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Espelhos e lentes – pág. 1
EXPERIÊNCIA 09
ESPELHOS E LENTES
1. OBJETIVOS
a) Medir a distância focal de um espelho côncavo pelo método da ampliação.
b) Medir a distância focal de lentes convergentes pelos métodos gráfico e de Bessel.
c) Medir a distância focal de uma lente divergente pelo método do acoplamento.
2. TEORIA BÁSICA
ESPELHOS
É conveniente, em Óptica Geométrica, estudar as propagações luminosas em termos de raios de
luz. Os raios são representados por linhas retas na direção em que a luz se propaga. Um objeto luminoso
extenso pode ser considerado como um conjunto de pontos separados. Cada ponto do objeto emitirá raios
luminosos em todas as direções e em linha reta.
Quando um raio luminoso é refletido em uma superfície polida, o ângulo de incidência é igual ao
ângulo de reflexão, considerados em relação à normal. Se a superfície refletora for plana, o espelho é
denominado plano. Se a superfície refletora for curva, esférica por exemplo, o espelho é denominado côncavo
quando a parte espelhada está na face interna da curvatura; se na face externa, o espelho é denominado
convexo. O centro de curvatura C é o centro da esfera e o raio de curvatura R, o raio desta esfera. A linha que
une o vértice V e o centro de curvatura é denominada eixo principal. Tendo em conta a grande simplificação
matemática, neste texto trata-se apenas de espelhos esféricos com pequena abertura. Isso implica que apenas
porções do espelho, ao redor do vértice V, são consideradas na formação de imagens.
Um feixe de raios paralelos ao eixo principal reflete-se obedecendo à lei da reflexão, convergindo
para um ponto denominado foco, no caso do espelho côncavo; no convexo, o feixe parecerá divergir de um
ponto localizado atrás do espelho, como na figura 1. A distância do foco F ao vértice V é chamada distância
focal do espelho, sendo representada por f.
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p
O O
V
p’ p’
V
C
F
I
I F
 Figura 1 - Espelhos esféricos
a) côncavo b) convexo
Existem regras práticas que permitem a construção da posição da imagem (p'), que pode se real
(formada pela intersecção de raios refletidos) ou virtual (formada pela intersecção dos prolongamentos dos
raios refletidos), a partir do conhecimento da posição do objeto (p) e da direção de incidência de dois quaisquer
dos três raios principais.
Os três raios principais de um espelho côncavo são:
1. Um raio paralelo ao eixo principal reflete-se passando pelo foco;
2. Um raio que passe pelo centro de curvatura é refletido sobre si mesmo;
3. Um raio que passe pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo principal.
A figura 2 resume a aplicação destas regras práticas a espelhos côncavos e convexos, já que os
raios principais para estes últimos são semelhantes.
Figura 2 - Formação de imagens em espelhos esféricos
a) côncavo b) convexo
C V V F C
f
F
f
C
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LENTES
Lente é um meio transparente limitado por duas superfícies curvas. A forma mais comum de lentes
são aquelas de faces esféricas, ou uma face plana e outra esférica.
Para efeito de classificação, pode-se dividir as lentes em dois grupos: as lentes convergentes e as
divergentes. As lentes convergentes são mais espessas na parte central, ao passo que as divergentes o são nas
bordas. O centro de curvatura C1 é o centro da esfera de raio R1 que origina uma face da lente; o centro C2 é o
centro da esfera de raio R2 que origina a outra face da lente. A linha que une os dois centros de curvatura
denomina-se eixo principal.
Uma importante simplificação no tratamento matemático das lentes é abstrair sua espessura. Com
este propósito, cria-se a figura da lente delgada, isto é, uma lente cuja espessura pode ser desprezada para todas
as finalidades de formação de imagem.
Um feixe de raios paralelos ao eixo principal, incidindo numa lente convergente, refrata-se,
convergindo para um ponto denominado foco F. A distância do centro geométrico da lente ao foco é a distância
focal f da lente. Se o feixe incidir numa lente divergente, o feixe se refrata, divergindo de um ponto localizado no
mesmo lado do feixe incidente, formando o foco virtual, como está esquematizado na figura 3.
Figura 3 - Lentes delgadas
a) convergente b) divergente
Conhecendo-se o tamanho (O) e a distância (p) de um objeto em relação a uma lente, e a direção
de incidência de dois dos três raios principais, pode-se determinar graficamente o tamanho (I) e a distância (p')
da imagem, tal como foi feito para os espelhos.
F
f f
F
Espelhos e lentes – pág. 4
Os três raios principais de uma lente convergente são (figura 4):
1. Um raio paralelo ao eixo principal refrata-se na lente passando pelo foco;
2. Um raio que passe pelo centro geométrico não sofre desvio (porque a lente é delgada e o centro geométrico
coincide com o centro ótico);
3. Um raio que passe pelo foco refrata-se na lente e sai paralelamente ao eixo principal.
Figura 4 – Raios principais
 a) lente convergente b) lente divergente
A seguir apresenta-se um conjunto de equações que se aplicam a espelhos de pequena abertura e
lentes delgadas, e que permite determinar algebricamente:
a. distâncias focais (f);
b. distâncias do objeto (p) e imagem (p') ao espelho ou lente;
c. ampliação ou aumento linear (M);
d. tamanhos de objeto (O) e imagem (I).
 Equação dos pontos conjugados: 
'ppf
111
+= (1)
 Ampliação: 
p
'p
O
I
M
-
== (2)
Para espelhos, a equação que relaciona distância focal e raio de curvatura é:
 
2
R
f = (3)
p
O
F1
F2
I
p'
p
O
F
p’
I
Espelhos e lentes – pág. 5
Para lentes, a " equação dos fabricantes de lentes " relaciona f com os raios de curvatura e o
índice de refração da lente com o meio que a envolve, sendo n = n2 / n1, onde n2 é o índice de refração do
material da lente e n1 o índice de refração do meio que a envolve. ( Veja teoria da Experiência 11 - Medidas
de Índices de Refração ).
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-=
21
11
1
1
RR
)n(
f
(4)
A utilização das equações acima segue a seguinte convenção de sinais:
a) Todas as medidas são feitas a partir do vértice de um espelho, ou centro ótico de uma lente.
b) As medidas para determinar a posição de um objeto ou imagem, reais, são positivas.
c) As medidas que determinam a posição de um objeto ou imagem, virtuais, são negativas.
d) Um cálculo que fornece um resultado negativo implica em objeto ou imagem, virtuais, e resultado positivo,
objeto ou imagem reais.
e) A distância focal de um espelho côncavo e de uma lente convergente é sempre positiva; para um espelho
convexo e uma lente divergente, negativa.
f) O tamanho O de um objeto é sempre um número positivo; o tamanho da imagem será positivo se esta for
direita (virtual) e negativa se for invertida (real).
g) Os raios de curvatura das lentes serão positivos, se dentro da concavidade houver material da lente; caso
contrário, negativos.
A Tabela 1 resume o exposto. Examine-a cuidadosamente para se familiarizar com as medidas que
serão feitas no laboratório.
Tabela 1 - Convenção de sinais para espelhos e lentes
Espelho Côncavo Lente Convergente
f > 0 f > 0
p > 0 O > 0 p > 0 O > 0
p' > 0 I < 0 M < 0 real p' > 0 I < 0 M < 0 real
p' < 0 I > 0 M > 0 virtual p'< 0 I > 0 M > 0 virtual
R > 0 R1 > 0 R2 > 0 biconvexa
Espelho Convexo Lente Divergente
f < 0 f < 0
p > 0 O > 0 p > 0 O > 0
p' < 0 I > 0 M > 0 virtual p' < 0 I > 0 M > 0 virtual
R < 0 R1 < 0 R2 < 0 bicôncava
Espelhos e lentes – pág. 6
Nesta experiência, mede-se a distância focal f de um espelho côncavo pelo método da ampliação,
devido à dificuldade de medir a distância p' (entre o espelho e a imagem). Isolando p' da equação (2) e
substituindo na equação (1) resulta:
 
1-
=
M
Mp
f (5)
Para determinar a distância focal de uma lente convergente, mede-se p e p'. Construindo um
gráfico de 1/p em função de 1/p' obtém-se um reta (figura 5).
Da equação da reta y = A + Bx, com y = 1/p’ e x = 1/p, resulta:
 1/p’ = A + B 1/p (6)
Comparando com a equação (1), observa-se que:
A = coeficiente linear = 1 / f
B = coeficiente angular
O coeficiente linear deste gráfico permite obter f da lente em questão.
 1 / p’
 -- *
 *
 -- *
 *
 -- *
 *
 -- *
 *
| | | | |* 1 / p
Figura 5 - Gráfico de 1/p’ em função de 1/p
Outro método para determinar f de uma lente convergente, é o método do deslocamento ou método
de Bessel (figura 6). Inicialmente arbitra-se uma distância D entre o objeto e o anteparo onde vai se formar a
imagem deste objeto. Coloca-se a lente convergente entre o objeto e o anteparo, procurando obter uma imagem
nítida do objeto sobre o anteparo. Continuando a deslocar esta lente, haverá uma segunda posição em que a
lente produz outra imagem, de tamanho diferente da anterior. A distância entre estas duas posições da lente
denomina-se d.
Pela figura 6 observa-se que:
 D = p1 + p'1 = p2 + p'2 (7)
 d = p2 - p1 = p'1 - p'2 (8)
Espelhos e lentes – pág. 7
 Figura 6 - Método de Bessel
Mostra-se que:
 )fD(Dd 4-= (9)
A equação (9) é a solução do problema 38 do capítulo 44, do Halliday-Resnick (4ª Edição). A
distância focal é dada por:
 
D
dD
f
4
22 -
= (10)
Quando duas lentes delgadas, de distâncias focais f1 e f2, forem colocadas em contato
(acopladas), é possível substituir esta combinação por uma lente hipotética de distância focal f dada por:
 
21
111
fff
+= (11)
Para determinar a distância focal f1 de uma lente divergente, é necessário utilizar uma outra lente
convergente de distância focal f2 conhecida, e acoplada (encostada) à primeira. Medindo-se a distância focal f
do sistema, com a equação acima obtém-se f1.
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. D. Halliday,R.Resnick e J.Walker; Fundamentos de Física; Vol.3; Ed. LTC
2. Sears; Zemansky;Young e R.Fredman; Física III; Ed. Pearson,Addison Wesley.
3. P A.Tipler; Física-Eletricidade e Magnetismo,Ótica; Vol.2;4°Edição;Ed.LTC
4. Introdução ao Laboratório de Física; J.J.Piacentini, B.C.S.Grandi, M.P.Hofmann, F.R.R.de Lima,
E. Zimmermann; Ed. da UFSC.
p2
D
O 1 2
p1 d p’2
I
p’1
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4. ESQUEMA
5. PROCEDIMENTO
ATENÇÃO: NÃO TENTE LIMPAR, NEM TOQUE NA PARTE ESPELHADA COM OS DEDOS.
PRIMEIRA PARTE - Espelho côncavo, método da ampliação
1. Coloque o espelho côncavo A (ou A’) sobre o trilho, conforme o esquema que representa a vista superior da
montagem, constituindo o banco ótico.
2. Ligue a lâmpada e verifique se o feixe luminoso está paralelo ao trilho. Desloque o espelho sobre o trilho, até
obter a imagem do objeto (letra F) sobre o anteparo colocado numa posição arbitrária, perpendicular ao trilho
óptico.
3. Meça p, I e O. Não é necessário medir p’. Anote na Tabela I do relatório. Utilize a equação (5) para
calcular f. Preste atenção ao sinal de M, que dependerá do sinal atribuído a I.
4. Faça um conjunto de medidas, tomando valores de p e p’ tão diferentes quanto possível, completando a
tabela. Dica: é mais fácil arbitrar a posição do anteparo e tentar focalizar a imagem sobre ele.
SEGUNDA PARTE - Lente convergente, método gráfico
1. Substitua o espelho pela lente convergente B (ou B’). Na outra extremidade do trilho coloque o anteparo.
2. Desloque a lente até obter imagem nítida projetada no anteparo. Procure focalizar a parte central do objeto,
para atenuar os problemas de aberração da lente. Leia p e p’ sobre a escala do trilho. Anote na Tabela II.
3. Aproxime um pouco o anteparo no sentido da lente. Ajuste a posição da lente de modo a focalizar novamente
o objeto. Meça p e p’. Prossiga até completar a tabela.
espelho
F fonte luminosa
objeto
anteparo
Espelhos e lentes – pág. 9
TERCEIRA PARTE - Lente convergente, método de Bessel
1. Ponha a lente C (ou C’) entre o objeto e o anteparo, que devem ser posicionados no máximo afastamento
entre si. Desloque a lente sobre o trilho até obter uma focalização sobre o anteparo. Se continuar a deslocar a
lente em direção ao anteparo haverá uma segunda posição em que ocorrerá focalização.
2. Meça D e d ( verifique na figura 6) e anote estes valores na Tabela III. Calcule a distância focal da lente
com a equação (10).
3. Aproxime um pouco o anteparo no sentido do objeto. Assim você obtém um novo valor de D. Focalize
novamente para duas posições, e meça d.
4. Repita os procedimentos 2 e 3 até obter um total de quatro medidas, sendo que a última medida deverá ser
para d = 0.
QUARTA PARTE - Lente divergente, método do acoplamento
1. Substitua a lente anterior pelo sistema de lentes D( ou D’ ), constituído por uma lente convergente de
distância focal conhecida e uma lente divergente atarraxada sobre ela, de distância focal a ser obtida.
2. Desloque o sistema sobre o trilho até obter uma imagem sobre o anteparo. Meça p e p’ e anote na tabela IV.
3. Refaça as medidas de p e p’ com o sistema de lentes sofrendo uma rotação de 180 o e tornando a focalizar (
é uma maneira de compensar o erro cometido quando se supõe que as medidas de p e p’ são feitas em relação
ao centro geométrico do sistema ). Use a equação dos pontos conjugados para calcular f nas duas situações. A
distância focal correta será a média aritmética dos dois valores obtidos.
4. Utilizando este último valor de f e o foco da lente convergente fornecido pelo fabricante, calcule a distância
focal da lente divergente com a equação (11). Calcule o erro percentual em relação ao valor nominal. Anote
tudo na Tabela IV.
6. RELAÇÃO DO MATERIAL
01 fonte luminosa.
01 trilho de ferro fundido com escala milimetrada e L = 150 cm.
 01 placa metálica laqueada de branco.
04 suportes metálicos para trilho tipo “ V ”.
01 lâmina 8 x 8 cm com entalhe de “ F ” (objeto).
01 espelho côncavo A com f = 250 mm.
01 lente convergente B com f = 20 cm ou B’ com f = 15 cm.
01 lente convergente C com f = 15 cm ou C’ com f = 20 cm.
01 lente convergente f = 5 cm com uma lente divergente f = -10 cm atarraxada (sistema designado D )
(ou 10 cm e -20 cm , designado por D’).
03 suportes metálicos de lentes.
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7. QUESTIONÁRIO
1.a. Calcule o valor médio da distância focal do espelho côncavo com os dados da Tabela I. Calcule o erro
percentual em relação ao valor nominal, anotado no espelho.
1.b. Explique como variam o tamanho (I ) e a posição (p’) da imagem à medida que o espelho côncavo se
afasta do objeto (veja tabela I).
2.a. Faça o gráfico de 1 / p’ em função de 1 / p com os dados da Tabela II.
2.b. Calcule os coeficientes angular e linear da reta obtida e, a partir deles, calcule f. Mostre seus cálculos.
2.c. Calcule o erro percentual de f em relação ao valor nominal.
3. Ao fazer as medidas da Tabela III você deve ter percebido que a distância D possui um valor mínimo abaixo
do qual não se pode focalizar uma lente convergente. Utilize a equação (10) para obter este valor mínimo.
Compare percentualmente este D com o valor obtido experimentalmente.
4. Calcule a distância focal
da lente C (ou C’) quando ela estiver mergulhada na água. Dados: nvidro = 1,50;
nágua = 1,33.
5. O índice de refração varia com a cor da luz (Exp. 11). Calcule a distância focal da lente C (ou C’) para a luz
azul (nvidro/azul = 1,58), sabendo-se que o valor obtido nesta experiência é equivalente à luz amarela, por
aproximação ( nvidro/amarelo = 1,50 ).
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GRUPO: SEMANA: ALUNOS: 
EXPERIÊNCIA 09
ESPELHOS E LENTES
PRIMEIRA PARTE - Espelho côncavo, método da ampliação
 Tabela I Espelho A ou A’ fT =
p ( cm ) I ( cm ) O ( cm ) O
I
M = f ( cm )
1
2
3
f = cm
SEGUNDA PARTE - Lente convergente, método gráfico
 Tabela II Lente B ou B’ f T =
p ( cm ) p’ ( cm ) 1 / p ( cm-1 ) 1 / p’ ( cm-1 )
1
2
3
4
5
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TERCEIRA PARTE - Lente convergente, método de Bessel
 Tabela III Lente C ou C’ fT =
D ( cm ) d ( cm ) f ( cm )
1
2
3
4
QUARTA PARTE - Lente divergente
Tabela IV Lente D ou D’ fDIV= fCON=
Medidas e Cálculos neste espaço