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12/09/2009 1 Movimento Harmônico Simples )cos()( φω += txtx m Amplitude Frequência angular Constante de fase Deslocamento Vamos ver que o movimento oscilatório harmônico simples (MHS) é a projeção de um movimento circular uniforme (MCU) em um eixo. O Movimento Harmônico Simples e o Movimento Circular Uniforme 15.715.7 12/09/2009 2 ESTUDO DO MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME ( MCU ) r t=0 X φφφφ • Quando a esfera passa pela posição definida pelo ângulo de fase φφφφ, inicia-se a medida do tempo. • À medida que o tempo evolui o ângulo de fase θ aumenta com uma taxa ω. θ = ωt+φ 12/09/2009 3 ωt1r φ No instante t1 a posição da esfera é dada pelo raio r e o ângulo de fase θθθθ = (ωt1 +φ). X θθθθ t1 ωt2r φφφφοοοο X θθθθ t2 12/09/2009 4 T = 2π / ω No MCU o corpo gira com uma velocidade angular ωωωω constante e realiza uma volta completa no tempo T. T é o período do movimento r x CARACTERÍSTICAS DO MOVIMENTO CIRCULAR Posição: definida pelo vetor r (que gira com velocidade angular constante). v Velocidade: v é tangente à circunferência e tem módulo constante. rv rr ⊥ v = ωωωω r s θθθθ θθθθ (rad) = arco / raio s = θθθθ r 12/09/2009 5 v A aceleração é dirigida para o centro da circunferência (centrípeta). Tem módulo constante: a = v2 / r = ωωωω2 r O a X r A aceleração radial de módulo constante a = ωωωω2r. 12/09/2009 6 PROJEÇÃO DO MOVIMENTO CIRCULAR NO EIXO X X v O x = r cos θ θ r A projeção está representada pelo ponto que se desloca ao longo do eixo x. Na posição definida pela fase θθθθ : x = r cos θθθθ.... x(t) = xm cos θθθθ A faixa azul representa a projeção da posição da partícula no eixo x . xm θθθθ = ωωωωt+ φφφφοοοο 12/09/2009 7 Projeção do vetor velocidade do MCU. X O vx = - v sen θ θ θ v • vx é nula em x = ± xm e • tem valor máximo vx max = ωxm em x=0. xm-xm 0 xm-xm X vx = - ωxm v = - ωxm vx é máxima em x=0 12/09/2009 8 0 xm-xm X vx = 0 vx é zero em x = ±xm -Vmax= -ωxm Vmax =+ ωxm Vx =0Vx =0 -xm xm 12/09/2009 9 X O A- A ax = -a cos θ a = ωωωω2A θ = ωt+φο Como x = A cos(ωt +φ ) a componente x da aceleração no MCU se escreve como ax = - ωωωω2x. ax = - ω2 A cos(ωt+φ ) Projeção do vetor aceleração do MCU. A seta representa a componente x da aceleração. A componente x da força é portanto Fx = max = - m ω2 x, isto é, Fx = - k x , sendo k = m ω2. ax = - ω2x = - ω2 A cos(ωt+φ). 12/09/2009 10 As projeções da posição, velocidade e aceleração são dadas pelas expressões: Posição x = xm cos ( ωt + φ) Velocidade vx = - ω xm sen ( ωt + φ) Aceleração ax = - ω2 xm cos( ωt + φ) −−−− ωωωω é a freqüência angular (ωωωω2222 = k/m), − xm é a amplitude −−−− φφφφ é a fase inicial ou constante de fase. Como no Movimento Harmônico Simples ! Quando uma força do tipo F = - k x , sendo k constante, age sobre um corpo de massa m, o movimento resultante é um Movimento Harmônico Simples, com frequência angular GENERALIZANDO m k =ω 12/09/2009 11 F = Kx Posição de equilíbrio Circular.exe Projeção do MCU
