teste 19

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MATEMÁTICA
RAZÃO, PROPORÇÃO &
DIVISÃO PROPORCIONAL
Professor Josimar Padilha
Razão e Proporção
Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas
grandezas, sendo o coeficiente entre dois números.
Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas ou mais razões,
ou ainda, quando as razões possuem o mesmo resultado.
Note que a razão está relacionada com a operação da divisão. Vale
lembrar que grandezas são proporcionais quando existe duas razões entre
elas.
Ainda que não tenhamos consciência disso, utilizamos cotidianamente
os conceitos de razão e proporção. Para preparar uma receita, por exemplo,
utilizamos certas medidas proporcionais entre os ingredientes.
RAZÃO
A etimologia latina de razão, ratio, não possui relação com a ideia de
faculdade que permite a distinguir a relação entre as coisas da realidade ou
juízo, mas sim a ideia de quociente, divisão, a noção que a matemática
assimilou. Por isso, razão é o quociente entre dois números A e B, com B ≠
0. Assim, a razão entre os números A e B pode ser dita “razão de A para
B” e representada como:
Uma razão também pode identificada pela representação A : B. É
importante saber que, em uma razão, A sempre será chamado
de antecedente, enquanto B será sempre chamado de consequente.
Proporção
Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, proporção é
a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser
expressa da seguinte forma:
Uma proporção também pode ser expressa como a igualdade entre os produtos (A . D)
e (B . C), da seguinte forma: A.D = B.C.
É importante saber que os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que
os números A e B são os dois primeiros termos e os números C e D são os dois
últimos termos da relação de proporção. Os números A e C são os antecedentes de
cada razão, enquanto os números B e D são os consequentes de cada razão que
compõem a relação de proporção. Em uma relação de proporção A e D são os extremos
B e C são os meios. Além disso, a divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma
constante P, denominada constante de proporcionalidade P da razão.
Exemplo:
Na sala do 6º Ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a
razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que
razão é divisão)
Grandezas Especiais
1. Escala:
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na
Medida real.
Exemplo:
Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por
um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km.
Vamos calcular a escala deste mapa.
COMENTÁRIO :
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm
2. Velocidade:
Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo
gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)
Exemplo:
Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade média deste
carro.
Velocidade= 320/4 = 80
3. Densidade:
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área.
Exemplo:
O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de
6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
Razões Inversas:
Vamos observar as seguintes razões.
Observe que o antecessor(5) da primeira é o consequente (5) da segunda.
Observe que o consequente (8) da primeira é o antecessor (8) da
segunda.
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é 5/8 . 8/5 =1
Dizemos que as razões são inversas.
1 
 
MATEMÁTICA 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
PROF. JOSIMAR PADILHA 
ASSUNTO: RAZÃO, PROPORÇÃO E DIVISÃO PROPORCIONAL 
 Olá pessoal, tudo bem? 
Primeiramente vamos relembrar com 02(duas) questões 
comentadas: 
 
01. Ano: 2016 Banca: VUNESP – REGRA DO “P” 
Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de 
copos transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a 
razão entre o número de copos coloridos e o número de copos 
transparentes passou a ser 2/3. O número de copos coloridos nessa casa, 
após a compra, é 
 a) 24. 
 b) 23. 
 c) 22. 
 d) 21. 
 e) 20. 
Comentário: 
- Peguei a razão de 2/3, após a compra de 2 copos; 
2K + 3k= (Ele não deu o valor total) 
5k= (agora vc já sabe que o K tem que ser algum número múltiplo de 5, logo 
vai nas alternativas e verifica qual delas é múltiplo de 5) 
Nesse caso seria a letra E (20). 
 
 
2 
 
02. CESPE – TST - REGRA DO “P” 
 Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 3 analistas 
foram convocados, sendo que os números de processos que cada um 
recebeu eram diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Com base 
nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos. 
b) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos. 
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos. 
Comentário: 
Divisão Diretamente Proporcional 
Em uma divisão proporcional devemos construir uma proporção: 
, sendo esta diretamente proporcional, logo temos; 
A é proporcional a 2, logo: A = 2p 
B é proporcional a 3, logo: B = 3p 
C é proporcional a 5, logo: C = 5p 
O total de processos é igual a 70, ou seja, A + B + C = 70. 
Substituindo temos: 
A + B + C = 70 
2p + 3p + 5p = 70 
10p = 70 
p = 7 (constante de proporcionalidade) 
A = 2p = 2. 7 = 14 
B = 3p = 3.7 = 21 
C = 5p = 5. 7 = 35 
Julgue os itens. 
a) A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos. (Errado) 
3 
 
b) Um dos analistas recebeu mais de 33 processos. (Certo) 
c) Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos. (Errado) 
 
QUESTÕES PARA TREINAMENTO 
 
Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: IPSM Prova: Assistente de Gestão 
Municipal 
01 - Carlos, Ana e Gerson tabularam as respostas de uma pesquisa, 
realizada via questionário, que foi respondido pelos usuários de um 
determinado serviço municipal. Sabendo que Carlos tabulou um terço do 
total de questionários, Ana tabulou três quintos do que sobrou e Gerson, 
os 460 questionários restantes, a diferença entre os números de 
questionários tabulados por Ana e Gerson foi 
 a) 210. 
 b) 220. 
 c) 230. 
 d) 240. 
 e) 250. 
 
Ano: 2017 Banca: FCC Órgão: TCE-SP Prova: Agente de Fiscalização - 
Administração 
02 - Hoje a razão entre a minha idade e a idade do meu filho é 3/2, e a 
soma de nossas idades é 120 anos. Já aconteceu de essa razão ser igual 
a 3, e, nessa ocasião, a idade de meu filho, em anos, era igual a 
 a) 12. 
 b) 8. 
 c) 10. 
 d) 14. 
 e) 16. 
 
Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: TCE-SP Prova: Agente de Fiscalização 
03 - Tenho um filho. Nasci 20 anos antes do que ele. Daqui a dez anos 
terei o dobro da idade dele. Hoje a razão entre a idade dele e a minha é 
igual a 
 a) 1/2 
 b) 1/4 
 c) 1/6 
 d) 1/3 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-assistente-de-gestao-municipal
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-assistente-de-gestao-municipal
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2017-tce-sp-agente-de-fiscalizacao-administracao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2017-tce-sp-agente-de-fiscalizacao-administracao
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2017-tce-sp-agente-de-fiscalizacao
4 
 
 e) 1/5 
 
04) A quantia de R$ 4640,00 foi distribuída como abono, a três funcionários 
de uma firma, de forma inversamente proporcional ao número de faltas de 
cada um. Paulo faltou 6 dias, Cláudia faltou 9 dias e Ana faltou 8 dias. O 
abono que Cláudia recebeu foi de: 
A)R$ 1280,00 
B)R$ 1920,00 
C)R$ 1360,00 
D)R$ 1440,00 
E)R$ 1420,00 
05) (FCC/TRF). No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço 
de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa 
circunscrição judiciária. 
 
 
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. 
Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa 
de seustempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de 
laudas do processo era 
 
(A) 40 
(B) 41 
(C) 42 
(D) 43 
(E) 44 
 
06) (CESPE). Para emitir parecer sobre 70 processos da área administrativa, 
3 analistas foram convocados, sendo que os números de processos que 
cada um recebeu eram diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
1 A um dos analistas foram destinados menos de 12 processos. 
5 
 
2 Um dos analistas recebeu mais de 33 processos. 
3 Um dos analistas recebeu entre 15 e 20 processos. 
07. (CESPE) Carlos, André e Luís fizeram juntos um empréstimo bancário no 
valor de R$ 1.000,00 e devem pagar, ao final de 3 meses, R$ 1.261,00. Do 
total do empréstimo, Carlos ficou com R$ 460,00, André, com R$ 350,00 e 
Luís ficou com o restante. Se cada um deles pagou ao banco quantias 
proporcionais ao que recebeu, então coube a Luís pagar a quantia de 
A R$ 190,00. 
B R$ 239,59. 
C R$ 277,00. 
D R$ 420,33. 
08. (CESGRANRIO)As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma 
casa e a divisão das despesas mensais é proporcional ao número de pessoas 
de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, cinco. Se 
a despesa, num certo mês, foi de R$ 1 280,00, quanto pagou, em reais, a 
família de Alda? 
(A) 520 
(B) 480 
(C) 450 
(D) 410 
(E) 320 
GABARITO 
1. C 
2. A 
3. E 
4. A 
5. C 
6. ECE 
7. B 
8. B 
 
 
6 
 
 
A fortuna será dividida em duas maneiras distintas, dessa forma teremos 
duas constantes de proporcionalidade, uma para cada forma, vejamos: 
1º Forma de divisão: 
𝐴
3
=
𝐵
5
=
𝐶
7
 
A = 3p 
B= 5p 
C= 7p 
 
2º Forma de divisão: 
𝐷
4
=
𝐸
9
=
𝐹
12
 
D = 4k 
E= 9k 
F= 12k 
 
Se a fortuna é a mesma nas duas formas de divisão, então as somas das 
partes são iguais: 
7 
 
3p+5p+7p = 4k + 9K + 12k 
15p = 25k (equação I) 
Sabendo que na segunda forma de divisão, segunda maior parte da fortuna 
ficaria aumentada em R$3.000,00 em relação à segunda maior parte da 
primeira forma de divisão: 
E + 3000 = B 
9k + 3000 = 5p (x3) 
27k + 9000 = 15p (substituindo com equação I) 
27k + 9000= 25k 
2k = 9000 
K = 4500 
15p = 25k (equação I) 
15p = 25(4500) 
15p = 112500 
p= 112500/15 
p = 7500 
Substituindo as constantes nas duas formas de divisão, teremos: 
1º Forma de divisão: 
A = 3p= 3. (7500) = 22.500 
B= 5p= 5. (7500) = 37.500 
C= 7p = 7. (7500) = 52.500 
2º Forma de divisão: 
D = 4k = 4. (4500)= 18.000 
E= 9k = 9. (4500) = 40.500 
F= 12k = 12. ( 4500)= 54.000 
Jugando os itens 
1. C 
8 
 
2. E 
3. C 
4. E 
 
 
“O Senhor é bom para com aqueles cuja esperança está nele, para com aqueles que o buscam; 
é bom esperar tranquilo pela salvação do Senhor. Lamentações 3:25-26”