Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre os elementos do quadrado, a circunferência e o triângulo retângulo BCE. 1. O quadrado ABCD está inscrito em uma circunferência de raio \(6\sqrt{2}\) cm. O lado do quadrado pode ser encontrado pela relação entre o raio da circunferência e o lado do quadrado. O lado do quadrado \(l\) é dado por \(l = r\sqrt{2}\), onde \(r\) é o raio da circunferência. Portanto, \(l = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\) cm. 2. O triângulo BCE é um triângulo retângulo, onde a tangente do ângulo \(\alpha\) é dada por \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\). Isso significa que, se considerarmos os catetos do triângulo retângulo, podemos dizer que a altura (BC) é \(4k\) e a base (BE) é \(3k\) para algum valor \(k\). 3. Para encontrar a medida do segmento \(\overline{CE}\), precisamos usar o teorema de Pitágoras no triângulo BCE: \[ CE = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{16k^2 + 9k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k. \] 4. Agora, precisamos determinar o valor de \(k\). Sabemos que o lado do quadrado é \(12\) cm, e como \(B\) e \(C\) são vértices do quadrado, a distância \(BC\) é igual ao lado do quadrado, ou seja, \(BC = 12\) cm. Portanto, temos: \[ 4k = 12 \implies k = 3. \] 5. Substituindo \(k\) na expressão para \(CE\): \[ CE = 5k = 5 \cdot 3 = 15 \text{ cm}. \] Assim, a medida do segmento \(\overline{CE}\) é igual a 15 cm. Portanto, a alternativa correta é: (C) 15 cm.