Para determinar o estimador de máxima verossimilhança de \(\log(\sigma^{2})\), precisamos considerar a fórmula correta para a variância amostral. O estimador de máxima verossimilhança para a variância populacional \(\sigma^{2}\) é dado por: \[ \hat{\sigma}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2} \] No entanto, quando se trata do estimador de máxima verossimilhança de \(\log(\sigma^{2})\), devemos considerar a forma correta que leva em conta o divisor apropriado. Analisando as alternativas: A) \(\log \left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\) - Não é o estimador correto, pois não considera o divisor. B) \(\log \left[\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\) - O divisor \(n+1\) não é o apropriado para o estimador de máxima verossimilhança. C) \(2 n \log \left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\) - Não é uma forma correta para o estimador. D) \(\log \left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\) - Esta é a forma correta, pois utiliza o divisor \(n\). E) \(\log \left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\) - Este é o estimador de variância amostral, mas não é o estimador de máxima verossimilhança. Portanto, a alternativa correta é: D) \(\log \left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]\).