, os payoffs de todos aumentam de 1 para 2.
c) (1 ponto) Se o comprometimento do governo não fosse crível e ele pudesse observar o resultado do lançamento da moeda antes do jogo, o equilíbrio do item (b) seria alcançado? Por quê? Qual a intuição do esquema proposto pelo governo? 
Resposta: Se o governo observasse o resultado do lançamento da moeda, ele teria incentivo a desviar. Se saísse “cara”, ele desviaria para A; se saísse “coroa”, ele desviaria para C; nos dois casos, aumentando seu payoff de 2 para 3. Sabendo disso, as firmas também não seguiriam a estratégia e voltaríamos ao caso do item a.
A intuição é que o governo, para atingir um payoff maior, deve criar um esquema que, ao mesmo tempo em que coordena as ações das firmas 1 e 2, também reduza seu payoff esperado de jogar A ou C. Esse último ponto somente irá ocorrer caso o governo não conheça o resultado do lançamento da moeda.
2º questão (3,5 pontos): Um apicultor e um floricultor são vizinhos e produzem as quantidades QA e QF, respectivamente, com custos , onde i = A, F. Há externalidades na produção de ambos, de modo que a receita de cada um deles é uma função positiva da produção do outro produtor, tal que . Suponha que existam limites na capacidade de produção, de forma que Qi ≤ 2. O objetivo de cada produtor é maximizar seu lucro individual.
a) (0,5 ponto) Se cada um escolhe seu nível de produção simultânea e independentemente, encontre a função melhor resposta de cada produtor. Represente graficamente, colocando QF no eixo vertical.
Resposta: O problema do produtor i é: 
cuja solução é a função melhor resposta . Assim: 
 
b) (0,5 ponto) Mostre que há mais de um equilíbrio de Nash (EN) em estratégias puras e interprete cada um deles. Denote por QH as quantidades do EN que implica em maior lucro, e encontre esse lucro. 
1
1
0
Q
A
Q
F
Q
A
 
(
Q
F
) = 
Q
F
1/2
Q
F
 (
Q
A
)
 
 
= 
Q
A
1/2
Das funções melhores respostas, temos: e . 
Rearranjando: e ; substituindo a segunda na primeira temos cujas soluções são ou . 
Portanto, e solucionam as equações. Logo, há dois equilíbrios de Nash. Em um deles, ninguém produz nada: dado que um não está produzindo nada, o melhor é que o outro também não produza nada; no outro, ambos produzem alguma coisa. 
O primeiro EN resulta em lucro zero; no segundo, o lucro é . Portanto, .
c) (0,5 ponto) Mostre que se cada produtor escolher o nível máximo QA = QF = 2 cada um deles terá um lucro maior que no melhor EN. Explique a intuição econômica desse resultado (Observação: por simplicidade, considere que 21/2 = 3/2.)
Resposta: Se QA = QF = 2, o lucro de cada produtor é: 
21/2.2 - 22/2 = (3/2).2 – 4/2 = 3 – 2 = 1, 
que é maior que o lucro do melhor EN encontrado no item b. 
A intuição é que, quando ambos aumentam a produção, um produz externalidade positiva para o outro: há complementaridade estratégica na produção. Essa complementaridade estratégica, no entanto, não é internalizada no processo de decisão individual, gerando um nível de produção socialmente ineficiente. 
Nos itens (d) e (e) abaixo, considere que o jogo é jogado duas vezes. O payoff desse jogo repetido é simplesmente a soma dos payoffs obtido em cada período, sem taxa de desconto.
d) (0,75 pontos) Mostre que existe uma estratégia que resulta em um ENPS em que QA = QF = 2 é jogado uma vez.
Resposta: Considere, para cada produtor, a estratégia de gatilho:
Começe escolhendo o nível de produção cooperativo Qi = 2. Caso o outro produtor também tenha produzido Qj = 2, no período seguinte produza Qi = 1; caso o outro produtor tenha desviado e escolhido qualquer outro nível de produção, faça Qi = 0.
Se ambos seguem a estratégia, os payoffs individuais serão as somas dos payoffs de cada período, já calculados nos itens anterios: 1 + ½ = 3/2 = 9/4.
Vejamos agora o payoff em caso de desvio. Dado que o outro produtor produz Qj = 2, o desvio que produz o maior ganho no primeiro período, de acordo com a função melhor resposta, é: Qi = 21/2 = 3/2, resultando no payoff
21/2.(3/2) – (3/2)2/2 = (3/2)2 – (3/2)2/2 = (3/2)2/2 = 9/8. 
No segundo período, o jogador j irá puni-lo escolhendo Qj = 0, cuja melhor resposta é Qi = 0, resultando no payoff nulo.
Assim, o payoff de cooperar é 9/4 que é maior que o payoff de 9/8 de não cooperar. Logo teremos um ENPS se ambos seguirem a estratégia de gatilho.
e) (0,5 ponto) Dê a intuição econômica (em termos de promessas e ameaças) por trás do equilíbrio do item (d). Deixe claro porque, nesse equilíbrio, as promessas e ameaças são críveis.
Resposta: Na estratégia de gatilho do item anterior, os produtores prometem jogar o melhor EN no segundo período se houver cooperação no primeiro período e prometem jogar o pior se não houver. Embora o pior EN prejudique o próprio produtor que faz a punição, trata-se de uma punição crível já que se trata de um EN, ou seja, não há incentivo a desviar. Por ser uma punição crível, isso induz à cooperação no primeiro período; se a puniçãonão fosse crível (ou seja, se houvesse incentivo a desviar), não haveria como induzir o outro produtor a cooperar no primeiro período.
f) (0,75 pontos) Suponha agora que o jogo seja repetido infinitas vezes, onde ambos os produtores têm uma taxa de desconto comum 0 < δ < 1. Encontre qual é a condição necessária para que QA = QF = 2 seja jogado em todos os períodos, supondo que, em caso de não cooperação, a punição seja passar a jogar o pior EN do jogo estágio. Explique intuitivamente o que ocorreria com essa condição se a punição fosse passar a jogar o melhor EN do jogo estágio.
Resposta: Considere, para cada jogador, a estratégia de gatilho:
Comece produzindo Qi = 2 e continue enquanto o outro produtor também produz Qj = 2. Caso o outro desvie, passe a produzir Qi = 0 em todos os períodos, a partir do período seguinte. 
A cooperação em todos os períodos resultaria em um payoff (em termos de valor presente) de 1 + δ1 + δ21 + ... = 1/(1-δ).
Em caso de desvio, o melhor é desviar no primeiro período, resultando em um payoff imediato de 9/8. A partir daí, o payoff seria nulo em todos os períodos. 
Logo, para haver cooperação, a condição necessária é que os produtores sejam suficientemente pacientes: 1/(1-δ) ≥ 9/8, ou seja, δ ≥ 1/9.
Se a punição fosse jogar o melhor EN, então o payoff de desviar seria maior que no caso acima. Assim, para que o equilíbrio cooperativo fosse sustentado, os produtores teriam que ser ainda mais pacientes. 
3º questão (4 pontos): Considere uma economia onde um determinado bem final é produzido a partir de um insumo essencial via uma relação 1-1, ou seja, uma unidade de insumo é requerida para gerar uma unidade de produto. Existem duas firmas produtoras do bem final (firmas D1 e D2) e duas firmas produtoras do insumo (firmas U1 e U2). Suponha, por simplicidade, que as firmas produtoras de insumo não tenham nenhum custo de produção (CF = CMg = 0), enquanto o único custo por unidade de produção por parte das firmas produtoras do bem final é o preço pago por unidade do insumo. Em relação à estrutura de mercado do bem final, considere dois casos:
o bem final produzido por cada firma D é completamente diferenciado, logo cada firma atua como monopolista, onde a demanda em cada mercado i é dada por P(qi) = 120 – qi. 
o bem final é homogêneo, e as firmas competem escolhendo quantidades simultaneamente, onde a demanda de mercado é dada por P(Q) = 120 – Q, Q = q1 + q2. 
(0,5 ponto) As firmas U1 e U2 produtoras de insumo competem escolhendo preços simultaneamente, onde o insumo que elas produzem é homogêneo. Determine o equilíbrio no mercado de insumos (preços cobrados por U1 e U2) e o equilíbrio no mercado de produto (quantidades produzidas por D1 e D2) nos casos (i) e (ii).
(note: no mercado de insumos (homogêneo) as firmas competem a la Bertrand, enquanto no mercado de produto há (i) monopólio ou (ii) competição de Cournot com bens homogêneos.) 
Uma vez que o mercado de insumos é competitivo e o insumo produzido é homogêneo, qualquer que seja a demanda deve valer em equilíbrio PU1 = PU2 = CMg = 0. Assim, no mercado de produto:
(i) monopólio:
max (120-Qi)Qi: obtemos Q1= Q2 = 60
 
(ii) duopólio Cournot
max qi.(120 - q1 – q2): (ou utilizando a dica no final da questão com c1 = c2 = 0) 
qi= 120/3. Logo, q1= q2=40
(1,5 pontos) Suponha agora que a firma D1 compre a firma U1 e passe a ter acesso diretamente ao insumo. Já a firma D2 só pode produzir negociando diretamente com a firma U2 (assim, CMg(q1) = 0 e CMg(q2) = p, onde p é o preço que D2 paga por unidade de insumo – que supomos seja observado por D1). Supondo que U2 tenha todo o poder de barganha na negociação (faz uma oferta de preço do tipo “pegar ou largar” para D2), determine o preço p por unidade de insumo que U2 irá cobrar nos casos (i) e (ii) e explique intuitivamente a diferença entre os preços cobrados nos dois casos (dica: lembre que o lucro da U2 depende da quantidade de insumo qD1(p) demandada por D1: p.qD1(p))
(i)
A firma U2 antecipa que a firma D2 vai maximizar lucro como monopolista. 
Decisão da firma D2 (escolhe Q): max (120-Q)*Q – pQ: Q= (120-p)/2
Decisão da firma U2 (escolhe p): max p.Q = max(p*(120-p)/2): p=60
 
(ii)
A firma U2 antecipa que a firma D2 vai maximizar lucro na competição de Cournot.
Utilizando a dica no final da questão: q*1 = (120 + p)/3 e q*2 = (120 - 2p)/3
Decisão da firma U2, para p: max p.q1 = max (p*(120-2p)/3) : p =30
 
Intuição: Em ambos os casos (i) e (ii), a firma U2 leva em conta que ao aumentar o preço que cobra pelo insumo há um ganho sobre as unidades que continua vendendo, mas há uma perda porque a firma D2 irá demandar menos. Essa perda é maior no caso (ii), uma vez que, além do desincentivo direto à produção dado pelo aumento do seu custo – também presente no caso do monopólio – a firma D2 está em interação estratégica com D1 que em equilíbrio tende a expandir sua produção quando observa o custo marginal da sua rival aumentando. A fim de minorar essa perda potencial de demanda, a firma U2 cobra um preço menor no caso (ii). 
(1 ponto) Responda intuitivamente: comparando os itens (a) e (b), a firma D1 tem incentivo a comprar U1 no caso (i) de monopólio no mercado de bens? E no caso (ii) de duopólio no mercado de bens?
A Firma D1 não tem incentivo a comprar no caso (i), já que ela já pagava zero pelo insumo e era monopolista no mercado.
No caso (ii), a firma D1, comprando ou não U1, continua tendo CMg = 0. O ponto é que agora ela está em competição de quantidade – substitutos estratégicos – com a firma D2: quanto menos D2 produzir, menor o impacto adverso sobre o preço de mercado e logo maior meu incentivo (D1) a expandir a produção. Assim, ao comprar U1, D1 torna U2 monopolista junto à D2, o que prejudica a firma D2, que deve pagar mais caro pelo insumo essencial. Dessa forma, a firma D2 acaba optando por produzir menos, fazendo com que a sua produção impacte menos no preço de mercado e beneficiando a firma D1, que tem mais espaço para produzir, ganhando maior parcela do mercado. Segue que a firma D1 tem incentivo a comprar a U1 – onde o ganho se dá não via redução de seu próprio custo, mas (em um contexto de interação estratégica) via elevação do custo de produção da rival.
(1 ponto) Suponha agora que a partir de uma situação onde U1 e D1 estão integradas, a firma D2 tenha a opcão de comprar U2. Calcule o preço máximo que D2 estaria disposta a pagar, o preço mínimo que U2 estaria disposta a vender e discuta a intuição econômica de por que (ou do por que não) o negócio é vantajoso. (dica: para simplificar, considere na sua resposta apenas o caso (i) onde D2 é monopolista) 
D2:
sem integração: sabemos que Q*= (120-p)/2, e dado P=60 (item “b”), vem Q=30, logo:
payoff sem integração: (120 - 30 – 60)*30 = 900
sem integração: comprando U2, D2 é monopolista com Cmg =0 (item “a”): Q = 60
payoff com integração: (120-60)*60 = 3600 
seque que está disposta a pagar no máximo 3600 – 900 = 2700 
U2: preço mínimo que U2 está disposta a vendar é dado pelo lucro que obtém (item “b”):
P.Q = 60*30 = 1800
É vantajoso. Os dois podem se beneficiar com a transação já que a firma D2 está disposta a pagar mais do que o preço mínimo que a U2 estaria disposta a vender. A intuição por trás disso é que na estrutura de mercado dessa questão a estrutura “verticalizada” (D2 integrada com U2) é mais eficiente que a estrutura “horizontal” (D2 e U2 independentes): a fonte de ineficiência de todo monopólio é que a firma monopolista tende a cobrar um mark-up (p > CMg); e no caso da estrutura horizontal há um duplo mark-up (dupla ineficiencia) pois U2 cobra um mark-up de D2 e D2 poer sua vez cobra um mark-up do seu consumidor final. 
Dica para a questão: em um duopólio de Cournot onde a demanda é dada por P(Q) = a – Q e as firmas têm custos marginais assimétricos c1 e c2, segue que, em equilíbrio, q1* = (a – 2c1 + c2)/3 e q2* = (a – 2c2 + c1)/3.