Lista_05_MTM1036

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

MTM 1036 - Ca´lculo Diferencial e Integral I Profa Helga de Mattos Pasinato
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIEˆNCIAS NATURAIS E EXATAS
5a LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Em cada uma das func¸o˜es determine:
• os intervalos nos quais f e´ crescente e/ou decrescente;
• os pontos cr´ıticos;
• os extremos relativos (ma´ximos e mı´nimos), se existirem;
• os intervalos nos quais f e´ coˆncava para cima e/ou para baixo;
• os pontos de inflexa˜o.
(a) f(x) = x2 − 5x + 6 (b) f(x) = 4− 3x− x2 (c) f(x) = (x + 3)3
(d) f(x) = 5 + 12x− x3 (e) f(x) = 3x4 − 4x3 (f) f(x) = x4 − 8x2 + 16
(g) f(x) =
x2
x2 + 2
(h) f(x) =
x
x2 + 2
(i) f(x) = 3
√
x + 2
(j) f(x) = x3 + 5x− 2 (k) f(x) = x(x− 1)2 (l) f(x) = x4 + 2x3
2. Ache os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f e indique onde ocorrem estes valores.
(a) f(x) = 4x2 − 4x + 1; [0, 1] (b) f(x) = 8x− x2; [0, 6]
(c) f(x) = (x− 1)3; [0, 4] (d) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x; [−2, 3]
(e) f(x) = x3 − 3x− 1; (−∞,∞) (f) f(x) = 3− 4x− 2x2; (−∞,∞)
3. Seja P (x) = −x3 + 300x a func¸a˜o que da a quantidade produzida de certo produto agr´ıcola em
func¸a˜o da quantidade de fertilizante. Determine:
(a) A func¸a˜o Produc¸a˜o Marginal.
(b) Os pontos de ma´ximo e mı´nimo, se houver, e os intervalos de crescimento e decrescimento
da func¸a˜o produc¸a˜o.
4. Seja L(x) = −x4 + 104x2 − 400 uma func¸a˜o Lucro Total. Determine:
(a) Os intervalos de crescimento e decrescimento do lucro, pelo estudo do sinal do Lucro
Marginal.
(b) Os pontos de inflexa˜o da curva.
(c) O lucro ma´ximo e a quantidade correspondente.
5. Um empresa´rio produz e vende certo produto, cujo prec¸o me´dio de custo de fabricac¸a˜o e´ dado
por C(x) = x+2. A demanda para esse produto obedece a` relac¸a˜o y = 5−8x− q2. Determine:
(a) As func¸o˜es Custo, Receita e Lucro.
(b) O lucro ma´ximo.
6. Um produtor usa um insumo na fabricac¸a˜o de seu produto. O prec¸o de custo desse insumo e´
10 por unidade e o produto acabado e´ vendido a 40 por unidade. A func¸a˜o Produc¸a˜o obedece
a` relac¸a˜o y = x
1
2 , onde x e´ a quantidade de insumo e y a quantidade produzida. Determine:
(a) As func¸o˜es Receita, Custo e Lucro.
(b) A quantidade de insumo necessa´ria para maximizar o lucro.
7. Seja R(x) = −x2 + 15x a func¸a˜o Receita Me´dia para certo produto. Determine:
(a) A func¸a˜o Receita Total.
(b) Os pontos de ma´ximo e mı´nimo ou inflexa˜o, se houver.
(c) A receita Me´dia ma´xima.
8. Dada a func¸a˜o Custo C(x) = x3 + 90x2, encontre os pontos de ma´ximo, mı´nimo e inflexa˜o, se
houver, bem como intervalos de crescimento e decrescimento.
9. Seja P (x) = −x3+12x2 uma func¸a˜o Produc¸a˜o, onde x e´ a quantidade de um insumo. Determine:
(a) As func¸o˜es P (x) e P ′(x).
(b) Os pontos de ma´ximo da P (x).
10. Seja P (x) = x3 − 30x2 + 400x uma func¸a˜o Custo. Determine:
(a) As func¸o˜es C(x) e C ′(x).
(b) O ponto de mı´nimo do Custo Me´dio.
11. Seja L(x) = −x3 + x
2
2
+ 4x− 2 uma func¸a˜o Lucro.
(a) Calcule L(0), L(1
2
), L(4
3
), L(2) e L(3).
(b) Determine as func¸o˜es L′(x) e L(x).
12. Seja y = −x3 + 3x2 + 72x a func¸a˜o que descreve a quantidade y de pec¸as que um opera´rio
monta por hora, depois de x horas que iniciou seu dia de trabalho. O opera´rio obedece ao
hora´rio: das 7 a`s 11 e das 12 a`s 16, e pode trabalhar ate´ as 18 horas.
(a) Quantas pec¸as monta por hora a`s 9h, a`s 11h e a`s 14h?
(b) A que horas trabalha com maior Eficieˆncia?
13. Uma forma l´ıquida de penicilina fabricada por uma cl´ınica farmaceˆutica e´ vendida a` granel
por um prec¸o de 200 do´lares a unidade. Se o custo total de produc¸a˜o, em do´lares, para x
unidades for C(x) = 500.000 + 80x + 0, 003x2 e se a capacidade de produc¸a˜o da firma for de
no ma´ximo 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem
ser fabricadas e vendidas para maximizar o lucro?
14. Uma lanchonete que oferece “fast food”constatou que o lucro mensal por seus hamburgers e´
dada pela func¸a˜o L(x) = 2, 44x − x
2
20.000
. Ache o n´ıvel de produc¸a˜o que gera lucro ma´ximo.
Qual e´ esse lucro?
15. Uma empresa apurou que sua receita total (em do´lares) com a venda de um produto admite
como modelo R(x) = −x3 + 450x2 + 52.500x, onde x e´ o nu´mero de unidades produzidas e
vendidas. Qual o n´ıvel de produc¸a˜o que gera receita ma´xima?
16. Um estudo de eficieˆncia de uma fa´brica indica que um trabalhador me´dio, que comec¸a a`s 8
horas, com turno de 12 horas, tera´ produzido Q(t) = −t3 + 9t2 + 48t − 52 unidades t horas
depois. A que horas durante o turno o trabalhador atua com ma´ximo de eficieˆncia?