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Aula 13 Álgebra Linear I 1 N esta aula, você estudará um tipo especial de função. O domínio e o contradomíniodessa função serão espaços vetoriais sobre � e ela deve satisfazer algumas con-dições de linearidade. As transformações lineares aparecem no cálculo diferencial, ligadas aos conceitos de diferenciabilidade, em que curvas, num certo sentido, são aproxi- madas por retas. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de definir transformação linear de � �� � ��, dar exemplos de transformações line- ares, determinar se uma função � �� � �� é ou não linear, trabalhar com a composição de transformações lineares, e saber determinar a inversa de uma transformação linear dada. Aula 13 Álgebra Linear I2 Lembre-se do espaço vetorial �� � ���� ��� � � � � ��� � �� � �� � � �� � � � � � , em que a adição é definida por ���� ��� � � � � ��� � ���� ��� � � � � ��� � ��� � ��� �� � ��� � � � � �� � ��� e a multiplicação por ����� ��� � � � � ��� � ��������� � � � ������� � �� Se �� � �� � � � � �� � �, temos o vetor nulo do ��, o qual será indicado por ���� � ��� �� � � � � �� ��� � � ����������� ou simplesmente por 0, quando estiver claro no contexto. Assim, ���� � ��� ��� ���� � ��� �� �� etc. Trabalharemos com funções � �� � ��. Se � � � � �, você estudou no Ensino Fundamental que toda função � � � � definida por ��� � ��, para algum � � �, é chamada linear. Exemplo 1 Considere � �� � definida por ��� � ��. Construa a tabela a seguir: � � � � ��� � � � � �� �� Note que ao variarmos � de 1 para 3, de 3 para 5,� � � , isto é, em 2 unidades, � varia, respectivamente, de 3 para 9, de 9 para 15, � � � , ou seja, em 6 unidades. De maneira mais geral, se a variação em � for constante, a variação em � será também constante. Essa é uma característica importante de uma função linear. Agora, se ��� � ��, então, satisfaz as seguintes propriedades: i) se �� � � �, então, ��� �� � ���� �� � ��� �� � ��� � ���; ii) se � � � e � � �, então, ���� � ����� � ����� � � ���. Exemplo 1 x y=T(x) 1 3 3 9 5 15 7 21 Aula 13 Álgebra Linear I 3 Atividade 1 Reciprocamente, se � � � � satisfaz as propriedades (i) e (ii), é fácil ver que é linear. De fato, usando a propriedade (ii), obtemos ��� � �� � �� � � ��� � ���� � ��� em que � � ���� Portanto, poderíamos ter dito que � � � � é linear, se satisfaz as propriedades (i) e (ii) anteriores. A função � � �� � definida por ���� � ���� é uma transformação linear? Para � e� quaisquer, diremos que � �� � �� é uma transformação linear, se i) �� � � � ��� � � �, para todo �� � ��, isto é, preserva a soma; ii) ���� � � ���, para todo � � �� e todo � � �, isto é, preserva a multiplicação por escalares. Note que se � �� � �� é linear, então, pode ser dada na forma ��� � �� , em que � é uma matriz � � �. De fato, por simplificação, considere � � ��� � �. Neste caso, � � ��� �� � ��, e temos ��� � ��� �� � ����� �� � ���� ��� � � ��� �� � � ��� ��� Lembre-se de que ��� ��� ��� �� é a base canônica do ��. Como ��� �� e ��� �� pertencem ao espaço vetorial ��, sabemos que ��� �� e ��� �� podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base canônica ��� �� ��� ��� �� ��� ��� �� �� de ��, isto é, existem números (escalares) ���� ���� ���� ���� ���� ��� tais que � ��� �� � ������ �� �� � ������ �� �� � ������ �� �� ��� �� � ������ �� �� � ������ �� �� � ������ �� �� � Aula 13 Álgebra Linear I4 Atividade 2 Assim � ��� � �������� �� �� � ������ �� �� � ������ �� ���� �������� �� �� � ������ �� �� � ������ �� ��� � ������ ���� ���� � ������ ���� ���� � ������ ����� ����� � ������ ����� ����� � ������ ����� ����� ����� ����� ����� ����� � ����� ���� ����� ���� ����� ���� (vetor escrito como coluna) � ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � ��� Observe que se � � � � �, então, a matriz �� �� �, coincide com o número ��� � �. Logo, se � �� � �� é linear, ������ � � � ���� � ���� . Assim, se uma dada função � � �� � �� é tal que � ��� �� �, então, � não é linear. A função � � �� � �� dada por ���� �� � ��� �� � � �� é linear? � �� � �� é definida por ��� � �� , para todo � � ��, para alguma matriz �,�� �, pela propriedade distributiva de matrizes, temos i) �� � � � ��� � � � �� �� � ��� � � �, ii) ���� � ����� � ����� � � ���, para toda �� � �� e todo � � �; logo é linear. Exercício resolvido 1 Considere a função � �� � �� definida por ��� �� �� � ��� �� ��� a qual é chamada “projeção” no plano ��. Verifique que é uma transformação linear. 1 Aula 13 Álgebra Linear I 5 Solução De fato, se ���� ��� ��� e ���� ��� ��� � ��, então, i) ����� ��� ��� � ���� ��� ���� � ��� � �� � �� � �� � �� � ��� � � ��� � ��� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���� ��� �� e, para � � �, temos ii) ������ ��� ���� � ������������� � ��������� �� � ����� ��� �� � � � ���� ��� ��� Logo, a projeção no plano �� é uma transformação linear. Note que ��� �� �� � ��� �� �� pode ser escrito na forma ��� �� �� � � �� � � � � � � � � � � �� � �� � � � � �� � Exemplo 2 Uma empresa fabrica dois produtos, � e �. Para cada real ganho com o produto �, a empresa gasta 40 centavos com a matéria-prima, 20 centavos com a mão-de-obra e 15 centavos com as demais despesas. Para cada real ganho com o produto �, a empresa gasta 45 centavos com a matéria-prima, 35 centavos com a mão-de-obra e 10 centavos com as demais despesas. Sejam � � � �� �� �� �� �� �� �� � �� e � � � �� �� �� �� �� �� �� � �� � � e � representam o “custo por real de produção” para os dois produtos. Considerando as colunas � e �, construímos a matriz de “custo unitário”. Produto � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� matéria-prima mão-de-obra demais despesas Seja � � � �� �� � um vetor de “produção” correspondendo a �� reais do produto � e �� reais do produto �, e considere � �� � �� definida por Solução De fato, se ���� ��� ��� e ���� ��� ��� � ��, então, i) ����� ��� ��� � ���� ��� ���� � ��� � �� � �� � �� � �� � ��� � � ��� � ��� �� � ��� �� � ���� ��� �� � ���� ��� �� e, para � � �, temos ii) ������ ��� ���� � ������������� � ��������� �� � ����� ��� �� � � � ���� ��� ��� Logo, a projeção no plano �� é uma transformação linear. Note que ��� �� �� � ��� �� �� pode ser escrito na forma ��� �� �� � � � �� ��� � � � � � � � � � � � �� ��� � � �� ��� � � � � � �� ��� � Exemplo 2 Aula 13 Álgebra Linear I6 ��� � �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � �� �� � � � �� �� ���� � �� ���� �� ���� � �� ���� �� ���� � �� ���� � �� � � � �� total do custo de matéria-prima total do custo de mão-de-obra total do custo de demais despesas � �� A função transforma a lista de quantidades produzidas (medidas em reais) numa lista de custo total. A linearidade de significa que: i) se a produção for aumentada de um fator, digamos 10, de � para 10� , então, os custos aumentarão pelo mesmo fator, de ��� para 10� ; ii) se � e são vetores de produção, então, o vetor do custo total associado à produção � � é ��� � � �, ou seja, é a soma dos vetores de custo ��� e � �. Transformações do plano são as transformações lineares � �� � ��. Exibiremos algumas transformações desse tipo. Transformações de “semelhança” � �� � �� � � ��� ��� �� � ���� �� � ���� ���� em que � � �� Se � � � � �, note que leva cada vetor não-nulo � num vetor de mesmo sentido, mas de comprimento menor do que � (uma fração do comprimento de �), e temos, neste caso, uma contração. Se � � �, leva cada vetor � nele mesmo, isto é, é o operador identidade. Finalmente, se � � �, leva cada vetor não-nulo � num vetor de mesmo sentido, mas de comprimento � vezes o de �. Nesse último caso, é uma dilatação. Em todos os casos anteriores, o vetor nulo ��� �� é levado nele mesmo. Dizemos que fixa o vetor nulo. Aula 13 Álgebra Linear I 7 é claramente linear. Observe que ��� �� � � � � � � �� � � � . Transformações “reflexão em torno da origem” � �� � �� � � ��� ��� �� � ���� �� � �������� Aqui, note que leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas de sentido oposto. Temos ��� �� � ��� ��. é obviamente linear. Aqui, ��� �� � � �� � � �� �� � � � . Transformação “rotação de 90�” � �� � �� � � ��� ��� ��� � ���� ��� Aula 13 Álgebra Linear I8 Note que leva um vetor não-nulo � num vetor de mesmo comprimento, mas localizado a 90o de �, ou seja, ��� é obtido através de uma rotação de 90o do vetor �. Para tanto, observe que as retas que contêm � e ��� são perpendiculares. Aqui, ��� �� � � � �� � � �� � � � . Neste caso, temos ainda que o vetor nulo é fixado, isto é, ��� �� � ��� ��. Transformação “reflexão em torno do eixo dos �” � �� � �� � � ��� ��� ��� � ������� Note que, se � �� �, então, reflete cada vetor ��� �� em torno do eixo do �. Se � � �, então, o vetor é levado nele mesmo, isto é, qualquer vetor sobre o eixo � é deixado invariante. Aula 13 Álgebra Linear I 9 Atividade 3 Aqui, ��� �� � � � � � �� �� � � � . Verifique que as transformações “rotação de 90o” e “reflexão em torno do eixo dos �” são lineares. Sejam � � �� � �� e � � �� � �� duas transformações lineares. Lembre-se de que a função composta � �� � �� � �� é definida por (� ������, para todo � � ��, isto é, primeiro aplicamos � em � e depois � em ����. Aula 13 Álgebra Linear I10 Exercício resolvido 2 Sejam � � �� � �� ��� �� � ������ a “reflexão em torno do eixo dos �” e � � �� � �� ��� �� � ���� �� a “rotação de 90o”. Determine � � � . Solução Aqui, � � ��� �� � ��. Por definição, temos �� � ����� � �� � ����� �� � ������ ��� � ������� � ������� � � ��� ���� Logo, � � � � �� � �� ��� �� � �� � ����� �� � ��� ��� Note que � � � é linear. De fato, veja que, se ���� ���� ���� ��� � ��, então, i) �� � ������� ��� � ���� ���� � �� � ����� � ��� �� � ��� � ��� � ��� �� � ��� � ���� ��� � ���� ��� � �� ������� ���� �� ������� ���� �� ������� ���, e, se � � �, temos: ii) �� � �������� ���� � �� � ����������� � ��������� � ����� ��� � ��� � ������ ���� De um modo geral, vale o seguinte Teorema 1 Se � � �� � �� e � � �� � �� são transformações lineares, então, a composta � � � é uma transformação linear. 1 Solução Aqui, � � ��� �� � ��. Por definição, temos �� � ����� � �� � ����� �� � ������ ��� � ������� � ������� � � ��� ���� Logo, � � � � �� � �� ��� �� � �� � ����� �� � ��� ��� Note que � � � é linear. De fato, veja que, se ���� ���� ���� ��� � ��, então, i) �� � ������� ��� � ���� ���� � �� � ����� � ��� �� � ��� � ��� � ��� �� � ��� � ���� ��� � ���� ��� � �� ������� ���� �� ������� ���� �� ������� ���, e, se � � �, temos: ii) �� � �������� ���� � �� � ����������� � ��������� � ����� ��� � ��� � ������ ���� Aula 13 Álgebra Linear I 11 Prova Ora, se � � �� � �� é linear, então, ���� � �� , para alguma matriz �, � � �, e todo � � ��. Agora, como � � �� � �� é linear, temos �� � � � , para alguma matriz �, ���, e todo � ��. Assim, �� � ����� � ������� � ����� � ����� � ������ Neste caso, já sabemos, � � � é linear. Seja � � �� � �� uma transformação linear. Lembre-se de que � é injetora, se dados �� � �� com � �� , então, ���� �� �� �, isto é, � é injetora, se leva pontos distintos em valores distintos. Outra maneira equivalente de dizer isso é: ���� � �� � � � � . Evidentemente, a transformação identidade � � �� � �� � � � é injetora, pois, se ���� � �� �, então, � � . O problema é que nem sempre é fácil concluir que � é injetora ou não. Na próxima aula, daremos um critério que facilitará essa análise para funções lineares. Agora, � � �� � �� linear é sobrejetora, se dado � ��, existe � � �� tal que Aula 13 Álgebra Linear I12 ���� � , isto é, � é sobrejetora, se todo elemento de �� é imagem de algum elemento do �� através de �. Lembre-se de que o conjunto imagem de �, denotado por ����, é dado por: ���� � ���� � � � �� � ���� é um subconjunto do ��, isto é, ���� � ��, em que � denota: está contido ou é igual. Outro modo de dizer que � é sobrejetora é que ���� � ��� Exercício resolvido 3 Demonstre que a “reflexão em torno do eixo dos �” � � �� � �� ��� ��� ������ é injetora e sobrejetora. 1 Aula 13 Álgebra Linear I 13 Solução Sejam ���� ���� ���� ��� � �� tais que ����� ��� � ����� ���, isto é, �������� � ��������� Da igualdade de pares, segue que �� � �� e ��� � ���, de modo que �� � �� (multiplicando por ����). Assim, ���� ��� � ���� ���. Isso prova que � é injetora. Agora, seja ��� �� � ��.Tome ������ � �� e note que ������� � ��������� � ��� ��, provando que � é também sobrejetora. Quando � é injetora e sobrejetora, diz-se que � é bijetora. Logo, o Exercício resolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos �” é uma transformação linear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa ��� � �� � �� tal que � � ��� � ���� e ��� � � � ���� � Veja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos �” é dada por ��� � �� � �� ��� �� � ������� isto é, é ela própria. De fato, �� � ������� �� � �������� ��� � ������� � ��������� � ��� �� � ���� �� e ���� � ����� �� � �������� ��� � ��������� � ��������� � ��� �� � ���� ��� Conclusão – A inversa de uma “reflexão em torno do eixo dos �” é uma “reflexão em torno do eixo dos �”. Logo, a sua inversa é também uma transformação linear. Observação – Será mostrado na aula 14 (Núcleo e imagem de uma transformação linear), Corolário 3, que se � �� � �� é linear e bijetora, então,� � �. De um modo geral, vale o seguinte teorema. Teorema 2 Seja � �� � �� uma transformação linear bijetora. Então, a função inversa �� � �� � �� é uma transformação linear. Solução Sejam ���� ���� ���� ��� � �� tais que ����� ��� � ����� ���, isto é, �������� � ��������� Da igualdade de pares, segue que �� � �� e ��� � ���, de modo que �� � �� (multiplicando por ����). Assim, ���� ��� � ���� ���. Isso prova que � é injetora. Agora, seja ��� �� � ��.Tome ������ � �� e note que ������� � ��������� � ��� ��, provando que � é também sobrejetora. Quando � é injetora e sobrejetora, diz-se que � é bijetora. Logo, o Exercício resolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos �” é uma transformação linear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa ��� � �� � �� tal que � � ��� � ���� e ��� � � � ���� � Veja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos �” é dada por ��� � �� � �� ��� �� � ������� isto é, é ela própria. De fato, �� � ������� �� � �������� ��� � ������� � ��������� � ��� �� � ���� �� e ���� � ����� �� � �������� ��� � ��������� � ��������� � ��� �� � ���� ��� Aula 13 Álgebra Linear I14 Resumo Prova Sejam �� � �� e � � �. Como é bijetora, existem únicos � �� � � �� tais que �� �� � � e � �� � . Agora, sendo linear, temos �� � � �� � �� �� � � �� � � � e ��� �� � � �� �� � ��� Por definição de função inversa, note que ����� � � �� ��� � � �� ���� � � � � � � � e ������ � �� �� Logo, ���� � � � � � � � � ����� � ��� � e ������ � �� � � � ������ provando que �� é linear. Nesta aula, vimos o que significa uma função � �� � �� ser linear; você conheceu alguns exemplos de transformações lineares e aprendeu o critério para decidir se não é linear. Observou que toda transformação linear de �� em �� é da forma ��� � �� , para todo � � ��, para alguma matriz �, � � �. Além disso, vimos que a composta de duas transformações lineares é uma transformação linear e a inversa de uma transformação linear é uma transformação linear. Sejam � �� � �� e � � �� � �� definidas por ��� �� �� � ��� �� �� � � ��� ���� �� �� � ��� �� �� � � ��� i) Mostre que e � são lineares. ii) Determine � � e � � . iii) Encontre ��. Aula 13 Álgebra Linear I 15 Exercícios propostos 1) Mostre que as seguintes funções são lineares. a) � �� � �� definida por ��� �� � �� � ��� ��, em que � �� �. é chamada “cisalhamento paralelo ao eixo dos �”. Descreva isso geometricamente. b) � �� � �� definida por ��� �� �� � ���� � �. 2) Quais das seguintes funções de �� em �� são lineares? Justifique. a) ��� �� � ���� ���. b) ��� �� � ������ ��. c) ��� �� � �� � �� ��. 3) Sejam � � �� � �� e � � �� � �� duas funções definidas por ���� �� �� � ��� � � �� � � �� �� e ���� �� �� � ��� � � �� �� ��, respectivamente. i) Encontre � � � � �� � ��. ii) � � � é linear? ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book- man, 2001. BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1986. Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de resolvê-las. Aula 13 Álgebra Linear I16 1) Verifique que satisfaz as condições (i) e (ii) da definição. 2) a) Não é linear. Note que ��� � ���� �� ��� � ���. b) Não é linear. Calcule ��� ��. c) Não é linear. Calcule ��� ��. 3) i) �� � ����� �� �� � ��� �� � � �� ��� ii) Sim. Respostas dos exercícios propostos