Fisica Vol. 2 - Alonso & Finn (Parte 1)

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UIIT PróIoqo a Ia edícíón en espairal
regional isrnos; err sf igun(1o l i tgar, pr i rqr !B ia t l r rc l r r ¡ l r ,* ia f ís! ia cestel la¡ la t t idavia
no se ha ase¡r i i iCc, r :n parte ¡ tor la lnt iuernci¡ t . . 'a i r : jb i i : t ¡ : r : han tenido la: : termi-
nologí; ,s f ranci :sa e i l ¡ l i¿¡¡ra y la ter ; r t inr t lo i { i : i ing}r}sr : . ' t ; r pr i r te por el insui ic ient |
desarrol lrr r le ia f ísir :a rr lr los i) ' , i íst js ¡. j r : i r ; i i -r l¿r <r¿¡slei i¡ t t ; t . ' . l iee¡nos h: ibct '¡ ;rescntl , i lo
una 1erü]inoloqía de r¡s¡i basl: i l -r i -e i1e i l r : .r ; ; l l i l c; l :slanl i t . : .rr puede l{.}¡nar cr¡rrto r¡na
pfr lpuÍst.¿, t i í i ta qu{l saa cDnsii i t :r-a¡i : i r}r--rt i . i ' r¡ { lel i i r ' r{r ' i t t l te r l t : ¡-ror¡n:r l . izaci<i¡¡ i1e,
tenninclogía qi te t iene el Ct:nLrc l ,at i i i r ;anlr ' i , i ¡nr , d, : l j is i t : ¡ . . Querr t ' . r r r . : , s¡¡r c i l i -
' l -rar¡1o, i¡rsist ir e: l ( i trs casos i he:n¡i ; trs; i : l ¡ i i )¡ , i : tr ' t i l rr f¿t r: i ' , ' . , igna; ' el ¡ !1{}r ir t- ' ¡r t{r t lc un;i
iue¡ '¿a p1)r '(¡uÉ cs J.a psir i i )r i l , in: j l sin;tr i . . i , i i ; 'a.r:1)nrr) ir ;zai i i ls r i lversr¡s r lr i r l tr les r lut '
s,: h: ir : i ¡sarlo Dara estr: conceflo 1'polr. t ,- : i ¡ ,- l lnir ] . l - :uvt:t i3 i l1i . t :rnacic¡nal ización de
ia te l l r i r t r l iogf a. Utra ; t ln ' i \ ' ¡c i i i ; r 's f ¡ ¡ { i r ; in¡ü: t¿ lc. i Lrai l r t , :1cr-es f ra¡rcescs de Newtorr
¡;r 'ei i i icrcn la designación carle¡iana r ic ¡rrni ir . i i ¡¡ . i r i . .r ivr '- .r ' i ¡ :niet i io, que también tuv+
a¡ ' r : i - r t i . , r iót l general en i t¿r l ianr,r . \ r r l r , . '¿ ls ie i i *no, 
- ! in r i l , , : , r rgr)- su uso rcsul t r i inco;.1-
., 'cr i icnte poí su longi inri y i) ,)r:qtrr r : l ; ¡¡r:-rcir<-rs trat. i i r i ¡ i i .ntus lerjr ícos el concepto no
está direcf .amci¡ te reiacionado cun -¡ i : t , ; . imlr¡r to. 
' \ l i l r . i i ¡ . r s impl i f icar ! , 'c f i l r t r ib i l i r
a l : ¡ i r r te inacicnal ización de l ¡ t t - r i t r i r ro i ¡ . , : : í : t htnir¡ : prefer idr ; m¡LmenltLtn.
I is ta¡nirs col ;sr : ic¡ l tes r i t i ¡a i ¡e i l { iqrá(¡r , , i r i ¡ l i ¡at i , ¡ i :c i i ;n aceptabie. Esto l la s id¡¡
i lu:r i i : le í . : iaci lrs a l :r c,/ ial)orai: i i rn t lc l is i . :<., i . l . r r- l j : : i i rr t i : ' procedet' icias que trabajatr
t :-r r : i l . !e¡;ari"atnetrt<.¡ rIe lr ísic¿ r. le la [ .nir. i ;rsir]¿rt1 de Orieri i¿, a la t ie;nuchos f isicos
:lr t i i t rrcntes f¡artes dt i .at i i loanrérica ' : i l rr . , 1¡t ' t ,-r*s i :o¡rsult .¿ldu ¡ 'a la dcl Llr. I farcelo
;\ lcr isü. Quereriros también rnani lestar r iutrstr{ i agredecirrr iento a l¿r esposa de uno
de rrosotros (C. A. H.) por su ayuda cn innúrr :eras tare ¡s secretar ia les y en la revi-
s!én de todo el rnanuscr i to, lo cual iedundó en unü nrt jor presentación del texto,
pi irrcipaimente por la supresién de nruchos anglicismos, gal icismos y barbarismos.
Cumanri
iunio de 1970
C.r\Rr,os Ar,sEnro llenas
JosÉ A. B¡Rnpro An¡u¡o
Versión en español de:
CARLOS ALBERTO HERAS
Coardinudor Cientílico
Universidad de Oriente. Venezuela
v
JOSE A. BARRETO ARAUJO
Departamento de Física
Universídad de Oríente, Venezuela
Con la colaboración de :
ROMULO E. BALLESTERO
Facultad de Ciencias y Letras
Universidad de Costa Rica
rl
FISICA
VOTUMEN II: CAMPOS Y ONDAS
Deportamento de
FISICA
VOTUMEN II: CAMPOS Y ONDAS
MARCELO ALONSO
Departamento de Físíca, Universidad de Geargetown
Washíngton, D. C.
Asuntos Cientlficos, Organización de los Estados Amerimnos
EDWARD I. FINN
Deparlamento de Física, lJniversidad de Georgetown
Washington, D.C.
FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO,
Bogotá Caracas - X'féxico - Panamá - San Juan - Santiago - Siro
S. A.
Pa: l : ,
r r ; ; r ¡ ; . . ; i r i f ¡ , ; i : : : r i i l , ingiese t i tu iada
; , : : . 'L i - ' t t i i : t ; ¡ t t i ] l ' r l í i f . ! ,
i ' - : . r , : , ; ; ' . l " : , . , i , ¡ :d ic iót t c i* 1967,
l i i ; r 1:- ; ; ¡ ¡ ; ¡ i . l ; : : l ¡ : ; ,ny, Read. i f lp. ,
- . . i s i i l ; ; , r i ; i i l3 úf : ¡ca aüt i l r ;uada.
. 
. - i l :
: t j ' : . : !
. l / ; , ¡ t .
f{ l i i ' i r i . '
€) l$70 ¡ror tr 'ONIIO EIlUf;Ag;l 'O INTERAMFRXCA¡rO, f l . A.
T¡:clos los rlrrechos han sido ¡esei"?.?(i¡s. Ni est¡: iibro rri parte de él ¡lueden ser
r*pxo(irrr i i j i )$ er¡ fornl: t algl:n:r $in ( i i i . .crf i l lso eicr l ta ¡ j<: su editor. Printed in the
Llnitei Sl. ; ' . icr r¡ i Ai lrcr ic¿r. lnr¡-.¡¡rq" ¿:rr io¡, i i . I I" , ] i . Tarjr ' , ia del catálogo de la Bi ir t ic¡*
teca i l r i Co:rgiesc de ! l :¡ : I- iE. Lir{- i . ; 7.1" 1!3:: l1 9"
PROTOGO A TIT EDICION EN ESPANOL
Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof el
carácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestruc-
turar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo más
moderno e interesante para los estudiantes. Este trabajo lue completado por ambos
traductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba a
utilizar en cursos básicos comunes a todos los estudiantes de ingenierfa y de ciencias
(incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era la
falta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores del departarninto
un csfuerzo de asimilación de textos tales como The Fegnman Leclures on Pñysics.
Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco después el Il
de esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufa
del curso de fisica general, conscientes de los inconvenientes pedagógicos que implica
utilizar a este nivel un libro 
€n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmente
este volumen II, resultó incitante no sólo para ios estudiantes sino también para
los profesores. El resultado fue un aumento sustancial en el rendimiento estudiantil,
tradicionalmente bajo, especialmente en el primer semestre del curso.
Una de las ventajas que hemos encontrado en esta serie es que.su nivel no es
uniforme. Mediante una selección adecuada de temas, ejemplos y problemas, so
puede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de suma
utilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles de
enseñanza tan dislmiles en la región.
El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque como
por el contenido: la reducción del espacio dedicado a los campos estáticos a susjustas proporciones, la posposición del estudio de circuitos a problemas (lo que
realme¡te son), el tratamiento unificado de las ondas, que permite un estudio razo-
nable de las ondas electromagnéticas (sobre las cuales se basa gran parte de las
com.odidades que la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro-
ducción del concepto de fotón a esta altura nos parece sumamente úti l, pues una
vez que el estudiante se conv€nce de que los rayos gamma, Ios X, la luz y las ondas
de radio son de la misma naturaleza, la pregunta invariable es ¿por qué, entonces,
algunas de estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos?
El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placer
por Ia claridad y la concisión del lenguaje uti l izado en el original 
- aparte de los
hallazgos didácticos; sólo introdujimos algunos cambios menores respecto al ori-
ginal cuando consideramos que ello redundaba en mayor precisión o claridad,
El lector sabrá disculpar los defectos idiomáticos que pueda hallar: consideramos
que poner al alcance de los lectores de habla castellana un texto de alta calidad
en la materia era más urgente que lograr un castellano perfecto. La traducción
fue además estimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión que
tenciría la presente edición en castellano, deblamos evitar en lo posible el uso de
PROTOGO
La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las
otras ciencias. Por consiguiente, no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sino
todo aquel que piense seguir una carrera cientfflca (biologfa, qufmica y matemática)
debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales.
El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón para
que aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada de
la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, los
principios básicos, sus implicaciones y sus l imitaciones. El estudiante aprenderá
aplicaciones especfficas en cursos más avanzados. Asf, este libro presenta las ideas
que creemos fundamentales y que constituyen el corazón de la'flsica de hoy. Flemos
tenido en cuenta cuidadosamente las recomendaciones de la Comission on College
Phgsics (Comisión de Ffsica para Universitarios) para escoger los temas y el método
de presentación.
Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñando como si fuera un
conglomerado de varias ciencias más o menos relacionadas, pero sin un punto de
vista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor,
sonido, óptica, electromagnetismo y ffsica moderna no se justifica al presente.
Nos hemos apartado de este enfoque tradicional. En su lugar seguimos una presen-
tación lógica uniflcada, haciendo énfasis en las leyes de conservación, en los con-
ceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atómico de la materia. La teor[a
de la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de los
principios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica.
El curso se ha dividido en cinco partesl (1) Mecánica, (2) Interacciones y Campos,(3) Ondas, (4) Flsica cuántica y (5) Fisica estadistica. Comenzamos por Ia mecánica
con el f in de establecer los principios fundamentales necesarios para descubrir los
movimientos que observamos a nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó-
menos naturales son el resultado de interacciones y éstas se analizan en función
de campos, en la parte (2) consideramos las clases de interacciones que compren-
demos mejor: la gravitacional y la electromagnética, responsables de muchos de
los fenómenos macroscópicos que observamos, Estudiamos detalladamente el elec-
tromagnetismo, concluyendo con la formulación de las ecuaciones de Maxwell.
En la parte (3) discutimos los fenómenos ondulatorios como consecuencia del con-
cepto de eampo. Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmente
aparece bajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasis
en las ondas electromagnéticas como extensión lógica de las ecuaciones de Maxwell.
En la parte (4) analizamos la estructura de la materia - átomos, moléculas, núcleos
y particulas fundamentales -, análisis que está precedido de las bases necesarias
de la meeánica cuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades de
la materia en conjunto. Comenzamos presentando los principios de la mecánica
estadística y los aplicamos a algunos casos simples pero fundamentales. Estudiamos
Prologo
la termodinárnica desde el punto de vista de la ¡nc,:" l i i ica estadfst ica y concluimos
cen un capitr.r io sol¡re las propiedacies térmicas de ia materia, demostrando cómo
se apl ican lor principlos de la mecánica est.adist ica y de la ter¡nodinámica.
Esle l ibro es novedoso no sólo en su enfr)que si¡¡o tarnlr ién en su contenido, ya
gue hemos inclrr i<lo algunos tópicos fundame¡rtales que no se encuentran en ia
mayorÍa de los textos de ffsica general y hemos dejado de lado otros que son tra-
dicionales, La rnatemática usada se puede encorrtrar en cualquier l ibro de análisis
nta.t¡mático. Suponemos que los esf,udjantes poseen conocimientos rnfnimos de aná-
i isis ;natemáticc y están, a ia vcz, lornando un curso sobre este tema, Muchas
aplicaciones de los principios fundamerrtalrs, asf como también algunos tópicos un
pocrl más avanzados, aparecen en for¡na de ejemplos resueltos. Según la conve-
niencia del prcfesor, éstos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selección,
io cual permitc una meyor f lexihi l idad en )a oiganización del curso.
l ,os planes de estudios de todas las ciencias están someticlos a presiones para
que incorporen nuevos tópicos que están cobrando rnayor inrportancia. Esperamos
que este l ibro al ivie estas presiones, elevardo en ei estudiant.e el nivel de cornpren-
l-!ón rJe los conceptcs ffsicos y la habi l i t laa para manipular las correspondi ' , 'ntcs
ri : iac!orr i :s nratemáticas. Esto ¡ lermit ird e!evar el nivel cle muchos de los cursos
interi¿edi*s qr.hr ce ofreren en los planes r ie estudit l de pregrado. I-os cursos traCi-
cic,n*. les de prcArado: mecii t t ic:r, elcct innr:rgnr' t i :r¡ lo v f Ísic¡t r iroderna, srtn los quc
rnás ¡e be¡tei iciatr con esta ai:4. r le ¡r ivr i l . Así. r i esiudiante terni inará su carrera
ccn conocirnieri t .os superiores a los de antts, b¿neficicr rnrry importar¡te pal 'a aquelios
que f inal ice:n su,q esl.udit¡s a esta altura. Atl i ' :ni : i3, l -¡abiá ahora ntás oportunidad para
h:rcer curscs nu{:vos y más inleresantes rn el posigradc. Esl.a rnisrna tendencia se
enc¡:entre cn lcs textr-¡s básiccs rnás rccienl. t 's dr. r¡f ras ciencias para los primercs
)' { .egundos años universitarios.
Ei te¡i to esl-: i cr.¡ncel: ido para un cúi l{ t t ie t ies ser¡rr¡st¡c:. lambién se puede usar
cx Éiqt lel ias {:scueiás en !a-s que se ei¡seña r in (.r .r¡Jo de f isica generai de dos seúlestres
scgt. t ic lo de un semesl ie de f fs ica rucderna. ¡ f recieur io asl una presentación más
¡rni f ica¡ la a lo lafgc de los t ics scnteslres. l lo l ccnveniencia, e l texto se ha div id ido
en t i '€! vol l inre.nes corlesoo¡rt l iei l t lc¡ cl i la 1n!o, gr '{)s,sr) nndo, a rrn semestre. El volu-
f i ! f .n I trat¡r de la met' .ánica r. la i i ¡ i . l racción gravif .acio¡ral. El volumen II estudia
las interaccic¡r ts electromagnét icas y 1; is ondas, cuhr iendo esencialmente los cursos
de electromagnet ismo y dpt ic:r . I .a f is ic¿¡ cuánt ica v la l is ica estadfst ica, incluyendo
la termodinánica, se tstur i ian tn el volunren I I i . A ¡esar de que los t ies volúlneires
es1¿iú estrc i :J¡alnentt re jacionat ios y fornr:rn ul tet t i : r único, car la uno puede ser
considera<k.¡ en sl n-r isln(! corl i( l un i¿xt¡-r intn.¡r iuclo¡io. Fitr part- iclr lar i0s volúnie-
nes I y I l tc¡ l t i r .aien a un (-: t tr- io d.c f isica qctrert i d* i l11s selne:tres que cubrc la f isica
no cuant. ica.
Esperqirr0s quc este te: i t{ ] a¡"u11,: a lr , : : edLrrrt i t i jes progresistas. quienes ccnstan-
tcrr l ¡ :n le se [ ] reocupan por mejor: l r lcs l r : rs¡s qle dic lan: rspframos, tarnbi t ln, que
est. lnt¡ t le a lcs estr id iaf i le,r , , ¡1¡ i ¡ -¿t r - ,ere¡ en ulra 1;r ' rsaniaci i ¡n c le l¿r f ís ica más nra-
r lr ira qrlr , i r ¡ le los r: .ur:,r¡s l .rarl i r : i r i i l t ies.
Qltrrernos t:xpresar j iueslra grr i l i i . r i r i : i l , )d{is ár. l i l . . . i i i )s r l l r{ t por su estí¡nulo y ayui la
l ¡ ic i t r rcn posi t r lc la culminación i ie e-. te l l 'abajo. NLrestro rcconocirniento a los dis-
t- ingtr idr:s colegas. en I la] ' t icular. a l¡rs Profescres ü. l ,azarus r* FI. S. Rl,bertson,
quieircs leyerorr el ¡nanl i ,rcr i i -o ori¡1inal : sus cómc11i arios 
. 
r :r Í t icas pe rmit ieron
corregir y mejorar nluchos ¿¡sr ' ¡ectos ctel texto. . , \ { radecentos, adr:más, la apt i tud.
v dedicaciórr del personal 
' le la et l i to¡ iai Adri json-Weslel ' . Por últ i rno, per() no con
meno$ caloi, damos sinceral¡ lente las gracias Í¡ nuestt.as esposas, quienes
nos han
apoyado pacientemente.
IYashinslo¡t, D. C.
TI. A.
E. J. F.
ADYERTENCIA AL PROFESOR
Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseña
de este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cada
capitt t lo. Como se di jo en el prólogo, este curso de f lsica se ha desanollado en forma
inLegt'ada de rnodo que el estudiante pueda reconocer fáci lmente las pocas ideas
básicas en que se funda la f ísica (por ejemplo, Ias leyes de conservación y el hecho
tle que es posible reducir ios fenómenos f lsicos a interacciones e¡rtre part lculas fun-
i lamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para l legar a ser l fsico o
ingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de estas ideas y desarrol lar la habi-
l i tJat l para manejarlas.
I.os temas hásicos consti tuyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sido
incluidos en cada capltulo; algunos son simples apl icaciones numéricas de la teorla
que se está discutiendo, mientras que otros son realmente extensiones de Ia teorfa o,
deducciones matenlát icas. Se rccomienda aconsejar al estudiante que en la primera
lectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura,
que examinc los cjemplc¡s sugeridos por el profesor. De €sta manera el estudiante
comprenderá separadamente las ideas básicas y sus apl icaciones o extensiones.
Hay una sección de problemas al f inal de cada capf [ulo. Algunos son nlás dif íci les
que el término medio de los problemas de f isica general y otros son extremadamente
simples. Están dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al de
las secciones del capitulo, habiendo algunos problemas más dif íci les al f lnal. El gran
nÍimero y la variedad de los problemas dan al instructor mayor l ibertad de elecclón
en la adecuación de los problemas a las apti tudes de sus estudiantes.
Sugerimos al profesor que establezca una bibl ioteca de reserva basada en el
¡naterial bibl iográfico que se enumera al f inal de cada capitulo y que incite al
estr¡diantr: a usarla para desarrol lar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo que
obtendrá más de una interpretación de un tópico dado y adquir irá iniormación
It istórica acerca de la f lsica.
l lste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemos
sr:geri<lrr, sobre l¿r base de nuestra propia experiencia, el número de horas de clase
que s{.r necesita para cubrir cónrodarnente el material. El t iempo indicado (43 horas
de clase) no incluye el dcstinado a discusiones, resolución de problemas y evaluación.
Flacenlos a ccntinuación un breve conlentario sobre cada caoftulo.
TAR,TE 2. INTER,ACTJIONES Y CAMPOS
La Parte 2 se ocupa de las interacciones electromagnéticas, que se desarrol lan en
los capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del 'u'olumen I se presentó la interacción
gravi i .acional). Estos cuatro capltulos consti tuyen una introducción al electromag-
tuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, que se estudian
*ir la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,
rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volu-
men III estos tópicos serán discutidos :nás extensa¡rlent.s,
Capftulo l^4. Interacción eléctricq 1,i ir,¡;¡s]
Este capftrr lo se conc.f l t ;a ni i- l : , 4i i
' , 'OuJOioL. ic;rr v t , r ¡s¡ j l ' f a :? " ' ' ¡ : ! - ¡
$ecrr+:r iJ L2 iqta i 'a i : : ¡ i t ;1¡ : ; i i : : ;
t 'epi ' i . l i I - .
i-: ., i l .,rcir parte de este c¿F!ii.r lo r¡itr¡rl¡rc¡: er, fornia dinámica el conccpto de
!;. i i .f ' j nragnátrco,!" estudia el movinrientc' de r¡ira partfcula cargada en un canpo
nr:gnLiico. Ei punto culminante se al.anza h¿ci.* ei l lnai riel cap[tulo con una dis-
,:usiórr ce ia ti:ansformació¡r ie Loir:ntz del carnpo electrümagnético y una revisión
de! principio de consen'ación dei ürrrnlrjntum. EI prolesor deberá hacer hincapié
en ¿sia parte del capltulo.
{*pftulo 1S" Compos eledramsgniti*r¡s ¿sidticas {5 horas)
lln ¿ste call ltülo se intrtrducel variotr.:o.icapif]$ inlportanles pero ha]" dos objetivos
piincip:rlcs que cl;,rofesor rlqire iener i.rrescrtes. Lfno es ccnlenrar un desarrollo
Ce i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npo eleetromagnéticc (le-ves di? Gauss y do Ampére) y
"i ctro es rrl ' .¡c:on,lr las propiedaCrr: elrctro:-nagnéticas rle la materia en conjunto
con la estri¡ctura atómica de la misma. Sc ha relegarlo a rrn plano secundario dentro
rlel texto. l"e¡nas tale¡ corno el de eapacitores y circuitos CC, pero se les presta mayor
atenció¡r en los problemas del flnai del capitulo"
Ca¡ltnio I?, Carnpos electromagnélicas Cependienles del tiempo (4 horas)
La formulacién de las ecuaciones de N{axwell es el tema principal de este capftulo.
El tema de circuitos CA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchos
iruenos ejernplos resueltos y problernas al flnal del capftulo para ayudar al estu-
diante a aciquirir cierta habil idad para nlanejar dichos circuitos. Es importante
que el estuCiante se dé cuenta de qui: las ecuaciones de lllaxwell proveen una des-
cripción compacta del campo electromagnético y que ilustran la estrecha relación
que existe entre las partes f y It de este campo.
PARTE 8. ONITAS
La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenos
naturales. Ahora, presentamos en ia Parte 3 ia descripción "ondulatoria" comple-
rnentaria de los mismos, basada en e! concepto de campo, ya lntroducido.en la
Parte 2. tr,as ideas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y de
éptica están considerados aquf en forma integrada.
Capftulo 18. IVlauimienÍt ondulatario (5 horas)
Este capltulo considera el movintientc oudulatorio en general, determinando en cada
caso sus propiedades especlfic*a a partir de las ecuaeiones de campo que describen una
situación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjo recurrir a la imagen
mecánica de moléculas rnovióndose hacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fun-
damentales: una es comprender la ecuación de onda; la otra es entender gue una
onda transporta tanto energfa como momentu¡n.
Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as (5 hriras)
Presentomcs aqu[ Ias ondas eieclrcinagnéticas predichas por las ecuaciones de
llfaxv¡ell. i l t 'r lo que el estudiante del¡e entcn¡ier a fondo las secciones 19.2 v 19.3,
Aduertencia aI prolesor ciii
Este capitulo también considera los rnecanismos de radiación ,v absorción. Introduee
además el concepto irnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle que
la; ontlas elcctromagnéticas transportan ener¡¡la y rnomentuni y de que estas pro-
piedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discute
brevernente las transiciones radiativas enirc es!.ados estacionarios.
Cepftulo 90. Ilefletión, refraccíón, polarízación (4 horas)
Los textos eiementales recurren tradicionalmente al principio de Huygens para
estudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es el
teorema de Malus. Lo novedoso de este capltulo es que encara este hecho. Se puede
omitir las secciones 20.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo.
Cepftulo 91. Geometría de Ias ondas (3 horas)
Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmente
de ia óptica geométrica. De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que el
material de este capitulo no sólo se aplica a ondas lumfnicas sino también a ondas
en general. La convención de signos adoptada es la misma que la de OplÍcs, por
F:orn y Wolf, Pergamon Press, 1965.
Capftulo 29. Interlerencia (3 horas)
En este capltulo se usa sistemáticamente el método de los vectores rotantes. Puede
resultar provechoso que el estudiante relea las secciones 72,7,12.8 y 12.9 del vo-
lumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no se
debe omitir.
Capftul<r 28. Dítracción
(3 horas)
Este capltulo depende astrechamente del anterior por lo que el profesor debe con-
siderarlos en conlunto. En este capftulo, como en el anterior, hemos tratado de
separar los pasos algetrraicos del resto del material para que el instructor pueda
omitirlos si asf lo desea.
C*pftulo 24. Fenómenos de transporte (3 horas)
La irnportancia t}e los fenó¡nenos de transporte está bien reconoeida, ya que los
mismos tienen rrruchas aplicaciones en ffsica, qulmica, biologla e ingenierfa. Este
capitulo constituye una introducción breve y coordinada a estos fenómenos, dando
también al estudiante una idea. sobre otros tipos de propagación de campos. Si el
profesor está presionado por el t iempo, puede encarar este capitulo como tarea
solamente y omit,ir los ejemplos y problemas.
triste es el mornento oportt¡no para concluir el segundo semestre. A esta altura
el esludiante deberá tener una corEprensión sólida de la ffsica no cuántica, y además
haber aprehendi<io las ideas de fotón y de cuantificación do la energla y del rno-
lnentum angular. El tercer semestre estará dedicado a la l lsica cuántica y a la
fisica estadist.ica, que se presentarán como refinamiento de los conceptos fisicos al
nivel de lo rnuy pequeño (o microscópico) y al nivel tle lo muy grande (o rnacros-
có¡rico).
El npéndice mate¡nático que se encuentra al f lnal del l ibro suministra u¡ra refe-
rencia rápida a las fórmulas de uso más frecuentes en el texto y a algunas informa-
ciones úti lcs. I)or conveniencia, algunas fórmulas relacionadas con la lranslorrna-
lién de l,ole¡rtz t¡an sido agregadas. Las mismas fueron deducidas en ei rr- ' iumen i,
,{DYERTENCIA AL ESTUDIANTE
Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguen
carreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán,
nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.
t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educación
tu perir.rr,
El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos.
L-)l aprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento
;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr imagi-
l¡zrr- ' i4n" i¡steri <icbe d.oininar otras menos l larnativas per$ muy funda¡nentales, * in
las <'ualts no puedc uti l izar o comprender la l ls ica en forma apropiada.
{-Td. deberá mantener dos objet ivos principales al to¡nar este curso, Primero:
fariiiliarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons-
Litr-y'en Ia colum¡ra verlebral de la f fsica. Segundo: desarrol lar la habi l idad de
¡:a¡r, ; jar estas ideas y apl icarlas a situaciones concretas; en ot las palabras, la habi-
tidari de pensar y actuar como ffsico. El primer objetivo io puede alcanzar prin-
cl¡-ralmelte ieyendo y releyendo aquelias seceiones impresas 
€n cuerpo grande.
P:ira a¡'udailo a alcanza¡ el segundo abietivo hay a lo largo del texto, en letra
¡rrqueíre, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casa
al l lnal de cada capftulo. Recomendamos'encarecidamente que lea primero el texto
principal y una vez famil iar izado con é1, prosiga con los ejemplos y problemas
;rsigrado; lror el profesor. En aigunos casos los ejemplos i lustran una apl icación
de la ter.¡rla a una situación concreta, en otros amplfan la teorfa considerando nuevos
i lspeclüs del problema elr discusión; a veces suministran una just i f icación de la teorla.
Los problernas que están al final de cada capftulo tienen un grado variable de
ri i l i r .r ' : i t*r1. Osci lan entre lo más simple ¡r lo complejo. En general, es bueno tratar
de ; 'esolver rtn problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo
¿¡l Jinal los valores numéricos. Si el problema que )e han asignado no puede resol-
ler io en un t iempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el
¡:aso dc ac¡uel ios pocos problemas qus se resisten a ser resueltos, doberá procurar
ayurla. Ei I ibro How to Solue It (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Garden
r, i ty, N. \ ' . , 1957) es una fuente de autoayuda que le enseñará el método de reso-
hición de prolrlernas.
Le l fsica cs una cie¡rcia cuanti tat iva que necesita de la matemática para la
e.xpresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este l ibro se puede en-
contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlo
toda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de manera
Rlguna, sentirse desalentado ante una dif lcultad matemática; en caso de dif lcul-
tades rnatemáticas, consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Para
ei cir¡ntffico 
-v 
el ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia
secunclaria en la cornprensión de los conceptos f isicos. Para su comodidad, se
TUi Adurytencia al estudtante
enumera en r in apéndice ai f in¡. i r j t i l ibir l e, l ; : .¡ .1¡¡¿;. . ! . l¿¡ rt i l r . : iones rrrat i¡¡nátic¿ls
más úti ies.
Torlos lo¡ cálc¡los r l l i l l f ísi t- :a sc' dclt¡ ' i r i ,e.;ar : : . *¿i i¡r , rr i- i l i t ¡¡r ir j r¡ un sistt¡r¡r-, co;rr,
patible de uni<Iades. I f n e slc l iL ' : 'c se i 'ni¡ i fe:r r ' si : i r .r :"r¡r Fl) iSt l . Cornc dif i¡ r : : *n
poco del sisterna Jiráct. ico. i)odrá ¿rlronlrar}¡.¡ ext¡ ' i rñr; ai principio. No obstante, se
requiere un miir i¡n<.¡ esfuerzo paif i iaini l¡arir :¡r¡ i i : con el. Aderi-rás, cs r l sist.e¡na
olicialmente aprobaoo pri tra r l trairajrr i r ientir i , ' r> ¡; r :r . los E,stados Unii los l l usa
a.ítn cl Nal ional Burer,¡.u ol Slandards {rír sus uublicaciones. Sea extrelnadairrcnte
cuidadoso en veri f icar la compatibi l id¡.,1 de ias unidades en todos sns cálculos.
Es además una buena ide¿r ut i l iz-at ' la regla, le cálcrr lo desde el comienzo; la pre-
cisión a tres cifras signif ica"ivas de la r¡rás sintple ,Lle las reglas de cáiculo le aho-
rrará rnuehas horas cle trabajo nurnéfico. Sin crnbaigo, erl algunos casos, puedc
que la regla de cálcuio no le dé la precisión ¡ iecesaria.
Al f inal de cada capftulo se dn una l ista bi i .r l iogr; ' r f ica seleccionada. Consú!tela
tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudarán a entender la idea
de la f fsica como una ciencia en evohición,. mienr"ras que otros ampliarán el rnaterial
d.cl tcxto. En part icular encontrará que el i ibro de Holton y Roller, Foundatians
o! Modern Pñgsics (Addison-Wesley, Reading, l \{ass., 1958) es part icularmente út i l
pol la informacién quc trae scbre Ia evoiución de ideas en la f lsica.
AGRADECIMIENTOS
Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organiza-
ciones por su anrabi l i t lad al permit i rnos publ icar mater ia l i lustrat ivo de su perte-
nencia: Brookhaven Nat ional l ,aborator l ' ( f igura 15-6); General Electr ic Company
(f igura 17-5b); Pro{esor Harvey Fletcher ( f igura 18-23); Educat ional Services,
Incorporated ( f igura l8-37a); U. S. Naval Ordrtance Laboratory, White Oak,
Silver Spring, l fd. (f igura 18-37b); Yíbration and Sound, por Phi l ip NI. Nlorse,
McGlarv-II i l i Book Co., 1948 (f igura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue l lol ion,
con antor ización de W. Llowarch, The Clarendon Press, Oxford, Inglai t r r ra ( f i -
gura 23-2); Príncipl ts ol Opt ics, por Hard5' y Perr in, t r fcGraw-Hi l l L iook Co., 1932
(f igrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (f igura 23-42)- De-
bemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al Physical
Science Study Committee, de cuyo l ibro PSSC Pnysic.s, D. C. Heath and Co., 1960,
hemos iomado las s iguientes f iguras:0-13a, 18-22, 18-28b,20-6b,20-10b,20-11b,
20-16dye,22-ty22-15.
Contratapos ilelsnter¡s
Tabla periódica de los
Contratopas tr¿geres
Unidades y
slmbolos;
INDICE
elementos ; constantes fundamentales
factores de conversión
Capltulo 14 lntersccldn elóctrlcs
Capltulo 16
Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Cam-
po eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estruc-
tura eléctrica de la materia 471. Estructura atómica 473. Potencial
eléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484.
Corriente eléct¡ica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricos
de orden superior 498.
Interaccldn mognétlca
Cepltulo 16
Introducción 512, Fuerza magnética sobre una carga en movi-
miento 513. Movimiento de una carga en un campo magnéticó
516, Ejemplos de movimiento de partlculas cargadas en un campo
magnético 523, Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica
530. T'orque magnético sobre una corriente eléctrica 532. Campo
magnético producido por una corriente cerrada 538. Campo magné-
tico de una corriente rectilfnea 539. Fuerzas entre corrientes 541.
Campo magnético de una corriente circular 544. Campo magnético
de una carga en movimiento (no relativista) 549. Electromagnetismo
y el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de una
carga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre dos
cargas en movimiento 560.
Compos electromagnétleoe estáticos
Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gauss
para el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584.
Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctr ico 591.
Cálculo de la susceptibi l idad eléctr ica 593. Capacitaneia; capacito-
res 600. Energfa del campo eléctrico 603. Conductividad eléc-
trica ; ley de Ohm 606. Fuerza electromotriz 672. Ley de Ampére
para el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen-
L
rÍ, Indíce
Capftulo 17
cial 621. Flujo magnético
Canrpo magnetizanle 625.
628. Resumen de las leyes
Campos electromagnóticoe
623. Magn';t ización de la materia 623.
Cálculc ie ia susceptibil idad magnética
de lcs campos estáticos 633.
ilependlcutes del t iempo
PAR?Í A
Capltulo l8
Int¡oducción 645. Ley de l iaraday-Henry 645. El betatrón 648.
Inducción electromagnética debida al movimiento relativo de un
conductor y un campo magnético 651. La inducción electrornagné-
tica y ei principio de relalividad 654. Poiencial eléctrico e inducción
electromagnética 655. Ley de F-araday-Herlry en forma diferencial
655. Autoindr¡cción {i57. Energfa del campo magnético 661. Osci-
laciones eléctricas 664. Cir'cuitos acoplados 670. Principio de con-
servación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley de
Ampére-IIaxwell en forma dilercncial 678. Ecuaciones de Max-
rvcll 680.
ONDAS
trIorimlento ondul¿torlo
Crpftulo 19
Introducción 694. Descripción matemática de la propagación 695.
Análisis de Fourier del ¡novimiento ondulatorio 699. Ecuación
diferencial del movimiento ondulatorio ?01. Ondas elásticas en una
bar¡a 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondas
transversales en una cuerda 712, Ondas superficiales en un lfquido
716. ¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? ?19. Ondas en
dos y tres dímensiones 722. Ondas esféricas en un flúido 727.Yeloci^
dad de grupo 729. El efecto Doppler 731. Sonido; acrlstica 735.
Onda¡ electromegnéticas
Capitulo 30
Introducción 744, Ondas electromagnéticas planas 744. Energfa y
momentum de una onda electromagnética 748. Radiación por un
di¡:olo eléctr ico osci lante ?52. Radiación por un dipolo magnético
osci la¡rte 757. Radiación por mult ipolos osci lantes de orden supe-
rior 761, Radlacién por una c.arga acelcrada 761. Absorción de
la radiacié¡ electrcmagnética 769. Difusión ¿ie ondas electromag-
néticas por eiectrones l igados 770. Difusión de la ¡adiación electro-
magnética fror un elec{rón l ibre; el efecto Compton 772. Fot<¡nes
776. Más sobre los fotones: el efecto fotoeléctr ico 780. Propaga-
ción de ondas clectromagnéticas en la materia ; dispersión 782.
Efectt ' ¡ l )oppler en las ondas electromagnétieas ?86, Espectro de
la racl iación electromagnética 791.
Rcflexlón, refracción, polarlzacién
Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de lllalus
804. Reflexión y reiracción de ondas planas 806. Reflexión v ref¡ac-
ción de ondas esféricas i t10. NIás acerca de las leyes de la ref lexión
y de la refracción 812. Reflcxión 1' refracción de ondas eiectro-
magnéticas 8i7. Propagación de ondas electromagnéticas en un
medio auisótropo 820. ! l ) icrcrísrr. .o 626, Doble refracción 827. Acti-
vidad úptica 333. l .r i f lexié¡i ' " . 
-" irac' ión cn superf icies metál icas
837. Pio¡lagación tn ¡r$ tnediü uo homo11éneo 838.
Indíce xd
Capltulo 21 Qeonetrfa do las onalas
Capltulo 22
Introducción 8-16. Reflexión en una superficie esférica 847" Ilefrac-
ción en una superlicie eslérica 854. Lentes 858. Instrumentos ópti-
cos 863. El prisrna 867. Dispersión de un medio 869. Aberración
cromática 872. Principio de i; 'er¡nat del t iempo estacionario 875.
Interlerencio
Cepíiulo 28
introducción 887. Interferencia de cndas producidas por dos fuentes
sincrónicas 887. Interferencia cle ondas producidas por varias fuen-
tes sincró¡r icas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899.
Ondas estacio¡rarias ¡r la ecuación de onda 902. Ondas electro-
magnéticas estacionarias g0?, Ondas estacionarias en dos dimen-
siones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones : cavidades re-
sonantes 915. Gulas de onda 918.
Dilrae cidn
Capftulo 24
Introducción 932. Difracción de Fraunhofer por una rendija rectan-
gular 933. Difracción de Fraunhofer por una abertura circular 939.
Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas iguales 941.
Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión de
ondas 954. Difusión de rayos X por cristales 954.
Fenómenos de transporte
Introducción 967. Difusión molecular; ley de Fick 967. Conducción
térmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción
982. Viscosidad 984. Camino libre medio, frecuencia de colisión y
sección eficaz de colisión 988. Teoria molecular de los fenómenos
de transporte 992. Conclusión 995.
Apéniltee : Reloolones matemótieas ; Tablas A-8
Reapuestas a los problemalt Gon númoro lmpor A-17
Indlee alf¿bétlco A-29
PARTE 2
II\TERACCIONES Y
CAMPOS
B, Electromagnetismo
154
IJna vez entendidas las reglas generales que gobii:raan el ¡novimiento, el paso
siguiente es investigar las interaccioncs responsables rle dichos movimientos.
Hay varios tipos de interacciones. Lina es la inleracción grauítactonal que se
manifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. La
gravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interacciones conocidas,
es la primera interacción estudiada cuidadosamente, debido al interés que el
hombre ha tenido desde la antigüedad en la astronomia y porque la gravitación
es responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida.
Otra es la inleraccíón eleclromagnétíca, la mejor comprendida y posiblemente la
más importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de los
fenómenos que observamos a nuestro alrededor, incluyendo los procesos químicos
y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos y
moléculas. Un tercer tipo es la ínleracción fuerte a nuclear, que es responsable
de que los protones y los neutrones (conocidos como nucleones) se mantengan
dentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenos relacionados. A pesar de Ia
investigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién es
aún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíón débil, responsable de ciertos
procesos entre partículas Iundamentales, tal como la desintegración beta. Nuestro
conocimiento de esta interacción es airn muy escaso. La intensidad relativa de
las interacciones nombradas es: Iuerte, tomada como 1; electromagnética 
- 
10-2;
débil 
- 
10-5;
gravitacional 
- 
trO-s. Uno de los problemas no resueltos de la
fisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife-
rencia tan gmnde en sus intensidades.
Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de las
interacciones:
¿No tienen acaso las pequeñas Partfculas de los Cuerpos ciertos Poderes, o Fuerzas,
por medio de los cuales actúan.,,unas sobre otras para producir gran Parte de los
Fenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unos
sobre otros por medio de las Atracciones de la Gravedad, Magnetismo, y Electri-
cidad;...y no lo tengáis por improbable sino que puede haber más Poderes atractivos
que éstos.... De cómo estas atracciones pueden ser realizadas, no Io considero aqul....
Las Atracciones de la Gravedad, del Magnetismo, y de la Electricidad, alcanzan
distancias muy apreciables,,..y puede que haya otras que alcancen distancias tan
pequeñas que hasta ahora escapen a la observación;.... (Oplicks, Libro III, Inda-
gación 31)
Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Enten-
demos por campo una propiedad fisica extendida en una región del espacio y
descrita por medio de una función de la posición y el t iempo. Suponemos que
para cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres-
pondiente. Este campo actúa a su vez sobre una segunda partícula para producir
la interacción necesaria. I-a segunda particula produce su propio campo, el cual
actúa sobre la primera dando como resuitado una interacción mutua.
Aunque se puede dcscribir las interacc;iones por medio de campos, no todos
los campos corresponden a interacciones, ht,cho que cstá implicito en la defi-
nicion dc canlpo. I 'e-r ejernplo, i l¡: meterirri io;io Jrrrcde expresar la presión y la
ternpemlrrrl at,rnos{éricas ¡rr¡ fr¡:rrrir,rr rlr ' l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficie
ter¡r:stri"- 'r le ia ¡¡lLura sohrq: risl. i:."1'trj lerl i(]s entonces dos cllr ipos escalares: el
\l:--\"\_
1;ó
eampo de presiones v el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúido
su velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campo
es entonces de gran utilidad general en la física.
En el capítulo 13 del volumen I se estudió la inte¡acción gravitacional y el campo
gravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremos las inter-
acciones electromagnéticas. I:Iablaremos del resto de las interacciones en el vo-
lumen I I l .
ENTEKAT{-g{}N ffiTHCTRICA
L4
14.1 Introdueción
i4.2 Carga, eléctrica
i4"3 L-eE de Coulomb
14.4 üarnpo e\éetríeo
14.5 La cus¡ziizficíón de la carga eléctrica
14.8 F.stru,¿tt¡ra *íéctrica de la materia
j'!.7 Estruetura atémíca
14.8 Potencial eléctrico
Relacíones errergétícas eft un cempa eléctrico
14.1A Corriente eléctríca
14.1 i Dípolo eléetríca
14.12 fulultipolas eléctríccs de orden superior
14.9
14"lj
74.7 Introdueeión
Inlraduccíón 457
Consideremos un experimento mry simple. Supongamos que después de peinar
nuestro cabello un día muy secü ¿rcercamos el peine a pedacitos l igeros de papel:
obser.,'amos que el peine los atrae. Fenó¡neno similar ocurre si frotarnos una
varil la de vidrio con un paño de seda o una varil la de ámbar con un pedazo de
piel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materiales
adquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad (del griego elektron,
que significa ámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción
más fuerte que la gravitación. Hay, además, varias otras diferencias fundamen-
tales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional.
En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, que
da como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera; por el
contrario, hay dos clasrs de jnteracciones eléctricas. Supongamos que acercamos
una varil la de vidrio electrizada a una pequeña esfera de corcho suspendida de
un hilo. Vemos que la varil la atrae la esfera. Si repetimos el experimento con
una varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sin
embargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar de
una mayor atracción, observamos una fue¡za de atracción menor o aún ninguna
atracción de la esfera (fig. 14-1). Estos experimentos simples indican que, aunque
ambas varillas electrizadas, la de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho,
lo haeen debido a procesos físicos opuestos. Cuando ambas varil las actúan simul-
táneamente, sus acciones se contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo.
Concluimos, entonces, que hay dos clases de estados de electrización: uno que se
manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos posi-
tíuo y al otro negaliuo.
Varilla
de vidrio
Varilla
de ámba¡
\
Ambar
----
-G:]
Vidúo
(c)
electrizadas.
(b)(¿r )
Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar
Supongamos, ahora, que tocamos dos esferas de corcho con una varil la de
vidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivarnente.
Si las ace¡camos, observamos que se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultado
se obtiene cuando tocamos las esferas con la varil la de ámbar electrizada, de
modo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos
,158 Interacción eléclrica
una de ellas coa la varilla de vidrio
adquiera electricidad positiva y ia
(fig. 14-2c).
(14.2
y la otra con ia de ámbar, de modo que una
otra negativa, observamos que se atraen
/1F
---___._tl/*
(c)(e) (b)
Fie. 14.2. Interaccione-q eléctr icas enlr¡r c¿l i 'gas de igual 
-v 
de di ferente s igno,
Pt'r consiguiente, mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atrac-
trrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva.
Dos cuerpo.s con Ia misma clase de eleclrización (posílíua o negalíua)
se tepelen, pe.ra sí tienen diferenles clases tle eleclrizacíón (una po-
sil iua g la otra negatíua), se atraen.
Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción
eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hu-
biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica
es más fuerte. Sin ernbargo. la mayoria de los cuerpos están compuestos de can-
tidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción
eléctrica entre dos cuerpos macroscÓpicos es muy pequeñe o cero. De este modo,
co¡no resultado dei efecto acumulativo de las masas, la interacción que aparece
macroscópicamente como dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque
muchc más débil.
I '¿-\
*1:J ,r-1 ¡'\:-r-*
jq'-\
-*1li
Fig. i4-S. l iuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigt ic-
74,2 Carga eléetriea
Del mismo modo que caracterizarno"q ia inteirsit iad tte la interacción gravitacional
asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamos el estado de
electriz¡¡:ión de un cuerpo ,irí inl 'r:::t io ull:t r, 'r i . 'r{r elécírit:c, ¡nás conrúnmente l la-
¡"¡arl:r i¡¡rri i ., cl irclricci, reprttsi:nit<!:i l ir!; ' i ' : si r: :;rt iQ ¡r. Asi, cualquier porciÓn r!e
rnai..eria. r, ., l ta jt lujer pli l l i .r ' .t la, e:,i.¡ i i :¡ i l : i i : t ' : , i i ,:.;¡t i l i l ior rlos propiedades indeperr-
dier,tes fui 'cianrentales: nlasa v ci¡Lgí!.
14.2) Cmga elédrica 459
Así como hay dos clases <ie electrización, hay tambjén dos clases rie carga
eiectrica: positiva y ncgativa. Uu cuerpo que presenta electrización positiva
'tiene una carga eléctrica positivi, ] üno con electrización negativa tiene una
carga eléctrica negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma alge-
braica de sus cargas positivas y negativas. Un cuerpo que tiene cantidades iguales
de electricidad positiva y negativa (esto es, carga neta cero) se dice eléctricamente
neulro. Por otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama
a menudo ion. Como la materia en conjunto no presenta fuerzas eléctricas apre-
ciables, debemos suponer que está compuesta de cantidades iguales de cargas
positivas y negativas.
Cuerpo
de referencia
FiS. 14-4. Comparación de las cargas eléctricas g ! Q', mediante
sus interacciones eléctricas con una tercera carga Q.
Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptamos
el siguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario Q (fig. 14.4)
y, a una distancia d de éI, colocamos la carga g, Entonces medimos la fuerza F
ejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma distancia d
de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas g y q' como
proporcionales a las fuerzas F y F', Esto es
qlq ' : FIF' . (14.1)
Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q', tenemos un medio
de obtener el valor de la carga q. Este método de comparación de cargas es muy
siinilar al usado en la sección 13.3 para comparar las masas de dos cuerpos. Nues-
tra definiclón de carga implica que, siendo iguales todos L,os factores geométricos,
la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las particulas.
Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, la
carga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras,
en cualquíer proceso que lcurra en un sístema aislado, Ia carga lolal
o neta no cambía.
No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conser-
uación de la carga. Tendrernos ocasión de discutir este principio más adelante,
cuando tratemos los procesos que involucran partículas fundamentales. El estu-
J.iante recordará que ya hemos aplicado este principio en el ejemplo 1, 1.11, donde
la reacción p' + p* -. p* + p. + p- * p- fue discutida. A la izquierda la carga
total rs dos veces la carga del protón y a la derecha los tres protones contribuyen
tií".$ l.ece" ]a carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la carga
iiel proi,ón negativa. f)e este modo sc obtiene una carga neta igual a dos veces
.t:r carga del protón.
Cuerpo
de referenci
F/'.:\n)--
Co¡rsiderenros la interacción eléctric¿l cr¡tre rlos pariÍculas cargadas, en replso,
en el sisterna inercial de referc¡rr' ia ¡lci ribserr,-ador o, cu¿indo rnás, moviéndose
a una velocidad muy pequeira; e l resul tado de tal interacción const i tuye la elec-
Iroslática. I-a interacción elect¡ost¿itieu erit.re rios partic:ulas cargadas estí¡ dada
por la le,g de Coulornó, l lamada asi en ironcil ' dei ingeniero francés Chrtrles A. de
Coulomb (1736-1806) quien fue el pr imero en enunciar la, corno sigue:
La ínleraccíón eleclrostctlica entre dos partlculas cargadas es" pro-
porcíonal a sus caigas e í.nuersamente proporcional al ruadrado
de Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta que
Ias une.
Esto puede expresarse matemáticamenLe por
160 lnteracción eléctríca
74.3 Ley de Caulo'mb
0q'
F: R": ; - ,
)=f¡
Fig. 11-5. Ralanza de tor-
s ión de Clvcnt l ish para vcr i -
l lcar la ler ' ¡ le la intcr¿tct ' i , i t l
e. léctr ica e¡rtre dos cargas.
' t a
(r4.2)
dondc ¡ es la distancia entre las dos cargas q y q', F es Ia fuerza que actúa sobre
cada carga y K" es una constantc a determinar de acuerdo con nuestra elección
de unidades. Esta ley es nruv sernejante a la ley de interacción gravitacional.
Por consiguiente, podemos aplicar aqui rrruchos resultados matemáticos que de-
mostranros en el capitulo 13 simplemente reemplazando ymm' p<tr K"qq''.
Irodemas experimentalmente verif icar la ley de ia proporcionalidad inversa
rlei cuadradt¡ de la dist¿ncia. midicndo las fuerzas entre dos cargas dadas colo-
cadas a distancias distintas. Una posible disposición experimental se ha indicado
en la l ig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendish de la figura 13-3.
La fuerza I; entre la carga en 
-Él y ia carga en D se encuentra micliendo el án-
gulo 0 según el cual la fibra OC rota para restablecer el equil ibrio.
I)
La constante Ke en la ec. (14.2) es senrejante
a la constante'¡ en la ec. (13.1). Pero en el capí-
tu lo 13 las unidades de masa, distancia y fuerza
estaban 5.a definidas y el valor de y se determinó
experimental¡nente. En el prescnte caso, sin em-
bargo, aunque las unidades de fuerza y distancia
han sido ya definidas, la unidad de carga no se
ha delinido todavía (la definición dada en la
sección 2.3 frie sólo preliminar). Si hacemos una
proposiciórr dellnida acerca de la unidad de car-
ga, entonees podemos determinar K" experimen-
talmente. Sin embargo, procederemos e¡r sentido
iriverso 
-¡r asignando a K" un valor conveniente,
f i jarnos, i le cste rnodo, la unidad de carga. Adop-
taremos estc scgundo nrétodo y, usando el siste-
lna XiKSC cstablecemos el valor numérico de .I{.
- 
i ; ¡ Leg d.e Coulamb 461
.. . , : , i r i 1t l -7 12 :8,987i x 10e, dondc (como anter iürrnente) c es la veiocir lad de la
. . r : r t . : l vacic.* En la práct ica, Dt idemos tomar para I i " e l yalor g X lge. En-
: :rr ' i1i. ciran'i0 la ri isl.ancia se nrii ie cn rrretros y Ia fuerza en newtons, la ec.
I i .2) se escr ibe
F :9 x (14.3)
i 'n¿r vez (iue. hemüs decitl ido sobre ei valor de Xu, la unidad de carga está fl jada.
:-strr rrrri i larl se l lama ur coul.omb, y se designa por el sirnbolo c. De aquí que
' l,{-l¿ilíros cstabiece:- la ;iguiente dellnicjón : eI coulomb es la carga que, colotada
: Jn metro de alra cargu igual en el. uacío, Ia repeie con una fuerza de 8,9874 x 10e
';,r:¿'lons. I-a fórnrula (14.3) es válida solamente para dos particulas cargadas en
' I r . ¡cío; o sea. para dos part iculas cargadas en ausencia de toda otra carga o
r' '¡r i-eria (ver sección 16.6). obsérvcse que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre-
..rilos 1{" en N mz C-2 ó m3 kg s..z 6*2.
Pcr razones prácticas y de cálctrlo numérico es más conveniente expresar 1{¿
¿¡l la lorma
Ke:
4reo' (14.4)
, londe la nueva constante eo se l lama permítíuidail d.el oucto. De acuerdo con el
valor asignado a K¿, su valor es
úo'I n9 
-'-',- -
10?
,o : 
+*, 
:8,854 X 10-12 N-l m-t Cg
Por lo tanto escribiremos la ec. (1.4.3) en la forma
ñ qq't : 
nrr.*
FL : -9!3-: 1,9 x 10¡ N,{rr€ori
Luego la fuerza resultante es
ó m-3 kg-r 5z ¿2.
(14.5)
(14.6)
Cuando usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de Ias cargas q y q'.
un v¡lor negativo para F corresponde a atracción y un valor posit ivo.corres-
ponde a repuls ión.
I:JEI|IPLO7.t.7. Dada ia disposición de cargas de la f ig. 14-6, donde 4r : *1,5 x
10-3 C, gz: 
- 0,50 x 10-3 c, 4¡ :0,20 x 10-3 c, y AC :1,2 m, BC :0,50 m,
hal lar la fuerza resultante sobre la carga ga.
.Solr¿ción. ' La fuerza F, entre gty Qa es de repulsión, mientras que la fuerza I ' , entre
Qz ! % es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son
F, : -S-zQl-: - 3,6 x 103 N.
47leofi-
. / -F : V Fi + Fe 
- 
4,06 x 103 N.
I La elección de este vaior particular para ff" se explicará en Ia sección 15.g.
Campo eléctríeo 463
I. 'scribamoi ia ec, (14.6) en la forrna f : q'(ql4nef). Esto da la fuerza pro.
¡iu,¡it la por.ia carga q sobre la carga q'colocada a una distancia ¡ de q. Fodriamos
l,anibién decir', usando la ec. (1,*-?), que el campo eléctrico C en el punto donde
esta colocada g' es tal que F : Q'{,Por consiguiente, comparandolas dos expre-
siones de Ji, concluimos que el campo eléctrico a la distancia ¡ de una carga pun-
tuai g es C : ql|rceor2, o en forma vectorial
(a)
flg. 14-9. Campo eléctrico producido por a)
negativa.
(14.8)
(b)
una carga positiva y b) por una
( :7!¡; u"
donde u, es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya gue .F
está según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para
cargas positivas
y aegativas, con el sentido de { respecto a 'tt, dado por el signo de q. De este
::roCo f está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga nega-
tiva. E,n la fórmula correspondiente para el campo gravitacional (ec. 13.15), el
signo negativo se escribió explicitamente porque la interacción gravitacional es
.ienipre de atracción. La fig. 1a-9(a) representa el campo eléctrico en las vecin-
Cades de una carga positiva y la fig. 1+9(b) muestra el campo eléctrico en las
cercanias de una carga negativa.
i
I
I
/
ta 
.r'
tt. 
,i ,'
'- 
- 
ta- 
,r'r"r-1-t
--,Ii)^-.--, . I
I
I
I
Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctrico puede rep¡€-
sentarse por líneas de fuerza, lineas que son tangentes a la dirección del campo
en cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan
ei campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-10(b) muestran el
campo eléct¡ico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan por
la carga.
(-liando varias cargas están presentes, como en la fig. 14.7, eI campo eléctrico
-:-srilt¡rnte es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada
carga. O sea,
462 Interaccíón eléctríca
F,*
Flg. 14-6. Fuerza eléctr ica resultante Flg. I4-7. Campo eléctr ico resultante
sobre q, debida 
^ 
4t y a Qz. 
i l r¿.O"tto 
P, producido por varias
L'j.4 üampo eléctríco
Ct¡a!¡¡rri*r rt:6ii in del espaoio e:r clande una c¡.rga ¡:lóctrjca experimenta una fuerza
s.c llarn:i t:n ci¡Jnr,o eléttríco. La fuerza se dri;e a i;r prr:sr:ncia ile otras eargas en
aqueila r"gión. Por ejernplo, unil carga { cr,}sr-:¿dn en uüa regiíin doride hayan
ct¡as ¡rargas Qy Q,"" Qs, etc.. (fig. i4-7) experiincnla una iuerz¿, É':Fr + ¿', + .F". + . . .,
¡" r, lecimos que está en un carnpo eléctrict¡ producitlo pcr las cargas gp ga, Qs,, .."(ia carga. E', por supucsto, Lambien ejerce iuerzas sobre Qr, gz, {s,... pero por
ahora no la.s tomaremos en cuenta). Como ia fue¡za que cada carga qr, Qz, 4s, . . .
ej*rr:e sobre ia carga q es proporc¡onai a q, la fuerza resultante ,f' es propnrcio-
nal a q. Asi, ia fuerza sobre una particuia cargad.a, coiocada en un campo eléc-
trico, es proporcional a ia carga de la particula.
La íntensi¡Iad de un campo eléclrico en un punto es igual a la fuerza por unidad
<ie carga colocada en ese punto. EI símbclo es f. Por lo tanto
- - , t
{ ' :+ i t F:q(.q (14.7)
La intensidad de campo elóctrico f ' se ex-presa en ¡rew|onicoulomb o N C-1, o,
usancio ias unidades fundanrentales, m kg s-': g-r"
Obsérvese que, ctendie¡rdo a la definición (.14"7), si ? es positiva, la fuerza .ú'
que actúa slbre la carga tiene la ¡nis¡na ¡Jirecrión del r:arrrpo f pero si g es lega-
t.iva, ia fuerza F tiene la dirección cpur:sl;-t ¡ f {f ig. 14-8). Por Io tactc, si apli-
camrts u! campo e)éctrico en una región dontle haya iones positivos v negatÍvos,
el carrtpr: tcndcrá a mQver los cuer^¡ios cargari ' ls positivarnente y negativamcnte
en direcciones opuestas, la cual da como resultarlo una $eparación de car"gas,
efecto éste l lamado algunas veces po/ar.jztsción.
Carnpo eléctrico -__*--g+
Cargá fiüsitira
C*rg:r tcg+
I ' ig. 14-8,. 
-{eutid,r i de la fuerza prorln-
cicia ,pcr ur1 t:Jmpo eléctr icc sobre una
cargu posit iva y sobre una negativa"
l :qE
464 Interacción eléctríca (14.4
(e) (b)
Fig. 14'10. Lfneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo eléctrico de
una carga positiva y de una negativa.
Flg. f 4'11' Llneas de fuerza y superf icies r:r¡r i i ¡rotenciales del campo eléctr ico de
dos: c¿¡g31¡ iguales y r:¡ruestas.
' .t ' '. \-{ / , '., '
t \ I l \ , / . '
--\ ir{<-1-i-r:S( /-
i r i t l l l l
i l i i l t l l
14.Q¡ Campo eléctrico 465
Ftg. 14-12. Llneas de fuerza y superflcies equipotenciales del campo eléctrico de
dos cargas idénticas.
C:Cl *Cz*Cr*. . . : ) ,C,:# )r f f .+u
La fig. 1tl-11 indica cómo obtener el campo eléctrico resultante en un punto P
en el caso de dos cargas, una posiüva y otra negativa de la misma magnitud,
como es el caso de un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La ftg. l*12
muestra las lineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dos
protones en una molécula de hi{rogeno. En ambas liguras también se han repre.
sentado las líneas de fuerza del campo eléctrico resultante producido por las
dos cargas.
Distribución
volumétrica
de carga +
-r
I
+
+
+
1-
Ftg. 14-13. Cálculo del campo eléctrico
de una distribución continua de carqa.
FtS. 14-14. Campo eléctrico uniforme.
Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos en
elementos diferenclrles de carga dq y reemplazamos la surna por una integral,
466 Interacción eléctríca (14.4
resultando
¿':J- f4", .
4r,eo J i't
La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas.
Un campo eléctrico unifornrc tiene la misma intensidad y dirección en todos
sus puntos Un campo uniforme está representado, evidentemente, por líneas de
fuerza paralelas y equidistantes ({ig. 14-14). El mejor rncdo de producir un campo
eléctrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos placas metá-
iicas paralelas. La simetrÍa indic.a que el campo es uniforme; más adelante, en
la sección 16.3, verificaremos matenrátic¿mente esta ascrción. (Recordar el ejem-
plo 13.8 tlonde aparece un problema semejarite relacionado con la interacción
gravitacional).
fiJERlf,Lt'!- 14,2. Determi¡ar *l campo elé<ri.rir:o producirlo por las cargas Qt ! 4z
en cl purri. i l C de la fig. 14-6; rl icha¡ {:rrg¿.i se han rlefi¡¡i i lo en el ejemplo tr4.1.
Sclrci,6n: Trnctnos,-los 
-solrlcionfs a es{rtSPr'. {--criro hemos lialladr-r en el ejemplo 14,1
!a fuerza 
-1.'sobre la carga g. colccada cn ei puni; C, tenemos, usan¿l.o la ec, (14.7), que
t¡
C : : - : ' ; ,03 x 10¿] ' l C-1.
9s
Otri; procedi¡niento es calcular primero ei campo eléctricr: producido en C (fig. 14-15)
poi cada una de las cargas, usando ia ec. (14"6). Esto da
¡t 13 Et
Ftg. l4-16, Campo eléctrico
resultante en C producido por
{l Y (c'
c, : -* : : 9,32 x loc N C-r
- 4tte ¡l
v
{." : 9t 
- 
== 18.0 x 108 N C-r.
' Aneorl
For consiguiente, el campo eléctrico resultante es
c : V71 ¡ ¿7: 2.03 x 10? N C-1.
Los dos resultados son, evidentemente, idénticos,
q2
EJE*ÍPLO 74.3. Discusión tlel movi¡nientc de una carga eléctrica en un campo
unilorme.
Solt¿Íd¿: La ecuación de movimienio dc una carga eléctrica en un campo eléct¡ico
uniforme está dada por la ecuación
ma:q{ ó a: . 3- ¿.
La aceleración que adquiere un cuerpo en un caÍrpo eléctr ico depende, por lo tanto,
de la razón qlm. Corno esta razón cs en gcneral diferente para diferentes part lculas
cargadas o iones, sus aceleraciones eir. r in campo eléclr ieo serán también diferentes;
es decir, que hay una clara dist inción enr.re l¡ l acelcración de un cuerpo cargado
que se lnucve en un campo eléctr iro, y la aceir¡ 'ación en un oampo gravitacional,
que es la mism.a para todos los crtrrpt i- t , Sl cj c¿rrn*¡r { 'es u¡t i lor lnc, la aceleraciÓn ¿
es constante y la trayocloria dcsr:r i ia por ta , : l rga eiéctr ica e¡r su movimientn es
una parábola, conro se expl icó en la secció;r 5.7"
-_
14.4 Campo eléctríco 467
Ftg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme.
Un caso interesante es el de una partfcula cargada moviéndose a través de un
campo eléctnco que ocupa una re'gión limitada del espacio (fig. 14-16). Suponga-
mos, para simplif lcar, que la vetocidad inicial uo de la partfcula cuando entra al
campo eléctrico sea pelpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colo-
cadt¡ el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partlcula y el eje Y paralelo al
campo. La trayectoria AB descrita por la partfcula al moverse a través del
campo
es una parábola. Después de cruzar el campo la partlcula readquiere el movimiento
rectillneo, pero con una velocidad c diferente en módulo y dirección. Decimos en-
tcnces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo a.
Usando los resultados de la sección 5.7, encontramos que las coordenadas de la
partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración (q/m)C, están
dadas por
Í , :uot¡ g:r(qlm)C|2.
Eliminando el tiempo l, obtenemos la ecuación de la trayectoria,
lo cual verifica que es una parábola. Obtenemos la desviación ¿ calculando la pen-
diente dgldr de la trayectoria para x : a. El resultado es
tg a : (dgldr)"* -- qCalmozs.
Si colocamos una pantalla S a la distancia l, la partlcula con un q/m dado y velo-
cidad uo, llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg c¿ es aproximada-
mente igual a dlL, ya que el desplazamiento vertical BD es pequeño comparado
con d si Z es grande, tenemos
(r4.e)
lfidiendo d, L, a y C obtenemos la velocidad oo (o la energla cinética) si conocemos
la razón qlmi o reclprocamente, podemos obtener q/m si conocemos u0. Por lo tanto,
cuando un haz tle partfculas con la misma relación qlm,pasa a través de un campo
c.léctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energfas.
Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un dn¿r¿f-
:ador de energla, el cual separa las partfculas cargadas idénticas que se mueven
ion energías diferentes. Por ejemplo, los rayos I son electrones emitidos por algu-
nos materiales radioactivos; si colocamos un emiso¡ de rayos B en O, todos los
electroncs se concentrarán en el mismo punto de la pantal la si t ienen la misma
L---
+(-"J(*)*'
qéa 
_d
mú'o L
++++++
F_rr-1"--¿
468 I nter acción el éctríca. (14.5
energfa. Pero si st¡n trmit idos ccn t i i tcrenrr ls i ' rct ' iJí l) i se dispersarán en una región
de la pantal la. l ' ls esla segunda posibi l . idad Ia que sc e¡rcuentra experirnentalmente,
resultado r le ¡nucha irnportancia desde ei punto r ie vista cle la estn:ctura nuclear.
Usandi¡ dos juegos de placas paralelas cargadas, ¡ i ' . : ls66s producir dos campos
¡nutuamente perpendicularcs, r lno horizonlal según l l f l 'y otro vert ical según yV',
corno se muestra en la f ig, 14-17. Ajustando lá intensit lad relat iva de los dos cam-
pos, podemos obtener una desviación arbitraria r lel haz de electrones respecto a
cualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos caÍipos son variables, el
puntc luminoso de referencia sobre la ¡ranta)la i lescribirá una cierta curva. Apl i-
caciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en los
osci loscopios. En part icular, si los campos eléctr icos varfan en intensidad con mo-
virniento armónico simple, se obtentlrán las f iguras de Lissajous (sección 12.9).
Anodo Placas para
do cnloque deSviación hor izontal
RPj; l la . \nodo i
Placas para
desvlacron'ln 
-<.1'
t le control l \ acelerador
/---r---T----;-
i - \_- l Haz de electrones
Calefactor
Revest imiento
metál ico Pantal la
fluorescente =-
Cañón electrónico
(o fuente electrónica)
I'19. 14-17. Nlovimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados.
Los electrones son emit idos por el cátodo y acelerados por un campo eléctr ico
intenso. Una ranura en el ánodo acelerador, perm¡te a los electrones sal ir del cañón
electrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento me-
tál ico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho l ibre de campos eléctr icos,
producidos por fuentes ext€rnas y permit iendo el movimiento l ibre a los electrones
del haz.
74.5 Cuantízución de Ia carga eléctriea
lJn aspecto importante que .Jebemos dilucidar antes dc proseguir, es el hecho de
que Ia carga eléctrica aparece no en cualquier cantidad, sino en rnúltiplos de una
unidad fundamental o cuanto.
De los muchos experimentos realizados para determinar esto, es clásico el del
físico norteamericano Robert A. Nfil l ikan (1869-1953), quien, por varios años
durante la primera parte de este siglo, l ler'ó a efecto el experimento conocido
hoy como el erperí.rnento de Ia gota de. aceile. If i l l ikan estableció, entre dos placas
horizontales y paralelas A y B ({ig. 14-18), un c¿mpo eléctrico vertical C que
podia ser eliminadc¡ o restablecido por medio de un inter¡uptor. La placa superior
tenía en su centro unas pocas perforaciones pequeñas a través de las c,uales podían
pasar gota.s de aceite producidas por un atorrizador" La mayoria de estas gotas
se cargaban Jror f r icc ión:r l pasar por la boqui l in del atomizador.
Analice.mos primero cste experimento desde urt punto de vista teórico. Llarna-
remos rn ¿ la masa y r ai radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación
I4.o) Cuantízación de lu cargc eléclrícq 469
Firr- 1.t-1.8. I ixpcrime'rto de trf i l l ikan. I l l movimiento de la gota de aceite car_gada g se observa a través del rnicroscopio i l l .
del movimiento cle caida i ibre sin el campo eléctrjco c es, usanclo la ec. (7.20)
con K r lado por la ec. (7"19), ma: mg - 6r1ru. La velocidad f inal u, de la gota,
cuando a :0, es
mg 2prrtl
" r - 6nrr g¡ '
donde p representa la densiclad del aceite y hemos usado la relación m : ({rcf)p.(con el f in de ser precisos debemos también tomar en cuenta el empuje aól aiie
escribiendo p - pa en irigar de p, siendo po la densidad del aire).
Suponiendo que Ia gota tiene carga positiva g, cuando apricamos er campo
eléctrico, la ecuación del nrovimiento en dirección vertical haóia arriba es
ma:g( -mg-6rr¡rD,
y la velocidad final u, de la gota, cuando a :0, es
. . 
q( -ng
"t 
: 
-G";-'
Despejando g, y usando la ec. (14. 10) para eliminar mg, tenemos
q- (14.1 1)
(14.10)
Podemos hal lar e l radio de la gota midiendo u, y despejando r de la ec. (14.10).
I l id ierdo ,r , obtenemos la carga q apl icando la éc. (14.11). Si Ia carga cs negat iva,
el movi¡r l ienlo hacia amiba se produce apl icando el canrpo eléctr ico hacialba.¡o.
En la práclica se sigue un procedimiento diferente. El movirniento hacia arriba
y'hacia abajo de la gota se observa var ias veces, apl icando y supr imiendo el canlpr)
elclctricr: sucesi. '¿rl lte¡lte. La velocidad u, permanece iuvariatle, pero Ia velocid¿r¿ u"
6r¡r(u, { ur)
470 Inleraccíótt eléctrice (14.5
ocasionahnentc t¡lmbie sugiricndo ii l i c¡ml:io {r¡i ::. r;:¡rqa cle ia gota. I istos cam-
bios son drl-. ido: ¿ la ioniz.:¡cion oti i i i t-rl,¡rl r ' lr:.}. ai¡ r.- , 'r¡r.,}¡ienirr poa raJ¡os ctisrrricos.
La gota prrecle t,oruli l al¡;uitci ¡lc csti, ir in¡jes nr('nl.ras se :nusl'r a trar'és,:lel airc.
I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn i i lCuciisc t¡¡r¡.:Lién i:r, loca¡ric rercit de }as placas
una fnente de rayo; X u 1o lc'1, cuaies slrmeil i: l l : ];t ionjzación dei airi:.
l)e acuerdo con la er:. (14.11), los ia,,¡Lio:; Ao y :\u, de la carga y de la velo-
cidad hacia arriba están relecionaCcs í|.r
0:r: l¡
Aq : --:- ¡", (r4.12)
Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1s veces r1e¡iativir, según la naturaleza de la
modificaciórr rie la carga. Repitienclo el e:;pt:ri inenlo de la gota de aceil.e muchas
'r'€c€s coil diferentes gotas, ios l is.icos han conclu!do que ios cambios Ag son siem-
pre nrúitiplos de la carga fi lndi.lrrl;]tai ¿ rirst() ¿s, AÍ - ' ne), cuyo vaior e$
¿ : 1,6021 x i i i - le C. (14.13)
La caatidaci e se l larna carga e¡emcntal. ' i ' t¡Cc:; las crtgas que se obseruon en la na^
{uraleza son ig¿ro¡€s o-, o rnúliíplos de , in :art¡t t lente.nfal e; hasta ahora no se han
ohservado excepc:ones a est; regla" Parece ser, entunces, una ley fundamental
i l,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,a cuaniizada. Hasta el presente, no
rc ha encontrario expücación ¿ estc hceho a prrrt. ir de conceptos más fundamentales.
Un segundo aspecto iritporl-rnte de la
carga eléctrica es que la carga elemental
eslá siempre asociada con alguna masa deterininada, dando lugar a Io que lla-
nramos wta partícli la fundamnlal. I i1n e] próximo capÍtulo (sección 15.4), expli-
carelnos aigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo que si se co-
noce q, prieda obtenerse rn; de esta mauera se han identif icado varias particulas
fundamentales.l Por el moinen!,o, podernos i¡tdicar que en la estructura del átomo
entran tres partíeulas fundi¡nlentair,s: cl el¿clrón, e! prolón y el neutrón Sus carac-
teristicas se indican err el siguierite cuadro.
i
Partícirla i
___-t__
f
e lcctrón { m.
IprOron I tnp
neUlIOn I ¡nn
I
Masa I 
"rrgui--
- 
r r ,109l r l0 ' . r kg I - c
- 
t ,67?5 , : r ' . r -2? kg r + r
:. 1",6748 x 10-r? ks | 0
Olrsérvese c¡ue. el neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otras
propietlades eléctricas, rlue scl'án discutidas eri cl cr,pitulo 1.-1. trl hecho de que la
masa iiel protón sea cerca de 1840 veces mavor que la masa del electró¡r t iene
gran influencia eri nir¡chos fenó¡i:enos fisirros"
[' let+rnclr. los :lhr)ra a Ia ielinición preiirnilrar i lel coulomb dada en la sección 2.3,
y ver i f iquclr ios que el n¡ imero de el t :ctrc,r .es 3 ' r r ro inrres necestr ios parn alcnnzar
llr)¿i c¿ifg¿¡ ¡rr 'rsit iva c) nrgativi¡ igui.ir r i¡¡r r:ouiori iL r:s i/1,6021 x 10"rs:ü,Z-tr18x 10r8
qur cs trl ¡ iúrnero riuc agr:rrcce all i ,
14,6) Eslructura etéclrica de la maleria
74.6 Estructura eléctrica de Ia materia
Hemos recordado al estudiante el hecho frecuentemente observado de que ciertos
cuerpos pueden electrizarse frot¿indolos con tela o piel. I l Iuchos otros experimen-
tos de laboratorio señalan el hecho de que los r.;en5fifuyentes básicos de todos los
átomos son partículas cargadas. Por ejemplo, cuando se calienta un fi lamento,
éste emite. eleclrones, tal como se evaporan las moléculas de un líquido al calen-
tarse. Este fenómeno se l lama emisión termoióníca.
Fie. 14-19. Electról isis. Lns iones se
muel 'en bajo la acción del campo eléc-
tr ico producido por los electrodos
cargados.
Otro fenómeno interesante es el de la electrólísis. Supongamos que se establece
un campo eléctrico C (l ig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en una
solución que contiene un ácido (tal como HCI), una base (tal como NaOH), o
una sal {NaCL). Producimos este campo sunrergiendo en la solución dos barras
o placas opuestamente cargadas llamadas eleclrodos. Observamos que las cargas
:léctricas fluyen y que ciertas clases de átomos cargados se mueven hacia el
electrodo positivo o anodo, v otras se mueven hacia el electrodo negativo o cáIodo.
i,ste lenómeno sugiere t¡ue las moléculas de la sustancia disuelta se han separado
(o disociado) en dos partes diferentemcnte cargadas. o iones. Algunas están car-
gadas positivaniente y se mueven en la dirección del carnpo eléctrico; otras están
cargadas negativarnente y se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc-
l.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia el
cátodo y en consecuencia son iones positivos, l lamados caliones, mientras que los
átomos de Cl van al ánodo y son iones negativos, l lamados aníones. La disocia-
ción puede escribirse en Ia iorma
NaCl+Na.*Cl- .
Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctrica, suponemos
que eslán formadas de cantidades iguales de cargas positivas y negativas. Cuando
las moléculas de i\aCl se disocian, las cargas no se separan uniformemente. Una
parte de las moléculas transporta un exceso de electricidad negativa y la otra
un cxceso de electricidad positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto,
un ion. I len'ros dicho que todas las cargas son múltiplos de la unidad fundamental
471
Anodo
Cátodo7/"/ ' l l/)7 | tt. ¡
I l Í !V'Q*
r¡\
>'
t+ l
\\\
w
472 Interacción eléctrica (14.6
de carga e. Supongamos que los iones positivos transportan la carga f ve, y los
iones negativos una carga - ve donde v es un nitrnero elitero que determin¡trcmos
¡nás adelante. Cuando los iones l legan a cada electrcdo, se neutralizan, intercam-
biando sus cargas con las cargas disponibles en los electrodos. Generalmente
sigue una ser ie de reacciones qrr ímicas que no nos interesan ahora, pero que
sirven para identif icar la natu¡aleza de los iones que se mueven hacia cada
electrodo.
Después de un cierto tiempo l, un número N de átomos ha ido a cada electrodo.
La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces, en valor absoluto,
Q:Nr¿. Suponiendo que m sea la masa de cada molécula, la masa total M
depositada en ambos electrodos 
€s M : Nm. Dividiendo la primera relación
por la segunda, tenemos
QIM : velm. (14.14)
Si .A{¡ es la constante de Auogadro (el número de moléculas en un mol de cualquier
sustancia), la masa de un mol de la sustancia es Ma : NA[r. En consecuencia,
la ec. (14.14) puede escribirse en la forma
a 'le N4v€ Fv
_:+
La cantidad
(14.r5)
(14.16)
es una constante universal llamada constante de Faradag. Esta representa la carga
de un rnol de iones que tiene v :1. Su valor experimental es
F :9,6487 X 104 C mol-r. (r4.17)
f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante
de Avogadro
lüa : 6,0225 x 1023 mol-l, (14.18)
de acuerdo con otros cálculos cie esta constante.
La ec. (14.15) ha sido verif icada experimentalntenle y se ha hallado que v es
igual a la ualencia químíca clcl ion correspondiente. E,l hecho de que v sea la va-
lencia quimica sugiere que cuando dos átomos se rrnen para formar una molécula,
irrtercambian la carga ve, convirtiéndose uno en un ion positivo y el otro en un
ion ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos.
Podemos tantbién sllponer, con bastante confianza, que las particulas intercam-
biadas son los electrones, ya que se mueven más fácilmente por ser más ligeros
que Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, l lamado enlace iónín, rlebe
considerarse sólo conro una descripción prelimin:r sujeta a revisión y crít ica
ulteriores.
En la s¡'cci(¡n 13.9 indicarnos tlue las luerzrs gravitacionales no eran suficien-
temente lutrtes conlo para producir la atracción nccesaria para mantener unitlos
dos áloulr,rs y fornrar una ¡noldcula, o dos nloléculas y formar una porción de
M m Nem. M¡
F:N¡e
!1.? ' l Eslruclura afómira 473
,,-¿¡ ' ier ia, y qt¡c s ion i03; veces rnenos intensas de lo rrecesar io. Compare¡nos ahora
rl rir, le¡; de rnagnitud dc las fue¡zas eléctricas y de las gravitacionales. Supo-
¡', 're¡rdo c¡ue la distancia sea la. :-- ';!sma, la intensidad de la interacción eléctrica
está deLerrninada por ia const.ante de aco¡rlamienLo qrqrl4reo, y Ia cJe la inter-
acción gravitacional por i 'rn,rnr. Por lo tir l i l ;
intcracción eléctrica : Jíer---
4rer-¡mrm,interacción gravitacional
Para obtener el orden de rnagni tud, hagarnos gt :82- e y !n1 : r r r2: r r?p, de
rnodo que para dos protones o dos iones de hidrógeno,
interacción eléctrica
I nt.ia..ion g.a"it-u.i* li 
: : 1,5 x 1036.
Este es, aproxirnadamente, el factor que le faltaria a la fuerza gravitacional
producir ia interacción requerida. Para la interacción entre un protón y un
trón (rn, : mp, Inz: me), la relación antcrior resulta todavía mayor: 2,8 x
Por consiguier¡ te concluinros que
la interacción eléclríca es del orden de mugnitud requerido para pro-
ducir el enlace entre atomos para formar moléutlas, o eI e¡tlace enlre
eleclrones y protones para formar dtomas.
La conclusión es, entonces, obvia: los procesos quimicos (en general e l com:
portamiento de la máteria en su totalidad) se deben a las interacciones eléctricas
entre átomos y moléculas. Una comprensión complela de la estructura eléctrica
de los átomos y moléculas es, pues, esencial para explicar los procesos qttimicos
v, en general , para expl icar
todos los fenómenos que observatnos corr ientcmente
a nuestro alrededor, tanto en la materia incrte como en la viviente. l ' i l objc't ivo
de la f ís ica es, como vimos en el capi tu lo 1, capaci tarnos para comprender la
estructura de los constituyentes fundamentales de la materia y explicar, en fun-
ción de sus interacciones, el comportamiento de la lnater ia como un todo. l )ara
c,Lrnrpl i r con este programa debernos comprendcr previamente las interacciones
eiéctricas. Por esta razón ¡nuchos de los capítulos siguientes estarán rir- 'dicados
a los fenómenos eléctricos.
Dondequiera que haya cuerpos cargados eléctr icamente, las fuerzas gravi ta-
c ionales son despreciables. Estas fuereas son imporlantes sólo cuando estu<l ia¡nos
{ruerpos de gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son ptquetias en
cr-imparación con sus masas. Este es el caso del movimiento planetarit.¡ o del mo-
virniento de cuerpos en la superficie terrestre.
14.7 Estruetura atótnic.a
Por Io dicho en la sección anterior, el estudiante se habrá dado cuenta que com-
prender la estructura a!ómica es uno de los problemas básicos de la fisica. ltxpon-
ganros, por lo tanto, algunas ideas preliminares y desarrollemos un modelo satis-
factorio del átomo. Sabemos que los átomos son eléctricamente neutros e¡r su
e2
4reoprtf,
J)ara
elec-
1 040.
474 Interaccíón eléctríca (14.7
estado normal, ya que en la materia en conjunto tto se manifiestan fuerzas eléc-
tricas grandes. Por consiguiente, los átomos deben contener cantidades iguales
de electricidad positiva y negativa o, en otras palabras, igual número de protones
v de electrones. El número igual de protones y electrones se l lama número atómicoy
sc designa par Z. El átomo consta entonces de una carga positiva lZe debida
a los protones y de una carga negativa de igual inagnitud debida a los eiectrones.
Acuden a nuestra mente dos posibics modelos para el átonto. En uno de ellos
podemos suponer que los protones, como tierren mayor masa que los electrones,
están agrupados alrededor d€l centro de masa del átomo, formando una especie
de núclet¡ y los electrones giran a su alrededor, corno en nuestro sistema planetario.
En el otro modelo los protones podrian estar esparcidos en todo el volumen del
átomo, con los electrones movjéndose entre ellos y lormando algo así como una
mezcla de gases con cargas positivas y negativas l lamada plasnio. E,l primer
modelo es más llamativo dada nuestra lamiliaridad con el sistema solar. Sin em-
l.rargo, entrc las dif icr¡ltades a que debemos hace¡ frente en este modelo, está la
de explicar córno los protones se mantienen unidos entre sÍ, en el núcleo, a pesar de
la fuerte repulsión eléctrica entre ellos. Esta complicación requiere la existencia
de otras interacciones, además de la interacción eléctrica.
Para dilucidar el problema de la di-qtribución de electrones y protones en un
átomo, debemos investigar el interior del átomo experimentalmente, lanzando
un haz de particulas rápidas cargadas tales como iones de hidrógeno (es decir
protones) o iones de helio (l lamados partlculas afa), contra el átomo, y observar
las interacciones producidas. Este es un experimento de dispersíón, cuyo funda-
mento matemático se ha dado ya en el capÍtulo 7. La simetría sugiere que pode-
mos considerar los átomos como esferas con un radio del orden de 10-10 m, como
se ha indicado previamente. Debido a que la interacción eléctrica sigue la ley 71r2,
los resultados demostrados en la sección 13,7 para el campo gravitacional, son
válidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesario reemplazar "¡mm' por
qq'!4*o, Por lo tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q unüorme-
mente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos externos (r > a)
un campo eiéctrico dado por
( ' : ,Q-=, r le, (14.19)
4ne¿2
y un campo eléctrico en todos Ios puntos interic¡res (r < a) dado por
| <a. (14.20)
4xeoa} '
Este campo está representado en la fig. 14-20.
En el rnodelo de plasma, el radio a es el ¡nismo que el radio del átomo y la
carga efectiva Q es muy pequeña ponlue las cargas positivas de los protones
y las cargas ne¡¡ativas de los electrones esi¡ln inezcladas unifor¡nemente. La des-
viación experimentada por l;r particula de carga q al aproximarse al átomo, pero
Qr
14'.7)
Fig. 14-t0. Campo eléctr ico de una es-
fera de radio c cargada,
l - '
Flg. 14-21. Distribución de electrones
en un átomo.
sin pasar a través de é1, se calcula usando la ec. (7.42) coo rf( : Qq!4rc6i resulta
cots +ó : 4"'ún'3 b.
Qq
(14.21)
En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que ei radio del átomo
o N 10-10 m. Suponiendo que la energía de las particulas es del orden de 1.6 x 10-rsJ,
o un MeV (que es el rango de energias proporcionado por los laboratorios en
esta clase de experimentos), y que 0 y q son del orden de e, encontramos que ó
es menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación. Para
valores menores de ó, si la particula incidente tiene energÍa suficiente para pe-
netrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decre-
r:iente y la ec. (14.21) ya no es aplicable. Pero entonces, la desviación, en lugar
de ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otras
palairras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviaciones de las
partÍcuias que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experi-
mentalmente que muchas partículas se desvian en ángulos grandes, en algunos
casos hasta 180". Por consiguiente debemos desechar eI modelo de plasma basán-
donos en este experimento simple pero concluyente.
Consideremos ahora el modelo nuclear, en el cual los protones están agrupados
en una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21). Entonces la ec. (14.21)
se mantiene para valores de ü mucho menores que el radio atómico, y son posi-
bles desviaciones mayores. Aqui nos damos cuenta que los electrones en rápido
movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquier
partícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modo
la carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de ó mayores que
10-10 m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmente lo
mismo. Para pequeños valores de ó, sin embargo, pueden ocurrir mayores des-
viaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelo
de plasnta. Por ejemplo, para ó 
- 
1g-ta m y Q 
- 
l}e, usando el mismo valor de
(carga 
- 
Ze)
476 lnteracción eléctríca (14.7
energia que antes, obtenemos cotg *d 
- 
I ó d 
- 
90'. En el modelo nuclear,
Q : Ze, y poniendo Q : ve para la partÍcula que bornbardea (r : 1 para pro-
tones, rr :2 para partículas alfa), obtenemos de ta ec, (14.21),
b: ,uz" u colg$.4*eomufi
En los experimentos se dirigen varias particulas contra una delgadlsima lámina
y se observan las deflecciones. Corno ó no puede controlarse porque es imposible
apuntar a un átomo en particula¡ debemos hacer un análisis estadistico para
interpretar los resultados experimentales.
Supongamos que tenemos una delgada lámina metálica de espesor /, que tiene
n átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área inciden
en Ia lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro de
impacto pequerio). experimentando entonces una gran desviación; algunas pa-
sarán a distancias relativamente giarides de los átomos de la lámina (panimetro
de impacto g'ande) y experimentarán un¿ pequeíra desviación. El resultado del
análisis estadístico (ver ejemplo 14.4) muestra que el número de particulas dN
Jesviadas dentro del ángulo sóiido dl) (correspondiente a los ángulos de disper-
sión { y 4 + d{ respecto a la dirección de incidencia) está dado por
d¡/ NnvzZzd
;n:-Tf f iñcoseca$' (14.22)
Ei signo negativo se debe a que dN representa las particulas sacadas
del haz
incidente co¡no consecuencia de la dispersión, y esto corresponde a una dismi-
nución de N.
El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadas por
unidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamente según la ley
nseca l$. Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indi-
rectamente, que todas ias cargas pcsitivas se concentlan cerca del centro del
átomo. Esla prueba se obtuvo mediante experimentos ejecutados por primera
rrez durante el periodo 191 l-1913 par H. Geiger y E. l larsden, bajo la dirección
del fÍsico británico Ernest Rutherfcrd (1871-1937). Estos experimentos constitu-
yeron el fundamento del modeio nrtc iear del átomo, que ha sido aceptado desde
entonces como el correcto.
Para cada valor riel parámetro de irnpacto ó, existe una distancia de máxirno
acercamiento para ia cual la particula que bombardea está lo más cerca posible
del centro. I-a distancia mínima ocune para á : 0. EI cálculo de esta distancia
para diferentes condiciones experimentales, cmpleanilo metodos dinámicos (ver
ejemplo 14.5) indica que esia ciistancia es del crden de lO-ra m para ener$as
del orden de 10-13 J (o un }fel '). Esta dist;lncia da un l imite superior para el
radio del núcleo atómico. Fc'r consiguienle concluirnos que los protones se con-
centra¡r cn u¡ra regifin cuyas dinre nsiones son del orden de 10-u m. Cuando con-
sideranros cl hecho de que el radio i lel átomr; rs {ici orden de l0-10 m, nos damos
cuent,a que ia rnayor Jiartc Cel v¡¡lurnen clei átorno está octipado por los elec-
tri ines en mov-imiento, y está en realidad vacío.
1,1 : \ Eslruclura alór¡tics 477
Para pequeños valores del ¡rarárnetro de impacto 5,' altas energías, cuando la
partir:ula incidente l iega muy cerca del ttúcleo, observamos que la ley coseca $
no se cumple. Esto indica Ia prest:icia de otras interacciones, las fuerzas nucleares.
.\nalizando las discrepancias ccn respecto a la dispersión puramente culombiana
dada por la ec. (14.22), obtenemos informa,ción valiosa acerca de las fuerzas
nucleares.
Los más simples y l ivianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno.
Su rnasa es igual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguiente con-
cluimos que un átomo de hidrógeno está compuesto de un electrón girando alre-
dedor de un solo protón. Entonces, Z:1, y el núcleo de un átomo de hidrógeno
es precisamente un protón (esto podria tomarse también como definición de
protón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r2, deberíamos
esperar, por las mismas razones dadas en el capítulo 13 para el movimiento pla-
nétario, que las órbitas fueran elipses con el protón en uno de los focos. Las
órbitas electrónicas, sin embargo, requieren que dispongamos de técnicas espe-
ciales antes de poder discutirlas, porque ellas poseen caracteristicas propias que
las hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a la
mecánica cuántica. Sin embargo, podemos adelantar dos de los más importantes
resultados de la mecánica cuántica.
(1) ,Lc energla del mouímienlo electróníco eslá cuantizada. Esto significa que
la energia de los electrones puede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2, Es, . . ., En, . . .
Los estados correspondientes a estas ener$as se llaman eslados estacíonarios. El
estado con la más baia energía posible es el eslado fund.amenlal Determinar las
ener$as de los estados estacionarios es una de las tareas de la mecánica cuántica.
Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita,
solamente ciertas regiones del espacio son posibles para eI movimiento electrónico.
Esto está indicado esquemáticamente por Ia región sombreada de la fig. 14-21.
(2) EI momentum angular del mouimiento electróni.co eslá cuanlizado tanto en
magnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de un
electrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angular
es un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro-
piedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar ter-
minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como
implicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas".
Para átomos más pesados que el hidrógeno, la masa es mayor que la masa
de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a la
presencia d,e neulrones en el núcleo. El número total de partículas en un núcleo
se llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Z
electrones, Z protones y A-Z neutrones. Los neutrones son necesarios, apa-
rentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamente
sometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar car-
gados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en un núcleo
indica qne, además de las interacciones eléctricas, hay otras interacciones muy
Iuertes, correspondientes a las llamadas fuerzas nucleares, las cuales contrarrestan
la repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nucleares
sin añadir reprrlsión eléctrica, produciendo de este modo un efecto estabil izador.
L
478 Interaccíón eléctrica (14.7
En este punto debemos deci¡ que nuestro conoci¡nirnto de las fuerzas nucleares
no es tan completo como lo es cl de las fuerzas elécl.ricas.
El comportamiento quimico de un átomo, siendo un efecto eléctrico, está
determinado por el número atómico Z^ Sin embargo, para un valor de Z puede
haber varios valores del número rnásico A. En otras palabras, a ull número dado
de protones en el núcleo puedc corresponder düet'ente número de neutrones.
Los átomos que tienen el rnisnlo ¡rúniero atómico, pero diferente número másico,
se l laman isótopos. Todos ellos corresponden al mismo elemento quÍmico. Los
diferentes isótopos de un elemento químico se designan por el símbolo del ele-
mento químico (que también identif ica el número atómico) con un índice colocado
en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo,
hidrógeno (.2:l) t iene tres isótopos: lH, 2H o deuterio, y 3FI o trit io. Análo-
gamente, dos de los más importantes isótopos de} carbono (Z :6) son r2C y 14C.
El isótopo 12C es el que se usa para delinir la unidad de masa atómica.
EJEiltPLO 14.4. Obtener la ecuación (14.?2) para la dispersión culombiana.
S<¡luctón: Sea n el número de átomos por unidad de volumen del dispersor. Enton-
ces nl será el número de átomos dispersados por una lámina delgada de espesor I
y área unid.ad. El número de átomos en un anil lo de radio D y ancho dD y por lo
tanto de árca2rb dó) será (nt)(2ttb dó), ccmo se rnuestra en la fig. 14-22. Si N par-
tlculas inciden sobre la unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyo
parámetro de impacto está entre D y D + db es dN : N(n¿) (hb db\. Diferenciando
la expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene:
(14.23)
- t \r '9\
,[ :l.l __ _ _ _ _ _ _ 
- 
_ _ 
- -G:_*-i --_
I t ; ; +Ze
FtS. 14-22. Desviación de un ion posit ivo de-
bido a la repulsión coulombiana del núcleo.
Flgura 14.23
Para átomos l ivianos, debemos reempluzar la nrasa m de la partfcula por la masa
reducida del sistema de part lculas.
Si trazamos dos conos de ángrrkrs d V d n d{ alrededor del átomo (ng. 14-23)
todas ias part iculas dadas pot ' la ec. (14.2i3) sr:rán desviadas a través del ángulo
sói ido entre las dos supcrf ir : ies cónic¡r.s. Ei ár¡. : sornbreada es (2nr sen $) (r dg) .-=
2:;¡¡ sen $ d$. ?ot consi¡;uit 'nte, en v;st i t t le l i ' . r lef ini tr iÓn (?"7), el ángulo sól ido es
dfl == 2r sr.:u ó d+ =- 4:: sen \$ cas y4 dg!, donrle l lcrn¡rs rrs¿tdo la relación sen{ :
2 sen {.$ cas }$. La distr ibución angular está . iada por el ¡rúme¡o de part lculas
dN: * f f i4corgl$ cosec'$d{.
dN Nn\¡zzzeal
-1r] : - 
t(-*i;;ü coseca |r/'
que es la ec. (14.22).
Aigunas veces los rcsulta.dos de los experimentr,s rle dispersión se expresan meior
nsando el concepto de seccírjn eficaz. La sección eflcaz pará un proceso está definid.apor
. , , 1 ldNlo(P/ : Nr.. i do i'
! i , t :
' : i ispersadas por unidad rie ángrrlo sélido. Entonces
Estructura alo¡¡ti¡.c t , ' :
(r4.24)
(14.25)
Las barras verticales están 
-para ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do.I-a cantidad o({) representa.la probabil idad de que una particula incidente se desl' le
un ángulo.entre {_y # + d#: Se expresa en unidades de área (mr), ya que n es unadensiiad im-u) y f es una distancia (m); (obsérvese que las unidad.Ls de N se can-
:elan). Por io ianto, sustituyendo la 
.ec. {14.22) en ia ec. (14.24), obtenemos la sec-
,:idn eficaz diferencial para la dispersión culombiana,
"(ó) : ^;tZy;T coseca i{.
, 
" ' 2(4te)2m2oo
E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfculade carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici z.
Solucló¡t: La flg. 14-24 muestra la geometla del
probiema. De acuerdo con la discusión hecha en
la sección 13.5, la partfcula describe una rama
de hipérbola con el núcleo *Ze en el foco más
distante F'. La distancia de máximo acerca-
miento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetro
de impacto. Demostraremos primero que ó es
igual al eje vertical OB de la hipérbola. St an-gulo f : POQ, entre las dos asfniotas, es el án-gulo de desviación de la partlcula debido a Ia
repulsión coulombiana del nrlcleo. La distancia
OA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, y
de las propiedades de la hipérbola tenemos que
AF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,D
y OCA' son iguales, de modo que ü : F,D:
: CA' : OB. En la geometrfa de la ñgura ve-
mos que OF' : ó cosec ay OA: ¿r : D cotg cr .
ForconslguienteR : F'A : ó(cosec a * cotgc).
Pero 2a + Ó: zc, de modo {ue c: +"_-hi .
Por Io tanto Figuro 14-24
R : ü(sec I4 + te 14,¡ : ó(1 *.cos-e: *ó).cotg lc
Usando el resultado (14.21), con e : Ze y g : y€, obtenemos
R : .. u?" 
^. 
(1 * cosec |f),4reo(mo!) ' -
que da !a cl isi .ancia cle máximo acercamiento en función de la energla inicial de lapartfctr la- \mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r
É
lt ,
lr
rebota de modo que se dispersa en un ángulo igual a ;r, resultando cosec tó : I y
,, vZe|
Areo(lmuf,)'
Por ejemplo, swtituyendo valores numéricos con v: 1, Z:6 (correspondiente
al carbono) y E : ImuE : 1,6 x 10-ra J ó 1 MeV, obtenemos R'- 10-ir *, qué
es el orden de magnitud señalado antes para las dimensicnes nucleares.
74.8 Potencial eléctrico
Una carga eléctrica colocada en un campo eléctrico tiene energia potencial debido
a su interacción con el campo. El polencial eléctrico en un printo se define como
la energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando
el potencial eléctrico por v y la energía potencial de una 
"^rgi 
q por Ep, tánemos
v:! -oq
El potencial eléctrico se mide en joure/coulomb o .I c-r, unidad que recibe el
nombre de uolt, abreviado v, en honor del cientifico italiano Alejandro volta(1745'1827\. En función de las unidades fundamentales, v : ¡nz ¡g .-z ¡-r.Observemos que las defirriciones de campo eléctrico y de potencial etéctrico
son análogas a las de campo y de potencial gravitacional, E-llas se relacionandel mismo modo que en la ec. (13.21). o sea, las componentes cartesianas del
campo eléctrico C están dadas por
48A Inturacción eléclrica
av
: -+
^,oÍ
fV
I dv'
. /o
6 Er:qV.
.0V
0z
(14.8
(r4.26)
(r4.27)(, -av\y - - - - : - '
og
En general, la componente según la dirección correspondiente a un desplaza-
miento ds es
t '_ av
'* - - -a-'
Esto puede escribirse en la forma compacta
¿.:_grad V,
como se ha mostrado antes en los capítulos g y
se usfln para encontrar el potencial eléctric:o
trico {', y recíprocamente.
(14.29)
13. Las ecuaciones (14.27) o (14.28)
V cuando se colloce el campo eléc-
consideremos el caso ril p]. de un campo eréctrico unifonne (fig" r+25). I.aprimera de las ecuaciones (1 .4.I7) da, para un c€mpo paraielo al eje X, f.: _dV ldr.como f es constante y $ujronemfis v : 0 para r : 0, tenemos, por integración,
(r4.28)
V:--Cs. (14.30)
f r f . ¡
- - - f Cdr-- . ( ' - l ¿¡ . r ó
Jo Jo
i'1.8) Potencíal eléctríco 481
iv:r i
I
I
01.-"r l
l ¡
r l
I I
Flg. 14-9ó. Campo eléctrico uniforme. Ftg. 14-26. Variaciones de f y V en un
campo eléctrico uniforme.
I
Esta relación muy útil ha sido representada gráficamente en la fig. 14-26. Obser-
vemos que, debido al signo negativo en la ec. (14.29) o en la ec. (14.30), el campo
eléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes. Cuando consideramos dos
puntos Í ty rz, la ec. (14.30) da V, : - ( \y Vz:-(rz. Restando, tenemos
Vr- Y, : - ((rz- rJ; o, haciendo d : Íz- l ' obtenemos
i t '
" 
Yr-V, Vr- V,
a:_ 
-
-dd (14.31)
-A.unque esta relación es válida solamente para campos eléctricos uniformes, puede
usarse para estimar el campo eléctrico entre dos puntos separados por una dis-
'uancia d, cuando se conoce la diferencia de potencial V, - V, entre ellos. Si la
diferencia de potencial V, - V, es positiva el campo está dirigido de r, a l,
¡ ' si es negativa, está dirigido en sentido opuesto. La ecuación (14.31) [o de hecho
también la ec. (14.27) o Ia ec. (14.28)l indica que el campo eléctrico se puede
expresar también en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dada
anteriormente. Esto puede verse del siguiente modo:
volt joule newton-metro newton
:- .
coulombmetro coulomb-metro coulomb-metro
En Ia práctica se prefiere usar el término volt/metro, abreviado V m-r en luga.r
de N C-1.
Para obtener el potencial eléctrico debido a una carga puntual, usamos la
ec. (14.28), reernplazando s por la distancia r, ya que el campo eléct¡ico produ-
cido yace según el radio; esto es, C - - 0Vl0r. Recordando la ec. (14.8), podemos
escribir
lqaV
4 tceo rz 0r
482 Interacción eléctrica (14.8
Integrando, suponiendo Y :0 para r : oo, coülo en el caso gravitacional, ob-
tenemos
(1.1.32)
Esta expresión podria haberse obtenido también reemplazando en ra ec. (13.18)
-'(m por ql4teo. El potencial eléctrico v es positivo o negativo dependiendo
del signo de la carga g que lo produce.
Si tenemos varias cargas Q7, Qs, Qs, . . ., el potencial eléctrico en un punto p
(frg, 1+7) es la suma escalar de sus potenciales individuales. O 5ea,
v: ,8t + +r- + ,9r +. . . - =!- r , - lL. (14.33)
. 4re¡1 
 
r.eor, 4re6.r3 4rreo -' r¡ -
En general es más fácil, por Io tanto, calcular el potencial resultante debido
a una distribución de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder
en el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continua
de cargas, dividimos ésta en cargas elementales dq y sustituimos la suma de
Ia ec. (14.33) por Ia integral (recordar la fig. t4-l3), obteniendo
v: 
q
4Íesl
(14.34)
donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas.
Las superficies que tienen el mismo potencial eléctrico en todos sus puntos
- o sea, y : constante -- se llaman superficies equipotencíal¿s. La dirrcción
del campo eléctrico es perpendicula¡ a la superficie equipotencial en cada uno
de sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 18.6). para un campo
unüorme, deducimos de la ec. (14.30) que V : const. implica r : conSt.r y que
por lo tanto las superficies equipotenciales son planas, como se indica con Ias
lineas de trazos en la fig. 14-25. La ec" (14.82) indica que para una carga puntual,
ias superlicies equipotenciales son esferas ¡ : corist, señaladas poi las lin"as
de trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipoten-
ciales están dadas por Xi(qi/r,) : cor$t, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su-
perlicies equipotenciales
para dos cargas se han indicado con lÍneas de trazos
en las figs. 1,111 y 14-12.
EJEMPLO 74.6. calcular laenergfapotencial etéctrica de Ia cargaq, del ejemplol4.l.
solución: Reflrámonos a Ia fig. 14-6 y usemos la ec. (14.32). Los potenciales eléc.
tricos producidos en c por las cargas hy Qzsituadas en ;l y B, respóctivamente, son
u:+[+'
Y,:-L-: f i ,25x106!,
47!€oft
Luego. el potencial eléctrico en el ¡runto C es
,-Ytfvr :2,25x106v.
vr: -J3-- : -_9 x 100\¡ .
4?TÉo12
14.8)
La energía potencial de la carga q, es entonces
Eo 
- 
q"V : (0,2 :< 10-3 C) (2,25 x
Si cornparamos este ejenrplo con ei 14.2, vemos Ia
ca¡npo eléctr ico y con el potencial eléctr i¡ :c.
Potencial eléctrico 483
108 V) ': 4,5 x 10¡ J.
diferencia entre trabajar con el
EJEjTIPLO 11.7. Calcular cl campo el icLrico y el potenciai eléctr ico producidos
Dor un f i lanlento muy iargo que porta la carga tr por unidad dc longitud.
sabnii in: Dividarnos el f i lamento en pequeñas porc. lones de longitud ds (f ig. 14.27).
La carga de cada una de estas porciones es dq : X ds. La nagnitud del campo
cléctr ioo que caoa elemento produce en P es
ot:- :gt---
4ttcorz '
dir igir lo segi ln la l inea AP. Pero, debido a la
sirr.retr ia del problema, a cada ele mento ds, a la
distanria s por encima de O, corresponde otro
elemento a la misma distancia por debajo de O.
F'or lo tanto, debemos considerar solamente las
componentes paralelas a OP, dadas por dó cos a,
y el campo eléctr ico resultante según OP es
| 7. f d.sC: ldC cos6¡: . ' l lcosa.J 4Éeo J t2
De la f igura se deduce que r : R sec a y
s : R tg a, luego, ds : R scc2 ¿ da. Haciendo
estas susti tuciones, integrando desde a 
- 
0 a
s. : .12, y mult ipl icando por dos (ya que las dos
nritades dcl f i lamento dan Ia misma contr ibu-
ción), obtenemos
Fig. 14-27. Campo eléctrico pro-
ducido por un filamento cargado.
como R-r. En forma vectorial,
¿ : - AVIAR, lo cual nos da
U
ds lr{,1
I t \g\
. l l ' - ' .;l+o--i-.
i lo---- ' : 't lU
Ps
----- \
D.l r t l2
C::-"=l cosd.dz:
4aeof( J 6 2reoR
De modo que
Para hallar el
el campo eléctr ico del f i lamento varía
- ) .( : 
2?r€0R- 
u8'
potencial e léctr ico usamos la relación
dv
dR
La integración produce
2neo-R
v: R+c.
se acostumbra en este caso asignar el valor cero al potencial en el punto donde
R : 1, lo cual da C :0. Luego el potencial eléctr ico es
v : - ^]- ln n.2neo
Sugerimos al estudiante resolver este problema invirt iendo el orden, hal lando pri-
mero el potencial y después el campo,
- ^l- rn2nen
484 Interaccíón eléclrica
74.9 Relaciones energétieüs en un cerrt.Elr) eléctriea
I-a energia tctal de una part ícula cargarla o de un:u¡r t ie masa m
viéndose 
€n un campo cléctrico es
(14.e
E : Ex * E, ,: \mtt2 -¡ qV, (14.35)
Cuanrlo el ion se nrueve de la posición P, (donde el potencial eléctrico es Vr) a la
posición P2 (donde el potenciai es \ 'r), la ec. (14.35) combinada con el principio
de conservación de la energía, da
¡mu! * Qvt: |nu, , ¡ qvr. (14.36)
O, recordando que según la ec. (8.11) W:lmuzr- I^r1 es el t rabajo hecho
sobre la particula cargada al ntoverse desde P, a Pr, tenemos
17t :5nuf,- trnui : q()'1- V;). (14.37)
Esta últ ima ecuación nos permite ditr una definición precisa clel voit: es la dife-
rencia de pt-rtenr:ial a través de la cual la carga de urr cculomb debe moverse,
para ganar una cantidacl de errcrgía igual a un joule.
Obsérvese que según la ec. (14.37), una particula cargada positivamente (q > 0)
gana energia cinética cuando se mueve, desde puntos de mayor potencial, a pun-
tos de menor potencial (V, > %), mientras que una partícula cargada negat!
van¡ente (q < 0), para ganar energía, debe moverse desde puntos de menor
potencial, a puntos de mayor potencial (% < %).
Si escogemos el valor cero para el potencial eléctrico en P" (Vr:0) y dis-
ponemos ¡ruestro experimento de modo que en P, los iones tengan velocidad
cero (V, :0), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subíndices) en
$maz : qV, (14.3B)
expresión que da la energía cinética adquirida por una partícula cuando se mueve
a través de una dilerencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio apli-
cado en los acelerqdores eleclroslalícos.
Un acelerador tipico (ng. 1A-28) consiste en un tubo al vacio a través del cual
se aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. E,n uno de sus extremos
está una fuente de iones inyectando particulas cargadas dentro del tubo. Las
particulas i iegan al otro exttemo con una energia dada por la ec. (14.38). Estos
iones rápidos golpean un biallco ?, construido cle un material escogido según
la naturaleza rlel experimellto a ejecutar. El rcsuitado de estas colisiones es algún
tipo de reacción nuclear. La energÍa producida por el choque de los iones se trans-
fie¡e al blanco, por lo cr.rai éste debe ser constanteniente enfriado, ya que de otro
modo se fundiria o vaporizaria.
Hay varios tipos de aceieradores electrostáticos (Cockroit-Walton, Van de
Graaff, etc.). Cada uno de ellos produce la diferencia de potencial V por diferentes
métodos. En cualquier caso, la energia de los aceleradores electrostáticos está
limitada por la diferencia de potencial máxima que se les puede aplicar sin que
salten chispas entre los rnateriales usaclos. Est-a diferencia de potencial no excede
de unos pocos millones de volts.
y carga g mo-
'|
*,J i Reiacíonu enerqéticas en un campo eléctrico 4Bi
Esfera cargada
posi t ivámente 
_
Fuente de ionos. S
Colector.
Resistores para la distribución
del vol ta je
Anillos aisladores
SuminisLro de carga Entrada de gas a alta presión
Tubo acelerador al vacfo e
Partículas aceJeradas+ 
I l lanco, ?.
Fig. 14-28. Sección transversal simpli f icada de un acelerador electrostát ico de
-' 'an de Graaff. Un motor de alta velocidad transporta sobre dos poleas una conea
:.echa de url material aislador. La correa toma en su extremo inferior la carga eléc-
: ica proveniente de una fuente de voltaje y la transporta hacia arr iba. Un colector
:t i ra la carga y la coloca en la esiera rnetál ica situada en la parte superior, la que
. ' . ' iquiere un alto potencial eléctr ico. En este extremo de alto loltaje se produccn
. 'nes posit ivos que son acelerados hacia abajo por la diferencia de potencial entre
. i esfera cargada y el potencial de t ierra al otro extremo.
Corrsiderando que las part iculas lundamentales y los núcleos t ienen una carga
r' .re es igual a, o es un múit iplo de la carga fundamental e, la ec. (14.37) sugiere que
refinamos una nueva unidad de ener$a, l lamada eleclronuolt, abreviado eV,
lue se introdujo por primera vez e\ la sección 8.5. Un electronvolt es la energía
,dquir ida por una partícula de carga e al moverse a través de una diferencia
ie potencial de un volt . Así, usando el valor de e de la ec. (14.13), tenemos
eV : (1,6021 x 10-1e CX1 V) : 1,6021 x 10-10 J,
-Lle es ja equivalencia dada en la sección 8.5. Una partícula de carga ve movién-
l,rse a través de una diferencia de potencial AV gana la energia vAV eV. Múl-
.L--_
486 Inleraccíón eléclríca (14.9
tiplos convenientes del electronvolt son el kíloelectronuoll (keV) y el megaelec-
tronuolt O{*V).
Es muy rit i l expresar la masa en relioso de las partículas fundamentales en
e.sta unidad. Los resultados son:
Ee : rrrecg : 8,1867 v. 10-1¿ .i :0,5110 IIeV,
Ep : mpcz : 1,5032 x 10-10 
"I :938'26 N{eV,
En: nrncz : 1,5053 x 10-10 J :939,55 NfeV.
EJEiTIPL} 14.8. Suponiendo que el rnovimiento de un electrón en un átomo pueda
ser descri tó por las leyes de Ia mecánica nervtoniana, r l iscutir las órl¡ i tas posibles
de un electrón único alrededor de una carga nucleat Ze, El caso Z : 1 corresponde
al átomo de hir irógeno, Z : 2 a un átomo de hel io ionizado He- (es t iecir, un áiomo
de lrel io
qt:e ha perdido un electrón), Z : 3 a trn áton.io de l i t io doblemente ioni-
¿ado Li '* {es decir, un átomo de l i t io que ha perdi<io dos electrones) y asl sucesi-
.;a¡r:.ente.
Solucíón: La inleracción eléc'"r ica inversamente proporcional al cuadrado de la
ri istancia, involucrada en el nrovi¡tr icnto de un eiectrén alrededor dc un núcleo,
es dinárnicarrrente idéntica a la interacciólr gravi lacional involucrada en el movi-
mierrto de un pianeta alrededor del sol, y por 1o tanto los resultaclos obtenidos en
el capitulo 13 son apl icables direclamente si, en las expresiones corespondientes,
reenrplazamos'¡rnm'por Ze¿f4reo. Por ejemplo, las órbitas serán el ipses (o circun-
folencias) con el núcleo en rrno dc ios focos. Sin embargo, para mayor claridad,
repetirenios algunos de los pasos.
Consideren' ios dos cargas, gt y Qz, separadas a rtna t l istancia r y moviéndose con
velociCa<les D¡ v r.)¡. La energia potencial eléctrica del sistema es En : Qfl2f4re¡,
y ia energla totai es
g:\mrt l+1m,ut+] '32-.
+fi€or
En el caso de varias partículas cargadas, como €n un átomo o en una molécula,
la *rrergia t.olal es
Coír1ü sc expl icó en el ejet irplc 9.0, i . t ener¡1ía, ! 'n el caso de dos l)art iculas reieridas
:t su centro de rnasa, puedr: esrr ibirse de la forma
- \ -n:Z tmro;-+
todas lrs
part fc ulas
H:Iguzr-H.
\- _4,q1__.
#o" to. 4:ree,-¡¡
p¿tres
(14.39)
doncle ¡e es la masa reducida del sisterna de dos part iculas Iec. (9.17)] y u su velo-
cidad relal iva.
En el caso de un electrón moviéndose alrededor de un núcleo, Qt : - e ! Qz: Ze.
Además, como ia masa del núcleo es mayor que la masa del electrón, podemos
reemplazar la masa reducida clel sistema electrón-¡rúcleo por la masa del electrón me.
Solamente en ios átomos muv l igeros tales corno Ios de hidrógeno y hel io, puede
conprobarse el efecto de la masa reducir la. i lon esta aproximación tenemos para
Ia energla total del átomo,
g: lmeoz- 
-Ze2
4Í€or
i 1.9\ Relatíones energéticas en un campa eléctrico 487
Suponiendo que la órbita sea circular, la ecuacirln del movimiento del electrón es,
:t.giin Ia ec. (7"28), meu2lr : Fx, ó
fflelJz Ze2: 
4",€ol ' '
Ce donde, DleuL : Ze2f4reor, Substituyendo este valor en la expresión previa de
la energla total, se obtiene
E:- Ze,
4re o(2r) (14.40)
.Lrnde la constante eléctrica está €xpresada en el sistema MKSC de unidades. Con
i: i-e valor, 
-E se expresa en J cuando ¡ está en m y ¿ en C, Esta ecuación está de
a-uerdo con la ec. (13.6) para el caso gravitacional si reemplazamos ymm'por
Z=2t{ t t€t
La ':xpresiórt (14.40) para Ia energla del sistema electrón-núcleo, será revisada
':ás adelante para tomar en consideración los efectos relativista y magnético (ejem-
-- l¡,s 14.10 y 1ir.15)" Para el átomo de hidrógeno {Z : l), -E representa la energia
:'.¡uerida para separar el electrón del protón; o sea, la energfa de ionización del
ir;mo de hidrógeno. El valor experimental para esta energla de ionización es
-.: i7 y. 10-18 J ó 13,6 eV; con este valor encontramos qr¡e el radio de la érbita
:¡l electrón es r:0,53 x 10-10 m. El hecho de que este radio sea del mismo orden
:.. nragnitud que el estimado para las dimensiones atómicas, nos proporciona una
::ena verif icación de nuestro modelo del átomo,
En la sección 14.7 indieamos que la energfa del movirniento electrónico en un
.:lmo está cuantizada. En el caso de átomos con un solo electrón, las energlas
:,sibles de los estados estacionarios están dadas, según la mecánica cuántica, por
.¿ expresión
En: -
m&rzt
8e!ñr¡r '
: -9 xntS,
: :nde n es un nr lmero entero que puede tomar los valores 1,2,3, . . , y t r :2t th :
:.t1256 :10-3¿ J s es la constante de Planck, que se introdujo en el ejemplo ?.15
.: relación con el momentum angular del electrón en el átomo de hidrógeno. Intro-
-:ciendo valores numéricos, tenemos que
E1 --
:i estado fundamental corresponde a n : 1, ya que ésta es la mlnima energfa
:,:sible para el átomo. Comparando la expresión anterior de En con la ec. (14.40),
::nemos una €stimación del tamaño de las correspondientes órbitas electrónicas
:ermitidas, Este resultado es
r : - 
nshzeo 
: 
Rtao
rZezm. Z
donde
ao : hrcolrce'me : 5,292 x 10-rr m
se llama radio de Boñ¡. Corresponde al radio del átomo de hidrógeno en su estado
fundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electrónico no co-
rresponde a órbitas electrónicas bien deflnidas, como en el caso de los planetas.
Por consiguiente, el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes bien, sirve
sólo para dar una idea del orden de magnitud de la región en la cual es muy pro-
bable que se encuentre el electrón.
2.777 x 70-r8Z'
- 
73.5982.J - - - - f , i -ev.
n2
488 Inleracción eléctrica (14.e
EJSMPLO 74.9. Usando el principio de conservación de la energía, calcular la
distancia mínima de aproximación dc una partfcula cargana que choca de frente
contra un núcleo atónl ico.
Solución: Si la carga del núcleo es Ze y la del proyecti l es ve, que corresponden
a % y Qz de la ec. (14.39), la energia total del sistema t ici proyecti l más núcieo es
E:htu2*
Ze2
4reot '
siendo ¡,r, la masa reducida del sistenra. Si la masa del. núcleo es mucho nlayor que
la del proyecti l , o si el núcleo está aiojado en un cristal, podemos reemplazar ¡r
por la nrasa del proyectil m, resultando
6 : lmuz i \41- '4Íeor
Pero si, por ejemplo, dirigimos protones contra protones (v: Z: 1), debe¡nos
usar la masa reducida, que es p =.. lmp (recordar el ejernplo 9.3). Cuando Ia partfcula
está muy distante, toda su enerSía es cinética e igual a \mvf,. Llamamos u e su
velocidad en el punto .4. de máximo acercarniento (flg. 14-24) cuando ¡ : ft. La
conservación de la energia requiere que
lmuz*#:Lmut.
En el punto A de máxim" 
"p.o*i.,l""ión, 
la velocidad es totalmente transversal,
y por lo tanto el momentum angular es .L : mRo. Como ,L es una constante del
movimiento, podemos usar esta relación para eliminar la velocidad a en el punto A,
obteniendo
L2 ,¡Ze2
z^R't 4".rR 
: tn l ,ó '
Ecuación de segundo grado en 1/fi que permite obtener R en función de la energía
y del momentum angular de Ia partÍcula. Para una colisión de frente, L : 0 y
R: vZe2
Ar<o(|mal) '
lo cual está de acuerdo eon el resultado previarnente obtenido en el ejemplo 14.5.
Clbsérvese que para r¡na colisión de frente, D : C en el punto de máxima aproxi-
mación y toda la energfa cinética se ha transformado en potencial.
EJEMPLO 14.70. Estimar el orden de masnitud de la corrección debida a los
efectos reiat ivistas que ha.v qur: hacer a ia energia de un electrón en un átomo.
Solueióm: En el capitulo 13 y en esfc capíluio, siempre que hemos tratado el mo-
virniento regido por ia ley de proporcional idad inversa del cuaci.rado de la distancia,
como se hizo en el ejemplo 14.8, hemos usaCo la mecánica newtoniana despreciando
Ios efectos reiat ivistas. El proceci imiento es correcto para el movimiento planetario,
pero cuando se trata del movimiento de electrones en un átomo no siemprc se jus-
t i f ica. En un átomo, ios electrones se nlueven con velocidades suficientemente
grandes de modo que la corrección relat ivista puede medirse experimentalmente.
Estimemos el orden de magnitud de este efeci.o.
Usando la cc. (11.18), encontramos que Ia energla total de un electrón que se
mueve con gran velocidad en un át,omo (restatrdo su energfa en r€poso) es
E 
- ' 
cl / nt!c" + f ' + (-eV) - ¡n"¿2.
I 1. iu¡ Corrienle eléclricq .l8g
Suponiendo que el momentum p es menor que ¡ne¿, podemos desarrollar el radical
hasta términos de segundo orden, con lo que se obtiene
E:-1 ^ 1
z^. 
p ' - gr ,É" p4 + . . . + (-ev) :
I r _I 1: | --:-- o2 -1 (---e Y) ' - ' nr -Ll2m"t ¡ \ - ' / ' 8mgc2t | " '
Los dos términos encerrados dentro del corchete dan la energfa sin tomar en cuenta
el efecto relativista, el cual, para órbitas circulares, está dado por la ec. (14.40).
Por lo tanto, el último término eg la corrección relativista de la energfa total del
electrón, con aproximación hasta del primer orden, que designaremos por A.Ur. Luego
LEr:-#ro. : (ot)(,*)2m.cs
Los dos términos encerrados en el paréntesis-conesponden a la energla cinética
¡to relativista del electrón. Entonces podemos escribir (con razonable aproximación)
para el primero, usando el resultado del ejemplo 14.8,
P" : . F Zez , Z" - Zez
2m, E-bP: - 4"€r(2r) 
- 
4"."r 
: 
t "*(*) : -E'
El segunclo puede escribirse pzl2me : lmeu8, Por consiguiente
A,E,: -=l . ( -E)( |meu¡):+ 4U.Zmcca ' 4 ¿r
Luego, la corrección relativista es del orden de (u/c)! veces la energla del electrón"
En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (olc) es del orden de 10-t y por lo tanto
AE, 
- 
10-6 
-8, o cerca de 0,001 o/o d,e E, una cantidad que puede ser lácilmente
medida en el laboratorio con técnicas experimentales abora en uso,
74.70 Comiente eléctrica
El ejemplo del acelerador electrostático con particulas cargadas aceleradas según
Ia dirección del eje del tubo, dado en la sección 14.9, sugiere que introduzcamos
ahora el concepto muy importante de corríente eléctríca. Una corriente eléctrica
consiste en un chorro de particulas cargadas o iones. Esta definición es aplicable a
los iones en un aeelerador de cualquier clase, a los de una solución electrolitica,
a los de un gas ionizado o plasma, o a los electrones en un conductor metáüco.
A fin de que se produzca una corriente eléctrica, debe aplicarse un campo eléc-
trico para mover las particulas cargadas en una dirección determinada.
La intensidad de una corriente eléctrica se deline como la carga eléctrica que
pasa por unidad de tiempo a través de una sección de la región donde ésta fluye,
como, por ejemplo, la sección del tubo de un acelerador o de un alambre metálico.
En ccasecuencia, si en el tiempo l, pasan N particulas, cada una con carga q,
a través de una sección del medio conductor, la carga total Q que ha pasado
es Q : Ng, y Ia intensidad de Ia corriente es
I :Nql t :Ql t . (14.41)
490 Interacción eléctrica
En realidad, Ia expresión anterior da la corriente rnedia en ei tiempo l; la corriente
instantánea es
I : dQldt. (r4.42)
La corriente eléctrica se expresa en coulomb¡segund.o o s-r C, unidad llamada
ampere {abreviado A) en honor del fÍsicc¡ francds André M. Ampére (i775-1836).
Lin ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que corresponde al paso
de un coulomb a través de una secciÓn del nraterial en un segundo.
La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimiento
de las partÍculas cargadas positivamente. Es la misma dirección del campo eléc-
trico aplicado o de la diferencia de potencial que produce el movimiento de las
particulas cargadas (fig. 14-29a). De ahi que, si una corriente se debe al movi-
(14.10
I I
-\-L
I
____q_
(a) Cargas positivas (b) Cargas negativas (c) Cargas positivas
y negativas
Ftg. 14.29. Corriente eléctrica .I resultante del movimiento de iones positivos y
negativos producido por un campo eléctrico.
miento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentido
de la corriente es opuesto al del movimiento real de los misrnos (fig. 1a-29b).
Mantener una corriente eléctrica requiere energia porque los iones son acele-
rados por el campo eléctrico, Supongamos que en el t iempo I haya N iones, cada
uno con carga q, moviéndose a través de una düerencia de potencial V. Cada
ion adquiere la energía qV, y la energía total adt¡uirida es Ng V : QV. La ener$a
por unidad de tiempo, o la potencia'requerida para mantener la corriente. es
entonces
P:QVlt :VI . (14.43)
Esta expresión da, por ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar el
acelerador estudiado en la sección antdior. También da Ia rapidez con que se
transfiere energia al blanco del acelerador, y por lo tanto la rapidez con la cual
el sistema de enfriamiento del blanco debe sacar energÍa. Vemos asi, que la ex-
presión (1.1.43) tiene validez general y da la potencia necesaria para mantener
una corriente eléctrica f a través Ce una diferencia de potencial V aplicada a
dos puntos de cuaiquier medio conductor. Nótese que, según la ec. (14.43),
: ri. ,t i)
1'oll x á¡npere :- -j"llt - 
"
' i otr lomb
:e mcdc que las unid.acles son compatiblcs.
0a cos 0
V:- O
4re¡2
ltipolo e!éclríco il91
ioule
segundo
(14.45)
coulomL)
-r"g-r,1"
Flgura 14-80
71.77 Di.gtolo eléctrico
. aa disposición interesante de cargas es el dipolo eléctrico. Este consiste en dos
:irgas opuestas, { qy - g, separadas por una distancia muy pequeña (fig. 1a-30).
El momento dipolar eléctrico p* se define por
P :8ú' (r4.441
:--'nde o es el vector desplazamiento orientado de la carganegativa a a positiva.
:i potencial eléctrico en el punto P debido al dipolo eléctrico es, usando la
. : . (14.33),
v: 
1 (q 
- 
{ } : 1 q(rz-r) .
4neo \ r, rz I 4neo rtrz
:, la distancia c es muy pequeña comparada con r, podemos poner
lz- lr : l ! COS 0 y t lrr : ¡2,
::si ltando
rr pcos0
Y:-- .
4tte¡2
' 
- 
: sérvese que el slmbolo convencional de momentum es el mismo gue el de momento dipolar
..L-.
,1
492 Inleraccíón eléctríca (14"11
Podemos explesar' la ec. (14.45) en coordenadas rcctanguiares y usar la ec. (14.29)
para obtener la intensidad del campo eléctr.ico (recordar el ejemplo 13.7). De-
jamos esto como ejercicio al estudiante. L,n su lugar determinaremos las compo-
nentes de {' en coordenadas polare.s, usando la ec. (14.28), Para obtener la com-
ponente radial C", observemos que ds : dr, entonces
^ AV 2pcoso
^-:_ 
_:
0r 4".1
^ 1 AV psen0
r 00 Arerf
(14.46)
Para la componente transversal fe, usamos ds : r d0, con lo cual se obtiene
Ftgurr 14-81
(t4.47)
Estas dos componentes se i lustran en la
figura 14-31. Las lineas de fuerzas están in-
dicadas en la fig. 1,1-32. Aunque en un di-
polo eléctrico, por ser las dos cargas iguales
y opuestas, la carga neta es cero, el ligero
desplazamiento que hay entre ellas es sufi-
ciente para producir un campo eléctrico di-
ferente de cero.
En general, si tenemos varias cargas q'
a 42, Qs, . , . en los puntos P¡, P2, Pa, . . . , e l
momento dipolar eléctrico de la distribu-
, 
ción de cargas es
p : Q{t * qzr, * qcra+ ... - ) ertt.
[Esta definición coincide con la ec. (74.44), porque, siendo dos cargas iguales
y opuestas, el momento es l0 : Qrt- grz: Q(\- r) : ga.] Tomando el eje Z
en la dirección de p, la expresión anterior para el momento dipolar eléctrico de
varias cargas es, en módulo
(14.48)
siendo ¡ la distancia de cada carga al origen, 0¡ el ángulo que ri forma con el
eje Z y 2¡ : ri cos 0i.
En los átomos, el centro de masa de los electrones coincide eon el núcleo, y
por consiguiente, el promedio del momento dipolar eléctrico del átomo es cero
(fig. 1a-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electrónico se
perturba, lo que ocasiona que el centro de rnasa de los electrones se desplace
una distancia r, con respecto al núcleo (fig. 1a-33b). Se dice que el átomo se ha
polarizado convirtiéndose en un dipolo eléctrico de momentt¡ p. Este momento
es proporcionai al campo eléctrico externo f.
i4. t t , f-¡ípolo e.l.éctrirc 4!i3
Fig. 14-82. Llneas de fuerza del campo eléctrico de un dipolo eléctrico.
(lt) Campo externo nulo (b) Campo oxterno
Fig. l4-33. Polarización de un átomo bajo la acción de un campo eléctrico externo.
Por otra parte, algunas moléculas pueden tener un momento dipolar eléctrico
permanente. Tales moléculas se l laman polares. Por ejemplo, .en la molécula
de HCI lf ig. 14-34), el electrón del átomo de H tarda más tiempo en su movi-
miento alrededor del átomo de CI, que alrededor del átomo de
H. En conse-
cuencia, el centro de las cargas negativas no coincide con el de las cargas positivas,
Electrones::';tll
I r;iiii'li!,;i
494 Inleraccíén eléclríca (14.11
+
Fis. 14-84. Moléculas diatómicas polares.
y la molécula presenta un momento tlipolar dirigido del átomo de Cl al átomo
de ft. O sea que podemos escribir H"CI-. El momento dipolar eléctrico de la
molécula de HCi €s p :3.43 x 10-30 C m. En Ia moiécula de CO, la distribución
de cargas es iigeramente asirnétrica y el momento dipolar eléctrico es relativa-
mente pequeño, aproximadamente igual a 0.4 x 10-m C m, estando el átomo de
carbono en el extrcmo positivo de la molécula y el de oúgeno en el negativo.
H
*r
FlS. 14-Nó. Dipolo eléctrico de la mo-
lécula H¿O.
-Prt- t ¿-
P-0
FtS. 14-86. La molécula de COe no
tiene dipolo eléctrico.
En una molécula tal como HrO, donde los enlaces H-O forman un ángulo
un poco mayor de 90o (fig. ltf-35), los electrones tratan de concentrarse alrededor
clel átomo de oxigeno, por lo cual éste parece ligeramente negativo respecto a
los átomos de H, Cada enlace H-O contribuye de este modo al momento dipolar
eléctrico resultante, el cual, debido a la simetría, yace según el eje de la molécula
y tiene un valor igual a 6,2 x 10-s C m. Pero en ia molécula de CO' todos los
átomos están en linea recta{fig. 14-36), y el momento dipolar eléctrico resultante
es igual a cero por sirnetria. For lo tanto los momentos dipolares eléctricos sumi-
nistran información útil acerca de ia estructura de las moléculas. En la tabla 14-1
se dan valores de p para varias moléculas polares.
Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, se produce una
fuerza sobre cada carga del dipolo (fig. 14-37). La resultante de estas fuerzas es
F:g{ 
-q( ' ' :g(( ' - { ' ' ) .
Consideremos el caso especial en que el campo eléctrico está dirigido .según el
eje X y ei dipolo está orientado paralelamente al campo. Entonces, considerando
sólo los módulos, ( - ( ' : (d{ lCr)q" y por Io tanto F : p(d( ldr). Este resultado
prueba que un dipolo eléctrico paralelo al campl e.Iéclríco liende q rnoaerse en la
14.t lJ
! 'AIILA 14-1 Momentos dlpolare¡ elócir icos
de nisun¿s moléeules Beieccion¡adBs*
Molécula
Dipolo eléctrícs 495
Ftg. l4-8?. Dipolo eléctrico en un
campo eléctrico externo.
HCI
HBr
Hi
CO
HrO
H,S
SO,
NHg
c:H5oH
3,43 x 10-30
2,60 x 10-30
1,26 x 10-¡o
0,40 x 10-ao
6,2 x 10-30
5'3 x 10-30
5,3 x 10-30
5,0 x 10-30
3,66 x 10-so
I
I
- l II
i
* Entre las moléculas con momento dipolar
eléctr ico igual a cero están: COz, H2, CH4
(metano), C,"H. (etano) y CCl. (tetracloruro
de carbono).
direccíón en que eI campo cf¿ce. Se obtiene un resultado contrario si el dipolo se
orienta antiparalelamente al campo. El estudiante observará que si el campo
eléctrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es cero.
La energía potencial del dipolo es
Ep: qV - qV' : q(V - V') : - qa(- 
=I) ,
y usando la ec. (14.31), encontramos que si 0 es el ángulo entre el dipolo y el campo
eléctrico, el último factor es la componente Co : {'cos 0 del campo f paralelo
a o. Por lo cual Ep : - qa(a ó
Ep : - pC cos 0 : -p.{ ' . (r4.4e)
La energia potencial tiene un valor mínimo cuando 0 : 0, lo que indica que
el dipolo está en equilibrio cuando se orienta paralelamente aI campo. Si despre-
r:iamos la pequeña diferencia entre f y f ' las fuerzas q('y - qC' sobre las cargas
que componen el dipolo forman un par cuyo torque, de acuerdo con la ec. (4.13), es
t : e, * (Có) : (qtl) x (' : p x f. (14.50)
De la expresión anterior, así como de la fig. 14-37, deducimos que el lorque del
campo elécirico líende a alínear eI dípolo paralelamente aI campo. El módulo del
torque es r : pC sen 0 y su dirección están indicados en la fig. t437. Si usamos
la ec (8.26), tz : 
- 
AEplA0, podemos usar la ec. (14.49) para obtener t, : - p(
sen 0. La diferencia de signo para ? se debe al hecho que t da el módulo del
torque, mientras que rz da la componente del torque según la dirección Z, per-
pertdicular al plano en el cual se mide el ángulo 0, y orientada en el sentido en
que avanza un tornil lo de rosca derecha, que rota en el sentido en que 0 crece.
I t Í . i 1; Dipolo eléctricu 497
, : joh¡¿:¡ l1¡r: : En el ejernpin 14.11 ¡btuvirn¡;s ei carnpo eléctr ico prodrrcir lo por'ün dipolo
a la dista¡rcia ¡. r , la;n: incio ¡r, su rnom€nto dipoiar elóctr ico, podemos escribir
, 3u,(ur. pr)-- pr( ' : 
- - - l ; t ' " - - '
Designando por ?¡ el momento del segurrdo dipoio, y usando la ec. (14.49) encon-
trarhos que la energla de interacción entre los dos dipolos es
Ep,tz : 
- 
p". (1 - 
- 
3(u" pt) (u¡' p') - pt'p"
4ne¿3
(14.51)
\n,
,,\
Ir2
_]+
I
¡ l
ur l t ,
r l
I
Pl
, 
P',
f ".1
Pt I r2+---+
ur+
-*r
(d)(rr) (lt (c)
, PtPz
- 
4t€"t" '
Importantes conclusiones pueden derivarse de este resultado. Una de el las es que
la energfa de interacción Ep,n es simétrica en los dos dipolos porque si intercam-
biamos Ft ! pz todo permanece igual. Este resultado era de esperarse. Otra es que
la interacción entre los dos dipolos no es ¿¿nfral porque depende de los ángulos
que el vector de posición r o el versor u' forma con pr y Z¡. Como consecuencia, en
el movimiento debido a la interacción dipolo-dipolo, el rnomentum angular orbital
de los dipolos no se conserva. Otra consecuencia es que la fuerza entre los dos dr-
polos no yace según la l inea que los une (excepto para ciertas posiciones especf-
f ieas). Una conclusión adicional es que, como la energfa potencial entre dos dipolos
eléctricos varla con la distancia de acuerdo a ¡-3, Ia fuerza, que es el gradiente de
ia energla potencial, disminuye según r-{, y por lo tanto la interacción entre dos
dipolos eléctr icos disminuye con la distancia más rápidamente que la interacción
entre las cargas.
tht
FtS, 14-89. Interacción entre dos dipolos eléctricos.
La geometrla correspondiente a la ec. (14.51) se i lustra en la f ig. 14-39, donde (a)
corresponde al caso general. En (b) los dos dipolos están alineados según la recta
que los une. De este modo p¡.p2: ptpzru, .pt : pr y u¡.pz: pr , luego
Ep,tz : __ 2prp, 
-4ne¡t '
resultando una atracción entre los dipolos ya que el signo es negativo. En (c) tene-
mOS pr ' l tz : PtPz, pero ür 'pr :0 y ur 'pz:0, de mOdO qUe
Ep,p:
Como este valor es positivo, indica una repulsión entre los dos dipolos. Finalrnente,
en (d) tenemos pr.pz : - ptpz y entonces
L-.
(14.11
A i{)
G-\:j V.'o
v r:\ C-/
/--¡ \Ji l-...unñ-
Y \li
FlS. 14-88. Efectos de polarización de un ion en solución.
Ii l signo negativo de r, confirn)a c..ií. r i torque tientle a disminuir el ángulo 0.
Eslas propiedades de urr cii¡: ir io eülo,.,ario cil un carnpo eléctrico tienen impor-
tanies nplicaciones, Por ejr:n.:i l lr), .-rr. i i l l , .¡ ::,tr;:c¡onrt¡nos e¡¡ la discusión de la i ig. 14.i9
ru*rr{ú hablarros acerca r i¿ i¿ r ; , ' .1t¡r ; l i ,q i : . . n! c. l inpo eléc. tnco dr un io¡r en solu-
ción, polar i :a las uro!éculas dei ' ¡ ¡ | r ' ¡ r ¡ : i ' ( lu i r r { id( ja al io l r" y entonces se c,r ientan
r.l: la l,rrma rntl icaqla en la fig. i4-3i-]. i ,: ' iar nioleiculag orientadas se i igan más o
rrieno$ ¡l icn. aurtrenta.ndc sr¡ i l lasa ri i l1¡i j1'; i ;* t i ismirtuyr:ndo su carga efectiva,
la cual queda parciaimente sin influeneia externa, por Ia pantaila que formau
lrrs moléculas. F.l efecto netc es que ia movii idad del ion en el campo externo
disminuye. ' lambién, cuando un gas o un l iquido cuyas rnoléculas forman dipolos
prrmanentes, se coloca en un iugar donde exista un campo eléctrico, las molécu-
las, colno resultado de los rnonrentos debidos al campo eléctrico, t ienden a ali-
nearse con sus dipolos paralelos al campo. En este caso decimos que Ia sustancia
ha sit lo polartzada
(ver la sección 16,5).
EJEMPLO 74.77. Expresar el campo eléctrico de nn dipolo en forma vectorial.
Solueión: En la fig, 14-31 observamos que
(' : t+{, -y u6(o: -;l 
" 
(r,2p cos 0 | uop sen g).
4:i€or"
De la misma figura obtenemos
p : p(ur cos 0 - uo sen 0).
Usando esta relación para eliminar p sen 0 en la expresión de C obtenemos
f 
- 
--l 
- 
(3u,p cos {) -- rr).
4neor3
Además, p cr,rs 0 : w.p. Por consiguiente
,' 3ur\u,'P) * P( : 
- 
4lt€or3 
-- t
que d:r el rampo del dipolo eléctr ico en fcrnr; i . , 'ectorial.
496 Inleracción eléclrica
Í : .JEl l IFL{t t / r -12, Obtener la energía dc ! : : , -
l .sar t l iesir l tat lo obtenic lo para est i r la i ' la 
" ; , , :la: r ie ogui : . Discut i r adr:rnás los efectos de o '
, i r ' i , ! 
' i1 ir i l t re r ios dip.olos elóct.r iccs.
,, i : ' . r intrra.a¡5¡ gnt-re i lcs tnolécu-
r', l i ;-arui ir rela iiva.
498 Inleracción eléctrica (1 4-12
que signi f lca que ha¡ 'atracción de los r l ipolos. Estos resi l l tados están evidenlernente
de acuerdo con ia imagen f fs ica del problema.
. 
La interaccién entre d.rs dipoios eiéclr icos es de gran i rn¡rortancia porque las
fuerzas mt¡leculares se r leben, cu gran parte, a este t ipo i le interacció¡r. Considere-
mos dos moléculas de agua en la ¡rosicit in rt : lat iva de la i ig. 14-39b a distancia normal
en !a l¿rse l fquida de 3.1 x 10-10 nl . Su rr totnento di¡rolnr elóctr ico es 6.1 x l0-30 C m,
Por lo tanto, la energía potencial de interacción es
Ep,tz: I x-J{ a-2-)- ( l i '1- ' 1{)-3oie(3,1 r 10-ro)s- 
t - 
" 2 '22 x 10"20 J '
Este result-ado es diez veces nravor que la energfa de interacción mencio¡ada en
la sección 13.9, que se estimó usando el valor del calor de vaporización. El estu-
diante comprenderá, sin ernbargo, que el presente resultado corresponde a la energia
de interaccióo instantánec entre dos moléculas de agua en la posición relat iva de
la f ig. 14-39b. Pero conto las moléculas de agua están en continuo movimiento,
su or ientación relat iva cambia cont inuamente. Por consiguiente, para obtener Ia
energia 8p,., debemos promediar los valores dados por la ec. (14.51) en tot las las
orientaciones relat ivas posibles. Asl obtenemos resultados más concordantes.
Sugerimos que el estudiante compare el resultado anterÍor para la energla de
interacción elóctr ica E¡,12, entre dos moléculas de agua, con la correspondiente
interacción gravitacional para la misma posición relat iva.
74.72 Multipolos eléctrieos de orden super¿or
Es posible definir momentos multipolares eléctricos de orden superior al segundo.
Por ejemplo, una distribuiión de cargas como la indicada en la fig. 14-40 cons-
tituye vn cuadrupolo eléctríco. Obsérvese que su carga total es cero y que su
momento dipolar eléctrico es también cero, en virtud de la ec. (14.48). No es
fácil dar aquí una de{inición general del momenlo cuodrupolar eléctrico, de un
modo elementai. Sin embargo, podemos decir, que el momento cuadrupolar
eléctrico de una distribución de cargas respecto a un eje de simetría, tal como
el eje Z, se define por
Q:tZq,r?(3cos2o¡-1), (14.52)
Fig. 14-.10. Cuadrupolo eléctrico. Ficurs 14--11
' ,1, i2\ ,
I
I
(u)
t i9.74-42. Cuadrupolo
It i ulti pob:; *ri..'.,' l::í"..: 4: o rtl en sup¿rior 499
I
(b) (c)
eléctr ico de distr ibuciones el ipsoidales de carga.
donde ri es la distancia desde la carga i al centro, y 0¡ es el ángulo Que ?¡ fcrma
con el eje (fig. 14-41), Observamos Qü€ z¡ : r¡ cos 0¡. Entonces podemos €scribir
ia ec. (14.52) como
a:tZq,Q'?-r f ) . (14.53)
El ¡nomento cuadrqpolar eléctrico es cero para una distribución esférica de car-
gas, positivo para una distribución de cargas alargada, y negativb para una dis-
tribución de cargas achatada (ttg. 1+44. Por consiguiente el momento cuadru-
poiar eléctrico da el grado en que una distribución de cargas se aparta de la forma
esférica. Por ejemplc, en la sección 14.7 sugerimos que los núcleos atómicos eran
csféricos. Sin embargo, nrediciones cuidadosas indican que ciertos núcleos tienen
momentos cuadrupolares relativamentc grandes, lo que se ha interpretado como
indicación de que tales ¡rúcleos están muy deformados y en consecuencia el campo
elcctrico que ellos producen difiere del de una carga puntual. Esto a su vez afecta
a la energía del movimiento electrónico.
I)ebemos observar que el potencial de una carga puntual disminuye como ¡-1
-v 
el campo como r-2. Análogamente hemos visto (sección 14.11) que para un
ciiprolo eidctrico el potencial disminuyc como r-2 y el campo como ¡-3. De un
inodo similar puede probarse que el potencial de un cuadrupolo eléctrico varÍa
ct)rno r-3 y el campo como r-4. Resultados similares se obtienen para multipolos
cie orden superior. Concluimos entonces que cuanto más alto sea el orden de
multipolo, menor es el alcance dentro clel cual el campo eléctrico tiene efectos
observables.
i:,II)MPLO 71.73. Calcuiar el potencial eléctrico para la distribución de cargas de
ia f ig. (14.13), l lamada cuadrupolo eléctr ico l ineal .
Solución: La carga total del sistema es cero. También el momento dipolar eléctrico
€s cero porque, usando la ec. (14.48), tenemos p : + A(+ a¡ - 2q(0) * q(-c) : 0.
-Sin ernbargo. el campo eléctrico no es idénticarncnte nulo. El potencial eléctrico
' : 
j r e i pU,r t tO 1) , jS
v- 1 ( ! -
4neo \ r,
- l 
; ) 
(14 54)-+ ' ; i ) - i ;É- i
500 Interacción e!éclrica Q4.12
De Ia figura deducimos que
r. : (rr -Zar cos 0 1 ar¡rr.
Suponiendo que d es muy pequeño comparado con r, podemos escribir
/ . 2acos0 , d2\r /2r , : r l - - - !
' \ r rz l
{14.55)
Usandc el clesarrol lo del binomio dado por la ":c. (rI . 22i irasta el tercer térrnino
{.:on n : - } , cbtenen-ros (1 - l x)*r¡t : | -- }r - i 8¡t * , . . En el presente caso,
tene¡¡los r : -* 2o cos 6ir .,* a2l¡e. Lr:ego
-1- : r ir - | (- ?s:-c + +\ + _3- l- ?lsolo *r t r i 2 \ r rz l 8 \ r
Tt ¿'
Desanollando el corchete y dejando sólo los tér-
minos hasta el orden ¡3 en 
€l denominador, ob-
tenem0s
1 : 1 * acqso +-gt (3cos¡o_- l )+. . .
tr I tz 2rt
(14.56)
X Análogamente, r": (r, + zar cos 0 + a¡)r/2; por
consiguiente
-1 : 1 
- 
ocoso 
++:(3cosro-r) + . . .
rz r lz 2r3
(14.57)
(14.58)
+g
e
a
+q
rz l
Flgure i4-48
Sustituyendo los resultados (1a.56) ¡ '(14.57) en la ec. (14.s4) y slmplif icanclo, obte-
n€rnos para el potencial
v : ls-1Q_coso 9_ !)_
4re.r3
Aplicando la ec. (14.52), cncolitrarnos quc el momento cuadrupolar eléctrlco de
la distribución de carga es
q : !{q(3a'z - a2\ - 2q(0) + St3(- a)á - ael} : 2qa2.
Por to tanto
r r Q(3 cos'10 - 1)
2(4xeo)r3
que da erl potencial eléetr ico de un cuadruplo r léctr ico l inea]. Podemos ubtener el
carnpo elóctr ico apl icando la ec. (14.28), como lr icimos para el dipolo eléctr ico.
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Bíblíografta a01
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17. Foundations ol Modern p/rgsical science, G. Holton y l) H. l) n()i ler. Addison_Wesley, Reading Mass., 19bg, caps. 26,27,2g y 3i
502 Interaccíón eléctrica
Problemos
14.1 Encontrar la fuerza eléct¡ ' i<' .a ¡, le
repulsión entre r los protones pI1 r in¿1" i t lo-
lécula de hidrógeno, siehdo la sepat'acl i in
entre el los de 0,74 x 10-10 Rt. Compa-
raria con la fuerza de atracción gravi-
tacional correspondietr te.
14.2 E¡lcontrar la fuerza de atracción
eléctr ica entre el protón y el electrón
de un átomo de hidrógeno, suponiendo
que el clectrón describa úna órbita circu-
lar de 0,53 x 10-10 m de radio. Compa-
rarla con su atracción gravitacional.
14.3 Comparar la repuls ión electrostá-
t ica cntre t los eler:troncs, con ::u atrac-
ci/rn gravitacional a la misnra distancia.
l lepet i r para dos Drotones.
14"1 Dos esfr.ras idéuticas de ccrchri rJe
rnasa m v carga q (f i9. M.aa), están sus-
pendiclas del rnismo punto por n¡edio t le
¡ los cuerdas de longitud l . Encontrar eI
ángulo 0 que las cuerdas forman con la
vert ical, una vez iogrado eI equi i ibr io.
Figura 14-il4 u !
14,5 Repetir el problema 14.4, supo-
niendo que las cuerdas están unidas a
puntos situados a la distancia d (ng.
14-45). ¿Cómo se podrfa usar esta dispo-
sición para verificar expcrimentailnente
la ley de la proporcionalidad inversa del
cuadrado de la distancia, variando la rl is-
tancia d y observando el ángulo 0?
74.i Ettrei i ¡ ,s piacas de deflección cle
un csci iostapio dc ravos catódicos, exist-e
un car::¡po eléctr ico de 30.000 N C-l,
¿Qué fuerzu se ejerce sobre un electrón
colocado en esta región? (b) ¿Qué ace-
lersció¡r adquiere el electrón debido a
esta fuerza? Compararla con la acelera-
ción de la gravedad.
14.8 Una carga de 2,5 x 10{ C se co-
loca en un campo eléctr ico uniformc de
intensidad 5,0 x 10{ N C-r di¡ igido ha-
cia arr iba. ¿Cuál es el trabajo que la
fuerza eléctr ica eiectúa. sobre la carga
cuando ésta se mueve (a) 45 cm hacia
la t i ' : recha ? (b) 80 c¡n hacia abajo ?
(c) 260 cm a un ángulo de 45' por en-
cima de la hor izontal?
14.{ i Entre dos placas planas y para-
lelas cargadas con cargas iguales y de
signos opuestos existe un campo eléc-
tr ico uniforme. Se l ibera un electrón de
la superficie de la placa nega¿iva y
choca en la superf lcie de )a placa opuesta,
distante 2,0 cnr de la primera, en un
intervalo de 1,5 x 10-€ segundos. (a)
Calcular el campo eléctrico; (b) calcular
la velocidad del electrón al chocar con
la placa.
2 crn
. . 
- l a+ 9---- . i -
- t
-¿F- * l - - - l2cm-
'+cn] '
Figura 14-46
s
N
---N
N\
.-_N\
Flgure 14-4ó
74.6 ¿Cuál debe ser la carga dc una
partÍcula de masa 2 g para que perma-
nezca er l reposo en el la l ¡orator io al
colocarse donde el campo cléctr ico está
dir ig ido hrcia abajo y cs de intensidao
igual a 500NC-r?
14.10 En la f igura 14-46 Se lanza un
electrón con una velocidad inicial de
2 x 107 m s-r en la dirección de un eje
equidistante de las placas de un tubo de
rayos catódicos. El campo eléctr ico uni-
forme entre las placas, t iene una inten-
sidad de 20.000 N C-r y está dir igido
hacia arr iba. (a) ¿Qué distancia perpen-
dicuiar al cje ha recorrido el electrén
cuando pasa por el extremo de las pla-
cas? (b) ¿.Qué ángulo con el e je forma
su velt¡cidad cuando abandona las placas ?
(O ¿A qué distancia por debajo del e je
choca con la r¡antal la f luo¡escente S?
11.11 Se lanza un elcctrón en un campo
eléctr ico uniforme de intensidad 5000 N
C-r dir igido vert icalmente hacia abajo'
La velocidad inicial del electrón es de
107 m s-l y forma un ángulo de 30" por
encima de la horizontal. (a) Calcular el
t iernpo requerido para que el electfón
alcance su altura máxima' (b) Calcuiar
la elevación máxima que alcanza a par-
t ir de su posición inicial. (c) ¿Qué dis-
tancia horizontal recorre el electrón para
alcanzar su nivel inicia)? (d) Dibujar la
trayectoria del electrón'
14.12 Una gota de aceite de masa
3,0 x 10-r¿ kg y de radio 2,0 x 10-e m
transporta 10 electrones en exceso.
¿Cuál es su velocidad f inal (a) cuando
cae en una región donde no hay campo
eléctr ico? (b) cuando cae en un campo
eléctr ico de intensidad 3,0 x 105 N C-r
dir igido hacia abajo? La viscosidad del
aire es 1,8 x 10-6 N s m-2. DesPreciar
el empuje del aire.
74.13 En un aParato de Millikan se
observa que una gota de aceite cargada
cae a través de una distancia de 1 mm
en 27,4 seg, en ausencia de un camPo
eléctrico externo. La misma gota per-
manece estacionaria en un camPo de
2,37 x 104 N C-r. ¿Cuántos electrones en
exceso ha adquir ido la gota? La viscosi-
dad del aire es de 1,80 x 10-5 N s m-'.
La densidad del aceite es 800 kg m-a t
Ia densidad del aire es 1,30 kg m-r '
14.14 Una gota de aceite cargada cae
en el aire 4,00 mm en 16,0 seg a velocidad
constante, en ausencia de un campo eléc-
tr ico. La densidad del aceite es 800 kg
--a, 
la del aire es 1,30 kg r¡-a y el coe-
f iciente de viscosidad del aire 1,80 x 10-5
N s m-3. (a) Calcular el radio y la masa
de la gota. (b) Si la gota l leva una unidad
fundamental de carga y está en un campo
eiéctr ico de 2,00 x 105 N C-r, ¿cuál es el
cociente entre la fuerza eléctrica sobre la
gota y su peso?
14.15 Cuando la gota de aceite del pro-
blema 14.14 se encuentra en un campo
eléctr ico constante de 2,00 x 105 N C-1,
se observaron varios t iempos diferentes
en que la gota asciende la distancia de
4.00 ntm. Los t icmpos medidos fueron
l0, t i5 ; 25,46; 18,53 ; 12'00 Y 7,85 seg'
Calcular (a) la velocidad de caída l ibre,
1tr) la velocidarl de ascensión en cada
L-
Problemas 503
caso, y (c) la surna de la velocidad en la
parte (a) y cada una de las velocidades
en la parte (b). (d) Verif icar que Ias su-
mas en la parte (c) son múlt iplos enteros
de algún número, e interpretar este re-
sultadc. (e) Calcular el valor de la carga
fundamental a partir de estos datos.
14.16 Se t ienen dos cargas puntuales,
5t"C y 
- 
10¡¡C, distantes 1 m. (a) En-
contrar el módulo y la dirección del
campo eléctr ico en un punto situado a
0,6 m de la primera carga y a 0,8 m de
la segunda. (b) Hallar el punto donde
el campo eléctr ico de estas dos cargas
es cero.
74.17 En un aparato para medir la
carga eléctr ica e por el método de
Mil l ikan se requiere un campo eléctr ico
de intensidad 6,34 x 10a V m-r para
mantener en reposo una gota de aceite
cargada. Si la distancia entre placas es
1,50 cm, ¿cuál es la diferencia de po-
tencial entre el las?
14.18 Tres cargas posit ivas de 2 x 10-?
C, 1 x 10-7 C y 3 x 10-? C están en l i -
nea recta, con la segunda carga en el
centro, de modo que la separación entre
dos cargas adyacentes es 0,1 m. Calcu-
lar (a) la fuerza resultante sobre cada
carga debida a ¡as otras, (b) la energfa
potencial de cada carga debida a las
otras, (c) la energía potencial interna
del sistema. Comparar (c) con la suma
de los resultados obtenidos
en (b) y
explicar,
14.19 Resolver el problema precedente
en el caso de que la segunda carga sea
negativa.
74.20 En una f isión de un núcleo de
uranio, los dos fragmentos son eóY y
141I, con masas prácticamente iguales a
95 uma y 141 uma, respectivamente.
Sus radios pueden calcularse por medio
de la expresión R : 1,2 x 10-rs Ar/3 m,
donde A es el número másico. Supo-
niendo que los fragmentos están inicial-
mente en reposo y tangentes uno al otro,
encontrar (a) la fuerza y la energfa po-
tencial iniciales, (b) su velocidad rela-
t iva f inal, (c) la velocidad f inal de cada
fragmento con 'respecto al centro de
nlasa.
t4.2t Cuando un núcleo de uranio se
desintegra enrit iendo una partícula alfa
(o sea un núcleo de hel io, Z :2) , e\
504 Interacción eléclrica
núcleo resultante es el tario i f f ;0).
Suponiendo qrre la part !cula a¡f a cst á
inicialntente en reposo, a un:i r ' i is lr i l ¡cia
de 8.5 .y 10-i5 l¡ ' r del centr¡¡ dr: i ¡ luclct;
r le uranio, calcular (a) ia aceleraci, lrr
inicial y la energía de la ¡rart lcuir i ,
( i ]) la i lnergla y ia velocidad de ia ¡rar '
t icuia cnando se encuenlra a gran dir '
tancia del núcleo.
11.22 En los vért ices de un cuadradc
de Iedo 2 x 104 m se colocan cuatro
protones. Otro protón está inicialmente
sobre la perpendicular al cuadrado por
su centro. a una i l istancia de 2 x 10{ m
del mismo, Ca.lcular (a) la velocidad ini-
cial mfnima que este últ imo protÓn ne-
cesita para l legar al centro del cuadrado.
(b) sr¡s aceleraciones inicial y final.
(c) I lacer un gráf ico t le la energla po-
tencial del protón en función de su
tl istancia al centro del cuadradc. I)es-
cribir su movimiento en el caso de que
la energla inicial sea menor o mayor que
la encontrada en (a).
14.23 El potencial a una cierta distan-
cia de una carga puntual es 600 V Y el
campo eléctrico es 200 N C-1. ¿Cuál es
ta distancia a la carga puntual? (b) ¿Cuál
es la magnilud de la carga?
14.24 La máxima carga que puede re-
tener uno de los terminales esféricos de
un generador de Van de Graaff es cerca
de 10-3 C. Supóngase una carga posit iva
de esta magnir.ud, distr ibuida uniforme-
rnente sobre la superf lcie de una esfera
situada en el vacfo. (a) Calcular el mó-
dulb de la intensidad del campo eléctr ico
en un punto fuera de la esfera, a 5 m de
su centro. (b) Si se l iberara un electrón
en este punto, ¿cuál seria el módulo 1' Ia
dirección de su aceleración inicial? ¿cuál
serfa su velocidad aI l legar a la esfera?
14.25 Una pequeña esfera de 0,2 g
cuelga por medio de una cuerda entre dos
placas paralelas separadas 5 cm. La carga
sobre la esfera es de 6 x 10{ C. ¿Cuál
es la diferencia de potencial entre las
placas si el hilo lorma un ángulo de 10"
con la vertical?
74.26 Dos cargas puntuales de 2 x 10-?
C y 3 x 10-? O están separadas por una
distancia de 0,1 m. Calcular el campo y
el potencial eléctrico resultantes (a) en
el punto medio de la distancia entre
el las, (b) en un punto situado a 0,04 m
de l: i ¡ ;r ' i i : t |ut, si- ,bre la recta que pasa
por el iat: . I-¡{ lrú f t lela del segmento que
ias unc, í- :1) elr rrn purrto sit t¡adtr a
{i ,1 m de cada carga. (e) ¿En gué punto
el campo eiectr ic:o es cero?
1,1.2i Resr¡ir , 'er ei Droblema anterior
¡rara el caso en que Ia segunda carga sea
negativa.
1i4.28 P.etir iéndonos de nuevo al pro-
blema 14.26, calcular el l rabajo regue-
rido para mover una carga de 4 x 10--? C
desrle el punto indicado en (c) al punto
indicado en (d). ¿Es necesar io especi-
f icar la trayectoria?
71.29 Dos cargas positivas puntuales,
,rada una de magnitud q, están fljas sobre
el eje I ' en Ios puntos g : * a, U:-a.(a) 1'razar un diagrama mostrando las
pcsiciones de las cargas. (b) ¿Cuál es el
potencia! en el origen? (c) Probar que
el potencial en cualquier punto sobre el
eje X es
V : 2qlL¡ceolf 
"' 
+ ,\
(d) Hacer un gráflco del potencial sobre
el eje X en función de r en el intervalo
- 5a, + 5a. (e) ¿Para qué valor de ¡
el potencial t iene la mitad de su valor
en eI origen? A partir de (c) obtener el
campo eléctr ico sobre el eje X.
14.30 Con referencia al problema ante-
r ior, supongamos que una partfcula de
carga + g y masa ¡n se separa ligera-
mente del origen en la dir€cción del eje
X, y entonces se suelta. (a) ¿Cuál es su
velocidad a distancia inffnita? (b) Hacer
un gráfico de la velocidad de la partfcula
en función de r. (c) Si la partlcula se
lanza hacia la izquierda según el eje X
desde un punto situado a gran distancia
a la derecha del origen con la mitad de
la velocidad adquir ida en la parte (a),
¿a qué distancia del origen queda en
reposo? (d) Si una part lcula cargada ne-
gativamente fuera liberada a partir del
reposo sobre el eje X, a gran distancia
a Ia izquierda del origen, ¿cuál serfa su
velocidad al pasar por el origen?
14.31 Rellriéndose de nuevo a las car-
gas descritas en el problema 14.29, hacer
un gráflco de la variación dei potencial
según el eje Y. Comparar con el gráflco
de la parte (d) del problema 14.29. ¿Es
el potencial mfnimo en el origen?
1,1.32 Lfna vez más considerar ias car-
gas r lel i ixrLrlema 14.29. ia) Supongamos
que se coloca una part. ici l la de carp:: nq'
en el origen, v se la t icja i ibre. ¿iJué su-
cede? (b) ¿,Qué suceder ia s i ia c:aiga a
que nos ¡ 'cferircos en la parte (a) se se-
parara del origen l igeramente en la di-
recciún d.el eje Y ? (c) ¿,Qué sucr:dería
si se separara dci origen en la direcciór¡
del e je X?
14.3:l En un sistema de caordenadas
rectangulares urra carga de 25 x 10-{ C
se coloca en eI origen y otra carga de
- 25 x 10a C se coloca en el punto
3 : 6 m, i/ : 0. ¿.Cuál es el campcr
eléctr ico (a) en c:3 m, Y:0?, (b) et t
¡ :3rn,g:4m7
14.34 Cargas eléctr icas iguales a 1 C
cada una se coloca¡r en ios vért ices de
un tr iángulo equi látero de 10 cm de lado.
Calcular (a) la fuerza sobre cada carga
y Ia encrgfa potencial de cada una de
ellas co¡no resultado de las interacciones
. con las ctras, (b) el cantpo y el potencial
eléctr ico resultantes en el centro dcl
tr iángulo, (c) la energla potencial in-
terna del sistema.
14.35 Refir iéndose al problema ante-
r ior, dibujar las l íneas de fuerza del
campo eléctr ico producido por las tres
cargas. Dibujar también las superf icies
equipotenciales.
14.36 Demostrar que las componentes
cartesianas del campo eléctr ico produ-
cido por una carga g a la distancia r son
6, : qrl4ne¡x,
etc.
1,4.37 Ifn un átomo de hidrógeno en
su estado de menor energia (también
l lamado estado fundamental) el electrón
se mueve alrededor del protón en lo que
se puede considerar una órbita circular
de radio 0,53 x 10-to m. Calcular (a)
la energta potencial, (b) la energía ciné-
t ica, (c) la energfa total, (d) la trecuencia
del movimientc. (A modo de compara-
ción, Ia frecuencia de radiación emit ida
por el átomo de hidrógeno es del orden
de 1015 Hz).
14.38 Usando el teorema vir ial para
una partfcula, determinar la energfa de
un electrón (carga - e) que gira alre-
dedor de un núcleo de carga I Ze a wa
distancia r. Aplicarlos al átomo de hi-
L
Problemqs 505
drógeno (r 
- 
0,53 x 10-10 m) y contpa-
rar el resultado con el obtenid¡¡ en (c)
dei problema 14.37.
1.-1.39 Escribir la expresión que da la
cne:"gia potencial eléctr ica interna total
la) r ir un átomo de hel io, (b) de una
n'.olécula de hidrLigeno.
L4.44 ¿Qué energía cinética, en joules,
y qué velocidad, en m s-r, t ienc un nú-
cleo de carbono (carga *6e) después de
haber sido acelerado por una diferencia
de potenciai de 10? V?
14.41 Estableber una relación numé-
rica que dé la velocidad (en m s-1) de
un electrón y un protón en función de la
diferencia de potencial (en volts) a tra-
vés de la cual se mueven, suponiendo
que estaban inicialmente en reposo,
14.42 (a) ¿Cuál es la diferencia de po-
tencial máxima a través de la cual un
electrón puede ser acelerado
si su masa
no debe exceder en más del 1 l , i a su
masa en reposo? (b) ¿Cuál es la veloci-
dad de tal electrón, expresada como frac-
ción de la velocidad de la luz c? (c) Hacer
los rnismos cálculos para un protón.
14.43 Calcular, usando la relat ividad,
la diterencia de potencial requerida (a)
para que un electrón alcance Ia velocidad
de 0,4c a part ir del reposo (b) para
aumentar su velocidad de 0,4c hasta
0,8c y (c) para aumentar su velocidad
desde 0,8c hasta 0,95c. Repetir los
cálculos para un protón.
74.44 Una eierta máquina de alta ener=
gia acelera electrones a través de una
diferencia de potencial de 6,5 x 100 V.
(a) ¿Cuál es la relación entre la masa m
del electrón y su masa mo en reposo,
cuando sale del acelerador? (b) ¿Cuál es
el cociente entre su velocidad y la de Ia
luz? (c) ¿Cuál serfa la velocidad calcu-
lada con los principios de la mecánica
clásica ?
74.45 ¿Cuál es la velocidad f inal de un
electrón acelerado a través de una dife-
rencia de potencial de 12.000 volts si
t iene una velocidad inicial de 107 m s-l?
14.46 En un cierto tubo de rayos X se
acelera un electrón inicialmente en re-
poso al pasar desde el cátodo al ánodo a
través de una diferencia de potencial
de 180.000 V. Al l legar al ánodo, ¿cuál
506 Inleracci.ón eléclríca.
I:-u enl c
de iont .s. . \
Osci lat lor
R/r
Figuro 14-47
es {a. t su {rnergia c inét ica en e\ ' . (b) sr t
rnasa, (c) su vclocidad.
14"47 F-n rr:r ¿¿gl5'¡¡r ior l ineal, colnc el
i !ustrat lo en ln t ig. 1-1-47, las seccic, , t r r rs
al t r . rnas del tubo se cot icctan enlre s! 
" ,
sr^api ica r , rna di lerencia r te pol .etrc ia l os-
r : i lanle entr i : lcs c ics conjuuios. (a, t I ) t -
lnr.r:r t¡"í Ir aiur, a i in Ce r¡t i t : ul l i r l l esl¡ ' r : t l
i : . lse cr-¡ l t e l ¡ rctenciai osr: i lante tua¡rr lc
:¡, , iza i lesde l¡n tul ' ; t .¡ al ¡ tr i-¡ i .si t : t tr{rt { : t :
t ' rrerqías lrr¡ ¡r- ' lat ivistas), Ias lolr ' . j i t rr t l r- .q
t lc lrs t ubos sucesivcls dei ie ser L, \ n.,
r irni ie 1-, cs la longitud t lel i rr interf ubo.(hi l - fal lar I , si el voltaje aceíeraricr es
l 'o y su frecuencia es v. (c) Caicular la
errergia del ion que emerge del enésimr.r
tubo. (d) ¿Cuáies deben ser las longi tudcs
de los tubos sucesi\.os después que e1 ion
alcanza energfas relat ivistas ?
1.1.-18 Supongamos que la diferencia de
potencial entre el terminal esférico de un
generarlor de \¡an de Graaff y el punto
en el cual l i is cargas son esparcidas sobre
la ct¡,r¡ea e¡r su movimiento iracia arr iba
sea de 2 v: 104 \¡. Si Ia correa cntrega
carga negativa a la esfera a razón de
2 x 10-s C s-r y toma carga posit ir-a
con la nl isma rapidez, ¿qué potencia se
necesita pera mor, 'er la cor¡e¡t contra
las f i rerzas elóctr icas?
14.49 La se¡raración ¡nedia entre los
protones en un i rúcleo atónt ico es c le l
orden de 1{ l -15 m. Est inrar en . l } cn
MeV el orden de rnagni tud de la energÍa
potencial e léctr ica entre dos protones
del núcleo.
14.50 Suponiendo que los protones en
un núcleo atórnico de rat l io R estén uni-
formemente distr ibuidos, la energía po-
tencial eléctr ica interna puede calcularse
con la expresión :,Z(Z*l)e¿l4nenR (ver
el problema 14.f i0 y el e jernplo 10.13).
El radio nuclear se puede a su vcz calcu-
lar por R : 7,2 x 10-15 ¡11,3 m. l , lsct i -
bir las expresiones que dan la encrgia
Ll lanco
poterrcrial elér:tr ica nuciear en J y en
l. leY en fulciótr <1t Z y ,4.
f i .¡ j t t ' ,arrdo los resrr l tar los r lel r :rr¡-
i , lerna 1J . i r r , c l r l t r r l t r l ¡ o l tergía p, , i . r , -
r ial ¡ :1i:ctr ica tot al ¡ ; la .rr-rergia prrr
I , ¡ r , tó:r l )¿i ' i l ios s igrr ier tes núcleos:l i í) (Z =_. \) , roca tZ 
-. 
20),r\Zr (.2 =. 4t)\ .
1{r i \d {z . t jü), ) t , ' í .1.¿ (.2 : g0) }. 2r8i_I(Z =..9?,). r ,( lur i lc dici ' t sus resr¡ i t¿lr irrs
r l( ' l i { : : : l dei elecio r lc 1a interacción t léc-
tr i ra i - : l t . ¡e prot l t ted sobre la est¿.hi l idacl
rt ,r i ¡rucicc¡ ? Lísal ldo sus datos, haga el
gráf ico cie la cnprgfa potcncial en fr¡nción
del núrnero rnásicü.
. l 4.52 Un protón producido en un ace-
It¡ 'adt¡r de Van de Graaff de 1 l \{eV se
hace incidir sobre una lámina de oro.
Calcular la r l is lancia de máxima apro-
ximación (a) para un choque de frente,
(b) para choques con parámetros de im-
pacto de 10-15 rn y 10-t¿ m. ¿Cuál es la
deflección del ¡rrotón cn cada caso?
14.53 t. lna part lcula alfa con una ener-
gia cinética dc 
'1 l feV se lanza en l ínea
iecta hacia el núcleo de un áto¡no de
lr iercurio. Él l nirmero ¿i lómico del mer-
cur"ic-, es 80, 
_v por lo tanto el núcleo
tierre una. carga ¡, .osit iva igi lal a 80 cargas
t: leciré¡r icas. (a) Flal lar la distancia de
nl¡ ixirna aproxinración t le la partÍcula
aifa al núrcleo. (b) ( iom¡>arar cl resultado
crrn el ¡ 'a¡1io nuclt :ar, 
- 
10-14 r l .
14.i ,1 Prcto¡res acelera'1os por un vol-
taje t le 8 ;< 105 \ ' inciden sobre una lá-
nrin¿r de oro (Z =- 79). Calcula¡ la sección
eficaz diferencial para dispersión coulom-
biana en intervalos de 20' para é com-
preudido entre 20o y 180". Hacer un
gráfico, ut i l izando coordenadas polares,
de o({). [Obseruación: la ec. (14.25) se
hace inf inita para { : 0. Esto se debe
a que hemos supuesto que el núcleo dis-
pr lsof es una carga puntual . Cuando se
toma er) consideración el tamaño f ini to
del núcleo esta anornal ia desaparece. I
( l0n( 'x i0n
t l óct r i ca
Iilef t rir{i0s
tubuiares
rte aceleracidn
Tanquc
al vacio
.L--- j j - +l - - -J - i l -¿=-" l
- - : - - - - - ' - - - - -1.
r -T-- ._|_--_r- . .
- _
14.55 La diferencia de potencial entre
las cl ls yr lacas paralelas r ie la f iq. ' i4.48
es r lc: 10(- l V, la separación entr¡ cl las es
de 1 cm, 
_v su longitud cs 2 t: !r i . Se ianza
un electr()n con una vciocidarl r ie 10? rrr
s-r en dirección per¡rcntl icular al campc.
(a) Ilallar sir rlesviación i.ransversal 
-y su
velocida{i transversal 
' :r¡a¡,¡Co en:erge de
las placas. (b) Si ,se coloca una pantal la
a ( i ,50 rt a la t lcreci ia dcl t 'xtretno de las
placas, ¿a qué pc¡iciór: sobre la pantal la
l lega el elt :clrón?
14.56 Sc establere una di ferencia de
potencial de 1600 V ent;:e dos placas
paralelas separi idas 4 cm. Un cleclrón
se l ibera <ie la placa negat. ir 'á en el
rnísmo instante c¡r que un prolón se
l ibera de !a placa posi l i .ra. {a) ¿A qué
ti istancÍa de la placa posit iva se cruzan?
(b) Comparar sus veloc¡dades cuando in-
cideri sob¡e las placas opuestas. (c) Com-
fiarar sus energias al incidi¡ sobre Ias
placas.
Flgura 14-48
14.57 Un tr iodo consiste fundamental-
nente en los siguientes elementos: una
superf lcie plana (el cátodo) que emite
eiectrones con velocidades iniciales des-
preciables; paraiela al cátodo y a 3 mm
de di: iancia está Ia rej i l la de alambre
l ino y a una difcrencie de potencial de
18 V cc¡i t respecto al cátorio. La estruc-
tr. i ra de la rej i l la es tal qtre permitc que
ics elecirones p¿sen I ibremenle. Una
:egunda superf icie plana (el ánodo) cstá
12 nim más ai lá de la gri l la y a un p0-
iencial de 15 V con respecto al cátodo.
Su¡rongamos que el campo eléctr ico entre
el cátodo y la rej i l la, y entre la rej i l la
r ei ánodo, sea uniforme. (a) Trazar un'
i iagrama del potencial en función de la
l istancia, a lo largo de Ia l lnea entre el
¡álodo y el ánodo. (b) ¿Con qué veloci-
:...d cruzrrn la rejilla los electrones ?
- ' ' ¿. i- ,an r lr¡é velocidad l legan al ánodo?
, Determinar el módr¡lo y la dirección
-1 carnpc eléctr ico entre el cátodo 
-v la
: : i1 la, y entre la rej i l la y ei ánodo.
_:_=-
Problemcs 507
(e) Calcular el módulo v la dirección
dc la aceleración dcl c lectrón eir cada
región.
1.1.58 Un acelerador l ineal ccn un vol-
Laje de 800 kV produce
uir haz <1e pro,
tones equivalente a una corr iente de
1 mA. Calcnlar (a) el nr ' :mt:ro de proto-
nes por segundo que inciden en cl $¿¡"o,
(b) la potencia requerida p¿¡ra acelerar
los protone s, (c) la velocida<! de lcrs pro-
toncs ¡: .1 incidir scL¡re el blanco" (d) Su-
poniendo qrre ios pro1ones pierdan el
809á cte su energia en el blanco, calcuiar
la rapit lez, expresada en cal s-1, con la
cual se debe remover energla del blanco.
1.1.5S Urr clectrón, después de iraber
sido acelerado por una di{erencia de
potencial de 565 V, entrq a un campo
elóctrico uniforme de 3500 V m-r a un
ángulo de 60o con la dirección del carnpo.
Después de 5 x 10+ s, ¿cuáles son (a)
las componentes de su veiocidarl para-
lelq y perpendicular al campo, (b) la
magnitud y dirección de su velocidad,
(c) sus coordenadas respecto al punto de
entrada? (d) ¿Cuál es su energfa total?
14.60 Dos placas metál icas grandes y
planas, montadas verticalmente y s€pa-
radas 4 cm, están cargadas a una dife-
rencia de potencial de 200 V. (a) ¿Con
qué velocidad debe lanzarse un electrón
horizontalmente desde la placa posit iva
para que l legue a la placa negativa con
la velocidad de 107 m s-1? (b) ¿Con qué
velocidad debe lanzarse desde la placa
posit iva a un ángulo de 37" por encima
de la horizontal para que, cuando l legue
a ia placa negativa, la componente ho-
r izontal de su velociCad sea 107 m s-r?
(c) ¿Cuál es la magnitud de la compo-
nente vert ical de la velocidad cuando el
electrón l lega a la placa negativa? (d)
¿Cuánto tarda el electrón en ir de una
placa a la otra en cada caso? (e) ¿Con
qué velocidaci l legará el electrón a Ia
placa negativa si se lanza horizontal-
mente desde la placa posit iva con Ia
velocidad de 108 m s-1?
14,01 Un elect¡ón se encuentra entre
dos placas separadas 2 cm y cargadas a
una diferencia de potencial de 2000 V.
Comparar la fuerza eléctr ica que se
ejerce sobre el electrón con la fuerza
gravitacional sobre el misno. Repetir
para un protón. ¿Justiñcan estos resul-
508 Interacción eléclrica
tados el haber ignorado los efectos gra-
vitacionales en .-:s1.e capÍtulo ?
74.62 AdaFtar ei rrsultado c. lel cjem-
plo X3.8 ai caso cle un planu con r:na
densidad de carga o para irrrtbar r.¡ ' - le
el camfrr; y ei potenc.iai eléctr iccs son
(. : <sl2eo Y 1,r == -- 'xzl2eu.
1,*.63 Una carga -* r1 d,e mt:ja ¡n t'r
col¡rea a un:r distancia : de un pi lno
cLrgldo posit ivarnent.e cion una r lensr¡ iad
de carga uni iorme o. La carga Ee l jbr:ra"
Caii :uiar su aceleración, ia vclacidacl co¡r
la cual lncidirá en el plano ¡r el t ielnpo
nccegario pa.ra llegar a é!.
14.61 Suponiendo qüe a la c¡¡¡ge del
prub.lerna 14.63 sg le dé una veloi ir i :¡ .d
ini. . iai ua p;.rralela al plano. f leterni in:rr
(:) ia t t ' : ryectorir: que sigue, (h) el t ier ir¡ro
{í$e lr ini ,cürr.¡ hasta que incit ic el l el
¡, iai"r, ' , {c) l¿ ci isianci¿t gue ieci 'rre i t i i - l .a-
lei¡; : l : : i r ie al p' lano antes cl¡ regresar al
m,ist-I: i i .
1.t,6í¡ Fefiriéndcnos de nuevc al pr;-
bie¡ira 14.63, supone¡ que la carga sea
inic ia lmente e\ t z:0 y gue sea lan-
z:ida * una velociclad uo a un ánguio a
r:on el plano. Deternrinar (a) la trayec-
toria que siguc, (b] su separación má-
xima dei plano, (c) ta distancia que
recilrre paralelamente al plano antes de
regresar ai mismo.
J." .66 Se dispcnen en forma alternada
ri¡l infinito número de cargas positivas
l- negatlvas :l q sohre una ]inea recta.
La stparación entre las cargas adyacen-
tes es la rnisma e igual, r (f ig. 14-4!)).
Demostrar que la energfs potenciai de
una carga es (- qzl?re ur) ln 2 í"Suge-
¡encic: usar la ec. ( l f . 24).1
,,;\ /^\ /.\\t' \7 \17 oo€)
Flgure 14-49
74.67 Una dispt'lsición plana regular rie
cargas de igual magnitud, posit ivas y
negativas alternadas, se obi iene cnlo-
candr: i l ¡rs cr irgas en los cenl¡os de cr¡a-
d¡a¡los ;. ie iado r (Í i ¡¡ . 14-50). En':r, i : trar
la ene: 'gl i i i ro{ errciai r ie r¡na cár ;1.1 l¡ l
com¡¡ la ,{.
14,i t? i l ¡ : . i l ¡r i l lo d'r ¡ar] io rz l ,rensircrla
@GO.JO,,3O
() r.:j i3 (,j, G_-\ e e
eeef ieO@
rf r-\ f;¡ ¡], C' A
\-, !/ i. 
-, 
\-t i \-/ LW \/(J,o¿e"3(3eo
C€,eOOOe
'Or;)Gee¿.:re
l ' i_eura 14-6C
utle carg;r g. Calrrular el p,rtencial y el
{ '9.Ín!}o elr ici f lcos t:rr pri :r los situados so-
L¡re ¿i eje rerpendicular ai plano del
:rnl l l r , ' .
11,.t':1,, l.I:¡ilar ei potenr:i:-d 
_rr cl carcpo
¡lé:: : tr i ' "r .r er puntOs Situatlos SObre el ejC
¡ie u¡ disc¡; dc ¡ 'adio R quc conticne una
carqa d ¡ ;cr unidad de área. lSugerencía:
divici ir el disco ¡rn ani l los y sumar las
contr ibuciones dc todos ei los. l
Á.74 { lct ir iéndose al problema 14.69
obtener el carnpo y el potencial eléctr ico
de una distr ibución de cargas sobre un
plano que t iene la misma densidad de
carga que el dlsco. lSugerencia: l lacerÁi nruy granrie y mantener sélo ei tér-
nrino predomina.nte, l
74.i i Se t iene un alambre de longitud
1- con una densidad lineal de carga ).
(ng.14-51) {a) Probar que el ca¡npo
L--- .l
I ' lgur* 14-ó1.
elóri i ico en un punt-o a r¡na distancia
¡iel rlernbre está CaCo por
i'i- 
- 
l;.i.tr̀0fi)(sen 0, --- se n {i,)
v
f tt .- -- ( ' , ' ,14r;rlt)(cos 0" - cos 0r),
l*¡-¡
oo
q
donde i ' . ¡ y C.¡¡ son las componentes de C
perpc,nrl i i :ular v paraiela al alamtrre y
Br l / 0¿ so¡i los ángulcs que toimtir las
l lneas trazadas i les(le el puntc a lr is cx-
tremos <lel alalrrbre con la l lerpendicuiar
desde el pur l to al a lambrc. (b) I la l lar e l
campo €n un punto equidistante de los
extremos. (Los signos de los ártgulos 0t
y 0, se ir idican en la f igura).
74.?2 Con un alambre de carga tr por
{rnidad de longitud se forma un cuedrado
de lado 1.. Calcular el campo y el poten-
cial eléctr icos en puntos sltuados sobre
la perpendicular al cuadrado por su
centro.
14.73 Obte¡rer las expresiones para el
campo y el potencial eléctr icos produ-
cidos por un plano con una distr ibución
uniforme de carga o por unidad de área,
suponiendo que el plano está formado
por una serie de f i lamentos de longitud
inñnita 
-v 
de ancho dr.
74.i4 ¿Qué masa de cobre (bivalente)
deposita sobre un electrodo una corr iente
de 2 A durante nna hora? ¿Cuántos
átomos se han depositado?
14.75 Estimar el promedio de las fuer-
zas eléctricas de atracción entre dos
moléculas de agua en la fase gaseosa en
condiciones normales, debidas a sus mo-
mentos dipolares. Considerar varias orien-
taciones posibles de sus dipolos eléctr i-
cos. Comparar con su atracción gravita-
cional.
74.76 Adaptar los resultados del pro-
blema 13.81 al caso de la distr ibución
de cargas eléctr icas que definen los mo-
Problemas 5Ag
mentos dipolar y cuadrupolar para las
t l i reccio¡res consideradas.
14.77 Hal lar los momentos dipolar y
c-Liadrupolar con respecto al eje Z de la
d;str i i rucién r ie cargas mostrada en la
f ig. 1,1'52. l lal la¡ el potencial y el campo
en los punLos del e je Z, suponierrdo que
: es muy grande comparai lo con o. Re-
petir los cálculos para los puntos del
eje Y.
Figura 14-58
14.78 Repetir el problema 74.77, su-
poniendo que todas las cargas son posi-
t ivas.
14.79 Un protón muy rápido con ve-
locidad Do pasa a la distancia a de un
electrón inicialmente en reposo (ng. 14-
53). Suponiendo que el movimiento del
protón no se perturba debido a su gran
masa respecto a la del protón, (a) hacer
el gráfico en función de r de la compo-
nente de la fuerza perpendiculat a rro
que el protón ejerce sobre el electrón.
(b) Demostrar que el momentum trans-
ferido al electrón es
(ez l4ne o)(2luoa)
en dirección perpendicular 
^ 
Do. (c) Es-
timar la desviación del protón en función
de su velocidad. Este ejemplo sirve de
base para analizar el movimiento de par-
t iculas cargadas gue pasan a través de
la materia. [Sugerencia: Suponiendo que
el electrón
permanece prácticamente en
su posición inicial mientras el protón
pasa, el momentum transferido al elec-
trón está dado por A,p : I F df y sola-
mente Ia componente perpendicular a uo
tiene que ser calculada. En vista de la
simetrÍa de la füerza, en lugar de inte-
grar desde -6 a + €, integrar desde
o a € y mult ipl icar por 2.1
14.80 Demostrar que la energla poten-
cial eléctr ica interna de un sistema de
cargas puede escribirse en cualesquieraFigura 1.{-É*
L-
510 Interaccién eléctrica
de las lormas:
(a) Eo : ). -::+,
i i?o, +rc€orij
los pares
(b) E,: t¿ Qtv; ,
todas
- las cargas
donde Yr es el potencial producido t tn gr
por las ofr<ts corgas. (c) {- isando el restt l-
taclo hal lado en (b), probar que la energía
eléctr ica dt una distr ibur: ión cont inua drr
cargas de densrdar l p es,L 'p 
- 
] J c l 'dr .
(d) l- 'sar csta c>:presiólt Para ttrelt lostr ' ;¡r
quc la energía de un cor¡di tctor esfér i i r - t
con l rna carga Q distr ibr : ida uni f r . rme-
rlrernt¿ sobre su r, 'olumen es *( i¿l{;€Nll .
(e) Apl icar t i ú i t imo t 'esul tado al <:¿iso r ie
un ¡ lúcieo de núnrero atórnico Z.
14.81 Prob¡r t iue las ecuacicncs t l i ie '
renciales para ias l ineas de fuerza sotr
dt l{ ," : dAitu : dzlc' , , do¡¡de dr, dg Y
dz corresponden a la separació]t ei l tre
dos puntos muJ" cercanos de la i Ínea de
fuerza. Apl icar estas ecuaciohes para
obtener Ia ecuación cle las l ineas de
fue¡za de un dipolo eléctr ico. fSugeren-
cia r Obsérvese que, como en este caso
las l lneas de fuerza son curvas planas,
Ia componente r '¿ es nula. Expresar C¡
y (y de un dipolo elóctr ico en coorde-
nadas rectangulares,]
74.82 Probar que en coordenadas pola-
res la ecuación diferencial de las l lneas
de fuerza es drl f , : r d0l(0. t lsar este
resultado para obtener la ecuaciótr de las
líneas de fuerza de uu cl ipolo eléctr ico
en coordenadas polares. \ 'er i f icar con cl
resul tado del problema 14.81.
14.83 El statcoulomb (stC) es utra uni-
dad de carga que se define com<l la carga
que, colocada a 1 cnr de otra carga igual
en el vaclo, la repele con una luerza de
1 dina. (a) Probar que un statcoulomb
es -¡|c C (donde c es Ia velocidad de la
luz), o aproximadamente i x 10rC.
(b) Expresar la carga elemental e en
statcoulomb. (c) Calcular el valor de la
constante K, y <o cuando la carga se
expresa en statcoulombs, la fuerza en
dinas, y la distancia en centí¡nelros.
(d) Hal lar la relación entre las unidades
dina/statcoulcmb y N C-l para medir el
campo elóctr ico.
14.84 ¿Cuántos electrones equivalen a
un statcoulomb ?
i4:85 EI abcoulomb es una u¡r i ¡ lad de
carga equivalente a 1t) C. Hallar el valor
de las constantes R" y €o cuando la
carga se expresa en abcoulombs, Ia fucrza
en di¡ras y la distancia er i centímctros.
¿Cuál es la relación eutre el abcouio¡ l rb
.v ei statcor.r lonrb ?
14.80 El statvol t (st \ ' ) es la di ferencia
de potencial que debc exist i r t 'ntre dos
puntos para que al rnover i rna carga de
un siai-coulomt-¡ r ie u¡r pi lnto al otro se
efectúe el t iabajo dc ur i crg. (a) I ) robar
qr ie un statvol t es iguai a c/106 ó apro-
xin. iar la lnentc l jO0 \ ' . (b) f {a l lar la rela-
c ión entrc el stV crn-r ! ' e l V rn-r ccl¡no
unidades para rnedir e l cam¡ro c léctr ico.
Coniparar con el resul tado (d) del pr 'o-
blenla 14.83.
11.E7 Escr ib i r la explesión para el po-
tcncial creado por ul)a carga q a la dis-
iancia r cuando el potencial se rnicle en
stV, la carga en stC, y la distancia en cnl .
Repet i r para un canrpo eléctr ico mcdido
en stV cnr-r.
14.88 Se acostunrbra escr ib i r la expre-
sión para la energia del estado estacio-
na¡' io de los árotnos con un clectrón en
la forma E¡ : - IlZhzclnz, tlonde .Il es
la l larnada constanle dr l lgdberg. L. 'sando
la e x¡rresión dada rn cl ejernplr- ' 1.1.8 para
€n probar quc I i es igual a 1,097-1 . r 107
rn-1.
14.89 Calcular la energÍa r le los cuatro
pr imeros estados estacionar ios del H y
det He' . f {a l lar , en cada caso, la energia
requer ida para c let 'ar e l s istema, desdc
cl estado fundar-¡re¡r ta l , a l pr i rner estado
exci lado. Representar las energlas sobre
uua cscala por nredio de I ineas hor izon-
tales adecuada¡nente espaciadas. Obsi ' r -
vese que algunas cnergias coinciden. ¿Es
posible deducir una regla general?
14.90 Usando el resul tado del pro-
ble¡na 1^1.37, est imar la velocidad del
elec.trón en un átomo cle hidrógeno en
su estado fundarnental y vcri f icar los
cálculos hechos al f inal del e jernplo 14.10.
15
II\TERACCION h{AGNETICA
15.1 Introduccíón
15.2 Fuerzo rnagnética sobre una carga en movimíento
15.3 Mouimíento de una carga, en un campo magnétíco
15.4 Ejemplos de mouímiento de partículas cargadas
en un ca,mpo magnético
/5.5 Fuerza magnética sobre una corríente eléctrica
15.6 Torque magnétíco sobre una corríente eléctrica
I5-7 campo magnétíeo producído por ulul corriente cerrada
/5.8 Campo magnétieo de una corriente reetíIíneo.
15.9 Fuerzas entre corríentes
15.10 Campo magnético de una corcíente circular
15.11 Campo rnagnétíco de una carga en mouimiento
(no relatiuísta)
15.12 Electromagnetismo y eI principio de relatíuidad
15.13 campo electromagnético de una carga en mouimíento
15.14 Intbracción electromagnética entre d,os cargas en tnouimíento
75.7 Introd,ucción
La interucción magnétíca es otro tipo de interacción que. se observa en la natura-
leza, varios siglos antes de cristo, el irombre observÓ que ciertos minerales de
hierro, como la'piedra imán (varied:rtl de la rnagnetita), tenían la propiedad de
atraer pequeños 1roro, de hierro. La nilsma pi:opierJad tienen el hierro, el cobalto
y el manganeso en su estado naturll, y muchos compuestos de estcs met¿ries'
bsta propieOad, aparentemetrte esp':cif ica' no está relacionada con la gravitación
puestc qu* no sólá no la tienen naturalmente lotlos lus cuerpos, sino que aparece
concentiada en ciertos lugares del lrrineral de hierro' Aparentemente, tampoco
está relacionada con la interacción eléctrica porque estos minerales no atraen
boiitas de corcho o pedazos de papel" E l consecuencia, se le dio a esta propiedad
física un nuevo nomble: ma,Qnetísmo+. Las regiones de un cuerpo en las cuales
el magnetismo aparece concentrado se clenominan polos magnétícas' LTn cuerpo
magnetizado se denourina imrin'
Wñ
(a) (b)
Fls. 16.1, Interacción entre dos barras magnetizadas. (a) Los polos de distinto
noittb.. se atraen. (b) Los polos del mismo nombre se repelen'
512 Interaccíón magnéIíca {15.1
Ia ínteracción enlre polos magnéfícos del mismo nambre es repulsiua
g la interaccíón entre polos de distínto nombre es atractiua'
* El nombre magnetismo praviene de una antigua ciudad del Asia l{enor llamada Magnesia'
donde. de acue¡d"o con la iradición, se observó por primera vez eI fenómeno.
La tierra rnisma es un inmenso imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla
magnetizada en cualquier punto de la superficie terrestre y la dejamos mover
libremente alrededor de la vertical, la varilla se orienta de modo que siempre
el mismo extremo apunta hacia el polo norte geográfico. Este resultado demuestra
que la tierra ejerce una fuerza arlicional sobre la varilla magnetizada, fuerza que
no experimentan varillas no magnetizadas'
Estó experimento sugiere también que hay dos clases de polos magnéticos que
podembs áesignar.on lor signos + y *, o por las letras N-y S correspondientes,
respectivam"ñt", 
^ 
los polos que apuntan hacia el norte y hacia el sur. Si toma-
-oi 
do, varil las magnétizadas y las colocamos como se muestra en la l ig' 15-1'
las mismas se repelen o se atraen según enfrentemos polos del mismo o de dife'-
rente nombre. concluimos entonces de nuestro experimento que
_--.-.t.
15.2) Fuerza magnétíca sobre una eargo. en mouimienlo 513
A continuación,
podriamos intentar medir la intensidad de un polo magnético
definiendo \na carga o masa magnélica, e investigar cómo depende la interacción
magnética de la distancia entre los polos. E,sto es perfectamente posible, y de
hecho, antes que los físicos comprendieran claramente la naturaleza del magne-
tismo, aquél fue el nlétodo de estudio adoptado. Sin embargo, cuando se inten-
taron estas mediciones, apareció una dificultad fundamental: aunque ha sido
posible aislar cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una carga eléctrica
definida con las particulas fundamentales que constituyen todos los átomos, no
ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una particula fundamental
que tenga solamente una clase de magnetismo, sea el N o el S. Los cuerpos mag-
netizados siempre presentan pares de polos iguales y opuestos. Por otra parte,
se ha encontrado que las nociones de polo magnético y masa magnética no son
necesarias para describir eI magnetismo. Las interacciones eléctrica y magnética
están lntimamente relacionadas, siendo en realidad sólo dos aspectos diferentes
de una propiedad de Ia materia: su ca.rga eléctrica; eI magnetísmo es un efeclo
del mouimíenlo de las caryas e!éclricas. Las interacciones eléctrica y magnética de-
ben considerarse conjuntamente bajo la designación más general d.e inleraccíón
electromagnética,
1-5.2 Fuerda ,rrynéüct sobre uno corgd en mooírniento
Puesto que observemos interacciones entre cuerpos magnetizados, podemos decir,
por analo$a con los casos-gravitacional y eléctrico, que un cuerpo magnetizado
produce un campo magnétíco en el espacio que lo rodea. Cuando colocamos una
carga eléctrica en reposo en un campo magnético, no se observa la misma fuerza
o interacción especial alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en una
región donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la carga
además de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctrica.
Midiendo en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza que experi-
mentan dilerentes cargas moviéndose de diferentes maneras, podemos obtener
una relación entre la fuerza, la carga y su vclocidad. De este modo encontramos que
Ia fuerza ejercida por un campo magnético sobrc una carga cn moui-
míento es proporcional a Ia carga eléclrica g a su uelocidad, U la
direccíón de la fuerza es perpendicula¡ a la uelocidad d.e la carga.
Podemos avanzar un paso más y, recordando la definición de producto vectorial,
escribir tentativament¿ la fuerza F sobre una carga q que se mueve cdn velo-
cidad r: en un campo magnético, en la forma
P:qoxT, (15.1)
la cual satisface los requisitos experimentales mencionados más arriba. En esta
ccuación, :]J es un vector que se determina en cada punto comparando el valor
observado de F en ese punto con los valores de q y o. Este modo de proceder
ha demostrado tener éxito. El vector ') l puede variar de punto a punto en un
514 Intcraccíon maqnélica (15.2
campo m.agnél . i r :o, ; )ero rn c i ¡ t l ¡ : i ¡u l i tc $¡: ¡J i ic l i { . : . l l ' : t , , .>: l r t ¡ ; - i l l l r . ¡ i ta ine¡ i te {ur) cS
el rnismo para todas las carg;:s;. , : relr- ' , i ! i l i i i i t r :r . . l rol i r¡ i i i ¡ i t r ; i lescribc una propir:ciacl
gue es caracterÍst ict dci r . : lL¡r t t ,o rn*gnr: t r ic - ;1; i ;dtnr i ;s l iamarla í rúensi t lod ¿le
camp7 rnur¡nél ico: r l tr0 nonti , i i 'c, tm¡tt tr .r i- t i l ¡r ¡ l i l i io. cs í¡tducrión magnélict.
I ln esl.e te>;to irsartr l l ' los solal) i ' r ; te lr pri lnt:r i l t l t :sigi i l ic ión,
Cuando la partícuJa se nlue"-e r-rn i l r i¿l regrón dolde ha] ' un carr lpo eléctr icr_i
v l t t io magüético, l¿r fr terza toial es la ¡u¡na dr: la f i lerza cl ictr ica qC y la fuerza
rnagnética qu x (.13. es decir.
F '-= q(.(' -r u x ')J). (15.2)
Esta expresitin se denomina fuerza de
Lore¡¡lz"
La ec. (15.1) da, por la def in ic ión de
producto vectorial, una fuerza no sfto
perpendicular a la velocidad ü, como se
inri icó anteriormentc, si¡to también al
campo magnético ':)J. La ec. (15.1) impii-
ca taml¡ién que cuando o es paralela a :|J,
la fuerza .ú' es cero; de hecho, se observa
que en cada punto de todo campo mag-
nético hay una cierta dirección de movi-
miento para la cual no se ejerce fuerza
alguna sobre la carga 
€n movimiento. Es-
ta dirección define la dirección del campo
magnético en el punto. En la fig. 15-z
se ha ilustrado la relación entre los tres
vectores a, )t y .[', tanto para una car-
ga positiva como para una negativa. La
figura muestra la regla para determinar el sentido de la fuerza; esta regla usa la
mano derecha.
Si a es el ángulo entre ?: y ?, el módulo de ^f,' es
F:QD )Jsen". (15.3)
El máximo de intensidad de la fuerza ocurre cuando o : rl2 o sca cuando o
es perpendicular a '7J, resultando
p : qu.)). (15.4)
El mínimo de la fuerza, cero, ocurre cuando ¿ : 0 o sea cuando tl es paralela
a ''JJ, como se dijo antcs.
A part i r de la ec. (15.1), podemos def in i r la unidad de campo magnét ico como
NiC rn s-r o sea kg 
-s-r 6-r. I lsta unid¿irl se de¡rornina leslo en honor del ir igeniero
norteamericano nacido en Yugoeslavia NichcrLrs Tesla (1856-!943). Se abrevia l,
por lo qtie T 
--= 
kg s-1 C-1. Un tirsle colrespo¡rtle al campo rnagnético gue pro-
duce una fnrrza rle un ¡reuton solirr urla car'qa de un corilo*i, qu* se mueve
perpendicularme¡lte al campo a razón dc un metro por segundo.
Flg. 15-2. Relación vectorial entre la
fuerza magnética, el campo magnético
y ia velocidad de la carga. La fuerza es
perpendicular al plano que contiene
a?rvao.
negat iva)
15"2) l .-uerza magnétíca sobre una cqrga en mouímiento 515
coino ia f ircrza magnétice r" : Qú x ?l es perpendicular a la velocidad, su
trabajo es cer(, y por lo tantc no produce cambio alguno en la eneryia c, inética
de la partícula, definida por ia ci ' . (8. i1). Aunqrre la fuerza rnagnética no es con-
servativa en el sentido del inido cn el capitulo 8, cuanclo una partícula se mueve
€n carnpos rnagnético y eléctr ico superpuestc-c, su energia total pcrmanece cons-
tante. (Por energÍa total entendemos la energía cinética rnás la energia potencial
de las diferentes interacciones).
l tJEDlI lLo i5.7. Un protón de los rayos cósmicos entra con una velocida{ de
10? ¡n s-1 en ei campo m-agnÉtico de la t ierra, en dirección perpendicular al mismo.
Estima¡ Ia fuerza que se ejcrce sobre el protón.
Solució-¿¡.: La itt'rensidad del carnpo magnético cerca de la superficie terrestre en
el ecuador es de alrededor de ')J : 1,3 x 10-? T. La carga eléctr ica de! protón
es q : , l e : 1,6 x 10-rr C. Por lo tanto, usando la ec. (15.4), la fuerza sobre el
protón es
P : qu(I} 
- 
2,Ct8 x 10-re N,
gue es ccrca de dicz mil lones de veces mayor que la fuerza debida a la gravedatl
m¡t ! :1,6 x 10-26 N. Siendo mp:7,7 x 10-2? kg, la aceleración debida a esta
fuerza es c : Flmp -- 1,2 x 108 rn s-2; la aceleración del protórr cs pues nruy
grande comparada con ia aceleración de la giavedad,
EJEMPLO 75.2. Discusión del electo HaIL En 1879 el fisico norteamericano .8. C"
Hall (1855-1929) descubrió que cuando una placa metál ica por la que pasa una
corriente 1 se coloca en un campo magnético perpendicular a el la, aparece una
diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este fenó-
r¡ leno se denomina efecto Hall ,
sorución: Se trata de una apl icación tfpica de Ia ec. (15.1). Supongamos primero
que los portadores de corr iente eléctr ica en la placa metál ica son electrones, los
cuales t ienen una carga negativa g 
- 
-.- c. Considerando la f tg. (15-3(a), donde
se ha dibujado el eje Z paralelo a la corr iente 1, vemos que el movimiento de las
cargas es en el sentido d,e - Z con velocidad ¡:-. Cuando se apl ica el campo mag-
(a) Portadores. lñ: -o lnegatMs \Y "/
Portadores(r,) positivos
El efecto Hall.Flg. 15-3.
z
+
+
+
f
+
'r
-t-
+
+
516 InÍerscdón rnagnélica (15.3
nético' lJ perpcndicularmente a la placa, en el serrt jr l ,¡ cir i eje X, los electrones están
sujetos a una frter¿a ,F : (-- e)u x lJ. IJI prodi ictr: vcctc¡¡ iai er- x (d t iene el sen-
t ido t le --) ' , ¡rero como está t. ;rui i ipi icar- lo i lor --- ¿. cl rcsultado es un vec¿or .F
en el sel¡ i ido de - i- Y. En co¡rsecuertt : ia. los eiertroriss t lel ' i . , 'q¡t haeia ei lado r lerecho
rie I* pirca" la cu:r l te carga negaiiva,!: i ) l l te. Fl i lad<.¡ izqri ierdo se carge posit iva-
mente ¡ lcr ique t ie¡re un:i r j .ef iciennia tír , . ' l ¡ iúmef{r nctmai cle eler:trones. Como resul-
ta-do, aparece u¡! car¡po eléct i ic.o { paralelc, ai cje ; Y, l ,a fuerza sr¡bre los elec-
t. icinrs dchi i i ; a este car¡rpo eiertr i{":ü { j t i . -- .¿,)( ; ;onl(; eslá dir igi t ta l ;acie la izqrr iercla
l iega u:- i i i : ' j i -¡"r¿nit tn 1i11{'*Lrr l tr^f i ' l " . lgi i ; i¿ f t i t , iz '¡ hacia ia r ler.- i :he ¡ iebida a1 carnpo
:: la¡;:re. i ic,: ' i i , 1;r:ai lucióndcse ei e¡Iui i i i ' ¡ tc. Est{ i a $ú vcz da r;r igen a r¡na diferencia
Jr ¡:rr--1-*lr : i : t i l r l l r . isve:;r i i gnl¡1 lr ,rr l i r ,¡ .1, 's i , ;"¡ i !9st i .s del c¿nducicr, sicndo el l¿rio
i; : t i l r i r ' rCc el qrre crtt ír a p(i tcrrr: ial ¡ l¿j¡r ¡ l i r¡ . cl valor r- ie la r l i fercnci¿ de potenc:ial
r: t l , ,r¡ ,) l-1{J} 'cional a1 carn¡-ro ¡raÉirél ico . l iEie es t l efr:ct¿r l lai l ¡rornal o "negatir 'o"
rI*{ ' prr:}entan ta inal 'oría d* los mtl.ai*s, como ei orc, l i1 plaia, el plat ino, el co-
i- ' ie" r: t- ír . $i : . i errr i . :argcl err ci t : i ' t ¡ : ; Inr ir les '- .como ¡: l cobaito, ei zinc y el hierr 'o y
otl ' : : ; ¡r¡aterr:r¡as Í, imo los senl i io¡ lr l i ic loits, se produce un eiccto l{ai l opuesto o
o'¡ i r ' . , t 
i ' . ' t ; " ,
I¡r ! , i r i ' \pl i í ¡r ' r i 1fú{:ta t- ial l posi i ivo, : ! jJrt ' ' i i r ,¡ : l 'ns qt¡e irs tr ' :¡ ta¡ lnrcs dc corr iente,
. , ' ,1 . , .1. r ' ic ¡ r , : . . ' ,1 r i r r ' t r ¡ t : t ; rs r r rg l i<, : r r r i ; ia l . : , ¡ ; : : la ie" ¡ou pert i l ¡ l las dt carga posi-
1,. , :¿i i i r ¡ ¡ j r ¡ ' r r ; ¡ ¡ ¡ - : - ¡ . ' : . :s . :? *- j i . j f j :s¡ : ' f r , - r 5t ; i l i i i+ i i i . !+ l¿! l t i l r i . iet i t_€,
1.1, ; ¡1, : j r : : t . i a: j . , l ¡ ¡u ' r : j ¡ '11 l . : . i j . ar- , . . : r Í : i ' ¡ . . l . ' , .1: !1( j i ' : t ! ¡ ¡ ' .1. i i , - : . r11:) . l - . ' . t fur : rZa
tr t . : j : ; i , ' . . ' r ¡ . - : r , : . l I - , r : ; .g l i . r ; l t - . . i . ; ; : i6. ; : , ' , " ' 
- , i : ' ) : . , . r i i . - ' r - .S!á r j t ¡ id. i . . : - ia
:-: l : r j r , ' . , i ¡ . . j ; i l ¡ .r*r ie '¡ el i : :r ; t i i t r i l , ' ' ¡ i r¿r:ai: i tr ; . , . . : ' , i ?, , ; l i . '1r:¡ i ; nd0 ftr carnp(l eléC-
;. i 
' r ' , : ' r . : l r i ; i ,e:, .1; i , ,T'r el i tenti f lo i l r -- l i - i r ' , -o: ir¡ ia¡:t t¡ l ¡ . i i fe ; 'c¡,cia <ic potenciai es
i: I ;r i r :¡- í i i l i i ¡ , .¡{ :€ al iarece en el ca.Ji,¡ l i* polfarl ' - t¡gs negaiiVos, tesultar,¡do un efecto
l. iair pu:,. i i iv l .
r l ra¡;Ca 5¡ r ic5,-¡¡J¡¡rsrr-.n )os t l¡ ;s t i j_r+s de r: fecto l lai l . l<¡s f ísicr is quedaron muy
ir lr i ¡ . , ,r , : i i ts;Jol ' i f ¡ ; i : en aqueil i épi;ca se crr: ia que los únicos portadcres de corr iente
t; l i :¿i.r ira r1n i :n rcrrduci.cr sól i ic €ra:r i i ; :r t lei : t-rones cargadcs negativarnente. Sin
e rr.har gc, ei i ( : i r l r tas circunst arlr ig.s pt,r l i :nrcs der::¡ , tua lr 's portadores de corr icnte
e' lrct-r ica en irn sél ido so¡i I- ,¿.rrt lcl las col carga posit iva. En estos materiales hay
i lgales en r l :r .de normalrcente dt,bicra i-ral-rer un *lr :ctrón, pero debido a aigún
<lt, fectr¡ en ir estructura del sól ido. falJ.a el eiectrón; dccimos que hay u hueco
decirónico" C.r iando por algui la razt in u¡r electrón cercai lo se mueve para l lenar
ei hueci l , r leja e'. ' identemente ln huecc en ei lugi: i donCe csl¿ba. Por 1o tanto los
hi i i rr :cs cieclró¡ 'r iccs se i i l t i r tverl cn seni j<io e-ractamc¡ite opr¡estc ai de los electrones
ncglt i ivos i .u;o ia acción de u¡l c¿¡rno clérl i ic i ' r apl icado. Pc,Jemos decir que los
hue¡i(¡s elcclrónicos se cornpGrti¡n e c¡r1o si fuera.rr ¡rartículas posit ivas. Por lo tanto,
el ei¡cto Hall consti tuye r:n métor-1(r l l . i i r . i ' út i l para Cetermirrar ci signo de las cargas
i1| . los porfadores de corr ie¡¡te eiéctr ica en urr cun<luctor.
75.8 ilToaimiemto d,e un{t r:{ñrgd, en uft eürnfto rnagnéttco
Consideremos primeramente el movirniento de una particula cargada en un campo
magnético uniforrne, es decir, un campo nagnético que tiene la misma intensidad
y dirección en todos sus puntos. Para simpiificar, consideraremo.s primero el
caso de una partícula que 
-qe mue\e perpendicularmente al campo rnagnético(fig. 1ir-4); la fuerza está dada entorrces por !a ec" {15.4). Como la fuerza es per-
pendii:ular a la veiocidad, su efr:it* es canbr¿ir ia ciirección de la velocidad sin
cambiar sr; mírdulo, resuitando uri n;i,r inli.r i¡ l,. i c:irr:ular uniforme. L,a aceleración
es por lo tanlo centrípeta y usatdo le etuaciirn de movi¡nienr;o (7.28), tenemos
15.3) Llouimiento de una carga en un campo magnélíco 517
F' .-' p¡21v, donde F está dada por la ec. (1b.4). Escribimos por lo tanto
ñ,2
_-qúb
t
la rual da cl radio de la circunferencia descrita por Ia particrrla. por
usando los datos del ejemplo 15.1, vemos que los protones describirían
mu
, 
- 
-;=,qD
. : J-q.
.m
(15.5)
ejemplo,
una cir-
cunfcrencia de radio 8 x 105 m si el cam-
po fuera uniforrne. Escribiendo r : (¡r,
donde <¡ es la velocidad angular, tene-
i-nos entonces
(15.6)
Por lo tanto la velocidad angular es
independiente de la velocidad lineal u y
depende solamente del cociente qlm y
del campo cB. La expreión (1b.6) da el
módulo de c,: pero no su dirección. En la
ec. (5.58) indicamos que la aceleración
en un movimiento circular uniforme se
puede esc¡ibir en forma vectorial como
ü: e) x o. Por lo tanto, la ecuación de
movimiento,F' : /7?l Ies
m@x?):qOxff)
* En rigor, tendrÍamos que haber escrito ú)
trar ia; s in , . ) ¡nbargo la ec. (15.6) indica que
Flg, l5-4. Una carga que se mueve
perpendicularmente a un campo mag_
nético uniforme sigue una trayectoria
circular.
o, invirtiendo el producto vectorial en el primer miembro y dividiendo por m,
@xn:_@lm)cl3xa,
lo cual impiica que
@ : 
- 
(qlm),ü, (15.7)
la cual da a¡ tanto en módulo como en dirección y sentido.* El signo menos in-
dica que a¡ tiene dirección opuesta a la de ?3 para una carga positiva y la misma
djrección para una carga negativa. Llamaremos a a frecueicia ciclolrónica por
razolles que se explicarán en la sección 15.4(c) cuando tratemos el ciclotrbn.
Es costumbre representar un campo perpendicular al papel por un punto (.)
si está dirigido hacia el lector y por una cruz (x) si está áirigloó hacia la página.
: 
- 
(qlm)T * lo, donde ), es una constante arbi-
debernos poner ). : 0.
518 Interacción maonética
q
aoaaa
posi t iva; G hacia arr iba,
co hacia abaj<'r
(a)
aaaaaa
r¡ negativa ; (B y ro hacia arriba
(b)
FiS. 1ó-5. Trayectorias circula-
res positivas y negativas en un
campo magnético uniiorme.
(15.3
Fig. 16-6. Fotografia, tomada en una cá-
mara de niebla, de trayectorias de partfculas
cargadas en un campo magnético uniforme
dirigido hacia la página. ¿Puede el estudiante
identiflcar cuáles son las cargas positivas y
cuáles las negativas?
La fig. 15-5 representa la trayectoria de una carga positiva (a) y una negativa (b)
moviéndose perpendicularmente a un campo perpendicular a la página. En (a)
@ está dirigida hacia la página y en (b) hacia el lector.
La curvatura de la trayectoria
de un icn elt un campo magnético constituye
un método para dcterminar si su carga es uegativa o positiva, si sabemos cttál
es el sentido de su movimientc. La fig. l5-6 muestra las trayectorias de varias
particulas cargadas que se han hecho visibles rnediante una cámara de niebla*
colocada en un campo magnético. El campo magnético aplicado es valias veces
más intenso que el de la tierra, de modo que el radio de la trayectr¡ria es del orden
de las djmensiones de la cámara de niebla. Nótese que las trayectorias se curvan
* La cáma¡a de niebla es un disposi t ivo que cont ienr: una mezcla de gas y vapor en la cual la
trayector ia de una part ícula cargada se hace vis ib le er: 'nCensando el vapor sobre iones del gas.
Los iones son producidos por la interacción ent¡e ]es partlculas ca¡gá,das y las moléculas del
gas. La condensación se logra enfr iando la mezcla meci iante una expansión rápida (adiabát ica).
La mezcla puede ser aire y vapot de agua.
-L
15.3\ l,Iouímiento de una carga en un campo magnético 519
trlg- 15-?" Fotografla de la trayectoria
d.e un positrón (elecLrón positivo) en un
campo magnético dirigido hacia la .pá-
gina, tomada por Anderson en una cá-
mara de niebla. Esta lotogralla cc¡nsti-
tuyó la primera (1932) evidencia expe-
rimental de la existencia de los positro-
nes, que habfan sido predichos teórica-
mente por l)irac.
en sentidos opuestos, lo cual indica que algunas partículas son positivas y otras
negativas. Puede observarse que algunas de las partículas describen una espiral
de radio decreciente; esto indica que la partícula está siendo frenada por coli-
siones con las moléculas del gas. Esta disminución de la velocidad ocasiona,
según la ec. (15.5), una disminución del radio de la órbita.
La ec. (15.5) nos dice también que la curvatura de la trayectoria de una par-
ticula cargada en un campo magnético depende de la ener$a de la particula;
cuanto mayor es la ener$a (o el momentum p - mu), mayor es el radio de Ia tra-
yectoria y menor la curvatura. La aplicación de este principio condujo en 1932
al descubrimiento del posítrón en los rayos cósmicos. El positrón es una particula
fundamental que tiene la misma masa me que el electrón pero una carga positiua
+ ¿; su descubrimiento fue fruto de los trabajos del físico norteamericano Carl
D. Anderson (1905- ).* Fue Anderson el que obtuvo en una cámara de niebla
Ia fotograflía de la fig. 1t7. La banda horizontal que se ve en Ia figura es una
plancha de plomo de 0,6 cm de espesor que se ha colocado dentro de la cámara
de niebla y a través de la cual ha pasado la partfcula. La parte inferior de la
trayectoria de la particuia está menos curvada que la superior, lo cual indica
que por encima de la plancha la partícula tiene menor velocidad y energia que
por debajo; en consecuencia la partícula se mueve hacia arriba ya que debe perder
ener$a al pasar a través de la plancha. La curvatura de la trayectoria de Ia
partícula y el sentido del movimiento con respecto al campo magnético indican
r¡ue la partícula es positiva. La trayectoria se parece mucho a la de un electrón
-- pero de un electrón positivo. Usando la ec. (15.5) podemos escribir p:¡ny:flJr;
aur Io t*nto, si en Ia fotografía medimos ¡ y suponemos que q : J, podemos
calculrf p; el resultado de este cálculo es que p tiene un orden de magnitud co-
:respc;idi:rirtq a una partícula que tiene la misma masa que el electrón. Un aná-
t Sin ernbrrgo, la existencia de esta partfcula habfa sido predicha unos años antes de su des-
cubrimiento, por el físico británico Paul A. M. Dirac (1902- ).
520 Inleracción magnética (1s.3
.lisis más d.etaiiadr nos perrrrite encontrar Ia veiecjtl¡lcl de la partícuia y por lo
ianto deterrninar su masa, obtcnier¡do un acuerdo totai cr:n ia masa del electrÓn.
Si una particula cargada se ml,¡e'/e inicialmente en u.na dirección que no es
perpendicular al campo magnético, ,oder¡ltrs dcsct,rnpr.rrier ia velocidad en sus
componentes paralela y perpendicular al campo triaglrtitico. La componente pa-
ralela permanece constante y !a perpcndicrrlar cambia continuamente de direc-
oión pero no de magnitud. El movimiento es eulonces el resultantc de un movi-
' lniento uniforrne en la direccjól del canlpo y un movimicnto circular alredcdor
,,1c1 campo con velociCad anguiar dada pcr !a r,1.. i l i 'Si. I-a trayectoria es ulta
hei¡ce, cLirnü se rnuestra en i:: fig' 1!8 para tl ca-r¡' ¡le r::r ion positivo.
l i ir+ hech¡ nrás que se dedriee de la ec. í15.5) es {iui- t:r. l. 'rr it-o üravor es ei campc
ri i iEi;éi;.co, i icrror es cl lacirc de la i.r;r-Yectoria dg lr pr:rt icl l la eiirgada. Por !o
¡:ini.r: $i t: j carnp¡r ita,-qlétici; ¡ro r:s r:nilctn-,c, la f-¡:¡vtrtoria l lo es circtl l*r. La
: : . ¡ " l , ' ; ; ! : ' Int :c i i ¡ : : ¡ i r ; ;1: i : i ! { . t ! i th,r . : r ! , l i ) { r { i i i ' i ' , - : i i i l i l t , i . ' , i1, t ie i , ja a r l t ¡ ' . :cha Con sl i
. , . t . , i ' , r ,1 : i l ; r . !e1l i l : : , i i . ' t i , , i , . r ; . ' , " : .1; ' i 'Cei ' . i i , ¡ :o i 1r ' t l ' r r t t { t l i Í l t p: f t iCul : . i ¡ lvL ' i ' "
: . ' . r i : : f i : ' l ' : , , . i ] : , . , i ; . , . . ' , r . ' . ; 'J¡ ' ' r r r l l j ) i ) ¡ . l "Si . : ; i ' ' l l l i ' : , l ¡ , i . f , : l l ;1 i . í ' l f ¡Ci¡ l . i l - l ¡ l i .v ; le
. . : t : - 
. . . . . . . , : . I : , ; . r ' ¡ , r r . , . . i ' . : . t ; ] : ,1- . i , , l i f r ; ¡ ; i , r : , : i ] tJ , : l : l ; ; , : t : i : l i : i , . l : : ; , t i ; l : ' ! . :
, ; ; . ' . l i r i t ; ]1: ' j r ' j : : : l ; . i ¡ . i ; ; i1t , . . - , i ; t " ; ' : ' : i r i ' , : ; . \ . t : i ' ; ' ) .1! l t r ! : ' . i r { - . i } .1-11: i i i : t
i . ' j . , , . ; : - r I i ; , ¡ ¡ , t l i j t : j j=t : ' : ; . ¡ i i i - ; ,e; ; i : is l l i i , l i . " . ' i . i e
: r r . . " ¡ l l ; . ! i ; i . , i : ; l f ¡ .1. i ; r ! ; . . : . i l : r l .1 . ; r { t i : l : t , l l , '1+ ¡- i i { : r i , l . i r i r l { l t l i : : i f lCnS; l l ¡e¿i , ] . , ]
I t , ! t . t , r ) . t : , . ' r i i i i ' r : ; ] f l . : ( i i l , . ¡ ; : l " . . .11; : ' i t . ' : . i ; . r :1 l i i ' - i ; . 5 ' - . r1 i , ¡ . : r . 51. ' l i : i l iar f i )e gl 1 ' l l i l lF ' i
t , , , , , , , , . , i . ; r , r l s : : r s i ¡ t l r icr ; t ¡ j i r r i , -1Lir i ' ¡ ig l , ' . . ' ' i¿ l 1; : i i i . icuir r . . i í i i , :3{ i I } : : - \ ' ( } j !c? ' o 5t¡ i e
. ¡ ! . i . t * { { : . ,1; i r , i i ; i i i : r i . l ¡ : i ! l i : r l i i : . r i : . ¡ : l f t i } i - l r : lÉi) ' . ' i : l : f r " P. . l r l t ; i .at i l .O, ¡- ¡ r iCt i ida Ct la Ui l
i i : i . i ; ; ' r ' r ¡ i l lagr-{ i ' t :ú ' . } ¡ i l ¡ r la¡r ta ul¡ ; : . . i i ,^ : ¡ : i . jad, , ' ' t ¡ ¡ ¡ ; , , r , rO a ¡ct t ¡¿r cíJ¡ : rc ie l lector d. :
I l . l r i icül¿t3 i :a;gad;s r) ] c: ' j t i r : t 3e . ' l - ' : r i ( ,n l t : ' i t r í Ier : t .c, c i i rcú r in e.{ptJc magriél ico"
Slste ¿feri 'o se usa ampiiamrrntc Lr¡ra coitl-¿iier gases itni;.ados o pl:rsmas.
En ia !ig. 15-10 se hil repiesentidc ctra l i[uar:ión, i)ri la que ull campo mag-
rrétiüo perpe¡rdicular a la piigina aurrenta de intensidad de derecha a izquierda.
También se ha indicado la trayectoria de un irln positivo inyectado perpendicu-
larurente al campo; esta trayecilria está más curvada a la izquierda, donde ei
campo es más fuerte, que a la derecha, donde es más débil. La trayectoria no es
cerrada y la partícula avanza a través del campo perpendicularmente a la direc-
ción e¡r que éste aumenta.
Un ejemplo interesante del movimiento de iones en un campo magnético es
el caso de las partículas cargadas que inciden sobre ia tierra prevenientes del
espacio exterior, las cuales constituyen parte de Io que se denomina ragos cósmi-
cos. La fig. 15-1 1 muestra las líneas de fuerza del campo magnético terrestre.*
Las partículas que inciden
según €l eje magnético de la tierra no sufren desvia-
ción alguna y llegan a Ia tierra aunque tengan energía muy pequeña. Las par-
tículas que caerr oblicuameirte con respecto al eje magnético de la tierra, describen
una trayectoria.helicoidal, que puede ser tan cilrvada si las particulas se mueven
muy lentamente, que las mismas no ilegan a Ia superficie terrestre. Las que llegan
r En; 'eal i t l¿ i i , e l cainpo magnét ico que rur:ea la t i t ¡ ra preserr la ver ias anomalfas locales y rrna
disto¡sión glol ia i en i i iecciún opuesta al s¡ l , ias cualcs no se ven cn la representación esque-
mát ica de la f ls . 15-r i .
15.3\
Ftg. 16-9. Trayectoria de un
ion positivo en un campo
magnético no uniforme,
G ¡r) tenso
Mauímienlo de una carga en un campo magnélico 521
Fig. 15-8. Trayectoria helicoidal de
un ion positivo que se mueve oblicua-
mente respecto a un campo magnético
uniforme.
Fig. 16-10. Movimiento plano de un
ion arrastrado por un campo magnético
no uniiorme.
Interacción magnélica (15.3
É)nergia baja,
aprclx i tuadalnente polar
Energfa al ta,
aproxinadamente polar
Eje Electrón
rotación atrapado
Electrón
atrapad
Energla al ta,
(o entrante)
FtS. 15-11. Movimiento de partfculas cargadas de Ios rayos cósmicos en el campo
magnético terrestre.
sobre el ecuador magnético experimentan la mavor desviación porque se mueven
en un plano perpendicuiar al campo magnético; en consecuencia sólo las par-
tículas que tienen mayor energia pueden alcanzar la superficie terrestre. En otras
palabras: la energía mínima que una partícula cósnica cargada debe tener para
llegar a la superficie de la tierra, aumenta a medida que se va del eje magnético
terrestre al ecuador rnagnético.
Otro efecto debido al campo magnético terrestre es la asÍm¿lría este-oeste de la
radiación cósmica. No se conoce con certeza si las particulas cósmicas cargadas
son preponderantemente positivas o negativas; sin embargo sabemos, sí, que las
particulas de cargas opuestas sorr desviadas en sentidos opuestos por el campo
rnagnético terrestre. Si en los rayos cósmicos el número de particulas positivas
que llegan a la tierra es difercnte del de particulas negativas, debemos observar
que ios rayos cósrnicos que llcgan a urr lugar dado de la superficie tenestre en
direccjón cste del ce¡]it, t ienen rtna i¡:teilsirl*d dilerente a la de los que ilegan
en dirección oeste dei cenit. Lcs resultados errperimentaies eslán ampliantent* a
favor de una mayoria de particulas cargadas positivamente.
Energía baja,
aproximadamente
aDroxinradalnente \z
- 
u.u"toti¡t 
-,'/ \\_:;:2- \
l
I
agnetÍco
15.4) Ejemplos d.e mouimienÍo de partlculas s23
Lss cíntt¡rones de radiacíón de Yan AIIen son otro ejernplo de la interacción
de partículas cósmicas cargadas, con e] campo rnagnético terrestre. Estos cintu-
rones están compuestos de partÍculas cargadas rápidas, principalmente electrones
y protones, atrapados en ei cer$po magnetico terrestre. Ei primer cinturón se
extiende aproximadamente entre los 800 y lss 4000 km de la superficie de la
tiema, mientras que el segundo se extiende a unos 60.000 km de la tierra.* Fueron
descubiertos en 1958 por medio de aparatos que llevaba un satélite norteameri-
cano Explorer e investigados por la sonda lunar Pioneer IIL Para comprender
mejor cómo Ias partícnlas cargadas son atrapadas en los cinturones de Van Allen,
consideremos, por ejemplo, un electrón l ibre producido por la colisión entre un
átorno y uira particula cósmica a muchos kilómetros de la superllcie terrestre;
la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético terrestre hace
que ei electrón viaje en una trayectoria curvada. Sin embargo, Ia intensidad del
campo es mayor más cerca de la tierra. EI resultado es un movimiento similar
al mostrado en la fig. 15-10, desviándose el electrón hacia el este debido a su
carga negativa (para cargas positivas Ia desviación es hacia el oeste). La compo-
nente de Ia velocidad paralela al campo magnético terrestre da lugar a un efecto
adicionai, que hace que las partículas avancen en espiral hacia uno de los polos
siguiendo las líneas de fuerza magnéticas, en forma similar a la mostrada en
la fig. 1ts8. Debido al aumento de la intensidad del campo magnético hacia el
norte o hacia el sur, el radio de giro se hace cada vez rnenor, disminuyendo al
mismo tiempo la componente paralela de la velocidad, como se explicó en rela-
ción con el efecto de espejo magnético de la fig. 1il9. Cada electrón alcanza una
latitud norte o sur determinada para la cual se anula Ia componente paralela
de la velocidad; latitud que depende de la velocidad inicial de inyección. El elec-
trón retrocede entonces hacia el polo opuesto. El movimiento resultante es por
lo tanto un cambio de longitud hacia el este y una oscilación norte-sur en latitud.
El movimiento se repite continuamente, quizás durante varias semanas, hasta
que el electrón es expulsado del cinturón de Van Allen por una coüsión que ter-
rnina con su condición de prisionero. Con los protones atrapados ocume una
situación similar.
75.4 Ejemplos d,e tnoairniento departlculas eargadaa enun earnlro
rnagnético
En esta sección ilustraremos varias situaciones concretas en las cuales un ion
se mueve en un campo magnético.
(a) Espectrómetro de mdsas" Consideremos el dispositivo ilustrado en la fig. 15.12.
Alü f es una fu.ente de iones (para electrones puede ser simplemente un filamento
* Hay bastante evidencia de que el cinturón interno está compuesto por protones y electrones
provenientes de la desintegración de neutrones quo han sido producidos por la inte¡acción de los
rayos cósn.ricos con la atmósfe¡a terrestre, El cinturón externo consiste principalmente en par-
tfculas cargadas enritidas por el sol. La actividad solar está asociada con un ar¡mento de estas
partlculas, y su tlesaparición del cinturón de radiación es la causa de la actividad auroral y del
enmudecimiento rle las ¡adiotransmisiones,
524 Interacción maqnétíca {15.1
caliente) y ,Sr y 5" son dos ien.l i jas est¡echas ;.r i. i : 'o.,És de i ir-q ri lr ies pasari los
iones siendo acelerarlos por lrr diLerc¡cui dc polelciai 'v' :r,ri icada enlre ambas.
La veiocidad de sal ida c ie ics i i , l ¡ :s se c,¡ lcuia É p¡I i i i dt ia ec. i14.38i , ia cu¿r l da
uz:2 {A } u.
\ in l
(15.8)
Hn ia región que esti i por rl:):ajrr ; lr: la:; renil: jrr hav un carcpo magnético
uniiorme dirigirio hacia el lectc¡'. I i , i i :¡ l 
' jescribi:á cntcnccs una órh'ita circuier,
*url'aiia cn un sentid{i G en otrr; srgúl sea el signr..: rie :;-r,l carga g. Después de
describii una ser¡ricircunferencia jc: r¡¡nrs itrcrci.en sobre ¡ing placa fotográfica P,
dejando una marca. EI radio ¡ de la óririta está dado p.or la ec. (15.5), de la cual,
Pl¿rea
fotográfic¿ 1)
FlS. 16-12. Espectrómetro de ma-
sas de Dernpster. 1 es una fuente de
iones. Las rendijas S, y Ss sirven de
colimadores del haz de iones. V es
la diferencia de potencial acelera-
dora aplicada entre ,S, y Sr. P es
una placa fotográfica que registra
la l legada de los iones.
despejando Ia velocidad u, obtenemos
v: Q cryr.
m
Combinando las ecs. (15.8) y (15.9) para eliminar u, obtenemos
_g- : 2V
m 
-- (larz,
(15.e)
(15.10)
que da la razón qlmen función de tres cantidades (V,(-tri, yr) que pueden medirse
fácilmente. Podemos apiicar esta técnica a electrones, protones y cualquier otra
partícula, átomo o molécuia cargada. Midiendo la carga q independientemente,
podemos obtener la masa de la partícula. Estos son los métodos que se men-
cionaron anteriormente en la sección 14.5.
El dispositivo de la fig. 15-12 constituye rn especlrómet¡o de masos, porque
separa los iones que tienen la misma carga q pero diferente masa m ya que de
acuerdo con la ec, (15.10), el radio de la trayectoria de cada ion cambia según
el valor de qlm del mismo. Este espectrómelrr; particular
se denomina espectrG
metro de rnasas de Dempslr, Se ira.n de-carrcii¡rdo otros tipcs de espectrómetros
de masíis, l.cdos basadcs en rl r¡¡jsrrc principro. l"os cirntif¡cos que usaban e::ta
técnica, drrcubriercn err la década d-sl !(] que áisuros dei n.l isnrt¡ elenrento quimico
15"4) Ejemplos de mouimienlo de partículas 525
no tienen necesariamente la misma masa. Como se indicó en la sección 14.7, las
diferentes variedades de átomos de un elemento químico, variedades que difieren
en la rnasa, se denominan fso/opos.
El dispositivo experimental de la fig. 15-12 puede usarse también para obtener
el cociente qfm para una particula que se rnueve con velocidades düerentes. Se
ha encontrado que q/m depende de u como si q permaneciera constante y m vd-,
riara con la velocidad en la forma indicada en la ec, (1,1.7), es decir, m:mol
/ | - vTF. Por lo tanto concluimos que
Ia carga eléctríca es un ínuarianle, siendo Ia misma para todos
los obseruadores en mouímíento relatíuo uníforme,
(b) Zos erperímenlos d.e Thomson, Durante la última parte del siglo diecinueve,
hubo una gran cantidad de trabajos experimentales sobre descargas eléctricas.
Estos experimentos consistian en producir una descarga eléctrica a través de un
gas a baja presión colocando dentro del mismo dos electrodos'y aplicándoles
una elevada diferencia de potencial. Se observaron varios electos luminosos
según fuera la presión del gas dentro del tubo. Cuando se mantenÍa el gas dentro
del tubo a una presión menor que un milésimo de atmósfera, dejaban de obser-
varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosa
en la pared del mismo en el punto O directamente opuesto al cátodo C (fig. 15-13).
Por lo tanto se hizo la hipótesis de que alguna radiación era emitida por el cátodo,
la cual se movía en línea recta hacia O: de acuerdo con esto la radiación fue lla-
mada rcyos calódicos.
Fig. 1ó-18. Bxperimento de Thomson para medir qlm. Los rayos catódicos (elec-
trones) emitidos por C y colimados por A y A' llegan a la pantalla S después de
atravesar una región en donde se aplica un campo eléctrico y uno magnético.
Los experimentadores añadieron dos placas paralelas P y P' dentro del tubo y
aplicaron una diferencia de potencial, produciéndose un campo eléctrico C diri-
gido de P a P', EI resultado de aplicar este campo eléctrico fue que la mancha
luminosa sa rnovió de O a O', o sea en el sentido correspondiente a una carga
eléctrica negafivir. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplernente una
ffil= i = : ::: : : : : : ::-- :: 
- - -
526 Interaccíén masnético. (15.4
la carga de cada parti
calcularse apiicando la
coniente tle partículas cargadas negativamente. Si qr es
cula y u su velocidad, la desviación d : OO' puede
ec. (14.9): qf.aimuz : dlL.
La fuerza eléctrica sobre la partícula es qd y está dirigida hacia arriba. Supon-
gamos que a continuación aplicamcs. en la misma región donde está C, un campo
magnético dirigido hacia cl papel. l,a luerza magnética es, según la ec. (15.4),
qflS 
.v está dirigida hacia abajo pt¡íi jue q e$ una carga negativa. Ajustando ?3
e¡r fortna a¡rropiuda, podemcs irírr:er',t i ic la fuer¿a magaética sea igual a la eléc-
i . i icu; egto da i ina rcsui tante nr¡ la. . ' i i i l r l¿nr 'hÍ- . iu¡nint¡sa vt¡elve de O'a 0, es
decir qire rio hay desviación de ios ¡a-"os catóriicos. [,¡rt,¡nres q€-: qfl3S v : (: ' ' lr.
l lsto perrtite nredir la ., 'etocidari dc ia ;:ari icula cargada. Sustituyendo este valor
,. ie ¡¡ ün )a ec, (14.9), olrieneliros ia ¡'a¿ún qlm dt las prirtículas quc consti i.u,ven
irs rayos catódiccs,
qlm : iC|ü1.a.
ifste. íue u¡:o ire los priureros experiri lent.r clignos de confianza pa.ra rnedir qim
v pi'cpi:r 'cicnri i¡rürectamente una irrueba de qrie ios rayos catóciicos consistet
rn prartículas cargadas ne¡;ativamentr', l lamadas t: les-.trones desde entonces.
Estos y otrcs experimentos simiiares lueron publicados en 1897 por el f isico
británico Sir J. J. 'I'homson (1856-1940), que invirtió muchos esfuerzos y tiempo
tra.tando de descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Hoy en día sabemos
que los electrones libres presentes en el metal que constituye el cátodo C son
arrancados o evaporados dei cátodo como resultado del fuerte campo eléctrico
apücado entre C y A, y son acelerados a lo iargo del tubo por el mismo campo.
(c) El cíclolrón. El hecho de que la trayectoria de una particula cargada en
un camJ)o magnético sea circnlar, ha permitido el diseño de aceleradores de par-
tlculas que luncionan cíclicamente. [Jna diflcultad con los aceleradores electros-
táticos (descritos en la sección 14.9) es que la aceleración depende de la dife-
rencia total de potencial V. Como el campo eléctrico dentro del acelerador es
( : Yid, si V es muy grande, la longitud d del tubo del acelerador también debe
ser muy grande para impedir la formación de campcs eléctricos intensos que
producirir.rr el salto de chispas e¡ri.re los mal;eiiales del tubo de aceleración. Un
tubo de aceleración lnuy iargo prt 'senta, adtmás, varias dif lruitarles técnicas"
Pr¡r ei contrario, en un act' leradcr cíclico una carga eléctrica puede recit¡ir una
serie de aceleraciones pasando muchas veces a trar'és de una diferencia depoten-
cial relativamente pequeña. El prirntrr instruinento que trabajó según este prin-
cipio fue el cíclotrón, diseñedo por ei físico norteamericano E. O. Lawrence. E,l
primer ciclotrón práctico comenzó a luncionar en 1932. Desde entonces nume-
rosos ciclotrones han sido construidos en todo el mundo, teniendo sucesivamente
cada uno mayor energía y mejor diseño.
Un ciclotrón (fig. 15-1a) consis|e esenciaimerte en una cavidad cil indrica divi-
dida en dos mitades D, y D, (cada rina l lam¡da "tle" por su forma), la cual se
coloca en un campo magrretico uil i lorme paralelo a su eje" Las dos cavidades
están aislarias eléctricamente rina de oira. J:-n ¿-:l ce¡rtro clr: l espacio entre la.s "ties"
se coioca r:na fuente Ce iones S v se aulica entre ias mismas una diferencia de
15.4\ Ejemptos de ntovímíenlo de partlculas 527
potencial alterna del orden de 104 V. Cuando los iones son positivos, son acele-
rados hacia la "de" negativa. Una vez que el ion penetra en una "de", no expe-
rirnenta fuerza eiéctrica aiguna, porque el campo eléctrico es nulo en ei interior
de un conductor. Sin embargo, el canrpo magnético obliga a los iones a describir
una órbita circular con un radio daclo por la tc, (15.5), r : mulfb, y una velo-
cidad angular igual a ia frecuencia ciclotrónica de las partículas, dada por la
ec. (15.6), u : ()31m. La diferencia de potencial entre las "des" oscila con una
frecuencia igual a <¡. De esta manera la diferencia de potencial entre las "des"
está en resonancia con el movimiento circular de los iones.
I l- l*l
Fie. 16-14. üomponentes básicos ie
un cicloirón. La l i ¡ :ea de trazos
tnur 'st l 'a la t ra¡rctor ia dc un ion.
Despues que ia partícula ha descrito media revolución, se invierte la polaridad
d* las "des" y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeña
aceleración. La semicircunferencia que describe a continuación tiene entonces un
radio mayor, pero Ia misma velocidad angular. El pr<.rceso se repite varias veces
hasta que el radio alcanza el valor máximo R que es prácticamente igual al radio
de ias "dcs". El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las
"des" y la partícula se mueve tangencialmente, cscapando a través de una aber-
tura conveniente. La máxima velocidad u-^* está relacionada con el radio R
por la ec. (15.5), es decir,
f f :
l l
Gl I
t l
l i
fB
umáx : la\qgo.\ml
La energÍa cinética de las partículas gue emergen de A es entonces
E¡ : !muln6* 
- 
tq (* ) 
.*o', (15.1 1)
i l i l l l l i l { . l l l ' - '. ¿1-----z/a.;-===-7..
/ , ' t ' . t 
- - , f , 'n
y'---
-l-i\)
*-':-::-íi,
528 | nteracciótt tnaqnélíca
(15.4
Y está determin: lCa por l : is c l t r ; t t " t r í5r-rc ls i j t ' i : ' pí t l ' i ; " ' ; :1, i : r i i r t ' r ' : t ls i t la¡ l dei cam¡lo
niagnético y el radio <lei ciclot.r ixr, [-1i] iu r 's inr lcl tr- ' l t ¡1:r: i i tc t i .- i ¡rotencial aceierador.
Cuando la ¡ i i ferenci¿r cle ¡rotcrr: . : : i l i { is pc(l( i i j I l ¡ i : r puri . i r . :rr i i l Liene qite dar muchas
vueltas irasta aciqui l i r la ener,gla i ;rr l t l ; cr i¿trrÚí) cs gl irr tde sÓlo se requieren unas
pocas vuel tas para ar iquir i r la i ¡ l is l l . t cn*r¡ i t { r .
La intensidad del campo niagneiico rrstr i l i ¡ i i iLarla por lactores tecnoiógicos,
tales cr¡mo la disponibi l idad , le ntatr:r i¿.. ics c¡rrt ias propiedarles requeridas, pero
en principio, potlemos acelerar i : l ¡r ; i r1.ír-¡r l i¿1 i i i tsta cualt luier energía, construyendo
irnales r le radio suficienternente grtrnt i t ' . Sin c:rnbargo. cuanto mavor es el imán,
rr layL)r es el peso v el costo. Aric¡ l i¿is. a t tedi i lu que ia trnergia autnenta, también
aumenta la velocidad dej ion, co¡l i l i ;ur, ' r :ambia la, rnasa de acuerdc con la
ec. { i1.7), m: n¡y ' l - - r ; ¡ f . L l ta ' r , i ¡ i r energÍa es muY grande, la var iaciÓn
tle niasa cs suflciente como para ql,c cr.tnbie ¡preciableinente la frec.uencia ciclo-
t i : .ó¡r ica C*l i ,¡ ,n. En conse i :uencia, a r1.) sirr í ]¡ . !r t se cambie la lrecuencia ciel potcncial
r:léct¡:ico, la rir!:iLa de la ¡rartirulil \::-¡ !lo tsllr¿i €n fasc con el potencial oscilante
_1: na será accier:t<.1a. Es por esio i i r j ' . i t : l r r i i ic ict lór: la r:nergía cstá l imitada por
ei electtr r¡ lat i l ista ssbre la rnasa.
EJEM7LO 75.:] . El ciclotrón de ia Universided de Michigan t iene piezas polares
con. un diámetro cle 2,1 m y un radio de extracción de 0,92 m. El campo magnético
máximo es )J : 1,5 T y la máxima frecuencia alcanzabie por el potencial acele-
rador osci lante es 15 x 106 Hz. Calcular la energia de los protones y de las par-
t lculas d que se producen, y Ia frecuencia ciclotrónica de las mismas. Teniendo
en cuenta la variación relativista de la masa, ¿cuál es la diferencia porcentual entre
1as frecuencias ciclotrónicas en el centro y en el borde?
Solueióm: Usando la ec. (15.11) con los valores de la carga y de la m&Sa correspork
dientes a los protones y a las partfculas alfa, encontramos que las energías cinéticas
de ambos están dadas Por
E¡:1,46 x 10-rrJ:91 NIeV.
La lrecuencia ciclotrónica de Ia partfcula alfa es aa:7,2 x 107 s-1, que corres-
ponde a una lrecuencia vo : roof2n : 77,5 x 706 Hz, que está dentro del alcance
de la frecuencia máxima de la máquina. Para los protones encontramos el doble
de esta frecuencia: '22 x 706 Hz. Esta es la trecuencia con que el potencial api icado
a las "des" debc variar; pero como la máxima frecuencia del ciclotrón es, por cons-
trucción, 15 x 106 Hz, esta máquina no puede acelerar protones hasta la energla
teórica de 91 MeV. ' Iomando la máxima frecuencia osci latoria, tenemos que
o¡¡:9,4 x 10? s-1. El 'campo magnético correspondiente a la resonancia ciclotró-
nica es 0,98 T y encontramos que la energfa cinética de los protones está l imitada
por la frecuencia a
p, : lmvz : lmtorRt : 0,63 X 10-1r J : 39 MeV.
A una energfa E : nTocz t E4 la masa de la partlcula es
m:Elcz:moiEt lcz,
de modo que Erfcz es la variación de masa. f)e la ec. (15.6) deducimos que la fre-
cuencia ciclotrónica es inversamente proporcional a la masa, por lo que, si o Y oo
son las frecuencias correspondientes a las masas m V mo de la misma partlcula,
podemos escribir co/oro : mofm, ó
_@o 
_ 
_ 
rfl_nlj- : _ __E:l!,_ : _ E* _
06 m mt, * Erfcz mocz ! Et
1s.4) Ejemplos de mouímiento de partlculas 529
El primer miembro da el cambio porcentual de la frecuencia ciclotrónica y el se-
.gundo el de la masa. Para energías relativamente bajas podemos despreciar en el
denoniinador la energia cinética E¡ frente a mocz; poniendo A<¡ : <¿ - oo, obtenemos
A<¡ Et
; : - -^,ü
Por lo tanto, mientras la energla cinética de las partÍculas sea pequeña comparada
con su energía en reposo, la variación de frecuencia será muy pequeña. En nuestro
caso tenemos: para partfeulas alfa, Acof<o : - 0,024 : 2,4oA, y para protones,
A<o1<r 
- 
-0,0.12 :4,2o/o.
Los resultados obtenidos en este ejemplo indican también que, como los electro-
nes t ienen una masa en reposo alrededor de 1/1840 la del protón (sección 14.5),
la energía cinética hasta la cual se pueden acelerar (sin apartarse apreciablemente
de su frecuencia ciclotrón¡ca) es también 1i1840 la de los protones. Es por esta
razón que no se usan ciclotrones para acelerar electrones.
El efecto relat ivista sobre la masa puede corregirse, sea cambiando el campo
magilét ico de modo que a cada radio el valor de ( ' permanezca constante a pesar
de la variación de la masa, o cambiando la frecuencia del potencial aplicado a las
"des" y manteniendo el campo magnético constante mientras la part lcula gira en
espiral, de modo que en cada instante haya resonancia entre el movimiento de la
partfcula y el potencial aplicado. El prlmer diseño se denomina sincrotrón y el
segundo sincrociclotrón. Un sincrotrón puede funciona¡ continuamente, mientras
qr¡e un sincrociclotrón funciona a chor¡os por Ia necesidad de ajustar la frecuencia.
Algunas veces, como en el sinc¡ol¡dn prolónico, se varlan tanto la frecuencia como el
campo magnético para mantener constante el radio de la órbita.
EJEMPLO 75.4. Estudiar el movimiento de una partfcula cargada en campos
magnético y eléctrico cruzados.
Solución: En los ejemplos dados anteriormente en este capltulo, hemos considerado
solamente el movimiento de una partfcula en un campo magnético. Examinaremos
ahora el caso de que haya también un cam-
po eléctrico, por lo que debe usarse la ec.
(15.2). Consideraremos sin embargo una si-
tuación especial: cuando los campos eléctrico
y magnético son perpendiculares, como se
muestra en la fig. 15-15. La ecuación de
movimiento de la partlcula es
dtt
^i :q( f+ox.I l ) .
Hagamos una transformación de Galileo
del sistema XYZ a otro sistema X'Y'Z' que
se mueve con respecto al anterior con velo-
cidad relativa
Cxlg
ao: -$-
Luego, si rr: 'es la velocidad de Ia part lcula respecto a X'y'Z', podemos escribir
tr : o' * oo y doldt: da' ldt. Por lo tanto la ecuación de movimiento puede escri-
birse conro
* #-: q(C + u' x 'lJ -i- .ro r 'B).
z'
X
xr
: Ur -7a.
Figura 16-16
530 Interacción magnélica (15.5
Peroco")J:(uz€l ' i3)xut)--rcyd-:--( : .Entoncirs,elpr i rneroyclúl t imode
Ia ecuación precedente se cancelan y Ia ecuación de rnovin¡iento en cl sistema
X'Y'Z' CS
do'
: oÜ' x ]).
dt
Vemos entonces que, con respecto a X'Y'Z', 
' : l movimiento es como si no hubiera
campo eléctr ico, Si Ia partícula se mueve inicialmentc en el plano XY, su movi-
miento en el s istema X'Y'Z'€s una ci¡cunferencia de radio r : rnu' lq:B, descr i ta
ccn velocidad angular c) : -- q')), |m. Corr respecto a X\ '2, esta circunferencia
avanca según el eje X con velocidad uo, resultanrlo alguna de las trayectorias que
se rnuestran en la f ig. 15-16. El proc)eso se re¡r i te en una distancia úoI> :Zruofa.
Si 2rruol<r : 2trr, o sea si r : ucla, la traycctori : ,¡ es la r icloiCe ttormal, seiralada (1).
Pero si 2rttolaS2rr, o sea si ¡ i roi 'új , s.r obtienen las trtveclór ' ias (2) o (3) correspon-
rl ientes a cicloides largas o cortas. Si la partÍr:ula cargacla t icne inicialmente una
cornpr-)nentc de ia velocir lad paralela r l €je Z', les trarl 'eclorias representadas cn la
Í ig. 1í '-1t i se alejan rJel piano X-v- a velocidarl constani.e,
Ii 2rr¡ IF_____- r___-.. ____-*l
* ig. i i"1{ ' i . 'J lra-vtr: tori ;¡s i¡r i¡ idales r ie i ;rra partf cuia respecto
zi r. .hsrr- ia¡ lO¡ G. ( i l j ¡ : : : L?0,(ü, i . : . ' ] r . t i r ,¡rr,".
{ ,3} r { ¿ro, lo.
F.ste r jem¡:lc revela un a-specto int-e:¡sr¡nte: l l l ient,fa-s i lue el observa-dor qlre usa
ei sistcnia { Y? observa lanlo ul c: l¡¡ iro eléctr ir :r ; rcmo uno magnético, el obser-
vadt l r que usa el s istr¿ma X' \"2 ' que se tni levc respecto a XYZ, observa ei movi-
nrienlo de la part. icuia cargada correspondiente a un campo magnético solo. Esto
sugiere gue los campos eléctr ico v magnético dependen del movimiento relat ivo
del observadoi. Es esta una cuestión muy importante que se considerará con mayor
detal le en la sección 15.12.
75.5 Fuerza m.agnética sobre una carriente eléctríca
Como se explicó en la sección 14.10, una coniente eléctrica es un chorro de cargas
eléctricas que se mueven en el vacío o a través de un medio conductor. La inten-
sidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidad
de tiempo a través de una sección del conductor. Consideremos una sección trans-
versal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas con
carga g y velocidad o. Si hay n partículas por unidad de volumen, eI número
total de partículas que pasan por la unidad de área en la unidad de tiempo es
no, y la densídad de corcíenle, definida como la carga que pasa a través de Ia
unidad de área en la unidad de tie¡npo, es el vector
j : nqo. (15.12)
,r"r----'
15.5) Fuerza rnagnétíca sobre una corriente eléclrica 531
Si S es el área de la sección dcl contLuctor perpendicular a j, Ia ccn'iente es el
escalar
f : jS:nqus, (15.13)
Supongamos ahora que el conductor está e¡r un campo magnético. La fuerza
sobre cada carga está dada por la ec. (15.1) y, como hay n partÍculas por unidad
de volumen, Ia fuerza f por unidad de uolumen es
f :nqoxct l : i * 'n. (15.14)
La fuerza total sobre un pequeño volumen dV del medio es dF : f dV : i x 'l) dV,
y la fuerza total sobre un volumen finito se obtiene integrando esta expresión
sobre todo ese volumen; es decir
o:J ' ' r jx . '1dv.
(15.15)
Consideremos ahora el caso de una co-
n'iente en un alambre o filamento. El
elemento de volumen dV es (fig. 15-17)
S dl por lo que la ec. (15.15) da
F:f J* 'v lsat
^ J Filamento
Ahora bien, j : jr.4r, donde ilr es el vec-
tor tangente al eje del filamento. Se tiene
entonces
F : I (iur) ' ctrs d¿ : J 0", ur x cI) dI- (15.16)
Pero jS - I, y la intensidad de corriente / en el alambre es la misma en todos
sus puntos por la ley de conservación de la carga eléctrica. Por lo tanto la fuerza
magnética sobre un conductor por eI que circula una corriente es
F:I Iur" 'Bat. (15.r7)
Como ejemplo, consideremos el caso de un conductor rectilíneo colocado en un
campo magnético unüorme % (fig. 15-18). Como tanto ?¿r como cB son constantes,
podemos escribir
F:Iuz'* | l5Jat,
o sea, si L : dI es la longitud del conductor rectilíneo,
F : ILur x':}.3.
El conductor está sujeto a una fuerza perpendicular a él y al campo magnético.
Este es el principio sobre el que se basa el funcionamiento de los motores eléc-
Flgur¡ 16-1?
<29 Interaccíón magnélica
. f is . 1í"18. I le lación vector ia l ¡ t i t re
la {r,¡erza magnética sobre un r:ontluc-
lor por el r¡r. le t : i rcula una corr icnt.e,
el carrrpo magnéticcr ¡. ' la corr ientc.
La fuerza cs ptrpendieular ai p)ano
true colitiene ur Y I),
(15.6
rQ
r ! -
\L-,/
I
lp
Fig. 1ó-19" ' iorgue rnagnét ico sobre un
circri i t<r eléctr i t :o rectarrgular colocado en un
camp(! rnagnético. El torque es cero cuando
el plano del circuito es perpendicular al
carnpr) ¡nagnéiico.
tr icos. Si 6 es el ángulo entre c! cc,nductor y el canlpo nlagnético, e! lnóduio de
Ia fuerza .F es
F : l I lJ sen 0. (15.18)
La fuerza es sero si el conductor es paralelo al campo (0 : 0) y máxima si es
per¡rendicuiar a él (0 : 
"12).El sent ido de la fuerza se encuentra apl icando la
regla de la mano derecha, como se muestra en la l ig. 15.18.
75.6 Torrlue rnagnético sobre u,n& eomiente eléctrica
Podemcrs aplicar la cc. (15.18) para calcular el torque debido a Ia fuerza que un
campo magnético ejercc sobre un circuito eléctrico. Para simplif icar, considere-
mos en primer lugar uu circuito rectangular con una comiente f, colocado de
modo que la nornral a¡ al plano quc lo contiene (orientada en el sentido que
avanzü un tornil lo derecho iotando en el seut.ido de la corriente), foruia un án-
gitlo I con el c¿rrnpo ')9, y rlos lados del circuito son perpendiculares al campo
({ ig. 15-19). Las fuerzas.F'que act i ran sobre los lados L 'son de igual módulo
pcro direcciones opuestas; t ienclen a delornrar el circuito pcro no dan lugar a
un trrrque. I -as fuerzas I 'sobre Lts lados L t ienen módulo F : I ) )L y const i tuyen
un par cuyo blazo cs L'st'n 0. Protlucen pues sobre el circuito un torque de
15.6)
módulo
Torque magnético sr.tt¡re Ltna coniente eléctrica SJS
t : (I '))L)(L' sen 0).
Siendo LL' : S, donde S es el área del circuito, se tiene r : (1$:/l sen 0. La
dirección del torque, siendo perpendicular al plano del par, es según la recta Pe.
Si definimos un vector
M: ISUN
normal al plano del circuito, podemos escribir el torque r err la forma
t : M'13 sen 0,
o, en forma vectorial,
t :M x(11.
(15.1e)
(15.20)
(15.21)
Este resultado es matemáticamente similar a la ec. (14.50), que da el torque
sobre un dipolo eléctrico, debido a un campo eléctrico externo. Por elio, la can-
tidad .lPf definida en la ec. (15.9), que es equivalente a p definido en la ec. (15.49),
se denomina momenlo dipolar nrugnétíco
de la corriente. Notemos que según la ec.
(15.19), el sentido de J}f es el de avance de
un tornillo derecho que gira en el mismo
sentido de Ia corriente, o sea el sentido que
da la regla de la mano derecha como se
muestra en la fig. 15-19.
Para obtener la energía de una corrien-
te en un campo magnético, aplicamos el
razonamiento inverso al usado en Ia sección
14.11 para pasar de la ec. (14.49) a la
(14.50), encontrando que la energía poten-
cial de la corriente colocada en el campo
magnético '/J es
Ep:- M:D cos 0: - M. ' .1J. (15.22)
Aunque las ecs. (15.21) y (15.22) se han
obtenido para un circuito rectangular con
una orientación particular en un campo
magnético uniforme, una discusión mate-
mática más elaborada demuestra que son de validez general. Supongamos,
por ejemplo, que tenemos un circuito pequeño de cualquíer forma, cuya área es S
(fig. 15-20). El momento dipolar magnético llI del circuito está aún dado por
la ec. (15.19), y el torque y la energia potencial cuando se coloca el circuito en
un campo magnético están dados por las ecs. (15.21) y (15.22).
Usando Ia ec. (15.22), la unidad de momento magnético se expresa normal-
mente en joules/tesla ó J T*1. En función de las unidades fundanrentales es
m2 s-l C, de acuerdo con la definición (15.19).
-
Fig. 1ó-20. Relación entre el mo-
mento dipolar magnético de una co-
rr iente eléctr ica y el sentido de la
misma,
(Ls.6
(b)
Ftg. 1ó-91. tal Colpor,*ntes básicos de un galvanómetro de bobina móvil . (b) Vista
superi. .rr del gaivanómetro mostrado en (a).
EJEMPLO 75.5, Discusión de los instrurnentos de rnedición de corrient-e tales como
los galuanómel¡os. En la f ig. 15-21 se i lustra un diseño simple. La corr iente a medir
pasa por una bobina suspendida entre los polos de un imán, En algunos casos la
bobina se enrolia sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produce un
torque sobre la bobina rotándola un cierto ángulo. Establecer la relación entre
este ángulo y la corriente que pasa por la bobina.
Sotuclón: Sea S el área efectiva de la bobina (número de vueltas x sección de la
bobina). El torgue producido por el campo magnético, ec. (15.21), tiende a colocar
la lobina perpendicularmente al campo, retorciendo el resorte Q. La bobina adopta
una posición de equilibrio rotada un ángulo ¿ cuando el torque magnético es com-
pensado por el
torque elástico ka del resorte, donde /< es la constante elástica de
éste. Una aguja flja a la bobina indica el ángulo a. Las piezas polares tienen la forma
que se ilustra en la figura, para que el campo magnétieo entre ellas y el cilindro
de hierro C sea radial, como se muestra en la vista superior del instrumento, fig.
15-21b. De este modo el campo 'R está siempre en el plano del circuito y en la
ec. (15.20) 0 es r l2 o sea sen e : 1. El torque es entonces t : fS.13, ya que ¡14 : IS.
En el equi l ibr io, cuando el torque debido al campo magnético es compensado por
el torque debido al resorte, se t iene 1S'8 : kc, de donde I : kslS%. Si se conocen
k, S y ?3, esta ccuación da el valor de Ia corr iente en función del ángulo a. Normal-
mente Ia escala se cal ibra de morio que pueda leerse f en alguna unidad conveniente.
EJEMPLO 15.6. Motnento magnético correspondiente al movimiento orbital de una
partfcula óargada, tal como un electrón girando alrededor de un núcleo atómico,
Soluctón: Consideremos una carga q que describe una órbita cerrada la cual, para
simpli f lcar, podemos suponer circular. Si v : o/2n es la frecuencia de su movi-
miento, la corr iente en cada punto de su trayectoria es f : qv, puesto que siendo
v el número de veces por segundo que la carga q pasa por el mismo punto, qv es la
carga total que pasa por el punto en la unidad de t ienrpo. La corr iente t iene el
mismo sentido de la velocidad o el opuesto, según g sea posit iva o negativa. Apl i-
cando entonces la ec. (15.19), encontramos qur el momento rnagnético orbital t le
la carga es
t I 
- 
(qvi(rrz¡ : ( 
H ) ( r r2) - - lqa,r¡ . (15.23)
i
O, en forma
15.6) Torque magnético sobre una corñente eléctrica íBs
De acuerdo con la regla dada anteriormente, su dirección, que depende del signo
de g, es la que se indica en la flg. 15-22. Por otro lado, si m es Ia masa de la par-
tlcula, su momentum angular orhital es, según la ec. (7.33),
L:mar:m<orr.
Comparando las ecs. (15.23) y (15.24), encontrainos que
u : -!-.u
2m
vectorial,
m:9 z.
2m
En consecuencia ilt y f, tienen el mismo sentido o sentidos opuestos, según gue la
carga q sea positiva o negativa. Un electrón tiene g : -e y ¡n: nic, resultando
M¿: 
-# L.
Un protén tiene q : + e y 
^: ^n, 
por lo que
(15.28)
(1ó.24)
(15.25)
(15.26)
q negeüve
Flg. 16-92. Relación vectorial en-
tre el momento dipolar magnético
y el momentum angular de una
carga describiendo una órbita ce-
rrada.
l"
lu
-l--\v
q po3iüv¡
*r : 
* ,
(75.27>
Si suponemos que la carga eléctrica está gi-
rando sobre sl misma alrededor de un diámetro
del mismo modo que la tierra gira alrededor
de su eje, tiene, además de su momentum
angular orbital ¿, un momentum angular in-
terno S, llamado espfn. Debe haber un mo-
mento magnético asociado con el espfn S, ya
que cada elemento de volumen de la carga
que gira se comporta de la misma manera
que la carga g en la flg. 75-22. Sin embargo,
la relación entre el momento magnético y el
espin no es la misma que la relación (15.26),
porque eI coeflciente por el que hay que multiplicar el momentum angular de
esptn s para obtener el momento magnético correspondiente depende de la estruc-
tura interna de la partlcula. Es útil escribir el momento magnético debido al es-
pln en Ia forma
lrrs :.t 
2^L ",
(r5.2e)
donde el coeficiente 1, llamado laclor giromagnético, depende de la estructura de la
partlcula y del signo de su carga. Combinando las ecs. (15.26) y (15.29), obtenemos
el momento magnético total de una partlcula de carga i e que recorre una órbita
y $ra sobre sf misma,
*:+(+rfys). (15.30)
El signo rnás (menos) delante de Z conesponde a una partlcula cargada positiva-
ment€ (negativamente). Aunque el neutrón no tiene carga eléctrica y por lo tanto
no origina un *-romento magnético orbítal de acuerdo con la ec. (15.26), tiene un
536 Interac:íón nagnétitu
f;::il:u]_r ;
p:;-" : : i t . { t ! l
¡r1. r i ,_ri
j - , i I 'c ,*r ; : t r ¡ ñtagni l l ' : { . ' : } L¡¡ i .aL l i , . ' l r ;4" j t l ' " r r
i ; i I i ; .2t¡r 1 l i ' - ; l l t - , r t : t ; l ¡ : i l t . r ; r . ' ; r . l ' j l :1: : , j ' r : l
r : { ¡ ¡ : : r ia j i i , Aná.1i l9¡ i ; le¡ l i r ' . e l hafr ! l r l '11! : : ; i i : :
* l t * l r ' i : r i : : Ct i :a , : ¡ i :e l : ¡ e l tm!;uJ: ' i i1:1í- ' j ' . : : l i l i
Fig" L5-93" F;l iorqtre ñagnr;t ;ci l ¡ 16'
i :a ' . .n3 r '?. i1 lc: l ia c i ) .F.a '1. : u i l : t t r ' ' . ¡ -
r t i ic i " . i . ¡ ¿g ;rc¡ t r ¡ ' ¡d i¿i : lar +i I }1 j r , f ! : ) ' :u in
a:rgr--1ar l " i lc Ia per l . Ícuia ¡-c i c i i r ; ; l ; :
magirútico ?i.
: i i : ' i : : ,
( ró.6
i l i r i -c.t ig gue sigue se
-1 l i i ; I
; ' . : , f l i r .1
: j , ; :1;r l
' , : . , ; , : i i r , r i . r , i r r ¡ - i ¡ . ¡ ¡ t . l i j ) . : l t l j g, i ¡ i , ) lLrr- i
' i 
- - ; ' . ; - i i i ; r i r i r . : : : : ; i ¡ j i l l egt l i ¡Ci- l l ia in i l . i iA
i , , ¡ , r le: ; ' ,1: .1 ót : 1{e ; i c i fe ¡ '€ i ¡ te a ia r i r i
, j r rot i , , ; i { : i , ' j l tcre¡: i "¿ s l i " , ¿ir :1. e ieci . : i ,n.
/-.\
' { \ . - t*
i ' 't ' l ln--
'*-t --,r,¿:^ -*-"--*Cci \ i \ , / (B\ i\. ,,
.:r) r¡ positiva
-;-
t-
-E.**u_;
! : , lnktf ' } ' t i ] tr5.?, i ' r :rque ; ' ei ier¡; ia dr". i ;¡ :¡- i ¡a¡l !rr:L* r jar¡, ;a, la que s¡i mile"re c:n ün3
l ( jgrún (¡on\ ie l ia¡ t tn cal¡ i l - i , ' ¡ ' ; ' ; r , r i i ,
Sotueéón: Suptingamos que se rolo.:- i :¡ i - lart i i :ul¿r del cj t trnpk; ant€ri(r¡ ert un campo
nragnót ico uni for¡r l r ( t ig. 15-23i . Em,i ;e.r¡)C{) ia¡ ; ¡ :cs. (1 i j .21) v (15.26) encontra¡nos
que 
€l torqr,re ejeir: i t lo si ;bre la par. i ict i i ; es
t : -n Í , \ n.=--- -3 i lx ; , ,
2m il¡ri
{ .r) i ? negativa
Fic. l5-2d. Frccesi t in dei mcmert tum
ir-gir i ; tr .Je i ,rna part-ícula. car6,a.da al ie-
.Jecit i¡ deJ ct i¡rpr.¡ nagnético.
(1 i .3r)
en tiirecc.ién ¡erpe:ldic.rilar i1 J; v i, .¡j il1;i. i{,¡qug t-i¿nrit r. cambia-r el momel¡l"i-;rn
angui;-r ori : ; i i ¡ l L t ie la parl- i :r i ia Crr a. ' t ;r ' i i ' : r- ' ¡ , ' : ¡ ' l t ec. i?.33), dr ' l i í .- c. Deti¡ iendo
{2 
- 
^ (1i)m) t1, que rs la r¡ ' i lad ct: ! :r . i , .^:;r . ; ' , t l ¡ i l ic lui¡"t ' ' i l i i :a ' . lada por la ec, { l :} .7),
terrr 'nr¡rs prlra el lorque r l i id. i : p<;; :- c:. í i I : . .-1,, i ,
N:Qxfu. (15.32)
-_-_
Esta ecuacién es similar a la ec. (10.29) correspondient.e ai movimiento del giros-
copio, por Io que en este caso se t iene el rn ismo t ipo dc precesión al l í estudiado.
En el capitulo 10 la precesión se debía al torque producido por la interacción gra-
vitacional; aqul se debe al torque prolucioo por la interacción rragnóiica. La fre-
cesión de /, alrededor de )J prcduce una rotación de Ia órbita de la part icula. En
la f lg. 15-24 se ha indicado la dirección de l) : 'el sentido de precesión para una
carga positiva y para una negativa.
La expresión (15.32) es vál ida solamente para una part lcula sin espfn. si la par-
tfcula tiene espÍn, el análisis es algr: más complicado, por lo que lo omi'-iremos.
Podemos obtener la energía de una partrcula que se mueve e¡: una órbita d.entro
de un campo magnético combinando las ecs. i15.22) y (15.26); resulta
E,:- ;^L.E:e-L.
15.6j Torque magnétíco sobre una corúenle eléctrica 5J7
(15.33)
Si la partfcula t iene espfn, usamo$ paia el momentc tnagnético la ec. (15.30), ob-
teniendo
Ep: -#ro¿ i Ys) 'D'
Estos resultados son muy importantes para ayudar a comprender el comporta-
rniento de un átomo o de una molécula en un campo magnético externo, tema
de interés tanto desde el punto de vista teórico como del experimental. por ejem-
plo, cuando se coloca un átomo en un campo magnético externo, se perturba el
movimi.ento
de los electrones y la energla varfa de acuerdo con Ia ec. (15.34).
Cuando se compara esi.e valor teórico de .Ep con los resultados experimentales, se
encuentra que las componentes Z de los momenta angulares orbital y de espfn
están cuantizados; es decir, L, y S, pueden tomar sólo ciertos valores que se
expresan en la forma
L" : mtñ, St : ttuh,
Conde la constante h : hl2¡c: 1,05 x 1C-s4 J s. Esta constante fue introducida
en la sección 14.9 al discutir el movimiento orbital de los electrones, y ñ es la cons-
tante de Planck. Los valores posibles de m¡ son 0, * 1, *2, + 3, . . . , mientras
![u€ rzu puede tomar solamente dos valores, + t ó - ] . El número m¡ se denomina
número cudntico magnético del electrón, mientras eu€ /nr es el número cudntico de
esp[n. Para ]os neutrones y los protones se obtiene un resultado análogo, Por esa
razón se dice que e! electrón. eI protón y eI neutrón tienen espín |.
Por otro lado, eI momentum angular orbítal L tambíén estd cuantízado, pudiendo
tomar solamente los valores dados por
L:[4¿;10¡,
donde / :0,1,2,3, . . . es un número natural que se denomina número cudnt ico
del momentum angular, Como L" no puede ser mayor que I,, concluimos que los
valores de mr no pueden pasar de /, es decir
mt:0, * 1, + 2, . . . , + (¿- i ) , + ¿.
Por lo tanto, para Z : 0 sólo es posible mt : O. Para I : 1, podemos tener mt : O,
* 1, y asf sucesivamente. Por otra parte, como el número cuántico de espln tiene
solamente un valor, hay un único valor para el momentum angular de espin
s:/+t++r lh: tYzpn.
El hecho de que para un valor dado de I sólo ciertos valores de Z, son posibles
implica que I, puede tener solamente ciertas direcciones en el espacio ( l ig. 15-25a).
En la sección 14.7 esto se denominó cuantización espacial. En el caso ciel espÍn,
colrro rrr¡ t iene sólo dos valores posibles ( + á), concluimos que S puetle únicamente
(15.34)
538 I nteratctón magnética. (15.7
s,: -;{4
- ,=- i
\4.,t ( l ,)
FIg. 16-25. P_osibles orientaciones (a) del molgentum angular conespondlente a
I : 7, L : l t rh,y (b) del espfn s : l , S :<y- 'p)n.
estar en dos direcciones respecto al eje z, que generalmenie se denominan h¡cia
arriba ( f ¡ y hacia abajo ( { ). En Ia ng. 15-r5b Je muestran las orientaciones p6r-
mitidas del espfn.
75.7 Campo rnognético producido fror una eorriente eerrada
Hasta ahora hemos dicho que nos damos cuenta de la presencia de un campo
magnético por la fuerza que produce en una carga en movimiento. También
hemos nombrado ciertas sustancias que en su estado natural, producen un campo
magnéticc. Examinemos ahora con mayor detalle cómo se produce un campo mag-
nético. En 1820, el físico danés Hans c. oersted (1277-1851), notando la des-
viación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el que
pasaba una corriente, fue el primero en observar que ana corríenle eléctrica pro-
d"uce un campo magnétíco en el espacio que la rodea.
Después de muchos experimentos que varios físicos hicieron a través de los
años usando circuitos de formas diferentes, se ha obtenido una erpresión general
para calcular el campo magnético producido por una corriente cerrada de cual-
quier forma. Esta expresión, ilamada ley de Ampére-Laplace, es
'R: K^I { rit or, (15.35)
donde el significado de todos los simbolos está indicado en la fig. 1b-26, y la
integral se extiende a todo el circuito cerrado (es por eso que se usa el símbolo f),
En la expresión anterior, Kr,. es una constante que depende de las unidades que
s- 
- ]L'¿- 2
t r " : i
I
t
I
I
hl
T
s=¡/\iDñ
1é.8) Gampa magnético de una corriente rectíltnec 539
se elijan. En el sistema MKSC se ha acordado (ver rrota después de la sección 15.9)
que Ko : 10-? T m/A ó m kg C-2. Debemos notar que Ia integral de la cc. (15.35)
se expresa en m-1 cuando r y I están en metros. En consecuencia
,lt : Lo-1l 6 u' ?u' at (1b.36)Jrz
Es costumbre escribir Knt : ¡,o/42r, donde po es una nueva constan_te llamada
permeabílídad magnética del uacío. La expre-
sión (15.35) de la ley de Ampére-Laplace se
escribe entonces
(r5.37)' r :#,{94!r0, ,
y en el sistema MKSC de unidades
po :4n x 10-7 m kg C-2 :
: 1,3566 x 10-o m kg C-2.
Flg. 16-26. Campo magnético
producido en un punto P por
una corriente eléctrica.
(15.38)
Como una corriente eléct¡ica es simplemente un chorro de partículas cargadas
que se mueven en la misma dirección, llegamos a la siguiente importante conclu-
sión que sigue:
eI campo magnélico, g por lo tanto Ia inleraccíón magnética, es pr>
ducido poN caryas eléctricas en mouimiento.
Para ilustrar eI empleo de la ec, (15.37), la aplicaremos al cálculo del campo
magnético producido por corrientes de formas simples.
15.8 Campo rnagnético de una corriente rectillnea
Consideremos una corriente rectillnea muy larga y delgada, como en la fig. l*22.
Para cualquier punto P y cualquier elemento de corriente dl, el vector ttt x u.
es perpendicular al plano determinado por P y la corriente, por lo que es para-
lelo al versor u6. El campo magnético producido por dl en p es entonces tangente
a la eircunierencia de radio R que pasa por P, tiene su centro en la corriente y
está en un plano perpendicular a la corriente. Por lo tanto, cuando realizamos
Ia integración indicada en la ec. (15.37), todas las contribuciones del integral
tienen la misma dirección que ?ro y el campo magnético resultante es también
tangente a la circunferencia. Se necesita entonces solamente calcular el módulo
de cts. El módulo de ur x ?¿¡ es sen 0 por ser ua y 14 versores. En resumen, para
una corriente rectilínea podemos escribir el módulo de la ec. (1b.32) en la forma
(15.3e)%: 
*rJ-_s*d¿.
*--
540 (1ó. E
(15.40)
(15.41)
i
f lI
)¿ 
- 
l '01
o, en forma;,*f"
B:#"".
FIg. 15-2?. Campo magnético produ- Fig. 15-98. Lfneas de fuerza magnéti-
cido en un punto P por t¡na corriente cas alrededor de una corriente recti línea.
rectillnea.
Dela f igura se deduce {üer : R cosec 0y I : -R cotg 0, de donde dI :Rcosecz 0
d0. Sustituyendo en la ec. (15.39) resulta
,, :# tJ; F##r (R cosecs odo) - ff, fi sen o do,
donde I - 
- 
6 colTespo¡rde a 0 :0 y / : -| € a 0 : r. Luego,
El campo magnético es invetsamente proporcional a la distancia .R y las l ineas
de fuerza son circunferencias con centro en la corriente y perpendiculares a la
misma, como se muestra en la fig. 15.28. En esta figura se indica también la
regla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético con
respecto a la corriente, El resultado (15.a1) se denomina fórmula de Bíot-Sauart.
En el caso de una cortiente recti l inea circulando por un alambre observamos
el campo magnético pero ningún campo eléctrico; esto se debe a que, además
de los electrones en movimiento que producen el campo magnético, están los
iones positivos del metai, que no contri iruyen al campo magnético porque están
en reposo con respecto al observador, pero que producen un campo eléctrico
igual y opuesto al de los electrones. Es por ello que el carrrpo eléctrico total es
nulo, Por el contrario, para iones rnoviéndose según el eje de un acelerador l ineal,
tll
16.e) Fuerzas enbe corrientes 541
\J/ \? ooo
*t -
oooo
(a).9 positiva (b) q negativa
Fig. 15-29. Relación entre los campos eléctrico y magnético producidos por una
corriente de iones positivos (negativos) que se mueven en lfnea recta.
tenemos un campo magnético y un campo eléctrico. El campo eléctrico corres-
ponde al valor dado en el ejemplo 14.7 para el campo eléctúco de un lilamento
cargado, C : url2¡c<oR. Comparando este vaior con la ec. (15.41), vemos que
los dos campos están relacionados por
, ' . I
cIl 
- 
*o'o' ur x t.
A
(r5.42)
15.9 Fueraas entre corrientes
Apliquemos ahora las ecs. (15.41) y (15.16) conjuntamente para obtener la inter-
acción entre dos corrientes eléctricas.
Para simplificar, consideremos en primer
iugar dos corrientes paralelas I e I' (fig. 1s.30), en el mismo senüdo y separadas
una distancia R. En cualquier punto de 1' el campo magnético (tl debido a r está
dado por la ec. (15.41) y tiene la dirección indicada. La fuerza .F, sobre .f, es,
/ / t '¿-¿-¿----
Fig. 16-30. Interacción magnética entre dos corrientes rectillneas.
I
I
_--- \ \ \
I
r
flr
lllIrL
I
I
U
(a) 'g posi t iva
u
¡tl
542 Interacción maqnétíca
usando la ec. (15.17),
F' : I ' | , r r , )J¿t ' .
Ahora bien, rr i x )J: -un-iJ,donde r¿¡ es el versor de I a I, . por lousando la expresión (15.41) para /J, ¿enemos
I
I
I
\
Fig. 16-31. A i racr, idn
(b)
¡z repul;:ón enire dcs c<lrr ientes,
(r5.9
tanto
(15,43)
F' : r, J (*"^ ** ) úr, : *"" (#) I ",
: --?,n+# 
".
Este resultado indica que la corrientc I arrae a ra corriente r,. un cárcuro análogorle la fuerza que I ejerce sobre 1da el r¡ism,:r resuitado pero con signo más, cremodo que está dirigida según u¡ y también representa una at¡acción. En resu-men-: dos corríenles paralelas en el misna sentido se atrqen con fuerzas igucles comoresultado dc su interacción.magnética. I)ejamcs al estudiante la tarea cle verif icarque si corríentes parulelas lienen senlíd,os opuesfos, se repelen.
I
f-"'-'t \
f \I rt l
l i| ^ ! -
I lF¡¡
J;
l i\\ 
". "'
{r)
J/
' /--:/ ' .
/ ' ,
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| *¡p*
t i
l ;
l , j
\ /
,
f--'./ \/ \
t \
f lt ;
l l
I l
*{T--- !
Este resultadc pu.ede exten'Jersc e corrieirr"es de cualquier forma. Ei esturiellepuede verif icar g¡re las cor¡i¡:ntes dc !r f ig. i i-3r(ai se atraen, mientras que lasrie Ia fig' l5-31(b) se repeien. Est¿s inteiacciones entre cr¡rrientes son cle granimportancia práctica en los rnotores eléctricos y otras aplicaciones tecnológicas.
Nota eobre unidades: Ai discutir las unitlaties fundamentares en ra sección .2.3,in9-icamos que el sistema-cle unidades rp."t*ao internacionalmente es el sistemaIfKsA y no el sistema lf l isq,aunquc enia practica no hay diferencia entre ¿r¡nbos.Tenenos cros reves oara elegir ia cuarta uri 'áaa bá;i; ;;r;"p;;;. además de lasde iongi tud, t t t " ia y t iempo..El lar ,o,r , i , 1.y r l . c" ;ü;b 'pr . í i " , r t - racción elec-trostática eirtre dcs cargas, dada pcr ia e,:. it4.2¡,
F : K" J9-,
r5.e) Fuerzas entre co¡ríentes 543
y ia tr1'dc int-eraccir i¡r errr,re drs corr ientes recti l ineas, datia por la ec. (15"43,] con
!t ci-'¡r-s+,ante magné,iic;r h.- er.'^ r'ez de ¡i"i4r,
I
- i - - l r , r - -¡t
¡ ' :2xi1i ;N
I
¡ l
t l
t
deñnir el
- l ' - . - '
//a)' 
- 
-
//
i//
j t l
l , ¡It
i i
Fig. 1ñ-32. Aparato pala
íimpere expcr¡mentaimente.
Flg. f6-88- Balanza de corr ientes para
medir una corr iente en función de la
fuerza magnética entre dos conductores
paralelos.
ñn la f lg. 15-33 se muestra una disposición experimental para medir la fuerza
entre rlos conductores paralelos, Constituye vna balanza de corrientes. La misrria
corr ienti) pasa pcr los r los conductores, de modo que F :2 x 7A-1 IzL' lR. Primero
se equrl ibra 1a tralanza cuando no hay corr ientes en el circuito, Cuando por éste
circl : l¿¡ i :crr; i i i l ,c, es necesario agregar pesas cn el plat i l lo izquierdo para equil ibrar
ni levarnente ia balanza, Usando los valores conocidos d,e F, L' y R, podemos en-
contrar el valor de I. En la práctica se usan dos bobinas circulares paralelas.
La expresión de la fuerza entre bobinas es diferente.
544 Interdcción maqnétíca $5.14
Como en luncién de las constantes auxi l iai 'es +$ v pr. terrer;;os K": l i {reo y(^: ptof4:t, se deduce que e.l cociente entre estas ,. los c¡, 'nst¿urtes es
K"1"
- - r .
K^ €ofro 
-" t
donde ¿: 11f ; ;C Esta const.ante es lqu;r l a la vt ' loci , lad r ie ls luz (c de cuaiguier
señal electromagnética) en el .racio. conro se denrcsl.rará en e! capttulo 19. La cons-
tantc c ha si. lo rr¡ediCa cxpet ' inr.entai i- l l tnte con l l ran precisión. trn fr¡ncién de ei la
tenemcs que Air 
- 
Kmcz: iC?- t , qr-re es el vaior de K. t lado an ¡¡ secr-: ión 14.3.
.Fis+.o expl ica nr¡estra e!ección anterior ¡;ata Kq. ' : l ' ¡cciólt ( i t le r jnic)nces pudo parecer
algo arbit-raii;r.
l jn: i r le las razol- l*s ¡ror i l ' .s , ' ' ' : l l 's l l r i , l t l t ic irrr ' . ; ( , . , ; ,r ' . , ; 'n*1,9 rt :ccrnendó e] uso
del e,r i .1;er l : { . : r ' i i i r l i r -1 au;; : ' t¿ i , i i i i ' j ; i : l f r ; ¡ t ¡ l ' . ¡ ¡ i . ¡ ¡ l¿ l ' r f r r i :1, 'cs ¡ i r ís fár : i l pr*¡ t ; l la i un
' ¡a i l '4: , ! : ! i i iOrr ! f l : le v l " : l i : i1 i ; - i : , l . : t tza. i :n l l t - : l l i r : { ' / r i r je i l te i , t ¡ i . te ccnstr l i l f i1¡ i t ) : , i l :Ón
,Jt caiga:, ' l l r , . ' { l i r 1n fu: l : : l e i i i r ( - ( i i - r1 ui t i ' -1} . i ' \ i ¡ : ?r i rb i l r 'g i } , r '1úsi i i r t : l I ¡ ¡nto dc r . is ta
i is lc, t , * : aí ' : r t ' { . l . r i } t ie el iga l - ' : t - ¡ ' i : r - . l t ;1, . l i r l : . , '1r¿r : l l i t : r i :1r ' ¡ 'Ol t : r . :n l .e. } - - }e i¿¡ i j t ¡ r n lardos.
is. i l to f r : l l i jsr)¿j i j t i j f ¡ . i iat iCr. : ¡ i i ' r i : fyr r . i ; ¡ ' i ; : i r . ' r " los s is; ; t ¡ ' t¿¡S i i ! i {SC } MI_{-S-1 _eír ; ' !
qJ.Tr¡i; ai t¡rt,-:1.
15.1* Caxe.pct mfrgr¿{,ticr} de un¿p" e$"ffi-ente (ireular
Considere¡nos ahora una corriente circuler Ce radic a (fig, 15-34), El cálculo del
{;a;npo magnético en un puntc ¿rbit¡ario es un problema matemático algo com-
plicado; pero en puntos sobre el eje de la corriente, dicho cálculo es una tarea
bastante fácil. Veamos primero que la ec. (15.37) puede interpretarse matemáti-
FlS. 15-84. Cálculo del carnpo magné-
tico a lo largo del eje de una coriiente
r:ircuiar.
camen¿e dicie¡rdo que el campo maguético resil l tante (lJ producid$ Iior Ja ccryiente
en P es la suma de un gran número de contribuciunes elementales dill de cada
uno de los elementos de longitud dl que componen el ,circuito, Cada contribución
elemental es
d n __ yo 7 J:J_!:_ ¿¡.
4r 12
Sin embargo, esta ecuación debe considerarse sólo en relación con la ec. (15.37)
y no como un enunciado independiente.
En ei caso de una corriente circul¡r.r'" ei producia vectori¡rl rtr.y X ü¡ de la fig. 15-34
es perpcn{iicuiar al plano P.tL'¡, ' i . i .-ri i ,-, mi' i}ul* u¡i idad pc,rque los dos vs¡sores
son perpen,Jicri lares. I lor lo tanto. ri carnpo d':13 producido por el elemento de
¡
I
II
)
15.10i Carnpo magnético de una corriente circular 545
longitud dl en P tiene el rnódulo
d.)J
y es perpendicular al plano PAA', siendo entonces oblicuo respecto al eje z.
Descomponiendo dJJ en una componente d?311 paralela al eje ¡r otra d:lJ, perpen-
dicular a éI, vernos que, cuando integramos a lo largo de la eircunferencia, para
cada d'131 hay otro en sentido contrario proveniente dei elernento de longitud
directarnente opuesto a dl; la resuitante de todos los vectores *)Jr es entonces
nula" La resultante í)3 será Ia suma de todoslos d':?J11, siendo en consecuencia para-
lela al eje" Ahora bien, como cos ¿ : <¡/r,
$o ,dl
4;r 12'
- 
Volaz
2f
cB : f d%11
dcIJ¡:(d.iJ) cos n: ldl: : {S Or.
La distancia ¡ permanece constante cuando integramos a Io largo de la circun-
ferencia. Luego, siendo 0 dl :2ra, obtenemos para el módulo del campo mag-
nético resultante
:t#{ o,
Teniendo en cuenta que r : (az { R2lt2, podemos escribir el campo magnético
en los puntos que están sobre el eje de una corriente circular en Ia forrna
319. f i i -3r i" l , lneas
::.s i lebidas i ; una
de fuerza magnéti-
corriente circular.
Fig. 15.36. Campo
cidb en el punto .P
dipolar magnética.
(15.44)
nagnétieo pradu-
por !Ma crtrriente
c)? 
- 
Fslaz
, ' -@J@8.
El momento dipolar magnético del circuito es. usando la delinición (lb.lg),
En la fig. 15-35 se ha repre-sentado el campo raagnético de una corriente circular.
Ocurre un caso muy interesante cuando el circuito es tan pequeño que el radio a
puede despreciarse frente a la tiistancia .R. La ec" (15.45) se reduce entonces a
M : I(¡caz); Iuego
1r-, v&-
" ' - 2*1o"*Rz¡s 'z '
646 Interacción magnétíca
! ' {g. I6- :Jr . í i ' - r iv¡ . ¡ iúmeir<l r le ta i - r -
gentÉ:s.
M v$ po(2II)
, - : - :_-
2 nJ?3 4 aRg
ñ) Fo 2/!f cos 0 ^d Fo M sen 0
-ür : 
--:- 
-----:---, -ijo : -7
4tt ,{ 4n , '
'rr"-;r-v
' 
,--4
(15.10
(15.4s)
(15.46)
Cuando comparamos la ec, (15.46) con la ec. (14.46) con 0 :0, es decir, f. :
$l4neo\(2plÉ), vemos que el módulo del campo magnético a lo largo del eje de la
pe.queria corriente es iddntico al carnpo eléctrico a lo largo del eje Ce un dipolo
eléctrico si hacemos cor"responder {¡r.o/4r')M e pifr.er. Por esa razón el circuito
ce dencmina dípola mdgnélico. En consecuencia, podemos ar¡i icar a un dipolo
magnéiico las ecs" (i4.46) y (1a"+?) correspcndientes a un Cipelo eléct¡"ico. resul-
tando para el campo rnagnético fuera del eje (fig, 1t36),
(r5.47)
En el capítulo 14 vimos-Que las lineas de fuerza de un campo eléctrico van de
las cargas negativas a las'iiositivas o, en aigunos casos, desde o hacia el inlinito.
Por el contrario, podemos ver en las figs. 15-28 y 15-35 que las líneas de fueua
de un campo magnético son ce¡radcs enlazando la corriente. La razón de esto
es que el campo magnético no se origina en polos magnéticos. Un campo de este
tipo, que ¡ro tiene fuentes puntuales, se denomina solenoidal.
EJDMPL0 75.8. Estudiar el galoanómetro de langentes.
Sotucló¡: Un galvanómetro de tarrgentes consiste en una bobina circular (flg. 15-37)
que tiene N vueltas y por la cual 
-circuia una corriente f. Se coloca en una región
donde hay un eampo magnético ]J de manera
que un diámetro de la bobina sea paralelo a
IJ. La coniente f produce en el centro de la
bobina" r in campo rnagnético dadc por la ec.
(15.44) con R : 0; es decir , ¿oI l2a. Y por tener
N vrreltas" el campo magnético total producido
en el céntra es'.)Jc : p.6IN l2a. Por consiguiente
ei campo magnético resultante )J'en el centro
cie la bobina forma con el eje de la bobina un
ángulo 6 dado por
tg 0 =, 1ll])" 
- 
2a-))i¡loliv".
Si se cr¡ lcca una pequeña aguja u:agnética en
er cenir¿.i dr la bobina, girará y quetlará en equi-
i i i . , ; ' i+ ic:¡: . : l r ;do r i .n ángui,.r ,3 i :9n 6¡ eje. Esto nos
;:]iarii;tíi r¡rcrlir el r-ra¡¡po txterno c,U si ccnocemcs
il : r :r 'a¡ i t '=¡¡. i c, i :rvt lsamente, meii i r la tor¡ ien-
te I si cü¡r$cetnos el carnpo ']J. Norr¡almente,
1
t1
I
f;
)
' . , f es e. l campc magnéiir :o terrestre. Para mediciones <.le pr*eisión debe corregirse la
It irrnula para [ener en cuenta l l r l i rngi iu<i f ini la de la aguja, ya que el cam"po que
actúa 
-colrre el la no es exactamenli ' e! carnpo en ei centio. Ui nó¡nUie "galvanimeiródo ia¡lgentes" se de¡iva- de la fur,ción tr igorrornétr ica que aparece arr iba.
EJEn'IpLG t5.9. Estudiar el campo magnétic<.r 4i: una corriente solenoidal.
Solucáón: Una corrientc solenoitlal, o sim¡rlemente un solenoide, es una corriente
cu¡npuesta de varias espiras circuiares cogxiales y del mismo radio, todas con la
t6su*U\T
Fis. 16.$8.
r,5.i0'¡
Ptg. 16-3,q, f .á. lcuio del campo
ttna corr ient.e solerroidal.
Ceryrpo nagnélíco rJ¿ una carfiente círcular 5tt7
debidas a una corriente solenoidal.
L
Hn-l
magnético en un punto P situado sobre el eje de
misma eorriente {ng. 15-38). obtenemos su campo magnético sumando los de cada
t¡na de las corrientes circulares correspondientes. En Ia figura se ha indicado el
campo por medio de lfneas de fuerza, suprimiendo algunas fluctuaciones en el espa-
cio entre cspiras. calcularemos el eampo del solenoide únicamente en puntos {ueestán sobre su eje.
Ii ir !t í ig. 15-39 tenemos un corte longitudinal dei solenoide. Si I es la longitud
-v- 
i{ ei núnero de espiras, el número de espiras por unidad de iongitud es Nir y
ei núr¡rero de es¡riras en una sección de longituti tll? es (NiI)dR. Podemos calculir jl
carnpo de cada espira en un punto P del eje usando la ec. (15.-14); el campo debido
548 Inte¡accíón maqnétit& {15.10
a las espiras ct¡ lr lenidas cn la seccion C.{ purde t-. : . ; j 
- : i iar- jn { i l ia sigL.i ienLc form¿:
(15.18)
l le la f igura infer imos gue f i - . ¡ i t igF, ¡ i r - - . - . .* , tosec2pdl i , y t??*Ra:ca
cr isec2 $. Sust i tu3errdo en la ec. i1 i , - { ,3) . tenernos
',t i j ,= 
j i1-{ i.- rcri ? ¿r;);.
¿L
Pála oblenei el eampo resulta.nte. dct,erlr4s i tr tegrar l lesde un extremo del sole-
noit- i ; hasta el olro. Es decir, calcl l lsrr¡r): r i r :ai;-¡po rerr: l l .anie como sigue:
ci,rj 
- l¡,A?{*r,,] itoo -- o;tl' r,;;i;1ü;;
rr : -*d{ f r' -sen 
g rrp : 
--#" 
(cos B, - cos g,).
. . r ro lN
n 
- 
L"-- .
Irara un punto en uno de sus extrernos, Fr : rl2 y gz r 0, ó Fr 
- 
n
En cualquiera de los dos casos
.)r ¡roll'rÁ, :: _----.2L
Fig. f6-4{}. Cuadrnl¡, ,r io rnagnÉ-
t ico"
Si el solenoide es muy largo con res¡leclo al radio, tenemos para puntos cerca del
tentro {ue lji d n y tÉz ; 0, cle donde
(15.4e)
(15.50)
Y Fz: r l2.
(15.51)
o sea Ia mitad del valor en el centro. Los solenoides largos se usan para producir
campos magnéticos bastante unifoimes en regiones limitadas cerca del centro,
EJEMPL0 15.70. Estudiar el campo rnagnético del sistema cuaüupolar de co-
rrientes ilustrado cn la fig. 15-40"
solucíón: El sistema de corr ientes de Ia f ig. 15-40 está compuesto por dos pe-
queños circuitos iguales separados una distancia 2a, por los que ci¡culan corr ientes
iguales 1 pero de sentidos opuestos. Cada cir-
cuilo es entonces un dipolo magnético; pero
r co¡no las corrientes circrrlan en sentidos opues-t' t.os, ios mornenlos rl ipoiarcs son opuestos, dan-
dc un rnomento dipolar magnétir:o total nulo.
Sln enbargc, el campo magnético resr¡ltante
fro cs cero tjebidc a la separación de los circui-
t.os y cl sist.ema consti+"uye por lo tanto un cua-
drupolo magnético. Debe notarse que la situación
es matemálicamente rnuy similar a la del ejom-
plo 1,1.13.
Teniendo en cuenta la analogla entre la ec.
(15.47) para un dipolo magnético y las ecs. (14.46)
y (14.4?) para un dipolo eléctr ico, po,Jemos de-
finir un potcrrcial "riiagrrético" ym asociírdo cou
el campo magnético de un diaolo magnético
daCo i:ol la ec. (14.4i) ct in ¡L"l ! ,{ /4r en '" 'ez dc
;;1.!.;:r, S€ { .f;nr-r
\ r : ' - - '
4r¡r: 4rcrz
1,5.11) Campo magnélico de una cargd en mavímíenta 549
Luego, el potencial "magnético' ' resultante en P es, teniendo en cuenta que
M!--M¿:M,
y- . - _ laor l r ' r r i lotr l¿ ' t , 
- 
_ i r ¡M.f 
" t _ "r . \- 4;¡r- 
- 
t"r", 
: - 4, '\e - rl /'
En la fig. 15-40 observamos que rr 
- 
-o * r Y rz : a + t, por lo que
r l : ¡ t*a2-2arcas0,
rf;: ¡t + az + 2ar cos 0.
Usando el desarrollo binomial hasta el primer orden en a/r, tenemos
1 1 (r_Zacos9 
-r4\-" t_ ! ( , , 3acosd _ \
" i : ; ' \ ¡ *) 
:F\ ' - r -+" ' ) '
y análogamente,
1 1_1rr_ 3acos0 
+. . . \ .e:," \ ,__, _. I
Por lo tanto
IL- IL : -=-t : /1 
- 
3o cos o, \
; l - ; l - i "3 \^ ' r - r" ' ) -
_"_+_" l , _3acos0 , \_ -2o , 9 logggn _.
¡ . . - \ r - r 
7. . . ) : 
, , 
-1--- 
r¿ 
-
Sustituyendo este valor en la expresión de V-, obtenemos
v^ : 3vo (_r." , qf:re "9t g \.4r¡3\ r l
Pero M. a : Ma y M.t : Mr cos 0; luego
u. _ t¿oM(24) (3 cosr 0 - 1)
4¡.rs
cuya dependencia angular y radial es similar a la de la ec. (14.58), confinnando
el hecho de que estamos tratando con un cuadrupolo magnético. El momento cua-
drupolar magnético es M(2a). El campo magnético del cuadrupolo magnético tiene
las siguientes componentes
radial y rangencial
()r 
_ 
_AV^ _ 3p¿oM(2a)(3cosa0-1)Pi : - 
or 4nV- '
Bo:- l aY.^ - 6p'oM(24)senocoso.
r 00 4*ra
Advertimos al estudiante que el potencial "magnético" que hemos introducido
es simplemente un artif icio matemático para calcular el campo magnético, y que
no está relacionado con una energla potencial en la misma forma que lo está el
potencial eléctrico.
75.77 Campo rnagnético de una ea,rgú en rnoairniento
(no relatiaista)
El hecho de que una corriente eléctrica (es decir, un chorro de cargas en movi-
miento produce un campo magnético, sugiere que una sola carga en movimiento
debe producii también un campo magnético. 'Irataremos de determinar este
55ü lnl¡ , , , , l r¿'r i t i t , r ' : rr i :¿.í irrr. ¡
{ l l Iñp{ l i í11! ! : i f i j . " l : i . r : r j 1 i i ' : . ' i l
Ur i ; l i . , l t ' . . : : ' . '
Segt l i i l ; r , l i : . i 1 . ' r .J i ; ,
L
!1E ,3f
I I ¡ , í t
' ; I r ' ¡ r1¡ i - r i i : : 
. ; r i i , i . ¡ , : : : i : : i - , { , t 1: lAi i ! } í : : : i t i i l i j
. . : r : i : ¡ - ' , . , t : ,1. :1, . , r - . 1. . ' : ' i . r ; ;1 t ; ; l1f i , i : i . { : 4: i t ,
. . i tn t I . 'd!ui \x?a,( ! ! . . - . ' " - 4 - , ' - ' - - . - : - .
4r . fz
i1 i . i2)
i1: j . ; i : , )
Fcro rccort ian( lo las ecs. { i5"12i : r ( i5. i : j } y el l :echo r je r¡uc dV 
- 
Sdi , tenemas
3 :,ltrr ¡; j == nqD, lo cnal d;l
l:¡rr 1o tanta
{ dl uz. : (_lS) di wp : j dV 
- 
nqú d,\i.
,5:ggg?J_Y'_, , , ¡ ' ¡ .
4rJ
t l nur:rtr+ r le ¡rr lrctr i i i ¡ er i ei vol l¡nre¡r d\/ . nuJt:tr :as i ,nlerprdur
ci ie;uit¿ri i* a¡l . i j t rr r l l ¡ : icnt l , ; í ;ür .¡ t i ! .r parl i{rula
caigad.i 
,nradi: ir {rn e} i i ¡ ;¡r to . ,1 i t ig. l i . ,-4i) tr¡
J"r¡1!Pr] f ¡ ] r r i t i r : i i :1J d:r l r . pr , r
¡'i .-- if t: q'11 A in r]J
qr r¿
i l i : l l i-. i ,-rlr ' - '^ ]o rs
' ' ) ; t ' ¡ gü SCfi b
i - r
' ¡ r . ; , , ; ;3¡ . . i , ' . ! r , : i : ¡ r j lP¡ i l l i r : - ¡ ] . ¡ : j : i ¡ 1: á ¡ . . . J :1. .1
i : r i ' : ¡ ' : :¿;J; i t i ' . ic : :s d¡ ' t t , ' t i : l i : : t , t : t i i i l ¡ ic t 's ¡ ! ' r : ' l i i -
l r l t . ; t . t " . ' ) l . " r r : i r : " l ; i l i . ' I - ' . . ' j ; ¡ t ¡ ; i , ' ¡ iq i ' - ; t , . ¡ : l l :
: - ' , . . , . i i : ._: . . , i . ; . . ¡1. . i i i . , r t t . , t . ! . l . ¡ ; , i . i t t i l i ' i r : j :¿ i ,_
I
.--,!-
I
l
) r ; : l i . j ! - :^ ; : ' ;1 ; f :
, , ¡ ,1 : ; , t ' : t f . . i
i ¡ , ' ¡1. , r ! '
1.1 ," - , , l : ' !
a
i ¡ t i ' ' ' i j ¡ . i ; r . ' " - ; -
{¡á ' ' r
, ¡ ; ; r ' i¿¡¡ . i :15 q ' ¡ , ' ¡ ¡ :
i i . . ' ruo-.¡ . .
I i ¡ r i t ¡ ) : '
: ' ' : " : '
{"
1l ' i : : '
i
! i i 'a
t ':: i í;
¡ : i ! . ; ) . -¡
15.12) Electrcmagnetísmo E ei príncipio de relatiuídarl 551
que, como señalamos anteriormente y demostraremos más adelante, es la velo-
cidad de la luz o de cualquier señal electromagnética en el vacio. En núnreros
redondos. c : 3.0 x 1Cl3 ¡n s-1.
Err ctr¡rclusiÓn: aunque utia c¿1rga en i{.f,,rr$o produce rinicament,e un campo
€lór:i¡ is6, una oarf]a en movimiento produce t¡ri:t.o un campo eléctrico c{}mo uno
rnagnélico, relacicnados por la ec. (15.54). Lcs carnpos eléctrico y magnético
son entonres simi;iernente dos aspectos de una propiedad fundamental de ja
niateria. si¿nclo lnás aprcpiado empleai el tér¡nj.no ((1mpo eletlromagnélico para
descril: ir la siLi¡arión íisica que involucra carga.s e¡r movi¡¡l iento.
i le i . .en:os señalar aqrt i que ei pasaje de ia ec. ( l i : .52).c la ec. (15.53) no cons-
titr¡ve u:r procedimiento nlatemálico único ] 'a ql¡e, si agregamos pcr ejern¡llo
a la *:c. (15.53) urr tér¡nino cuya integral a lo largo de un r:amino cerrado sea
cer.¡ , la ec. (15.52) no cambia. En ¡eal idad, la ec. (15.53) no es completamente
correcta. Se ha encontrado experimentalmente que da resultaclos accptables
iióic cu¡ndo la velocidad de la particula es pequeúa con respecto a c. En la sec-
ción Ii;.13 deduciremos Ia expresión correcta cie )l qtre seÉ válida para todas
las vtlocidades. Por otra parte la ec. (15.52) es válida para todas las vclocidades.
EiE:iwPLA 15.77. Veri!. icar que el resultado (15.42) para el campü magnético de
una corr iente rect i l fnea es compat ib le con la ec. (15.54).
Salucáón: El campo magnético producido por nna corriente recti l lnea es el resultante
dr los ' :ampos indiv i r lualers producidos por todas las cargas (¡uc se mueven a lo larg<r
r le! ccnductoL. De acuert lo con la ec. (15.1.3), s i S cs la sección transver ia l del con-
riuctor, I -: ñq.Slr, donde u es la velccidad de las cargas. Pero nq es la carga por
utririac de volu¡nen y por lo tanto la carga por unidad de longiLud en un conductor
de sección S es nqS : ) , ; de donde I : ) .a. Haciendo sust i tuciones en la ec. (X5.42)
y tcniendo en cuenta que c,l : l¡ur, tenemos
,, : Fo€lOsI ur x 
€ 
: pr.o€oo x C,
que es precisamente Ia lc. (rS.s¿).
75.12 Eleetrornagnetismo V eI princ$ño d,e relatioidad
En el capitulo 11 establecimos como principio general el requisito de que todas
las leyes de la naturaleza deben ser idénticas para todos los observadores iner-
ciales. En consecuencia, debemos ahora obtener la relación entre los campos
eléctricos y magnéticos medidos por dos observadores en movimiento relativo
uniforme, de modo que se satisfaga el principio de relatividad.
Supongamos que tenemos dos observado¡es O y O' (f i9. 15-42, en movimiento
relativo con velocidad a, y que hay dos cargas q y Q en reposo respecto a O';
las dos cargas están por lo tanto en movimiento con respecto a O. Los valores
de arnbas cargas son los mismos para los dos observadores O y O', como ya se
señaló en la sección 15.4. Para el observador O'hay solamente una interacción
eléctrica entre Q y q y la fuerza que mide sobre q es.F' : qC', donde C' es el campo
eléctrico producido por Q en g de acuerdo con lo que mide O'.
552 ; nl¿¡i.:ic¿t.¡¡; {1, ' ' , í 2
; i . l ' f i I f . ! , . " ' r !111.¡- , ' : : . r l ta l f i i { j ! iüí l r i l l ¡ carnt io
, i i , , f ! : r ' : i . i a- ;L is i ' i l : : , : l - ¡ t : i l í . ! j . : l l - ' i i ; l f e: i .á e¡ l
¿j¡r.r"¡i,qi:r .;r;r ¡..'¡ 
-íue 0 nlide sobre g cs
Por otro lari i r . i ' i le 1í¡. r írrg¿t i .r ' l i , ; ' , r0, '
e léctr ico Ú'¡ t in r l inp¡ i í l r i¿- ' i l ¡ : i i , l r .1 l i ;
mo./ i Í ! iei i t ,0 c{.}n teioi-. i i l i1¿ 3;. i : : . f .1;¡¡7;, :
P : qit' i- a: x 'll).
Fig. 1ír-.{2. Comparación de las nre-
, l ic l .as eletrtrornagnéticas hechas por
t ios observarlores en tnovi lnicnto re-
lal ivt.¡ .
Ei ig i rnr ic r , . i s is leni i r de c".r ; r ¡ lenai ts ia l i l . re i , ¡s ' : jer X v X'cr¡ inr ic lan con ia
ri irer:c!ón ,le i* r,elocidad reiaiir,¡t i ,: i ,;s obseryirdoics. tcn.elnos quc ?i =: ?¿r¿, \¡
(lr ie tD x :t3 : -- ' l tsu:l\z + ?{¡t¡ i;1r; i--l,r i0 tailtO las ci ' l i ip{JjiettteS dt' F en el siS-
tenla XYZ son
F" : Q{x, Fo .-- qq( u - i:¡j,), It- : rl((. n rÉ)J¡¡). (15'56)
!,.as r:rimponentes de F' en el sistc.-'rra X'Y'Z' son
P' : q{L, F'o : q{'r" F', : q(',. (15.57)
ccmo g est{¡ e¡r ropcso respect,a ¿ c" la reiat:ión entre las componente_s de F y
ds, i r" está d:rc ia ¡or las ecs' i i l . , i2) ' 111' .3: ' ) : r {11'34), es r lecir ,
FL :' ]rr, i'i ..- --- u1...--.. , F:: -r.'=1--,.
' i r I .__ ",?. ' í_2 \¡/ tr t i2i i :2
I leerrrplazando los ' , 'a icres r ie iar c ' r r l l f lúI l i ¡n ies ¡rc ' i ios i ia i los en las ecs' (15'56)
y {15.57), - r 'canceiani io t l iar : . i , ' ¡ - cDII lL ln q. . ' } ) tc11c}n{)5
71
(ü
-- L/ iJr
.t i"" ¡ tt ' ' i j ,
I z .-= -t: 
---.-: 
.
l / 1 - ' tFirz
{r5.5S}
i
l is . t - : ! f , i c¡¡ j t , r 'es|
i l l t r : t r , , larr i , - , i i i l i ' , . J{ l ¿¡¡ i - ¡ ¡ r : ; :1 cLl¡r i i t tor í t i ¡ ie Ja relat iv i r ¡ .ar i esper: la l ,
e l r ¡ r : ' r l ; r ¡ ¡ l i r ¡1.¡ ' ¡¿r,r 1, , :d jd l ¡ " i , ; e i { ) i i i { ' i ' t : : r l r , i l i ; i lon i , , 's i l l l i r i í loS ; : l r :ct . r ic l c l i l tq-
r , / ,1¡¡ .J; ; , : , , ¡ ! i ;11;¡r¡ ,ü; : . i r l j l l " : l ' - , : ; ¡ ] i ' r i l r . . " ; l ' : ' - : ' - . : ! , iJ .1 l i ; ) ¡ , : i I l ' - ; . : ' ls l l : i ¡1el í la;e¡ '< ' ' - j . ; " i ' ¡ t
st <-, i : , r - j r r , , ' i i l - ic i ' ra l ; rL,ar i , : r t : , , , . . : r . , " r , - i , . . ;1,- l : : i i l " i r i . i l lc t i ¡ ' t '^ v¡ r i i i - t l
SiStI i ; : r . . , ' , '7, ; ;¿ i í ; ! - i t i i 
' - ' 
j ] . i r ' . , 1 , : i ' l " l ; - ' - ' ¿ j l ' i l ¡ - ' t . : i , ¡ . ; , " - ' ; " - ,1 ' . ' ' \ ¡1. ¡ i i l . i ¡ ; \Sef-
l .q t9\ Eleclromctqnelisnto y el príncípio de relatiuidad SSJ
vador o' mide un camp0 eléctrico c" y un campo n-ragnético )l ' , el campo eléctrico
que mide O está dado por
c" =-c;. (u : ' , .u-j- ' t) ' - . f , : : ;-!=L!íL. (15.59)
V1-¡¡zfcz l / l -uz¡¿z
Si la carga Q, en vez de estar en reposo con respecto a O', está también en
movimiento respecto a é1, el observador O' observa un campo magnético '8, ade-
más del campo eléctrico {'. un cálculo similar pero más trabajoso* da en ese caso
t)',: t),, ,';, : -))y--L!!!L, ¡¡'": ))::'ül-'i. (15.60)
Vl-D2lc2 l /7-uz¡sz
Aquí también, como lo hicirnos en Ia ec. (15.58), podemos obtenerla transforma-
ción inversa de la (15.60) intercarnbiando los campos y reemplazando u por 
- u;
resuita
B, : )J,. ¡¡ 
- 
!"---f!'e 
, )J. : )Ljú--!!. fl5.61)
l /1-u2¡sz l / t -ur¡¿z
Las ecs. (15.58) y (15.60), o sus inversas, las ecs. (15.59) y (15.61), const i tuyen
la transfcrmación de Lorentz para el calrrpo electromagnético. Estas ecuaciones
demuestran una vez más que los campos eléctrico y magnético no son entes se-
parados, sino que forman un único ente físico l lamado el campo electromagnético.
La separación de un carnpo electromagnético en sus componentes eléctrico y
magnét ico no es un procedimiento absoluto s ino que depende del movimiento
de las cargas respecto al observador. En consecuencia repetimos que no debemos
hablar de las interacciones eléctrica y magnética como procesos separados, sino
como de dos aspectos de la ínlerqccíón eleclromagnélica.
EJEMPLO 15.72. Reconsiderar la situación discutida en el ejemplo 15.4 usa¡rdo
Ia transformación de Lorentz para el campo electromagnético, para relacionar los
campos medidos por ambos observadores.
Sol*cidn.' Recordemos que en el ejemplo 15^4 habfa un campo eléctrico según el
eje Y y un campo magntlt ico segirn el eje Z. Haciendo una transformación cine-
i -nát ica a u¡r s istema de ejes X' \"2 'moviéndose en la dirección X con velocidad
v : CtA, redujimos el rnovintiento al de una particula en un campo magnético
solo. Vayamos un paso más adelante en este análisis y veamos las implicaciones
de este ejemplo dentro del marco de la teorta de Ia relatividad. En el sistema XYZ
tenemos ó., : 6, Cc : t" y ('" 
-= 
0 para el catnpo eléctrico, y lJ" : )rv 
-- 0, )lz : I)
para el carnpo magnét ico. Luego, usando las ecs. (15.58) y (15.60), encontramos
que los campos que se observan en el s istema de referencia X'Y'Z'son
tí : o, (í : :=.L, c"j : 0,
l/ 7 - ttzlcz
) 'J; : 0, )t i : 0.
r Por ejemplo, s i e l estudiante desea oblene¡ la segunda y tercera ecuacior¡es en ec. (15,60),
suge¡ imos que use la ec- (15.58) para el iminar r ' i 
- : ' 
t ' ! de Ia t ransformación inversa (15.59),
y luego despejr ' ' ) : ¡ t t t ; .
554 Interaceión maqnétícu (1 5.12
Poniendo u : ( l lJ , cLrncluimos que úi 
-= 
0 por l r . ; q¡ . ( ' 
"= 
l ) , mientras que
t" t ! ; - . | ' t - -u l ¡ ' r .
Por lo {.antc la teoria ie la relat i . . ' ic iad predice que u;l ¡¡bservador 0' moviendose
ccn velocidaA ¡¡ : ( l l - j , . lon resprcto a ulro obserl*dor {), ¡ro rnerl irá campo ¡r iértr ico
aiguno y medirá ur (:aynp() magné|ico m.-nor q'Lte el que rnide O, runque en ia lnisr lra
direccién.
{tJE3!r 'L{, i t t .7}. Obtener el carDpo i ;rap.i iét ict ' r d¡ irna crrrr ienic rcct i l inea :-¡sando
i¿ i .ransfc¡r, ' in¡: ión reiatír ' lsta del {;ait¡p{. ' eiectrc:r: !gttét ir :o.
l : -* tscddr¡ . . { :orrs ldeiei¡ . : . } l ; r ¡na Í l ls :n l i : ; i i l i < ie tar(as i r l l r r i t i lent .c espaciadas qi ie 9e
i¡rr :eveñ;egi ln ei c jc ,Y.r l in " . ' * ! t i is iaC l i ¡ rsu¿¡t , ¡ : r l obstr"vÍ : i lu i ( } ( f ig. 15-4i l ) t qt :e
;. :ol i$i t iuyen por l l r t : ; :r i - l una cc¡ ' l i¿' ;r tr ' r ' i i l r :1: ira re{t. i ! í i r fa. l i i l - es ia. calg:r t ié¡- ' i r i*¿i
l :+r r:nidarl dt l ,Jrr-giturl , la cori ' ¡ent.*r r lél : tr ic¿ i¡r lr : tnidt: () es i : . ,u. C¡"rnsiderei lr is
. l ] lora un ot¡serva{lot í) 'qr i(- se i l ] !- ievo i i . 'g-t lr¡ i j i ejc.\ con l 'eiocit leC ¿. Las lr}tgas
tstán c: : i r :pcso r . -s i rcct i i :n O 3 ési ' . ' ¡ ¡ r i i t : ' , i ' ia ; r 'enle ün ¿t¿n1Fo r lút i r i . ' r : . P¡¡ i e l
: ,r ,¡¡r i . i '&: ' :r) , L, i"egistre i :n c:¡r¡1pir eléctr ' ! t :r 1'u!¡ cá!.r lpü nragrrót! ' : i r-
iy d.,:'
Fí9. 1i.4S. Campo elect.rornagnético ¡;roducido por un chorrc de cargas que se
nlucven st :gr in ei e je X ia l <:o¡nc¡ io. , rbserv¿l¡ dos oirservar l ( r res en ;ncvimiento relat lvo.
La carg,a medid¿¡ por íJ eri l rn segrrei l ic r i-r ' es r lq =' ' ¡ . t j :" l l l *bserr,ot ior {J' ;r ; :de
la misma carqa per(i r lel¡ idc a la-i ' . )niráü<:rón 
' . !e i- .¡¡renlz, el segnrent<; parerc ir : trer
una longi tud dr ' ta l que Cr -- I i - - i , : ,c¡ d: . F ' r - r r ' lo ta-nto lJ ' midc una carga por
unidad de longitud i ' di lerente, dai la par
dt
^, 
: + : i -1{. ,= .{7'-- u,-¡c, t..(If OÍ
El campo eléctrico medido por O'es transversai. En un punto P está dado por
eI resultado del ejernplo 14.7, es decir, ¡ror t ' : \ ' l2¡eaR'. Colocando el eje }' para-
lelo a la lfnea PQ y teniendo en cuenta que .R : R' porgue es una longitud trans-
versal, podemos escribir
( l :0, {J : t'l : 0.
2reo.R '
Luego, usando las ecs. (15.59) con f l ' : 0, podemos escribi¡ las componentes del
I
I
sl 1",
I i "U
s/; v
t ;
lR= I i l
i
i
iI
*--'r--i-
i 
, r,. ----=--y
_\ /
15.13) Campo e,ieclromagnético de una carga en movimie¡tlo 555
campc eléctrico con respecto a O en la forma
C, : t '" : 0' ,. ' 'u 
- 
-j i =-: - --¡-
{ t - ¡ ¡ }z 2neol l l t I - i ; ¡sz 
- 2neoR'
Análogarncnte, las ecs. (15.61) dan las s iguientes compon€ntes del campo magnét ico
respecto a O:
t j , 
- 
yv:0, y" : 
- -y i , ' ! l i : - : - - - ry\ ' - , , - - r 'q l - -
Y 1 -- t):-k' 27euR[ i - utk" 
- 2nll '
clonrle hemos usado la relación €opo : 11c2. En consecuencia, no sólo obtenemos
correctamente el campo eléctrico en el sistema Xl'Z r)e una distribución recti lfnea
de carga, s ino que tambión, usando la ec. (15.37) como punto de part ida, hemos
encontrado la expresión correcta para el carnpo magnét ico producido por una co-
rr iente rect i l f nca. que habf a s ido obtenido previamente {ec. (15.41) I . Podemos
conf iar entonces en que la ley de Ampére-Laplace (15.37) es compat ib le con los
requisitos del principio de relatividad y que da por lo tanto el campo rnagnético
correcto asociado con una corriente elóctrica cerradu.
15.13 Canryto eleetrontagnético de una cargú en tnoaitniento
En el capitulo 14 vimos que una carga en reposo produce un campo eléctrico
( ' : (q l4nesr2)ur, y en la sección 15.11 señalamos que cuando una carga estrá
en movimiento, produce, además, un campo magnético cuya expresión sugerimos
que serÍa )J : (¡ro/4n)qo x urlr2,
Sin embargo, de acuerdo con la sección prece-
dente, los campos ( y '11 deben estar relacionados por las ecs. (15.58) y (15.60).
En consecuencia debemos empezar, desde el principio, con un cálculo relatiüsta
para obtener las expresiones correctas de t y ']J para una carga en movimiento.
Consideremos una carga q en reposo con respecto al sistema de referenqia
X'Y'Z', y que se está moviendo con respecto a XYZ con velocidad u paralela
al eje X común. El observador O' no mide campo magnético alguno, sino sim-
plemente un campo eléctrico, como se señaló anteriormente; por lo tanto
'D'r : 'Hi : ' lJ ' , :0, o sea ' ) r ' :0 ' Luego, las t ransformaciones (15.59) para
el campo eléctrico dan
C, : fi., t, : - 
-!+=: , ('" : -:!:. (15.62)V1-ü¡cz Jfr-uz¡cz
Las ecs. (15.62) indican que cuando los observadores O, que ve moverse la carga, y
O', que la ve en reposo, comparan sus medidas del campo eléctrico de la carga,
obtienen la misma componente del campo paralela a la dirección del movimiento,
pero O obtiene una mayor componente perpendicular a la di¡ección del movi-
miento. Análogamente, las transformaciones (15.61) para el campo magnético
dan, si usanos Ias ecs. (15.62) para escribir las componentes del campo eléctrico
respecto a O,
iJ" : o, ,t, : - Llt, tJ, : t' . (r5.63)
556 Interatcíón magnétíca (15.13
las cuales son eq uivalentes a '?J : t x ( ' l*. E sta ri: i¿ción es idt':ntica a la ec. (1 5.54)
que, como se señaló anteriormente, ts la rclacióri cutre ius campos eléctrico y
magnético de una carga moviénciose cor.¡ r 'r lcciCari co¡¡stante n. relación que es
válida para todas las velociriades.
t ' l ,
Fig. 1á-i14. Transformación relai ivisia de ias componentes del campo eléctr ico
pro;jucido por una earga q en reposo rcspcr: lo a O' y situ¡¡da en O',
[,as cbservaiiones de O y'de O'se comparan en ia fig. 15-44. Si la carga está
en O', el absen'ador O' mirie en P' (sobre el plano 
-X'Y') un campo eléctrico
dado por
¿., : q uJ__,Q_r"
4 ne nr'? 4 ';e or'3
El ohservador O ve el mismo punto en el piano XY pero. debido a la contracción
cle l-oreni.z, la coordenada X rJtrl ¡runtc parece acortatla en el factor / 1_úlr',
mientras que ia coorder¡ada \ ' l ,erry¡aner: : i .gua!. E,s decir , Í =- Í ' l 1*u2lc2,
A:! ' . f "uego, el ángulo I que ú| forrna con OX es di ferente del ángulo É'qrre
O'P' fo l rna con O'X'( f ig. 15-aa). F. ,mpleando ias ecs. i15.62), vemos que el campo
f que O nide. en P tiene rlna componente X igual a la medida por O', pero la
componente Y es ma.vor cn un factor 1¡N' , - -L*¡ iL El resLi l tado es que f forma
con ei eje X el mismo ángulo 0 q'.te r. Pcr io tanto, respecto al observador 0,
el campo eléctrico yace también en ia direccrón radial. Sin embargo, el campo
ya no es estéricamenti.. sjnrétric{i con res¡recto a O. tin cálculo simple y directo
(ver el e jemplo 15.1,1) muestra que
n 1 
- 
n2lr2¿ .- Á;i,; ¡ -ffi;.i, n,ro ""' (15.64)
El factor que conbiene sen en 0 hace que el campo cléctrico rlependa de la dirección
del vectar de posición r. Así, a distancias iguales de Ia carga, el campo eléctrict¡
es más fuerte en el plano ecuatorial (0 : n/2), perpendicular a la dirección del
L
15.13) Campo electromagnélico de uno carga en mouímienlo 557
movimiento, que;egirn la dirección del 
'mismo (B:0). Esto contrasta con el cam-
po eléctrico producido por una carga en reposo, el cual es esféricamente simétrico.
Esta situación se ha i lustrado en la fig. 15-45(a) y (b), donde el espaciarniento
de ias l íneas indica la intensidad del campo.
Llsando la relación 'ü : u x f ic2 que, según hetnos demostredo, t iene validez
general, 
-v 
empleando la ec. (15.64) ¡r:rra {", encontramos que el campo magnético
de una carga en movlmiento es
I - ú¡cz (15.65)
[1 _- (rl/c') sens 0]3/2
DxUr.
Esta expresión se reduce a la no relativista, ec. (15.53), cuando ¿,l es muy pequeña
con respecto a c. Se debe tener en cuenta que las ecs. (15.64) y (15.65) son vál idas
solamente para una carga en movimiento uniforme. Si la carga está acelerada,
el campo eléctrico tiene una forma similar a la mostrada en la fig. 15-45(c) y las
expresiones matemáticas son más complejas.
'B : J.o!=
4rrz
(a) Carga en reposo
o con velocidad
muY baia
Flg. ló.46. Lineas de fuerza
l)
-
(c) Carga acelerada
eléctr icas de una carga en reposo y en movimiento.
El hecho de que Ia ec. (15.65) sea di ferente de la ee. (15.53), que se der ivó de
la ley de Ampere-Laplace (15.37), puede hacer pensar al estudiante que la ec. (15.37)
es a su vez una aproximación no relativista a una ley más general. Sin embargo,
esta impresión es errónea ya que, como se señaló en la secció¡r 15.11, la ec. (15.37)
tiene validez general. La dificultad aparente se debe a que el camino seguido
para i r de la ec. (15.37) a la ec. (15.55) usaldo la ec. (15.52), no es único. Esto
se debe al hecho de que una sola carga en movrmiento no constituye una corriente
cerrada, mientras que la ec. (15.37) es aplicable sólo a corrientes cerradas. Por
ejemplo, si usamos la expresión (15.65) en la ec. (15.52) correspondiente a un
chorro de particulas cargadas moviéndose en l inea recta, obtenemos la expresión
(15.41) para el campo de una corriente recti línea. Este cálculo, que omitimos,
muestra la compatibil idad de la teoúa.
EJEMPLO 75.14. Deducir la ec. (15.64) para el campo eléctrico de una carga en
movimiento unilorme.
q-
(b) Carga en movimiento
con velocidad alta
ó58 Inleracción magnétíca {15.13
Solución: Notando en la f ig. 15.4,1(a) qu+: { ' lormil un ánguic 8' con O'X' y que
cos 0' : x ' fr ' , scnB' : g' i r ' , tenemos qi ie las cLrmponeii t t ' r i le f ' son
( ' ; : ( ' cos 0 ' = ' - rL l r , i ; 
- . . ' ; .n u ' : : - -a. : ( t5.co)4::< o r '3 4ne o r '3
Tenienriu. en cuc¡l ta la ec. {15.6i i }- que, sc'grin la lransformac!ón de Lot 'entz,
r : j : ' {1 --o; ic" e ai : g' , porJen:os rs.. :r !Lrir las crlmponentes dcl canlpo f- l obse¡-
v,ido por úr en la forma
¿- 
-- 
, ' ' ' - 
q 
-----l-*-
4ft€o y' | __ ¡.¡z j¿z ¡,2
-_ 
t i_ 
_ _q _ ____g _
ll t 
- 
-u.z 
4-e .. ll' -| , 
- 
t - . ,1-¿zf¿zy's
vect orial,
qr
- - - - - -=:- t
t t re i {1-zzfsz¡t t
la cual muestra que el campo { es radial e n el sistema de reterencia X YZ. Ahora bien
r,z : t,2 I u,2 : Je -F. u¡ : -:l-iYli:\g'
" 1_y2,t¡z 1_Uzlgz
], además gt : r2 senz 0. Por lo tanto
r l l - (uzicz) sen2 0jr / r
' : - - vr-u\4: '
Usando esta relsción para elinrinar r 'en Ia ec. (15.67), obtenemos finalmente
, I i l - ' u¡lcr)r qf : - - - | _ utlc2
(y 
-
Es decir, err forlna
¿--
4:r<nrs 11 -- (u2lc') senr 0l3i r 4re¡2 [1 . ' - 1ua¿:¡ sen, €jsiu
ur)
que es precisamente r l resul la¡ic obtenido anteriorr¡rente.
FJEltPl,0 15.t5. Discuti i ' ia ¡:ori¡ i1c rnferacción maglút iea rnire $n electrón
r¡rbi'i*.J y tri i1írLr1i'jo de i¡n ¿itrrlnB.
Soh¿¿dcln. ' { lonsidtrre;r¡os {f ! g. i I :- , ; Ír ;
: : iar_" i t i ¡ r i i , ¡¿iret1*cj t , ¡ a l* i l i i ¡ iL: . i j , ]
FlS, 15-dB, Interacr:ir)¡r rspin-órl--i i :.r
de un elc¡trén que se muer,e alre-
dedor de un rrúcleo oositivo.
(15.67)
;¡ : ; lc¡ i i ¡ in cuyÍi (rarÉ¿r es -- i giraldg con
11t ¡a¡i- . .- í¡ . St¡ irLr.\ 'e ' t ! . :)r : ,n c,r i l ¡ ' t l : : l í . j !" t el
¡ : i r i l i ' ¿, i ; , : c i l tv : , i le i i i , i ¡ t : t , { ra¡¿ sÍ¡n¡, l i i l ¡ar ,
¡11 r. i n r. rr !r , . i qr ial as lr na i_-ir i i I t i Íeier¡cia" I .¡ , :ro" si
l t : l , rr irnos l+s ¡ loYir¡r jr . !r tos a ¡rr i sisle¡rra t le
c;,.cr i lc¡r.a, irs I i j t l ai electr l i r i , éste es.tará en
¡rp:.;sú )-- i ¡ l i : r . i r . : iec irarecerá estar describien-
d* la lra.-tett<.¡r ia cic irazcs, tarnbién ¡-tna cir-
¡, :u¡i ferencia, cnn veloc!dad -- r ' . Despreciando
ia :celera-ción del
electrón (el estudiarrte de-
beria ser capaz de calcularla y juz€iar lo
razcnable que es csta suposición), podemos
co¡rsideiar que este nuevo sistema ¿s inercial.
F, l i - iúclec, produce, pues, con respecto al e¡ec-
trón, uir üampo electr ico cuya expresión r¡o
rela-t ivista es f 
- 
(Zel4xe¡z)u, y un campo
maf:nético reiacionado con C por la ec. (15.54)
:
I
i
I
I
I
I
I¡¡
I
I
I
Campo eleúramcqnélíto de uflü rarga en mauímíento 589
c0¡1 - r, ;n vez de o, Es decir,
, :c : +(-o), r : +rx u: #fu, ' . ¡ \a.
Pero el momentum angular del electrón respeclo al núcleo es L : mt x o : mrTt¡ x o.
Despejando w x o y reemplazando en la expresión de (D y ¿, obtenemos
n : 
^ft;;,.En consecuencia el campo magnético producido por el movimiento relativo del
núcleo es proporcional y paralelo al momentum angular del electrón, como se indica
en la flgura.
Como ?J es un campo magnético referido a un sistema en el cual el elect¡ón está
en reposo, no da origen a ninguna interacción con el movimiento orbital del elec-
trón" Pero el electrón tiene un momento magnético Ms debido a su espfn, de modo
que Ia interacción magnética del electrón con el campo magnético nuclear es, em-
pleando las ecs. (L5.22) y (15.29),
Ep---Ms.B:-("9") . ( , t "^ 
-r \ : -\' 2m I \ 4tte ¡ct¡¿'t ¡
- 
fz" s.L.
8neoc3m2d
El aspecto más importante de este resultado es qu€ la interacción magnética depende
de la orientación relativa del espln S y el momentum angular orbital z del electrón.
Es por esa razón que se denomina interacción esptn-órbita y se designa a menudo
por .6e,sr,. Un cálculo relativista más detallado indica que el valor de Ep,sz es l&
mitad del valor obtenido más arriba.
Estima¡emos a continuación su orden de magnitud- Recordemos que según la
tabla del ejemplo 15.6 se tiene que para el electrón, y es aproximadamente 
- 2.
Adenrás, según la ec. (14.40), la energfa del electrón en una órbita ci¡cular es, en
la aproximación de orden cero, E:-Zetl4rceo(2r). Por lo tanto, después de corre-
gir E¡,sa con el factor un medio mencionado antes, podemos escribir
Ee,szx =E==S'L.
czmzlr
Pero el módulo de z es mru y podemos suponer que el de S es del mlsmo orden de
magnitud. Luego, S. ¿ es aproximadamente (mru)t. Haciendo la sustitución, obte-
nemos
Ep,st x * lut .
Cornparado este valor con el resultado del ejemplo 14.10, concluimos que la inter-
aeción espln-órbita de un electrón orbital es del mismo orden de magnitud que Ia
corrección relativista a su energfa. Sin embargo, la interacción esptn-órbita tiene la
p,articularidad de que presenta un efecto direccional nlt ido a causa del factor S. f,,
que depende de la orientación relativa de /- y S.
Llu análisis cuidadoso de los niveles de energía de un eiectrón en un átomo muestra
que S ¡rriede tener sólo dos orientaciones respecto a ¿, paralelo o antiparalelo, lo
¡uai esiá de acu,erdo con la discusión que hicimos al f lnai del ejemplo 15.2, En con-
scguencia, la ini.cracción espln-órbita desdobla cada nivel de energfa de un electrón
&l:" peres (o dobletes) de niveles rnuy cercanos.
560 Interacción magnética (15.14
75.74 Interacción electrotnagnétiea entre dos eargas en ,nov¿-
miento
Podemos notar a esta altura que en nuestro estudio de las interacciones magné-
ticas nos hemos apartado del procedimiento seguido en los capitulos 13 y 14 para
las interacciones gravitacional y eléctrica. En aquellos capftulos comenzamos
estudiando la interacción entre dos partículas, introduciendo luego el concepto
de campo, En este capítulo, en cambio, introdujimos primero el concepto de campo
magnético en forma operacional, hablando de la fuerza (15.1) que se ejerce sobre
una carga en movimiento. Luego calculamos los campos magnéticos producidos
por corrientes cerradas. Hicimos esto por medio de la ec. (15.37), de la cual [si
usamos también Ia ec. (15.1)l podemos obtener la fuerza magnética que una
corriente eléctrica produce sobre otra o sobre una carga en movimiento. Pero
hasta ahora no hemos dado ninguna expresión para la jnteracción electromag-
nética entre dos cargas en movimiento. Una de las razones de esta diferencia
de procedirniento es la siguiente: las interacciones gravitacional y eléctrica estu-
diadas en lcs capitulos 13 y 1.1, respcrtivamente, dependen exclusivame¡rte de
ia distancia entre las dos parliculas que interactúan; es decir, son fuerzas estaticas.
i,a jnteracción puede existir entre partÍculas err reposo y la situación fisica se
puede entonces discuti"r en condiciones estacionarias o índependientes del tiernpo.
Por ei contrario, la interacción magnética depende del movimiento de las par-
tlculas en interacción, o sea que es una fuerza dependíente de Ia uelocídad. En
un punto dado, el campo magnético de una carga que se mueve respecto al obser-
rador depende de la velocidad de la carga además de depender de la distancia
entre la misma y el observador. Pero la distancia está cambiando, puesto que
la carga se mueve, y en consecuencia el campo magnético (asi como el campo
eléctrico) en un punto dado está variando en el tiempo; es decir, respecto al
observador, el campo magnético de la carga en movimiento es dependíente del
tíempo,
Un nuevo elemento entra entonces en la imagen física: la uelocídad de propa-
gación de una inleruccíón. Un modo posible de encarar el problema es suponer
(,)(v)
Fle. 16-4?. Efecto de reta¡do debido
a la velocidad finita de propagación
de los carnpos electromagnéticos.
Interacción electromagné-
dos cargas en movimiento.
fis. 16-48.
tica entre
j lL. i + ' t¡JrriQS en mqilimicnl',:t 5íJ
i :ne las particrl las irl"teracti lcí! " C,islartri.a; ts ciecir. si le carga g (f-rg. 15.47') se
r i t i t r . - : ' i l ccn velocidar i u, e l ca¡ l r ; ' i i c lectrc i r ragnét i r ; , r r l r re q prodoce en A al t iempo I
, ,s, , ' l resul tad<l de i : r s i tuacir ' ,n i1" ica el¡ e! espacio c¡rcundante debir la a la pre-
sencia i lc la ceriga r:n la r.¡i¡sir: i i ,. i P tt\ t i-:mpo t, simultanea;nente con ia obser., 'a-
ción r:n A. trn otras palabi."rls. ¡--odeinos supo!;. i que la interacción electromagné-
tica .i¿ propaga in-slaniánearnrnle o con velocidaC ilrt lnita.
Otra siiposición ra"zonable es que la interacción electronragnética es el resultado
t1e ciertas "señales" intercambiadas por las partículas interactuantes, y que la
"srñ¿i" se ptapaga con uelocidad fíníta c, lo cual requiere un cierto tiempo para
alcanzar un punto dado en el espacio. Si la carga está en reposo, la velocidad
finita de propagación de la "señal" no tiene importancia ya que las circunstancias
Iisicas no están varia.ndo en el t iempo. Pero para una carga en movimiento la
situaci<in es diferente y ei campo que se observa en ei punto ,4 al t iempo / no
corresponde a la posición simultánea de ia carga en P, sino a una posición ante-
rior, o retardada, P' al t iempo /', tal que f - / ' es el t iempo que tarda la señal
en ir de P' a A con velocidad c. Evidentemente P'P : u(l - f ').
Como veremos en el capi tu lo l9 y lo mencionamos ya en var ias ocasiones,
Ias interacciones electrornagnéticas se propagan con la velocidad linita c dada
pcr la ec. (15.55). Esto elimina ia acción a distancia, por lo que e! análisis del
campo electromagnético producido por una carga en movimiento requiere el
segundo de los enfoques dados más arriba. Como c tiene un valor tan grande,
el efecto de retardo es despreciable a no ser que la particula se mueva muy rápi-
darnente. Es por esta razón que no se consideró el retardo cuando en el capitulo 14
estudiamos el movimiento rie partículas cargadas. Se supuso que las cargas se
rnovian muy lentamente, de modo que PP' fuera muy pequeño comparado con
P¡l. I- ln efecto similar de retardo debiera exisl. ir para la interacción gravitacional
entre rnasas en rnovimiento ¡elativo; sin embargo, aún no se ha deterrninado la
velocidad de propagación de
señales gravitacionales.
;\ l escribir la ec. (15.35) no tuvimos en cuenta los efectos de retardo porque
una corriente eléctrica cerrada produce un campo rnagnético estacionario o inde-
pendiente del t ienrpo. La razón de esto es que una corriente constante y cerrada
es un cirorro de partículas cargadas, y si éstas están espaciadas uniformemente
y se rnueven con la misma velocidad, la situación física que se observa es in-
dependiente del t iempo" Por otro lado, se puede verif icar que las expresiones
rel.ativistas (15.58) y (15.60) para Ios campos eléctrico y magnético de una carga
en rr¡ovirniento, ya incluyen el efe,:to de retardo.
Consideremos ahcra dos cargas h J gz que se muev€n con velocidades o, y o,
respecto a un otlservador inerciai O (fig. 15.48). La fuerza quc la carga qr ejerce
solrre gz es, de acuerdo con lo que O mide, Fr: qr({', * a, x }Jr), donde {', y ¡}J,
son los campos eléctrico y magnético debidos a q1 que O mide en la posición ocu-
p:rda por qr. Por otra parte, la fuerza que la carga qz ejerce sobre ql es, según
las rnedidas de O, F, : gr(t 'z * Dr x )J). Comparemos primeramente las partes
rr¡agnéticas de F, y .F.r. Ei término o, x l)1es perpendicular al plano determinado
por ¿'^ y '-}3r, roientras que Di x )Jz es perpendicrrlaral plano de qy'132. En con-
iccueiicia, ¡:g.tos términos tienen en general dirección y módulo diferentes. En
'"' lsl-a de Ia ec. (i i ..64), las partes eléctricas de F, v de F, t ienen también difere¡rte
562 Interaceíón magnétíca (15.14
módulo j, si las cargas están aceleradas, direcciones diferentes, Concluimos por
Io tanto que
las fuerzas entre dos cargas en mouímienlo no son íguales en módulo
ni aclúan en direcciones opuesfas.
En otras palabras: la ley de accitin y reacción no es válida en presencia de
interacciones magnéticas. EsLo implica a sll vez la conservación del mornentum,
del mornentum angular y de la energía no serjan válidos para un sistema de dos
partículas en movimiento. Este fracaso apcrente de leyes tan imporiantes se debe
ai hecho siguiente; cuando en el capitulo 7 cscribimos la ley de conservación del
momentum e¡r ia forma Pt * Fz: coilst., estábamos cansidera¡¡do que O medía
simuilaneamenle yt, y f¿; sin cmbargo, eu presencia de una interacción que se
propaga con velocidad finita, el efecto de retardo requiere que ia rapidez con
que cambia el lnomentum de unt parlícrrla en un ins',ante dado no esté relacio-
nadr con la dei momentum dc ir otra particula en el mismo instante, sino con
ia correspartdie.nle a un inslanle anteríor, e inversamente. No poderrros esperar,
entonces, eue pr -i- p2 sea constante si los momenta se determinan al mismo
tiempo.
El estudiante recordará que, según la sección 7.4, podemos describir el resul-
tado de una interacción como un intercambio de momentum ent¡e las dos par-
Pz
t iculas, Para restaurar la ley de conservación del momentum,
debemos incluir el momentum que se está intercambiando
entre las dos particulas y que, en un instante dado, está via-
jando entre ellas con una velocidad finita. Esto es, tenemos que
tener en cuenta el momentum "en vuelo". Decimos que el cam-
po electromagnético transporLa este rnomentum y lo designa-
mos con pcampo (ng. 15-49). Por lo tanto la ley de conserva-
ción del momentum requiere que
Pt 1- Pz * P"rmpo : cooSt. (15.68)
Flcurg 16-49
" Análogamente, debemos atribuir un cierto momentum angular
y una cierta energia al campo electromagnético a {in de res-
taurar los dos principios de conservación correspondientes. Pospondremos hasta
el capitulo 19 la discusión de cómo se obtienen el momentum, el moment¡m
angular y la energía asociados con el campo electromagnético.
El estudiante recordará que en la seccjón 7.7, cuando presentamos una apre-
ciación crÍt ica del concepto de fuerza, señalamos que la ec. (7.5) se debia consi-
derar sólo como preliminar, sujeta a una consideración ultcrior de la mecánica
de Ia interacción. Esta revisión se ha incorporildo ahora en la ec. (15.68). Es por
esto que el concepto de fuerza adquiere importancia secundaria y es necesario
desarrollar técnicas especiaies para analizar ei movimiento de dos particulas en
interacción.
EJEIIIPL0 ló.1G. Comparar la interacción nragnética entre dos cargas con Ia
interacción eléctrica entre las misrnas"
t i( i
i,t*-*
/-zo'
9t
Bibliografla 563
Salucion: Cnmo qucrerros sólo órdenes de nragnitud, simpli f icaremos la esc¡i tura
de las fórmuias. l ,uegc,, dadas las cargas q y q', podemos decir que la fuerza eiéctr ica
ejercida por q' sobre g es qt ' . I l l canrpo magnético producido por q' en q es, si em-
pleamos la ec. (15.54), del orden de magnii-ud de u'( lcz. La fuerza magnótica sobre
ia carga q es, usando Ia ec. (15.1), del orde¡l r ie magnitud de qtr(u'{ lc2) " ' (uu' lcz)q(.
Por lo tanto
fuerza magnética uu'
f* . . . lé. t t ' t * 
= 
c '
Asl, si las velocidades son pequeñas respecto a Ia velocidad c de Ia luz, la fuerza
magnética es despreciable frente a la fuerza eléctr ica y se puede ignorar en muchos
casos. En cierto modo, podernos decir que el magnetismo es una consecuencia de
la velocidad f ini ta de propagación de las interacciones electromagnéticas. Por ejem-
plo, si las cargas t ienen una velocidad del orden de 106 m s-r, que corresponde a
la velocidad orbital de los electrones en los átomos, tenemos que
fuerza magnética
f"""r^ 
"lé"t.ia^ 
: ru 
"
A pesar de su valor pequeño respecto al de la fuerza eléctrica, la fuerza magnética
es la que se usa en los motores eléctr icos y otras apl icaciones tecnológicas, por la
siguiente razón. La materia es normalmente neutra eléctr icamente por lo que la fuerza
eléctr ica neta entre dos cuerpos es cero. Por ejemplo, cuando se ponen dos alambres
juntos la fuerza eléctr ica resultante entre el los es nula. Si se mueven los alambres,
las cargas posit ivas y negativas se mueven en el mismo sentido, por lo que la co-
rr iente total en cada uno es cero, siendo entonces cero la fuerza magnética resultante
también. No hay por lo tanto ninguna fuerza entre los alambres. Pero si se apl ica
una diferencia de potencial a Ios alambres, Io cual origina un movimiento de las
cargas negativas respecto a las posit ivas, se produce una corr iente neta en cada
alambre que da como resultado un campo magnético. Como el número de electrones
l ibres en un conductor es muy grande, su efecto acumulado produce, aungue sus
velocidades sean pequeñas, un giran campo magnético gue da como resultado una
fuerza magnética apreciable entre los alambres.
Aunque la fuerza magnética es débil comparada con la eléctr ica, es todavla muy
fuerte comparada con la gravitacional. Recordando la discusión que hicimos en la
sección 14.6, podemos decir que
interacción magnética
interacción gravitacional
Para velocidades comparables a las de los electrones orbitales, este cociente es del
orden de 1032.
x l}ss "u
c2
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Froblemas
15.1 Un electrón con una velocidad de
108 m s-r 
€ntra a una región donde hay
un campo magrrético, Encontrar la in-
tensidad del campo magnético si el elec-
trón describe una trayectoria de radio
0,1 m. Encontrar también la velocidad
angular del electrón.
t5.2 Se aceleran protones a través de
una diferencia de potencial de 10c V
partiendo del reposo. Luego se los in-
yecta en una región donde hay un
caúpo magnético uniforme de 2 T, con
la trayectoria perpendicular al campo,
¿Cuál será ei radio de la trayectoria ¡r la
velocidad angular de los protones?
15.3 Un protén se mueve en un campo
magnético a un ángulo de 30" respecto
al campo, La velocidad es 10? m s-l y
la intensidad del campo es 1,5 T, Calcu-
Iar (a) el radio de la hélice descrita,(b) la distancia que avanza por revolu-
ción, o paso de la hélice, y (c) la fre-
cuencia de rotación en el campo,
15.4 Un deuteró¡r (isótopo del hidró-
geno de nasa mu)¡ cercaná a 2 uma)
describe rrna órbita circ'.rlar de 40 cm de
radio en un campo magnético de 1,5 T"(a) Calcular la velocidad del deuterón.
(b) Determinar el tiempo que tarda en
da¡ media revolución. (c) ¿A través de
qué diferencia de potencial se deberfa
acelera¡ el deuterón para que adquiera
la velocidad de la parte (a)?
15.5 Un protón que tiene una energfa
cinética de (a) 30 MeV, (b) 30 GeV se
mueve perpendicularmente a un campo
magnético de 1,5 T. Determinar en cada
caso el radio de la trayectoria y el pe-
rfodo de revolución. Notar que en (a) el
prot.ón se puede tratar clásicamente y
en (b) se debe tratar en forma relati-
v ista.
15.6 ¿Cuál es el campo magnético que
se requiere para que un protón de
30 GeV describa una trayectoria de
100 m de radio? Encontrar también la
velocidad angular. Notar que el cálculo
debe ser relativista.
15.7 LIn ion de ?Li con carga +e tiene
una masa de 1,2 x 10-ro kg. Se lo ace-
lera a través de una diferencia de poten-
cial de 500 V y entra luego en un campo
L
- l
¡
aB
É_-10 cm-=i
Flgura 15-50 Ftgura ló-51
magnético de 0,40 T moviéntlose per-
pendicularmente al mismo. ¿Cuál es el
radio de su trayectoria en el campo
magnético ?
15.8 Un electrón en el punto A de la
ñg. 15-50 t iene una velocidad uo de
10? m s-1. Calcular (a) el módulo y la
dirección del campo magnético que hará
que el electrón siga el camino semi-
circular de ,4 a B, (b) el tiempo que tarda
el electrón en moverse de A a B.
15.9 Uno de los procesos para separar
los isótopos 3sóU y ¡slJ.se basa en la
diferencia en el radio de sus lrayectorias
en un campo magnético. Suponer que
átomos de U simplemente ionizados par-
ten de una fuente común y se mueven
perpendicularmente a rrn campo mag-
nético uniforme. .Encontrar la máxima
separación de los haces cuando el radio
de curvatura del haz de 236U es 0,50 m
€n un carnpo de 1,5 T, (a) si las energias
sr¡n las mismas, (b) si las velocidades son
las mismas. El superfndice a Ia izquierda
dei slmbolo qulrnico es el número másico
que a los f ines de este problema, se puede
identi f icar con la masa del átomo en
uma.
15.i0 Una t ira delgacla de cobre de
1,50 cm de ancho y 7,25 mrn de espesor
se coloca perpendicularmente a un campo
magnético de 1,?5 T. A lo largo de la
tíra ha5' una corr ieule de 100 A. Encon-
trar (a) el campo eléctr ico transversal
debido al clecto Hall , (b) la velocidad de
arrast]'e <le l¡rs electrones, (c) la luerza
transversal sobre ios electrones. Suponer
que cada átomo de cobre contr ibuye
con un electrón.
Problemqs 565
Flguro 15-62
15.11 Un campo magnético uniforme
'] i está en la dirección O y, como se
muestra en la f ig. 15-51. Encont¡ar el
módulo y la dirección de la fuerza que
experimenta una carga g, cuya velocidad
instantánea es o, para cada una de las
direcciones que se muestran en la figura.
(La f igura es un cubo).
15.12 Una partfcula de masa m y
carga q se mueve con velocidad uo per-
pendicularmente a un campo magnético
uniforme, Expresar, en función del
t iempo, Ias componentes de la velocidad
y las coordenadas de la partfcula refe-
ridas al centro de la trayectoria. Repetir
el problema para una part icula cuya
velocidad forma un ángulo d con el
campo magnético.
15.13 Una part lcula t iene una carga de
.1 x 10a C. Cuando se mueve con una
velocidad o, de 3 x 10a m s-r a 45" por
encima del eje Y en el plano YZ, un
campo magnético uniforme ejerce una
fuerza F, según el eje X. Cuando la
partfcula se mueve con una velocidad
¿t" de 2 x 10{ m s-r según el eje X, se
ejerce sobre el la una fuerza F2 t le
4 x 105 N según el eje Y. ¿Cuáles son
el módulo y la dirección del campo
magnético? (Ver f ig- 15-52.)
15.14 Se disparan part lculas cargadas
dentro de una región donde hay un
campo eléctr ico y uno magnético cru-
zados. La velocidad de las partfculas
incidentes es normal al plano de los dos
campos y éstos son perpendiculares en-
tre sí. La intensidad del campo magné-
t ico es 0,1 T, El campo eléctr ico está
generado por un par de placas paralelas
566 Interaccién maqnética
iguales y de carga opuesta, colocadas a
2 cm una de otra. Cuando la diferencia
de potencÍal entre las placas es 300 V,
no hay desviación de las partfculas. ¿Cuái
es la velocidad de las part Íct : las?
15.15 (a) ¿,Cuál es la velocidad de un
haz d¿ electrones cuatrdo la inf luencia
.; lmulthnea de un campo ek'cl .r ico i l ¡r
inren¡; i l ¡r i l 3,{. r 10¡ \r rn-- i : i ( lc :rr ' ¡
calnp.r i i ragnói ico c ie l 2. t l T t re, i>ei l : i i t ' i i .
lar , : . i r l 
. i a l h i . ¡2, f l ( f p i {Jt l i i ( ' { : 1 l . r r ' ' ¡ ;1¡ i ¡ , r i i
; - i ig, , ¡ ¡ ¡ r ' te lO.. r t ; { 'Ci in}res? l } ; } i i ' l ' ' i . r l ¡ t '
i , ; : i ; i i i i i : lgrai l ia l ;1 cr icr i : r ¡ i , i : l re l : ¡1, . . ' : :
i l : ' lo: : t rcctulr , : : a:" r" ' , iJ . i r ' ) ¿Crr: : i , : e. i
¡¿i¡1!¡ : r le Ia í ¡n, i i : ¡ e ie¡ : ! ¡ ¡ ,n i r . '¿r cr ' ¡ i i r ' id{ ; a) . .1
:rrrp¡ ' i l rc c i c; t t r ¡ ; r t l l t i r t t ' ico I
i i .1í . i 'L,rre part- i t l r ia i l , : lna.st : ; ,ü. ' . j l - : " -
Ig t ;* : t i : ur t :1 r 'a¡ '¿{a t t* 2. : - ' ' . . . I t } -* C. i : t :
ie i rnpr l r r rc t i r l ¡ l ic i ¡ 'c i r l l i l in i r : ¡ : r l t r , . i i -
z i ln i . r l d(r t i ,ú x 1.0a tr ' t t - r . ¿{ iu i i lcs so} i
e l rnóduio y la direeción del carnpc rrrae-
nél . i r :o mínimi¡ que ¡nantendrá la par-
t icula moviendose en una dirección ho-
r izon|aT, equi l ibrando la fuerza gravi ta-
c iana. l de la t ierra?
15.11 En un espectrómetro de masas
tal corno el que se i lustra en la f ig. 15-12,
una diferencia de potencial de 1000 V
hace que iones de 2alfg con carga l- e
desc¡iban una trayectoria de radio R.
(a) ¿Cuál será el radio de la tral 's¡¡o¡¡,
descri ta por los iones de 25Mg si se les
acelera a través del rnismo pctencial?
(b) ¿Qué dife¡encia de potencial harÍa
que los iones de $tr{g describieran trna
trayectoria del mismo radio R? (Srt¡ro-
ner que las masas son, en i lma, iguales
:r l número rnásico indicado como super-
fnr- j ice a la izquierda del símbolo quf-
mico,)
15.18 Un espectrómctro
t le l ¡asas t i i :ne
un \¡oltaje acelerad<;r de' 5 k\r 
-v ¿ln
carnpo nrrrgnético de 10-s T. Enconlrar
la distancia cntre los dos isóto¡:os €¿Zn
y loZn del zinc. Por distancia entende-
mos la separación de las dos manchas
que aparecen en Ia ernulsión de la placa
fotográfica después que Ios iones r le
u"Zn y ToZn con carga -f e son acele¡ados
primero y luego obl igados a r lescribir
una seü!icircunferencia. Ver f ig. 15-12.
lSugerent in: no caicular cada uno de
Ios radios's ino obtener una ecuación { jüe
dé directamente la separación. (c) ( la!cu-
lar la velr ic i r lad t ic los ioncs para ver s i
será nccesario hacer una corrección re-
lat iv ista. I
15.19 El espectrómetro de masas de
Den"rpster, i lustrado en la f ig. l5-t2,
empie¿ un campo magnét ico para sepa-
iar ior ies quc t ienen ¡nasas t i i ferentes
perrr ia m.isniu energia. El espectrómelro
d¿ nrr¡s¡r.s de IJnínhtidge ( l ' ig. 15-5:3) es
, . r t r r ; d is¡r t ,s i t r r o posi i r lc que separa i r l ¡ res
r¡ i i r ' f i i : i rci l la ¡¡¡ ls;r¡a uelr,ci : lnd^ l)espuós
i i r ' ; , l r :1!cs¿¡ l ias iendi j i rs, lüs iones pasan
J)t)I r- ln i l ! ¡ , . i rrr de velo.., : i r lai ies c.). in-
l l l :11ry dp u¡: r¿i i r ' l r ¡ r . iér : t r l r 'o l 'pr . . r i iu-
r: idr-r f¡¡¡ l Ji ls i : i : r l : i is cargadlrs , t ) ' l t ' , y
r : f t i r r ( i¿¡rnl i ) rn¿gnrt ic( ! ) / ¡ r*- ' l 'pei ; i i i r l r iar
i i l r ' t t f : i ) t ' t l r : t t r i . u. I . r 's ion,- 's t l l te i r ¡ ¡ r¿¡¡
rr i . i ¡ r l r . i ¿ i , : : los ca¡rpos cruzados si l l dcs-
.,¡ ; ,¡st i : l l l ra;r f- ' t l ul t .1 rcgit i t i r ionl lc hay
r i r r segundr- i canpo r lagnét i ro )J 'dcscr i -
i r ie;rr i t . ¡ ór l i i tas sernic i rculares. [ . lna placa
fol .ográñca F regist : 'a su l legada. Der
r¡rosfrar qur: qlm : t l r l ) i ) ' .
15.20 El carnp,r eléctr ico entre las pla-
cas del selector de velocidades de un
espectrómetrc¡ de nrasas de Bainbridge
es 1,2 x 105 v m-l y ambos campos
magnéticos son de 0,60 ' I" . Un haz de
iones de neón con carga +e se mueve
Placa r
Figur¡ ló- ir f |
en una trayectoria circular de 7,4 cm de
radio en el campo magnético. Determi-
nar !a masa del isótopo de neón.
15.?1 Suponer que Ia intensidad eléc-
tr ic¿¡ cntre las placas P y .P' de la
f ig. 15-53 es 1,5 x 10a V m-¡ y que
arnbos canrp(Js magnéticos son de 0,50 T.
Si kr fuente cr¡nt iene los tres isótopos
ralvdg, aalf,{g y 23Mp, del magnesio y los
iones tienen catgá. +e, €ncontrer la dis-
lancia entre las lfneas formadas ¡+r ios
tres isótopos sobre la piaea fotcgrálica.
Suponer que las rnssas atómicas de ]os
isótopos son, en uma, iguales a sus nir-
meros másicos indicados a la izquierda
del sfmbolo químico.
15.22 En un espectrómetro de masas
tal como el que se muestra en Ia fig.
15-54, es dif ici l asegurar que todas las
partfculas llegan perpendicularme¡rte a
la rendija- Si R es el radio de Ia trayec-
toria, dernostrar que las partfcuias que
llegan a la rendija formando un pequeño
ángulo 0 con Ia normal llegarán a la
placa fotográfica a una distarrcia p (apro-
ximadamente igual a R0,) de las que
inciden perpendicularmente. ¿Cuál es el
valor de 0 para el cual esta separación
es menor que 0,1]f de 2R? (La situación
deseriia en este problema se denomina
enlaqzte rnagnétíco.)
15.23 En el espectrómetro de masas de
ia flg. 15-55, los iones acelerados por una
diterencia de potencial entre S y A en-
tran en el campo tnagnético que cubre
un sector de 60" y son enviados a una
emulsión fotográfica. Demostrar gue
qlm ,:321r¡fi 'D"" Estudiar los eambios
de posición de C para pequeñas desvia-
ciones de la dirección de incidencia.
15.24 .En dr.ier¡ninado ciclotrón, Ios
protcnes d,escril¡en una ci¡cunferencia
de 0,40 m de radio poco antes de emer-
ger. La freeucncia del potencial alterno
entre las des es 747 Hz- Despreciando
efectos relativls!¿s, calcular (a) el campo
magnético, ib) la velocidad de los pro-
Problemas 587
Ftgurc ló.66
tones, (c) la energia de los protoncs en
J y en MeV, (d) ei número minimo de
vueitas completas de los protones si el
valor máximo del potencial entre las
des es 20 000 V.
75.25 Repetir el problema precedente
para un deuterón y para una partícula
alfa (núcleo de helio). Sus masas son
2,014 uma y 4,003 uma, ¡espectivamente.
15.26 El campo magnético de un ciclo-
trón qre acelera protones es 1,ó T. (a)
¿Cuántas veces por segundo se debe
invertir el potencial entre las des? (b)
El radio máximo tlel ciclotrén es 0,35 m.
¿Cuál es la velocidad máxima del pro-
tón? (c) ¿A través de qué diferencia de
potenc.ial se tendrla que acelerar el pro-
tórr para imprimirle la velocidad má-
xima que da el ciclotrón?
l'¿.27 En un ciclotrón, los deuterones
describen una circunlerencia de 32,0 cm
de radio inmediatamente antes de emer-
ger de las des. La frecuencia del voltaje
alterno aplicario es 10t Hz. Hallar, (a) el
carapo magnético, (b) la energfa y velo-
cidad de los deuterones al emerger. La
rnasa rle un deuterón es 2,014 uma.
15.28 tIn tubo de rayos catódicos se
coloca en un campo magnético uniforme
ii de rnodo que el eje del tubo sea para-
lelo a las lineas de fuerza. Si los electro-
nes gue emergen del cañón con una ve-
locidad u forman un ángulo 0 con el eje
cuando pasan por el origen O, de modo
que su trayectoria sea una hélice, de-
mcstrar (a) que tocarán nuevamente el
eje al tiempo t : 2nmlh, (b) que la
coordenada del punto de intersección es
r : Ztmu cos 0/'I/9, y (c) que para pe-
queños valorel de 0 la coordenada dei
punto cle intersección con el eje es inde-
irendiente de 0. (cl) El dispositivo de este
CamPo t' l l
gal iendo
Flgura 1ó-64
568 Intcracción müqnelicü
problema se clenumi:ra ki le r",o'¡néíica :
¿por qué? ie' ' ¿Eit r lué i i i f ierel ias tralt ' l ; -
tor ias de los elel:+.rcnes qne l ia-a.n por: ' : )
oriqen forntando uri ángujo 0 1'o; ei: i : : i i ' . :
del eje y ias de los qite pasan ioi: l ianrlo
el rnism{-¡ ángu}o por debajo r iel t ' je ?
1i.29 5e inyectan i i ror.ones c¡: i l l fe i
de ei:ergia a un cierto ánguio col i i ' r 's '
pecl.r) a ltn canlpo nragnétl.co unifot'-:;r:
de 1 T. ¿A qrré distancia volr"¿r:án i¿¡
particul*s a rin pun!-o coriiún i1e ititer-
s¿ceión con el eje?
15.30 IJna partlcuia rle carga g v 
-;elo-
c idad.un (seqún el e je X) entra .n ui¡¡
regiÓn donde hay un carnpc r!-¡íi¡4!1'ili{:o
(segúir el cje Y,i . $!o' ; i rar que, s! l¿ '¡r : i i l -
cidad uo es suÍici+:rite¡.rel1te gru-nde íiui'Ilri
pa¡a que el ca¡nbio de dire¿ción cta
dcspreciabie 
. '" ' ia fuer¿a magnéllca ie
pueCa considrrrr col istart te ¡ )araieta
al ejc Z, la ecriación d€ la trnyecLoria de
la partlcula cs z == (qül2vom)xg.
15,31 Una part icula de carga I Y i¡ t :-
locidad uo (seg,1n ei eje X) entra en una
región (ng. 15-56) drlnde hay un campo
eléctrico y uno magnético uniformes en
Ia mlsma dirección (según el eje Y). De-
mostrar que si la velocidad a, es suffcien-
temente grancie como para que el carn-
bio en su dirección sea despreeiable y la
t
I
I
I-entos
Rápidos
I{
i l lc¿s ul: !¡ . : :znt¿tj ja ¡:cr:, t ' t r l ic" lar a1 eje -Y,
iodar ler I l : t i t , i i : :s 1ir. i t t ,¿og&Ir el mismo
co¡ic¡rte ür, 'n i¡rcidiráir a lo largo t le t ina
pxrábola r ir t ia, int lcpendientemente de
.;u teioc,t ' ler l inici : i l . i jor lo tanto habrá
ula paribt la para cad* lsóiopo presenle
e;r el haz inl iCe¡rte,
1i 32 Lina n-irt icula de cai 'ga q y masa
¡l) se l íuel 'e err iLe dcg placas paralelas
r ' tr 'Éadas y separarias a una distancia ñ.
Sc apl ica un canrpo nragnético ult i forme
p;:raleio a las plac.as y dir igiclo como se
int l ica en ia 1ig. 15-57. Inicialmente ia
¡rart lcula esiá en reposo sobre la placa
inf,:r ior. la) EscriL¡ir ias ecuaciones de
Ficura 1ó-í¡7
movimiento de la partfcula. (b) Demos-
trar que a una Cistancia y de la placa
inferior,
p" : (qlm)'Bg. (c) Demostrar
quc el módulo de la velocidad está dado
por a2 : 2(qlm)Cg. (d) Con los dos re-
sultados precedentes mostra¡ que
us: (qlm)trzÍ2{ 'J -(qlm)'"}3'gz|t t , Y gue
Ia pa.rtlcula pasará rasando la placa su-
perior si ( : \(qlm)'B'h.
i5.33 l ln una tegión donde haY un
campo eléctrico y uno magnético uni-
formes y en la misma dirección, se in-
yella una partfcula de carga q y masa m
con una velocidad ¿ro en dirección per-
pendicular a la dirección comirn de los
dos carnpos. (a) Escribir la ecuacién de
movimiento en coordenadas cartesianas'
(b) l'Iostrar por sustitución directa en la
ecuación de movimiento que las com-
ponentes de la velocidad al t iempo I
so¡ L'¿ : r,o coS (q'l3lm)t, v, : {qC!m,\t y
rrz : s€rl (q}lm)t. (c) Del resultado pre-
cedente, ot¡tener las coordenadas de la
partfcula al tiempo f. (d) Hacer un grá-
fico dc la trayectoria. (e) ¿Cuál serfa el
¡¡¡ovimiento de la partlcula si la veioci-
dad iniciai de la misma fuera paralela a
los ,rampos? iSuge.rencia: Para las res-
pue:tas da'Jas, el eje X está en la direc-
Isótopo
pesado
Fignra 16-50
fuerza magnética se pueda considerar
constante y paralela al e¡e Z, (a) las
coorrienadas al t iempo ¿ son c : üof,
y : l@{ lm)tz y z : l(quo:l6ln)t2. (tr) Eli-
minando f 
-v 
uo de estas ocuaciones. obte-
ner la relación z2lg: $(-1131()@lnn)'zr 'z.
El resultado t iene apl icación en uno de
los primero$ espectrógrafos de lnasas
que fueron <l iseirados, porque si pone-
F&
\2
)
+++++++
ción de uo y el eje 1' está en la dirección
común a los dos campos (ng. 15-58).1
15.34 En una cierta regiórr hsy un
carrrpo eléctr ico y uno magn4tico uni-
for¡nes y perpendiculart 's entre sf . Se
inyecta una partícula con velocidad un
paralela al campo magnélico" (a) Es-
cribir la ecuación de movimiento de la
part icula en coordenadas eartesianas,
Figura 15-.í8
(b) Mostrar, por sustitución directa, que
las componentes de la velocidad al
tlempo ú son u¡ : uo
uy: ( f l ) l ) sen (g) l /m)t ,
v
os : - (¿/ )j)[1 - cos (g Blm)tl.
(c) Dei resultado precedente, obtener las
coordenadas de la partlcula al tiempo f.
(d) Hacer un gráfico de la trayectoria.
lSugerencia: El campo magnético está
en la dirección del eje X y el eléctrico en
la del eje Y. l
15.35 Resolver el problema 15.34 para
una partfcula cuya velocidad inicial es
paralela al campo eléctrico. VeriÍ icar gue
las componentes de la velocidad so¡r
úx :0,
uu : oo cos (q Dim)l
+ (ai ), sen (s')i/m)Í,
0z - - (C/ )i)f 1 - cos (g )l/m)ll
- Do sen (qIl lm)L
15.36 Resolver el problema 15.34 para
una particula cuya velocidad inicial es
perpendicular a ambos campos, Verificar
que las componentes de Ia velocidad son
ur:0.
uv : ( I lj * uo) sen (g ljlm)f,
Problemas 569
v
Ds: - (¿/) t + ( i / l . l + uo)cos {qBlm}t .
Demostrar que para gue la parttcula se
nirreva a través dei campo sin desviarse,
es ¡¡elesario que u0 : 
- 
( l '¡J, Comparar
el resultado con lo dicho en la sección 15.4
15.37 Con referencia al problema 15.34,
veriñcar que cuando la velocidad tiene
una dirección inicial arbitraria, las com-
ponentes de Ia velocidad al t iempo I
SoD, tt : Do'",
u" : (€lli i- uoa) sen (g )J/m)f
+ ,o¡, eos (q Dlm)t,
' 
,, : 
-{ltJ + (c/}J 1- ue,) cos (q'tum)t
- 
D6¡r 5€ll (q)1lm)L
Obtener (por integración) las coordena-
das de la partlcula y discutir la trayec-
toria. Comparar con los resultados de los
problemas 15-35 y 15.36.
15.38 Con referencia al problema 15.33,
(a) demostrar que cuando (qblm)t ( l,
las coordenadas de la partícula se pueden
expresar en la forma r.:t)olt g:@( l2m)tt
y z : (ooq )l l2m)tr,lo cual coincide con el
resultado del problema 15.31.
z
Figure 15-59
15.39 Encontrar la densidad de co-
rriente (supuesta uniforme) que se re-
quiere en un alambre horizontal de alu-
minio para hacerlo "flotar" en el carnpo
magnótico terrestre en el ecuador. La
densidad del Al es 2,7 x 1o8 kg m-3.
Suponer que el campo magnético terres-
tre es de alrededor de 7 x 10-5 T y que
"l
570 Interac.ción maqnético.
el alambre está <¡r ientado en la r l i recriein
este-oeste.
15.40 Encontrar la f r - te i 'za s{) i r re ca( la
uno de los segtttentt ls dt l alarrbre qü{j s( '
rnuestra¡r en 1a f ig. 15-i9 si ei r¡-r ir tr
' i j 
=- 1.5 T es par*lelc a ÚZ e I 
- . 
2,{. \ ; ' " .
La arista del cul.¡o rnir le i-) '10 m
1i].41 1:,1 pialL, {1{) u}1?. tsl l i i .a- r i l ' l i i t i l
gr i l*r i1t alamb;' t i ie 5,{) cni x f} [ i : ' ¡ : i ¡¡ :
raraiei i ; í l i ln catnpo rnagt:ét ico r ie 0, i l> '1" .
i r ) Si r :n, i c; .1 ' r ipnle r l t ' ]U. \ i ' i rc i t l i ¡ pt i l
la e:¡; iru.- ¿qut tcrqr-:¿ ¿rctúra sol,rre ei ial
i l ¡) ¿Cu¿il es el rno:ncnto magnéti-c* t ie i¿r
espirrr? (c) ¿Crrá] es el torque máxi¡trc'
que se pt tet lc ob l , . rner con c:a cort ie l l tc
circulan-do por la misma iongi lud de
alalnbre- en este camp(, rnagnótico?
,'
l ' ieure l5-{i0
15.42 La espira rectanguiar de la l ig.
15.6{r pueCe girar alrerledor clei eje i- 1'
l lel ' i r una c¡r i i i tnte de 1t l . \ e¡1 el r .er+' i4{r
i l rcl i r : :-dr;- { :r) 5i ia esir ira t ' r l .á en ).}¡t
i jarnl, iü Bj-a; lr lr- i t i i )ü uniÍ l¡r lne dr: i t ,) i - pa'
raiel l- : ai r . je X, caicr: lav ia f l¡+¡"¡: l l t t l hi
s{r!¡ ie clr lu- l :rdc Ce la espira \ ¡r i i l t i . : i l . '
cn N nl ¡¡ i l r i , lcr i i l t l i r¿1ra niarl tJnt i ia! ¡ :r .
p i ra *n i r i pr :s ic ión que se i . l : ' :c \ i l . ' .
(b) Lo misrno que en (a) ' exí :epro qu€
Ia espira está en u¡l canlp' l paraiei- ' r al
eje Z. (c) ¿Qué torque se requerir ia si la
espira pudiera girar alrededor de un eje
paralelo al eje Y que pase por su centro?
15.43 La espira rectangular de alam-
bre rnostrada en la f ig. 15-61 t iene una
masa de 0,1 g por centimetro de longitud
y puede girar sin roce alrededo¡' del lado
,{8. Por el alambre clrcula una corr iente
de 10 A en el sentido indicado. (a) Calcu-
lar el nródulo y el senti t lo del campo
magnético paralelo al cje Y, que hará
que la espira gire hasta que su plano
---'- r
Figura 1é"61
forme un ángulo de 30" con el plano YZ.
(i ;) Hacer cl rstudio para el caso el1 que
ei campo es paralc lo al e je X.
1í.,14 ¿.Cuál es el lorque máximo sobre
una bobina de 5 crn x i2 cm compuesta
r ie t i0() r 'uel tas ct tando l leva'una co-
rr iente de 10-5 A en un campo unif<lrme
t ie 0,1 T?
15.4i¡ La bobina de un galvanómetro
de hobina móvil t iene 50 vueltas y en-
cierra un área de 6 cmz. El carnpo mag-
nético e¡r ia región en la cual se mueve
la bobina es de 0,01 T y es radial. La
constant.e de torsión de la suspensión es
k : 10-o N m/grado. Encontrar la des-
viación angular de la bobina para una
corr iente de I mA.
?t ' /| ¡ ' -^- /
t \
. ) . , - j
'l/ | ,'
'tl*l'l-'+"'O
.* .__1-_
,;7:7:-r)7-
t ' ¡ ' i ' i {¿ n ' 
' ' 
/ :
i:'Z-,/k"""'
'" 
i/_ ,'__-,1/_-1..
* -- )_-¿-/-- /---..- --A
{/r/ {/// I : lO A
Figura 1é-62
75.46 Una espira de alambre en forma
de cuadrado de 0,1 m de lado, yace sobre
el piano X Y, como se muestra elr la
f ig. i 5-62. En la espira hay una corr iente
de I0 A en el sentido indicado. Si se
aplica un campo magnético paralelo al
eje Z y de intensidad ) j : 0,1¡ T (donde
r está en m), calcular (a) la fuerza re-
srl l tante sobre la €spira y (b) el torque
resultante respecto a O.
15.47 Repetir el pr-oblema prececiente
uuando se apl ica el r;arnpo rrragnético
según el eje X,
15.48 t lna espira circrr lar de radio a y
corriente f está centrada er el eje Z
y es perpendicuiar a ó1, Se .produce urr
campo rnag;rét ico con si¡nelr ia axial al-
rededor del eje Z que forma un ánguic 0
con el eje Z en putrtos sobre la espira
(n9.15-63). (a) Encontrar, para cada
¡,¡no de ios seirt idos pos¡bles cie ia co
ri iente, ei mócluio .r ' la dirección
de la
l:uerza, ib) 3u¡roner que el c ' . i rcuito es
tan pequeño que se puede considerar
(:omo u¡'r cl ipolo magnético y que el
{. ' Í t¡r¡pi} rrragnético sigue la ley de la
inversa del crra¡lrado cle la r l ist.ancia
i i ; t =. A' lr?), Demostrar que la fuerza so-
L'¡e el circi¡ i to es .F' --- r : Xí(d'),) ldr ') ,
i* l¡¡ ie M 
€s si i momento dipolar rnag-
:rét ico que está arientado según el eje Z.
F,sie resultarrro €s g€n€f&l y rnuestra que
urt t l ipr: lo se moverá en la dirección en
qtte el campo crece cuando está ol ' ie¡r-
tado segirn el campo y en sent ido con-
treriü cuando está orientado en sentir lo
opuesto al ciel campo. {Conrparar eon el
resultado sirni lar encontrado para un
diprj lo t1¿.t. ico, ser:ción 1 4. I 1.)
Figura ló-63
15.49 (a) Calcular Ia velocidad angular
de precesión del espin de un electrón en
un campo magnético de 0,5 T. (b) Calcu-
lar la misma cantidad para un protón
en el mismo campo, suponiendo que el
espfn de un protón es igual al de un
electrón. lSugerencia: Usar los valores
de y que se dan en la página 536.1
15.50 Calcular el momento dipolar
Problemas 571
magnético de un electrón en un átomc
de hidrógeno, suponiendo que describe
una órbita ci¡cular a una distancia de
0.53 x 10-10 ln del protén. üalcular la
'vel¡; t : idad angular de precesión Cel elec-
trón si está en u¡l campo rnagnótico de
10-5 t ' ( lue forma un ángulo de 30o con
el momentum angular orbital.
15.51 Calcular el factor giromagnético
y para un dísco rotante de radio R que
ticne ulra carga g distr ibuida uniforme-
mente sobre su supr:rf feie.
15.52 Repetir el problema 15.51 para
una esfera cargada uniformenrente en
todo su volumen. ISugerencia.. Dividir
Ia esfer¿ e¡r discos perpendiculares al eje
de rutació¡r. ] Del resultado de est.e pro-
blema, ¿qué puedc t j , l . concluir acérca
de la estrut:tura del eiectrón?
15.53 El gauss es una r¡nidad frecuente-
mente usada hasta hace poco para ntedir
el campo magnético. La relr¡.cién entre el
gauss y el tesla es 1 T : 10¿ gauss.
Ifostrar que cuando se mide la fuerza
en ci inas. Ia carga en stC, el campo mag-
lrét ico etr gauss y la velocidad 
€n cm s-1,
ia fuerza magnética 
€stá dada por
F:{ v 1g*togr:r ) } .
1.5.54 Encontrar la fuerza sobre la por-
ción circular del conductor de ia f is. 15-64
si ia corr iente es I v ei campo magnét ico
unifornre lJ está cl ir igido hacia arr iba"
Demostrar que es la misnra que si el
conductor fuera recto entre P y Q.
15.55 Demostrar que la fuerza sobre
una porción PQ de rur ala¡nbre conduc-
tor (f ig. 15-65) que i leva una corr iente f
y está colocado en un campo magnético
uniforme't l , es /(F[) x ]J, siendo por lo
tanto independiente de la forma del
conductor. Aplicar al problema prece-
dente. Concluir de esto que la fuerza
sobre una corriente cerrada colocada en
un campo magnético uniforme es nula.
f5.56 Considerar una espira cuadrada
de alambre, de 6 cm de lado, cuando
por ella ci¡cula una corriente constante
de 0,1 A y está en un campo magnético
uniforme de 10-{ T. (a) Si el plano de la
espira está inicialmente paralelo al campo
magnético, ¿se ejerce algún torque sobre
la espira? (b) Contestar (a) cuando la es-
pira está inicialmente perpendicular al
campo magnético. (c) Expresar el torque
572 Interaccíón magnética
Figura 15-S4
L.J
f | . :
FiFrt¡r i l i -{ . iü
ej¡ fr , iü¿:i( :n t lel ángi]),-r t¡ue la nOrrlal e la
irpl¡a fr:r lna con el cámpo ..r ' :agnéii , . :o"
flr,¡t:'c lrn t:ir gríÍrcl,.rric r;t ¡ I ? ..trl u ¡: i.:i:':r
: i ingr l r - r . ; ; : i ;án, . i t tnt : 'e C i l ; : . l r l : q:
' ' , ; J i . i r , , . jc i , ' ¡ i t i i1 { i i rL , : i i ¡1"¡ j t ¡¿ 3(, ' l ; ; r ' '1"
,11i ] ; ¡ ' t , , - ¡ ¡ : lu, l t , ,s1; i t : ' i r . : l , t a i ; l i . r : . . '
, ; i ; ' i l . ' i ¡ . t t . : i : - t ' . i . ( t i : i r ¡¿i , i r , , '
i l - , ' ;? Sl i i ; . ¡ Si t , 'A(."r : ) i t c i C?)¡ t - i i - ) t ,sÍ i r l i : . . .?
, . tA, l , , r , : i . r l ) i l , i : ' t : - ,1 ' ]q;13. palrr" : l ¡ l i t ! : .
- , i i ' i ) , , r I : : - ' , r - l 1 i , | } : . ' i i l r i l : : r j , t i l ITf i ' r i i - - r - : : í . ' i r -
1 r . . : : i i i { i i , : . úúr l : i ,11}1!r , ; . i . i ' ¡¿ í la l l f i t? ¡Cr: , - ¡L¡
¡ . : i i i ' r i r ja i la Ud. r : l sc¡ : l idc, , l t ' . l ; r r r , ¡ ; i r i : i :
¡ ' r r i¿ 1, , ' r i . r t i j : ic se nt*¡ l r . io;r* en le l i Í
! : r : . i r : i i ' i . t i ( . l l¿, .St¡ [ r ra] l lC!nÍ . ! , ' - l ) ¡ ' q ' , ¡ r :
u i i i ,e: l i ) s¿r i ; ¡ t - r tp ca¡nt¡ ic?
. : : ' , . i r ' , f )c i : i t - t a:¿nlbr i : in! l ! r i i ! . - j t le i l l r ,
l¿! t $ i . : i - j i 'c l i l t ' . : I i i l 1:rür ' rLr ' j i r . l .c c,Éct¡ ' ic ; l da.
1 ."!: c::l{:!rt;rr la inie'¡::ijrJrrtl Li,:l (,'aJ;r'r}:.)o
xr¡gir{ l icc plor iucidr i * ¡ r r } í t Ci-r ' i ¡ r ¡cr¡ d¡ :( \ , í3 ' / l 0*10 ¡¡ l : i ¿ i 1 nl . { ; ¡ l ru l l t : la i i , -
b¡én ei carnpai e]éct ; : icc en er ics ; runt4s.
iÍ'.it\) Por iu¡ ¡ l¡r ¡ni;r¡ i ' lct(., i- lai.{ü
ci¡rula ur: i i i : ( r r ¡ . ie¡ j -e t ic i . r i i r i . Ua el ' :c-
i r ¡ l t v la j* cí ; ¡ l t ,ca velr :c i i lat l { la; ; . í i l t
m s--r ¡ :araielanre. l l i * r l r i a lar¡ i : re v aírr ¿i
i i f i : , Í iC S¡rr , . i r :0 de l : i c i l f f ie l r i ¡ : . i t ü. i ¡ i
<! t i ¿ l l t in i ¡ re. ¿(f uí l r r*rza i j r : r , : . . r e l c.r . i . rn; ¡ : r
i le gi t r l i r :o c i r la c, , : r ie¡ , l r - r sr ih i r r r j ; : ! ' ¡ l r -
f . l ¡ i : - r e l : l l l i l \ : l i : i t1 i ' r i t 'J
l ; . t iú ))enrOst l i r r , r ' , . :¿ l i i ¡ r l¿ i , . , . : . t '1 i l . í i : ¡ ,
que ei calrpú;; iagi t í : l ;c0 d, \ : u! i¿ i t ( - ¡1 i ' i | ] i i i '
fect i l inea trstá dat l i ¡ I rof i r i €r . (1 i ) . , : l j .
l5.6l Lremos{rar t lue el canl l to . r - la! ; } rc.-
t ico produciCo por una corr ie l r te ref l " i -
l fnea f de iongi tud f in i ta es (s¡ . i i2ni l )
(sen a, 
- sen ar) , donde í? es la distancia
(perpendicular) del punto al a lambre, y
dr y cr¡ son los ángu)os ent ie la perpen-
dicular a la colr iente J¡ los segnrentos que
unen el fJunto cot l los extremos de la
misma (vcr f ig. 15-6S). A¡ i l icar c:ste re-
sul tado para obtenef el canlpo nagnétrco
en el centro de un circui to cuadrado de
Pñ
,, ' \
i l 
- } .n-i-1
' tu,4 ¿a
l ' t t
, t \
. t4t¿ \ -
. . tD
/ t , , \
la\
----
l
f igura 15-66
l : idr : ; i . . i ! , r i ja ls ' r en ios s ignos de Ios
ár,gi.rrrs. ]
15.ir : I : ' r ' : r-r: t al l¡rnbie recto y lái i¡ü
:. ' i i r ' r : t : i : . i i t rr c,r i ' f ie11t.e r l , ' i f l \ en ' l s; l-r '
I t¡ l ' l dr: i t j , ' 
- :r . I Ia.f i . t l l ca4-lpo rr irrgñ¿ti("ú
;rr \ i : r i : . ; : le l i Je in l , t ' i r idad 10..c i '3-d. i r i -
; i t : , , r : ; ; t " i t , l e j r , X, a: .Cr.rál es- c, i : . r r t ¡ i ;
i i i . t : r . l i : i i i { r , resul tantc t : r ' l r - ,s s igu: : : r ; i ts
;, , , .¡ ,{¡,3: í¿) ¡ =. í-}, . : - 2, . .1,1'¡ t =- 12 ¡¡,
; i,r, í'::l ¡ ,.'. f), ¿ ,-- --.- ¡l,i'r r¡1'J
1¡.. . : . i I)cs largcs ala¡nbrr.s rectos :, . pa-
f¿{?,cs e:r ; in setarados ;rr , i r rna ¿i istant: ia
2r,: . Si ¡ ' r .r ," io! alArnbres cirr:¡ lan ¿oir ie¡rtes
igireies *n sr 'nt ic ios opu.cstos, ¿cuál es el
.ral ' i t ; lo rnagn¿li{. :o dt. l piano de los a'ram-
bre; en urr punio ( ; ' . ) e i ¡ r id istanie de
¿ir l r l ,os y i i ; . ) a üra distáncia ¿r de uno
v 3, : Cel otro? (c) Coir testa¡ (a) f ' (b)
{¡r¿rr.:a: Dor ios alarnl 'res circr¡ lan co-
r i ier t rs iquales en cl mi: ;m4 sent ido.
15.6,1 L)i)s largos aiarnbi 'es re ctoi y Ira-
r¡r i t l r ;s están a 100 cm uno de otro, conlú
s? r i ' ;üi .st:r . cn la t lg. 15-67.
Por el alan),
i- ,re iul)€r- i l l f ci icula una corr¡ente Ir . ie
i i ,1 : ' .¿cia r l plano dcl papel. (a) i ,Cuál
¡ l : - i r , : ser l r l r r i i tnsrCa(i y el sent ido c ie Ia
. '1,¡¡ jsr ' , i r : i* ¡ra, a í lr lo el campo resultanti i
f ; r I , i i ¡ r t : l r ¡ jo : i ib) ¿Cuáj es entonr:es
frr , : , ' , ' l ' r ' , ' i ) lCsultanl.e en Q? (t l) ¿ Y r; ' : S?
f i . ¡ ,1, i . ; t f ig. 1. j l "63 es una \r ista f r l r r i t : r1
rl l : lcs i :r¡ ;¡ci al;¡r ' i lbre s paraielos pe i .pelr-
Ciculares 2l Flano X l , pcr l t :s que
clr í ju la Ja misma corr ientc f pero en
sentrdos opL:estos. (a¡ Mostrar con vec-
tores, el campo magnético de cada alam-
bre v el campo resultante en el punto Ir.
(bi C)lrtener la expresÍón del rnódulo de
').1 en eualqir ier ¡tunto del eje X en fun-
ción de la coordenada c del punto.
(c) I- lacer un gfáf ico de1 módulo de )J
en cuaiquier punto del eje X. (d) ¿P:rra
qué r 'alor de ¡ es el valor de D máxi;no?
Repetir para los puntos dei eje Y.
,a
T0
50 cm
¡
/ r :6 Aé
1\|^\
i nrt-
100 cm \
l ls
i 60cm
I ,V
- t
50 cm
lP
l ' Icurs 16-6? Fisure ló-68
15.66 Repetir el problema 15.65 cuando
Ias corrientes están en el mismo sentido.
15,67 Una corriente de 2.5 A circula
por una bobina de vueltas muy juntas
rlue tiene un diámetro de 0,4 m. ¿Cuántas
vueltas debe tener para que el campo
magnético en su centro seal,272 x 10-{ T?
15.68 Un solenoide de 0,3 m de longi-
tud está constituido por dos capas de
alambre. La capa interna tiene 300 vuel-
tas y la externa 250 vueltas. Por ambas
capas circola una corriente de 3 A en el
mismo sentido. ¿Cuál es el campo mag-
nétieo en un punto cercano al centro del
solenoide ?
15.69 Una lámina conductora de gran
longitud y ancho ru tiene una densidad
uniforme de corriente i por unidad de
ancho; es decir, ftotal : iut (ng. 15-69).(a) Calcular el campo magnético en un
punto P a una distancia (perpendicular)
d por encima del centro de la tira, como
se rnuestra. fSugerencia: La expresión
del campo debido a una tira recta y larga
de aneho d¡¿ es la misma que la de un
alambre rect.o y largo.] (b) ¿Cuál es eI
campo si d < zu, es decir, si la tira se
hace un plano infinitc?
15.70 Dos cor¡ir:ntes circulares de la
misma intensidad ,f y el mismo radio o
están separadas por una distancia 20,
como se muestra en la flg. 15.70. (a) Pro-
bar que el campo magnético sobre el
eje está dado por
(B : volaz . Ir * I J!!=o\_r,(a2+b2)3/2 L 2 (a2+b2)z
, 15 (8b4 -12oz6z ¡ f i ) I
g (a2 + bz\4 " ' l '
Prablemas 573
Ftguro 16-69
donde r se mide a part ir del punto medio
entre las dos corr ientes. (b) Veriñcar que
para a : 2b, el campo en el centro es
independiente de ¡ hasta Ia tercera po-
tencia. (Esta disposición se denomina
óoóinas de trIelmholtz y se usa mucho en
el laboratorio para producir un campo
magnético uniforme en pequeñas regio-
nes del espacio.) (c) Suponiendo que se
satisface la condición señalada en (b),
encontrar el valor de c (en función de a)
para el cual el campo diflere en 1o/o del
campo en el punto medio.
15.71 Un alambre largo horizontal A.B
(ng. 15-71) reposa sobre la superflcie de
una mesa. Otro alambre CD, situado
directamente encima del primero, t iene
1,0 m de longitud y se puede deslizar
hacia arriba y hacia abajo por las gulas
metálicas verticales C y D. Los dos alam-
bres están conectados mediante los dos
contactos corredizos y por el los circula
una corr iente de 50 A. La densidad l ineal
del alambre CD es 5,0 x 10-3 kg nr-r.
¿A qué altura quedará en equil ibr io eI
alambre CD a causa de la fuerza mag-
nética debida a la corr iente que circula
por el a lambre AB?
75.i2 Un largo alambre recto y una
espira rectangular de alambre yacen
sobre una mesa (f ig. 15-72). El lado de
la espira paralelo al alambre tiene 30 em
de longitud y el lado perpendicular
50 cm. Las corrientes son /r : 10 A e
I¿:20 A. (a) ¿Cuál es la fuerza sobre
la espira? (b) ¿Cuál es el torque sobre la
espira con respecto al alarnbre recto?
¿Y con respecto a la l fnea de trazos?(c) Encontrar el torque después que la
574 Inleraccíón maqnélícc
, { " . . { ' "
' l \g 
" ' l ' { , 
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- - l - - ' ' -+-* | - 'L--1-
\ rot !
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i , j--*-*-'-1. r:, i
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f ; i ; ' - . . ,11i¡ l ¡ '1 i : , ' i t1 al i . ¡ l ¡ - t l ; ¡ i ; l ¡ i '¿, . . r , - : . - i i r i
. i r l . : : , t i i ¡ . , : . - i i t . l i r f : ; ¡ : . : : ,1. : . r ' ; : j t : l
' r r . . r i l : i ' i . : r ' , , . ' t l l r : : : - i ¡ : i - . r ' i l : l l : i . t ' i . i : : :
l , '_ j ! ' a. ¡
. : , 
, 
. : l . : ,1 i l l ; , ' i i - : ' l ' : ' -1, i l i : : ; l : ; 
- '
' l l : . . r - : ) : ¡ , - i { - : : ;1 . . . u i , l l i l i i l i l . ¡ j l l ' , j j : . , ¡ ' : i : : , :
. . , . , t '
, j ; , ¡ ' ,1r ' r i : i . i : i t '1; i . '
1. ' , ' . t i - ; , ! i ' - : 'c . i i - i i .1 ; - i i1 f l f ¿ j i : i ¡ l r r ; . ,
i t . . . rJ l i ] . ' i : i i i i ¡ : . ¡ r : : i ' : :1 i ' i , , : l l i , : . r ' : r l ! 1;{)r .
: ,1r , : : , . , " i : a l i ' l i t i iL] j r " .1] , . i Cr i i i r : l i . i i : : i . ' - r l
, : i ' . 1 ,1r . , ; t : f , ] : l " i t ' ¡ ' , i r : 
"J 
. ' . j i : 
. ;J . . 1: . ; i ;
i : i r : : ; t . : 
. . 
, ; . . . r l , . i i , . l t l , r i . ; . . , , ¡ - , ' ; ¡ , i ¡ , l
.1, , ; .1.r ! ; . ' . , i : ¡ .11¡! ' ¡ ¡ i ¡ ¡ i l dt ' : , ; f ' r ' f ' : r 
' , ; .
- ¡ r i . ' r : t i : , : . , , : . : ¡ ; i . l ¡ i sr¡ , ; l i r l i ! r l ¡ : - : ' i ; ! ; ; : r l
i . , , : , i . i ! : ' . : , t t ' r ie l t i ¡ cu¡ ' i i ¡ i : :11, . . . : , ' ¡ , i
. ' r ; ' .1. , : . ' l l r ' - j . l i ta ' , , '1, , i ' ; ' : : : ' . : ' ' " . - .
. : ; i r , , . a ' i i t l p iani l r i l l ; r l r ; r i .
' , :1."7 ' 1:1i r 'a.¡ i : l - r , : r l i { } i G' ! :1 ' t t ! r . i ' ' : ' i í :
, ¡ ¡ :¿ ' : , . , : j 4 j - \ ' , f : !a l ( ] r r f ,1] i ' r r : i ' , "1 , ¡ l i ,J : - l r j
: ' ! : ; ia l r ' . l ¡ l ' : l j ! ' , : r l l ] i t . i f t . I i r ¡5 1.¡¡ : - r : , : ; I
i r , l i ; '¿,¡ , : ' r ' -a! f ' r . ' : i i i r ' l ' : i - r i ¡ 1.¡ . r : i ¡ r r ' , : . r ; , ¡ "
' : , ' .1 ; ' i : ; i '1, . i : ' : r ' i ; i - ¡ ' i t i : ' ' : i ; i ; : . ' r ,
i : , : ; " ' r : l i ¡ i l l , ' i t . ' . , . " . r ' : , : ' i - : - ! : ' l i . : i ¡ ¡ ,
' . : . : . ' : ' . : " , . 
. l , r l l i , : - l i ' - . . " : . : . 
- ¡ '
; I : 
' . ;
: . : ' , . t i . , . . - j l . . . . :J ' ' : \ : ! _
al()S , j I . i ; í . r i l r ¡ - ;n]e: . f i : i r l i l : r ! ; ¡ ' : r ' . - , r , , '
pas;) ; . i í ' ¡ l ; , i 'a i 'g. l i f i t : ; : ¡ : t ' : i r i i i : ' r i : : t : l Lr
r l i r r :¿: . i+; t . ¡ ip l ' : .1: i t r i ¡ r i l l i i r l . , ' r ; t l ; i i t ¿ i ¡ j t
r :n i r ¡ . ¡ i i i r ' , 
' : rú!r 
, . ic) urr l i ' i r r i r ¡ ¡ io. i . lo¡ . ' : : r l r .
rar . , 'ü lorr , . r ¡ .6 ¿r i r : i_{ualcs a r} ; ( i " i ; 0, i ,
y c, i ; .
15.' ; ; i - ,¿rlcul lr e!, .-¡-¡ciente €ntre 
- l . i$ 1: l '
lorr:s rsiai ir ; isl ; : 
. : , / no iclet ivista r lel .
campo elÉ,:f .r ico producido por una citrge
en Í lovinriel l to el l un punto dcl plano i
I
J
- ' ' 2. . , r t , ' , ,5{ l r ; r : l
, / t , , '
I ' i : : r - ¡ i ¡ ¡ l i i -7: i
i : ! . j . : t i : . - . i ¡ ,4:- ;a an¡ ' i : l p|rni ' i -
,d ict i l l r l r la
r : ; i . r . r ' , j : r ) - , i r , l lT l . : , i in i i ¡ r r ¡ .C¡. C+nSi¡ lCiAr
" 
i i ld ' ' . ' ) ! r l r , ¡ : , r : : : . : r i ; l ¡ ' i U; { ) , ' i i 0,5 
-y i ¡ ,9.
i , - " r i i - l ¡ , i l i r l¿r t l r , ' r ' r¿:rr1.¡ r ' ¡ r t ; 'e l : :s Yi ' -
1, , ' r ' ¡ . : i : : ! ' i t , i r - ' , r t l . : i . : i : i ¡ i l t ! . ' l ¡ i i : r ; .
:1r i i i : ' . - . . ¡ j , j . :a l r , i . i . i . : i - :1 ' l r i ! . i i i i l i :1: . 1 ' r !
. . . \ , ' . , ' . \ , . : t1t : ) , , ;1 r : , t j l i - i '1 i , , , l , - . . i t l : t1; i . ! - . - t ' .
i . ,1. , , . . : . j l : : í r l : r i i ! - ' , :1. . i , ' ; ; l . j , , ! ¡1 l ¡1 i11i1."1 { . ¡ r
l . : i . ; r : j - : .J ¡r . r t ' l¿ i : ; :g; . ¡ . i l f , l l5 i i l t i4t . , ' :L:a; 'c. i
: " ; . ' , ¡ 1¡r¡1, . ¡ l ¡ . t 1 t : : ) ,1 , {1. . , ' r l "ü.
: i , , , . l i i i ; i e i . . ¡ ' , i ( - : l ¡es se l ' t i l ;evet i { t i i f a-
, i 
" 
¡ : r2t r l l : : i r ; : re:¡ : ¡ i t i 'a i r : .1. : : sel , ] i l '¿1t ias
a,. i , . i ¡ l r ' - i . , i . . : - , , : : i l , l - j01¡r ' i i i t : f t ; ' t t l ' ¡ f i . t : ¿r i
, ,1: 
. . J :1. : ¡ . r ' . ; ' i ¡ ¡ i i l r ¡ ,1 t le I i ¡6 r i 5 ' ) , r . . ¡ ¡ -
! ¡ , : : i i31' I i i ¡ í i , " : i¿d: e i t :ct¡ ' i r a y i : ragntr t r ia
,rr i : i : r r ; l ( i t ¡ i l t : rn i l i r : un t ¡ l ;servador l i ; r t
:r I i l- l ;t, i ; i I r, ' l i( i ..:up r-) ri i i t i t,- io c¡rro 1 t is .¡¡. s--1
i ': i)r-rr..uir ait l i l .-. ' ir i t l iAr i lna Vej{-¡(i,Jail i1o
¡ ¡ j ' r ¡ i1, ! - r ¡ ; , ) . i i , j ¿ i . : r rá l cs la fuer¿a sügr i ¡n
r : i i1 . r j .1 i : . r ¡ .a i . ' t . IL: i l 5€. i i l ¡eVe CCn {(- \S
"r i i ' t i ¡+les' i i r , ' ; l {r ; ;et ir i ¡ : ani-e;" ior para
c. : - , : i r , . i t ut t ¡ r , r i i rc i t lad de 2. ,1 .< i0!
; , , i - i , \ l : t r I 's ¡ i ' l ; ¡ ' i r ' [5t4.
' : . ; . .q i , i ' ¡ ¡ ¡ , ¡ i i l i , l+ l j t : Ce\ i c1t ' r : ¡ ¡ ¡ : rg ia
! : : , . . i r : , , in: i r j is i : l ¡ lc i r t ¡ ' i¿ 10-; i l r de un ! i ) :1. .
, .a ! - i , ; I I : - : r . r ' i r ' . ; : : i r . l ¡ l ) r j CCnSi( t i ' t ' , i f CI i
: . . : i ' r r i . : ' . : :1: i ' : ' i t t . 
. " , , t ' i i í ' r i ¡ ! l fa¡- r i : , ¡ f i . .
. 
, 
' / i ' . , ! . r ; j . ' ' ; ;a: ¡ ' i i - i . i I l1! i i ) e lé¡ ' t t : r ' : i r r
: - . 
. r , ' . 
, - " : - ¡ . I ; ,1 ' ¡ . . , : l ; t : : r { j i ! i ' i !$p.r l : , : j ¡ .1!r i?.
' , : r ' . i r i t . r ' : : ! ¡ : ; ; . ; r r , ' : t : " i¿ t - i :1 t t r i t i ; : . i t " : : : . i ,
i ' : l ; t : i i ¡ . : i : .n : i r . ¡ r ¡ . i1 ; ! : : , i !
r . . : ' ' : i ; , - ; ' i : t , l ' , l . ; f t : ¡ . : ¡ ; - : i l { i l . i ' " i ' r
; i , ¡ r i . t ¡ , , * l ' i ' i , . , , l1 va:- i ; r r l i : i l r i t l : t l ¡ "
: - r ;e r ' i i f t , r*¡¡ l i r i ¡ r¿.¡¡rdo que a"s 4sr i l { r i i } { -
ni{ ' i r tr ai r 'e!: i r ' i i .a{ io r iei campc dtntro de}
á-rrgr,.r ' cni:oi l i r [r ]u er1 (a). {c) Rc¡rt ' t i r
' l j i , . ¡ , . , ' ; : , ; rat t fcLt la { i ¡ j r ' i }3sa q.5 i t : ; r ' : , . . -
i . :r i ¡1 1ip ir . r ' i isnia energfa, en ve¡, ie i tn
prot l : i i . ( . icr i jE. 15-73.)
' i 5.:1 
- 
l , 'sarr io )a expr"esir in rciat ivisia
(1.r. i : r) para el calr l l i ! magnéticc de u¡r¿r
car-í ir ] . cn rnof i Í ] iento, obtener la cxple-
siói i para ei eampo rnagnético de una
corriente rect i l í :rea.
15.82 Usando la regla gi:neral para la
transformaciól ¡elat ivisla de i¡na frrerza
(probleina 11.29), obtener las tra¡rsfcrrna-
ciones relat ivistas del ctrrn¡r+ t iectro-
magnét ico, ecs. (15.53) ¡" 1 i5.60).
!i="a
"r iz \
,'¡TF-r*
"r*\
u ' l \
F igurals-?3 / | \
15.83 Usar. ido l¿rs ecs. (15.58) y (15.60),
prolrar que las cantlclades C' ')J y c'2-?J€
son invariantcs respccto a la transfor-
mación de Lo¡entz.
15.84 [Ina part lcula de carga g y masa
Problemas 575
m se rt lueve en una región donde hav urr
carrrpo eléctr ico f y un campo magné-
t ico '}3. Demostrar que si el movimie¡r lo
de la partÍcuja se ref iere a un sistenra de
roor'( : len¿das que rota con Ia frecuencia
de l .a¡nror de la partícula, tot":--qBl2m
[ver cc. (15.7)J, su ecuación de movi-
miento se transforma en ma':q[f f (mi
4)@t * (or * r¡¡. Estimar el valor de(o¿ para un electrón y verificar que el
último término es despreciable. En esta
aproximación, la ecuación de rnovimien-
to de Ia particula en el sistema rotante
de ejes es no' : qf. La comparación de
este resultado con el ejemplo 15.4 nos
muestra cómo elirnina¡ eI efecto de un
campo magnético. [Sugerencia. ' Emplear
las fórmulas de la sección 6.4 para cx-
presar la velocidad y la aceleracién de
la particula respecto al sistema rotante
de ejes. l
CA}frtr]*S FIF $r,t"'É'f:i{ },"1'j
i t ¡
i,:. .'"J g,-'g'f i,{-}$
;6.1 fntroducción
i6"2 Fiujo d¿ it"n cailtpo i;ectoríal
J6.3 [-¿t¡ de Causs ¡inra ei cenl,po eléctrico
f 6.4 Leg ic Gr¡uss en lorma diferenciul
lfi.S Polcrizeeiún d,e. Ia materin
16.6 Despíaznmíenta eléctríco
1f,.7 Cúlcr,'ir, tlc lcL susceptibilidnd eléctricn
lb.B Capaeífinctn; capacitores
!6,9 ErLrrgía riel campo eléctríca
l6.iü (--t:¡rc'¿¿c:líut,j.ad ¿|"éctríca; Ieg cle Ohtn
i5"1 1 Fuerzo electromotríz
16.12 Leg ,le Ampére pora eI cG.nlpo magnético
16.13 |,et¡ áe Am¡tire en forma diferencbl
16.14 Fluja magnético
/S./5 I\\agnetizací.ón de Ic¡, matería
i6.16 Campo magnetízante
!i1.17 iliiír¿¿io rj,r Ic si¿sr: r:y;tibíiiclod magtztlüca
it: . I¿^ i iesirr i¡,r" r ir t lo: i lrai, ,s.Je lc:s campcrs t: ; tátícos
"td,;l)
f S. f itzt.r*ú.treeion
Flui:¡ dr t i i l canrpo tecloríol 577
l-1, l ls i los c*¡ri l .ulos precedenie: i:gtridiarnos l¿is interacciones eiectrrxiragnéticas
1 ei ri, lr ' imie¡it¡ i le parr;iculas c:rigadai . i.r i:re consecuencia cle estas inieraccicnes.
i i ' in;¡!:;:ar ias i¡¡ieraccicl¡es eieclromagnrif ire: :ri:ro,lujimcs el conce¡:ia de carnpo
iJ¡:l: ir. 'c¡¡:agn.éticr. En este capítuio y cn ei pr,.ri ir ia, estudiaremos en deialic las
üar.;rierisl ic?:s d11 campo electromagnetico mis¡no, considerándolo como una
t:¡t. iekd rndeperii l iei ite. En este ca¡rit.uio e:ia¡ninaremos el ca.mpo electronragnético
,:siir l. irc a inde¡rarl iente del t iernpr. i:]n el capítulc 17 considei'amos el campo
t l t , : t r ;magnéi icLr, lependiente del t iempo,
iü":l .i"iicr3rr tÉt: t¿¡; aantpo r(etor¿al
. , . : : t 1, , : : . , , . ¡ ; . i ¡ , ¿.1i . ' ; ' t f lu;o i t un ta;ní t t ¡ vecl , ¡ i i t i ! . I r , te es un concei : t ¡ j í . : .1 f i : . i t j
' : . . . , , ' t , : - , , . ,h igf i r , , l f i l : t r + \ , : : í iá:r l í ' i r f f j i ¡ñ* l t i ;¿ i : ¡ Yrt{) t t3 i i t f . r :? { ' , i : ; r ' . i . :
/ r : t :a, :1r . ,1 i ' , ¡ . : ' i - - : , ! , i ¡ !6¡9¡1r i i r : t : .1 {- , ; j t , r r : iJ ic! ; : .s l ¡ f i j , t ¡ . ¡ú l ; t : . i } . r !a r t 'g i , i ,n {r ; : . . . r .
; i : : . - . , . ' i r : i i . i ' i . . . ' , . V ( t t i . . t ! , .1 l . i - ¡ i ' . ' i r l r i i : i ¡ ; : , l : ¡ : t , . t i , . r$: .¿a: r . ¡ . I ' i i . i r - , i . .
. , 
. , r1: : ' l . r , , ' , . ! r l r - . " ,Ci¡- ,S iJ¿. . , . ; "0, , t l ' . : j . t l , . 
' ; ' . .1, i j ( ; r i ;1t : : . r t : t . : t - ' t ! ; 1. . . : . ' : , ' , . : - -
. . , . : ' ' ' ta : j , . i f . . 1; , : r ' : lndir lUi ; | , ' , r l ; : : r ¡ : $1: . i i r l i ' i , ' i " : i ' - : l i : : : : { , i . ! i r r l r - lS ¡r ! i } t ¡ t : . ; l . , : .
i : r ' "q i i ¡ : : : 1, .1 1:r ; . , ¡ ¡ i1¡1-, t : : j i r t ! s l t ¡ t i r :ú e ( i iüe i l \ r . i ;1 i ; r r , ; : i l - : ; ' ¡ i l
lc r ie ¡ :+." , i : ,1 r- l i : : " t ' , - : i ¡a
r,¡;ar:Cr r;;t¡ i:¡ l ¡.r? se¡ii¡. lo en que licmcs riecidi, io oi ' ientar la periferia de ia su-
:.;::tt i ' i , ' ,cr'r:.t ihn l: ' {:olir. 'enr:: ión estabieciCa en la sección 3.i0. Si la sr:perficie e$
r,{rir i:di!, i l i : : vers4res ?JN apuntan ha,cí.r afuera. Sean fl1, 02, 03, , . . los ánguios
er¡ri.re ios ','ectores noimales ?a1, rt2, u3, . . , y los vectores de campo Vp V2, I'", . . .
e* cada punto de la superfir ' . ie. Entcinces, oor definición, el f lujo O del vector 7
a través de Ia superficie es
i} : %dS, cos 0, * %dSrcos 0z+ VBdS. cos 0, * . . .
: I ¡ r . t¿r dsr * Vz.uzdsz * V". t t rdSs+ . . . ,
* : i" V cos o dS : J" V.uy dS, (1ri. 1)
donde la integral sr extienrJc a toda la superficie, lo cual se indica con el sub-
indice S. Por esta iaz.lri una expresión como la ec. (16.1) se l lama integral de
superficie. Debido al ía¿lor cos 0 en la ec. (16.1), el f lujo a través de la superficie
elemental CS puede ser positivo o negativo, según 0 sea menor o mayor que rl2.
Si el r:ampo I,' es paralelo o tangente ai clemento de dS, el ángulo 0 es zr/2 y
cos 0 
- 
0, resultando un l lujo nulo a través dc la superficie dS. El f lujo total
puede ser positivc, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina "saliente", y si
es negativo, "entrante". Si ia superficie es cerrada como una esfera o un elipsoide,
se escribe un círculo sobre el signo integral; de este modo la ec, (16.1) se con-
vierie en
t : f" V cos o rt : f" lr.u;¡ dS. (16.2)
578 Campos eleclromqqnélicos eslri l i ,:,;s
o.- ,9<*-\::\ \
G- \,G-- i u- 5\ ^-- . ,\u- ! r ,G--- \ . 
- . i ^ : '^*t-*.{ o--o=-
- 
-- 
,._:___9_- G_-
,--=:-**-l\
( r6.2
Fi¡q. l{ i - l" Flujo de un campo \¡ec-
iori¿rl a través de una superf icie.
-\ \
Fig. 16-9. Flujo de part iculas a t rar 'és de
un atea,
E,l nombre de f lu jo dado a la iutegral de la ec. (16.1) se det¡e a su apl icación
nl estutl io de los flúidos. Supongamos (lrir) terlemos un chclrro dc particulas, todas
¡ncviéndose hacia la dr:recha con vek-rcit lrrd o. i\quellas particulas clue atraviesan
la sLiperficie dS en el t ienrpo I estarian corttenidas en un cil indro tle base dS,
generatriz paralela a o y longitud ul. Este volumen es ul dS cos 0. Suponiendo
que haya n part ículas por unidad de volurnen, el rn ' rmero total de part iculas que
pasa a t ravés de la superf ic ie d.S en el t iempr¡ I es nul dS cos 0 y el número que
pasa por unidad de ticnrpo, o fluja dc partículas, es r¿u dS cos 0 : nD. z¡¡ dS.
fi l f lujo totai de particulas a través de la superlicie S es
f
O: f 
-no.?d¡dS.
E,sta es unu u*pr.r iOn sinr i lar a la ec. (16.1), con el vector de can.rpo 11 igual a nu.
Se comprenderá, s in embargo, que el nombre de " f lu jo" dado a la ec. (16.1) no
signi f ica, en general , movimiento real de algo a t ravés de la superfrc ic.
Í :JE:t IPLO 76,7. Expresar la corr ie¡r te eléclr ica a t ravés de una superf ic ie como
un f lu jo de deusidat l de corr ie¡r te.
Soluciót t : Hernos visto que n"- ' r¿¡ 'dS r)xpresa el número de part iculas que pasa
a través de la superf ic ie r lS por unidad de t iempo. Si cada part fcula l leva una carga g,
Ia carga que pasa a t ravós de la superf ic ie dS por unidad de t iempo es
qna. tN dS : j . r ¡ ¡ d-S,
dondej : ng?, es la densidad de corr iente def in ida en la ec. (15.12). Por consiguiente,
la carga total que pasa a través t le ia superf icie S por unidad de t igmpo (esto es,
la corr iente eléctr ica a través de la superf icie) es
t : I " t .u¡ dS.
En otras palabras, la corr iente eléctr ica a travi 's de una superf icie es igual al f lujo
de ia c lensidad de corr iente a t rar 'és de Ja srrperf ic ie. Si la densidad de corr iente
es uni forme y la superf ic ie es piana, l r t ecuación se r¿t luce a
1 : j .urS : iS cos 0.
16.3\
Fig. 16-3. Flujo eléctr ico de una carga
puntual a través de una esfera.
I-eu de Gauss pnra eI campo eléctrico 579
Fig. 16-4. El flujo eléctrico a través
de esferas concéntricas que rodean a la
misma carga es el mismo.
I. EL CAMPO ELECTNICO
76.3 Ley d,e Gauss para el campo eléetríco
Consideremos ahora una carga puntual q (fig. 16-3) y calculemos el llujo de su
campo eléctrico C'a través de una superficie esférica con centro en la carga. Si r
es el radio de ia esfera, el campo eléctrico producido por la carga en un punto
de la superficie esférica es
t : l ** 'u ' '
El versor normal a la esfera coincide con el versor ?¿r según la dirección radial.
Luego el ángulo 0 entre el campo eléctrico f y el versor ?ú¡ 0s cero¡ y cos 0 : 1.
Obsérvese que el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todos los puntos
de la superlicie esférica y que el área de la esfera es 4rr2; por lo tanto la ec. (16.2)
da para el flujo eléctrico
o^:d cds:cd
- Js Js ds:cs: rQ;(4rr2):Q+íf;€or" 
€o 
.
Entonces, el flujo eléctrico a través de la esfera es proporcional a la carga e inde-
pendiente del radio de Ia superficie. Por lo tanto si trazamos varias superficies
concéntricas 51, Ss, Sr, . .. (f ig. 16-4) con centro en Ia carga q, el f lujo eléctrico
a través de todas ellas es el mismo e igual a Qleo. Este resultado se debea que
el campo depende de l/r2, y se aplica también al campo gravitacional de una
masa dado por la ec. (13.15). El l lujo del campo gravitacional se encuentra reem-
plazando qlLnco por ym, donde m es la masa encerrada por la superlicie. Esta
sustitución da
Qs :4rrm.
580 Campos electramagnéticos esldtícos (16.3
Consideremos una carga q en el interior cle una l*perlicie, arbttraria cen'ada S
(ng, 16-5). Ei f lujo total a través de S del calnpo elÉctricc producido por ia carga g
está dado por
Pr:rc ¡fS cos 0/r2 es el ánguio sóliilo :,ubtendrrlc por el elemento cle superficie dS
visto rl¿sCe la r,arga q [recordar la ec. (2.3)"] Ccmo el ángulo sólido total alredeilar
de un prrnto e:i 4r, vemos que
o* :;L d on : _.-_9 - 1+,.) * q47r€c r *n€0 €0
E,ste resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficie
esférica con centro en ia carga, por lo cual es válido para cualquier superficie
cerrada, independienternente de la pcsición ¡ie la carga dentro de la superficie. Si
une carga tal como q' está fucra de la superlicie ccrtada, ei f lujo eléctrico es cero,
porque el f lujo ent.rante r:s igual al salientt '; luego, ei f lujo neto es nulo. Por ejent-
¡rlc. el f lujo eié.ctrico de q'a través de dS'es igual en magnitud, pero de signo
opucsto, al f lujc' elécl¡ ' ico a través de dS", y por consiguiente su suma es cero.
f ig. 16-6. El f lujo eléctr ico a través de una su- Ftg. 16-6. El f lujo eléctr ico
perflcie cerrada gue encierra una carga es inde¡ren- a través de eualquier super-
diente de la forma de la superficie. ficie cerrada es proporcional
a la carga neta contenida
dentro de la suoerñcie.
Si hay varias cargas 4t, Qz, Qz, . . . en el interior de la superficie arbitraria S
(fig. 1GG), el f lujo eléctrico total será la sum¿i de los flujos producidos por cada
carga. Fodemos pues establecer la leg de Gauss:
EI flujo e!é.ctrica a lraués rie una superfícíe cerraila que eÁcierra las
cargas qp gz, Qs, , . . €s
*o : $, c cos 0 ds :. g, ¡;?,;; cos 0 ¡fS == ?*1, f" 
jl-:,g,' !
tq
0r, :4 ( .U_.-d5:-L,j 
.\" 
€o
oq"
(r6.3)
16.3) Leg de Gauss parc el campo eléctríco 581
donde q :8t * q2 * % + ... es Ia carga tolal en eI interíor de la
superfície,
Si no hay cargas en el interior de la superficie certada, o si la carga neta es cero,
el flujo eléctrico total a través de ella es cero. Las cargas que están fuera de la
superficie cemada no contribuyen al flujo total"
La ley de Gauss es particularmente útil cuando queremos calcular el campo
eléctrico producido por distribuciones de carga que presentan cierbas simetrlas,
como se muestra en los siguientes ejemplcs.
DJEMPLA 76,2. Usando
la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por
(a) una carga distr ibuida uniformemente sobre un plano, (b) dos planos paralelos
con cargas iguales y opuestas.
Solueión: (a) Supongamos que el plano de la fig. 16-7 contiene una carga d por
unidad de área. De ia simetr la del problema se deduce que las l ineas de fuerza son
perpendiculares al plano, orientadas como ge indica en la f fgura si la carga es posi-
t iva, Tomando como superf icie cerrada el ci l indro i lustrado en la f igura, podemos
separar el f lujo eléctr ico Os en tres térrninos: el f lujo a través de St que es *CS,
siendo S el área de la base del ci l indro; el f lujo a través de Sr, que es también *CS
Flg. 16-7. Campo eléctrico de una su-
perficie plana cargada uniformemente.
Fts. 16-8. Campo eléctrico en el espacio
comprendido entre dos superflcies planas
y paralelas que contienen cargas iguales
y opuestas,
ya que, por simetrla, el campo eléctrico debe ser el mismo en módulo y dirección
pero ae ientido opuesto en puntos situados a la misma distancia a ambos lados
del plano; y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, que es nulo porqu_e
el cámpo eléctr ico es paralelo a la superf icie. En consecuencia tenemos @e : 2CS.
La carga en el interior de la superficie es la correspondiente al área sombreada
y es iguai a g : oS. Por consiguiente, apl icando la ley de Gauss, ec. (16.3), tenemos
2CS:cS7<oosea
a' : 
o
Zeo '
lo cual indica que el campo e]éctrico es independiente de la distancia al planO y
es por lo tanto uniforme. EI potencial eléctr ico es, usando la relación C: - dVldr
582 Campos eleclromagnél[cos estátícos
y suponiendo quc el potencial en el plano es cero,
(16.3
" 
_ r:;,
Estos resultados son idénticos a los del cjemplo 13.8 para el caso gravitacional
si se reemplaza y por (4;rer)- ' (ver acleinás el problema 14.62). EI estudiante apreciará
que la técrr ica usacla ahora es más si i :rple detr ir io a la simetr ia del pro| lema.
(b) f ,a f ig" 16-8 muestra dos ¡; lanos paraiel-rs con cargas iguaies y opuestas. Obser-
vanlr]s qt¡e en la región fuera t l¡ : lc:s <!Gs pl¿1r1o9 hay carnpos eléctr icos iguales etr
nlódul , r ¡ , ' t l i rección pero de diret 'c lo i ¡es opue-<taso los c l l ¡ ¡ ies dan un campo r isul tante
nulo. Perc¡ en ia regit in enttr lcs ¡r i lnos, i is cá¡l lpos t ienen la misnra dlrección, y el
r.rampo resul¡.¿rnte cs clos reces ma.vor que el de un solo ¡t iano. o sea C: c,/eo. Por
io tantc, dos planos paralelos ron (:{rgas iguales v opuestas producen un campo
unifc¡rrne en el espacir-r entre ¡ l ios.
gJEMPto 1c,3. usando el teo¡e¡na de Gauss, hal lar el campo eléctr ico creado por
r¡na distr ibución esférica de ¡arga.
solut ién: I lste problema ha sido estrrd-iado en la sección 13.7, aunque de un modo
ti i fe¡ente, para el campo 
€Favitacionai producido por un cuerpo esférico. Considere-
\nos una esfera de rarl io a v carga Q (f iS. 1t j-9). La simctr la del problema sugiere
que el campo en cada punto debe ser radial y
dc¡render sclo cle la distancia r del punto al cen-
tro de la esfera. Entonces trace¡nos una $uper-
f lcie esférica de radio ¡ concéntr ica con la esfera
cargada. Encontramos que el f lujo eléctr ico a
través de el la es
/L\
t lO¿r : I C dS : t '0 dS : t(4rre).Js 
- ,s
Supongamos primero ¡ > a; encontramos que
la carga en el interior de la superf lcie S es la
carga total Q de la esfera, Luego, apl icantlo Ia
ley de Gauss, ec. (16.3), obtenemos C(4rrr)
: Q/eo ó
¿: 0
4re¡z '
f igura 16-9 Este resulta.do es el mismo que el obtenido para
Lfi ,:ff *;.iJJ,',::'o::';"J':gi:::'","::n;;#'"
puntos fuera de eIIa es igual al que producirÍa si toda su carga estuuíera con-cenlreda
en su centro.
consideremos a continuación, r < a; tenenros dos posibi l idades. si toda la carga
está en la superf icie de ia csfera, la carga en el interior de Ia superf icie S, es ceró,
y la ley de Gauss da C(4rr 'a) : 0, ó C : 0. De este rnodo, cuando la carga ¿sl¿Í dis-
tribuida en la superficie de la eslera eI campo eléctríco en los puntos ínternos-de la eslera
es nulo. Pero si la carga está distr ibuida uniformemente en todo su volumen y es 0,la carga en el interior de la superficie S; tenernos
nQf
O' : Z^^r/B (4rf ,3) : -k
-I
.El teorema de Gauss da entcnces 
€(4rrr) : e,/eo: ert/eoas ó
F- Qr
4'xera3 '
demostrando asf que eI campo eléctrico en los puntos internos d.e una eslera uníforme-
menle cargada es directamente proporcíonal a Ia distancia del punto al cenÍio d.e la misma-
Estos resultados están conforme a los de la sección 13.7 para el caso gravitacional,
si se reemplaza \m por Ql4reo.
EJEMPLO 76.4. Usando el teorema de Gauss, hallar el campo eléctrico creadopor una distribución cilfndrica de carga de longitud inflnita.
soluctón: Consideremos una longitud z del cilindro c, de radio a (fig. 16-10). Si r
es la carga por unidad de longitud, la carga total en esa porción de ci i ináro es g : I r .
La simetría del problema.indica 
.que- el campo eléctr icó en un punto depenáe sola-
mente de su distancia al eje del cilindro y está dirigido radialmente. Tom-emos como
superficie cerrada de integración una superfieie ciIndrica de radio r, coaxial con
la distribución de carga. Entonces el flujo eléctrico a través de la suoerficie tiene
tres términos. Dos de el los representan el f lujo a través de cada baie; éstos son
nulos porque_ e-l campo eléctrico es tangente a cada superficie basal. por lo e¡ral
sólo queda el flujo a través de la superficie lateral. Esie es ((2nrL). o sea,
@e : 2tt¡L(,
considerando ¡ > o, la carga total dentro de la superficie cilfndrica s es g : ttl,,
y la ley de Gauss, ec. (16.3), d.a 2rrL( : ),L/eo ó
16.3)
Flguru 16-10
Ley de Gauss para el campo eléctríca \Ea
Fig. 16-f 1. Elemento de volumen para
establecer la ley de Gauss en forma dife-
rencial.
c:
2re¡
El ¡esultado del ejemplo 14.2 para el campo eléctrico de un filamento cargado
está de acuerdo con éste. Por consiguiente, el campo eléctrico en puntos ertlrnos
a una disl¡ibución cillndri.ca de.carga de.longitud tti¡intta es eI miimo que si todaIa carga esluviera distribuida a lo largo de su eie.
Para ¡ < a, tenemo.s de nuevo dos posibilidades. Si la carga está distribuida
en la superficie del cilindro, no hay carga en eI interior de la íuperficie s,, y por
t t \
I r \
t i
t l
i lí l
I t
! l
t i
I t .
T(
:'í-----i-)
i:----l-l
' . t l
58.4 Campos electromagnéticos estáticas (16.4
la ley de Gauss se obtiene 2rrLf : 0, 15 c : 0. I i i ¡ i :<-¡nsecuencia, cuando lo carga
esta"distr ibuid'a sobre la super/ icie de un ci l int lro, eI canrt¡:o eléctr ico ¿n sus puntos
interiores ¿s nulo. Pero si la carga está distr ibuir la uniformeinente sobre todo el volu-
men del ci l indro C, encontramos que la carga dentro de Ia superf icie S'es q' : l l ¡zf4' ,
y la Iey de Gauss da 2zrLt -- q' 6
n_- v_
- 
- 2n<ott' '
De este modo el campo e!éctríco en un punto tnterior a un cilíndro cargodo de longítud
infinita es proporcional a Ia díslancia rlel punto al eie.
"1,6.4 Leg de Gauss en Íorrna diferenciat
Hemos visto que Ia ley de Gauss puede aplicarse a super{icies de cualquier forma.
Vamos a aplicarla a la superficie que rodea a un volumen infinitesimal de aristas
paralelas a los ejes XYZ, como se i iustra en la fig. 16-1 1. Los lados del elemento
de volu¡nen eiemental son dc, ttg y dz, EI área de la super{icie ABCD es dg dz, l
y el flujo eléctrico a bravés de ella es
C dS cos 0 : (C cos 0) dg f,2 : (,dg dz,
ya que C": C cos 0. El f lujo a través de Ia cara A'B'C'D' t iene una expresión
ii*iin" pero es negativo porgue el campo está dirigido hacia el interior del volu-
men, o sea -- fLdg dz. El flujo total a través de estas dos superficies es Ia suma
(, dg dz + (- CL dg dz) : (f" - CL) ds dz.
Pero como la distancia A'A: d¡ entre las dos superficies es muy pegueña'
la canüdad C, - eL es también muy pequeña y podemos escribir
C,- Ci :dé": 39: '¿ ' '
ofr
lo cual permite expresar el flujo total en la direccjón X como
uc' d, o€"
ar 'dgdz:-a;o ' '
La cantidad du : dr dg dz es el volumen de la caja. Como se obtienen resultados
análogos para el flujo a través de Ias cuatro caras restantes del volumen elemental,
el flujo total a través del mismo es
o" : of'-du + a!' a, t a!' a, : (++ +* af-\ar.0x 0g 0z \?¡ Ag 0zl
Si dq es la carga eléctrica dentro del elemento de volumen, la ley de Gauss da
( ryt++ 
-+) d, : d4\dx0gozl€o
16.4) Leg de Gauss en forma d.iferencial 585
Escribiendo dq : p du en la expresión anterior, donde p es la densidad de carga
eléctrica (o carga por unidad de volumen), y cancelando el factor común du,
obtenemos
Esta es la ley de Gauss expresada en forma diferencial. La expresión en el primer
miembro de ia ec. (16.4) se llama la diuergencia de f, abreviado div C, de modo
que Ia ley de Gauss se puede escri-bir en la forma compacta
div f (16.5)
El signifrcado fÍsico de la ley de Gauss en su forma dife¡encial es que relaciona
el campo eléctrico C en un punto del espacio con la distribución de carga, expre-
sada por p, en el mismo punto; o sea que expresa una relación local entredos
cantidades físicas. De este modo podemos decir que las cargas eléctricas son las
fuentes del campo eléctrico, y que su distribución y magnitud determinan el
campo eléctrico en cada punto del espacio.
EJEMPLO 16.5. Expresar la ley de Gauss en función del potencial eléctrico.
Soluclón: Recordando que las componentes del campo eléctrico f se expresan en
función del potencial eléctrico V por (" : - 0V/0r y con expresiones similares
para (y y C, (ver ec. 14.27), podemos escribir
con resultados análogos pata (, y (". Haciendo la sustitución en la ec. (16.4) obte-
nemos otra expresión para la le¡ de Gauss:
p
€0
af" a l av\ a,v
0r á¡\ 0r l 0r2 '
o(", af4¡ , o(., p
-T--TAr 0g 0z €o
A2V AzV AzV : _ __!_,
a", 
-r 
a¡ r ¿", €e
, azv azv
+-+-:1,
' og' ' azz
(16.4)
(16.6)
(16.7)
expresión l lamada ecuación de Poisson. Podemos usar la ec. (16.6) para obtener
el potencial eléctr ico cuando conocemos la distr ibución de cargas, y reclprocamente,
siempre que la distr ibución de cargas sea independiente del t iempo. En el espacio
l ibre, donde no hay cargas (p : 0), la ec. (16.5) se convierte en div f : 0 y la ec. (16.6)
nos da
a2v
-:----
oÍ'
Esta ecuación se l lama ecuación de I.aplace. Es una de las eeuaciones más importantes
de la f fsics, maternática, y aparece en muchos problemas no incluidos en la teorfa
dei campo elcctromagnético, tales como en el movimiento de f luidos y en la elas-
t icidatl .
La expresión que aparece a la izquierda de las ecs. (16.6) y (16.7) recibe el nombre
d.e laplaciano de V,
586 Carnpos electromagnéticos estáti.cos (16.4
EJnnrpLo 76.6, Verif icar que el potencial de u¡ia c:rrga satisface la ecuación de
Laplace, ec. (16.7), en todc¡s ios puntos exceptc) en el or igen donde la carga está
situada.
Solución: El potencial de una carga punlual es V : ql4nesr, según la ec. (14.32),
Pero r3 -- Í2 * g2 + 22, de modo que derivanrlo respecto a r, tenemos
2r 0rl0s : 2t ó ?ri?r : r,'r.
Por consiguiente
A 11\ L 0r Í
_._t ._t :_
0r\r) Í2 Ar, ¡3
1
'€
v #(+)-*(-+)
Entonces
tr{ult iplicando el resultado anterior por
método matenrático no es válido para r
,3¡Ar 1 3x2
- ' - r i ; ' : - r" - r ts
Q/4¡eo, obtenemos la ec. (16.7). Nuestro
: 0 porque Ia función 1l¡ t iende a inf ini to
cuando ¡ t ie¡-rde a cero. En consecuencia,
el origen debe exch¡irse de los cálculos,
Además, la ec. (16.7) no es apl icable a pun-
tos ocupados por cargas.
EJEMPLO76.7. Usando la ecuación de
Laplace, obtener el potencial eléctr ico
y el campo eléctr ico en la región vacfa
comprendida entre dos planos paralelos,
cargados a los potenciales V, y Vr.
Solución: La simetrfa del problema sugie-
re que el campo debe depender sólo de
la coordenada r(f ig. 16-12). Por consiguien-
te, como no hay cargas en el espacio entre
los planos, debemos apl icar la ecuación de
Laplace, ec. (16.7), Ia cual dadrV/dt t : O.
Obsérvese que no usamos los simbolos de
derivación parcial porque sólo hay una
variabie independiente, Í , Integrando,
lenenros dVldx: const. Pero el campo
cléctr ico es f : -d\ ' /dr . Concluimos
entonces que el campo eléctr ico entre los
# (:) u #o O -' ::, (+): --3 1 {" re11 '2 : e
Flgura 16-12
planos es constante. Integrando la expresión { : - dV/dr, teniendo presente
que C es constante, obtenemos la siguiente ecuación
l l ot, -' - f" (ds : -t f ' d',Jl ' r J. t Jzt
de la cual resul ta l ' - l / r : -C (¿-¿t) ó 
' ' : 
Vr- t ( r - f t ) . Esto demuestra
que el potencial eléctr ico varía l inealmente col la distancia ¡. Haciendo , : 
"r,tenemos \t : Vz. Por lo tanto
" 
I ' , , -1 ' , Í " -Y,
re-fr d '
16.ó) Polarízación de la materia ó87
donde d .L? :rr. Estcl resul iados eslán cie acuerdo con ni¡estra discusión hecha
en la sección 14.8, que condujc a ia ec. (1 1.31).
EJEltrPLo 16.8, Resolver ei misnio problerna del ejempln 16.7, suponiendo que haya
una distr ibución uniforrne de cargrr entre ios clanos. E,sta situación puede encon-
trarse, por ejemplo, entre las placas de un tubo electrónico.
Solución: Ahora debemos apl icar la ecuación de Poisson, ec. (16.6). Debido a la
simetria del problema, el potencial depende solamente de la coordenada r, y podemos
escribir dzY/drz : * pl€s, con p : const. Integrando, tenemos
r ' d2V t t t
J 
' , 
a ' " dx : - ; J" ,
lo cual da
#-(-#),:",: -{. (¡-¡,)
o sea
dV-o
qr 
€6
Pdr:- |
€O Jt ,
^r t3, t
dr,
donde C, : - (dYldr)r:c, eS el campo
eléctr ico en el punto r : r t , Como
C : 
- 
dY ldx., el campo entre los planos es
c: ct +3(¡-r . ) ,
€o
( 1 6.8)
Flgure 16-18
lo cual demuestra que el campo eléctrico varfa linealmente con r, como se ilustra
en la fig. 16-13. Integrando de nuevo la ec. 16.8, el potencial eléctrico en función
de¡es
PV f Í
I or : - l ( ,dr_
J V, .J zl
o sea (16.e)
V : Vt - c,(¡ - r,) - i; @- q),,
Ahora el potencial eléctr ico varla con el cuadrado de c, como se muestra en la f i-
gura 16-13. La cantidad C, puede deterrninarse haciendo Í : r2; se t iene
Vz : Vt - c ' (r , - r ' ) - G/2eJ (rr- rr) ' ,
de donde se despeja C,.
76.5 Polarización de la rnatería
En esta sección varnos a discutir el efecto que un campo eléctrico produce sobre
una porción de materia. Recordemos que los átomos no tienen momentos dipo-
lares eléctricos permanentes debido a su simetría esférica, pero cuando se colocan
t I',,(r - r,) dr
588 Campos electromagnétícos estaticcs ( r6.5
en un campo eléct.nr:o se polarizan, adquirienri '-r ;r iu;rentos tl ipolares eléctricos
inducicios en la direcr:ión del camlic. l lstc cs r¡ne i.;cnr¡r,je;r., ' ie de la perturbación
del movinrientr-i de lcs electrtrics 1;;"oiiu,,, i ' . !: i pr:r r:1 cinp,; eléctrico *l iícado (ver
sección 14.1 i ) .
For oira partc, rnüch¡¡s l¡roléce;.is l irí:,cntIi;t n:c;nentos dipolarcs eióctr;cos
permanenles, Cuando ul.ia rnoiécula ¡jtre i i l l i l{r l l l lcnti-r dipoiar elécirico pcrlnanente,
tiendc ¿ orii intarsc paralelamenttr.:¡l r::nii:t; aplicatir: ' , l ,orque sobre elia se cjerce
un t,rrque (tiade, por la cc. 1.1.1¡1),}. t,r lr.r i4 ri.;nseeueuci¿r dc estos dos efectos, una
porriri: i t le naterial cclücadii i ir i i l l c¿¡in:r'¡ eit icÍ.ric,.. st polatízu. Es decir, sus
Fis. 16-14. Polarización cle la materia por un camDo eléctr ico.
moléculas o átornos se convit:tterr err. dipolos clectricos orientados en la direcciíln
del carnro elécti lco l¡;c¿ri ({lg. 16-i,1). st 'a dehidt¡ a la distorsión del movimiento
clectrórico, se¡ a la orieniacií:n de ci:s t i ipoils ¡iermanentes. Un
rnedio que puede
polarizase cn un e¡nllo clécti ico se l lr ima dieléclrícc. La polarización da lugar
a una carga neta positiva sol.¡re un iatlo dc la porción dc materia y a una carga
neta negativa sobre el lado opuesto, f)c este modo la porción de materia se corr-
vierte en un gran dipolo eid:ctrico que líende a mo\¡erse en la dirección en que
el campo aumenta, como se estudió en la sección 14.11. Esto expl ica el fenómeno
descrito en l¿ sección 14.1 por ei cual una varii la de vidrio electrizada o un peine
atraen pec¡ueños pedazos de papel o esferitas de corcho.
La poktrización ,l> de un malerial se qlefi lre con¡o el momento dipolar eléctrico
del medio 1:cr unidad de voiumen. {)or lo ta i i io. s i p cs ei momento dipolar indu-
cido cn carla áto¡no c rnolécula 
_v ,t cs cl nir¡n,.:rc rle átcmos o moléculas por r:r:, i-
dad de vulumen, la polarización es 
-l> : np. En generai, ? es proporcional al
. ' - -
*-.
16.5) Folarízacíón de Ia matería 589
cxmpo eléctrico aplicado f. Como .P se mide en (C m) m-3 : C m-2, o carga por
unidad de área, y de la ec. (14.8), eo{' se mide también en C m-2, es costumbre
escribir
.P - y"es(. (16.10)
La cantidad x" se llama susceptibilidad eléclrica del material. Este es un número
puro. Para la mayoría de las sustancias, esta cantidad es positiva.
Consideremos ahora una porción de material de espesor I y superficie S colocada
perpendicularmente a un campo uniforme (fig. 16-15). La polarizacibn ?, siendo
paralela a ¿', es también perpendicular a S. El volumen de Ia rebanada es lS,
y por consiguiente su momento dipolar eléctrico es i2(1.$ : (?S¿. Pero I es pre-
cisamente la separación entre las cargas positivas y negativas que aparecen sobre
Fig. 16-16. Porción de material pola- Flg. 16-16. El campo eléctrico dentro
rizado. de un conductor es nulo.
las dos superficies. Como por definición el momento dipolar eléctrico es igual a
la carga multiplicada por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que apa-
rece sobre cada superficie es ?S y por consiguiente, la carga por unidad de área
dc sobre las caras del material polarizado es?,,ó oe :?. Aunque este resultado
se ha obtenido para una disposición geométrica particular, tiene validez general, y
Ia carga por unídad de área sobre Ia superficíe de una porción de
materia polarizada es igual a Ia componente de Ia polarización iP
en Ia dírección de Iq normal a Ia superfície del cuerpo.
Asi, en la fig. 16-14, la carga por unidad de área sobre la superlicie en ^¿1 es
?x : .2 cos o.
Algunos materiales, conro la mayoria de los metales, contienen partÍculas
cargadas que pueden moverse más o menos libremente a través del medio. Estos
materiales recibe¡r el nombre de conductor¿s. En nresencia de un campo eléctrico
590 Campos electromagnélicos estalicos ( t6.5
éstos también se polarizan, pero de un modo que difiere esencialmente de los
dieléctricos. A ¡nenos que se saquen en forma apropiada, las cargas rnóviles en
un conduclor se acumulan sobr¿l la superlicie hast-a qrre el campo que producen
iguala completamerrte al campo extcrncr aplicado dcltro del conductor, ptodt-t-
c iendc pr>r lo tantc equi i ibr io ( i ig. 16- i6) . Cor: t : lu i r r rcrs, entonces, que ¿n eI inter ior
de un cand.uctar que esÍá en equiLrbria eléctrin, ci campo elülrico es ¡t,ulo. Por la
¡'nisnra raza¡, rI can¡to eléclrictt rn lc sui';erfície ri¿be str norrnel, va que si tuvi.era
¡!na cLrrnp()nente paraiela, las carga:l tt) mt)\ 'er¡ai¡ scbre le superlicie del con-
dr.¡ctor. Atlemás, debido a que cl canipt en el interio¡ del conductor es cero,
iodos los punlos de wt co¡icluclar ttt equil ihri¡ t létir ico dehen e.slar al ¡nismo polencial.
t ig. 16-17. El campo eléctrico en la Flg. 16-18. \rariación del campo eléc-
superficie de un conductor es normal trico al cruzar ia superlicie de un con-
a la suoerficie. ductor.
Si el campo eléctr ico en el interior de un conductor es nulo, tenemos también
que div ¿' : 0, y por lo tanto la ley cie Gauss en su forrna diferencial, ec. (16.5)
da p :0; en consecuencia la densidad de carga en el volumen del conductor es
cero. Esto signif ica que toda Ia corga eléclríca de un conductor en equil ibr io estd
sobre su super{icie. Con esta proposición queremos signif icar que Ia carga neta está
distr ibuida sobre una superf icie con un €spesor de varias capas atómicas, no
sobre una superf icie geométrica.
EJEDIPLO 76.9. Relacionar el carnpo eléctrico en un punto de la superficie de un
conductor con la carga eléctr ica en la superf icie.
Soluciín: Consideremos un conductor de forma arbitraria, como el de la f ig. 16-17.
Para hal lar el campo eléctr ico en un punto inmediatamente fuera de la superf icie
del conductor, construimos una superf icie ci l indrica plana semejante a una caja
de pl ldoras, con una base inmediatamente fuera de la superf icie y la otra a una pro-
fundidad tal que toda la carga de la superÍ icie quede dentro del ci l indro y podamos
decir que el campo eléctr ico en un punto de esa base es cero. El f lujo eléctr ico a
través de la superf icie corlsta de tres términos. El f lujo a través de la base que está
dentro del tc¡rductor es cero porque el campo es cero. El f lnjo a través de la superf icie
laterai es nulo porque el c¿r¡ps cs tangente a esta superf icie. En consecuencia resta
superflciaJ
Despl,tzamienta eléclrirc ó91
sólo cl f lujo a través de la base externa. Si S es el área de esa base, tenemos Os : CS.
Por otra parte, si o es la densidad de carga dei conductor, la carga dentro del ci l indro
es g : oS. Por consiguiente, apl icando la iey de Gauss, CS : oS/eo o
{ : oleo. (16.1 1)
Esto da el campo eléctr ico en un punto inmediatamente fuera de Ia superf icie de
un conductor cargado, mientras que el campo eléctr ico en el interior es nulo. Por
lo tanto, al atravesar Ia superlicie de un conductor cargado, el campo eléctrico varfa
del modo i lustrado en la f ig. 16-18.
EJ&MPLo 16.10. Hallar la fuerza por unidad de área ejercida sobre las cargas
de la superf icie de un conductor.
Soluctón: Las cargas en la superficie de un conductor están sometidas a una fuerza
repulsiva debido a las otras cargas. La fuerza por unidad de área o esfuerzo eléctr ico,
puede calcularse mult ipl icando el valor promedio del campo eléct_rico por la carga
por unidad de área. El campo promedio es, según la f ig. 16-18, C : c/2eo. Luego
el esfuerzo eléctr ico es
Fr:oF:oz/2eo
cantidad siempre positiva, ya que depende de o2 y por lo tanto corresponde a una
fuerza que impulsa a las cargas fuera del conductot.
76.6 Desplazanniento eléctrico
En la sección precedente vimos que un dieléctrico polarizado tiene ciertas cargas
sobre su superficie (y también, a menos que su polarización sea uniforme, en
todo su volumen). Estas cargas de polarización, sin embargo, están "congeladas"
en el sentido que están ligadas a átomos o moléculas determinadas y no son
libres de moverse a través del dieléctrico. En otros materiales tales como un
metal o un gas ionizado, puede haber cargas eléctricas capaces de moverse a
través del material, por Io cual Ias llamaremos cargas liór¿s. En muchas circuns-
tancias, como en esta sección, tendremos que distinguir claramente entre cargas
übres y cargas de polarización.
Fig. 16-19. Dieléctr ico colocado entre
placas con cargas opuestas. Las cargas
de las placas son cargas l ibres y las car-
gas de la superflcie dei dieléctrico son
cargas de polar ización.
592 Campos electromagnélicos estálícos (16.6
Consideremos de nuevo una porción de un rnateriai dieléctrico ccrlocado entre
dos placas ¿onductoras paralelas (fig. 16-19), conteniendo cargas l ibres iguales
y opuestas. La derrsidad rle carga superíicial sobre ia placa izquierda es * clinr" y
sobre la placa de la derecha es '_ qibre. Estas cargas producen un campo eléct¡ico
que polariza el material de modo que aparecen cargirs de polarización sribre cada
superficie del niismo. Estas cargas de polarización tienen signos opuestos a los
de las cargas sobre las placas. Por consiguiente las cargas dc polarización sobre
las caras del clielóctrico equil ibran pat'cialmente a las cargas l ibres de las placas
conductoras. Siendc P el módulo de la polarización er el material, la densidad
superficial de carga sobre ]a cara izquierda del rnismo es - ? mientras que
sobre la cara de la rlerecha es +- ?. La densidad de carga superfi.cial efectiva o
neta a la izquierda es r : dl¡bre -'.p, con un result-ado igual y opuesto a la de-
recha. Estas cargas superñciales netas dan lugar a un campo eléctrico unilorme
gue, en conformidad con la ec. (16.11), está dacio por é":oluo. De este modo,
usando el vaior efectivo de o. tenemos
C : 1 (ou¡ru- ' .?) ó or¡b"" 
-= 
eo{ *?,
60
expresión que da las cargas l ibres sobre la superficie de un conductor rodeado
por un dieléctrico en función del campo eléctrico en el dieléctrico y de la polari-
zación del misrno. Cuando observamos que, en el caso que estamos estudiando,
{ y lP son vectores en la misma dirección, los resultados anteriores sugieren la
conveniencia de introduci¡ un nuevo vector, Ilamado desplazamiento eléctrico,
definido por
'D : eof * .P. (16.12)
Obviamente, 2 se expresa en C m-2, ya que éstas son las unidades de las canti-
dades que aparecen en el segundo miembro de la ec. (16.12). Para el caso especial
que estamos corrsiderando, encontramos que dtibre : í1); o sea que las cargas
libres por irnirJad de área en la superficie del conductor son iguales aI despla-
zamientc¡ eiectrico en cl dieiéctricc. Este resultado tiene validez general y puede
extenderse a conductores de cuaiquier forma. Por consiguiente l¿ companente de(D según la normal a la superfície de un conduclor sumerqído en un dieléctríco da
la densídad d.e carga superfíctal en el candurlo¡. Esto es
o)ib.e : tD.UX,
mientras que Ia componente normal de <sC da la carga efecti,va o neta, tomando
en consideración la compensación debida a las cargas en Ia superficje del die-
Iéctrico; o sea; o: eot. u¡y. La carga l ibre total en el conductor es entonces
qlibre : f"ono"" rS : f" 'V'ux dS : @s. (1 6.1 3)
tin análisis ¡r:ás detallado, que omitiremos, indica que el flttjo de Q a lraués de
cualquieí superficie cerrad-a at ig¿¡cl a la targa latal "Iibre" en eI interíor de Ia su.
i{;';'1 Crilc¡¿iB cfe ic sr:seeptíbílidad eléctritt¿ &93
pcr{ir:ir, erclt.tu{ndo todc.s ias r!-tteas deóídas a la polarizaeién dsl media. For lo
leiifo la ec. (1tí"13) es válide ¡:t qeneral para cualquier superlicie cenada.
Para casos en ios cu*les l: i i :t:- (16.1{)) es válicla, podemos escribir
'V : o-of * .oX.¿ : (l + x.)c¡f : ef,
donde el coeliciente
(16.14)
se llama permítiuidad del medio, y se expresa er¡ las misrnas unidades {ue €6i
€$to es, m-3 kg-l s2 C2. La permiliuídad relatiua se define como
- 
- 
, l 
- 
- 
I | 
" ,<¡ 
- 
c/ t0 
- 
r - - f 
^e.
(16.16)
y es un número puro, independiente del sistema de unidades. La permitividad
relativa se l lama conslanle dieléclríca. Para la mayoría de las sustancias es mayor
que la unidad.
Cuando la relación (D : u{' vale para un medio, pode¡no$ escribir Ia ec. (16.13)
como g¡ibre : f5 .{ . u¡ dS y, si el meclio es homogéneo de modo gue € sea cons-
tante.
o.: f { .urydS:{r i l re/e. (16.17)
Comparando la ec. (16.17) con la ec. (16.3) vemos que el efecto del dieléctrico
sobre el campo eléctrico 
€ 
es reempiazar <o por e si sólo se consideran las cargas
libres. Por consiguiente el campo y el potencial eléctricos producidos por una
carga puntual inmersa en un dieléctúco son
q
. 
: 
.- 
== (l f x")e¡
( ' - -Q u, v
- 4nc.rz
F 
- 
I tQz
4nerz
{16.15)
(16.18)
(16.1e)
f ' q
4t<r
El irródulo de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales inmersas
en un dieléctrico es entonces
Ccmo e es en general mayor qü€ e$ la presencia del dieléctrico produce una
reducciór.r efectiv¿ de la inleracción porque la polarización de las moléculas del
dieléctrico hace de pantalla.
76.7 Círlculo d,e Ia susceptibilidacl eléctríca
I-a susceptibiiidad eléctrica p, que describe la respuesta de un medio a la acción
de un campo eléctrico externo, está evidentemente relacionada con las propie-
dades de los átomos v moléculas del medio. En est¿ sección describiremos bre-
594 Campos eleclromagnéticos eslátict s (16.7
veme¡rte córno esta cantidad. de carár:ter macroscópico, está reiacionada con
las propiedacles atómicas del medio.
Hemos explicado previament.e que u!l átorno colocado en un callrpo eléctrico
se polariza clebido al desplazamiento relativo de las cargas positivas y negativas.
Si p es ei montento ti ipolar eiéctrico indur;ido en el átotno por uIr campo externo f,
podenios suponer que p es proporcional a i ' , resuliadc¡ confirmado por expe-
rimentos, y escribir
p .: dr.o(', (16.20)
di¡ncle c es una constante carar:teristir:a de cada átomr.r, l lamada polarízabilídad;
se expresa en m3. La constante €0 se escribe en la ecuación explícitamente por
conr.enienci¿r. Si hay n átomos o rnoidcuias por unidad de vc¡iurnen. la polariza-
ción clei r ¡ redio es.P: f ip =: ¡¿¡6, , { ' , 5s ' la ect tación, comparada con la ec. (1S.10),
Ca para *l¿r susceptibilidad eiécl.rica tiel r¡,a1.cli¿l* At : tlq..
De este rnor-lo el cii i¡:uio de ia susiepiibil ldac! eléctrica se ri:ducc al cálculo de
la p;-'J11¡j7e.¡i i idad de l;,¡s átamos (o:noléculr.e) t ie ia s'. lsta¡ícin" Esto conduce a
rieier¡ninar el eiecto di: un caiirpo ert¡:L¡ro sitb¡:¿ e] ;no.¡imientc de lor elt:ctrones
e.n el átomo. Ilero eso a su i rz r 'equiere r¡ue iengamos iniormación delallada
ficrrca del movimiento electrónico en r.ln álcrno. Este movimiento sigue las leyes
de l¡¡ mecánica cuántica y el cálculo del electo perturbacitrr del carnpo eléctrico
externo está fuera del objeto de este l ibro. Por ello preseniare¡nos solantente los
rcsr¡itados nrás irnportantes, distinguiendo el efecto sobre las sustancias no polares
de! de las sustancias polares.
(a) Eiecto de Cislorsión Cuando las moléculas de una sustancia no tiene¡r mo-
rnento dipolar eiéctrico pern:anenle, ia polarización proviene enteramente del
electo de distorsión producido por el campo eléctrico sobre las órbitas electró-
nicas. Podemcs describir este efecto como un desplazamiento del centro de la
rl istrit¡ución de carqas electrónicas con respecto al núcleo. Esto da como resultado
un dipolo eléctrico inducido que, en átomos v en muchas moléculas, es paralelo
al campo eiéctrico apiicado.
Cacia ¿itomo o rnolócula tiene una scrie de frecuencias caracteristicas c,:1. <l2, 03,. . .
que ucrresponden a las frecuencias de ia radiacii,n electrornagnética que la suq-
tancia puede al, 'sorber o enütir. [st¿ir írecuelci:rs constituyen el espectro electro-
raagnético de la sustancia. Cuanda cl cilmpo t!éct¡ico es eonstarrte, la polariza-
bil idad at(rmica sr: l lama prtlttrízabLlit lud estúlica y está dada por ia expresión
(16.21)
* Rigurosanrent.e hablandu, cur ln{ lo se r .scr ibr : 13 ec. {1 i i .20) pára un átomo o ¡¡1 ' ) lócula que está
inmerso -¡n i i l tned. io ma¡cr ia l v no ais l : l r io, r ! c l i rn¡ io i ' l t rctr !co que aparece en cl segunt lo In ierrr-
bro dc la e¿uación debr 'str c l rarnp0 t iú, . ' t r icc ¡rs: : l i¿t : r le en cl medio In l lnos el campo eiér*.r i t 'o
producido }rr¡r t ' l ¡n ismo áto¡no. Cua¡r ic ' s i : j ¡ rc luye i ' r .1 'a torreüciól i , ia re. iación eniae Xe y c se
convierte et l¿ : nt l \1 - .nr l i3) . l i ln eir iLurg,r , i r i l ¡a la ¡ iavo¡ía de los maler ia les {pr incipalmente
gases), la relación 1e : nJ. t ¡s una buena aproxi l i1aciói l .
- ._. , r ' ¡ ñ*- . rn" A ^?'
16.'í) Cálrula de l+ susceplibilídad eléctríffi bgt)
tlcirrlr: ¡¡¡ representa ctralqqi,il" frecuencia del especiro electrarnagnético