resumen fourier

Prévia do material em texto

Ing. Mario R. Modesti
 10. 1
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CORDOBA
DEPARTAMENTO ELECTRONICA
Carrera : Ingeniería Electrónica
Asignatura : Análisis de Señales y Sistemas
T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa de
Fourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control.
Rev 1.2 Enero 2001
Serie trigonométrica de Fourier
f(t) = a0 + + + +
+ + + +
a Cos t a Cos t a Cos t
b Sen t b Sen t b Sen t
1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ ϖ
....
.....
a0 = =
−
∫ ∫
1 1
2
2
0T
f t dt
T
f t dt
T
T T
( ) ( )
a f(t) Cos n f(t) Cos nn = =
−
∫ ∫
2 2
2
2
0T
t dt
T
t dt
T
T T
ϖ ϖ
b
T
t dt
T
t dt
T
T T
n f(t) Sen n f(t) Sen n= =
−
∫ ∫
2 2
2
2
0
ϖ ϖ
MATHEMATICA
Serie exponencial de Fourier
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 2
f(t) = F0 + + + + + +
+ + + + + +−
−
−
− −
−
−
F e F e F e F e
F e F e F e F e
J t J t J t
n
Jn t
J t J t J t
n
Jn t
1 2
2
3
3
1 2
2
3
3
ϖ ϖ ϖ ϖ
ϖ ϖ ϖ ϖ
.... .....
..... .....
f(t)=
n=-
F e para t t t Tn
Jn t
∞
∞
∑ < < +ϖ ( )0 0
F
f(t)(e ) dt
e (e ) dt
1
T
f(t)e dtn
Jn t *
t0
t T
Jnv t Jn t *
t
t T
Jn t
t
t T
0
0
0
0
0
= =
+
+
−
+∫
∫
∫
ω
ϖ
ω
MATHEMATICA
Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial
( )
( )
a
a
0
n
=
= +
= +
= +
−
−
F
F F
b J F F
F a Jb
n n
n n n
n n n
0
1
2
Espectro de frecuencias de Fourier
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 3
F( )ϖ ϖ=
−
∫ f(t) e dt -Jn t
T
2
T
2
 
f(t)=
1
T
F e Jn t
n
( )ϖ ϖ
=−∞
∞
∑
Transformada de Fourier
f t F e dJ t( ) ( )=
−∞
∞
∫
1
2π
ϖ ϖϖ F f t e dt
J t( ) ( )ϖ ϖ= −
−∞
∞
∫
La función F( )ϖ es la densidad espectral , y otro modo de expresar las
transformadas es:
[ ]f t f t e dtJ t( ) ( )= −
−∞
∞
∫ ϖ [ ]−
−∞
∞
= ∫1
1
2
F F e dJ t( ) ( )ϖ
π
ϖ ϖϖ
MATHEMATICA
APLICACIONES
10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la serie
correspondiente.
F(x)
0 5 x 0
3 0 x 5
 Periodo 10=
− < <
< <



=
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 4
( ) ( ) ( ) =










=





+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 5
3
5
1
30
10
22
dtt
n
CosdttnCosdttnCosf
T
a
T
tn
π
ϖϖ
Resolución analítica
( ) ( ) ( ) =










=





+== ∫∫ ∫∫
−
5
0
0
5
5
00 5
3
5
1
30
10
22
dtt
n
SendttnSendttnSenf
T
b
T
tn
π
ϖϖ
( )[ ]=+−=




=




= ∫ 0
3
5
3
5
5
3
5
1
5
0
5
0
CosnCos
n
t
n
Cos
n
dtt
n
Sen
n
bn ππ
π
π
π
π
( )[ ]π
π
nCos
n
bn −= 1
3
( ) ( ) 2
3
053
10
1
3
10
1
30
10
11 5
0
0
5
5
00
0 =−==





+== ∫ ∫∫
−
tdtdtf
T
a
T
t
Mathematica
5
2 ππ
ϖ ==
T
t
n
dut
n
u
55
ππ
=∴=
[ ] 003
5
3
5
5
3
5
1
5
0
5
0
=−=




=




= ∫ ππ
π
π
π
π
SenSen
n
t
n
Sen
n
dtt
n
Cos
n
an
00 ≠= nan
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 5
10.2) Desarrollar F x x x( ) = < <2 0 2π en serie de Fourier
a - Si el período es 2π
b- Si el período no se especifica
5 10 15 20 25
10
20
30
40
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 6
10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación
F t
t
t
( ) =
< <
− < <



1 0
1 2
π
π π
Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( , )0 2π de
modo que el error cuadrático medio sea mínimo
f t Sen t( ) =
Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse una
aproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamente
ortogonales.
10.4) Desarrollar f t Sen t( ) = , 0 < <t π en serie de Fourier trigonométrica
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 7
10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a
una función del tipo f t Sen t( ) = , 0 < <t π , desarrollar en serie de Fourier
exponencial
10.6) Considersr la función periódica ( )tf en 0 < <t π y determinar el espectro
de frecuencias de la función
( )tf Sen t= .
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 8
10.7) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo función
seno.
10.8) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo función
coseno.
10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)
8 0 x 2
8 2 x 4
 Periodo 4=
< <
− < <



=
10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F x
x 4 x 0
x 0 x 4
Periodo 8( ) =
− − ≤ ≤
≤ ≤



=
10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8
F(x)
2 x 0 x 4
x 6 4 x 8
Periodo 8=
− < <
− < <



=
10.12) Calcular los coeficientes a a bn n0 , , de la serie trigonométrica que
representa en período 2 π .
a) F(t) Sen t
b) F(t)= Cos t
=
10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica
F(x)
x 0 x 4
8 x 4 x 8
=
< <
− < <



10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar su
transformada de Fourier.
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 9



<<
<<
=
ππ
π
2t0
t0tsen
F(t)
10.15) Dada una onda cuadrada periódica f(t)=
A 0 < t < T / 2
0 2 0− < <


 T t/
 ,
determinar
a) El espectro de frecuencias
b) F(w)
c) la función f(t)
[ ]
[ ]1e
n
A
J1e
Jn
A
e
Jn
A
dte 
Jn
A
 dte A
 dte A dte0 dte f(t))F(
Jn-2
T
Jn-
2
T
0
tJn-
2
T
0
2
T
0
tJn-tJn-
0
2
T
2
T
0
tJn-tJn-
2
T
2
T
tJn-
−=





−−=
=−=−==
=+==
∫ ∫
∫ ∫∫
−−
πϖ
ϖϖϖ
ϖϖϖ
ϖϖ
ϖϖ
ϖ
[ ]∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=



 −=
n
tJnJnp-
n
tJn e1e
n
A
J
T
1
)eF(
T
1
=f(t) ϖϖ
ϖ
ϖ
10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier
trigonométrica f t
Sen t t
t
( ) =
< <
< <



0
0 2
π
π π
10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una
función del tipo f t
Sen t t
t
( ) =
< <
< <



0
0 2
π
π π , desarrollar en serie de
Fourier exponencial
10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente.Ing. Mario R. Modesti
 10. 10
10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2)
u(t)ef(t) at−=
J?2
1
)e(e
J?2
1
dtee? ) F( 0
0
tJat
+
=−
+
−== ∞−
∞
−−∫ ϖ
2s
1
F(s)
+
=
MATLAB
a=[1,2]; % Coeficientes del denominador en orden decreciente
b=[1]; % Coeficientes del numerador
w=-50:.05:50; % Rango de frecuencia en rad/s
H=freqs(b,a,w);
mag=abs(H);
fase = angle(H);
axis([-50,50,0,.5]);
figure (1);
plot(w,mag);
title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)');
xlabel('frecuencia, rad/s');
ylabel('magnitud');
grid;
figure(2);
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 11
fase =fase*180/pi; % Cambio de fase de radianes a grados
axis([-50,50,-200,200]);
plot(w,fase);
title('Respuesta en frecuencia (fase)');
xlabel('frecuencia, rad/s');
ylabel('fase, degrees');
grid;
axis;
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
MATHEMATICA
 
 
10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 12
f t e a t( ) = −
10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación





>
<
=
2
T
t0
2
T
t1
f(t)
10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante.
10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t).
10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial y
deducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación.
( )f θ θ π θ π= − ≤ ≤para
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 13
 10.25) Determinar la serie de Fourier de : 
− < <
= − < ≤ −  ≤ <
1 1 t 1
f(t) 2 t 1
0
1 t 2
 Ing. Mario R. Modesti
 10. 14
Referencias :
Señales y sistemas
lan V. Oppenheim - Alan S.Willsky
Prentice Hall
Mathematica 3.0
MatLab 5.0
GrapMath 1.30C