Aplicação do método de eliminação de gauss estrutura da malha elétrica

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Métodos Numéricos
 Computacionais
 Luís claudio ribeiro motta filho - 5801029
Duque de Caxias
2012
Aplicação do método de eliminação de gauss estrutura da malha elétrica 
Primeiro e feito a análise das malhas 
Análise de Malhas:
• aplica-se a Lei de Kirchhoff das Tensões em volta de um percurso fechado (malha) de um circuito.
• análise de circuitos planares. Alha é um laço que não contém elementos dentro de si.
Segundo e utilizado o método de eliminação de gauss que ta explicado logo abaixo 
Método de Eliminação de Gauss
A resolução de sistemas de equações lineares e o cálculo de determinantes são dois exemplos de problemas fundamentais da álgebra linear que foram estudados desde longa data. Leibnitz encontrou em 1693 a fórmula para o cálculo de determinantes, e em 1750 Cramer apresentou um método para resolver sistemas de equações lineares, conhecida desde então como a Regra de Cramer, primeira pedra na construção da álgebra linear e da teoria das matrizes. No inicio da evolução dos computadores digitais, o cálculo matricial recebeu a atenção merecida. John von Neumann e Alan Turing eram os pioneiros mundialmente famosos da ciência da computação, e introduziram contribuições notáveis para o desenvolvimento da álgebra linear computacional. Em 1947, von Neumann e Goldstein pesquisaram os efeitos dos erros de arredondamento na resolução de equações lineares. Um ano depois, Turing iniciou um método para decompor uma matriz num produto de uma matriz triangular inferior com uma matriz escalonada (conhecida como decomposição LU). Hoje, a álgebra linear computacional é uma área de muito interesse. Isto é devido ao fato que este campo está reconhecido agora como uma ferramenta absolutamente essencial em muitas das aplicações computacionais que requerem cálculos longos e difíceis de desenvolver manualmente, como por o exemplo: em gráficos de computador, em modelagem geométrica, em robótica, etc..
Objetivo do Método 
Obter uma solução exata de um sistema de equações lineares da forma
AX = B 
onde, A é uma matriz quadrada de ordem n, X e B são vetores coluna de ordem n x 1. 
1. O método consiste em utilizar um número finito de transformações elementares e considerar elementos da diagonal principal (não nulos) chamados pivôs.
2. Se, por exemplo, aii ¹ 0 , a linha do pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficam zerados.
3. O transformado de um elemento que não aparece na linha nem na coluna do pivô é igual a este elemento menos o produto contra diagonal dividido pelo pivô.
4. O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nem na coluna anteriores.
5. O processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs.
6. Depois, inicia-se o processo de substituição para cima 
 
Depois de utilizado analise das malhas foi obtido a seguintes equações
1: (3+6+1)i1 + (-6)i2 + (-1)i3 +(0)i4 = 6
2: (-6)i1 + (6+1+2)i2 + (0)i3 +(-2)i4 = 4
3: (-1)i1 + (0)i2 + (1+4+4)i3 +(-4)i4 = 9
4: (0)i1 + (-2)i2 + (-4)i3 +(2+4+2)i4 = -5
Foi montada uma matriz logo abaixo, para aplicação da eliminação de gaus 
	10
	-6
	-1
	0
	*
	x1
	 =
	6
	-6
	9
	0
	-2
	*
	x2
	 =
	4
	-1
	0
	9
	-4
	*
	x3
	 =
	9
	0
	-2
	-4
	8
	*
	x4
	 =
	-5
E logo em seguida foi utilizado o método de eliminação de gauss no Excel 
	Passo 1: Matriz dos Coeficientes
	
	
	Sistema Linear
	
	
	10
	-6
	-1
	0
	6
	
	10i1-6i2-1i3+0i4=5
	
	
	
	
	-6
	9
	0
	-2
	4
	
	-6i1+9i2+0i3-2i4=4
	
	
	
	
	-1
	0
	9
	-4
	9
	
	-1i1+0i2+9i3-4i4=9
	
	
	
	
	0
	-2
	-4
	8
	-5
	
	
	0i1-2i2-4i3+8i4=-5
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Passo 2: Zero na 1ª coluna e abaixo da 1ª linha
	
	
	
	
	
	
	
	10
	-6
	-1
	0
	6
	
	
	
	
	
	
	
	0
	54
	-6
	-20
	76
	
	
	
	
	
	
	
	0
	-6
	89
	-40
	96
	
	
	
	
	
	
	
	0
	-20
	-40
	80
	-50
	
	
	Prova Real
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Equação 1
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Equação 2
	4
	
	
	
	Passo 3: Zero na 2ª coluna e abaixo da 2ª linha
	
	
	Equação 3
	9
	
	
	
	10
	-6
	-1
	0
	6
	
	
	Equação 4
	-5
	
	
	
	0
	54
	-6
	-20
	76
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	4770
	-2280
	5640
	
	
	
	
	
	
	0
	0
	-2280
	3920
	-1180
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Passo 4: Zero na 3ª coluna e abaixo da 3ª linha
	
	Solução do Sistema
	
	
	
	10
	-6
	-1
	0
	6
	
	x =
	1,8032
	
	
	
	0
	54
	-6
	-20
	76
	
	y =
	1,7656
	
	
	
	0
	0
	4770
	-2280
	5640
	
	z =
	1,4384
	
	
	
	0
	0
	0
	13500000
	7230600
	
	
	w =
	0,5356
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Obtemos os seguintes resultados 
X1=1,8032 x2=1,7656 x3=1,4384 x4=0,5356