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4419704-Algebra-Linear-I-Aula-13-571-Transformacoes-Lineares

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Aula 13 Álgebra Linear I 1
N esta aula, você estudará um tipo especial de função. O domínio e o contradomíniodessa função serão espaços vetoriais sobre 
� e ela deve satisfazer algumas con-dições de linearidade. As transformações lineares aparecem no cálculo diferencial,
ligadas aos conceitos de diferenciabilidade, em que curvas, num certo sentido, são aproxi-
madas por retas.
Ao final desta aula, você deverá ser capaz de definir transformação
linear de 
 � 
�� � 
��, dar exemplos de transformações line-
ares, determinar se uma função 
 � 
�� � 
�� é ou não linear,
trabalhar com a composição de transformações lineares, e saber
determinar a inversa de uma transformação linear dada.
Aula 13 Álgebra Linear I2
Lembre-se do espaço vetorial 
�� � 	���� ��� � � � � ��� � �� � 
�� � � �� � � � � �
, em
que a adição é definida por
���� ��� � � � � ��� � ���� ��� � � � � ��� � ��� � ��� �� � ��� � � � � �� � ���
e a multiplicação por
����� ��� � � � � ��� � ��������� � � � ������� � 
��
Se �� � �� � � � � �� � �, temos o vetor nulo do 
��, o qual será indicado por
���� � ��� �� � � � � �� ��� 
	 �
� �����������
ou simplesmente por 0, quando estiver claro no contexto.
Assim, ���� � ��� ��� ���� � ��� �� �� etc.
Trabalharemos com funções 
 � 
�� � 
��. Se � � � � �, você estudou no Ensino
Fundamental que toda função 
 � 
� � 
� definida por 
 ��� � ��, para algum � � 
�, é
chamada linear.
Exemplo 1
Considere 
 � 
�� 
� definida por 
 ��� � ��. Construa a tabela a seguir:
� � � � ���
� �
� 
� ��
	 ��
Note que ao variarmos � de 1 para 3, de 3 para 5,� � � , isto é, em 2 unidades, � varia,
respectivamente, de 3 para 9, de 9 para 15, � � � , ou seja, em 6 unidades. De maneira mais
geral, se a variação em � for constante, a variação em � será também constante. Essa é uma
característica importante de uma função linear.
Agora, se 
 ��� � ��, então, 
 satisfaz as seguintes propriedades:
i) se �� � � 
�, então, 
 ��� �� � ���� �� � ��� �� � 
 ��� � 
 ���;
ii) se � � 
� e � � 
�, então, 
 ���� � ����� � ����� � �
 ���.
Exemplo 1
x y=T(x)
1 3
3 9
5 15
7 21
Aula 13 Álgebra Linear I 3
Atividade 1
Reciprocamente, se 
 � 
� � 
� satisfaz as propriedades (i) e (ii), é fácil ver que 
 é
linear. De fato, usando a propriedade (ii), obtemos
 ��� � 
 �� � �� � �
 ��� � 
 ���� � ��� em que � � 
 ����
Portanto, poderíamos ter dito que 
 � 
� � 
� é linear, se 
 satisfaz as propriedades
(i) e (ii) anteriores.
A função � � 
�� 
� definida por ���� � ���� é uma transformação linear?
Para � e� quaisquer, diremos que 
 � 
�� � 
�� é uma transformação linear, se
i) 
 �� � 
 � � 
 ��� � 
 �
 �, para todo ��
 � 
��, isto é, 
 preserva a soma;
ii) 
 ���� � �
 ���, para todo � � 
�� e todo � � 
�, isto é, 
 preserva a multiplicação
por escalares.
Note que se 
 � 
�� � 
�� é linear, então, 
 pode ser dada na forma 
 ��� � �� ,
em que � é uma matriz � � �. De fato, por simplificação, considere � � ��� � �. Neste
caso, � � ��� �� � 
��, e temos
 ��� � 
 ��� �� � 
 ����� �� � ���� ���
� �
 ��� �� � �
 ��� ���
Lembre-se de que 	��� ��� ��� ��
 é a base canônica do 
��.
Como 
 ��� �� e 
 ��� �� pertencem ao espaço vetorial 
��, sabemos que 
 ��� �� e
 ��� �� podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base canônica 	��� �� ���
��� �� ��� ��� �� ��
 de 
��, isto é, existem números (escalares) ���� ���� ���� ���� ���� ��� tais
que �
 ��� �� � ������ �� �� � ������ �� �� � ������ �� ��
 ��� �� � ������ �� �� � ������ �� �� � ������ �� ��
�
Aula 13 Álgebra Linear I4
Atividade 2
Assim
� ��� � �������� �� �� � ������ �� �� � ������ �� ���� �������� �� �� � ������ �� �� � ������ �� ���
� ������ ���� ���� � ������ ���� ����
� ������ ����� ����� � ������ ����� �����
� ������ ����� ����� ����� ����� ����� �����
�
����� ����
����� ����
����� ����
(vetor escrito como coluna)
�
��� ���
��� ���
��� ���
�
�
� ���
Observe que se � � � � �, então, a matriz �� �� �, coincide com o número ��� � �.
Logo, se 
 � 
�� � 
�� é linear, 
 ������ � � � ���� � ���� . Assim, se uma dada
função � � 
�� � 
�� é tal que � ��� �� �, então, � não é linear.
A função � � 
�� � 
�� dada por ���� �� � ��� �� � � �� é linear?
 � 
�� � 
�� é definida por 
 ��� � �� , para todo � � 
��, para alguma matriz
�,�� �, pela propriedade distributiva de matrizes, temos
i) 
 �� � 
 � � ��� � 
 � � �� ��
 � 
 ��� � 
 �
 �,
ii) 
 ���� � ����� � ����� � �
 ���, para toda ��
 � 
�� e todo � � 
�; logo 
 é
linear.
Exercício resolvido 1
Considere a função
 � 
�� � 
��
definida por
 ��� �� �� � ��� �� ���
a qual é chamada “projeção” no plano ��. Verifique que 
 é uma transformação
linear.
1
Aula 13 Álgebra Linear I 5
Solução
De fato, se ���� ��� ��� e ���� ��� ��� � 
��, então,
i) 
 ����� ��� ��� � ���� ��� ���� � 
 ��� � �� � �� � �� � �� � ��� �
� ��� � ��� �� � ��� ��
� ���� ��� �� � ���� ��� ��
e, para � � 
�, temos
ii) 
 ������ ��� ���� � 
 ������������� � ��������� �� � ����� ��� �� �
� �
 ���� ��� ���
Logo, a projeção no plano �� é uma transformação linear.
Note que 
 ��� �� �� � ��� �� �� pode ser escrito na forma
 ��� �� �� �
�
��
� � �
� � �
� � �
�
��
�
��
�
�
�
�
�� �
Exemplo 2
Uma empresa fabrica dois produtos, � e �. Para cada real ganho com o produto �,
a empresa gasta 40 centavos com a matéria-prima, 20 centavos com a mão-de-obra e 15
centavos com as demais despesas. Para cada real ganho com o produto �, a empresa gasta
45 centavos com a matéria-prima, 35 centavos com a mão-de-obra e 10 centavos com as
demais despesas. Sejam
� �
�
��
�� ��
�� ��
�� ��
�
�� e � �
�
��
�� ��
�� ��
�� ��
�
�� �
� e � representam o “custo por real de produção” para os dois produtos.
Considerando as colunas � e �, construímos a matriz de “custo unitário”.
Produto
� �
� �
�
��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�
��
matéria-prima
mão-de-obra
demais despesas
Seja � �
�
��
��
�
um vetor de “produção” correspondendo a �� reais do produto � e
�� reais do produto �, e considere 
 � 
�� � 
�� definida por
Solução
De fato, se ���� ��� ��� e ���� ��� ��� � 
��, então,
i) 
 ����� ��� ��� � ���� ��� ���� � 
 ��� � �� � �� � �� � �� � ��� �
� ��� � ��� �� � ��� ��
� ���� ��� �� � ���� ��� ��
e, para � � 
�, temos
ii) 
 ������ ��� ���� � 
 ������������� � ��������� �� � ����� ��� �� �
� �
 ���� ��� ���
Logo, a projeção no plano �� é uma transformação linear.
Note que 
 ��� �� �� � ��� �� �� pode ser escrito na forma
 ��� �� �� �
�
�
��
���
� � �
� � �
� � �
�
�
��
���
�
�
��
���
�
�
�
�
�
��
��� �
Exemplo 2
Aula 13 Álgebra Linear I6
 ��� � �� �
�
��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�� �� �� ��
�
��
�
��
��
�
�
�
��
�� ���� � �� ����
�� ���� � �� ����
�� ���� � �� ����
�
�� �
�
�
��
total do custo de matéria-prima
total do custo de mão-de-obra
total do custo de demais despesas
�
��
A função 
 transforma a lista de quantidades produzidas (medidas em reais) numa lista
de custo total. A linearidade de 
 significa que:
i) se a produção for aumentada de um fator, digamos 10, de � para 10� , então, os custos
aumentarão pelo mesmo fator, de 
 ��� para 10� ;
ii) se � e 
 são vetores de produção, então, o vetor do custo total associado à produção
� � 
 é 
 ��� � 
 �
 �, ou seja, é a soma dos vetores de custo 
 ��� e 
 �
 �.
Transformações do plano são as transformações lineares 
 � 
�� � 
��.
Exibiremos algumas transformações desse tipo.
Transformações de “semelhança”
 � 
�� � 
��
� � ��� ��� �� �
���� �� � ���� ���� em que � � ��
Se � � � � �, note que 
 leva cada vetor não-nulo � num vetor de mesmo sentido,
mas de comprimento menor do que � (uma fração do comprimento de �), e temos, neste
caso, uma contração. Se � � �, 
 leva cada vetor � nele mesmo, isto é, 
 é o operador
identidade. Finalmente, se � � �, 
 leva cada vetor não-nulo � num vetor de mesmo sentido,
mas de comprimento � vezes o de �. Nesse último caso, 
 é uma dilatação. Em todos os
casos anteriores, o vetor nulo ��� �� é levado nele mesmo. Dizemos que 
 fixa o vetor nulo.
Aula 13 Álgebra Linear I 7
 é claramente linear. Observe que 
 ��� �� �
�
� �
� �
��
�
�
�
.
Transformações “reflexão em torno da origem”
 � 
�� � 
��
� � ��� ��� �� � ���� �� � ��������
Aqui, note que 
 leva cada vetor não-nulo num vetor de mesmo comprimento, mas de
sentido oposto. Temos 
 ��� �� � ��� ��.
 é obviamente linear. Aqui, 
 ��� �� �
�
�� �
� ��
��
�
�
�
.
Transformação “rotação de 90�”
 � 
�� � 
��
� � ��� ��� 
 ��� � ���� ���
Aula 13 Álgebra Linear I8
Note que 
 leva um vetor não-nulo � num vetor de mesmo comprimento, mas localizado
a 90o de �, ou seja, 
 ��� é obtido através de uma rotação de 90o do vetor �. Para tanto,
observe que as retas que contêm � e 
 ��� são perpendiculares.
Aqui, 
 ��� �� �
�
� ��
� �
��
�
�
�
.
Neste caso, temos ainda que o vetor nulo é fixado, isto é, 
 ��� �� � ��� ��.
Transformação “reflexão em torno
do eixo dos �”
 � 
�� � 
��
� � ��� ��� 
 ��� � �������
Note que, se � �� �, então, 
 reflete cada vetor ��� �� em torno do eixo do �. Se � � �,
então, o vetor é levado nele mesmo, isto é, qualquer vetor sobre o eixo � é deixado invariante.
Aula 13 Álgebra Linear I 9
Atividade 3
Aqui, 
 ��� �� �
�
� �
� ��
��
�
�
�
.
Verifique que as transformações “rotação de 90o” e “reflexão em torno do eixo
dos �” são lineares.
Sejam � � 
�� � 
�� e � � 
�� � 
�� duas transformações lineares.
Lembre-se de que a função composta � �� � 
�� � 
�� é definida por (� ������, para
todo � � 
��, isto é, primeiro aplicamos � em � e depois � em ����.
Aula 13 Álgebra Linear I10
Exercício resolvido 2
Sejam � � 
�� � 
��
��� �� � ������ a “reflexão em torno do eixo dos �”
e
� � 
�� � 
��
��� �� � ���� �� a “rotação de 90o”. Determine � � � .
Solução
Aqui, � � ��� �� � 
��.
Por definição, temos
�� � ����� � �� � ����� �� � ������ ��� � ������� � ������� � � ��� ����
Logo, � � � � 
�� � 
��
��� �� � �� � ����� �� � ��� ���
Note que � � � é linear.
De fato, veja que, se ���� ���� ���� ��� � 
��, então,
i) �� � ������� ��� � ���� ���� � �� � ����� � ��� �� � ���
� ��� � ��� �� � ���
� ���� ��� � ���� ���
� �� ������� ���� �� ������� ���� �� ������� ���,
e, se � � 
�, temos:
ii) �� � �������� ���� � �� � �����������
� ���������
� ����� ���
� ��� � ������ ����
De um modo geral, vale o seguinte
Teorema 1
Se � � 
�� � 
�� e � � 
�� � 
�� são transformações lineares, então, a
composta � � � é uma transformação linear.
1
Solução
Aqui, � � ��� �� � 
��.
Por definição, temos
�� � ����� � �� � ����� �� � ������ ��� � ������� � ������� � � ��� ����
Logo, � � � � 
�� � 
��
��� �� � �� � ����� �� � ��� ���
Note que � � � é linear.
De fato, veja que, se ���� ���� ���� ��� � 
��, então,
i) �� � ������� ��� � ���� ���� � �� � ����� � ��� �� � ���
� ��� � ��� �� � ���
� ���� ��� � ���� ���
� �� ������� ���� �� ������� ���� �� ������� ���,
e, se � � 
�, temos:
ii) �� � �������� ���� � �� � �����������
� ���������
� ����� ���
� ��� � ������ ����
Aula 13 Álgebra Linear I 11
Prova
Ora, se � � 
�� � 
�� é linear, então, ���� � �� , para alguma matriz �, � � �,
e todo � � 
��. Agora, como � � 
�� � 
�� é linear, temos ��
 � � �
 , para alguma
matriz �, ���, e todo 
 � 
��. Assim,
�� � ����� � ������� � ����� � ����� � ������
Neste caso, já sabemos, � � � é linear.
Seja � � 
�� � 
�� uma transformação linear.
Lembre-se de que � é injetora, se dados �� 
 � 
�� com � �� 
 , então, ���� ��
��
 �, isto é, � é injetora, se leva pontos distintos em valores distintos. Outra maneira
equivalente de dizer isso é: ���� � ��
 � � � � 
 . Evidentemente, a transformação
identidade 	� � 
�� � 
��
� � �
é injetora, pois, se 	���� � 	��
 �, então, � � 
 . O problema é que nem sempre é fácil
concluir que � é injetora ou não. Na próxima aula, daremos um critério que facilitará essa
análise para funções lineares.
Agora, � � 
�� � 
�� linear é sobrejetora, se dado 
 � 
��, existe � � 
�� tal que
Aula 13 Álgebra Linear I12
���� � 
 , isto é, � é sobrejetora, se todo elemento de 
�� é imagem de algum elemento
do 
�� através de �. Lembre-se de que o conjunto imagem de �, denotado por 	����,
é dado por:
	���� � 	���� � � � 
��
�
	���� é um subconjunto do 
��, isto é, 	���� � 
��, em que � denota: está contido
ou é igual. Outro modo de dizer que � é sobrejetora é que
	���� � 
���
Exercício resolvido 3
Demonstre que a “reflexão em torno do eixo dos �” � � 
�� � 
��
��� ��� ������
é injetora e sobrejetora.
1
Aula 13 Álgebra Linear I 13
Solução
Sejam ���� ���� ���� ��� � 
�� tais que ����� ��� � ����� ���, isto é,
�������� � ���������
Da igualdade de pares, segue que �� � �� e ��� � ���, de modo que
�� � �� (multiplicando por ����). Assim, ���� ��� � ���� ���. Isso prova que
� é injetora.
Agora, seja ��� �� � 
��.Tome ������ � 
�� e note que ������� �
��������� � ��� ��, provando que � é também sobrejetora.
Quando � é injetora e sobrejetora, diz-se que � é bijetora. Logo, o Exercício
resolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos �” é uma transformação
linear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa ��� � 
�� � 
�� tal que
� � ��� � 	���� e ��� � � � 	���� �
Veja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos �” é dada por
��� � 
�� � 
��
��� �� � �������
isto é, é ela própria.
De fato,
�� � ������� �� � �������� ��� � ������� � ��������� � ��� �� � 	���� ��
e
���� � ����� �� � �������� ��� � ��������� � ��������� � ��� �� � 	���� ���
Conclusão – A inversa de uma “reflexão em torno do eixo dos �” é uma “reflexão em torno
do eixo dos �”. Logo, a sua inversa é também uma transformação linear.
Observação – Será mostrado na aula 14 (Núcleo e imagem de uma transformação linear),
Corolário 3, que se 
 � 
�� � 
�� é linear e bijetora, então,� � �.
De um modo geral, vale o seguinte teorema.
Teorema 2
Seja 
 � 
�� � 
�� uma transformação linear bijetora. Então, a função inversa
�� � 
�� � 
�� é uma transformação linear.
Solução
Sejam ���� ���� ���� ��� � 
�� tais que ����� ��� � ����� ���, isto é,
�������� � ���������
Da igualdade de pares, segue que �� � �� e ��� � ���, de modo que
�� � �� (multiplicando por ����). Assim, ���� ��� � ���� ���. Isso prova que
� é injetora.
Agora, seja ��� �� � 
��.Tome ������ � 
�� e note que ������� �
��������� � ��� ��, provando que � é também sobrejetora.
Quando � é injetora e sobrejetora, diz-se que � é bijetora. Logo, o Exercício
resolvido 3 nos diz que a “reflexão em torno do eixo dos �” é uma transformação
linear bijetora. Neste caso, existe uma função inversa ��� � 
�� � 
�� tal que
� � ��� � 	���� e ��� � � � 	���� �
Veja que a inversa da “reflexão em torno do eixo dos �” é dada por
��� � 
�� � 
��
��� �� � �������
isto é, é ela própria.
De fato,
�� � ������� �� � �������� ��� � ������� � ��������� � ��� �� � 	���� ��
e
���� � ����� �� � �������� ��� � ��������� � ��������� � ��� �� � 	���� ���
Aula 13 Álgebra Linear I14
Resumo
Prova
Sejam ��
 � 
�� e � � 
�. Como 
 é bijetora, existem únicos � �� 
 � � 
�� tais que
 �� �� � � e 
 �
 �� � 
 . Agora, sendo 
 linear, temos
 �� �
� 
 �� � 
 �� �� � 
 �
 �� � � � 
e
 ��� �� � �
 �� �� � ���
Por definição de função inversa, note que
����� � � �� 
���
 � � 
 �� 
���� � 
 � � � � � 
 � e 
������ � �� ��
Logo,
���� � 
 � � � � � 
 � � 
����� � 
���
 �
e
������ � �� � � �
������
provando que 
�� é linear.
Nesta aula, vimos o que significa uma função 
 � 
�� � 
�� ser linear; você
conheceu alguns exemplos de transformações lineares e aprendeu o critério
para decidir se 
 não é linear. Observou que toda transformação linear de 
��
em 
�� é da forma 
 ��� � �� , para todo � � 
��, para alguma matriz �,
� � �. Além disso, vimos que a composta de duas transformações lineares
é uma transformação linear e a inversa de uma transformação linear é uma
transformação linear.
Sejam 
 � 
�� � 
�� e � � 
�� � 
�� definidas por
 ��� �� �� � ��� �� �� � � ��� ���� �� �� � ��� �� �� � � ���
i) Mostre que 
 e � são lineares.
ii) Determine 
 � � e � � 
 .
iii) Encontre 
��.
Aula 13 Álgebra Linear I 15
Exercícios propostos
1) Mostre que as seguintes funções são lineares.
a) 
 � 
�� � 
�� definida por 
 ��� �� � �� � ��� ��, em que � �� �. 
 é chamada
“cisalhamento paralelo ao eixo dos �”. Descreva isso geometricamente.
b) 
 � 
�� � 
�� definida por 
 ��� �� �� � ���� � 
 �.
2) Quais das seguintes funções 
 de 
�� em 
�� são lineares? Justifique.
a) 
 ��� �� � ���� ���.
b) 
 ��� �� � ������ ��.
c) 
 ��� �� � �� � �� ��.
3) Sejam � � 
�� � 
�� e � � 
�� � 
�� duas funções definidas por ���� �� �� � ��� � �
�� � � �� �� e ���� �� �� � ��� � � �� �� ��, respectivamente.
i) Encontre � � � � 
�� � 
��.
ii) � � � é linear?
ANTON, Howard; RORRES, Chis. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Book-
man, 2001.
BOLDRINI, J. L; COSTA, S. R. C; FIGUEIREDO, B. L; WETZLER, H. G. Álgebra linear. São
Paulo: Editora Harbra Ltda, 1986.
Lembrete: solicitamos ao aluno que não verifique as respostas antes de
resolvê-las.
Aula 13 Álgebra Linear I16
1) Verifique que 
 satisfaz as condições (i) e (ii) da definição.
2) a) Não é linear. Note que ��� � ���� �� ��� � ���.
b) Não é linear. Calcule 
 ��� ��.
c) Não é linear. Calcule 
 ��� ��.
3) i) �� � ����� �� �� � ��� �� � � �� ���
ii) Sim.
Respostas dos exercícios propostos

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