Estatica567

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91
• Estudo das forças e condições de equilíbrio;
• Estudo das deformações e compatibilidade 
geométrica;
• Aplicação de relações de força-deformação.
5 – Mecânica dos Corpos
Deformáveis
92
Exemplo 1 
Mola Elástica Linear
L
k
L + ∆L
k F
F
∆L
F = k ∆L
k – constante elástica da mola
L – comprimento da mola relaxada
∆L = F
k
93
Exercício
• Calcular a percentagem da força F que é 
suportada pela mola A.
F
kA kB
Obs: considerar as molas concêntricas.
Resposta:
FA = kA . F / (kA + kB)
FB = kB . F / (kA + kB)
94
Exemplo 2
Deformação Longitudinal de Barras
P
L
L + ∆L
P/A
∆L/L
E = P/A
∆L/L
∆L = PL
EA
E – módulo de elasticidade do material
95
Exercício
• Qual o ponto de aplicação de F para que a 
deformação das duas barras seja a mesma.
a
Fλ.a
E1, A1 E2, A2
Resposta:
λ = A2 E2 / (A2 E2 + A1 E1) 
96
Exemplo 3
Efeito da Variação de Temperatura
L
L + ∆L
∆T
∆L= α ∆T L
α – coeficiente de expansão térmica
97
Exercício
• Determinar as reações de apoio 
provocadas por uma variação de 
temperatura de ∆T, cujo material tem um 
coeficiente de expansão térmica α e 
módulo de elasticidade E.
L
Resposta:
RA = RB = E α ∆TA B
98
Exercício
• Determinar a deflexão de cada mola 
sabendo-se que antes de aplicar P a viga 
estava na horizontal.
kA kB kC
Pλ.a
a a
Resposta:
FA + FB + FC = P
2 FA + FB = (1-λ) P
FA/ kA – 2 FB/ kB + FC/ kC = 0
99
Exercício
• Qual a deflexão da extremidade esquerda 
da viga, assumindo que esta não se 
deforma. Considerar o peso da pessoa 
600 N e a constante elástica da mola 35 
kN / m?
Resposta:
∆A = 6 cm
A
B C
100
Exercício
• Calcular as reações de apoio em A e B.
Resposta:
RA = P b / L
RB = P a / L
101
Exercício
• Determinar a força no meio da barra, 
considerando material com módulo de 
elasticidade E e seções transversais A1
nos trechos de tamanho a e A2 no trecho 
de tamanho b, respectivamente.
Resposta:
F = 2 P a A2 / (A1 b + 2 A2 a)
102
Exercício
• Calcular b para ficar na horizontal e 
calcular a deflexão da mola 3.
Resposta:
a k3 (k1 + k2) 
b =
k2 k1 + k3 (k1 + k2)
P (k1 + k2)
∆ =
k2 k1 + k3 (k1 + k2)
103
Exercício
• Calcular a deflexão em C. Considerar o 
material da barra AC com módulo de 
elasticidade E.
Resposta:
P1 L2 (P1 – P3) L1
∆ = +
E2 A2 E1 A1
104
Exercício
• Qual o tamanho rc para que o disco de 
peso 1,1 kN permaneça na horizontal, 
sabendo-se que ka = kb = 14 kN / m e kc = 
16 kN / m ?
rc
1m
1m
Resposta: 
rc = 0.88 m
105
Exercício
• Calcular a deformação na extremidade da 
barra com seção transversal circular 
variável, sujeita a uma força P.
P
8 a – comprimento horizontal da barra
4 a a
módulo de elasticidade E
a
Resposta:
4 P
∆ =
E π a
106
Exercício
a) Calcular as reações nos apoios;
b) Determinar os novos comprimentos das 
barras AB e BC;
c) Determinar os deslocamentos dos 
apoios A e B.
60o
A
B C
L
Módulo de elasticidade - E
Área da seção transversal - A
P
107
Exercício
Respostas:
a) HA = √ 3 P / 3 VB = P HC = √ 3 P / 3 VC = 0
b) LAB’ = LAB + ∆AB ∆AB = 4 L √ 3 P / (3 E A)
LBC’ = LBC + ∆BC ∆BC = L √ 3 P / (3 E A)
c) ∆HB = ∆BC
∆VA = AC’ - AC 
108
• Viga é o elemento estrutural que aceita 
esforços longitudinais, cortantes e 
momentos fletores
M M
NN
V V
6 – Esforços em Vigas
109
Reações de Apoio
∑ MA = 0 P.a = VB.L
VB = P.a / L
∑ V = 0 VA = P.b / L
BA a b
L
P
Exercício
Carga Concentrada
110
N
M
V
VA
x
Esforço Cortante
∑V = 0 VA + V = 0 V = -VA
Momento Fletor
∑Mx = 0 VA x – M = 0 M = VA x
Seção 1
111
V = - VA
M = VA x
x
V
VA
DEC
x
M DMF
a
VA a
+
Diagramas
112
N
M
V
VA
x
P
Esforço Cortante
∑V = 0 VA – P + V = 0 V = P – VA = VB
Momento Fletor
∑Mx = 0 VA x – P (x-a) - M = 0 
M = VA x – P (x-a)
a
Seção 2
113
V = VB
M = VA x – P (x-a)
x
V
VB
DEC
a a + b
+
x
M DMF
a
VA a
+
Diagramas
a + b
114
x
M DMF VA a
+
x
V
VB
DEC
a a + b
VA
+
-
Diagramas Completos
a a + b
115
Reações de Apoio
∑ MA = 0 M1 = VB.L
VB = M1 / L
∑ V = 0 VA + VB = 0 VA = - VB
BA a b
L
M1
.
Exercício
Momento Concentrado
116
N
M
V
VA
x
Esforço Cortante
∑V = 0 VA = V
Momento Fletor
∑Mx = 0 VA x + M = 0 M = - VA x
Seção 1
117
V = VA
M = - VA x
x
M DMF
a
VA a
-
x
V
VA
DEC
+
a
Diagramas
118
Esforço Cortante - ∑V = 0
VA = V 
Momento Fletor - ∑Mx = 0 
VA x + M – M1 = 0 x=a M = M1 - VAa 
M = M1 - VA x x=L M = 0
N
M
V
M1
VA a x
.
Seção 2
119
V = VA
M = M1 - VA x
x
V
VA
DEC
a a + b
+
x
M
DMF
a
M1 - VA a
+
Diagramas
120
x
V
VB
DEC
a + b
+
VAa
x
M DMF M1 - VA a
+
-
a b
Diagramas Completos
121
Reações de Apoio
∑ V = 0 VA + VB = ∫ q(x) dx Área
∑ MA = 0 VB.L = ∫ x q(x) dx x. Área
VB = ∫ x q(x) dx / L
A B
L
q (x)
Exercício
Carga Distribuída
122
Reações de Apoio
∑ V = 0 VA + VB = qo L 
∑ MA = 0 VB.L = L/2 qo L 
VB = qo L / 2 => VA = qo L / 2 
qo
A B
L
Exercício
Carga Uniformemente Distribuída 
123
qo
A
x
M
N
V
Esforço Cortante
∑V = 0 V + VA – qo.x = 0
V = qo x – VA
Seção
124
V = qo x – VA
x = 0 V = - VA
x = L V = qo L – VA = VB
reta+
VA
VBV
x-
DEC
125
∑ Mx = 0 VA x – qo x . x / 2 – M = 0
M = - qo x2 / 2 + VA x
qo
A
x
M
N
V
VA
Momento Fletor
126
M = - qo x2 / 2 + VA x
x = 0 M = 0
x = L M = - qo L2 / 2 + (qo L / 2).L = 0
x = L / 2 M = - qo L2 / 8 + (qo L / 2).(L/2)
M = qo L2 / 8 
DMF
x
M parábola
127
L
A B
q0
Reações de Apoio
∑ MA = 0 VB.L = ∫ x q(x) dx 
VB = x. A / L
VB = (2/3 L . qoL / 2) / L
VB = qo L / 3
Exercício - Carga Triangular
128
∑ V = 0 
VA + VB = ∫ q(x) dx = A
VA + VB = qo L / 2 
VA = qo L / 2 – qo L / 3
VA = qo L / 6
Carga Triangular
129
q0
L
q(x)
x
q(x) / x = qo / L
q(x) = qo x / L
Equação do Carregamento
130
Esforço Cortante
∑V = 0 V + VA – q(x).x / 2 = 0
V = qo x / L . x / 2 – VA
V = qo x2 / 2L - VA
q(x)
x
M
N
VVA
Seção
131
V = qo x2 / 2L – VA
x = 0 V = - VA
x = L V = qo L / 2 – VA = VB
parábola
+
VA
VBV
x-
DEC
132
∑ Mx = 0 VA x – q(x) x / 2 . x / 3 – M = 0
M = - qo x3 / 6 L + VA x
q(x)
x
M
N
VVA
Momento Fletor
133
M = - qo x3 / 6 L + VA x
x = 0 M = 0
x = L M = 0
x = L / 2 M = qo L2 / 16
DMF
cúbicaM
x
qo L2 / 16
+
134
q(x) = dV(x) / dx V(x) = - dM(x) / dx
Do exemplo anterior:
M(x) = - qo x3 / 6 L + VA x
dM(x) / dx = - qo x2 / 2L + VA = - V(x)
dV(x) / dx = qo x / L = q(x)
6.1 – Equações Diferenciais 
de Equilíbrio
135
xn+2xn+1xn
x3x2x
x2xcte
xcte---
M(x)V(x)q(x)
6.2 – Relação Entre 
Carregamentos e Esforços
136
Exercício
qo
A B
La b
Resposta:
RA = w0 a (1 – b + a / 2)
L
RB = wo a2 / 2 L
137
Exercício
BL
aa
A
w(x) = wo sen (π x / L)
x
w
Calcular a posição dos apoios para que o 
momento fletor no meio da viga seja nulo.
Resposta:
VA = VB = wo L / π
a = L / π
138
Exercício
q(x) = 1,5 + 0,25 x – 0,25 x2 kN / m
2 kN m
1 kN / m
3 m
2 m
A
B
HA = 5.09 kN
HB = 3.09 kN
VB = 3.375 kN
139
Exercício
2 kN / m
1 kN / m
4 m
3 m
2 kN m
Resposta:
HA = 4 kN
VA = 3 kN
MA = 12 kN m
140
7 – Cabos Flexíveis
141
Cabos Flexíveis
• ∑ Fx = 0 
(T + dT) cos (θ + dθ) = T cos θ
• ∑ Fy = 0 
(T + dT) sen (θ + dθ) = T sen θ + w(x) dx
como dθ é pequeno sen dθ = dθ e cos dθ = 1
142
Cabos Flexíveis
• de ∑ Fx = 0 tem-se
T cos θ = cte = T0
• de Fy = 0 tem-se
d2y = w(x)
dx2 T0
Equação diferencial de segunda ordem
143
Carregamento Uniforme 
w(x) = w0
144
Carregamento Uniforme
y = w0 x2 cabo parabólico
2 T0
T = √ T02 + w02 x2
145
Carregamento Uniforme
s = L (1 + (w02 L2 / T02 24) - (w04 L4 / T04 640) + …)
ou
s = L (1 + 8/3 (h/L)2 – 32/5 (h/L)4 + …
Obs: a série é convergente para valores de h/L < 
¼. Como h/L << ¼ basta calcular os três 
primeiros termos da série.
146
Exercício
• O cabo da figura está sujeito a um 
carregamento uniformemente distribuído 
na horizontal de q = 0,75 kg/m. Determinar:
a) A intensidade de P;
b) Inclinação do cabo em B;
c) Comprimento do cabo de A até B.
147
Exercício
Resposta:
a) Q = 2948 N
b) tg θ = 0.05 => θ = 2.9o
c) s = 40.0167 m
148
Cabo Sujeito ao Peso Próprio
d2y = w(x) w(x) = μ ds
dx2 T0 dx
d2y = μ ds
dx2 T0 dx
149
Cabo Sujeito ao Peso Próprio
y = T0 cosh (μ x + C1) + C2
μ T0
cabo catenário
T = T0 cosh μ x s = T0 senh μ x 
T0 μ T0
150
Exercício
• O cabo da figura mantém o balão em 
equilíbrio com uma tração em A de 100 lb. 
Se o cabo pesa 0,25 lb / ft e mede 150 ft 
qual é a altura do balão?
θ = 55o
x
y
A
B
Resposta:
K1 = 1.1542
K2 = -400.01 ft
h = 128 ft
151
Carregamento Qualquer
• Deduzir a equação y = f(x) do cabo flexível 
sujeito ao carregamento triangular da 
figura abaixo.
Resposta:
y = 3 h x2 (1 – x)
2 L2 3 L
152
Exercício
• Um cabo sustenta uma carga uniformemente 
distribuída de 50 kg / m em relação à 
horizontal e está suspenso dos dois pontos 
fixos como mostrado na figura. Determine as 
forças trativas máxima e mínima no cabo e a 
posição do ponto mínimo. Resposta:
xA = 58.58 m
xB = 41.42 m
Tmax = 35.61 kN
Tmin = 21.04 kN
A
B
153
Exercício
• Determinar a distância vertical entre A e 
B, sabendo-se que o cabo pesa 1,5 N/m e 
há um peso de 100 N na extremidade 
esquerda do cabo. A roldana de centro B 
tem 0,5 m de raio e a distância horizontal 
de A a B é de 3 m.
154
Resposta:
K1 = 0.51
K2 = - 66.64 m
xA = 3.24 m
hAB = 2.26 m
155
Exercício
• Determinar a expressão da deformação 
do cabo sujeito ao carregamento 
parabólico mostrado na figura abaixo. 
Calcular também o esforço máximo e 
mínimo atuando no cabo. Sabe-se que em 
A o cabo está na horizontal.
Resposta:
y = (100 x2 – x4/150) / 20833.33
Tmin = 20833.33 lb
Tmax = 21874.00 lb
50 ft
10 ft
200 lb/ft
A
B
156
Exercício
• Sabendo-se que o peso do cabo é 50 N/m 
calcular o comprimento do cabo e os 
valores máximo e mínimo da tração no 
cabo. 
157
Exercício (continuação)
Obs: uma aproximação razoável para 
cosh x = 1 + x2/2.
cosh 3750/To = 1 + (3750/To)2 / 2 = 1500/To + 1
To = 4687,50 N
158
Exercício (continuação)
To 1500/To + 1 cosh 3750/To
4700 1,319 1,336
4800 1,313 1,321
4900 1,306 1,307
4920 1,305 1,305 OK