Vamos analisar cada proposição uma a uma para determinar quantas estão corretas. 1. \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[7]{2} \): - A raiz quarta de \( \sqrt[3]{2} \) é \( 2^{1/4 \cdot 1/3} = 2^{1/12} \). - A raiz sétima de \( 2 \) é \( 2^{1/7} \). - Como \( \frac{1}{12} \neq \frac{1}{7} \), essa proposição é falsa. 2. \( 3^{-4} = \frac{1}{81} \): - \( 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \). - Essa proposição é verdadeira. 3. \( \frac{7^{n+3} + 7^{n+1}}{7^{n+1}} = 50 \), para todo \( n \) natural: - Simplificando: \( \frac{7^{n+3}}{7^{n+1}} + \frac{7^{n+1}}{7^{n+1}} = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50 \). - Essa proposição é verdadeira. 4. \( \sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3} \): - A raiz cúbica de \( \sqrt{3} \) é \( 3^{1/2 \cdot 1/3} = 3^{1/6} \). - A raiz cúbica de \( 3 \) é \( 3^{1/3} \). - Como \( \frac{1}{6} \neq \frac{1}{3} \), essa proposição é falsa. Agora, somando as proposições corretas: - Proposição 2: verdadeira - Proposição 3: verdadeira Portanto, temos 2 proposições corretas. A alternativa correta é: D) 2.