Resumen de Análisis matemático-Página 10

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Tema 7 :Seri es de potencias

Se llama serie potencial a una serie funcional de la forma a

x+a

+...+a

+....

En toda serie entera existe un cierto valor tal que la serie converge para todo x existente

para un cierto valor.

∀

∈

−

x R R( , ) , para calcular este intervalo se utilizan los criterios

de Dalembert o del cociente, Cauchy o de la raíz

Desarrollo en serie de Taylor

f x f a f a x a f a x a f a

x a

= + − + − + + − +( ) ( ) ' ( )

( ) ' ' ( )

( ) . . . . . . ( )

( ) . . . . . .

)

Desarrollo en serie de Mc Laurin : Es igual que Tailor pero con x = 0

f x f a fxfxf

( ) ( ) ' ( )

' ' ( )

. . . . . . ( )

.....

)

= + + + + +

Resto de Lagrange un polinomio de Taylor de grado n :

Rn f z

nx a

=+−

)

( )

( ) ! ( )

Serie Binómica rango convergencia

[-1,1]

Operaciones con series de potencias Dado f(x) = ∑ a

y g(x) = ∑ b

f(k·z) = ∑ a

f(x

) = ∑ a

f(x) ± g(x) = ∑ (a

± b

) x

f(x) · g(x) = (∑ a

) (∑ b

)

Estas operaciones pueden cambiar el intervalo de convergencia.

Si es una suma el intervalo es la unión de los intervalos.

11 1 1 1 1 1 1

234

x x x x x

n n

= − − + − − − + − − + − −( ) ( ) ( ) ( ) . . . . ( ) ( ) 0 < x < 2

ln ( ) ( ) ( ) ( ) .. . . ( ) ( )

x x x x x x

n n

= − − −+−−−− + − −

1 1

2 3 4 1

0 < x ≤

≤≤

≤ 2

e x x x x x

= + + + + + +1

2 3 4

. . . .

-00 < x < 00

sen( ) ! ! ! . . . . ( )

( ) !

x x x x x x

n n

= − + − + + −

3 5 7 2 1

3 5 7

2 1

-00 < x < 00

cos( ) ! ! ! . . . . ( )

( ) !

xx x x x

n n

= − + − + + −

1246

2 4 6 2

-00 < x < 00

ar g x x x x x x

n n

cot ( ) . . . . ( )

= − + − + + −

+3 5 7 2 1

-1 ≤

≤≤

≤ x ≤

≤≤

≤ 1

ar x x x x x n x

n n

sen( ) •

•

• •

••• . . . . ( )

( !) ( )

= + + + + + +

3 5 7 2 1

2 3

1 3

2 4 5

1 3 5

2 4 6 7

2 2 1

-1 ≤

≤≤

≤ x ≤

≤≤

≤ 1

( ) ( )

( )( )

( )( )( )

1 1 1

1 2

1 2 3

2 3 4

+ = + + −+− − +− − −

x kx k k x k k k x k k k k x

-1 ≤

≤≤

≤ x ≤

≤≤

≤ 1

( )

1 1 1 2 3 4

2 3 4

+ = + 







+







+







+







+ + 









xmxmxmxmxm

.......

Introduccion al Calculo Resumen

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