Apostila 5 - Limites

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Capítulo 7: Limites 
7.1. Noção Intuitiva de limite 
Considere a função 𝑓(𝑥), em que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Para valores de x que se 
aproxima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores que 1 
(Esquerda), tem valores respectivos para y. 
 
Figura 1. Representação da aproximação de um pela direita e pela esquerda. 
 
Figura 2. Valores de y para aproximação de x pela direita e pela esquerda. 
Nota-se que a medida que x aproxima-se de 1, y aproxima-se de 3. Logo, quando 
x tende a 3 (𝑥 → 1),y tende a 3 (𝑦 → 3). Assim pode-se dizer que o limite da função 
para 𝑥 → 1 é igual a 3. 
lim
𝑥→1
(2𝑥 + 1) = 3 
De forma genérica: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 
Definição: Uma função 𝑓(𝑥) tem limite b quando x tenda a a, se é possível tornar 𝑓(𝑥) 
arbitrariamente próximo de b, desde que adota-se valores de x, x ≠ a suficientemente 
próximo de a (por ambos os lados de a). 
7.2 Propriedades 
1ª) lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 
O limite da soma é a soma dos limites. 
O limite da diferença é a diferença dos limites. 
Exemplo: 
lim
𝑥→1
[𝑥2 + 3𝑥3] = lim
𝑥→1
𝑥2 + lim
𝑥→1
3𝑥3 = 1 + 3 = 4 
 
2ª) lim𝑥→𝑎[𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∗ lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ⁡ 
O limite do produto é o produto dos limites. 
Exemplo 
lim
𝑥→𝜋
[3𝑥3 ∗ cos 𝑥] = lim
𝑥→𝜋
3𝑥3 ∗ lim
𝑥→𝜋
cos 𝑥 = 3𝜋3 ∗ cos 𝜋 = −3𝜋3 ⁡ 
 
3ª) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=⁡
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥)
 
 O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. 
Exemplo: 
lim
𝑥→0
cos 𝑥
𝑥2 + 1
= ⁡
lim
𝑥→0
cos 𝑥
lim
𝑥→0
𝑥2 + 1
=
cos 0
02 + 1
=
1
1
= 1 
 
4ª) lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
𝑛 = (lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
𝑛 
 
Exemplo: 
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)3 = lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)3 = (12 + 1)3 = 8 
5ª) lim𝑥→𝑎 √𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
𝑛
 
Exemplo: 
lim
𝑥→2
√𝑥2 + 1 = √lim
𝑥→2
𝑥2 + 1 = √22 + 1 = √5 
 
 
6ª) lim𝑥→𝑎 [ln 𝑓(𝑥)] = ln [lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)], para lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) > 0 
Exemplo: 
lim
𝑥→𝑒
[ln 𝑥2] = ln [lim
𝑥→𝑒
𝑥2] = ln 𝑒2 = 2 
 
 
7ª) lim𝑥→𝑎⁡[𝑠𝑒𝑛⁡𝑓(𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛[lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)] 
Exemplo: 
lim
𝑥→1⁡
[𝑠𝑒𝑛⁡(𝑥2 + 3𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛[lim
𝑥→1
(𝑥2 + 3𝑥)] = 𝑠𝑒𝑛⁡4 
 
 
8ª) lim𝑥→𝑎 𝑒
𝑓(𝑥) = 𝑒lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 
Exemplo: 
lim
𝑥→1
𝑒𝑥
2+3𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→1
𝑥2+3𝑥⁡
= 𝑒4 
 
7.3 Limites laterais 
Definição Limite à direita: Se 𝑓(𝑥) tende para 𝐿1 quando x tende para a através de 
valores maiores que a diz-se que 𝐿1 é o limite de 𝑓(𝑥) quando x tende para a pela 
direita e indica-se por lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿1. 
Definição Limite à esquerda: Se 𝑓(𝑥) tende para 𝐿2 quando x tende para a através de 
valores menores que a diz-se que 𝐿2 é o limite de 𝑓(𝑥) quando x tende para a pela 
esquerda e indica-se por lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿2. 
O limite de 𝑓(𝑥) para 𝑥 → 𝑎 existe se, e somente se, os limites laterais à 
esquerda e a esquerda são iguais, ou seja: 
Se⁡lim𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = 𝑏, então lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 
Exemplo: Considere a função 
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 − 1⁡⁡𝑠𝑒⁡𝑥 ≤ −2
2𝑥 + 7⁡𝑠𝑒⁡𝑥 > −2
 
Determinar lim𝑥→−2− 𝑓(𝑥) , lim𝑥→−2+ 𝑓(𝑥). 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑥 ≤ 2, ou seja x a esquerda de –2 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 7⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑥 > −2, ou seja x a direita de -2 
Para limite a esquerda de -2 
lim
𝑥→−2−
(𝑥2 − 1) = (−2)2 − 1 = 3 
Para limite a direita de -2 
lim
𝑥→−2+
(2𝑥 − 7) = 2. (−2) + 7 = 3 
Como os limites laterais são iguais, existe um limite para função. 
7.4 Continuidade 
Dizemos que uma função 𝑓(𝑥) é contínua num ponto a do seu domínio se as 
seguintes condições são satisfeitas: 
a) Existir 𝑓(𝑎) 
b) Existir lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 
c) lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
Exemplo: Verificar se a função abaixo é continua em x = 2 
𝑓(𝑥) {
7𝑥 − 6⁡𝑠𝑒𝑥 < 2
2𝑥2⁡𝑠𝑒⁡𝑥 ≥ 2
 
Verificar se lim𝑥→2 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 
Inicialmente observa-se que 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 para 𝑥 ≥ 2, assim 𝑓(2) = 8. 
Agora calcula-se os limites laterais, logo: 
lim𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→2+ 2𝑥
2 = 2.22 = 8 e 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2−
7𝑥 − 6 = 7 ∗ 2 − 6 = 8 
lim𝑥→2 𝑓(𝑥) = 𝑓(2), portanto, 𝑓(𝑥) é contínua em x = 2 
7.4.1 Propriedades das funções contínuas 
Se 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) são contínuas em 𝑥 = 𝑎, então: 
a) 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)é contínua em a 
 
b) 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)é contínua em a 
 
c) 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
é contínua em a 
Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios: 
Polinômios Funções racionais 
Funções raízes Funções trigonométricas 
Funções trigonométricas inversas Funções exponenciais 
Funções logarítmicas 
7.5 Limites infinitos 
Conforme sabemos, a expressão 𝑥 → ∞ (x tende para infinito) significa que x assume 
valores superiores a qualquer número real e 𝑥 → −∞ (x tende para menos infinitos), da 
mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real. 
lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0 ou lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 0, ou seja, a medida que x aumenta ou diminui 
respectivamente, y tende a zero e o limite é zero. 
lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = ∞, ou seja, quando x tende a zero por valores maiores que zero, y tende 
ao infinito e o limite é infinito. 
lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = −∞, ou seja, quando x tende a zero por valores menores que zero, y 
tende para menos infinito. 
Exemplo: 
lim𝑥→0+
1
𝑥
= +∞, pois a medida que x tende a zero por valores maiores que 0, y tende a 
infinito. 
 
Tabela 1. Demonstração dos valores de y a medida de que x tende a zero. 
𝑥 
𝑦 =
1
𝑥
 
1 1 
0,5 2 
0,1 10 
0,01 100 
0,001 1000 
0.0001 10000 
0.00001 100000 
0.000001 1000000 
0.0000001 10000000 
 
7.6 Limites exponenciais 
Considere o limite lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥), em que 𝑓(𝑥) = (1 +
1
𝑥
)
𝑥
, logo: 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 
Em que e representa a base dos logaritimos ou neperianos. Trata-se do número 
irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. 
Tabela 2. Representação de y a medida que x tende ao infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 
𝑦 = (1 +
1
𝑥
)
𝑥
 
1 2 
2 2,25 
3 2,3703 
10 2,5937 
100 2,7048 
1000 2,7169 
10000 2,7181 
7.7 Teorema do Confronto 
Se 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) quando x está próximo de a, (exceto possivelmente em a) e os 
limites f e g, ambos existem quando x tende a a, então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 
 
Lista de Exercícios – Limite: 
1. Determine o limite infinito: 
a) lim𝑥→−3−
𝑥+2
𝑥+3
⁡ b) lim𝑥→−3+
𝑥+2
𝑥+3
⁡ 
c) lim𝑥→1
2−𝑥
(𝑥−1)2⁡
⁡ d) lim𝑥→5−
𝑒𝑥
(𝑥−5)3
⁡ 
e) lim𝑥→3+ ln(𝑥
2 − 9)⁡ f)⁡lim𝑥→𝜋− cot 𝑥⁡ 
g) lim𝑥→2−
𝑥2−2𝑥
𝑥2−4𝑥+4⁡
 g) lim𝑥→2−
𝑥2−2𝑥+8
𝑥2−5𝑥+6
 
 
2. Calcule os limites a seguir: 
a) lim𝑥→5(2𝑥
2 − 3𝑥 + 4) b) lim𝑥→−2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥⁡
 
c) lim𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1⁡
 d) g) lim𝑥→0
(3+𝑥)3−9
𝑥
 
e) g) lim𝑥→0
√𝑡2+9−3
𝑥2
 
3. Calcule o limite de g(x), quando x tende a 1,onde: 
𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 1⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡𝑥 ≠ 1⁡⁡
𝜋⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡𝑥 = 1
 
4. Demostre que: 
a) lim𝑥→0|𝑥| = 0 
b) lim𝑥→0
|𝑥|
𝑥
, não existe 
c) lim𝑥→0 𝑥
2𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
= 0 
5. Demonstre que a função 𝑓(𝑥) = 1 − √1 − 𝑥2 é contínua no intervalor [−1,1] 
6. Calcule o limite, se existir: 
a)lim𝑥→−3
𝑥2−9
2𝑥2+7𝑥+3
 
b)lim𝑡→1
𝑡4−1
𝑡3−1
 
c) lim𝑥→−4
1
4
+
1
𝑥
𝑥+4
 
d)limℎ→0(𝑥+ℎ)3−𝑥3
ℎ
 
7. Encontre valores de a e b de forma que f seja continua em toda parte: 
𝑓(𝑥){
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡𝑥 < 2⁡⁡⁡⁡
𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥 + 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡⁡2 ≤ 𝑥 < 3
2𝑥 − 𝑎 + 𝑏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡𝑥 ≥ 3
 
8. Calcule os limites abaixo: 
a) lim𝑥→−∞ 𝑒
1
𝑥 
b) lim𝑥→∞ 𝑠𝑒𝑛⁡𝑥 
c) lim𝑥→∞(𝑥
2 − 𝑥) 
d) lim𝑥→∞
𝑥2+2
3−𝑥
 
e) lim𝑥→∞
1
2𝑥+3
 
f) lim𝑥→∞(𝑥
5 + 𝑥4)