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Universidade do Sul de Santa Catarina Palhoça UnisulVirtual 2009 Matemática Financeira Disciplina na modalidade a distância 6ª edição revista e atualizada Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Avenida dos Lagos, 41 - Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça – SC - 88137-100 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 E-mail: cursovirtual@unisul.br Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Ailton Nazareno Soares Vice-Reitor Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Willian Máximo Pró-Reitor Acadêmico Mauri Luiz Heerdt Pró-Reitor de Administração Fabian Martins de Castro Campus Sul Diretora: Milene Pacheco Kindermann Campus Norte Diretor: Hércules Nunes de Araújo Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora Adjunta: Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Gerência Acadêmica Márcia Luz de Oliveira Gerência Administrativa Renato André Luz (Gerente) Marcelo Fraiberg Machado Naiara Jeremias da Rocha Valmir Venício Inácio Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão Moacir Heerdt Clarissa Carneiro Mussi Gerência Financeira Fabiano Ceretta Gerência de Produção e Logística Arthur Emmanuel F. Silveira Gerência Serviço de Atenção Integral ao Acadêmico James Marcel Silva Ribeiro Avaliação Institucional Dênia Falcão de Bittencourt Biblioteca Soraya Arruda Waltrick (Coordenadora) Maria Fernanda Caminha de Souza Capacitação e Assessoria ao Docente Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Adriana Silveira Caroline Batista Cláudia Behr Valente Elaine Surian Patrícia Meneghel Simone Perroni da Silva Zigunovas Coordenação dos Cursos Adriana Ramme Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Bernardino José da Silva Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Eduardo Aquino Hübler Fabiana Lange Patrício (auxiliar) Fabiano Ceretta Itamar Pedro Bevilaqua Jairo Afonso Henkes Janete Elza Felisbino João Kiyoshi Otuki Jorge Alexandre Nogared Cardoso José Carlos Noronha de Oliveira Jucimara Roesler Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marciel Evangelista Catâneo Maria da Graça Poyer Maria de Fátima Martins (auxiliar) Mauro Faccioni Filho Moacir Fogaça Moacir Heerdt Nazareno Marcineiro Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Raulino Jacó Brüning Rose Clér Estivalete Beche Rodrigo Nunes Lunardelli Criação e Reconhecimento de Cursos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Desenho Educacional Carolina Hoeller da Silva Boeing (Coordenadora) Design Instrucional Ana Cláudia Taú Carmen Maria Cipriani Pandini Cristina Klipp de Oliveira Daniela Erani Monteiro Will Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Lucésia Pereira Luiz Henrique Milani Queriquelli Márcia Loch Marcelo Mendes de Souza Marina Cabeda Egger Moellwald Michele Correa Nagila Cristina Hinckel Silvana Souza da Cruz Viviane Bastos Acessibilidade Vanessa de Andrade Manoel Avaliação da Aprendizagem Márcia Loch (Coordenadora) Eloísa Machado Seemann Gabriella Araújo Souza Esteves Lis Airê Fogolari Simone Soares Haas Carminatti Design Visual Pedro Paulo Alves Teixeira (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Alice Demaria Silva Anne Cristyne Pereira Diogo Rafael da Silva Edison Rodrigo Valim Elusa Cristina Sousa Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Vilson Martins Filho Multimídia Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro Fernando Gustav Soares Lima Portal Rafael Pessi Disciplinas a Distância Enzo de Oliveira Moreira (Coordenador) Franciele Arruda Rampelotti (auxiliar) Luiz Fernando Meneghel Gestão Documental Lamuniê Souza (Coordenadora) Janaina Stuart da Costa Josiane Leal Juliana Dias Ângelo Roberta Melo Platt Logística de Encontros Presenciais Graciele Marinês Lindenmayr (Coordenadora) Aracelli Araldi Hackbarth Daiana Cristina Bortolotti Douglas Fabiani da Cruz Edésio Medeiros Martins Filho Fabiana Pereira Fernando Steimbach Letícia Cristina Barbosa Marcelo Faria Marcelo Jair Ramos Rodrigo Lino da Silva Formatura e Eventos Jackson Schuelter Wiggers Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Carlos Eduardo Damiani da Silva Geanluca Uliana Guilherme Lentz Luiz Felipe Buchmann Figueiredo José Carlos Teixeira Rubens Amorim Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (Coordenador) Andréia Drewes Anderson da Silveira Bruno Augusto Zunino Claudia Noemi Nascimento Cristiano Dalazen Débora Cristina Silveira Ednéia Araujo Alberto Fernanda Farias Jonatas Collaço de Souza Karla Fernanda W. Desengrini Maria Eugênia Ferreira Celeghin Maria Isabel Aragon Maria Lina Moratelli Prado Mayara de Oliveira Bastos Poliana Morgana Simão Priscila Machado Priscilla Geovana Pagani Tatiane Silva Produção Industrial Francisco Asp (coordenador) Ana Paula Pereira Marcelo Bittencourt Relacionamento com o Mercado Walter Félix Cardoso Júnior Secretaria de Ensino a Distância Karine Augusta Zanoni Albuquerque (Secretária de ensino) Andréa Luci Mandira Andrei Rodrigues Djeime Sammer Bortolotti Fylippy Margino dos Santos Jenniffer Camargo Liana Pamplona Luana Tarsila Hellmann Marcelo José Soares Micheli Maria Lino de Medeiros Rafael Back Rosângela Mara Siegel Silvana Henrique Silva Vanilda Liordina Heerdt Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tenille Nunes Catarina (Recepção) Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador) André Luis Leal Cardoso Júnior Felipe Jacson de Freitas Jefferson Amorin Oliveira José Olímpio Schmidt Marcelo Neri da Silva Phelipe Luiz Winter da Silva Rodrigo Battistotti Pimpão Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Matemática Financeira. O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autônoma. Com este objetivo, aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar-lhe o estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz. Lembre-se de que sua caminhada nesta disciplina será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. A indicação ‘a distância’ caracteriza tão-somente a modalidade de ensino por que você optou para a sua formação. E, nesta relação de aprendizagem, professores e instituição estarão continuamente em conexão com você. Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. Você tem à sua disposição diversas ferramentas e canais de acesso, tais como telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem, este que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual. Maurici José Dutra Palhoça UnisulVirtual 2009 Matemática Financeira Livro didático Design instrucional Daniela Erani Monteiro Will Leandro Kingeski Pacheco 6ª edição revista e atualizada Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul 513.93 D97 Dutra, Maurici José Matemática financeira : livro didático / Maurici José Dutra ; design instrucional Daniela Erani Monteiro Will, Leandro Kingeski Pacheco, [Carolina Hoeller da Silva Boeing ; assistente pedagógico Silvana Souza da Cruz, Michele Antunes Corrêa]. – 6. ed. rev. – Palhoça : UnisulVirtual, 2009. 215 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-110-0 1. Matemática financeira. I. Will, Daniela Erani Monteiro. II. Pacheco, Leandro Kingeski. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Cruz, Silvana Souza da. V. Título. Edição – Livro Didático Professor Conteudista Maurici José Dutra Design Instrucional Daniela Erani Monteiro Will Leandro Kingeski Pacheco Carolina Hoeller da Silva Boeing (4ª edição revista e atualizada) Assistente Pedagógico Silvana Souza da Cruz (5ª edição revista e atualizada) Michele Antunes Corrêa (6ª edição revista) ISBN 978-85-7817-110-0 Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Adriana Ferreira dos Santos Diogo Rafael da Silva (5ª edição revista e atualizada) Adriana Ferreira dos Santos (6ª edição revista e atualizada) Revisão de conteúdo Orlando da Silva Filho Revisão ortográfica e gramatical B2B Copyright © UnisulVirtual 2009 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE 1 – Fundamentos de matemática financeira . . . . . . . . . . . . . . . . 15 UNIDADE 2 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UNIDADE 3 – Descontos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 UNIDADE 4 – Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 UNIDADE 5 – Taxas de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 UNIDADE 6 – Descontos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 UNIDADE 7 – Equivalência de capitais a juros compostos . . . . . . . . . . . . 95 UNIDADE 8 – Sequência de capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 UNIDADE 9 – Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 UNIDADE 10 – Amortização de empréstimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 UNIDADE 11 – Inflação e correção monetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 UNIDADE 12 – Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 193 Sumário Palavras do professor Caro aluno (a), Gostaria de parabenizá-lo(a) pela sua escolha em fazer este curso. Certamente você terá condições de aprender tudo o que for necessário para o melhor aprimoramento em sua vida profissional. A disciplina Matemática Financeira, na modalidade a distância, foi desenvolvida especialmente para você, levando em consideração os aspectos particulares da formação a distância. O material didático apresenta aspectos teóricos e cálculos financeiros dentre os quais destacamos: regimes de capitalização, descontos, depreciação, inflação e correção monetária e as diversas modalidades de empréstimos que são ferramentas fundamentais na gestão financeira de qualquer empresa ou pessoa. Quanto ao seu rendimento e produtividade, sugerimos que antes de iniciar seus estudos, elabore um cronograma pessoal para que não se perca no tempo que irá despender com esta matéria. Lembramos que você não está sozinho nesta caminhada, pois estaremos sempre à disposição para ajudá-lo. Desejamos êxito na disciplina. Bom estudo! Professor Maurici José Dutra Plano de estudo O plano de estudo visa a orientá-lo(a) no desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que o(a) ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam, portanto a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos desse processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de autoavaliação); o Sistema Tutorial. Ementa Juros simples e compostos. Descontos simples e compostos. Equivalência de capitais. Taxa: nominal, efetiva e equivalente. Empréstimos de curto e de longo prazo. Sistemas de dívidas. Correção monetária, amortização e depreciação. Equivalência de fluxo de caixa. Carga horária 4 créditos - 60 horas 12 Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivos da disciplina Desenvolver os conceitos fundamentais e práticos da Matemática Financeira, fornecendo aos alunos um embasamento que servirá como pré-requisito para as futuras disciplinas nesta área. Conteúdo programático/objetivos Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Agenda de atividades/ Cronograma Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e professor. Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina. 13 Matemática Financeira Atividades obrigatórias Demais atividades (registro pessoal) UNIDADE 1 Fundamentos de matemática financeira Objetivos de aprendizagem Compreender os conceitos fundamentais de matemática financeira. Classificar e identificar os regimes de capitalização. Seções de estudo Seção 1 O que é porcentagem? Seção 2 Regimes de formação dos juros Seção 3 Fluxo de caixa 1 16 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, é necessário que você fique familiarizado com o significado de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo! SEÇÃO 1 - O que é porcentagem? Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros. Porcentagem (percentagem) A expressão por cento é usada para indicar uma fração cujo denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é substituir o denominador 100 pelo símbolo %. 1. 30 100 30= % (Trinta por cento). 2. 5 100 5= % (Cinco por cento). 3. Transformação da forma porcentual para a forma unitária. 17 Matemática Financeira Unidade 1 Forma porcentual Transformação Forma unitária 30% 30 100 0,30 5% 5 100 0,05 12,2% 122 100 0,122 Como se calcula a porcentagem de uma quantia? Quando estamos resolvendo um problema que envolva porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de proporção. 1. Qual é o valor de 35% de 70? 35 100 70 35 70 100 24 5 = = = x x . , (Aqui usando a forma porcentual) 2. Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à quantia de R$ 40,00? 160 40 1 40 160 0 25 25 = = = = x x , % (Agora usando a forma unitária) 3. Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais escrevendo a proporção) x x meninos = = 0 65 1600 1040 , . 18 Universidade do Sul de Santa Catarina Termos importantes usados na matemática financeira Observe estes termos próprios da matemática financeira, abaixo, e a utilização destes, na sequência. Capital (C) Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma determinada data. Juros (J) Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo. Prazo (n) Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado. Montante (M) Soma do capital aplicado mais os juros. M C J= + Taxa de juros (i) É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere. i J C = Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a taxa de juros do período? J C n meses i a p ou a b = = = = = = 4500 60000 2 4 500 60 000 0 075 7 5 7 5 . . , , % . . , % . .. Atenção! Comparações simples de operações aritméticas com quantias que estejam em datas diferentes ficam inviáveis, quando estudamos matemática financeira. 19 Matemática Financeira Unidade 1 SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa preestabelecida por período, este capital se transformará em um valor chamado montante de acordo com duas convenções: Regime de juros simples. Regime de juros compostos. Regime de juros simples No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos levando sempre em conta somente o capital inicial (principal). Regime de juros compostos Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados ao capital inicial, formando um novo capital que participará da geração de juros no próximo período. Atenção! Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o regime de juros compostos passa a denominar-se regime de capitalização composta. 20 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, obtemos os seguintes resultados: Período Juros Simples Juros Compostos Juros Montante Juros Montante 0 - 3.000,00 - 3.000,00 1 360,00 3.360,00 360,00 3.360,00 2 360,00 3.720,00 403,20 3.763,20 3 360,00 4.080,00 451,58 4.214,78 4 360,00 4.440,00 505,77 4.720,56 SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma operação financeira é representado por um eixo horizontal no qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um instante inicial (origem). As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas para baixo. Modelo Simplificado (+) entrada 0 tempo (n) (-) saída 21 Matemática Financeira Unidade 1 Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. Apresente o fluxo de caixa na visão do aplicador e do captador. Visão do aplicador 33.200 0 6 30.000 Visão do captador Atividades de autoavaliação Agora que você já estudou toda a unidade 1, realize as atividades de autoavaliação propostas. 1) Converta para a forma porcentual: 0,36 - ................... 1,25 - ................... 2) Converta para a forma unitária: 12% - .................... 212% - .................. 22 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na forma porcentual? 4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta. Período Juros Simples Juros Compostos Juros Montante Juros Montante 0 1 2 3 4 5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o fluxo de caixa na ótica do investidor e do captador. 23 Matemática Financeira Unidade 1 Síntese Ao finalizar esta unidade, você deve ter compreendido os conceitos e regras apresentados, pois serão muito úteis na continuação da disciplina. Você aprendeu alguns fundamentos da matemática financeira, como a porcentagem e certos termos importantes como capital, juros, prazo, montante e taxa de juros; o regime de formação de juros (juros simples e juros compostos); e o fluxo de caixa e sua representação gráfica. Na próxima unidade você estudará mais profundamente cada regime de capitalização. Até lá! 24 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Para você aprimorar ainda mais seus conhecimentos acerca dos temas estudados nesta unidade, consulte os seguintes livros: CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. UNIDADE 2 Juros simples Objetivos de aprendizagem Resolver problemas envolvendo juros simples e montante. Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros exatos e comerciais). Converter taxas de juros. Entender o conceito de valor atual e valor nominal e calculá-los. Seções de estudo Seção 1 Juros simples Seção 2 Montante Seção 3 Taxas proporcionais Seção 4 Juros simples exatos e comerciais ou bancários Seção 5 Valor nominal e valor atual Seção 6 Equivalência de capitais a juros simples 2 26 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Uma vez que você já se habituou aos termos básicos desta disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você está pronto para aprofundá-los. Nesta unidade, você desenvolverá um estudo simplificado do regime de juro simples, considerando um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, montante e valor atual e nominal. SEÇÃO 1 - Juros simples Na unidade anterior, quando você estudou o regime de juros simples, ficou estabelecido que: O juro é produzido unicamente pelo capital inicial (principal). O juro é igual em todos os períodos (constantes). Conheça, agora, como se calcula os juros simples. Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples 27 Matemática Financeira Unidade 2 1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 2,4% a.m. Qual o juro auferido? C i a m n meses J C i n J R = = = = = = = 15000 2 4 0 024 10 15000 0 024 10 3 , % , . . . . , . $ 6600 00, 2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.? C i a t n anos trimestres J C i n J = = = = = = = 50000 6 0 06 3 12 50000 0 0 % , . . . . . , 66 12 36 000 00. $ . ,= R 3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, sabendo-se que o rendimento obtido na operação será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato é de 2% a.m. durante 2 anos. C J i a m n anos meses J C i n C J i n C = = = = = = = = = ? % , . . . . , 2400 2 0 02 2 24 2400 0 022 24 5000 00 . $ ,= R 28 Universidade do Sul de Santa Catarina Atenção! Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja colocada na forma unitária. A taxa de juros e o número de períodos (n) devem estar sempre na mesma unidade de tempo. Quando a taxa e o prazo estão em unidades de tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre o prazo. Nada muda na forma de calcular os juros simples quando o período for fracionário. SEÇÃO 2 - Montante Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos juros. Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de juros simples M C J como J C i n ent„o M C C i n M C i n = + = = + = +( ) : . . : . . .1 29 Matemática Financeira Unidade 2 1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o montante adquirido? 2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à taxa de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 7.000,00. Determine o prazo da aplicação. 30 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe como podemos resolver este problema por outra forma: SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais. Você sabe quando duas taxas são proporcionais? Atenção! Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples quando 1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 24% a.a.? Em certas literaturas especializadas utiliza-se a nomenclatura taxas proporcionais ou equivalentes a juros simples. 31 Matemática Financeira Unidade 2 2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 2% a.m.? i i a a a a 2 12 1 2 12 24 % % . % . = = = SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou bancários Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros simples comerciais ou bancários. Juros simples exatos Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes características: o prazo é contado em dias. mês = número real de dias conforme calendário. ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto). Você sabe como se deve contar os dias entre duas datas? Para determinarmos o número de dias entre duas datas, devemos subtrair o número de dias correspondente à data posterior do número de dias da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando o final do mês de fevereiro estiver envolvido no prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, comentaremos se o ano for bissexto. 32 Universidade do Sul de Santa Catarina Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 90 151 212 243 304 365 33 Matemática Financeira Unidade 2 1. Ache os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril de 2003 à 1ª de julho de 2003. Usando a tabela temos: JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 90 151 212 243 304 365 n n = − = 182 110 72 J C i n J J R e e = = = . . . , . $ , 15000 0 16 72 365 473 42 34 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Determine o juro simples exato obtido em uma aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 9% a.a. J C i n J J R e e = = = . . . , . $ , 13300 0 09 146 365 478 80 Juros simples comercial Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes características: mês = 30 dias. ano civil = 360 dias. Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, usaremos os juros comerciais. 1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação de R$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% a.m? C i a m a m n ano e meses meses J C i n J = = = = = = = 66000 2 2 0 022 1 2 14 660 , % . , . . . 000 0 022 14 20328 00 . , . $ ,J R= 35 Matemática Financeira Unidade 2 2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00? J i a m a m n ano e meses meses J C i n C J i n C = = = = = = = = 900 3 0 03 1 3 15 9 % . , . . . . . 000 0 03 15 2000 00 , . $ ,C R= SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um compromisso financeiro. Valor nominal O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do compromisso financeiro na data de seu vencimento. Valor atual O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso financeiro em uma data anterior a de seu vencimento. Fluxo de caixa O seguinte gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor nominal e o valor atual. 36 Universidade do Sul de Santa Catarina N V 0 n Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual no regime de juros simples N V J N V V i n N V i n = + = + = +( ) . . .1 V N i n = +1 . 1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule o seu valor atual nas seguintes datas: a) hoje; b) 2 meses antes do vencimento; c) daqui a 3 meses. a) Hoje 48000 V=? 0 10 V N i n V V R = + = + = = 1 48000 1 0 02 10 48000 1 2 40000 00 . , . , $ , 37 Matemática Financeira Unidade 2 b) Dois meses antes do vencimento 48000 V=? 8 10 V N i n V R = + = + = 1 48000 1 0 02 2 46153 85 . , . $ , c) Daqui a 3 meses 48000 V=? 3 10 V N i n V R = + = + = 1 48000 1 0 02 7 42105 26 . , . $ , 2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de rentabilidade do aplicador? N V n meses N V i n i i = = = = +( ) = +( ) + = 18000 16000 6 1 18000 16000 1 6 1 6 18 . . . 0000 16000 1 6 1 125 6 1 125 1 6 0 125 0 125 6 0 0208 2 08 + = = − = = = = i i i i , , , , , , % aa m. N V n meses N V i n i i = = = = +( ) = +( ) + = 18000 16000 6 1 18000 16000 1 6 1 6 18 . . . 0000 16000 1 6 1 125 6 1 125 1 6 0 125 0 125 6 0 0208 2 08 + = = − = = = = i i i i , , , , , , % aa m. 38 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 6 - Equivalência de capitais a juros simples Sejam os seguintes conjuntos de capitais e . Dizemos que dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros simples numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, quando apresentam valores atuais iguais. Fluxo de caixa Atenção! Se mudarmos a data focal, a equivalência dos conjuntos de capitais não será mantida. 39 Matemática Financeira Unidade 2 1) Um empresário tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 3.000,00 daqui a 4 meses R$ 5.000,00 daqui a 8 meses R$ 12.000,00 daqui a 12 meses O empresário propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular o valor de cada pagamento. Fluxo de caixa 40 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades programadas para a sua autoavaliação. 1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos? 2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 6.728,00? 3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. durante 24 meses? 41 Matemática Financeira Unidade 2 4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa mensal obtida na aplicação? 5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação financeira no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e comerciais da operação? 6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições: • R$ 6.000,00 aplicados por 180 dias a 12% a.a. • R$ 5.200,00 aplicados por 230 dias a 15% a.a. 42 Universidade do Sul de Santa Catarina 7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros simples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata? 8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com uma taxa de 16% a.a.? 9) Hoje um comerciante tem duas dívidas: uma de R$ 6.000,00 com vencimento para daqui a 35 dias e outra de R$ 10.000,00 que vence em 48 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais com prazo de 60 e 120 dias, respectivamente. Considerando juros simples de 12% a.a e a data focal de (120° dia), calcule o valor de cada pagamento. 43 Matemática Financeira Unidade 2 10) Uma empresa deve a uma instituição financeira as seguintes quantias: R$ 6.500,00 daqui a 3 meses R$ 8.000,00 daqui a 8 meses Calcule o valor dessas dívidas considerando a taxa de juros simples de 18% a.a. e a data focal (180° dia). Síntese Nesta unidade, você estudou com profundidade os diversos tipos de juros simples, os juros simples exatos e comerciais, bem como montante, equivalência de taxas além de valor atual e valor nominal. Você também aprendeu a calcular juros simples, exatos e comerciais, e a converter taxas de juros. Você ainda estudou a distinção entre valor atual e valor nominal e como calculá-los. Na unidade seguinte, você estudará os diversos tipos de descontos simples. Bom estudo! 44 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Para você aprofundar-se ainda mais nos temas estudados na unidade, consulte as bibliografias: CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001. UNIDADE 3 Descontos simples Objetivos de aprendizagem Compreender o conceito de desconto simples. Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples (comercial e racional). Relacionar os tipos de descontos simples. Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros simples. Seções de estudo Seção 1 Descontos Seção 2 Relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) 3 46 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de desconto simples, a relação entre os descontos simples racional e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de desconto simples e de juros simples. SEÇÃO 1 - Descontos Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário ou comercial (por fora). Descontos Simples Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do vencimento). Nas operações financeiras serão utilizados títulos de créditos tais como: Nota promissória Duplicata Letra de câmbio d N V= − onde: d = Desconto N = Valor nominal (no vencimento) V = Valor atual (antes do vencimento) 47 Matemática Financeira Unidade 3 Desconto simples racional (por dentro) O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro simples gerado pelo valor atual. O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula: d V i n como N V i n V N i n d N V d N N i n d N i r r r r = = +( ) = + = − = − + = − + . . : . . . 1 1 1 1 1 1 .. . . . n d N i n i nr ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = +1 1. Qual o valor do desconto racional simples de uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 30% a.a.? N i a a a a n dias do ano d N i n ir = = = = = = = + 24000 30 0 3 120 120 360 1 3 1 % . . , . . . .. . , . , . $ , n d Rr ( ) = + = 24000 0 3 1 3 1 0 3 1 3 2181 82 48 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? N V n meses N V i n i n N V i n N V i N V = = = = +( ) + = − = − = − 12000 11214 95 2 1 1 1 1 , . . . 11 12000 11214 95 1 2 0 035 3 5 n i i a m = − = = , , , % . Desconto simples bancário ou comercial (por fora) O desconto simples bancário ou comercial (db) é o desconto mais utilizado pelos bancos na remuneração do capital. Atenção! O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro simples calculado sobre o valor nominal. 49 Matemática Financeira Unidade 3 Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário ou comercial: d N i nb b= . . Onde: N = valor nominal b i = taxa de desconto simples bancário n = prazo 1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o desconto simples bancário da operação? N i a m a m n dias meses d N i n d c b b b = = = = = = = 15000 2 5 0 025 85 85 30 1 , % . . , . . . 55000 0 025 85 30 1062 50 . , . $ ,d Rb = E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate: d N V V N d N N i n V N i n b b b b = − = − = − = −( ) . . .1 50 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Uma empresa descontou um título com valor de face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancário simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu líquido na operação? V N i a m a m n meses e dias meses V N b = = = = = = = ? , % . , . . , . 14500 2 4 0 024 3 15 3 5 11 14500 1 0 024 3 5 13282 00 −( ) = −( ) = i n V V R b . , . , $ , A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) é assim representada: d V i n d N i n i n d N i n d d N i n i n N i n d d i r r b r b r b = = + = = + = + . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 .. . n d d i nb r= +( )1 51 Matemática Financeira Unidade 3 1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituição financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 3,2% a.m.. Determine: a) O valor do desconto simples bancário b) O valor do desconto simples racional a) N i a m a m n d d R b b = = = = = = 48000 3 2 0 032 6 48000 0 032 6 9216 00 , % . , . . , . $ , b) d d i n d d R r b r r = + = + = 1 9216 1 0 032 6 7731 54 . , . $ , SEÇÃO 2 - Relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário (comercial) Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples. A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples é formulada do seguinte modo: 52 Universidade do Sul de Santa Catarina iB = taxa de desconto simples i = taxa de Juros Simples J N V V i n N V i n N V V i n N V i n N N d i n N N d N d C b b b = − = − = − = − = − − = − −( ) − . . . . . . 1 1 oomo d N i n ent„o i n N i n N N i n i i i n b b b b b b : . . : . . . . . . = = − = −1 1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo de vencimento em 3 meses foi descontada em um banco que trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco? N i a m a m n meses V N i n V b b = = = = = −( ) = − 25500 3 2 0 032 3 1 25500 1 0 0 , % . , . . . , 332 3 23052 00 . , ( ) =V i i i n i i a m b b = − = − = = 1 0 032 1 0 032 3 0 0354 3 54 . , , . , , % . . 53 Matemática Financeira Unidade 3 2. Se uma empresa desconta uma duplicata com vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de desconto simples bancário utilizada? i 3,4% a.m. = 0,034 a.m. n 3 meses i i i n i i i i i i i b b b b b b b b = − = − −( ) = − = 1 0 034 1 3 0 034 1 3 0 034 0 102 . , . , . , , . bb b b b b i i i i a m + = = = = = 0 102 0 034 1 102 0 034 0 034 1 102 0 03085 3 , , , . , , , , . ,, % . .085 a m 54 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade. 1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido? 2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada? 55 Matemática Financeira Unidade 3 3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, qual seria o valor deste desconto? 4) Uma loja desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples de 6% a.m. Qual é o valor do desconto simples racional e comercial da operação? 5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de desconto simples bancário equivalente utilizada? 56 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de desconto simples, seus diversos tipos e comparações. Relacionou as taxas de juros simples e de descontos simples bancário ou comercial. Na próxima unidade, você começará a estudar o regime de juros compostos. Continue em frente! Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente o assunto desconto simples, utilize as seguintes bibliografias: CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos. São Paulo: Atlas, 2003. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. UNIDADE 4 Juros compostos Objetivos de aprendizagem Conhecer os conceitos sobre juros compostos. Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo. Usar corretamente as convenções exponencial e linear. Calcular valor nominal e valor atual. Seções de estudo Seção 1 Juros compostos Seção 2 Convenção exponencial e linear Seção 3 Valor nominal e valor atual 4 58 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao regime de juros simples. Neste capítulo você estudará o regime de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações comerciais e financeiras. SEÇÃO 1 - Juros compostos Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo capital para o período seguinte. A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do montante, juros, capital, taxa e prazo: Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos: 59 Matemática Financeira Unidade 4 Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M C J J M C J C i C J C i n n = + = − = +( ) − = +( ) −⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 1 1 1 Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: M C i C M i n n = +( ) = +( ) 1 1 Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: M C i i M C i M C i M C n n n n = +( ) +( ) = + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 1 1 1 1 1 Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: M C i i M C i N C n i M C n n n n = +( ) +( ) = +( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 1 1 1 ln ln . ln ln == ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +( ) ln ln M C i1 60 Universidade do Sul de Santa Catarina Atenção! 1. O fator 1+( )i n é chamado fator de acumulação de capital. 2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma unidade de tempo. 1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 3,5% a.m.? C i a m a m n meses M C i M M n = = = = = +( ) = +( ) 4500 3 5 0 035 9 1 4500 1 0 035 9 , % . , . , == ( ) = = 4500 1 035 4500 1 362897 6133 04 9 , . , $ , M M R 2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule os juros auferidos na aplicação. C i a m a m n meses J C i J n = = = = = +( ) −⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = + 12000 2 0 02 6 1 1 12000 1 0 02 % . , . ,(( ) −⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = ( ) −⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −( ) = 6 6 1 12000 1 02 1 12000 1 126162 1 12000 0 J J J , , . ,, $ , 126162 1513 95J R= 61 Matemática Financeira Unidade 4 3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”. M i a m a m n ano e meses meses C M i C n = = = = = = +( ) = 19500 3 5 0 035 1 3 15 1 1 , % . , . 99500 1 0 035 19500 1 035 19500 1 675349 11639 3 15 15 +( ) = ( ) = = , , , $ , C C C R 77 4. A que taxa mensal de juros compostos, um capital de R$ 12.500,00 pode transformar-se em R$ 15.373,42, no período de 7 meses? C M n meses i M C i n = = = = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ 12500 15373 42 7 1 15373 42 12500 1 , , ⎠⎠ ⎟ − = ( ) − = − = = 1 7 1 7 1 1 229874 1 1 03 1 0 03 3 i i i a m , , , % . 62 Universidade do Sul de Santa Catarina 5. Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 pode ser pago pela quantia de R$ 47.900,00, se a taxa de juros compostos cobrada for de 4% a.m.? M C i a m a m n M C i n = = = = = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +( ) = 47900 35000 4 0 04 1 47900 3 % . , . ln ln ln 55000 1 0 04 1 368571 1 04 0 313767 0 039 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ +( ) = ( ) ( ) = ln , ln , ln , , , n n 2221 8n meses= SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear Nesta seção, você estudará a convenção exponencial e linear. Tais convenções são usadas quando os períodos não são inteiros. Convenção exponencial No caso da convenção exponencial, o montante é calculado a juros compostos durante todo o período (parte inteira + fracionária). 63 Matemática Financeira Unidade 4 A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção exponencial é a seguinte: M C i n perÌodo eiro p q perÌodo fracion· rio n p q = +( ) = = + 1 int Convenção linear No caso da convenção linear, o montante é calculado a juros compostos durante a parte inteira do período e a juros simples durante o período fracionário. A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção linear é a seguinte: M C i p q in= +( ) +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 1. . 1. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções exponencial e linear? Pela convenção exponencial: C i a m a m n meses e dias meses meses = = = = = + = + 2000 6 0 06 4 15 4 15 30 4 1 2 % . , . == = +( ) = +( ) = ( ) = + 4 5 1 2000 1 0 06 2000 1 06 4 5 4 5 , , , $ , , meses M C i M M M R n pq 22000 1 2998 2599 60 . , ,M = 64 Universidade do Sul de Santa Catarina Pela convenção linear: M C i p q i M M n = +( ) +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = +( ) +( ) = 1 1 2000 1 0 06 1 0 5 0 06 2000 1 4 . . , . , . , ,006 1 0 03 2000 1 262477 1 03 2600 70 4( ) +( ) = = . , . , . , $ , M M R 2. Calcule o montante pelas convenções exponencial e linear do capital de R$ 14.700,00 aplicado à taxa de juros compostos de 10% a.a. durante 5 anos e 3 meses. Pela convenção exponencial: C i a a a a n anos e meses meses meses = = = = = + = + = 14700 10 0 1 5 3 5 3 12 5 1 4 % . , . 221 4 1 14700 1 0 1 14700 1 1 147 21 4 21 4 meses M C i M M M n pq = +( ) = +( ) = ( ) = + , , 000 1 649345 24245 37 . , $ ,M R= Pela convenção linear: M C i p q i M M n = +( ) +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = +( ) +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 1 14700 1 0 1 1 1 4 0 1 1470 5 . . , . . , 00 1 61051 1 025 24266 36 , . , $ , ( ) ( ) =M R 65 Matemática Financeira Unidade 4 SEÇÃO 3 - Valor nominal e valor atual Nesta seção, você estudará novamente o valor atual e o valor nominal, só que agora na perspectiva de juros compostos. Observe que os conceitos dados em juros simples para valor atual e valor nominal são análogos para juros compostos. Veja: Fluxo de caixa Este gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor atual e o valor nominal. Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal no regime de juros compostos: N Valor No al V Valor Atual N V i V N i n n = = = +( ) = +( ) min 1 1 66 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Uma empresa desconta uma promissória de R$ 50.000,00 em um banco com vencimento para daqui a 6 meses, sendo que o banco cobra uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da promissória nas seguintes datas: a) hoje b) 3 meses antes do vencimento c) daqui a 4 meses a) Hoje N i a m a m n V N i V n = = = = = +( ) = +( ) = 50000 1 5 0 015 6 1 50000 1 0 015 50 6 , % . , . . , 0000 1 093443 45727 12 , $ ,V R= b) 3 meses antes do vencimento V V R = +( ) = = 50000 1 0 015 50000 1 045678 47815 87 3 , , $ , c) Daqui a 4 meses V V R = +( ) = = 50000 1 0 015 50000 1 030225 48533 09 2 , , $ , 67 Matemática Financeira Unidade 4 2. Um certo capital é aplicado a 12% a.a. a juros compostos, produzindo um montante de R$ 1.320,00 após 3 anos. Qual o valor atual deste capital? N i a a a a n anos V N i V V n = = = = = +( ) = +( ) = 1320 12 0 12 3 1 1320 1 0 12 1 3 % . . , . . , 3320 1 12 1320 1 404928 939 55 3 , , $ , ( ) = =V R Atividades de autoavaliação Caro aluno, considere as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade e responda as questões a seguir. 1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 26.000,00 aplicado a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses. 68 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 4.200,00 aplicado a uma taxa de 3% a.m. durante 10 meses. 3) Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mensal da operação? 4) Em que prazo uma aplicação a juros compostos de R$ 24.000,00 produzirá um montante de R$ 61.519,30 à taxa de 4% a.m.? 69 Matemática Financeira Unidade 4 5) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 15% a.a. Pergunta-se: a) Qual o montante pela convenção exponencial? b) Qual o montante pela convenção linear? 6) Quanto Paulo deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma instituição financeira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 38.000,00 que vence daqui a 3 meses? 7) Determine os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1% a.m. durante 10 meses. 70 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade, você aprendeu o regime de capitalização composto, isto é, determinou montante, capital, juros e taxas na perspectiva dos juros compostos. Nesta mesma perspectiva, você também aprendeu as convenções exponencial e linear assim como calculou o valor atual e o valor nominal. Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros. Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente a capitalização composta, utilize as seguintes bibliografias: SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. CESAR, Benjamin. Matemática financeira. 5ª ed. Rio de Janeiro: Impetus, 2004. UNIDADE 5 Taxas de juros Objetivos de aprendizagem Compreender e calcular taxas equivalentes. Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas. Aplicar as taxas em problemas financeiros. Seções de estudo Seção 1 Taxas equivalentes Seção 2 Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva 5 72 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as taxas e os prazos dados sempre estavam na mesma unidade de tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva. SEÇÃO 1 - Taxas equivalentes Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição, duas taxas são ditas equivalentes a juros compostos quando aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e produzem o mesmo montante. Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes: M C i M C i Como M M Temos C i C i n n n n 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 = +( ) = +( ) = +( ) = +( ) : : 22 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 + = +( ) = +( ) − = +( ) − i i i i ou i i n n n n n n 73 Matemática Financeira Unidade 5 1. No regime de juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.? i Taxa anual n ano i a m a m n meses i i n n 1 1 2 2 1 2 1 4 0 04 12 1 2 = = = = = = +( ) % . , . . 11 1 1 0 04 1 1 04 1 0 6010 60 10 1 12 1 1 12 1 − = +( ) − = ( ) − = = i i i a a a a , , , .. , % . 2. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de juros compostos de 8% a.a. i a a a a n ano i taxa quadrimestral n quadrimestr 1 1 2 2 8 0 08 1 3 = = = = = % . , . ees i i i i a q n n 2 1 2 1 3 2 1 1 1 0 08 1 0 0259 2 60 1 2= +( ) − = +( ) − = = , , , % . 74 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva Nesta seção, você estudará a taxa nominal ou aparente e a taxa efetiva. Taxa nominal ou aparente Por definição, a taxa é nominal ou aparente quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa. Atenção! Geralmente a taxa nominal é anual. Taxa efetiva A taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas transações financeiras. Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetiva: i Taxa No al i Taxa Efetiva K n˙mero de capitalizaÁı es para um p f = = = min eerÌodo da taxa no al i Taxa por perÌodo de capitalizaÁ„oK min = i i K i i i i i i i i K K f K K f K K f K K f K = + = +( ) + = +( ) = +( ) − = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 1 1 1 1 1 1 1 75 Matemática Financeira Unidade 5 1. Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual. 2. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 12.500,00 durante 2 anos a uma taxa nominal de 48% a.a. com capitalização mensal de juros? = Taxa efetiva trimestral = Taxa efetiva mensal 76 Universidade do Sul de Santa Catarina 3. Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 42.000,00 por 3 anos a uma taxa de 24% a.a. com capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e qual o montante recebido? 4. Qual das taxas abaixo será a melhor para um investimento? a) 20% a.a. capitalizados ao dia; b) 20,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente; c) 22% a.a. capitalizados anualmente. a) i i i K f f = = = +( ) − = − = 0 2 360 0 000556 1 0 000556 1 1 221530 1 0 2215 360 , , , , , 330 22 15= , % .a a b) i i i K f f = = = +( ) − = − = 0 205 3 0 068333 1 0 068333 1 1 219326 1 0 219326 3 , , , , , == 21 93, % .a a 77 Matemática Financeira Unidade 5 c) i a af = 22% . Resposta: a melhor alternativa é a taxa de 22,15% a.a. (item a). Atividades de autoavaliação Caro aluno, leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas já apresentadas. 1) Qual a taxa anual de juros compostos equivalentes as seguintes taxas: a) 2,6% a.m.. b) 4,2% a.b. c) 4,8% a.t. d) 12% a.s. 78 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) Um banco paga juros compostos a uma taxa de 24% a.a. capitalizados bimestralmente. Qual a sua taxa efetiva anual? 3) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente durante 24 meses. 4) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado em uma instituição financeira a uma taxa nominal de 108% a.a., capitalizados mensalmente, durante 8 meses. Qual é o montante? 79 Matemática Financeira Unidade 5 5) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00 por 1 ano à taxa de 45% a.a. com capitalização: a) mensal b) diária (considere o ano com 360 dias) Síntese Nesta unidade, você aprendeu os diversos tipos de taxas, as equivalentes, a nominal ou aparente e a efetiva. Você também aprendeu a aplicar estas taxas a problemas financeiros. Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de descontos compostos. 80 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você deseja estudar mais profundamente os diversos tipos de taxas, utilize as seguintes bibliografias: SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001. UNIDADE 6 Descontos compostos Objetivos de aprendizagem Entender e calcular desconto composto. Diferenciar e calcular os descontos compostos, o racional e o comercial ou bancário. Classificar e calcular os tipos de taxas de descontos. Seções de estudo Seção 1 Descontos compostos e suas classificações Seção 2 Taxas de descontos 6 82 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Caro aluno, nesta unidade, você estudará dois tipos de descontos compostos, o desconto racional ou por dentro além do desconto bancário ou comercial ou por fora. Você também estudará as taxas de desconto. Bom estudo! SEÇÃO 1 - Descontos compostos e suas classificações Nesta seção, você estudará os descontos compostos, especificamente o desconto composto racional ou por dentro e o desconto comercial ou bancário ou por fora. Desconto composto O desconto composto é o abatimento obtido na quitação ou na venda de um título em data anterior ao seu vencimento observando os critérios de capitalização composta. Os tipos de descontos compostos são: Desconto composto racional ou por dentro Desconto composto comercial (bancário) ou por fora Desconto composto racional ou por dentro O desconto composto racional ou por dentro é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do vencimento. 83 Matemática Financeira Unidade 6 Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto racional ou por dentro: D N V V N i D N N i D N i D N i r n r n r n r = − = +( ) = − +( ) = − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = − +( 1 1 1 1 1 1 1 ))⎡ ⎣ ⎤ ⎦ −n 1. Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um título de R$ 15.600,00, descontado 5 meses antes do seu vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto composto racional é de 4% a.m. N i a m a m n meses D N i D r n r = = = = = − +( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − 15600 4 0 04 5 1 1 15600 1 % . . , . . −− +( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −( ) − − 1 0 04 15600 1 1 04 15600 1 0 821927 5 5 , , , D D r r DD D r r = = 15600 0 178073 2777 94 . , , V N D V V R r= − = − = 15600 2777 94 12822 06 , $ , 84 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Um título de valor nominal igual a R$ 60.200,00 foi pago 4 meses antes do vencimento. Se a taxa de desconto composto racional era de 8% a.m., qual o valor líquido deste título? N i a m a m n meses D N i D r n r = = = = = − +( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − − 60200 8 0 08 4 1 1 60200 1 1 % . , . ++( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −( ) − − 0 08 60200 1 1 08 60200 1 0 735030 4 4 , , , D D D r r r == = 60200 0 264970 15951 20 . , ,Dr V N D V V R r= − = − = 60200 15951 20 44248 80 , $ , Observe outra maneira de resolver o mesmo problema: N V i V N i V V V n n = +( ) = +( ) = +( ) = ( ) = 1 1 60200 1 0 08 60200 1 08 60200 1 3 4 4 , , , 660489 44248 80V R= $ , 85 Matemática Financeira Unidade 6 Desconto composto comercial (bancário) ou por fora O desconto composto comercial (bancário) ou por fora é a soma dos descontos comerciais simples, calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto comercial (bancário) ou por fora: D N V D N N i D N i c c n c n = − = − −( ) = − −( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 1 1 1 Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: V N d d N i ent„o V N N i V N i 1 1 1 1 1 1 = − = = − = −( ) . : . V V d d V i ent„o V V i V N i i V N i 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 = − = = −( ) = −( ) −( ) = −( ) . : . . ent„o V N i n : = −( )1 Cálculo da taxa de desconto comercial composto: Cálculo do prazo: 86 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 é descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento. Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco é de 8% a.m., qual é o valor do desconto? N i a m a m n meses D N i D c n c = = = = = − −( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − − 15000 8 0 08 3 1 1 15000 1 1 % . , . 00 08 15000 1 0 92 15000 1 0 778688 15 3 3 , , , ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −( ) = D D D c c c 0000 0 221312 3319 68 . , $ ,D Rc = Observe outra maneira de resolver este mesmo problema: V N i V V V V n = −( ) = −( ) = ( ) = = 1 15000 1 0 08 15000 0 92 15000 0 778688 1 3 3 , , . , 11680 32, D N V D D R c c c = − = − = 15000 11680 32 3319 68 , $ , 87 Matemática Financeira Unidade 6 2. Um cliente vai a um banco descontar uma duplicata que vence daqui a 6 meses com valor de face de R$ 7.500,00. Considerando que o banco trabalha com uma taxa de desconto composto comercial de 3,5% a.m., qual o valor do desconto? N i a m a m n meses D N i D c n c = = = = = − −( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − 7500 3 5 0 035 6 1 1 7500 1 1 , % . , . −−( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = − ( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = −( ) = 0 035 7500 1 0 965 7500 1 0 807540 7 6 6 , , , D D D c c c 5500 0 192460 1443 45 . , $ ,D Rc = SEÇÃO 2 - Taxas de descontos Nesta seção, você estudará taxas de descontos. Basicamente, há a taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto. Taxa de desconto composto comercial ou por fora A taxa de desconto composto comercial ou por fora ( ic ) é a taxa que é utilizada para calcular este desconto. Taxa efetiva de desconto A taxa efetiva de desconto ( i f ) é a taxa de desconto composto racional que é aplicada sobre o valor atual no período, gerando um montante igual ao valor nominal. 88 Universidade do Sul de Santa Catarina Atenção! No desconto composto racional i ir f= Considerando que i Taxa de desconto composto racional i taxa efetiva r f = = Esta é fórmula para o cálculo da relação entre a taxa efetiva de desconto e a taxa de desconto composto comercial: V N i V N i i i i i i c n f n f n c n f n c n c = −( ) = +( ) +( ) = −( ) +( ) = −( ) −( − − 1 1 1 1 1 1 1 1 )) +( ) = −( ) +( ) = + = − = − − = n f n c f f c f c f i ent„o i i i i i i i i . : . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1−− −( ) − = − + − = − 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i c c f c c f c c 89 Matemática Financeira Unidade 6 1. Qual a taxa de desconto composto comercial equivalente a 5% a.a. do desconto composto racional? i a a a a i i i i i i i i f f c c c c c c c = = = − = − = − + 5 0 05 1 0 05 1 0 05 0 05 0 05 % . , . , , , . , ii i i i a a c c c c = = = = = 0 05 1 05 0 05 0 05 1 05 0 0476 4 76 , , . , , , , , % . 2. Qual a taxa efetiva de desconto composto racional equivalente a 18% a.a. do desconto composto comercial? i i i i i i a a f c c f f f = − = − = = = 1 0 18 1 0 18 0 18 0 82 0 2195 21 95 , , , , , , % . 90 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Caro aluno, é hora de você colocar em prática a teoria estudada. Considere as definições e as fórmulas apresentadas nesta unidade e responda as questões a seguir. 1) Determine o valor do desconto composto racional de um título de valor nominal de R$ 8.300,00 descontado 6 meses antes de seu vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4,2% a.m. 2) O valor de face de uma promissória de um cliente é de R$ 300.000,00. Ele deseja trocá-la em um banco que trabalha com uma taxa de desconto composto racional de 20% a.a. O vencimento da duplicata é para daqui a 162 dias. Qual o valor de desconto? 3) Determine a taxa mensal de desconto composto racional de um título com valor de face de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do vencimento, gerando um valor líquido de R$ 5.348,00. 91 Matemática Financeira Unidade 6 4) Qual o desconto composto comercial de um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 com vencimento para daqui a 3 anos a uma taxa de desconto de 20% a.a.? 5) Qual a taxa de desconto comercial equivalente a 3,5% a.a. do desconto racional? 6) Qual a taxa de desconto composto racional equivalente a 15,3% a.a. do desconto composto comercial? 92 Universidade do Sul de Santa Catarina 7) Calcule a taxa mensal de desconto composto comercial de um título de valor nominal igual a R$ 15.000,00, descontado 5 meses antes do vencimento e resgatado por R$ 12.103,72. 8) Um título de R$ 30.000,00 foi descontado em uma instituição financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 6,4% a.m. e o valor líquido recebido era de R$ 20.173,27. Quantos meses antes do vencimento foi descontado este título? Síntese Caro aluno, nesta unidade você aprendeu o desconto composto e como calculá-lo em seus dois tipos: o desconto composto racional ou por dentro e o desconto composto comercial ou bancário ou por fora. Você também aprendeu a taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto, além do relacionamento entre as taxas de desconto. Parabéns por sua caminhada até aqui. Na próxima unidade, você estudará equivalência de capitais. 93 Matemática Financeira Unidade 6 Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente os diversos tipos de descontos compostos e de suas taxas, utilize as seguintes bibliografias: SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática financeira: com HP12C e Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas 2003. UNIDADE 7 Equivalência de capitais a juros compostos Objetivos de aprendizagem Identificar o conceito de equivalência de capitais a juros compostos. Transformar o valor de um capital em uma data determinada em outro valor equivalente em uma data diferente. Determinar o valor atual e analisar alternativas de um conjunto de capitais. Seções de estudo Seção 1 Equivalência de capitais a juros compostos Seção 2 Valor atual de um conjunto de capitais Seção 3 Equivalência de dois conjuntos de capitais a juros compostos 7 96 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade, você estudará como efetuar pagamentos ou recebimentos que se encontram em datas de vencimentos distintas em pagamentos ou recebimentos equivalentes, porém, numa mesma data. SEÇÃO 1 - Equivalência de capitais a juros compostos Nesta seção você estudará a equivalência de capitais a juros compostos. A equivalência de capitais a juros compostos é a maneira de transformar pagamentos (recebimentos), que apresentam datas de vencimentos distintas, em pagamentos (recebimentos) equivalentes, todos avaliados numa data comum. Esta é a fórmula para o cálculo de equivalência de dois capitais a juros compostos Sejam dois capitais separados por períodos de tempo. y y i y y i y Valor Atual data desejada y Valor n n 2 1 1 2 1 2 1 1 = +( ) = +( ) = = . ( ) NNo al data nmin ( ) 1. Um correntista deve a um banco um título de valor nominal de R$ 15.000,00, com vencimento para daqui a 6 meses e deseja pagar esta dívida daqui a 2 meses. Sabendo-se que o banco trabalha com uma taxa de 4,5% a.m., calcule o valor deste pagamento. Fluxo de Caixa y y i a m a m n meses 2 1 15000 4 5 0 045 4 = = = = = ? , % . , . 97 Matemática Financeira Unidade 7 y y i y y y n1 2 1 4 1 4 1 1 15000 1 0 045 15000 1 045 15000 1 192 = +( ) = +( ) = ( ) = , , , 5519 12578 42 1 y R= $ , SEÇÃO 2 - Valor atual de um conjunto de capitais Nesta seção, você estudará o valor atual de um conjunto de capitais. Sejam os capitais: y y yn0 1, , ........., , nas datas respectivamente 0 1 2, , , ........., .n Dada esta respectiva representação do fluxo de caixa: Fluxo de caixa 98 Universidade do Sul de Santa Catarina Evidencia-se que Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de um conjunto de capitais: V y y i y i y i n n= + +( ) + +( ) + + +( )0 1 2 2 1 1 1 ........ 1. Uma empresa tem que efetuar os seguintes pagamentos: a) R$ 220.000,00 daqui a 3 meses; b) R$ 120.000,00 daqui a 1 ano e 2 meses; c) R$ 140.000,00 daqui a 2 anos. Quanto deverá aplicar, hoje, a juros compostos a uma taxa de 2,4% a.m. para fazer frente a estes compromissos? V V = +( ) + +( ) + +( ) = 220000 1 0 024 120000 1 0 024 140000 1 0 024 22 3 14 24 , , , 00000 1 024 120000 1 024 140000 1 024 220000 1 073 3 14 24 , , , , ( ) + ( ) + ( ) =V 7742 120000 1 393797 140000 1 766847 204890 93 86095 75 792 + + = + + , , , ,V 337 19 370223 87 , $ ,V R= 2. Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o seguinte plano de pagamento a prazo: entrada de R$ 5.000,00; mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00. Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento a prazo? 99 Matemática Financeira Unidade 7 SEÇÃO 3 - Equivalência de dois conjuntos de capitais a juros compostos Sejam os conjuntos de capitais e . Dizemos que os dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros compostos, quando avaliados numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, apresentam valores atuais iguais. Fluxo de caixa 100 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Pedro deve pagar R$ 3.500,00 daqui a 2 meses e R$ 5.300,00 daqui a 12 meses. Deseja substituir esses pagamentos por outros distribuídos da seguinte forma: R$ 2.500,00 daqui a 4 meses e; O restante daqui a 8 meses. Determinar o valor desse pagamento, considerando a data focal daqui a 5 meses e a taxa de juros compostos de 3% a.m. Fluxo de caixa 101 Matemática Financeira Unidade 7 2. Um terreno é vendido pelos seguintes planos: Plano A: um único pagamento de R$ 60.000,00 daqui a 2 anos Plano B: uma entrada de R$ 15.000,00 + 1 parcela para daqui a 15 meses Se a taxa de juros compostos de mercado é de 1,5% a.m., qual o valor da parcela do Plano B para que os mesmos sejam equivalentes? Plano A: V V V V R A A A A = +( ) = ( ) = = 60000 1 0 015 60000 1 015 60000 1 429503 4 24 24 , , , $ 11972 63, Plano B: V x V x B B = + +( ) = + ( ) 15000 1 0 015 15000 1 015 15 15 , , Como V VA B= temos: 41972 63 15000 1 015 41972 63 15000 1 015 269 15 15 , , , . , = + ( ) = −( ) ( ) = x x x 772 63 1 250232 33722 05 , . , $ ,x R= Atenção! A melhor alternativa de pagamento é a que oferece o menor valor atual. A melhor alternativa de investimento é aquela que oferece valor atual maior do que o valor investido. 102 Universidade do Sul de Santa Catarina 3. Um proprietário recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa: Proposta A) Entrada de R$ 100.000,00 + R$ 50.000,00 em 6 meses + R$ 60.000,00 em 1 ano. Proposta B) Entrada de R$ 80.000,00 + R$ 60.000,00 em 5 meses + R$ 70.000,00 em 10 meses. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 3% a.m., qual a melhor proposta para o vendedor? Proposta A) V V A A = + +( ) + +( ) = + 100000 50000 1 0 03 60000 1 0 03 100000 50000 1 0 6 12 , , , 33 60000 1 03 100000 50000 1 194052 60000 1 425761 6 12( ) + ( ) = + + , , , V V A A == + + = 100000 41874 22 42082 79 183957 01 , , $ ,V RA Proposta B) V V B b = + +( ) + +( ) = + ( 80000 60000 1 0 03 70000 1 0 03 80000 60000 1 03 5 10 , , , )) + ( ) = + + = 5 10 70000 1 03 80000 60000 1 159274 70000 1 343916 80 , , , V V B B 0000 51756 53 52086 59 183843 12 + + = , , $ ,V RB Resposta: a melhor proposta é a A. 103 Matemática Financeira Unidade 7 Atividades de autoavaliação Chegou a hora de mais algumas atividades de autoavaliação. Mantenha-se atento aos enunciados e reporte-se às definições e às fórmulas abordadas nesta unidade para resolver os seguintes problemas: 1) Uma empresa tem as seguintes duplicatas para pagar: Duplicata A: Valor de R$ 80.000,00. Vencimento 4 meses. Duplicata B: Valor de R$ 150.000,00. Vencimento 10 meses. Duplicata C: Valor de R$ 200.000,00. Vencimento 15 meses. Se a taxa de juros compostos é de 2,3% a.m., quanto a empresa deve aplicar hoje para fazer frente a estes compromissos? 2) Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a prazo com o seguinte plano de pagamento: 20% de entrada. Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da primeira. 104 Universidade do Sul de Santa Catarina Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.? 3) Uma pessoa deve R$ 10.000,00 com vencimento em 1 ano e R$ 30.000 com vencimento em 3 anos. A mesma faz um acordo para pagar R$ 20.000,00 hoje e o restante daqui a 2 anos. Quanto esta pessoa deve pagar daqui a 2 anos, se a taxa de juros compostos é de 5% a.s.? 105 Matemática Financeira Unidade 7 4) Qual das alternativas de pagamento é a melhor para uma taxa de juros compostos de 7,5% a.m.? Alternativa A: Pagamento de R$ 150.000,00 à vista. Alternativa B: Entrada de R$ 50.000,00 + R$ 80.000,00 em 90 dias + R$ 60.000,00 em 140 dias. 5) Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de R$ 3.000,00 e R$ 6.000,00 vencíveis respectivamente em 4 meses e 8 meses. Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidação dos títulos, qual o valor a pagar, considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 2,3% a.m.? 106 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Caro aluno, nesta unidade, você aprendeu a equivalência de capitais a juros compostos, determinou o valor atual de um conjunto de capitais e fez um estudo das alternativas pelo valor atual. Na próxima unidade, você estudará sequência de capitais. Saiba mais Caro aluno, se você quiser estudar mais profundamente a equivalência de capitais, utilize as seguintes bibliografias: PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva. 1999. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003. SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuário do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. UNIDADE 8 Sequência de capitais Objetivos de aprendizagem Identificar o conceito de sequência uniforme de capitais. Distinguir e trabalhar sequências uniformes de termos postecipados e antecipados e sequências diferidas. Calcular o valor atual, o montante e a prestação de sequências uniformes postecipadas, antecipadas, diferidas e com parcelas adicionais. Seções de estudo Seção 1 Sequência uniforme de capitais Seção 2 Sequência uniforme de termos postecipados Seção 3 Sequência uniforme de termos antecipados Seção 4 Montante de uma sequência uniforme Seção 5 Sequência uniforme diferida Seção 6 Sequência uniforme com parcelas adicionais 8 108 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Nesta unidade, você estudará as sequências uniformes de capitais que apresentam uma gama de aplicações que fazem parte do dia-a-dia das pessoas. Você estudará a sequência uniforme de capitais, de termos postecipados, de termos antecipados, diferida, com parcelas adicionais além do montante de uma sequência uniforme. Bom estudo! SEÇÃO 1 - Sequência uniforme de capitais Nesta seção, será apresentado para você o conceito de sequência uniforme de capitais. A sequência uniforme de capitais é uma sequência de capitais y y yn1 2, , ........., respectivamente nas datas 1 2 1 , , .........., , , , , :n mÍs trimestre semestre ano etc onde y( )( ) = yy y Rn2 = = =........., onde: 1 2 1 , , .........., , , , , :n mÍs trimestre semestre ano etc onde y( )( ) = yy y Rn2 = = =......... . Atenção! O regime de capitalização que usaremos para trabalhar com a sequência uniforme de capitais é o composto. SEÇÃO 2 - Sequência uniforme de termos postecipados Nesta seção você estudará a sequência uniforme de termos postecipados. A sequência uniforme de termos postecipados é uma sequência uniforme onde y sem entrada0 0= ( ). Podemos representar graficamente o fluxo de caixa da sequência uniforme de termos postecipados do seguinte modo: 109 Matemática Financeira Unidade 8 Fluxo de caixa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de termos postecipados: V R i R i R i n = + + +( ) + + +( )1 1 12 ............ V R i i i n = + + +( ) + + +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 1 1 1 1 1 2 ........ Onde a soma entre colchetes representa a soma de uma P.G. tal que o primeiro termo: a i1 1 1 = + e a razão: q i = + 1 1 . Sabemos que: s a q q s i i i n n = − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎥⎥ ⎥ = +( ) − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = − +( ) +( ) − = +( ) − s i i s i i i s i n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ++( ) = +( ) − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ i i V R i i i n n n . . . 1 1 1 110 Universidade do Sul de Santa Catarina O fator 1 1 1 +( ) − +( ) i i i n n . é chamado de a i a n cantoneira in¬ ( ), então: V R a in= ¬. 1. Uma televisão de 29 polegadas é vendida em 5 prestações mensais de R$ 350,00 cada uma. Sendo a 1ª prestação paga 1 mês após a compra, a taxa de juros cobrada pela loja é de 2,5% a.m., qual é o preço à vista da televisão? R n i a m a m a = = = = ¬ = +( ) − +( ) 350 5 2 5 0 025 1 0 025 1 1 0 025 0 5 2 5 5 5 , % . . , . , , . , ,, , , 025 4 645828 5 2 5 a ¬ = V R a i V V R n= ¬ = = 350 4 645828 1626 04 . , $ , 2. Um automóvel é vendido em uma loja por R$ 32.000,00. A loja propõe as seguintes condições para financiamento: Proposta A: 12 prestações mensais iguais postecipados. Proposta B: 24 prestações mensais iguais postecipados. Proposta C: 36 prestações mensais iguais postecipados. A taxa de juros usada é de 3,2% a.m. Qual o valor de cada prestação nas 3 modalidades de financiamento? V n i a m a m = = = = 32000 12 3 2 0 032, % . , . 111 Matemática Financeira Unidade 8 Proposta A: a a 12 3 2 12 12 12 3 2 1 0 032 1 1 0 032 0 032 9 836204 ¬ = +( ) − +( ) ¬ = , , , , . , , V R a i R R R R n= ¬ = = = 32000 9 836204 32000 9 836204 3253 29 . , , $ , Proposta B: a a 24 3 2 24 24 12 3 2 1 0 032 1 1 0 032 0 032 16 576379 ¬ = +( ) − +( ) ¬ = , , , , . , , V R a i R R R R n= ¬ = = = . . , , $ , 32000 16 576379 32000 16 576379 1930 46 Proposta C: a a 36 3 2 36 36 36 3 2 1 0 032 1 1 0 032 0 032 21 195027 ¬ = +( ) − +( ) ¬ = , , , , . , , V R a i R R R R n= ¬ = = = . . , , $ , 32000 21 195027 32000 21 195027 1509 79 112 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 3 - Sequência uniforme de termos antecipados Nesta seção, você estudará a sequência uniforme de termos antecipados. Uma sequência uniforme de termos antecipados é uma sequência uniforme onde = (com entrada). O fluxo de caixa de uma sequência uniforme de termos antecipados pode ser representado graficamente do seguinte modo: Fluxo de caixa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de termos antecipados: V R R a in= + ¬−1 1. Um aparelho eletrônico é vendido em 5 pagamentos iguais de R$ 200,00. Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 3% a.m. e que o 1º pagamento é dado como entrada, qual o preço à vista do eletrodoméstico? R i a m a m n n a = = = = − = = +( ) − +( )¬ 200 3 0 03 5 1 4 1 0 03 1 1 0 03 0 0 4 3 4 4 % . . , . , , . , 33 1 03 1 1 03 0 03 3 717098 200 4 3 4 4 4 3 1 a a V R R a V n i ¬ ¬ − = ( ) − ( ) = = + ¬ = , , . , , . ++ = + = 200 3 717098 200 743 42 943 42 . , , $ , V V R 113 Matemática Financeira Unidade 8 R i a m a m n n a = = = = − = = +( ) − +( )¬ 200 3 0 03 5 1 4 1 0 03 1 1 0 03 0 0 4 3 4 4 % . . , . , , . , 33 1 03 1 1 03 0 03 3 717098 200 4 3 4 4 4 3 1 a a V R R a V n i ¬ ¬ − = ( ) − ( ) = = + ¬ = , , . , , . ++ = + = 200 3 717098 200 743 42 943 42 . , , $ , V V R 2. Uma casa, cujo valor à vista é R$ 49.244,56, é vendida em prestações mensais e iguais de R$ 2.500,00, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa de financiamento é de 1,8% a.m., determine o número de prestações pagas no financiamento. R i a m a m V an i n = = = = ¬ = +( ) − + − − 2500 1 8 0 018 49244 56 1 0 018 1 1 1 1 , % . . , . , , 00 018 0 018 1 018 1 1 018 0 018 1 1 1 1 , . , , , . , . ( ) ¬ = ( ) − ( ) = + − − − − n n i n na V R R aan i n n − − − ¬ = + ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ 1 1 1 49244 56 2500 2500 1 018 1 1 018 0 018 , , , . , ⎦⎦ ⎥ ⎥ 49244 56 2500 2500 1 018 1 1 018 0 018 1 1 , , , . , = + ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − n n 49244 56 2500 2500 1 018 1 1 018 0 018 4674 1 1 , , , . , − = ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − n n 44 56 2500 1 018 1 1 018 0 018 46744 56 2500 1 1 , , , . , , = ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − n n == ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ( ) − − − 1 018 1 1 018 0 018 18 697824 1 018 1 1 1 , , . , , , n n n −− ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ( ) − = − − 1 1 018 0 018 1 018 1 18 697824 0 018 1 1 1 , . , , , . , . , n n 0018 1 018 1 0 336561 1 018 1 018 0 3365 1 1 1 1 ( ) ( ) − = ( ) ( ) − − − − − n n n n , , . , , , 661 1 018 1 0 663439 1 018 1 1 018 1 0 663439 1 1 1 1 . , , , , , , ( ) = ( ) = ( ) = − − − n n n 0018 1 507298 1 018 1 507298 1 1 018 1 1 ( ) = ( ) = ( ) −( ) ( ) − − n n n , ln , ln , . ln , == ( ) − = ( ) ( ) − = ln , ln , ln , , , 1 507298 1 1 507298 1 018 1 0 410318 0 01784 n n 00 1 23 23 1 24 n n n − = = + = 114 Universidade do Sul de Santa Catarina 49244 56 2500 2500 1 018 1 1 018 0 018 4674 1 1 , , , . , − = ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − n n 44 56 2500 1 018 1 1 018 0 018 46744 56 2500 1 1 , , , . , , = ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − − n n == ( ) − ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ( ) − − − 1 018 1 1 018 0 018 18 697824 1 018 1 1 1 , , . , , , n n n −− ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ( ) − = − − 1 1 018 0 018 1 018 1 18 697824 0 018 1 1 1 , . , , , . , . , n n 0018 1 018 1 0 336561 1 018 1 018 0 3365 1 1 1 1 ( ) ( ) − = ( ) ( ) − − − − − n n n n , , . , , , 661 1 018 1 0 663439 1 018 1 1 018 1 0 663439 1 1 1 1 . , , , , , , ( ) = ( ) = ( ) = − − − n n n 0018 1 507298 1 018 1 507298 1 1 018 1 1 ( ) = ( ) = ( ) −( ) ( ) − − n n n , ln , ln , . ln , == ( ) − = ( ) ( ) − = ln , ln , ln , , , 1 507298 1 1 507298 1 018 1 0 410318 0 01784 n n 00 1 23 23 1 24 n n n − = = + = SEÇÃO 4 - Montante de uma sequência uniforme Nesta seção, você estudará como calcular o montante de uma sequência uniforme, seja de termos postecipados, seja de termos antecipados. Montante de uma sequência uniforme de termos postecipados Podemos representar graficamente o fluxo de caixa do montante de uma sequência uniforme de termos postecipados do seguinte modo: Fluxo de caixa 115 Matemática Financeira Unidade 8 Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma sequência uniforme: M C i C R a M R a i M R i i i n n i n i n n n = +( ) = ¬[ ] = ¬[ ] +( ) = +( ) − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ 1 1 1 1 1 . ⎥⎥ ⎥ +( ) = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 1 1 i M R i i n n O fator 1 1+( ) −i i n é chamado de fator de acumulação de capitais e representado por Sn iℜ S n cantoneira i, ,( ) . 1. Gustavo deposita durante 8 meses em um fundo de investimento a quantia de R$ 1.350,00 por mês. Sabendo que este fundo remunera seus depósitos a uma taxa de 1,5% a.m., quanto Gustavo terá no instante do último depósito? R n i a m a m = = = = 1350 8 1 5 0 015, % . . , . . M R i i M M n = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = 1 1 1350 1 0 015 1 0 015 1350 1 8 , , ,, , . , , 015 1 0 015 1350 8 432839 11384 33 8( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = = M M 116 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Quanto João deve depositar ao final de cada mês durante 1 ano em um banco que paga 2,4% a.m. de juros, para que, no instante do último depósito, tenha um montante de R$ 30.000,00? M n meses i a m a m M R i i n = = = = = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 30000 12 2 4 0 024 1 1 300 , % . , . . 000 1 0 024 1 0 024 30000 1 024 1 0 024 12 12 = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ R R , , , , ⎤⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = = = 30000 13 717833 30 000 13 717833 2186 93 R R R . , . , , Montante de uma sequência uniforme de termos antecipados Podemos representar graficamente o fluxo de caixa do montante de uma sequência uniforme de termos antecipados do seguinte modo: Fluxo de caixa 117 Matemática Financeira Unidade 8 Esta é a fórmula para o cálculo do montante de uma sequência uniforme de termos antecipados: V R R a V R R i i i V R i n i n n n = + ¬ = + +( ) − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = + +( ) − − − − . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −− +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = + +( ) +( ) − +( ) +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ − 1 1 1 1 1 1 1 1 1i i V R i i i i i n n n . . ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = + +( ) − +( ) +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = +( ) + +( V R i i i i V R i i i n n n 1 1 1 1 1 1 . . )) − +( ) +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = +( ) +( ) − +( ) +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ n n n n i i i V R i i i i i 1 1 1 1 1 1 . . . ⎤⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = +( ) − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ +( )V R i i i i n n 1 1 1 1 . M V i M R i i i i i M R i n n n n n = +( ) = +( ) − +( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ +( ) +( ) = +( ) . . . 1 1 1 1 1 1 1 −−⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ +( )1 1 i i. 118 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Uma pessoa aplica no início de cada mês a quantia de R$ 1.200,00 durante 6 meses em um fundo que paga 1,8% a.m. de juros. Qual a quantia acumulada? R n meses i a m a m = = = = 1200 6 1 8 0 018, % . , . M R i i i M n = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ +( ) = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 1 1 1200 1 0 018 1 0 018 6 . , , . 11 0 018 1200 1 018 1 0 018 1 018 1200 6 27 6 +( ) = ( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ( ) = , , , . , . , M M 66568 1 018 7667 46 . , $ ,M R= 2. Um aplicador necessita acumular a quantia de R$ 68.800,00 nos próximos 6 anos. Se depositar no início de todos os meses, a partir de hoje, a quantia de R$ 600,00, em um fundo que paga uma taxa de 1,2% a.m., será que o aplicador acumulará tal valor? R n anos meses i a m a m M R i i n = = = = = = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 600 6 72 1 2 0 012 1 1 , % . . , . ⎥⎥ +( ) = +( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ +( ) = . , , . , , 1 600 1 0 012 1 0 012 1 0 012 600 1 01 72 i M M 22 1 0 012 1 012 600 113 371782 1 012 688 72( ) −⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ( ) = = , . , . , . , $ M M R 339 35, 119 Matemática Financeira Unidade 8 SEÇÃO 5 - Sequência uniforme diferida Nesta seção, você estudará a sequência uniforme diferida. A sequência uniforme diferida é uma sequência uniforme que apresenta períodos de carência (m). No período após a carência serão efetuados os pagamentos ou recebimentos. Podemos representar graficamente o fluxo de caixa de uma sequência uniforme diferida do seguinte modo: Fluxo de caixa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme diferida: V R a V V i V i R a V R a i m n i m m m n i n i m = ¬ = +( ) +( ) = ¬ = ¬ +( ) . . . 1 1 1 1. Alfredo adquire um carro para ser pago em 10 prestações mensais e iguais de R$ 6.002,16, com 2 meses de carência. Se a taxa de juros é de 2,5% a.m., qual o valor do carro adquirido por Alfredo? R n m i a m a m V R a i a n i m = = = = = = ¬ +( ) ¬ = 6002 15 10 2 2 5 0 025 1 1 10 2 5 , , % . . , . . , ++( ) − +( ) ¬ = ( ) − ( ) 0 025 1 1 0 025 0 025 1 025 1 1 025 10 10 10 2 5 10 10 , , . , , , , a .. , , , . , , , , 0 025 8 752064 6002 16 8 752064 1 025 52531 29 1 0506 2 = = ( ) = V V 225 50000 04V R= $ , 120 Universidade do Sul de Santa Catarina R n m i a m a m V R a i a n i m = = = = = = ¬ +( ) ¬ = 6002 15 10 2 2 5 0 025 1 1 10 2 5 , , % . . , . . , ++( ) − +( ) ¬ = ( ) − ( ) 0 025 1 1 0 025 0 025 1 025 1 1 025 10 10 10 2 5 10 10 , , . , , , , a .. , , , . , , , , 0 025 8 752064 6002 16 8 752064 1 025 52531 29 1 0506 2 = = ( ) = V V 225 50000 04V R= $ , 2. Um empréstimo de R$ 45.000,00 será pago em 10 prestações trimestrais com 2 anos de carência. Calcule o valor das prestações sabendo-se que o agente financeiro cobra uma taxa de 6,5% a.t. V n trimestres m trimestres i a t a t V R a = = = = = = 45000 10 8 6 5 0 065, % . , . . . nn i mi a a ¬ +( ) ¬ = +( ) − +( ) ¬ = 1 1 0 065 1 1 0 065 0 065 1 10 6 5 10 10 10 6 5 , , , , . , ,0065 1 1 065 0 065 1 877137 1 1 877137 0 065 10 10 10 6 5 ( ) − ( ) ¬ = − = , . , , , . , , a 77 188830, 45000 7 188830 1 0 065 45000 7 188830 1 065 45000 8 8 = +( ) = ( ) = R R R . , , . , , . 77 188823 1 654996 45000 1 654996 7 188830 10359 80 , , . , , $ , R R R = = 121 Matemática Financeira Unidade 8 SEÇÃO 6 - Sequência uniforme com parcelas adicionais Nesta seção, você estudará a sequência uniforme com parcelas adicionais. Esta sequência uniforme, como o próprio nome diz, caracteriza-se por apresentar parcelas adicionais. Podemos representar graficamente o fluxo de caixa de uma sequência uniforme com parcelas adicionais do seguinte modo: Fluxo de caixa Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual de uma sequência uniforme com parcelas adicionais: V R a Vn i X= ¬ + ∑. onde VX é o valor atual de cada parcela adicional. 1. Uma casa é vendida em 24 prestações mensais de R$ 3.500,00 cada, postecipadas, mais 3 prestações semestrais de R$ 7.000,00 cada, também postecipadas. Se a taxa de juros do financiamento é de 1,5% a.m., qual o preço da casa? R n meses i am a m V R a V a n i X n i = = = = = ¬ + ¬ = +( ∑ 3500 24 1 5 0 015 1 0 015 , % . , . . , )) − +( ) ¬ = ( ) − ( ) = 24 24 24 24 1 1 0 015 0 015 1 015 1 1 015 0 015 20 , . , , , . , ,an i 0030405 122 Universidade do Sul de Santa Catarina V V X X ∑ = +( ) + +( ) + +( ) = . , , , 7000 1 0 015 7000 1 0 015 7000 1 0 015 7000 6 12 18 11 015 7000 1 015 7000 1 015 7000 1 093443 7000 6 12 18 , , , , ( ) + ( ) + ( ) = + ∑ VX 11 195618 7000 1 307341 6401 80 5854 71 5354 38 17610 8 , , , , , , + = + + = ∑ ∑VX 99 V V R = + = 3500 20 020305 17610 89 87717 31 . , , $ , 2. Uma máquina é vendida em 10 prestações mensais, sendo 5 prestações iniciais de R$ 5.000,00 postecipadas e 5 prestações finais de R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de 5% a.m., qual é o preço da máquina? V a a a i i = ¬ + ¬ ( ) ¬ = +( ) − +( ) 5000 8000 1 05 1 0 05 1 1 0 05 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 . . , , , . ,005 1 05 1 1 05 0 05 4 329477 5 5 5 5 a ¬ = ( ) −( ) = , , . , , V V R = + = 5000 4 329477 8000 4 329477 1 276282 48785 44 . , . , , $ , 123 Matemática Financeira Unidade 8 Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade: 1) Calcule o valor da prestação mensal de um empréstimo de R$ 6.000,00 que será amortizado em 12 prestações mensais postecipadas, sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2% a.m. 2) Uma loja vende um automóvel à vista por R$ 16.500,00. Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1º pagamento será efetuado no 1º mês após a compra a uma taxa de juros de 2,1% a.m., qual o valor da prestação? 124 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Uma mercadoria custa R$ 90.380,71 à vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$ 10.500,00 sendo a primeira prestação dada como entrada. Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 3,5% a.m., qual o número de prestações pagas? 4) Carlos depositou uma certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 2,5% a.m., obtendo um montante de R$ 250.000,00. Quanto depositou mensalmente Carlos? 125 Matemática Financeira Unidade 8 5) Um produto é vendido à vista por R$ 2.000,00 ou em 10 prestações mensais iguais sem entrada, com uma carência de 90 dias após a compra. Qual o valor de cada prestação, sabendo que a taxa de juros é de 6% a.m.? 6) Uma casa é colocada à venda por R$ 60.000,00 ou em 36 prestações mensais de R$ 1.600,00 cada uma postecipada mais 3 anuais iguais postecipadas de reforço. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., qual o valor das prestações anuais? 126 Universidade do Sul de Santa Catarina 7) Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$ 4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o montante no instante do último depósito? Síntese Nesta unidade, você aprendeu sequências uniformes, postecipadas, antecipadas, diferidas e com parcelas adicionais. Você também desenvolveu a habilidade de cálculo, considerando cada uma destas sequências. Na próxima unidade você estudará depreciação. 127 Matemática Financeira Unidade 8 Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente as sequências de capitais, utilize as seguintes bibliografias: GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. UNIDADE 9 Depreciação Objetivos de aprendizagem Identificar o conceito de depreciação. Distinguir, analisar e calcular os diversos tipos de depreciação. Seções de estudo Seção 1 Depreciação Seção 2 Método de depreciação linear Seção 3 Método de depreciação a taxa constante Seção 4 Método de depreciação de Cole 9 130 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Você sabe que alguns objetos por diversas razões sofrem desgaste ao longo do tempo. Nesta unidade, você estudará este fenômeno e como calculá-lo através de diversos métodos, basicamente o de depreciação linear, a taxa constante e o de Cole. SEÇÃO 1 - Depreciação O objetivo desta seção é apresentar o conceito de depreciação. A depreciação de um bem é a perda de valor motivada pelo desgaste, envelhecimento e inovações tecnológicas. A depreciação pode ser entendida como a diferença entre o preço de compra de um bem e o seu valor residual depois de um tempo de uso. Trataremos, nesta unidade, exclusivamente da depreciação teórica, tendo em vista que a depreciação real é muito complexa e antieconômica. A depreciação teórica é uma estimativa da real. SEÇÃO 2 - Método de depreciação linear Você estudará, nesta seção, o método de depreciação linear. O método de depreciação linear de um bem é muito simples, pois basta dividir a diferença entre o valor de compra e o valor residual pela quantidade de anos de sua vida útil.’ Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação linear: D V R nL = − Onde DL = Valor da depreciação Linear V =Valor de compra R =Valor residual n =Vida útil 131 Matemática Financeira Unidade 9 1. Calcule o valor da depreciação de um automóvel, cujo valor de compra é de R$ 32.000,00, sabendo-se que sua vida útil é de 12 anos e valor residual é de R$ 8.000,00. Faça o plano de depreciação linear. V R n anos D V R n D D D L L L L = = = = − = − = = 32000 8000 12 32000 8000 12 24000 12 20000 Plano de depreciação n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 32.000,00 1 2000,00 2.000,00 30.000,00 2 2000,00 4.000,00 28.000,00 3 2000,00 6.000,00 26.000,00 4 2000,00 8.000,00 24.000,00 5 2000,00 10.000,00 22.000,00 6 2000,00 12.000,00 20.000,00 7 2000,00 14.000,00 18.000,00 8 2000,00 16.000,00 16.000,00 9 2000,00 18.000,00 14.000,00 10 2000,00 20.000,00 12.000,00 11 2000,00 22.000,00 10.000,00 12 2000,00 24.000,00 8.000,00 132 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Uma máquina comprada por R$ 168.000,00 após 10 anos de uso terá um valor residual de R$ 48.000,00. Faça o plano de depreciação linear da máquina. V R n anos D V R n D D L L L = = = = − = − = 168000 48000 10 168000 48000 10 120000 10 DDL =12000 Plano de depreciação n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 168.000,00 1 12000,00 12.000,00 156.000,00 2 12000,00 24.000,00 144.000,00 3 12000,00 36.000,00 132.000,00 4 12000,00 48.000,00 120.000,00 5 12000,00 60.000,00 108.000,00 6 12000,00 72.000,00 96.000,00 7 12000,00 84.000,00 84.000,00 8 12000,00 96.000,00 72.000,00 9 12000,00 108.000,00 60.000,00 10 12000,00 120.000,00 48.000,00 133 Matemática Financeira Unidade 9 SEÇÃO 3 - Método de depreciação a taxa constante Nesta seção, você estudará o método de taxa constante. O método de taxa constante é o método que estabelece uma taxa de desconto composto comercial constante para depreciar o valor de um bem ao final de cada período (mês, ano, etc.). Esta é a fórmula para o cálculo da depreciação pelo método da taxa constante: R V i n= −( )1 Onde V = Valor de Compra R = Valor Residual n = Vida útil i = Taxa Constante 1. Elabore um plano de depreciação de um bem pelo método da taxa constante, sabendo que o mesmo foi adquirido por R$ 35.000,00 com vida útil de 6 anos e valor residual de R$ 5.000,00. R V n anos R V i i i n = = = = −( ) = −( ) = − 5000 35000 6 1 5000 35000 1 5000 35000 1 6 (( ) −( ) = − = ( ) − = = − 6 6 1 6 1 0 14285714 1 0 14285714 1 0 72302003 1 0 i i i i , , , ,, , , % . . 72302003 0 27697997 27 697997i a a= = 134 Universidade do Sul de Santa Catarina Plano de depreciação n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 35.000,00 1 27,697997% 9.694,30 9.649,30 25.305,70 2 27,697997% 7.009,17 16.703,47 18.296,53 3 27,697997% 5.067,77 21.771,24 13.228,76 4 27,697997% 3.664,10 25.435,34 9.564,66 5 27,697997% 2.649,22 28.084,56 6.915,44 6 27,697997% 1.915,44 30.000,00 5.000,00 2. Um equipamento adquirido por R$ 50.000,00 terá um valor residual de R$ 10.000,00 após 5 anos de uso. Faça o plano de depreciação deste equipamento pelo Método da Taxa Constante. R V n anos R V i i i n = = = = −( ) = −( ) −( ) = − 10000 50000 5 1 10000 50000 1 1 1 5 1 5 5 ii i i a a = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − = = = 1 5 1 0 72477966 0 27522034 27 522034 1 5 , , , % . 135 Matemática Financeira Unidade 9 Plano de depreciação n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 50.000,00 1 27,522034% 13.761,02 13.761,02 36.238,98 2 27,522034% 9.973,70 23.734,72 26.265,28 3 27,522034% 7.228,74 30.963,46 19.036,54 4 27,522034% 5.239,24 36.202,70 13.797,30 5 27,522034% 3.797,30 40.000,00 10.000,00 SEÇÃO 4 - Método de depreciação Cole Nesta seção, você estudará o método de depreciação de Cole. Este método é elaborado da seguinte maneira: Divide-se o total da depreciação de um bem em frações, onde o numerador deve expressar os períodos que faltam para o final de sua vida útil e o denominador é a soma dos dígitos que representam cada um desses períodos. Esta é a fórmula para o cálculo de depreciação pelo método de Cole: V V RD = − Onde VD = Valor da Depreciação Total V = Valor de Compra R = Valor Residual n n n n1 2 1 1 2 1 1 2+ + + − + + + + +..... , .... , ....................., ......+ n 136 Universidade do Sul de Santa Catarina considerando que estas frações deverão ser multiplicadas pelo valor da depreciação total. 1. Elabore o plano de depreciação pelo Método de Cole de uma máquina adquirida por R$ 125.000,00 com um valor residual de R$ 55.000,00 após 5 anos de vida útil. V R n anos V V R V V D D D = = = = − = − = 125000 55000 5 125000 55000 70000 Plano de depreciação n Fração Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 125.000,00 1 5 15 23.333,33 23.333,33 101.666,67 2 4 15 18.666,67 42.000,00 83.000,00 3 3 15 14.000,00 56.000,00 69.000,00 4 2 15 9.333,33 65.333,33 59.666,67 5 1 15 4.666,67 70.000,00 55.000,00 137 Matemática Financeira Unidade 9 2. Um agricultor compra um equipamento de uso rural por R$ 100.000,00 e após 6 anos de uso, o preço de revenda é estimado em R$ 35.000,00. Elabore o plano de depreciação pelo Método de Cole. V R n anos V V R V V D D D = = = = − = − = 100000 35000 6 100000 35000 65000 Plano de depreciação n Fração Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 100.000,00 1 6 21 18.571,43 18.571,43 81.428,57 2 5 21 15.476,19 34.047,62 65.952,38 3 4 21 12.380,95 46.428,57 53.571,45 4 3 21 9.285,71 55.714,28 44.285,72 5 2 21 6.190,48 61.904,76 38.095,24 6 1 21 3.095,24 65.000,00 35.000,00 138 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade. 1) Um automóvel que custa R$ 42.000,00 será depreciado em 4 anos pelo método de depreciação linear. O valor residual após este período é de R$ 22.000,00. Elaborar o plano de depreciação. 2) Uma máquina no valor de R$ 250.000,00 será depreciada totalmente (sem valor residual), em 10 anos, pelo método de depreciação linear. Elabore o plano de depreciação. 139 Matemática Financeira Unidade 9 3) Um equipamento com tecnologia avançada foi adquirido por R$ 1.250.000,00 e terá um valor residual após 5 anos de uso de R$ 650.000,00. Elabore o plano de depreciação pelo método da taxa constante. 4) Uma máquina adquirida por R$ 50.000,00 terá um valor residual de 30% do valor de compra. Sabendo que sua vida útil é de 6 anos, elabore o plano de depreciação pelo método da taxa constante. 140 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Uma empresa adquiriu uma máquina para aumentar sua produção por R$ 60.000,00, com vida útil de 5 anos e valor residual de 40% do valor de compra. Elabore o plano de depreciação pelo método de Cole. Síntese Nesta unidade, você aprendeu a depreciação de um bem e a calcular a depreciação utilizando o método de depreciação linear, o método de depreciação à taxa constante e o método de depreciação de Cole. Na próxima unidade, você estudará as amortizações de empréstimos. 141 Matemática Financeira Unidade 9 Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente depreciação, utilize as seguintes bibliografias: KHUNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada e análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 1985. ZEBTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP- 12C. São Paulo: Atlas, 1994. SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. MOTTA, Regis da Rocha. Análise de investimentos: tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002. UNIDADE 10 Amortização de empréstimos Objetivos de aprendizagem Identificar o conceito de sistemas de amortização de empréstimos. Conhecer as diversas notações, fórmulas e planilhas nos estudos dos sistemas de amortização de empréstimos. Trabalhar com os diversos tipos de amortização de empréstimos. Seções de estudo Seção 1 Conceito de sistema de amortização de empréstimo, notações, fórmulas e planilhas utilizadas nos sistemas de amortização de empréstimos Seção 2 Sistema de amortização constante (SAC) Seção 3 Sistema de amortização francês (price ou SAF) Seção 4 Sistema de amortização americano (SAA) 10 144 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Caro aluno, no cotidiano é fácil observar situações que são comuns a um certo número de pessoas, como, por exemplo, contrair empréstimo para aquisição da casa própria. Nesta unidade, você estudará os diversos sistemas de amortização de empréstimos, o sistema de amortização constante, o sistema de amortização francês e o sistema de amortização americano. SEÇÃO 1 - Conceito de sistemas de amortização de empréstimo, notações, fórmulas e planilhas utilizadas nos sistemas de amortização de empréstimos Nesta seção, você estudará o conceito de sistemas de amortização de empréstimo, assim como as notações, fórmulas e planilhas utilizadas neste sistema. Sistemas de amortização de empréstimo Por definição, os sistemas de amortização de empréstimos são as variadas formas aplicadas pelos credores para receberem o principal e os juros do devedor. Considere as seguintes notações no estudo dos sistemas de amortização de empréstimo: St = Saldo devedor no instante t St− =1 Saldo devedor no instante anterior a t i = Taxa de juros Rt = Prestação efetivada no instante t At = Amortização no instante t Jt = Juros no período que vai de t-1 a t 145 Matemática Financeira Unidade 10 P = Principal (valor do empréstimo) n = número de períodos Estas são as fórmulas básicas para o estudo de sistemas de amortização de empréstimo: P A A An= + + +1 2 ........ S S J R A R J J S i J R A S S A t t t t t t t t t t t t t t t = + − = − = = − = − − − − 1 1 1 . Este modelo de planilha dispõe os elementos fundamentais do sistema de amortização de empréstimo: Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) Total 146 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Um empréstimo de R$ 30.000,00 será amortizado trimestralmente da seguinte maneira: A A A A 1 2 3 4 5000 7000 8000 10000= = = =, , , Os juros serão também pagos trimestralmente a uma taxa de 8,3%a.t. Construa a planilha do empréstimo. Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 - - - 30000 1 5000,00 2490,00 7490,00 25000 2 7000,00 2075,00 9075,00 18000 3 8000,00 1494,00 9494,00 10000 4 10000,00 830,00 10830,00 - Total 30000,00 6889,00 36889,00 - SEÇÃO 2 - Sistema de amortização constante (SAC) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização constante (SAC). O sistema de amortização constante apresenta as seguintes características: É o empréstimo em que o principal é amortizado com parcelas constantes (iguais) que se obtém dividindo-se o valor do principal pelo número de prestações. As prestações e os juros são decrescentes. 147 Matemática Financeira Unidade 10 Estas são as fórmulas utilizadas no sistema de amortização constante (SAC): A A A A A P n R A J A P i R A J A P A n= = = = = = = + = + = + = + −( ) 1 2 3 1 1 2 2 ............ . . ii A P i A i R A P n A i A P i n A in = + − = + − −( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = + − −( ) . . . . . . . . .1 1 1. Um banco empresta R$ 50.000,00 a um cliente que deverá ser pago em 10 parcelas mensais pelo sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de 3,5% a.m., Faça a planilha de empréstimo. P n A P n A = = = = = 50000 10 50000 10 5000 Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 50.000,00 1 5.000,00 1750,00 6.750,00 45.000,00 2 5.000,00 1575,00 6.575,00 40.000,00 3 5.000,00 1400,00 6.400,00 35.000,00 4 5.000,00 1225,00 6.225,00 30.000,00 5 5.000,00 1050,00 6.050,00 25.000,00 6 5.000,00 875,00 5.875,00 20.000,00 7 5.000,00 700,00 5.700,00 15.000,00 8 5.000,00 525,00 5.525,00 10.000,00 9 5.000,00 350,00 5.350,00 5.000,00 10 5.000,00 175,00 5.175,00 - Total 50.000,00 9.625,00 59.625,00 - 148 Universidade do Sul de Santa Catarina 2. Um banco empresta para uma empresa R$ 150.000,00 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas anuais, com uma carência de 2 anos (a 1ª prestação será paga no início do 3ª ano) a uma taxa de 15% a.a. Os juros serão capitalizados durante a carência. Faça a planilha do empréstimo. C i a a a a n m P C i P m = = = = = = +( ) = +( ) = 150000 15 0 15 6 2 1 150000 1 0 15 1 2 % . , . , 998375 00 198375 6 33062 50 , , A P n A = = = Período n( ) Amortização At( ) Juros tJt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 - - - 150.000,00 1 - - - 172.500,00 2 - - - 198.375,00 3 33.062,50 29.756,25 62.818,75 165.312,50 4 33.062,50 24.796,87 57.859,37 132.250,00 5 33.062,50 19.837,50 52.900,00 99.187,50 6 33.062,50 14.878,12 47.940,62 66.125,00 7 33.062,50 9.918,75 42.981,25 33.062,50 8 33.062,50 4.959,37 38.021,87 - Total 198.375,00 104.146,86 302.521,86 - 149 Matemática Financeira Unidade 10 SEÇÃO 3 - Sistema de amortização francês (price ou SAF) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização de empréstimo francês ou tabela price. O sistema de amortização francês (SAF) apresenta as seguintes características: O principal mais os juros são devolvidos em prestações constantes e consecutivas ao final de cada período. As amortizações constituem uma sequência crescente e os juros uma sequência decrescente. Atenção! A taxa de juros deve estar na mesma unidade do período de capitalização. Quando o período da taxa não coincide com o período de capitalização, usamos a Taxa por período de capitalização (Taxa efetiva). O saldo devedor em um determinado instante é igual ao valor atual das prestações a vencer. Esta é a fórmula utilizada no sistema de amortização francês ou tabela price P = Principal R = Prestação P R an i= ¬. onde: a i i in i n n¬ = +( ) − +( ) 1 1 1 . 150 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Uma instituição financeira libera um empréstimo para uma indústria no valor de R$ 600.000,00 para ser pago pelo sistema de amortização francês em 120 meses a uma taxa de 1,5% a.m. Faça a planilha até o 4º mês e calcule o saldo devedor no 100º mês. P n i a m a m P R a a n i = = = = = ¬ ¬ = +( ) 600000 120 1 5 0 015 1 0 015 120 1 5 1 , % . , . . , , 220 120 120 1 5 120 120 1 1 0 015 0 015 1 015 1 1 015 0 0 − +( ) ¬ = ( ) − ( ) , . , , , . , , a 115 55 498454 1 0 015 1 1 0 015 0 015 20 1 5 20 20 20 1 5 = ¬ = +( ) − +( ) ¬ , , , . , , , a a == ( ) −( ) = 1 015 1 1 015 0 015 17 168639 20 20 , , . , , V R a R R n i= ¬ = = = . . , , , 600000 55 498454 600000 55 498454 10811 11 S S R 100 100 10811 11 17 168639 185612 04 = = , . , $ , Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 - - 600.000,00 1 1.811,11 9.000,00 10.811,11 598.188,89 2 1.838,28 8.972,83 10.811,11 596.350,61 3 1.865,85 8.945,26 10.811,11 594.484,76 4 1.893,84 8.917,27 10.811,11 592.590,92 151 Matemática Financeira Unidade 10 2. Um banco empresta R$ 200.000,00 para uma empresa, cuja devolução deverá ser feita em 12 prestações trimestrais pela tabela price. A taxa de juros cobrada é de 16% a.a. Ache o saldo devedor após pagar a 5ª prestação. P n i a t a t a = = = = = ¬ = +( ) − +( ) 200000 12 16 4 4 0 04 1 0 04 1 1 0 04 12 4 12 % % . , . , , 112 12 4 12 12 0 04 1 04 1 1 04 0 04 9 385074 200000 9 38 . , , , . , , , a R ¬ = ( ) − ( ) = = 55074 21310 43= , S R a a a 5 7 4 7 4 7 7 7 4 7 1 0 04 1 1 0 04 0 04 1 04 1 1 04 = ¬ ¬ = +( ) − +( ) ¬ ( ) − ( ) . , , . , , , 77 5 0 04 6 002055 21310 43 6 002055 127906 37 . , , , . , $ , = = =S R 152 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 4 - Sistema de amortização americano (SAA) Nesta seção, você estudará o sistema de amortização americano (SAA). O sistema de amortização americano apresenta as seguintes características: O principal do empréstimo é pago de uma só vez. Os juros podem ser pagos periodicamente ou serem capitalizados e pagos no final do vencimento do empréstimo. 1. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sistema de amortização americano. Os juros serão capitalizados. Observe a planilha. Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 - - - 350.000,00 1 - - - 402.500,00 2 - - - 462.875,00 3 - - - 532.306,25 4 612.152,19 - 612.152,19 - Total 612.152,19 - 612.152,19 - 2. Um empréstimo de R$ 350.000,00 deve ser pago após 4 anos a uma taxa de juros de 15% a.a. pelo sistema de amortização americano. Os juros serão pagos no final de cada ano. Observe a planilha. Período n( ) Amortização At( ) Juros Jt( ) Prestações Rt( ) Saldo Devedor St( ) 0 - - - 350.000,00 1 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00 2 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00 3 - 52.500,00 52.500,00 350.000,00 4 350.000,00 52.500,00 402.500,00 - Total 350.000,00 210.000,00 560.000,00 - 153 Matemática Financeira Unidade 10 Atividades de autoavaliação A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades programadas para a sua autoavaliação. 1) Um cliente solicita a um banco um empréstimo de R$ 40.000,00 pelo sistema de amortização francês em 60 prestações mensais. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 2,8% a.m., obtenha o valor da prestação e o saldo devedor depois de pagar a 20ª prestação. 154 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) Um empréstimo de R$ 20.000,00 deverá ser pago em 5 prestações bimestrais pelo sistema de amortização constante com juros de 8% a.b. Elaborar o plano de amortização do empréstimo (planilha). 3) Um empréstimo de R$ 250.000,00 vai ser amortizado em 5 prestações anuais pelo SAC com uma taxa de juros de 8,5% a.a. com carência de 2 anos. Os juros serão pagos durante a carência. Faça a planilha. 155 Matemática Financeira Unidade 10 4) Um empréstimo de R$ 300.000,00 será saldado em 50 prestações mensais a uma taxa de 1,5% a.m. Determine a parcela de juros relativa a 15ª prestação pelo sistema de amortização francês (price). 5) Um valor de R$ 500.000,00 é financiado a um cliente de um banco que cobra uma taxa de 7,5% a.a. para ser amortizado pelo sistema americano com 4 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha. de compra. 156 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de sistema de amortização de empréstimos. Especificamente, você aprendeu o sistema de amortização constante, o sistema de amortização francês e o sistema de amortização americano. Na próxima unidade, você estudará inflação e correção monetária. Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente os sistemas de amortização de empréstimos, utilize as seguintes bibliografias: GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. UNIDADE 11 Inflação e correção monetária Objetivos de aprendizagem Distinguir os conceitos de inflação e correção monetária. Determinar índice de preços, variação percentual de preços (taxa de inflação) e taxa de desvalorização da moeda. Determinar a taxa de inflação acumulada, aparente e real. Corrigir valores monetários. Seções de estudo Seção 1 Conceito de inflação, índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação) Seção 2 Taxa de desvalorização monetária Seção 3 Taxa acumulada de inflação Seção 4 Taxa aparente e taxa real Seção 5 Correção monetária 11 158 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Você sabe que quando o preço das mercadorias sobe num curto período de tempo, ocorre uma perda de poder aquisitivo do seu dinheiro. Nesta unidade, estudaremos esta relação em função da perspectiva da inflação. Você estudará o conceito de inflação, os índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de desvalorização da moeda, a taxa acumulada de inflação, as taxas aparente e real de juros além de correção monetária. SEÇÃO 1 - Conceito de inflação, índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação) Nesta seção, você estudará o conceito de inflação, o índice de preços e variação percentual de preços (taxa de inflação). Inflação A inflação é um fenômeno que atinge a maioria das economias mundiais. Ela é caracterizada por alta persistente e generalizada dos preços de bens de consumo, capitais, produção, insumos e mão-de-obra. A inflação é calculada em diversos índices de preços em um período. Esta é a fórmula para o cálculo do índice de preços em um período P P p t= 0 (0,t) = P p t 0 Os índices de preços mais conhecidos no Brasil são o IPA, o IPCA, o INPC e o IGPM. 159 Matemática Financeira Unidade 11 Esta é a fórmula para o cálculo da variação percentual de preços (taxa de inflação): J P P t = − 0 1 1. Em 01/06/2004, o preço de um produto era de R$ 5,50. Em 10/07/2004, o preço do mesmo era de R$ 6,20. Qual a taxa de inflação do período? P P J P P J J J t t = = = − = − = − = = 6 20 5 50 1 6 20 5 50 1 1 127273 1 0 127273 1 0 0 , , , , , , 22 73, % .a p SEÇÃO 2 - Taxa de desvalorização monetária Nesta seção, você estudará a taxa de desvalorização monetária. A taxa de desvalorização da moeda mede a perda do poder de compra da moeda causada pela inflação. Dado que TDM = Taxa de desvalorização da Moeda J = Taxa de inflação do período Esta é a fórmula para o cálculo da taxa de desvalorização monetária: TDM J J = +1 160 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Se a taxa de inflação for de 6,5% num período. Qual a taxa de desvalorização monetária correspondente? J a p a p= =6 5 0 065, % . , . . TDM J J TDM TDM a p = + = + = = = 1 0 065 1 0 065 0 065 1 065 0 061 6 1 , , , , , , % . . 2. Se a taxa de inflação num dado período for de 30%. Qual a queda do poder de compra ao final do período? J a p TDM J J TDM TDM = = = + = + = = = 30 0 30 1 0 30 1 0 30 0 30 1 30 0 230769 2 % . , , , , , , 33 08, % .a p SEÇÃO 3 - Taxa acumulada de inflação Nesta seção, você estudará a taxa acumulada de inflação. Esta é a fórmula para o cálculo da taxa acumulada de inflação: J J J JAC n= +( ) +( ) ( ) +( ) −1 1 1 11 2 ............. Onde, J1, J2...Jn são as taxas de inflação por períodos, e, JAC = Taxa acumulada de inflação 161 Matemática Financeira Unidade 11 1. Em 5 meses consecutivos, o preço de uma mercadoria aumentou 1,5%, 1,6%, 2%, 2,1% e 2,2%. Qual a taxa acumulada de inflação do período? J J AC AC = +( ) +( ) +( ) +( ) +( ) − = 1 0 015 1 0 016 1 0 02 1 0 021 1 0 022 1 1 09 , , , , , , 77581 1 0 097581 9 76− = =, , % .a p 2. Se em 2 meses consecutivos as taxas de inflação foram respectivamente 2,2% e 2,5%. Qual a taxa de inflação acumulada no bimestre? J J a b AC AC = +( ) +( ) − = − = = 1 0 022 1 0 025 1 1 04755 1 0 04755 4 75 , , , , , % . 3. Se a taxa de inflação acumulada no bimestre é de 3,5%, e no 1º mês a taxa de inflação foi de 2,1%, qual a taxa de inflação do 2º mês? J J J J J AC = +( ) +( ) − = +( ) +( ) − + = + 1 1 1 0 035 1 0 021 1 1 0 035 1 1 021 1 1 2 2 2 , , , , (( ) = +( ) + = + = = 1 035 1 021 1 1 1 035 1 021 1 1 013712 1 01371 2 2 2 2 , , , , , , J J J J 22 1 0 013712 1 37− = =, , % SEÇÃO 4 - Taxa aparente e taxa real Nesta seção, você estudará a taxa aparente e a taxa real. A taxa aparente é a taxa que incide sobre uma operação financeira em termos nominais, incluindo-se assim os efeitos inflacionários. A taxa real se refere ao ganho obtido após haver descontado da remuneração a inflação. Vamos considerar que: r = Taxa real de juros do período i = Taxa aparente do período J = Taxa de inflação do período 162 Universidade do Sul de Santa Catarina Sabemos que: M C i1 1= +( ) M C i J2 = +( ) Assim, esta é a fórmula para o cálculo da taxa aparente e da taxa real: r M M r C i C J r i J r i J = − + = +( ) +( ) + = + + = + + − 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Um banco em suas aplicações financeiras usa uma taxa aparente de 35% a.a. Se a taxa de inflação for de 25% a.a., qual o ganho real auferido pelo banco? i a a a a J a a a a r i J r = = = = = + + − = + + 35 0 35 25 0 25 1 1 1 1 0 35 1 0 25 % . , . . % . . , . , , −− = − = − = = 1 1 35 1 25 1 1 08 1 0 08 8 r r r a a , , , , % . . 163 Matemática Financeira Unidade 11 2. Durante dois semestres consecutivos, as taxas de inflação foram de 8% e 10%. Se um investidor aplicou seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros de 18%a.a., qual a sua taxa real de perda? J a s a s J a s a s i a a JAC 1 2 8 0 08 10 0 10 18 1 0 08 1 0 1 = = = = = = +( ) + % . , . % . , . % . , , 00 1 1 08 1 10 1 1 1880 1 0 1880 ( ) − = − = − = J J AC AC , . , , , 1 1 1 1 1 0 18 1 0 1880 1 1 18 1 1880 0 993266 1 + = + + + = + + + = = − = r i J r r r r AC , , , , , −− =0 06734 0 6734, , % de perda no perÌodo SEÇÃO 5 - Correção monetária Nesta seção, você estudará a correção monetária. A correção monetária é o mecanismo utilizado para corrigir o valor da moeda corroida pela inflação. Dado que P = Principal JAC = Taxa de correção acumulada Vc = Valor corrigido Decorre que o valor do principal P( ) corrigido monetariamente da data zero até a data n é calculado pela seguinte fórmula: V P P J P J J Jc AC n= + = +( ) +( ) ( ) +( ). . . .......... .1 1 11 2 164 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser atualizada monetariamente por 3 meses com as seguintes taxas de correção: 1,8%, 2% e 2,2%. Qual o valor da dívida corrigida? P J J J VC = = = = = = = = + 50000 1 8 0 018 2 0 02 2 2 0 022 50000 1 0 018 1 2 3 , % , % , , % , ,(( ) +( ) +( ) = . , . , , 1 0 02 1 0 022 53060 20VC Atividades de autoavaliação Caro aluno, considere as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade e responda as questões a seguir: 1) O preço de uma mercadoria no início do mês de abril de um determinado ano era de R$ 620,00; a mesma mercadoria no início de maio do mesmo ano custava R$ 655,00. Qual a taxa de inflação do mês? 165 Matemática Financeira Unidade 11 2) Por três meses consecutivos as taxas de inflação foram: 0,96%, 1,2% e 1,4% respectivamente. Qual a taxa de inflação acumulada no trimestre? 3) Se a taxa de inflação de um dado período é de 22,3%, qual a queda do poder aquisitivo ao final do período? 4) Uma instituição financeira deseja ter um ganho real de 8% a.a. nas suas operações de empréstimos. Se a taxa de inflação prevista para o ano é de 25%, qual a taxa aparente usada pela instituição? 166 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Paulo comprou em uma loja mercadorias no valor total de R$ 22.500,00, que deveria ser pago um mês após a compra. Por motivos financeiros Paulo só efetuou o pagamento três meses depois do vencimento. As taxas de correção nos meses de atraso foram respectivamente 0,8%, 0,9% e 1,2%. Quanto Paulo pagou pela dívida, sem juros? Síntese Nesta unidade, você aprendeu o conceito de inflação, os índices de preços e de variação percentual de preços, a taxa de desvalorização da moeda, a taxa acumulada de inflação, as taxas aparente e real de juros além de correção monetária. Na próxima unidade, você aprenderá a usar a calculadora HP- 12C nos problemas econômicos e financeiros. 167 Matemática Financeira Unidade 11 Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente inflação e correção monetária, utilize as seguintes bibliografias: GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de Investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 1986. UNIDADE 12 Operações práticas com o uso da calculadora HP-12C Objetivos de aprendizagem Utilizar corretamente as funções da calculadora HP-12C. Operar as funções básicas da calculadora HP-12C. Resolver os problemas financeiros usando a calculadora HP-12C. Seções de estudo Seção 1 Estudo da utilização da calculadora HP-12C Seção 2 Operações básicas utilizando a calculadora HP-12C Seção 3 Resolver problemas financeiros utilizando a calculadora HP-12C 12 170 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Caro aluno, nesta unidade, você estudará algumas operações práticas de matemática financeira utilizando a calculadora HP- 12C. Você aprenderá o manuseio básico desta calculadora, as suas operações básicas assim como a resolução de problemas financeiros mais complexos. SEÇÃO 1 - Estudo da utilização da calculadora HP-12C Esta seção trata da utilização da calculadora HP-12C. Realizar cálculos financeiros sem uso de uma boa calculadora de qualidade é uma tarefa muito complicada. Uma calculadora muito utilizada por profissionais do mercado financeiro é a HP-12C, tendo em vista a facilidade de compreensão na realização de cálculos. A seguir, apresentaremos os procedimentos básicos necessários para o seu uso: 1. Para ligar a calculadora, pressione a tecla (ON). 2. Para apagar o que aparece no visor, pressione a tecla (CLX). 3. Para apagar todos os registros, pressione as teclas ( f ) (REG). 4. Para apagar as memórias financeiras, pressione as teclas ( f ) (FIN). 5. Para introduzir um número no visor da calculadora, basta teclar o número e pressionar a tecla (ENTER). 6. Para armazenar um número na memória, tecle o número desejado e pressione as teclas (STO) e após qualquer dígito de “0” a “9” ou “.0” a “.9”. 7. Para buscar um número na memória, tecle (RCL) e o dígito que você usou para armazená-lo. 8. Para fixar a quantidade de casas decimais, tecle ( f ) e o dígito que vai representar o número de casas decimais desejada. 171 Matemática Financeira Unidade 12 9. Para trocar no visor o ponto pela vírgula, deve-se desligar a calculadora e pressionar a tecla (.) juntamente com a tecla (ON) e soltar primeiramente a tecla (ON). 10. Para calcularmos o número de dias entre duas datas, limpe o visor da calculadora e digite a data inicial da seguinte maneira: dia mês e ano ( g ) (DMY) (ENTER) e digite a data final: dia mês e ano e use as teclas ( g ) (� DYS ). 1. Calcule o número de dias entre as datas: 03/01/2004 e 23/08/2004. (f) (Reg) 03.012004 ( g ) (DMY) (ENTER) 23.082004 ( g ) (� DYS ) --> 233 dias SEÇÃO 2 - Operações básicas utilizando a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará algumas funções básicas da calculadora HP-12C, como operações aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural e o cálculo da porcentagem. Operações aritméticas Para efetuar as operações aritméticas simples, introduza o primeiro número e pressione a tecla (ENTER), introduza o segundo número e a operação a ser realizada. Os números deverão ser introduzidos obedecendo às regras das operações aritméticas. 172 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Calcule: a) 80 X 5 Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 80 (ENTER) 5 ( X ) 400 Produto b) 16 – 18 6 Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 16 (ENTER) 18( CHS ) (ENTER) 6 ( ) ( + ) 13 Apresenta o Resultado Final Cálculo da potência Para elevarmos um número a um expoente qualquer , basta pressionar as teclas: ( f ) (REG) ( Y ) (ENTER) ( X ) e Y X . 1. Calcule: a) 36 Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 3 (ENTER) 6 (Y X ) 729 Potência b) Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 1(ENTER) 3 ( ) (ENTER) 5 Y X 0,004115 Potência Cálculo do inverso de um número Para calcular o inverso de um número basta introduzir um número X e pressionar a tecla 1 X . 173 Matemática Financeira Unidade 12 1. Calcule o inverso de 12: Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 12 [ 1X ] 0,083333 Inverso Cálculo da raiz quadrada Para calcular a raiz quadrada, utilizando a calculadora HP-12C, basta introduzir um número X > 0 e pressionar as teclas: ( g ) ( X ). 1. Calcule a raiz quadrada de 16. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 16 ( g ) X 4 Raiz quadrada Atenção! Quando queremos calcular raiz cúbica, raiz quarta, etc. de um número X, usamos o procedimento da potenciação. 1. Calcule a raiz cúbica de 27. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 27 (ENTER) 3 ( 1X ) (Y X ) 3 Raiz cúbica Cálculo do logaritmo natural Para calcularmos o logaritmo natural de um número X > 0, basta introduzir na calculadora HP-12C um número e pressionar as teclas: ( g ) ( ln ). 174 Universidade do Sul de Santa Catarina 1. Calcule o logaritmo natural do número 5. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 5 ( g ) ( ln ) 1,609438 Logaritmo natural Cálculo de porcentagem Para calcularmos a porcentagem de um número, basta digitar o número X e pressionar a tecla (ENTER) na calculadora, introduzir a porcentagem e pressionar ( % ). 1. Calcule 25% de 200. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 200 (ENTER) 25 ( % ) 50 Valor da Porcentagem 2. Se uma mercadoria é vendida por R$1.800,00 para pagamento em 30 dias. Qual o valor à vista se a loja oferece um desconto de 12 %? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 1800 (ENTER) 12 ( % )( - ) 216 1584 SEÇÃO 3 - Resolver problemas financeiros utilizando a calculadora HP-12C Nesta seção, você estudará como calcular, utilizando a calculadora HP-12C, o regime de capitalização simples, o regime de capitalização composta, assim como as sequências uniformes de termos postecipados e antecipados. 175 Matemática Financeira Unidade 12 Considere estas teclas da calculadora HP-12C como essenciais para a resolução de problemas financeiros n = prazo i = taxa de juros por período de capitalização PV = valor presente (capital inicial) PMT = valor da prestação da série uniforme FV = valor futuro (montante) Regime de capitalização simples Para calcular os juros simples na HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. Lembre-se: a taxa deve ser anual e o prazo em dias. 1. Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 2.500,00 aplicado a uma taxa de 15% a.a. durante 210 dias. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital 210 ( n ) 210 Prazo 15 ( i ) 15 Taxa ( f ) ( INT ) 218,75 Juros + 2718,75 Montante 2. Calcule os juros simples exatos e o montante de um capital de R$ 2.500,00 aplicado durante 210 dias a uma taxa de 15% a.a. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 2500 ( CHS ) ( PV ) -2500 Capital 210 ( n ) 210 Prazo 15 ( i ) 15 Taxa ( f ) ( INT ) ( R ↓ ) ( X Y< > ) 215,75 Juros + 2715,75 Montante 176 Universidade do Sul de Santa Catarina Regime de capitalização composta No regime de capitalização composta, usamos as teclas brancas. Para calcular o regime de capitalização composta utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. 1. Qual o montante obtido pela aplicação de um capital de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m. durante 6 meses? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 5000 ( CHS ) ( PV ) -5000 Capital 6 ( n ) 6 Prazo 2,5 ( i ) 2,5 Taxa ( F V ) 5798,47 Montante 2. Calcule os juros de um empréstimo de R$ 100.000,00 pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 4,5% a.m. Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 100000 ( CHS ) ( PV ) -100000 Capital 8 ( n ) 8 Prazo 4,5 ( i ) 4,5 Taxa ( F V ) 142210,06 Montante (RCL) (PV) ( + ) 42210,06 Juros 3. Se um capital de R$ 130.000,00 foi aplicado a juros compostos em um fundo que rende 1,8% a.m. e sabendo-se que o valor de resgate foi de R$ 144.687,17, qual o prazo da aplicação? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 130000 ( CHS ) ( PV ) -130000 Capital 1,8 ( i ) 1,8 Taxa 144687,17 (FV) 144687,17 Montante ( n ) 6 Prazo 177 Matemática Financeira Unidade 12 4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 300.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. A taxa de juros do mercado é de 23% a.a. Quanto esta pessoa deverá depositar hoje para fazer frente a este compromisso? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 300000 ( CHS ) ( FV ) -300000 Montante 23 ( i ) 23 Taxa 2 ( n ) 2 Prazo ( PV ) 198294,66 Capital 5. Um capital de R$ 250.000,00 é emprestado a uma taxa de juros compostos de 16% a.a. pelo prazo de 3 anos e 8 meses. Qual o montante pelas convenções linear e exponencial? Convenção Linear (sem a letra c no visor) Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 250000 ( CHS ) ( PV ) -250000 Capital 3,666667 ( n ) 3,666667 Prazo 16 ( i ) 16 Taxa ( FV ) 431847,91 Montante Convenção Exponencial (Com a letra c no visor) Para cálculos pela convenção exponencial na HP-12C é necessário introduzir no visor a letra c. Para isto, basta pressionar as teclas (STO) (EEX) Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) (STO)(EEX) 0,000000 c Introdução da letra c 250000 (CHS) (PV) -250000 c Capital 3,666667 ( n ) 3,666667 c Prazo 16 ( i ) 16 c Taxa ( FV ) 430810,21 c Montante 178 Universidade do Sul de Santa Catarina Sequências uniformes As sequências uniformes de termos, postecipados e antecipados, também podem ser calculadas com a calculadora HP-12C. Sequência uniforme de termos postecipados Para calcular a sequência uniforme de termos postecipados utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimentos análogos aos exemplos seguintes. 1. Uma loja vende uma mercadoria em 8 prestações mensais e iguais de R$ 300,00 sendo a primeira paga 30 dias após a compra. A taxa de juros é de 4,5% a.m. Qual o preço da mercadoria à vista? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 300(CHS) (PMT) -300 Prestação 8 ( n ) 8 Prazo 4,5 ( i ) 4,5 Taxa ( PV ) 1978,76 Preço à vista 2. Um correntista deposita ao final de cada mês a quantia de R$ 5.000,00. Durante 10 meses, o banco remunera com uma taxa de juros compostos de 2,8% a.m. Qual o montante ao final do último depósito? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 5000 (CHS) (PMT) -5000 Prestação 10 ( n ) 10 Prazo 2,8 ( i ) 2,8 Taxa ( FV ) 56794,24 Montante 179 Matemática Financeira Unidade 12 3. Um correntista deposita em um fundo durante 10 meses uma certa quantia. O saldo final é de R$ 50.000,00. Sabendo que o banco remunera com uma taxa de juros compostos 1,8% a.m., pergunta-se: qual o depósito mensal do correntista? Tecla Visor Resultado ( f ) (REG) 50000 (CHS) (FV) -50000, Montante 10 ( n ) 10 Prazo 1,8 ( i ) 1,8 Taxa ( PMT ) 4608,24 Depósito Sequência uniforme de termos antecipados Nas sequências uniformes de termos antecipados, use as teclas ( g ) (BEG), aparecendo no visor a expressão (BEGIN). Para calcular a sequência uniforme de termos antecipados, utilizando a calculadora HP-12C, execute procedimento análogo ao exemplo seguinte. 1. Uma loja vende uma mercadoria em 5 prestações mensais e iguais de R$580,00 sendo a primeira dada como entrada. A loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 1,3% a.m. Qual o preço da mercadoria à vista? Tecla Visor Resultado ( g ) (BEG) 0,000000 (BEGIN) Introdução da palavra BEGIN ( f ) (REG) 580 (CHS) (PMT) -580 Prestação 5 ( n ) 5 Prazo 1,3 ( i ) 1,3 Taxa ( PV ) 2826,52 Preço à Vista 180 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação Leia com atenção as questões propostas e resolva-as utilizando a calculadora HP-12C. 1) Resolva as expressões numéricas: a) 1 10 5 2+ + . b) 5 729+ c) 27 2 3 23 + ÷. d) 3 1 9 2 + e) ln ln2 15+ 181 Matemática Financeira Unidade 12 2) Calcule 15% de R$ 1.060,00 3) Uma mercadoria é vendida por R$ 18.000,00 para pagamento em 2 meses. À vista, a loja oferece um desconto de 25%. Qual o preço da mercadoria à vista? 4) Qual o número de dias entre as datas: 21/03/2004 e 25/09/2004? 182 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Uma pessoa nasceu no dia 22/03/1972 e faleceu em 25/06/2004, quantos dias esta pessoa viveu? 6) Calcule os juros simples e o montante de um capital de R$ 25.000,00 aplicado a uma taxa de 12% a.a. durante 3 meses. 7) Quais os juros simples exatos de uma aplicação de R$ 4.320,00 durante 830 dias a uma taxa de 30% a.a. 183 Matemática Financeira Unidade 12 8) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 22.500,00 a uma taxa de juros compostos de 3,2% a.m., durante 25 meses. 9) Calcule os juros compostos de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 2 anos e 3 meses a uma taxa de 5% a.t. 10) Maria aplicou R$ 35.500,00 em um banco que paga uma taxa de juros compostos de 26% a.a. durante 20 meses. Determine o montante recebido utilizando as convenções linear e exponencial. 184 Universidade do Sul de Santa Catarina 11) Gustavo emprestou a quantia de R$ 1.545,00 a seu amigo. A taxa cobrada pelo empréstimo foi de 25%a.a. e o prazo de 3 anos e 5 meses. Calcule o valor que Gustavo obteve pelas convenções linear e exponencial. 12) Qual o montante obtido ao efetuarmos 20 depósitos de R$ 1.200,00 iguais e mensais a uma taxa de 3,1% a.m.? 13) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 12.000,00, mas a mesma pode ser financiada em 6 prestações mensais e iguais de R$ 2.400,00 cada, sendo a primeira dada como entrada. Qual a taxa mensal de juros do financiamento? 185 Matemática Financeira Unidade 12 Síntese Nesta unidade, você aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C para resolver os problemas financeiros, tais como operações aritméticas, o cálculo da potência, o cálculo do inverso de um número, o cálculo da raiz quadrada, o cálculo do logaritmo natural e o cálculo da porcentagem. Você também aprendeu como calcular o regime de capitalização simples, o regime de capitalização composta, assim como as sequências uniformes de termos postecipados e antecipados – utilizando a calculadora HP- 12C. Parabéns pelo empenho e comprometimento em sua caminhada! Saiba mais Se você quiser estudar mais profundamente o uso da calculadora HP-12C, utilize as seguintes bibliografias: GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira, objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999. .SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. ZENTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP-12c. São Paulo: Atlas. 1994. Para concluir o estudo Na disciplina Matemática Financeira, você aprendeu conceitos importantes, efetuou cálculos financeiros para determinar: juros, capitais, montantes, taxas, prazos e descontos nos regimes juros simples e compostos. Trabalhou com sequências uniformes e analisou as diversas modalidades de empréstimos, usou os diversos métodos para depreciar um bem. Entendeu a diferença entre Inflação e Correção Monetária e ainda aprendeu a utilizar a calculadora HP-12C como instrumento facilitador na resolução dos problemas. Tenho certeza que você usará os conhecimentos adquiridos no seu dia-a-dia e em futuras disciplinas da área. Professor Maurici José Dutra Referências BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002. CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996. FRANCISCO, Walter De. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 1985. GUERRA, Fernando. Matemática financeira através da HP-12C. Florianópolis: Editora UFSC, 1997. HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001. KUHNEN, Osmar Leonardo; BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira: aplicada e análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira, objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos. São Paulo: Atlas, 2003 SCHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998. ZENTGRAF, Walter. Calculadora financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1994 Sobre o professor conteudista Maurici José Dutra é mestre em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É graduado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). É professor aposentado da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi membro do conselho departamental da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi coordenador de ensino do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Foi professor e chefe do Departamento de Matemática da Fundação Universitária de Criciúma (FUCRI) de 1973 a 1975. Foi professor da Fundação e Sistema Barddal de Ensino de 2000 a 2004. Atualmente, é professor da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). É membro do núcleo de estudo em educação Matemática (NEEM). Professor-tutor na modalidade de ensino a distância da Universidade do Sul de Santa Catarina (UNISUL). Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Após resolver as atividades de autoavaliação, confira as respostas, desprezando as possíveis e mínimas diferenças causadas pelos arredondamentos das calculadoras. Unidade 1 1) Converta para a forma percentual 0,36=36% 1,25=125% 2) Converta para a forma unitária 12%=0,12 212%=2,12 3) 4) Período (n) Juros Simples Juros Compostos Juros Montante Juros Montante 1 100,00 2.100,00 100,00 2.100,00 2 100,00 2.200,00 105,00 2.205,00 3 100,00 2.300,00 110,25 2.315,25 4 100,00 2.400,00 115,76 2.431,01 194 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Ótica do captador Ótica do captador Unidade 2 1) 2) 3) obs.: 24 meses = 2 anos 195 Matemática Financeira 4) 5) n=92 dias J=C.i.n Je = 62000.0,125. 92 = 1953,42365 Jc = 62000.0,125. 91 = 1959,03360 6) 7) 196 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) 77 120,46 9) x x1 0 01 2 6000 1 0 01 85 30 10000 1 0 01 72 30 +( ) + = +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , . , . , . 11 02 6170 10240 2 02 16410 16410 2 02 8123 76 , , , , x x x x + = + = = = 10) 197 Matemática Financeira 3 8000 6500 1 0,18. 212 1 0,18. 12 6792 7767,00 14559,50 x x � � = + +� ÷� � + = + = Unidade 3 1) 2) 3) 198 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) 5) Unidade 4 1) 2) 3) 199 Matemática Financeira 4) 5) 6) 7) 200 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 5 1) 2) 3) 4) 201 Matemática Financeira 5) Unidade 6 1) 2) 202 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) 4) 5) 6) 203 Matemática Financeira 7) 8) Unidade 7 1) 204 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) 3) 4) Alternativa A R$150.000 Alternativa B A melhor alternativa é a “A”. 205 Matemática Financeira 5) Unidade 8 1) 2) 206 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) 4) 207 Matemática Financeira 5) 6) 7) 208 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 9 1) DL = 5000 n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 - - 42.000,00 1 5.000,00 5.000,00 37.000,00 2 5.000,00 10.000,00 32.000,00 3 5.000,00 15.000,00 27.000,00 4 5.000,00 20.000,00 22.000,00 2) DL = 25 000. n Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 - - 250.000,00 1 25.000,00 25.000,00 225.000,00 2 25.000,00 50.000,00 200.000,00 3 25.000,00 75.000,00 175.000,00 4 25.000,00 100.000,00 150.000,00 5 25.000,00 125.000,00 125.000,00 6 25.000,00 150.000,00 100.000,00 7 25.000,00 175.000,00 75.000,00 8 25.000,00 200.000,00 50.000,00 9 25.000,00 225.000,00 25.000,00 10 25.000,00 250.000,00 - 209 Matemática Financeira 3) R V i i i a a n = −( ) = −( ) = = 1 650000 1250000 1 0 12259386 12 259386 5 , , % . n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 - - - 1.250.000,00 1 12,259386 153.242,32 153.242,32 1.096.757,68 2 12,259386 134.455,76 287.698,08 962.301,92 3 12,259386 117.972,31 405.670,39 844.329,61 4 12,259386 103.509,63 509.180,02 740.819,98 5 12,259386 90.819,98 600.000,00 650.000,00 4) R V i i i a a n = −( ) = −( ) = = 1 15000 50000 1 0 18181118 18 181118 6 , , % . . n Taxa Constante Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 - - - 50.000,00 1 18,181118% 9.090,56 9.090,56 40.909,44 2 18,181118% 7.437,79 16.528,35 33.471,65 3 18,181118% 6.085,52 22.613,87 27.386,13 4 18,181118% 4.970,10 27.592,97 22.407,03 5 18,181118% 4.073,85 31.666,82 18.333,18 6 18,181118% 3.333,18 35.000,00 15.000,00 210 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) VD = − =60000 24000 36000 n Fração Valor da Depreciação Depreciação Acumulada Residual 0 - - - 60.000,00 1 5 15 12.000,00 12.000,00 48.000,00 2 4 15 9.600,00 21.600,00 38.400,00 3 3 15 7.200,00 28.800,00 31.200,00 4 2 15 4.800,00 33.600,00 26.400,00 5 1 15 2.400,00 36.000,00 24.000,00 Unidade 10 1) 211 Matemática Financeira 2) A = =20000 5 4000 n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 - - - 20.000,00 1 4.000,00 1.600,00 5.600,00 16.000,00 2 4.000,00 1.280,00 5.280,00 12.000,00 3 4.000,00 960,00 4.960,00 8.000,00 4 4.000,00 640,00 4.640,00 4.000,00 5 4.000,00 320,00 4.320,00 - Total 20.000,00 4.800,00 24.800,00 - 3) n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 - - - 250.000,00 1 - 21.250,00 21.250,00 250.000,00 2 - 21.250,00 21.250,00 250.000,00 3 50.000,00 21.250,00 71.250,00 200.000,00 4 50.000,00 17.000,000 67.000,00 150.000,00 5 50.000,00 12.750,00 62.750,00 100.000,00 6 50.000,00 8.500,00 58.500,00 50.000,00 7 50.000,00 4.250,00 54.250,00 - Total 250.000,00 106.250,00 356.250,00 - 212 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) 5) n Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 - - - 500.000,00 1 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00 2 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00 3 - 37.500,00 37.500,00 500.000,00 4 500.000,00 37.500,00 537.500,00 - Total 500.000,00 150.000,00 650.000,00 - 213 Matemática Financeira Unidade 11 1) 2) 3) 4) 5) 214 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 12 1) a) 21 = f REG 5 ENTER 2 x 10 + 1 + b) 32 = f REG 729 g X 5 + c) 6 = f REG 27 ENTER 3 1X Y X 2 ENTER 3 x 2 + d) 9,111111 = f REG 3 ENTER 2 Y X 9 1X + e) 3,401197 = f REG 2 g in 15 g in + 2) R$ 159,00 = f REG 1060 ENTER 15 % 3) R$ 13.500,00 = f REG 18000 ENTER 25 % 4) 188 dias = f REG g DMY 21 . 032004 g 25 . 092004 ENTER 5) 11.783 dias = f REG g DMY 25 . 062004 ENTER 22 . 031972 g 6) R$ 750,00 e R$ 25.750,00 = f REG 25000 ENTER CHS PV 12 i 90 n f INT 7) J Re = $ ,2947 07= f REG 4320 CHS PV 830 n 30 i f INT R ↓ x y< > 8)R$ 49.450,99 = f REG 22500 CHS PV 3,2 i 25 n FV 9) R$ 5.513,28 = f REG 10000 CHS PV 9 n 5 i FV RCL PV + 10) Convenção Linear (Sem a letra c no visor) M R= $ ,52483 20 = f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 n FV Convenção Exponencial (Com a letra c no visor) 215 Matemática Financeira M R= $ ,52181 02= f REG 35500 CHS PV 26 i 20 ENTER 12 n FV 11) Convenção Linear (Sem a letra c no visor) M R= $ ,3331 91= f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 n FV Convenção Exponencial (Com a letra c no visor) M R= $ ,3311 60 = = f REG 1545 CHS PV 25 i 41 ENTER 12 n FV 12) M R= $ ,32574 45 = f REG 1200 CHS PMT 3,1 i 20 n FV 13) i a m= 7 93, % . . = f REG g BEG 12000 CHS PV 2400 PMT 6 n i
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- A acumulação remunerada de cargos, quando há compatibilidade de horário, conforme a Lei Orgânica Municipal de Itabaiana, é permitida:
A) No caso de...
- A Lei Orgânica do município de Itabaiana em seu artigo 72, assim estabelece:
I. "é garantido ao servidor público civil o direito à livre associação...
- Ao utilizar as normas técnicas corretas para o controle de infecção tem-se como objetivo:
A) Preservar a saúde do profissional.
B) Proteger a trans...
- Como é denominado o processo de presa do alginato?
A) Endurecimento.
B) Polimerização.
C) Gelificação.
D) Amadurecimento.
E) Cristalização.
- Adriano, Bruno, Carlos e Diego são irmãos. Sabe-se que Diego é 2 anos mais novo que Carlos, Adriano é 1 ano mais velho que Diego e Bruno nasceu 2 a...
- Qual das figuras geométricas citadas é não-plana?
A) Triângulo.
B) Paralelogramo.
C) Circunferência.
D) Paralelepípedo.
E) Círculo.
- Mauro, Amaro e César compraram aparelhos distintos cada um, sendo um notebook, uma câmera digital e uma filmadora. Sabe-se que cada um efetuou a co...
- Numa gaveta há x pastas, todas com a mesma quantidade de envelopes. Se o número n de envelopes contido em cada pasta é igual ao triplo do número de...
- Numa determinada escola de idiomas, todos os alunos estudam alemão ou italiano. Sabe-se que aqueles que estudam inglês estudam espanhol e os que es...
- Qual das proposições abaixo é verdadeira?
A) O ar é necessário à vida e a água do mar é doce.
B) O avião é um meio de transporte ou o aço é mole.
C...
- O produto de 14 por $x$ é um número dez vezes maior que a soma de 14 e $x$. Qual é a diferença entre $x$ e 14 ?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 23
E) 25
- Sejam duas circunferências $C_{1}$ e $C_{2}$. Se o raio de $C_{1}$ tem o dobro da medida do diâmetro de $C_{2}$, quantas vezes o diâmetro de $C_{1}...
- John William Waterhouse - Mariana in the South
- 2exercicioAGO06_sfmd2s2010
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C) Gelificação.
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C) Circunferência.
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A) O ar é necessário à vida e a água do mar é doce.
B) O avião é um meio de transporte ou o aço é mole.
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- O produto de 14 por $x$ é um número dez vezes maior que a soma de 14 e $x$. Qual é a diferença entre $x$ e 14 ?
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B) 21
C) 24
D) 23
E) 25
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