Lista 11

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Lista de problemas 11 
1) Para o sistema de referência indicado na FIG.1 pelos unitários, foram obtidas as seguintes funções horárias relativas ao movimento de um projétil:
x(t) = 2t (m,s) 
y(t) = 1 + 4t - 5t2 (m,s) 
Use a escala 1cm:1m, para comprimentos
a)Encontre a equação da trajetória da bola, até atingir o chão (y=0) e mostre que a direção de 
 é tangente à curva y(x) em x=0. 
b) Na FIG.1, complete a representação do sistema de referência e esboce a trajetória do projétil até atingir o chão; marque corretamente os pontos B e C, posições da bola ao atingir a altura máxima e o chão, respectivamente. Faça abaixo os cálculos necessários.
2) Uma bola de gude, representada por um ponto P de sua superfície, é lançada de uma altura de 0,8 m do tampo horizontal de uma mesa. A trajetória de P é decrita pela função y(x) = 0,8 + 1,2x - 0,8x2 (x e y em metro), cujo gráfico é mostrado na FIG.2. A velocidade da sombra x da bola (ponto P) é vx = 2,5 m/s. Chame de tv o tempo necessário para a bola atingir o tampo da mesa e tome g = 10m/s2. Na FIG. 2, as escalas dos eixos x e y podem ser consideradas iguais.
Marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado de cada uma das afirmações a seguir. 
[ ] Ao atingir a superfície da mesa, a posição da bola coincide com a de sua sombra x.
[ ] A função que descreve o movimento da sombra x é x(t) = 2 + 2,5 t (m,s).
[ ] A velocidade inicial da sombra y é vy0 = 3,0 m/s.
[ ] O movimento da sombra y é descrito pela função y(t) = 3,0 t – 5 t2 (m,s)
[ ] A aceleração da sombra y é igual a – 1,6 m/s2.
[ ] Para o ângulo (, de lançamento, tem-se tg ( = 1,2
[ ] tv = 0,8s.
[ ] o módulo da velocidade da bola quando está na iminência de bater no tampo da mesa é igual a 
em m/s.
[ ] o módulo da velocidade da bola quando está na iminência de bater no tampo da mesa é igual a 
 em m/s.
[ ] A velocidade da sombra y num instante t do movimento é dada por vy(t) = 1,2 - 10t (m,s)
[ ] A velocidade inicial da sombra y é dada por vx . y’(x=0).
[ ] No instante em que y’(x) = 0 tem-se também vy = 0.
[ ] y(t) é dada pelo produto y(x).x(t).
[ ] Para obter y(t) construimos a função composta y[x(t)].
[ ] a bola atinge o tampo da mesa numa direção dada pelo ângulo α mostrado na FIG. 5; pode-se afirmar que tg α = -2,0.
3)Uma pequena esfera é lançada em t = 0 e nesse instante as velocidades das sombras são vx(0) = 3V e vy(0) = V. Movendo-se sob ação unicamente da gravidade, a esfera chega ao tampo da mesa 0,4s depois. O sistema de referência utilizado para estudar o movimento está representado na figura a seguir. Tome g=10m/s2. Marque V ou F ao lado das afirmações a seguir. Todas as perguntas referem-se ao intervalo 0≤t≤0,4s.
 
[ ] durante todo o movimento a velocidade da sombra x é constante e igual a 3V; 
[ ] a aceleração da sombra y é igual a - g/2
[ ] quando x = 0,3m, a esfera está 50 cm acima do tampo da mesa
[ ] no ponto mais alto da trajetória o módulo da velocidade da esfera é igual a 
[ ] no ponto mais alto da trajetória o módulo da velocidade da esfera é 3V.
[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 0,6 – 5t2 (m,s)
[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 0,6 + 0,5t - 5t2 (m,s)
[ ] quando a esfera bate no tampo da mesa ela está no ponto a 0,4 da origem.
[ ] a esfera bate na mesa com velocidade de módulo igual a 
[ ] a esfera bate na mesa com velocidade de módulo maior do que 3,0 m/s. 
[ ] a aceleração da sombra x é igual a 
= 3,75 m/s2.
[ ] o movimento da sombra x é descrito pela função x(t) = 0,5 t (m,s)
[ ] a distância total percorrida pela sombra y é 0,6 m.
[ ] a distância total percorrida pela sombra x é 0,6 m; 
[ ] a reta tangente à trajetória em x=0 é horizontal.
4) Um jogador de volei dá um saque na bola, de uma altura de 80 cm do chão e esta leva 0,4s para cruzar a rede, a 2,0 m do chão. A bola cai no chão do campo adversário a uma distância L da rede. Considere que o movimento da bola se deve unicamente à ação da gravidade e tome g = 10 m/s2. O sistema de referência está indicado na FIG. 4, que mostra a situação no instante (t=0) do lançamento.
a)Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento da bola no sistema de referência da FIG. 4.
b)Quanto tempo depois de lançada e a que distância L da rede, cai a bola? Dê as respostas com 3 dígitos.
5) Uma pequena esfera é lançada em t = 0 com velocidade 
 fazendo um ângulo θ com a horizontal. A esfera move-se sob ação unicamente da gravidade, atingindo o solo em t = 1,2s, tomado como o instante final. A velocidade inicial da sombra x é vx(0) = 1,5 m/s. O sistema de referência utilizado para estudar o movimento está representado na FIG. 5, que mostra também a posição inicial da esfera. Todas as perguntas referem-se a esse sistema de referência e ao intervalo 0≤t≤1,2s. 
Dados: 
 ; g = 10m/s2. Considere escalas iguais nos dois eixos. O vetor 
está fora de escala; não deve ser usado para obtenção de dados. A esfera pode ser representada por um ponto.
Marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado de cada uma das afirmações. 
1[ ] quando a esfera atinge o solo, sua sombra x está a 0,6m da origem.
2[ ] a velocidade inicial da sombra y é igual a 5 m/s.
3[ ] a função que descreve a posição da sombra x é x(t) = 1,5 t (m,s)
4[ ] a velocidade da sombra x varia linearmente com o tempo.
5[ ] a velocidade da sombra y é dada por vy(t) = 5 -10t (m,s) 
6[ ] o solo encontra-se a 1,2m abaixo da linha de lançamento
7[ ] em t=0 a esfera coincide com sua sombra y.
8[ ] quando a esfera atinge a altura máxima, sua velocidade é igual a zero.
9[ ] a função que descreve o movimento da sombra y é y(t) = 5t - 5 t2 (m,s)
10[ ] o módulo da velocidade final é igual ao módulo da velocidade inicial
11[ ] em x = 0,3m, a esfera coincide com sua sombra x.
12[ ] tg θ = 
13[ ] tg θ = 
14[ ] a esfera nunca passa pela origem
15[ ] no instante em que a esfera cruza o eixo y, a sombra y move-se para baixo, com velocidade de módulo igual a 3m/s.
6)No sistema de referência cartesiano da FIG. 2, o movimento de um objeto é descrito pelas equações: 
x(t) = 4t2 	(cm, s)
y(t) = 4 + 6t2	(cm, s)
a) Desenhe na FIG. 6 as velocidades de Px e Py em t=1s.
b)Esboce os gráficos de x(t) e y(t).
c)Obtenha y(x), equação da trajetória do objeto, e esboce-a na FIG. 6.
7) A reta suporte de um certa trajetória é dada pela função y(x) = 8 - 2x (y e x em cm). 
a)Desenhe abaixo essa reta. Use a escala 1:2 nos eixos.
b) No intervalo 0≤t≤4s, as sombras x e y de um determinado corpo se movem segundo as funções 
x(t) = t + 2 (cm,s) 
y(t) = 4 - 2t (cm,s) 
Mostre que o corpo se move sobre a reta desenhada no item (a) e indique na FIG. 7 os dois pontos, A e B, entre os quais se move.
c)Dê a tangente do ângulo entre a reta e o eixo y.
 d) Mostre que o movimento de um corpo, dado por
x(t) = 2 + (1/9)t2 (cm,s)
y(t) = 4 – (2/9)t2 (cm,s)
no intervalo 0≤t≤6s também se realiza sobre mesma reta suporte obtida em (a). Esboce as funções x(t) e y(t).
	
e)Como terceiro exemplo de movimento sobre a reta suporte descrita em (a), considere um corpo cuja sombra x move-se de acordo com a função x(t) = 4 - 3t (cm,s) para 0≤t≤2s. Sabendo que seu movimento inicia-se no ponto (4cm, 0) obtenha a função y(t). Marque na FIG.7 os pontos C e D entre os quais se move o corpo, nesse movimento.
f) Marque
V(verdadeiro) ou F(falso)
[ ] numa dada trajetória existe um único movimento possível, dado por y(x)
[ ] numa dada trajetória vários movimentos são possíveis
[ ] numa trajetória retilínea as funções x(t) e y(t) são necessariamente lineares em t.
[ ] dada a equação y(x) da reta suporte, a velocidade em cada ponto é dada por y´(x).
8)A trajetória de uma bola de tênis é dada pela equação y(x) = -64 + 38x – 5x2 (x, y em metros). Na figura está representado o ponto de saída da bola, no instante t=0. O jogador imprime uma velocidade inicial 
, cuja componente y é vy0 = 2 m/s. A aceleração da gravidade é g = 10 m/s2. O sistema de referência cartesiano está representado na figura. O eixo y coincide com a parede e o eixo x com o chão. A figura é ilustrativa e não deve ser usada para tomada de dados numéricos, exceto quando indicados.
Calcule vx0 e y0. Sugestão: use a regra da cadeia.
Calcule as coordenadas xH e yH do ponto mais alto da trajetória da bola.
Diga se a bola colide com a parede ou com o chão. Justifique sua resposta.
Suponha que, num segundo lançamento, x0 = 0 m, y0 = 0 m, vx0 = - 4 m/s e vy0 = 2 m/s. Obtenha a equação da trajetória y(x) para o segundo lançamento.
9)Num dado sistema de referência, a trajetória de um projétil é
			y(x) = - 0,6 + 2,4 x - 0,8 x2 	(x e y e, metro)
a)Para cada caso, (i), (ii) e (iii), dê a unidade da grandeza cujo valor numérico está indicado. Explique sua resposta.
(i) -0,6
(ii) 2,4
(iii) -0,8
b)Sabendo que a função que descreve o movimento da sombra x é x(t) = 2,5 t (m,s), calcule o módulo do vetor velocidade quando x =1,0m. Dê a resposta com 2 dígitos.
10)Para um dado sistema de referência um movimento é dado pelas seguintes funções horárias:
		x(t) = - 2 + 5t (m,s)
		y(t) = 3t – 5t2 (m,s)
a)Obtenha a função y(x) que descreve a equação da trajetória do corpo.
b)Fazendo os cálculos necessários, represente no sistema de referência abaixo (i) a posição do corpo em t=0; (ii) velocidade 
 do corpo em t=0, e (iii) o vetor 
 , aceleração do corpo em t=0. Nos eixos x e y, use a escala: 1 cm: 1m. Para a velocidade e a aceleração use escalas arbitrárias, porém dê corretamente as direções desses vetores.			
		
 
c)Quando a sombra x encontra a origem do sistema de referência, o projétil está no ponto B. Na figura do item (b), esboce a trajetória do projétil e marque B de acordo com seu esboço.
11)Ao percorrer o trecho de ciclovia mostrado na FIG.9, um ciclista (representado por um ponto P) mantém sua velocidade constante, em módulo. O movimento é estudado por um observador usando a decomposição no sistema de referência da FIG.9, no qual o traçado da ciclovia é dado pela equação y(x) = 
(x e y em metros). O observador toma t = 0 como o instante em que o ciclista passa pelo ponto A. O movimento do ciclista é de A para B, atingindo esse ponto em tB. Todas as perguntas referem-se ao intervalo -20 m ( x ( 20m. É dado vx(t=0) = 3 m/s.
Marque V(verdadeiro), F(falso) ou X(branco) ao lado de cada uma das 15 afirmações a seguir. 
1 [ ] o tempo de percurso para o trecho -20 m ( x ( 0 é a metade de tB;
2 [ ] o movimento da sombra x é uniforme;
3 [ ] o deslocamento da sombra y entre x = - 10 m e x = 20m é igual a 30 m;
4 [ ] a velocidade inicial da sombra y é igual a 2 m/s;
5 [ ] a velocidade da sombra y se anula uma única vez;
6 [ ] no ponto B, a velocidade da sombra x é vx(tB) = 3 m/s;
7 [ ] vy (tB) = - 4 m/s;
8 [ ] o módulo da velocidade do corpo é igual a 5 m/s;
9 [ ] para cada instante t, 
;
10 [ ] cos ( = 0,6;
11 [ ] quando Px está em x = - 15 m tem-se vx = vy;
12 [ ] para qualquer instante t desse movimento o vetor aceleração 
 é igual a zero;
13 [ ] o valor máximo da velocidade de Px é igual a 
 ;
14 [ ] se a função s(t) descreve a coordenada sobre a trajetória para uma certa referência R, então s´´(t) = 0;
15 [ ] para cada instante t, 
.
12)Um objeto representado por um ponto P move se numa reta suporte mostrada na FIG.10 pela linha tracejada. Dois observadores, 1 e 2, descrevem o movimento usando coordenadas de posição diferentes. O observador 1 usa a coordenada de posição s(t) sobre a trajetória; a FIG. 10 mostra o ponto de referência R, mas a convenção de sinais utilizada por esse observador não está mostrada. Segundo o observador 1, a velocidade inicial do objeto é -10 cm/s. O observador 2 descreve o mesmo movimento por decomposição num sistema de referência cartesiano, indicado também na FIG. 10 pelos eixos x e y. A reta suporte faz um ângulo  com o eixo x. Segundo o observador 2, o movimento da sombra y é descrita pela função y(t) = 3 + b t + 3t2 (cm, s) onde b é uma constante negativa (b< 0). Segundo o observador 2, as sombras x e y do ponto de referência adotado pelo observador 1 são, respectivamente, xR = 8,0 cm e yR = 6,0 cm. O movimento foi estudado durante o intervalo do tempo
 0 ≤ t ≤ 3,0s. Tome cos= 0,8 e sen= 0,6.
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　FIG. 10
Obtenha y(x), equação da trajetória. Na FIG. 10: 
- marque a posição inicial do objeto indicando os valores das coordenadas iniciais x(0) e y(0) segundo o observador 2;
- desenhe a seta que representa a velocidade inicial do pono P;
- indique a convenção de sinais adotada pelo observador 1. Justifique sua resposta no espaço reservado a seguir 
Escalas: para comprimento use a escala fornecida pela FIG. 10; 
 para velocidade: 1 cm no papel = 5 cm/s no mundo real. 
Determine a constante b. Obtenha também a função x(t). 
c)Escreva as funções que representam as coordenadas de posição das sombras x e y do objeto em um tempo qualquer em termos da coordenada s nesse mesmo instante. 
d)Obtenha o instante de tempo tP em que o objeto para, e indique na FIG. 10 a posição do objeto neste instante. Use a escala da figura e chame a posição de F.
e)Determine vf, velocidade final (t = 3,0s), do objeto segundo o observador 1. 
Respostas
1-	a) y(x) = 1 + 2x -1,25 x2 (m,m)
b) xB = 0,8 m ( 4 cm no papel; yB = 1,8 m ( 9 cm no papel.
 xC = 2 m ( 10 cm no papel; yC = 0 m.
2- 	V F V F F V V V F F V V F V V
6- 	a)vx (1s)= 8cm/s; vy (1s)= 12cm/s; b) ax = 8cm/s2; ay = 12cm/s2 
	c) y(x) = 4 + 1,5 x (cm,cm);
7-	e) y(t) = 6t (cm,s)
f) F V F F 
8-	a)vx0 = -1 m/s ; y0= 8 m
b) xH = 3,8 m; yH = 8,2 m 
c) Parede ou chão? Chão; Justificativa: se batesse na parede, x=0 e y = -64m, abaixo do chão
d)y(x) = -0,5 x – 0,3125 x2 ( m,m) 
11-	V F F F V V V V F V V F V V F
FIG. 1
i
j
y(m)
FIG. 2
x(m)
α
 
 0,0	 0,2	 0,4	 0,6	 0,8	 
y (m)
0,4�
0,8
0,6
0,2�
tampo da mesa
3V
x (m)
V
FIG. 4 
3,6 m 
0,8 m
x 
0 
y 
rede 
x(t) = 
y(t) = 
tempo de queda = 
L = 
 -1,2 -0,6	 0,6	 1,2	 
y (m)
- 1,2
0,6
-0,6
x (m)
� EMBED Equation.3 ���
1,2
t = 0
θ
FIG. 5
y(cm)
x(cm)
0
FIG. 6
Use as escalas:
comprimento: 1cm: 4cm
velocidade: 1cm:8cm/s
aceleração: 1cm:6cm/s2
x(cm)
y (cm)
FIG.7
FIG.8
x(m)
y(m)
FIG. 9
x(m)
y(m)
A
B
-20
 20
reta tangente à 
trajetória em A
(
_1305300926.unknown
_1368262199.unknown
_1369488123.unknown
_1399058093.unknown
_1368262911.unknown
_1368275112.unknown
_1368263371.unknown
_1368262734.unknown
_1305316699.unknown
_1305720558.unknown
_1305316558.unknown
_1286653744.unknown
_1287927305.unknown
_1305300352.unknown
_1305299253.unknown
_1287927009.unknown
_1242415477.unknown
_1286653698.unknown
_1242414809.unknown
_1016437215.doc