Apostila parte 1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE APLICADOS À METALURGIA 
CARGA HORÁRIA: 75 
 
EMENTA 
Introdução. TRATAMENTO MICROSCÓPICO: Viscosidade de fluidos metalúrgicos. 
Equação da continuidade. Balanço de quantidade de movimento. Caso do fluxo 
turbulento. Modos de transferência de calor. Transferência de calor com mudança de 
fase. Comportamento térmicos de leitos. Difusão de massa. Transferência de massa 
em sistemas fluidos. Sistemas fluido partícula. TRATAMENTO MACROSCÓPICO: 
Análise dimensional. Classificação e análise da performance de reatores. Transporte 
em leitos porosos e fluidizados. Outras aplicações. 
 
 
PROGRAMA ANALÍTICO DE AULAS DE PRELEÇÃO 
 
•••• INTRODUÇÃO: 
Escopo. Analogia entre transporte de quantidade de movimento, de calor e de massa. 
Comparação entre os tratamentos micro e macroscópico. 
 
•••• FLUIDO DINÂMICA: 
Viscosidade de gases, metais e escória. Balanço de quantidade de movimento: 
conceito, fluxo em filme, entre placas paralelas, em tubo circular e outras 
configurações. Equações de continuidade e conservação de quantidade de 
movimento. Aplicações da equação de Navier-Stokes: definição de camada-limite, 
fluxo em dutos, Lei de Stokes e outros. Manifestações físicas do fluxo turbulento. 
Equações da continuidade e de conservação para fluxos turbulentos. Aplicações a 
sistemas metalúrgicos: R.H., Tundish, recirculação em reatores e outros. 
 
•••• TRANSFERÊNCIA DE CALOR: 
Difusividade térmica em sólidos, líquidos e gases. Difusividade devido a turbulência. 
Balanço de energia para várias geometrias. Solidificação de metais em moldes de 
areia e metálicos. Lingotamento contínuo. Interação leito de partícula-fluido: hipóteses, 
coeficientes de transferência de calor, fluxo em contra corrente concorrente, leito 
estacionário com e sem calor de reação. Outras aplicações. 
 
•••• TRANSFERÊNCIA DE MASSA: 
Difusividade de massa em sólidos, líquidos e gases. Difusividade em meios porosos. 
Difusividade devido a turbulência. Correlações. Integração da equação de 
conservação para várias geometrias. Camada limite. Sistema fluido-partícula: os vários 
modelos, regimes de controle. 
 
•••• TRATAMENTO MACROSCÓPICO: 
Análise dimensional: significado dos grupos adimensionais, método dos índices, 
teorema de Buckingham, dedução dos grupos a partir das equações que regem o 
processo, importância relativa dos vários grupos, aplicações. Análise de reatores: 
reações homogêneas e heterogêneas, reações elementares, ordem e molecularidade, 
equação de Arrhenius. Reatores de batelada, de mistura perfeita e de fluxo em piston. 
Combinação de reatores. Função densidade de distribuição dos tempos de residência. 
Modelos de dispersão. Influência do aporte específico de energia no grau de mistura. 
Aplicações. 
Fatores de fricção para fluxo em tubos e sobre objetos submersos. Caracterização de 
um leito de partículas; equação D`Arcy; equação de Ergun. Curva de fluidização, 
velocidade mínima de fluidização; elutriação. Transporte pneumático. Aplicações. 
 
 
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BIBLIOGRAFIA: 
 
1 - Transport Phenomena in Metallurgy; G. H. Geiger et al ;Addison- Wesley; 1980. 
2 - Engenharia das Reações Químicas; Vol. Ι e ΙΙ; O. Levenspiel;Edgar Blucher; 1974. 
3 - The Mathematical and Physical Modeling of Primary Metals Processing Operations; 
J. Szekely et al; John Wiley & Sons; 1988. 
4 - Rate Phenomena in Process Metallurgy; J. Szekely et al; John Wiley & Sons; 1971. 
5 - Transport Phenomena; B. Bird et al.; Jonh Wiley & Sons; 1960. 
6 - Fluidization Engineering; D. Kunii et al.; Krieger; 1987. 
7 -An Introduction to Transport Phenomena in Materials Engineering; . D. R. 
Gaskell; McMillan; 1992 
8 - Gas Solid Reactions; J. Szekely et al; Academic Press, 1976. 
9 - Engineering in Process Metallurgy; R. I. L. Guthrie; Oxford University Press, 1989. 
9 - Chemical Reactor Theory, An Introduction; . K. G. Denbigh.; Cambridge University 
Press; 1984. 
10 - Elements of chemical Reaction Engineering; H. S. Fogler.; Prentice Hall; 1992. 
11 - Rate Process of Extractive Metallurg; H. Y. Sohn et al.; Plenum Press; 1979. 
12 - Fluid Flow Phenomena in Metals Processing; J. Szekely.; Academic Press; 1979 
13- Transport Phenomena And Materials Processing; . Sindo Kou; John Wiley, 1996 
14 - Kinetics of Metallurgical Reactions; . H. Shanker Ray; Int. Science Publisher, 1993 
15 - Chemical Kinetics and Reaction Mechanisms; J. H. Espenson;McGraw-Hill, 1995. 
16 - Transport and Chemical Rate Phenomena; N. J. Themelis; Gordon and 
Breach, 1995. 
17 - Introduction to Mass and Heat Transfer; S. Midleman; John Wiley,1997. 
18 - Analysis of Transport Phenomena; W. M. Deen; Oxford University Press, 1998. 
19 - Advanced Physical Chemistry for Process Metallurgy; N. Sano et al (Editors); 
Academic Press, 1997. 
20 - Principles of Metal Refining; . A. Engh; Oxford University Press, 1992 
21 - Fundamentals of Steelmaking Metallurgy; . R. Boom et al; Prentice Hall, 1993. 
22 - Transport Phenomena in Materials Processing; G. H. Geiger; TMS, 1994. 
23- Smithells Metals Reference Book; 7th edition; E.A. Brandes et al(editors); 
Buttterworth-Heinemann, 1992. 
24 - Chemical Engineering, Vol. ΙΙΙ (Chemical & Biochemical reactor Process Control); 
. Coulson & Richardson; 3a Ed., 1994 
25 - Chemical Engineering, Vol. Ι (Fluid Flow, Heat Transfer Mass Transfer); . Coulson 
& Richardson; 4a Ed., 1993. 
 3 
INTRODUÇÃO: 
 
Considere a fabricação de um determinado produto, a ser enfocada de acordo com as 
ênfases, Figura 01: 
 
1 - Aspecto ambiental, compreendendo a interação do processo produtivo com o meio 
ambiente e do produto com o meio ambiente ao longo da sua vida útil e após descarte; 
2 - Projeto, na qual se decide o que produzir, quais as características (propriedades)a 
serem atendidas, qual o nível de qualidade; 
3 - Caracterização do produto, a qual consiste na medição dos valores das 
propriedades e avaliação do comportamento (performance) do produto em serviço; 
4 - Processamento, a qual permite definir as rotas possíveis, as técnicas de controle 
de processo, de modo “a fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo 
competitivo e impacto ambiental mínimo (desenvolvimento sustentável).” 
 
O grau de importância ou a fração de tempo que um dado profissional dedica a cada 
uma destas ênfases pode variar ao longo de sua trajetória mas, muito raramente, se 
consegue ou se aconselha dedicação exclusiva a uma delas. No mínimo como fator de 
segurança profissional ante à competição entre materiais diversos como: 1- Metais e 
suas ligas (os “velhos” materiais); 2- Cerâmicos, vidros, plásticos, compósitos (os 
“novos” materiais). A preponderância de uma ou outra classe não é absoluta nem 
perene, sendo definida pela relação custo/benefício, a qual pode se alterar à luz de 
novos conhecimentos e tecnologias. 
Obviamente a divisão citada acima é de caráter arbitrário e pode ser, neste aspecto, 
amplamente criticada. Seu principal mérito seria o de apresentar a motivação para o 
estudo de Fenômenos de Transporte: “fabricar o produto, com as propriedades 
requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mínimo”, o que pode ser 
alcançada com a aplicação de suas ferramentas. 
Também se deve considerar que outras disciplinas como Termodinâmica e Cinética 
química devem ser envolvidas. 
 
Exemplo 01:A homogeneização térmica ou composicional de um “banho” de metal 
líquido através de insuflação de gás é uma operação comum em metalurgia, Figura 
02. As bolhas geradas na região do plugue poroso ao ascenderem – por força do 
empuxo – no seio do líquido provocam a movimentação do mesmo. A turbulência e as 
correntes de convecção geradas da interação entre as bolhas e o metal são os 
responsáveis principais pela dispersão de gradientes de temperatura e de composição 
 
 
 
 
Figura 01: Ênfases de atuação
em Engenharia de Materiais 
 
Alternativamente os fenômenos de transferência de quantidade de movimento 
(movimentação do líquido), transferência de massa, transferência de energia estão 
todos interligados e a otimização e/ou o controle do processo envolve quantificar e/ou 
controlar estes fluxos. 
 4 
 
 
 
Figura 02: Insuflação de gás inerte em líquido metálico. 
 
Exemplo 02: Vários esquemas podem ser propostos para a reciclagem de lixo 
doméstico. Aquele apresentado na Figura 03 é devido ao United States Bureau of 
Mines apresenta como principal característica incluir operações unitárias e 
equipamentos típicos de processamento de minerais: ciclones, peneiras, separador 
magnético, etc. Claramente os princípios científicos incluídos no projeto e operação 
destes equipamentos não mudam, quer se trate de minérios quer se trate de rejeitos 
domésticos; entretanto os valores dos parâmetros operacionais podem diferir. Muito 
dificilmente a descrição de cargos tradicional de um engenheiro de Minas ou 
Metalurgia incluiria a reciclagem de rejeitos domésticos mas, claramente, as bases 
estão lançadas. 
 
Exemplo 03:Peças constituídas do composto intermetálico TiAl são do interesse da 
indústria aeronáutica por apresentarem: baixa densidade; boas propriedades 
mecânicas em temperaturas altas; resistência à oxidação. 
Um procedimento de fabricação poderia envolver as operações: reunir Ti e Al, na 
proporção 1:1; fundir a mistura, obtendo líquido Ti - Al; vazar em molde apropriado; 
conformar mecanicamente (estrusão, laminação, forjamento, etc.). A última etapa 
deste procedimento estaria provavelmente fadada ao fracasso pois a liga Ti - Al se 
mostra extremamente frágil em temperaturas baixas, o que contra-indica qualquer 
trabalho mecânico. 
Outro procedimento compreenderia: reunir pós ou grânulos de Ti e Al obtidos 
separadamente, na proporção 1:1; conformar à forma desejada da peça a mistura 
mecânica dos metais Al e Ti, desde que, puros, são extremamente dúteis; provocar a 
interdifusão dos metais, a qual pode ser grandemente acelerada pelo emprego de 
temperaturas altas, neste caso ligeiramente superiores à temperatura de fusão do Al, 
de modo a formar o intermetálico. Este pode ser reconhecido como típico na produção 
de cerâmicos a partir de precursores de alta temperatura de fusão. 
 
Estes exemplos procuram ressaltar que os princípios que embasam disciplinas 
fundamentais como termodinâmica, cinética química, fenômenos de transporte (e 
muitas outras) são de aplicação generalizada e por tal merecem ser enfatizados. 
 
 5 
 
Figura 03: Esquema para reciclagem de lixo doméstico, de acordo com o USBM 
 
 
Fenômenos de Transporte pode ser, claramente, traduzido como Mecânica dos 
Fluidos, Transferência de Massa e Transferência de Calor, não necessariamente nesta 
ordem. O escopo de cada uma delas pode ser feito bastante abrangente e profundo. A 
motivação para reuní-las em fenômenos de transporte se deve a dois fatores 
principais. Primeiro, como exemplificado, transporte de calor, massa e quantidade de 
movimento podem se dar simultaneamente, um influindo sobre o outro. Segundo 
existem similaridades físicas e matemáticas que podem abreviar um estudo conjunto. 
 
Por exemplo denotando por φ a concentração volumétrica de uma dada grandeza, 
seja ela massa, calor ou quantidade de movimento, se pode apontar ao menos duas 
contribuições comuns ao transporte. 
 
Convecção: Relacionada ao transporte da grandeza através de uma superfície de 
controle (real ou imaginária) pelo movimento do meio. No caso da espécie (elemento 
ou composto) A contida, em concentração CA [mol/m3] , em um meio que se move com 
velocidade Vy [m/s] ,a quantidade da mesma que atravessa uma superfície de controle 
estática (imaginária ou real) de orientação perpendicular ao fluxo e área dS [m2] seria 
dada, vide Figura 5, por ]m/[C].m[dS].s/m[V 3A2y Amols , expressão que corresponde 
ao produto entre a vazão volumétrica do meio e a concentração da grandeza. 
 
Concentração volumétrica de calor e de quantidade de movimento poderiam ser 
definidas, respectivamente, como φ igual a ip VouTC ρρ onde representam : ρ 
[Kg/m3], a massa específica do meio; Cp [J/Kg.K], o calor específico do meio; T [K] a 
temperatura do meio; Vi [m/s], a velocidade do meio na direção i. Deste modo as 
equações de transporte seriam 
 6 
φ].[]./[ 2mdSsmVy 
]}/[{].[]./[ 32 mJTCmdSsmV py ρ 
]}./[{].[]./[ 22 smKgVmdSsmV iy ρ 
 
 
Figura 5: Transporte convectivo e por difusão. 
 
Difusão: A força motriz de processos de transporte por difusão está relacionada à 
existência de gradientes de uma dada grandeza. Por exemplo observa-se transporte 
de uma dada espécie sob ação de gradientes de : Potencial gravitacional; 
Temperatura ; Pressão; Potencial Elétrico; Potencial Químico e outros. Campos 
elétricos ou gradientes de potencial elétrico são particularmente atuantes no caso de 
transporte de espécies carregadas, por exemplo ións durante eletrólise ou eletrorefino. 
Gradientes de potencial químico podem ser, numa dada fase, relacionados a 
gradientes de composição, e dão origem à difusão ordinária (por ser a mais comum). A 
lei de Fick pode ser utilizada para o cômputo da velocidade de transporte por difusão. 
A Termodinâmica requer que o transporte seja espontâneo desde o ponto de mais alto 
potencial químico (maior concentração) até o ponto de menor potencial químico(menor 
concentração), de modo que, Figura 5, 
][
]/[
]./[]s .mA / mols[
3
22
mdy
mAmoldC
smDJ AAA −= 
onde DA representa o coeficiente de difusão da espécie A no meio, em geral 
determinado experimentalmente, como uma função de propriedades do meio e da 
espécie A (isto é, da temperatura, pressão, composição, estado físico, pressão, etc.). 
dy
dcA
 representa o gradiente de grandeza ou força motriz do processo, medida indireta 
do gradiente de Potencial Quimico ( verdadeira causa da difusão quimica, ordinária). 
 
Expressões correspondentes para o transporte difusivo de calor e quantidade de 
movimento seriam do tipo 
][
]/[
]./[]s .m / [
3
22
mdy
mJTCd
sm
C
KJq
p
p
x
ρ
ρ
−= 
][
].m/ []./[]m / [
2
22
mdy
sKgVd
smN xxy
ρ
ρ
η
τ −= 
onde representam: η [Kg.m-1.s-1], a viscosidade dinâmica; k [J/m.s.K], a condutibilidade 
térmica do meio. A razão K/ ρ .Cp é denominada difusividade térmica do meio, 
 7 
enquanto ρη / é conhecida como viscosidade cinemática ou difusividade de 
quantidade de movimento. As expressões anteriores representam, claramente, as Leis 
de Fourier (de difusão ou condução de calor) e de Newton (de definição de 
viscosidade), Figura 6. 
 
Em resumo, considerando os valores das contribuições difusiva e convectiva por 
unidade de área : 
 
Tabela I : Similaridades entre expressões para cálculo de contribuições difusiva e 
convectiva. 
Grandeza φ Convecção Difusão 
Espécie A vy.CA -DA dCA / dy ; Lei de Fick 
Calor vy. {ρCPT} -K/ρCP. d{ρ.CP.T}/dy ] ; Lei de Fourier 
Quantidade de movimento vy.{ρvy} -η/ρ. d{ρ.vy}/dy ; Lei de Newton 
 
Em qualquer das disciplinas, Mecânica dos Fluidos, Transferência de Calor, 
Transferência de Massa, Balanços de Conservação são rotineiramente utilizados para 
a análise dos problemas. Em termos de uma Grandeza genérica φ , igual a CA, , ou 
ρCPT, ou ρvy , um Balanço de Conservação poderia ser escrito como: 
 
Taxa (ou velocidade) de acumulação da Grandeza no interior do Volume de Controle 
(VC) 
= 
Taxa (ou velocidade) líquida de entrada (taxa de entrada menos taxa de saída) da 
Grandeza no V.C., através da Superfície de Controle (S.C.) por meio do mecanismo 
de convecção 
+ 
Taxa líquida de entrada da Grandeza no V.C., através da S.C., por meio do 
mecanismo de Difusão 
+ 
Outras Contribuições 
 
vide Figura 7. 
 
Deste
modo se pode antever que as equações dos balanços de φ , independente da 
natureza da Grandeza em foco, serão estruturalmente e formalmente idênticas, de 
modo que procedimentos analíticos e numéricos de solução apresentarão 
caracterísiticas comuns. Este seria um atrativo extra do enfoque Fenômenos de 
Transporte, em comparação com Mecânica dos Fluidos, Transferência de Calor, 
Transferência de Massa. 
 
 
TRANSPORTE DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO (Q.M.): 
 
Inicialmente se considera a dedução da Equação da Continuidade, que reflete o 
princípio de conservação de massa. Esta equação em geral se emprega associada à 
equação do balanço de Conservação de Q.M. e a outras, de acordo com as 
especificidades da situação em análise. O procedimento analítico de construção da 
equação da continuidade – tanto a nível macroscópico quanto a nível microscópico – 
pode ser empregado na dedução das equações dos balanços de conservação. Então 
uma breve revisão pode ser útil. 
 
 
 8 
 
Figura 6: Fluxos difusivos de calor, espécie e quantidade de movimento 
 
 
Figura 7: Região de escolha para construção do Balanço de Conservação de φ  
 
Seja por exemplo um Volume de Controle (VC) na forma de um paralelepípedo 
infinitesimal, estático, de faces paralelas aos planos coordenados de um sistema tri-
ortogonal OXYZ e apresentando arestas de comprimento ∆ X, ∆ Y e ∆ Z, vide Figura 
8. 
 
Um meio em movimento relativo a este volume de controle atravessa suas superfícies 
de controle (SC), as faces do paralelepípedo, obliquamente de modo que podem ser 
identificadas componentes locais do vetor velocidade, Vi=x,y,z (t,x,y,z). Modo geral, 
 9 
como indicado, a velocidade é função da posição e do tempo. Deste modo o balanço 
de conservação de massa apresentaria como termos: 
 
a) Termo em acumulação, de massa no volume de controle: 
 
dt
d
 { ∆x.∆y.∆z . ρ} ≡ ∆x.∆y.∆z. 
dt
dρ
 
onde ∆x.∆y.∆z [m3] representa o volume do V.C. e ρ [Kg / m3] a massa específica. 
 
b) Termo em contribuição ao acúmulo de massa no interior do VC, por meio de 
convecção; este deve ser calculado levando-se em consideração as seis faces do VC 
e, matematicamente, seriam equivalentes ao produto da vazão volumétrica e da 
massa específica em cada face, portanto: 
- relativa à face perpendicular ao eixo oy, paralela ao plano coordenado OX/OZ 
{vy. ∆x.∆z}. ρy=y – vy.∆x.∆z.ρy=y+∆y 
onde representam : vy [m/s], a componente OY do vetor velocidade; ∆x. ∆ z [m2], a 
área da superfície de fluxo; ρ [kg/m3], a massa específica do meio. 
 
 
 
 
Figura 8: Volume de controle para construção, a nível microscópico, de um balanço de 
conservação de massa. 
 
Claramente o produto {vy. ∆x.∆z} denota a vazão volumétrica e a expressão anterior 
implica que os valores das varíáveis devem ser avaliados nos pontos específicos, por 
serem função do tempo e da posição. 
 
- relativa à face perpendicular ao eixo OX, paralela ao plano coordenado OZ/OY. 
{vx. ∆y.∆z}. ρx=x – vx.∆y.∆z.ρx=x+∆x 
 
- relativa à face perpendicular ao eixo OZ, paralela ao plano coordenado OX/OY. 
 {vz. ∆x.∆y}. ρz=z – vz.∆x.∆y.ρz=z+∆z 
 
Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por ∆x.∆y.∆z, 
z
VV
y
VV
x
VV
dt
d zzzzzzzyyyyyyyxxxxxxx
∆
−
+
∆
−
+
∆
−
=
∆+==∆+==∆+==
ρρρρρρρ .......
 
 
e tomando os limites, quando, simultaneamente, ∆x tende a zero, ∆y tende a zero e 
∆z tende a zero, resulta a forma infinitesimal da equação da continuidade ou forma 
microscópica, 
 10 
( ) ( ) ( )zyx V
z
V
y
V
xt
... ρρρρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂−
 
 
Procedimento análogo pode ser empregado para se expressar o princípio de 
conservação de massa, para volumes de controle macroscópicos e/ou em outros 
sistemas de coordenadas. 
 
Conservação de Quantidade de Movimento, mV 
 
A expressão de conservação de quantidade de movimento pode ser escrita como: 
 
Taxa de acumulação de Q.M. no V.C 
= 
Taxa líquida de entrada de Q.M. no VC, através das SC, via convecção 
+ 
Taxa líquida de entrada de Q.M. no VC, através das SC, via difusão 
+ 
Outras Contribuições 
 
Matematicamente a Taxa de acumulação de Q.M. no V.C. pode ser descrita como a 
derivada em relação ao tempo do produto m.
→
V ; portanto representa a força atuante 
sobre o VC, o que permite que o Balanço de Conservação de Q.M possa ser lido como 
uma aplicação da Segunda lei de Newton: 
 
Resultante das forças que agem sobre o V.C 
= 
Forças de natureza convectiva 
+ 
Forças de natureza difusiva 
+ 
Outras forças 
 
Esta grafia pode ser mais conveniente porque, em geral, os engenheiros mantém mais 
familiaridade com o conceito de força, em comparação com o conceito de fluxo de 
quantidade de movimento. Observe-se, por exemplo, que a lei de Newton, de definição 
de viscosidade envolve Tensão de Cisalhamento. 
 
Note-se também que, sendo a Q.M. uma grandeza vetorial (vx , vy, vz) o balanço de 
conservação também apresentará esta característica. 
 
Seguindo o tratamento que interpreta fluxos de QM como forças atuantes sobre o 
volume de controle seria importante identificá-las. 
A força de natureza convectiva pode ser caracterizada considererando o movimento 
de um fluido em um tubo, em regime permanente e laminar, tal como esquematizado 
na Figura 9. O tubo apresenta seção reta variável e sua forma é qualquer. Deste modo 
a velocidade do fluido pode variar ao longo de uma dada seção reta e ao longo do 
tubo. De modo a permitir o cálculo das forças de natureza convectiva pode ser isolado, 
no interior do tubo, um outro tubo – desta feita imaginário – cujas paredes sejam linhas 
de fluxo. Como por definição os vetores velocidades são tangentes às linhas de fluxo 
então, por consequencia, não existe fluxo de matéria através das paredes deste tubo 
imaginário, apenas através de sua seção reta. O tubo imaginário pode ser feito tão 
estreito que, virtualmente, não se observem variações significativas de velocidade ao 
longo de uma certa seção reta, de área δ A. Deste modo o vetor velocidade seria 
também perpendicular a esta área infinitesimal de fluxo, mas poderia comportar 
 11 
variações em módulo e orientação ao longo do tubo imaginário. Portanto escolhe-se 
um VC ainda mais restrito, compreendido entre duas seções retas infintesimais, muito 
próximas; tal permite desprezar as variações citadas. 
 
Então, considerando o volume de controle destacado, que contém massa na 
quantidade ρδδ≡δ .t.V.Am , onde representam: δ A [m2], a área de seção reta de fluxo; 
V [m/s], a velocidade do fluido; δ t [s], o intervalo de tempo necessário para preencher 
o VC; ρ [Kg/m3], a massa específica do fluido se pode estimar a componente OY (por 
exemplo) da força que age sobre o V.C. como se segue : 
 
 
 
Figura 9: Esquema para cálculo de força de natureza convectiva. 
 
( ) ( ) yyyy VAVt
V
tAV
t
V
mF δδρδ
δδδρδ
δδδ ........ === 
yy VQF δδρδ ..≡ 
 
Finalmente, a componente Fy, que age sobre todo o tubo imaginário resulta da 
integração: 
 
∫∫ ==
2
1
2
1
..
seção
seção y
seção
seção yy
VQFF δδρδ 
 
onde se considera o princípio de conservação de massa, isto é a constância do 
produto ρ.δ Q ao longo do tubo (em regime permanente), isto é: { }12 seçãoyseçãoyy VVQF −= δρ 
 
Portanto, de modo geral, para i = x,y,z, ( )1seçãoi2seçãoii VVQF ρ−ρδ= , expressão da forma 
“Força na direção i igual ao produto entre vazão volumétrica e concentração de 
quantidade de movimento na direção i”, como antecipado. 
 12 
 
A contribuição difusiva pode ser auferida a partir do análogo mecânico que permitiu a 
Newton conceituar a propriedade viscosidade de um fluido, vide Figura 10. Neste caso 
considera-se o movimento unidirecional de um
fluido, sobre uma placa estática. O 
perfil esquematizado se desenvolve devido à ”condição de não deslizamento”, a qual 
implica em que, no ponto de contato fluido/superfície, as velocidades dos meios são 
iguais. Newton propôs visualizar o fluido como um conjunto de placas imaginárias, 
superpostas e se movendo, todas, na direção oy, porém com velocidades diferentes. 
 
 
 
Figura 10: Fluxo uniderecional de um fluido sobre uma placa imaginária, estática. 
 
Então, devido ao movimento relativo entre duas placas contíguas se desenvolveria 
uma força de atrito, tal que: 
dz
dVy
yz .ητ −= 
 
onde representam : τyz , a tensão de cisalhamento, força por unidade de área; y 
(índice), direção da força; z (índice), direção da superfície de atuação do esforço; η, 
coeficiente de viscosidade dinâmica; Vy , velocidade na direção OY. 
dz
dVy
 representa o gradiente de velocidade, causa da existência da força de atrito entre 
as camadas imaginárias de fluido. 
 
Nos casos mais simples estas relações são suficientes para a montagem de um 
balanço de conservação de QM e para a determinação de parâmetros de engenharia 
como, vlaor médio de velocidade, equação do perfil de velocidade, força de arraste, 
etc ; as equações completas serão comentadas posteriormente. 
 
Exemplo 04: Considere o fluxo de um fluido incompressível, Newtoniano, em regime 
permanente, laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como 
esquematizado na Figura 9. Como indicado a abertura da ranhura é igual a 2δ , valor 
muito inferior à largura da mesma, W; deste modo os efeitos devidos ao atrito entre o 
fluido e as paredes laterais da ranhura – que naturalmente devem existir como 
contenção ao fluido – podem ser desprezados. A condição de não deslizamento, isto é 
a consideração que “as velocidades de fluido e superfícies nos pontos de contato são 
iguais”, sugere o perfil de velocidades esquematizado em (a), desde que se possa 
admitir simetria em relação a um plano paralelo às superfícies, situado à meia 
distância. As causas, forças motrizes, para tal movimento podem ser várias, tais como 
gravidade, diferença de pressão. Admita-se que, neste caso, para efeito de 
simplificação, apenas esta última seja relevante. Por exemplo orientação do vetor 
gravidade tal como indicada (isto é, gravidade não lnflui no fluxo) e que a força motriz 
do fluxo seja um diferencial de pressão representado por 
L
PPL 0−
. 
 13 
 
Embora qualquer sistema de coordenadas, orientado a bel-prazer, possa ser utilizado 
para a descrição matemática do fluxo a escolha natural reside em definir um sistema 
tri-ortogonal de referência, com um dos planos coordenados, por exemplo OXY, 
coincidente com o plano de simetria de fluxo, localizado a meia distância entre as duas 
placas fixas. A conseqüência mais visível (e frutífera) desta escolha -- que faz a 
direção coordenada OY coincidir com a direção do fluxo – consiste em se obter 
componentes Vx e Vz nulas, em qualquer posição. Esta conseqüência se mantém para 
qualquer outro sistema de coordenadas que resulte de uma operação de translação 
aplicada sobre o anterior. 
 
Com estes dados em mente e a partir da equação da continuidade se encontra 
zyx V
z
V
y
V
xz
ρρρρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
− 
0tan, =∂
∂
→ teConszxyVy
 
pois o fluido é incompressível (ρ não varia ) e o fluxo é unidirecional (Vx e Vz são 
nulos). A equação anterior informa que para um valor fixo de Z, portanto de distância a 
uma das placas, o valor da velocidade Vy se mantém inalterado, independente do valor 
de Y. É a expressão matemática da condição de “fluxo completamente desenvolvido”, 
indicando que o perfil de velocidades não se altera na direção do fluxo. Naturalmente 
implica, também, Vy (z) ; isto é equações diferenciais ordinárias devem ser capazes de 
descrever o fluxo. 
 
De modo a realizar o balanço de conservação de Q.M. considera-se um V.C. 
correspondente a uma fatia imaginária de fluido, situado entre as coordenadas y = 0 e 
y = L , e entre dois planos, paralelos ao plano coordenado oxy e distantes entre si de 
∆z, ver Figura 11. Esta escolha de forma e orientação do V.C. reduz o número de 
termos (contribuições) a serem considerados no balanço. Por exemplo os vetores 
velocidade Vy são paralelos (tangentes) às faces superior e inferior do VC; através 
destas faces não existe fluxo de matéria e portanto nelas não atuam forças de 
natureza convectivas. Logo, na expressão do balanço de conservação de quantidade 
de movimento na direção coordenada OY se identificam os termos: 
 
Resultante das forças que agem sobre o V.C 
= 
Forças de natureza convectiva 
+ 
Forças de natureza difusiva 
+ 
Outras forças 
 
isto é , como Taxa de Acumulação , { }yV..zLwdt
d ρ∆ , onde representam : ∆z.L.w [m3], o 
volume do V.C.; ρ [Kg/m3], a massa específica do fluido; Vy [m/s], a componente Vy de 
velocidade; [m/s]. 
Além desta, termos em convecção do tipo ii V..QF ρδ=δ , que se calculam como: 
( ) ( ) Lyyyyyy VVzwVVzw == ∆−∆ ...... 0 ρρ 
 
mas que se anulam em função das restrições: fluido incompressível e fluxo 
completamente desenvolvido. Note-se que o valor de Vy em y=0 é igual ao valor de Vy 
em y=L, e que o mesmo se aplica em relação a ρ . 
 14 
 
 
 
Figura 11: Diagrama esquemático para tratamento do fluxo em uma ranhura. 
 
 
Finalmente a geometria do problema permite a aplicação direta da analogia de 
Newton, a qual permite identificar esforços cizalhantes aplicados sobre as faces 
inferior e superior do VC na forma 
dz
dVy
yz ητ −= 
 
Observe-se que o índice y denota direção de atuação da força enquanto o índice z 
denota a direção da superfície de atuação. Portanto, contabilizado sobre as duas 
superfícies, zzzyzzzyz wL.wL. ∆+== τ−τ . 
Finalmente, em outras contribuições ou forças, se considera a queda de pressão na 
ranhura, Ly0y z.w.pz.w.p == ∆−∆ , de modo que, coletando e reordenando os termos 
resulta 
{ } ( ) ( ) { } { }LyyzzyzzzzyzLyyyyyyy ppzwwLVVzwVVzwVzLwdtd ===∆+=== −∆+−−∆−∆=∆ 00 ......... ττρρρ
 
ou 
L
pp
z
0 L0
zyzzzyz
−
∆+
+
∆
τ−τ
−= , desde que a Taxa de Acumulação e a Contribuição 
convectiva são nulas. 
 
Então a equação diferencial que descreve o fluxo seria 
L
pp
dz
d
0 L0yz −+
τ
−= ou, 
alternativamente, desde que o fluido é newtoniano 
 15 
L
pp
dz
dV
dz
d Ly −+





−−=
00 η 
L
pp
dz
Vd Ly −+= 02
2
0 η 
 
a ser integrada com as condições de contorno 
 
C.C.1: z = ± δ; Vy = 0 ; Expressão matemática da condição de não deslizamento 
C.C.2: z = 0; dvy/dz = 0; Plano coordenado OXY é plano de simetria. 
 
Resulta após separação de variáveis, duas seqüências de integração e aplicação das 
condições de contorno, 
( )220
2
z
L
pp
v Ly −
−
= δ
η
 
a qual representa a equação relativa ao perfil de velocidades. 
 
A vazão de fluido na ranhura se calcula considerando uma seção de fluxo infinitesimal, 
de área w.dz, localizada na posição z, Figura 12, isto é 
dzwVQ y ..=δ 
( )∫ =
−=
−
−
=
δ
δ
δ
η
z
z
L dzz
L
ppwQ 220
2
)(.
 
 
 
Figura 12: Volume de controle para cálculo de vazão na ranhura 
 
 
Por outro lado a força cisalhante sobre um plano paralelo ao plano coordenado oxy, 
situado na posição Z 
zz
y
yzzz Lwdz
dV
F
==






−== ..ητ 
 
onde Y representa a direção do esforço, Z representa a direção da superfície de 
atuação, e w.L a área de atuação. Para um plano qualquer 
( )LLzz ppzwzL
pp
LwF −=
−
=
= 0
0
..2.
2
...
η
η 
 16 
e, especificamente, para o plano superior, em z = δ, ( )L0z pp..wF −δ=δ= . Desde que o 
regime é permanente então a resultante das forças
que age sobre todo o fluido contido 
entre as placas deve ser nula. Esta forças são duas: 1- a força devida à diferença de 
pressão aplicada entre os extremos , causa do movimento; 2- o atrito do fluido contra 
as superfícies da ranhura, resistência que se impões ao movimento. Como mostrado 
estas duas força se anulam. 
 
 
Equação Geral de Conservação de Quantidade de Movimento: 
Problemas relativos ao movimento de fluidos podem ser estudados através da 
metodologia proposta de construção de balanço de QM, específico da situação. 
Esta tarefa se complica nos casos em que o fluxo é oblíquo em relação aos eixos 
coordenados, o que implica na necessidade de se construir balanços para cada 
direção coordenada. Resulta também que as variáveis de interesse, por exemplo 
velocidade, sejam funções de mais de uma coordenada espacial; logo as equações 
descritivas seriam, potencialmente, em derivadas parciais. A descrição matemática da 
situação física tratada anteriormente – fluxo em regime permanente e laminar, 
unidirecional, de um fluido incompressível e Newtoniano em uma ranhura – seria 
significativamente complicada pela escolha de um sistema de coordenadas tri-
ortogonal com eixos orientados aleatoriamente em relação à ranhura. Neste caso se 
nota, prontamente, que apesar da unidirecionalidade do fluxo, todas as componentes 
da velocidade seriam não nulas e dependentes das três coordenadas espaciais, Vi 
(x,y,z). Perdem-se também todas as facilidades matemáticas que poderiam advir da 
condição de simetria em relação ao plano médio da ranhura. 
Nem sempre é possível escolher um sistema de coordenadas e sua orientação tal que 
a descrição matemática de um dado fluxo resulte em equações que apresentem 
soluções analíticas; entretanto é sempre possível, através de uma escolha 
inconveniente, complicar. 
Em qualquer dos casos outra possibilidade seria lançar mão de equações gerais de 
conservação, facilmente encontráveis na literatura, que seriam devidamente 
simplificadas, com base em argumentos físicos, para retratar uma dada situação. O 
processo de construção da equação geral, válida para o sistema triortogonal, se 
apresenta a seguir. 
Considere-se, vide Figura 13, um volume de controle estático, na forma de um 
paralelepípedo, de faces paralelas aos planos coordenados e apresentando arestas de 
comprimento ∆ x, ∆ y e ∆ z. Um meio contínuo atravessa este volume de controle em 
direção oblíqua ao mesmo, de modo que todas suas faces estão sujeitas a esforços, a 
serem descritos por meio do Tensor de Esforços, ijτ , Figura 14. Este tensor resulta 
da decomposição, nas três direções coordenadas, do esforço que atua sobre uma 
dada face do volume de controle. Por convenção o primeiro sub-índice i representa a 
direção da superfície de atuação do esforço enquanto o segundo sub-índice j 
representa a direção do esforço. Por exemplo zyτ indica uma tensão de cizalhamento 
que atua na direção OY, sobre uma superfície perpendicular ao eixo coordenado OZ; 
yyτ representa um esforço de compressão/tração de direção OY, aplicado sobre 
superfície perpendicular ao eixo coordenado OY. Na realidade o tensor de Esforços é 
simétrico, de modo que ijτ = jiτ e então nem todas as nove componentes do tensor 
são independentes. 
 
A título de exemplo as forças atuantes na direção coordenada OY seriam: 1 – 
convectivas, na forma δ Fy = ρ δ Q.Vy, sendo que a vazão deve ser calculada sobre 
as seis faces do VC; 2- difusivas, ou esforços computados por meio das componentes 
τ zy , τ xy e τ yy do tensor, também com contribuições em todas as seis faces do VC; a 
 17 
componente OY devida à pressão, Py, desde que é praxe considerar (subtrair) pressão 
em separado das componentes compressivas do tensor de esforços; a componente 
OY do peso do volume de controle. Deste modo os termos do Balanço de 
Conservação de QM seriam: 
 
a) Termo em acumulação de quantidade de movimento no VC, direção OY: 
dt
d
 { ∆x.∆y.∆z . ρ.Vy} ≡ ∆x.∆y.∆z. dt
Vd yρ
 
 
 
 
Figura 13: Volume de controle estático empregado para balanço de conservação de 
QM. 
 
b) Termos em contribuição ao acúmulo de quantidade de movimento no interior do VC, 
por meio de convecção; este deve ser calculado levando-se em consideração as seis 
faces do VC e, matematicamente, seriam equivalentes a δ Fy = ρ δ Q.Vy . Uma das 
contribuições compreenderia { ρ ∆ y ∆ z.Vx}.Vy |x=x - { ρ ∆ y ∆ z.Vx}.Vy |x=x+x o que 
engloba o efeito do fluxo de matéria que atravessa as duas faces do VC que são 
perpendiculares ao eixo coordenado OX. Outras, de significado análogo seriam 
{ ρ ∆ y ∆ x.Vz}.Vy |z=z -{ ρ ∆ y ∆ x.Vz}.Vy |z=z+z e { ρ ∆ x ∆ z.Vy}.Vy |y=y - { ρ ∆ x ∆ z.Vy}.Vy 
|y=y+y 
 
c) termos difusivos, relativos às componentes τ zy , τ xy e τ yy , por exemplo 
zzzzyzzzy yxyx ∆+== ∆∆−∆∆ |..|.. ττ o qual representa esforços de cizalhamento atuantes 
sobre as faces do VC perpendiculares à direção coordenada OZ. Com interpretação 
semelhante, xxxxyxxxy yzyz ∆+== ∆∆−∆∆ |..|.. ττ e yyyyyyyyy |.z.x|.z.x ∆+== τ∆∆−τ∆∆ . 
 
d) as contribuições devidas à pressão, com atuação sobre as faces do VC 
perpendiculares ao eixo coordenado OY, yyyyyyy |P.z.x|P.z.x ∆+== ∆∆−∆∆ . 
 
e) a força peso, resolvida na direção OY, isto é ∆ x. ∆ Y. ∆ z. ρ .gy. 
 
 
 18 
Finalmente, agrupando os termos, dividindo ambos os membros por ∆x.∆y.∆z, e 
tomando o limite quando as dimensões do Vc se reduzem a zero se encontra 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyzyyxyyzyyyxyy g
zyx
VV
z
VV
y
VV
xy
P
t
V
ρτττρρρ
ρ
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂ }{}{
 
 
Este procedimento pode ser repetido, para as outras direções e em outros sistemas de 
coordenadas. A Tabela II apresenta um conjunto de equações de conservação de QM, 
válidas para o sistema triortogonal: (A), (B) e (C) representam a forma mais geral; (C), 
(D) e (E) o caso particular para o qual η e ρ são constantes, isto é fluido Newtoniano e 
imcompressível; as três últimas são também conhecidas como equações de Navier-
Stokes. As equações correspondentes aos sistemas cilindríco e esférico estão 
apresentados nas Tabelas III e IV, respectivamente. As fórmulas de cálculo do tensor 
de esforço, necessárias quando a forma geral precisa se empregada, estão expostas 
na Tabela VI. Finalmente a equação de continuidade nos três sistemas, na Tabela VII. 
 
 
Figura 14: orientação relativa de alguns dos componentes do tensor de esforços. 
 
Exemplo: Considere o fluxo de um fluido incompressível, Newtoniano, em regime 
permanente, laminar e unidirecional no interior de uma ranhura, tal como 
esquematizado na Figura 11. Considere a mesma escolha de sistema de coordenadas 
realizada anteriormente. 
 
A única equação relevante do Balanço de Conservação de QM é aquela referente ao 
eixo coordenado; particularmente aquela para a qual se considera η e ρ constantes. 
Então analisando termo a termo a equação E, Tabela II (NAVIER STOKES): 
t
Vy
∂
∂
ρ é nulo; regime permanente; 
x
V
V yx ∂
∂
 é nulo; Vx é nulo, fluxo é unidirecional; Vy independe de x; 
y
V
V yy ∂
∂
é nulo; fluxo é completamemnte desenvolvido; 
z
V
V yz ∂
∂
é nulo; Vz é nulo, fluxo unidirecional; 
y
p
∂
∂
− ,a se aproximar como 
0
0
−
−
−=
∆
∆
−=
∂
∂
−
L
pp
y
p
y
p L ; 
 19 
2
y
2
x
V
∂
∂
η é nulo; Vy independe de x; 
2
y
2
y
V
∂
∂
η é nulo; fluxo completamente desenvolvido, Vy não depende de y; 
2
y
2
z
V
∂
∂
η contém a informação desejada, ao permitir determinar a variação de velocidade 
ao longo da altura da ranhura, de uma placa a outra. 
gy é nulo; devido a orientação da ranhura em relação ao campo gravitacional. 
 
Coletando os termos resulta a equação diferencial que descreve o fluxo:
2
2
00
z
V
L
pp yL
∂
∂
+
−
= η 
 
Exemplo: Considere o fluxo em regime laminar, permanente, de um fluido 
Newtoniano e incompressível, no interior da ranhura, tal como esquematizado na 
Figura 15. Observe-se que a placa inferior é estática enquanto a placa superior se 
move à velocidade constante Vs. Assumindo vetor gravidade perpendicular à ranhura 
duas possíveis causas se destacam com causa do movimento: o arraste que a placa 
superior em movimento exerce sobre o fluido; a diferença de pressão entre entrada e 
saída da ranhura. É fácil notar que, para este sistema e para esta escolha de eixos 
coordenados, a equação diferencial que descreve o fluxo é a mesma do exemplo 
anterior : 
2
2
00
z
V
L
pp yL
∂
∂
+
−
= η 
 
Esta equação deve ser integrada com as condiçoes de contorno: 
C. C. 1: z = 0 ( placa inferior ); Vy = 0, devido à condição de não deslizamento. 
C. C. 2: z = 2δ (placa superior ); Vy = Vs; devido à condição de não deslizamento. 
 
 
Figura 15: Fluxo em ranhura definida por placa fixa e placa móvel. 
 
 20 
Tabela II: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema tri-
ortogonal. 
 
 21 
Tabela III: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema cilíndrico. 
 
 22 
Tabela IV: Equações de conservação de quantidade de movimento, sistema esférico. 
 
 23 
Tabela V: Equações para cálculos dos tensores. 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
 
Tabela VI: Equações de continuidade nos vários sistemas. 
 
 25 
 
Deste modo o perfil de velocidades traçado na Figura 15 é apenas esquemático. Este 
perfil pode assumir uma das várias formas mostradas na Figura 16, a depender da 
influência relativa entre arraste e queda de pressão. Observe-se ainda que a função 
Vy (z) não necessariamente apresenta um máximo matemático na posição z = 2δ. De 
fato em z = 2δ a força de interação entre fluido e superfície vale: 
{ }| 2δητ =−= zyyz dz
dV
wL 
isto é a força de arraste seria nula se houvesse um máximo matemático. 
 
Figura 16: Possíveis perfis de velocidade para o caso do fluxo em ranhura delimitada 
por placa móvel e placa estática. 
 
Exemplo: A Figura 17 apresenta um esquema do molde de lingotamento contínuo. 
 
 
Figura 17 : Corte longitudinal em molde de lingotamento contínuo. 
 26 
 
Utiliza-se uma escória líquida provinda da fusão de um pó, denominado pó fluxante e 
composto de vários minerais em proporções definidas, para garantir a lubrificação 
entre a casca de aço solidificado e a parede oscilante do molde. Outra função do pó 
(ou da escória formada a partir do mesmo) é a de servir como meio de trocas térmicas 
pois a casca deve exibir espessura pré-determinada na saída do molde, de modo a 
resistir à pressão ferrostática. Na literatura podem ser encontrados vários critérios 
operacionais relacionados ao consumo específico de pó fluxante mas, em geral, deve-
se assegurar um consumo mínimo para se manter a estabilidade da operação. 
Calcule o consumo teórico de pó fluxante, considerando : V = 1 m/s; ρescória = 3000 
kg/m3 ; ηescória = 0,3 Pa.s ; δ = 0,1 mm. 
 
 
Equação de Hagen Poiseuille: 
 
Considere o fluxo unidirecional, laminar e permanente, de fluido Newtoniano e 
incompressível, no interior de tubo de seção reta circular, vide Figuras 18 e 19: 
 
 
Figura 18: Perfil de velocidades esquemático, no caso de fluxo em um tubo. 
 
O perfil de velocidades traçado se baseia nas suposições: condição de não 
deslizamento do fluido, junto às paredes do tubo, estáticas; simetria do fluxo em 
relação ao eixo (geométrico) de simetria do tubo. 
 
A escolha de um sistema de coordenadas cilindrico disposto tal como indicado na 
Figura 19 – eixo OZ do sistema de coordenadas coincidente com eixo de simetria do 
tubo -- permite escrever: 
 
Vr = 0; fluxo unidirecional. 
Vθ = 0; fluxo unidirecional. 
Vz = Vz(r,z); pois devido à condição de simetria Vz independe de θ. 
 
Informação adicional pode ser conseguida através da equação da continuidade, pois: 
0
t
=
∂
ρ∂
, fluido incompressível. 
( ) 0rV
rr
1
r =ρ∂
∂
, desde que Vr é nulo. 
( ) 0V
r
1
=ρ
θ∂
∂
θ , pois Vθ é nulo. 
o que implica isto em 0
z
V
r,,t
z
=
∂
∂ρ θ . Esta restrição matemática implica que o perfil de 
velocidades se repete ao longo do tubo, o que caracteriza a condição de “ fluxo 
completamente desenvolvido “ e, logo, vz = vz(r). 
 
 
 27 
 
Figura 19: Orientação relativa do tubo e sistema de coordenadas. 
 
Portanto, considerando termo a termo a equação de quantidade de movimento (Q.M.), 
componente oz: 
0
t
Vz
=
∂
∂ρ ; regime permanente. 
0
r
V
V zr =∂
∂ ; Vr é nulo, fluxo unidirecional. 
0V
r
V z
=
θ∂
∂θ ; Vθ é nulo, fluxo unidirecional e vz independe de θ, condição de simetria. 
0
z
V
V zz =∂
∂ ; fluxo completamente desenvolvido. 
z
p
∂
∂
− ; pode ser aproximado por 
0
0
−
−
−=
∆
∆
−
L
pp
z
p L
. 






∂
∂
∂
∂η
r
V
r
rr
1 z
 contém a informação relevante, como a velocidade varia ao longo do 
raio. 
0V
r
1
2
z
2
2 =θ∂
∂η ; condição de simetria. 
0
z
V
2
z
2
=
∂
∂η ; fluxo completamente desenvolvido. 
gg z ρρ −=⋅ 
 
resulta zz0L g
r
V
r
rr
1
L
pp0 ρ+





∂
∂
∂
∂η+−−= , a equação diferencial que descreve o fluxo. 
 
 
 
 28 
As condições de contorno pertinentes são: 
C.C.1: r = R v z = 0 parede do tubo, condição de não deslizamento. 
C.C.2: r = 0 0
r
Vz
=
∂
∂
 ponto de máximo, ponto de simetria. 
 
De modo que se encontra, após separação de variáveis, intergração e aplicação das 
CC’s : ( )22zL0z rRgLpp41V −×



 ρ+−
η
= 
A vazão no interior do tubo pode ser encontrada em se considerando uma seção 
infinitesimal de fluxo, de espessura dr e situada na posição genérica r, Figura 20. 
 
 r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 Seção infinitesimal de fluxo para o cálculo de vazão em um tubo. 
 
Logo dr.r2.VdQ z
Rr
0r
Rr
0r
pi= ∫∫
=
=
=
=
 pode ser avaliada como 
η
pi
ρ
8
4
0 Rg
L
ppQ zL 





+
−
= 
 
a qual representa a equação de Hagen-Poiseuille. 
 
Por outro lado, a força de cisalhamento em uma posição genérica r=r pode ser 
estimada como: 
rL
dr
dVz
zr piητ 2}{ −= 
( ) rLrg
L
pp
z
L piρ
η
η 22
4
1 0 ×−





+
−
− 
e portanto o esforço sob as paredes do tubo vale ( ) 2zL0 RLgppF piρ+−= . Para que o 
fluxo se mantenha em regime permanente se faz necessário que as paredes do tubo 
se oponham ao movimento e que a força por elas exercida sobre o fluido seja igual às 
força motrizes. 
 
Exemplo: Gases são injetados em mate(solução Cu-S líquida), através de uma lança 
de corpo duplo tal como a mostrada na Figura 21. O gás CH4 injetado no espaço 
anular entre os dois tubos tem a função de refrigerante, o que aumenta a vida útil da 
lança e do refratário. À guisa de simplificação considera-se regime permanente, 
viscosidade constante e massa específica do gás praticamente invariante. 
Vz 
dr r 
 29 
Sejam: L, o comprimento da lança; ρg , a massa específica do gás refrigerante; η, a 
viscosidade do gás refrigerante ; g, a aceleração da gravidade; R1 , o raio externo do 
tubo interior; R2 , o raio interno do tubo exterior; P0 , a pressão de admissão do gás; PL 
, a pressão no bico da lança. 
 
 
 
 
Figura 21: Esquema de lança de corpo duplo 
 
Escolhendo sistema
de coordenadas cilíndricas, tal que o eixo oz coincida com o eixo 
de simetria, e assumindo fluxo unidirecional e simétrico em relação ao eixo oz resulta: 
z
Lz g
L
PP
r
v
r
rr
ρη +−−





∂
∂
∂
∂
=
010 
 
Note-se que, em geral, a componente gravitacional da força motriz pode ser 
desprezada em comparação com a diferença de pressão, no caso de fluxo de gases. 
Após esta simplificação a equação pode ser integrada com as condições de contorno: 
 
C.C.1 r = R1 Vz = 0 ; condição de não deslizamento 
C.C.2 r = R2 Vz = 0 ; condição de não deslizamento 
Observe que não existe um máximo de velocidade em 
2
21 RRr += ; a superfície de 
atrito sobre o tubo interior,2pi R1L, é inferior à superfície de atrito sobre o tubo exterior, 
2pi R2L. Existe, naturalmente, um ponto de extremo, porém com posição a determinar. 
 
Exemplo : Gases (75% N2 e 25% de Cl2 ) são borbulhados através de um tubo em Al 
líquido, Figura 22, para fins de refino. Vazões muito baixas prolongarão 
excessivamente o tempo de tratamento, com implicações em termos de perdas 
térmicas, consumo de energia. Vazões altas impedirão que todo o cloro, gás reativo e 
nocivo à saúde, seja reagido com as impurezas do alumínio. 
 
Suponha ser válida a equação de Hagen-Poiseuille e estime a pressão de entrada na 
lança, considerando: 
Pa , pressão sobre o banho ,1,03 x 105 [Pa ] ; Q , vazão pretendida de gases, 6,6 x 10-5 
[m3 / s] ; η , viscosidade média dos gases, 4 x 10-5 [Pa.s] ; R, raio interno do tubo, 1 x 
10-3 [m] ; L, comprimento da lança , 0,9 [m] ; Alρ , massa específica do alumínio, 2500 
[kg / cm3 ] . 
 30 
 
Figura 22: Esquema para injeção de gás em alumínio líquido. 
 
A equação pertinente é: 
η
pi
η
piρ
88
44 R
L
PPRg
L
PPQ LszLs 




 −
≈





−
−
= 
 
pois, em geral, o termo zgρ é desprezível no caso de fluxo de gases. Tal assertiva 
pode ser posta à prova após a determinação da queda de pressão necessária para 
garantir o fluxo. Para todos os efeitos o gás pode ser tomado como ideal, 
TR
MP
⋅
⋅
=ρ . 
Observe-se então que todos os termos da equação de cálculo de vazão têm valor 
conhecido, exceção feita de Po – pressão na entrada da lança – e PL, a pressão no 
bico da lança. Esta última pode ser estimada assumindo ser válida a expressão: 
PL = Pa + Alρ . g . L 
PL = 1,03 x 105 + 2500 x 9,81 x 0,9 [Pa] 
o que permite inferir o valor de Po . 
 
 
Exemplo: Faça uma adaptação da equação de Hagen-Poiseuille para o transporte de 
gases, considerando que a força da gravidade pode ser desprezada face às forças 
devidas à pressão e que o gás é um fluido compressível. Suponha gás ideal, regime 
permanente e vazão mássica constante. Compare esta solução com a anterior. 
 
Exemplo: O esquema da Figura 23 ilustra o princípio de um viscosímetro de capilar. 
Basicamente se mede a quantidade de fluido que atravessa o capilar ao longo do 
experimento. Como primeira aproximação se pode assumir fluxo unidirecional (no 
capilar), laminar e permanente, fluido incompressível e Newtoniano, e, além do mais, 
que a força motriz seja a gravidade. 
Neste caso a equação de Hagen – Poiseuille se aplica e, se, num dado experimento 
se observou: L , 0,3 [m] ; R , 0,0125 [m] ; ρL = 1260 [kg/m3] ; 2,4 g de líquido coletado 
por minuto, então: 
η
piρ
8
4
0 Rg
L
PPQ zL 





+
−
= 
 31 
ηη
piρ
8
0125,01416,38,91260
81260
1
60
104,2 443 ×××
==×
×
=
− RgQ 
 
o que permite calcular a viscosidade. 
 
 
 
 
Figura 23: Viscosímetro de capilar