Calculo - Integrais - gabarito Lista 2

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO DA 2a LISTA DE EXERCÍCIOS 
a ser entregue na 6a aula, em 20.03.2009 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B 
 1 
1o Exercício: Resolver a integral indefinida ( )∫= dttts 2cos2 por partes. 
 
Solução: 
 
 
Pela integração por partes, tem-se ∫ ∫−= vduuvudv , e 
 
 
 ( ) ( )
( )





+=
=
=
=
⇒= ∫
t
t
v
dttdv
dtdu
tu
dttts
2sen
4
1
2
coscos2 2
2
 
 
pois ( ) ( )
a
axxdtax
4
2sen
2
cos2 +=∫ então, 
 
 
( ) ( ) 











+−+= ∫ dtt
t
t
tt
s 2sen
4
1
2
2sen
42
2
2
 
 
( ) ( ) ( ) ( )tttttdttdttttts 2cos
4
1
2
2sen
2
2sen
2
12sen
2
2
22 +−+=−−+= ∫∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )



++=++
−
= tttttt
ttt
s 2cos
2
12sen
2
12cos
4
12sen
22
2 222
 
 
 
Resposta: ( ) ( ) Ctttts +



++= 2cos
2
12sen
2
1 2
 
 
 
2o Exercício: Resolver a integral indefinida ( )∫ −= dxxny 113 l por partes. 
Solução: 
 
 
( )
( ) ( )
3
1
5
3
2
2
2
xv
dxxvdxxdv
dxxduxnu
dxxnxy
=
=
⇒=
=⇒=
⇒= ∫∫
l
l , 
como 
 ∫ ∫−= vduuvudv , 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B 
 2 
 
tem-se 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) 





−=−== ∫∫∫ dxx
xnxdxxxxnxdxxnxy 2
3
332
3
1
3
53355 lll , 
 
( ) ( ) Cxxnxxxnxy +





−=





⋅−=
33
5
33
1
3
5
3
3
33
l
l
, 
 
Resposta: ( ) Cxxnxy +





−=
33
5 33
l , 
 
 
Integrar as seguintes funções que envolvem um trinômio do tipo cbxax ++2 
 
3o Exercício: ∫ +−
=
223 2 xx
dxy 
 
 
Solução: 
∫∫∫
+−+





−
=
+





−
=
+−
=
3
2
9
1
9
1
3
123
1
3
2
3
23
1
223 222
xx
dx
x
x
dx
xx
dxy 
 
 






=
−=
⇒






+





−
=
+−





−
= ∫∫
3
5
3
2
3
5
3
13
1
9
6
9
1
3
13
1
222
k
xu
x
dx
x
dxy 
 








+−
−−
=












+−
−−
=





+
−
=
+
= ∫ 513
513ln
52
3
3
1
3
5
3
1
3
5
3
1
ln
52
3
3
1ln
2
1
3
1
3
1
22 x
x
x
x
ku
ku
kku
dxy 
 
 
Resposta: C
x
x
ny +
+−
−−
=
513
513
52
1
l 
 
4o Exercício: dx
xx
xy ∫ +−
−
=
25
12
2 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Exercício Resolvidos Cálculo Diferencial e Integral B 
 3 
Solução: 
 
∫∫∫
+−+





−
=
+





−
=
+−
−
=
5
2
100
1
100
1
10
125
1
5
2
10
25
1
25
12
22
2
xx
dx
x
x
dx
xx
xy 
 






=
−=
⇒






+





−
=
+−





−
= ∫∫
10
39
10
1
10
39
10
15
1
100
40
100
1
10
15
1
222
k
xu
x
dx
x
dxy 
 








+−
−−
=












+−
−−
=





+
−
=
+
= ∫ 39110
39110ln
39
5
5
1
10
39
10
1
10
39
10
1
ln
392
10
5
1ln
2
1
5
1
5
1
22 x
x
x
x
ku
ku
kku
dxy
 
 
 
Resposta: C
x
xy +
+−
−−
=
39110
39110ln
39
1