Para resolver a questão, precisamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção \( P \) das funções \( f(x) = -2x + b \) e \( g(x) = \frac{x + 2}{b} \), sabendo que \( f\left(\frac{1}{2}\right) = g(4) \). 1. Calcular \( f\left(\frac{1}{2}\right) \): \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right) + b = -1 + b \] 2. Calcular \( g(4) \): \[ g(4) = \frac{4 + 2}{b} = \frac{6}{b} \] 3. Igualar as duas expressões: \[ -1 + b = \frac{6}{b} \] 4. Multiplicar ambos os lados por \( b \) (considerando \( b > 0 \)): \[ b(-1 + b) = 6 \] \[ b^2 - b - 6 = 0 \] 5. Resolver a equação quadrática: Usando a fórmula de Bhaskara: \[ b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] As soluções são: \[ b = 3 \quad \text{ou} \quad b = -2 \quad (\text{descartamos } b = -2 \text{ pois } b > 0) \] 6. Substituir \( b = 3 \) nas funções: \[ f(x) = -2x + 3 \] \[ g(x) = \frac{x + 2}{3} \] 7. Encontrar o ponto de interseção: Igualar \( f(x) \) e \( g(x) \): \[ -2x + 3 = \frac{x + 2}{3} \] Multiplicando ambos os lados por 3: \[ -6x + 9 = x + 2 \] \[ -7x = -7 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] 8. Substituir \( x = 1 \) em \( f(x) \) para encontrar \( y \): \[ f(1) = -2(1) + 3 = 1 \] Portanto, as coordenadas do ponto \( P \) são \( (1, 1) \). A alternativa correta é: (E) \( (1, 1) \).