Trabalho - Limites

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Trabalho sobre Func¸o˜es Exponenciais e Logar´ıtmicas
Aplicac¸o˜es dos conceitos de Limite e continuidade
Adelar Martins
Sergio Aguirre
Professora: Daiana Flores
5 de outubro de 2011
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Sergio, Adelar
Func¸o˜es Logar´ıtmicas, Exponenciais, Limites, Continuidade
5 de outubro de 2011
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Suma´rio
1 Expoentes 3
1.1 Propriedades das poteˆncias de expoente inteiro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Func¸o˜es Exponenciais 3
3 Func¸o˜es Logar´ıtmicas 4
3.1 Propriedades Logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Questo˜es 7
5 Refereˆncias Bibliogra´ficas 11
Lista de Figuras
1 Func¸a˜o Exponencial com b > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Func¸a˜o Exponencial com 0 < b < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Comparac¸a˜o gra´fica ex / logx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Func¸a˜o log com a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Func¸a˜o log com 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Gra´fico da questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Gra´fico da questa˜o 4 letra c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lista de Tabelas
1 Propriedades, Domı´nio e Imagem, Exponencial e logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . 6
Resumo: Este trabalho apresenta as relac¸o˜es fundamentais sobre func¸o˜es logar´ıtmicas e exponen-
ciais, ale´m da aplicac¸a˜o da teoria de limites e continuidade.
Palavras-Chave: Func¸a˜o, Exponencial, Logar´ıtmica, Limites, Continuidade
Sergio, Adelar
Func¸o˜es Logar´ıtmicas, Exponenciais, Limites, Continuidade
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Objetivo Geral
Estudar o comportamento e as propriedades de func¸o˜es Exponenciais e Logar´ıtmicas, ale´m de
aplicar consceitos de limite e de continuidade
1 Expoentes
Algebricamente as poteˆncias inteiras na˜o nulas de um dado nu´mero real na˜o nulo b sa˜o definidas
por:
bn = b.b.b · · · .b︸ ︷︷ ︸
nfatores
b−1 = 1/bn
e se bn com n = 0 enta˜o b0 = 1 e ainda 00 = indeterminao
Ou Seja com bn n e´ o nu´mero de fatores que indica quantas multiplicac¸o˜es do nu´mero real b
seguira˜o.
E Se n < 0 significa que b sera´ a frac¸a˜o elevado ao mo´dulo de n de um nu´mero inteiro
Se n for um nu´mero fraciona´rio iredut´ıvel m/q enta˜o significa que a raiz m de b elevado a q e´ o
mesmo que bn:
bn, se
, se
n = m/q : bm/q =
q
√
bn
Se b For negativo teremos algumas poteˆncias fraciona´rias com valores imagina´rios.
1.1 Propriedades das poteˆncias de expoente inteiro:
bm · bq = bm+q (1)
bm
bq
= bm·q,b 6= 0 (2)
(a · b)m = am · bm (3)
(
a
b
)m =
am
bm
,b 6= 0 (4)
(bm)q = bm·q (5)
2 Func¸o˜es Exponenciais
f(x) = bx com b > 0 e´ denominada uma func¸a˜o exponencial de base b, ou seja, uma func¸a˜o
exponencial tem base constante e expoente varia´vel, dependendo, a sua imagem, em func¸a˜o do
expoente.
Graficamente se bn com b = 0 teˆm-se uma reta com y = 1 como imagem pois b0 = 1 ∀x ∈ R
Se 0 < b < 0 teˆm-se o espelhamento da func¸a˜o bn em relac¸a˜o ao eixo y pois b−n = ( 1b )
n e ainda
assim em n = 0 todos os gra´ficos tem imagem igual a 1.
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Figura 1: Func¸a˜o Exponencial com b > 1
Figura 2: Func¸a˜o Exponencial com 0 < b < 1
• Func¸a˜o Exponencial Natural
Denotado pela letra e que e´ um nu´mero racional aproximadamente 2,718282, essa func¸a˜o e´ de
grande importaˆncia para o ca´lculo pois e´ a u´nica base onde a inclinac¸a˜o da reta tangente coicide
com a ordenada do ponto
O Domı´nio da func¸a˜o exponencial e´ o conjunto dos nu´meros reais R∗+ estritamente positivos, ou
seja, sem o zero.
3 Func¸o˜es Logar´ıtmicas
A Func¸a˜o logar´ıtmica e´ o inverso da func¸a˜o exponencial y = ax com a > 0, e a 6= 1, e e´ denotada
por y = logax
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Figura 3: Comparac¸a˜o gra´fica ex / logx
Figura 4: Func¸a˜o log com a > 1
Figura 5: Func¸a˜o log com 0 < a < 1
O domı´nio da func¸a˜o logar´ıtmica e´ o conjunto dos reais R∗+.
A sua imagem e´ o conjunto dos nu´meros reais R.
A func¸a˜o logar´ıtimica mais importante nas aplicac¸o˜es e´ o logar´ıtmo natural, que tem base e e e´
a inversa da func¸a˜o exponencial natural ex. e e´ denotado por lnx
Graficamente a func¸a˜o logar´ıtimica y = logax e´ sime´trica a` func¸a˜o exponencial a
x em relac¸a˜o
a bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante. A Func¸a˜o logar´ıtmica e´ muito usada em va´rios
ramos da engenharia e das cieˆncias, no caso da engenharia acu´stica tambe´m faz-se muito presente,
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como exemplo a escala para quantificac¸a˜o de n´ıvel sonoro, ou mesmo de pressa˜o sonora que e´ uma
escala logar´ıtmica. No caso da pressa˜o sonora, a audic¸a˜o humana, para a frequeˆncia de refereˆncia
1.000Hz, percebe variac¸o˜es de 2·10−5 Pascal ate´ um ma´ximo de 2·102 e usando a func¸a˜o logar´ıtmica
relacionada em decibel, trata-se enta˜o de uma variac¸a˜o entre 0 e 140 dB, o que simplifica muito sua
quantificac¸a˜o.
3.1 Propriedades Logar´ıtmicas
loga(m · n) = logam + logan, 1 6= a > 0,m > 0,n > 0 (6)
loga
m
n
= logam− logan, 1 6= a > 0,m > 0,n > 0 (7)
logam
x = xlogam, 1 6= a > 0,m > 0 (8)
loga
1
m
= −logam,m 6= 0 (9)
Propriedades Comparac¸a˜o
Propriedades de bn propriedades de logax
bn = 1 loga1 = 0
b1 = b logaa = 1
Imagem (0,+∞) Domı´nio (0,+∞)
Domı´nio (−∞,+∞) Imagem(−∞,+∞)
Tabela 1: Propriedades, Domı´nio e Imagem, Exponencial e logar´ıtmica
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4 Questo˜es
Calcule os seguintes limites, ou explique porque na˜o existe:
• (a) lim
h→0
√
2h2+4−2
h
√
2h2+4−2
h ·
√
2h2+4+2√
2h2+4+2
= 2h
2+4−4
h
√
2h2+4+2
=
= 2h+4−4√
2h2+4+2
= lim
h→0
2(0)√
2(0)2+4+2
= 04
• (b) lim
x→0
x5−1
|x−1|
lim
x→0+
x5−1
|x−1| =
(x−1)x4+x3+x2+x+1
x−1 =
5
1 = 5
lim
x→0+
x5−1
|x−1| =
(x−1)x4+x3+x2+x+1
−(x−1) =
5
−1 = −5
Limites laterais 6=∴ @ limx→ 0
• (c) lim
x→2
−2+√x
x−4 =
=−2+
√
2
2−4 =
−2√2
−2 = 1 +
√
2
−2 =
• (d) lim
x→5
x2−5x+6
x−2 =
=lim
x→5
52−5(5)+6
5−2 =
6
3= 2
• (e) lim
x→1
3
√
x−1
x−1 =
=
3
√
x−1
x−1 ·
3√
x2+ 3
√
x+1
3√
x2+ 3
√
x+1
=
=x
1/3−1
x−1 · x
2/3+x1/3+1
x2/3+x1/3+1
=
x3/3+x2/3+x1/3−x2/3−x1/3−1
x−1(x2/3+x1/3+1) =
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= x−1
x−1(x2/3+x1/3+1)
= 13√
x2+ 3
√
x+1
= lim
x→1
1
3√
12+ 3
√
1+1
= 13
• (f) lim
x→∞
√
x + 1−√x2 + 4x =
√
x + 1−√x2 + 4x ·
√
x+1−√x2+4x√
x+1−√x2+4x=
= −3x√
x2+x+
√
x2+4x
=
= −3x√
x·√x+1+√x·√x+4=
−3x√
x·(√x+1+√x+4) =
−3x√
x·√x(
√
1+1/x+
√
1+4/x
=
= −3x
x·(
√
1+1/x+
√
1+4/x
=
= lim
x→∞
−3√
1+
√
1
= − 32
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1. (a) Defina o que significa dizer que a reta x = a e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de uma func¸a˜o
de x.
• A ass´ıntota vem do grego que traduz-se livremente como ”na˜o pode coicidir”, ”ASYMP-
TOTOS”quando refere-se a x = a como ass´ıntota vertical de uma func¸a˜o a partir da
aproximac¸a˜o lateral dos valores, pois a func¸a˜o ao aproximar-se de um valor x=a descreve
um comportamento indo para mais ou menos infinito, ou seja, pode se tomar um
valor
arbitra´rio ta˜o pro´ximo de a quanto queiramos, mas na˜o igual a a, e o gra´fico dessa fun-
c¸a˜o aproxima-se, crescendo ou decrescendo sem cota ajustando-se cada vez mais a` reta
vertical x = a pore´m sem ”toca´-la”, pelo lado que indica o limite.
2. (b) Defina o que significa dizer que a reta y = L e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico de uma
func¸a˜o f .
• Se dizemos que a reta y = L e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico , estamos dizendo que
o gra´fico cresce ou decresce sem parar convertendo-se para o valor de L, pore´m nunca
sendo L a medida que os valores tendem para menos e para mais infinito.
3. Seja f(x) = 1x2−4 . Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais ao gra´fico da func¸a˜o f .
• f(x) = 1x2−4
• Dom : {R− (−2, 2)}
Ass´ıntotas Verticais
lim
x→−2−
1
x2 − 4 = −∞. (10)
lim
x→−2+
1
x2 − 4 = +∞. (11)
lim
x→2+
1
x2 − 4 = +∞. (12)
lim
x→2−
1
x2 − 4 = −∞. (13)
Com isso verificamos as ass´ıntotas verticais em x = 2 e x = −2 que podem ser observadas
tambe´m graficamente.
Ass´ıntotas Horizontais
lim
x→+∞
1
x2 − 4 = 0. (14)
lim
x→−∞
1
x2 − 4 = 0. (15)
Com isso verificamos que ha´ uma ass´ıntota horizontal em y = 0 que podem ser observadas
tambe´m graficamente.
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Figura 6: Gra´fico da questa˜o 3
4. Resolva os itens abaixo:
• (a) Defina o que significa dizer que a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = a.
– Significa, em termos de limite, dizer que seu limite lateral para o ponto (a) pela
esquerda e pela direita sa˜o o mesmo e que ainda coicide com o limite no ponto (a),
satisfazendo assim as definic¸o˜es de continuidade de uma func¸a˜o.
• (b) Seja f(x):
y =
{
4− bx se x < 2
x2 − 4bx + 12 se x ≥ 2
}
Determine o valor de (b) para o qual f e´ cont´ınua em x = 2
lim
x→2−
1
4−bx = −2b + 4
lim
x→2+
x2 − 4b + 12 = −8b + 16
−2b + 4 = −8b + 16 (16)
b =
12
6
= 2 (17)
Resposta: o valor para que a f(x) seja cont´ınua em x = 2 e´ 2.
• (c) Construa um gra´fico da func¸a˜o cont´ınua da questa˜o anterior
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Figura 7: Gra´fico da questa˜o 4 letra c
5 Refereˆncias Bibliogra´ficas
Anton H.; Bivens I.; Davis S.; Ca´lculo Vol. I 8a ed.
Aula da professora.