Herbster_RNA_Quanticas_2003 (Redes Neurais Artificiais Quânticas) - Artigos

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*Trabalho realizado com apoio do projeto IQUANTA (FINEP/CTINFRA 002/2003), 
 http://www.dsc.ufcg.edu.br/~iquanta/. 
O Estado da Arte em Redes Neurais Artificiais Quânticas* 
 
Raul Fernandes Herbster1 
Wilkerson de Lucena Andrade1 
Herman Martins Gomes1 (Orientador) 
Patrícia Duarte de Lima Machado1 (Co-orientadora) 
 
1Universidade Federal de Campina Grande 
 Departamento de Sistemas e Computação 
Grupo de Modelos Computacionais e Cognitivos 
 Av. Aprígio Veloso s/n, Bodocongó 
 58109-970 - Campina Grande PB 
 
{raul,wilker,hmg,patricia}@dsc.ufcg.edu.br 
 
Abstract. Quantum Neural Networks have emerged as a new approach in the 
field of Quantum Computation, having properties that, in thesis, may 
overcome the problems of classical Neural Networks. In the past decade, 
Quantum Neural Network models have been proposed, however most of them 
do not converge to adopting the same principles from the Quantum 
Mechanics, nor agree with respect to the hardware/software requirements for 
their implementation. There is also the need for a classification of the models 
based on a set of consistent criteria. The objective of this work is, therefore, to 
present the state of the art of Quantum Neural Networks by reviewing and 
making a comparative analysis of the existing models. 
Resumo. Redes Neurais Quânticas surgiram como uma nova abordagem no 
campo da Computação Quântica, possuindo propriedades que permitem 
eliminar, em tese, os problemas dos paradigmas de Redes Neurais clássicas. 
Na última década, modelos de Redes Neurais Quânticas têm sido propostos, 
porém nem todos convergem quanto aos conceitos incorporados da Mecânica 
Quântica, nem tampouco quanto aos requisitos de hardware/software para 
sua implementação. Há também a carência de uma sistematização dos 
modelos com base em um conjunto de critérios consistentes. O objetivo deste 
trabalho é, portanto, apresentar o estado da arte em Redes Neurais Quânticas 
revisando e realizando uma análise comparativa entre os modelos existentes. 
 
1. Introdução 
É possível encontrar inúmeras evidências na literatura [Shor, 1997], [Deutsch, 1989], 
[Feynman, 1982], [Nielsen et al, 2000] de que a incorporação de conceitos quânticos 
pode minimizar ou eventualmente eliminar problemas inerentes aos modelos de 
computação clássica, uma vez que a Computação Quântica tem como principais 
características o processamento e a transmissão de dados armazenados em estados 
quânticos de uma forma muito mais eficiente que os modelos de computação 
convencionais. A Computação Quântica tem potencial de resolver problemas que são 
 2
considerados “intratáveis” por máquinas clássicas atuais, ou seja, solucionar problemas 
que ainda não foram resolvidos devido a grande dificuldade computacional. 
Podemos definir Computação Quântica como sendo o tipo de computação que 
utiliza a capacidade dos sistemas quânticos (coleção de partículas sub-atômicas) de 
estarem em vários estados ao mesmo tempo. Teoricamente, essas superposições 
permitem a realização de múltiplas computações simultaneamente. Dessa forma, essa 
capacidade, combinada com a interferência entre os estados, aumentam o poder 
computacional em relação às Máquinas de Turing. Problemas considerados intratáveis 
pela Computação Clássica, como a fatoração de grandes números inteiros, seriam 
rapidamente resolvidos por um computador quântico [Shor, 1997]. De um ponto de 
vista prático, os resultados de Shor [Shor, 1997] mostraram que um computador 
quântico pode violar a segurança das transações que utilizam o protocolo RSA, padrão 
para transações seguras na Internet. 
De uma forma geral, uma rede neural é um modelo desenvolvido com a 
finalidade de modelar o processamento que ocorre em estruturas neurais biológicas ao 
realizar uma tarefa particular ou uma determinada função delegada [Haykin, 1999]. 
Embora a gama de problemas que podem ser resolvidos com a ajuda de uma rede neural 
seja bastante grande, há limitações que impedem a resolução, de forma eficiente, de 
muitos desses problemas. Por exemplo, uma limitação refere-se ao tempo de 
treinamento de redes neurais, que, dependendo do algoritmo de aprendizagem 
(backpropagation, na maioria dos casos) tende a ser muito lento. Algumas vezes são 
necessários milhares de ciclos para se chegar a níveis de erros aceitáveis, 
principalmente se estiver sendo simulado em computadores seriais, pois o processador 
deve calcular as funções para cada unidade e suas conexões separadamente, o que pode 
ser problemático em redes muito grandes, ou com grande quantidade de dados. 
Considerando a natureza multidisciplinar e as limitações de Redes Neurais 
Artificiais, aliadas à hipótese de que as sinápses entre neurônios seriam mediadas por 
fenômenos quânticos [Penrose, 1994], foi natural o surgimento do interesse de 
pesquisas em Redes Neurais que incorporam conceitos de Física Quântica. Redes 
Neurais Quânticas é uma área promissora no campo da computação e informação 
quânticas. No entanto, ainda há pouco entendimento dos componentes essenciais de 
uma Rede Neural Artificial baseada em técnicas e conceitos quânticos [Gupta et al., 
2001]. 
Na última década, alguns modelos de Redes Neurais Quânticas foram propostos 
na literatura, porém nem todos convergem quanto aos conceitos incorporados da 
Mecânica Quântica, nem tampouco quanto aos requisitos de hardware ou software 
(algoritmos) necessários para sua implementação. É importante também destacar a 
carência de uma classificação ou sistematização dos modelos propostos com base em 
um conjunto de critérios consistentes, tais como: a forma de propagação e representação 
da informação, a organização em camadas, tipos de unidades de processamento e de 
conexões, tecnologias empregadas na implementação e custo. 
Como um trabalho relacionado, pode-se citar o artigo de Faber e Giraldi [Faber 
et al., 2004], o qual se propôs a apresentar uma visão geral da área de Redes Neurais 
Quânticas. Em uma espécie de união de conceitos, os autores mostram uma abordagem 
baseada em outros modelos já existentes [Gupta et al., 2001], [Behrman et al., 2000], 
sem, contudo, descrever outras abordagens (como os trabalhos referenciados em 
 3
[Altaisky, 2004], [Narayanan et al., 2000] e [Shafee et al., 2004]). Em um outro trabalho 
correlato, Ventura [Ventura et al., 2000] propõe uma introdução para o campo das 
Redes Neurais Quânticas, citando alguns modelos e conceitos fundamentais. Entretanto, 
não há descrições detalhadas dos modelos, assim como não existe uma análise 
comparativa entre os mesmos. 
O propósito do presente trabalho é, portanto, apresentar o estado da arte em 
Redes Neurais Quânticas, realizando uma análise comparativa entre os modelos 
existentes, a fim de que se possa extrair características comuns. Um estudo desta 
natureza é primordial à dinamização e desenvolvimento da área de Redes Neurais 
Quânticas, uma vez que, dispondo de uma análise comparativa, a proposta de um 
modelo de Redes Neurais Quântica consistente pode ser facilitada. 
Maiores detalhamentos com relação à implementação, seja ela via software ou 
hardware, não foram incluídos neste trabalho, visto que poucos modelos são simulados 
ou implementados, bem como a documentação necessária é insuficiente ou não está 
disponível. O artigo é estruturado da seguinte forma. Inicialmente, na Seção 2, são 
apresentados conceitos básicos de Computação Quântica, em linguagem introdutória, 
bem como as principais referências para estudos mais aprofundados. Logo após, na 
Seção 3, apresentamos os modelos de redes neurais quânticas encontrados na literatura, 
descrevendo-os brevemente. Em seguida, na Seção 4, mostramos o estudo comparativo 
entre os modelos estudados. Finalmente, a Seção 5 contém as conclusões. 
 
2. Princípios de Computação Quântica 
A Informação Quântica é uma área de pesquisa
abrangente que busca por avanços nos 
campos da Ciência e da Engenharia, e envolve teorias e modelos para aquisição, 
transmissão e processamento da informação através da utilização de princípios da 
Mecânica Quântica, tais como emaranhamento, superposição e decoerência, os quais 
serão apresentados nas próximas subseções. 
Nos primórdios da Computação Quântica na década de 1980, Feynman 
[Feynman, 1982], foi um dos primeiros que argumentaram sobre o desenvolvimento de 
computadores baseados nas leis da Mecânica Quântica com a finalidade de modelar 
efetivamente sistemas quânticos, já que máquinas clássicas não são capazes de fazê-lo 
eficientemente. Neste mesmo período, Deutsch [Deutsch, 1985], [Deutsch, 1989], 
levantou dúvidas a respeito de uma possível computação mais eficiente em um 
computador quântico em contraste à computação realizada por uma máquina clássica. 
Com essa questão a responder, ele gerou extensões da teoria da Computação Quântica 
com a noção de Computador Quântico Universal, Máquina de Turing Quântica 
[Deutsch, 1985] e com as Redes Computacionais Quânticas [Deutsch, 1989]. Pode-se, 
também, citar o desenvolvimento dos primeiros algoritmos quânticos no início da 
década de 1990 [Deutsch, 1992], [Shor, 1994], propostos para resolução de aplicações 
fundamentais (e.g., fatoração de grandes números inteiros), tais como a criptografia 
baseada no protocolo RSA. 
A Computação Quântica, subárea da Informação Quântica que trata mais 
especificamente do processamento da informação, objetiva tirar proveito da capacidade 
inerente dos sistemas quânticos de estarem simultaneamente em múltiplos estados. 
Dessa forma, várias computações podem ser realizadas ao mesmo tempo e de forma 
 4
independente. Para maiores detalhes, o leitor pode consultar o livro de Nielsen e 
Chuang [Nielsen et al, 2000], de onde foram obtidos os conceitos utilizados nessa seção. 
Alguns princípios são comumente utilizados para explicar o massivo poder 
computacional de um computador quântico. Dentre os vários princípios existentes, 
pode-se destacar o princípio da incerteza, o qual afirma ser impossível realizar a 
medição da velocidade e do momento de uma partícula ao mesmo tempo, além do 
princípio dos múltiplos universos, no qual um objeto pode existir em diferentes 
universos, onde cada universo representa um dos possíveis estados descritos pelo seu 
vetor de estados. 
A formalização matemática da Computação Quântica baseia-se na representação 
e manipulação de estados quânticos em um espaço de Hilbert, o qual pode ser definido 
como um espaço vetorial complexo e linear, munido de produto interno, e completo em 
relação à norma definida por esse produto interno. O espaço vetorial é complexo porque 
os componentes de um vetor de estado têm valores complexos, ou seja, são números do 
tipo a + bi, em que a e b são reais e i= 1− . É linear porque a soma de vetores e a 
multiplicação de vetores por números produzem vetores no mesmo espaço. 
Normalmente, os vetores nesse espaço obedecem à notação de Dirac, 
comumente utilizada na área, sendo representados através dos símbolos ϕ (bra) e ϕ 
(ket). Como na Computação Clássica, a Computação Quântica possui uma unidade 
elementar de informação, o qubit, definido como sendo a superposição de dois estados 
independentes 0 e 1 (base ortogonal), denotado por 10 β+α , onde α e β são números 
complexos tais que 122 =β+α . De uma forma geral, vetores de estado são definidos 
através de uma escolha particular de vetores bases e um conjunto de números 
complexos, os quais indicam as contribuições de cada componente base para o vetor de 
estado completo. Um sistema quântico simples de 2 estados pode, por definição, estar 
em um de dois possíveis estados. Conseqüentemente, o vetor de estado desse sistema 
tem exatamente 2 componentes 
Evidencia-se o interesse crescente em Computação Quântica devido as suas 
vantagens em relação à Computação Clássica (e.g., velocidade de processamento), 
aumentando, assim, o número de pesquisas na área, dentre elas: Circuitos, Redes 
Neurais e Comunicação Quânticas. 
A Computação Quântica é baseada em princípios da Mecânica Quântica, cuja 
teoria pode ser encontrada em diversos livros especializados [Feynman et al., 1965], 
[Nielsen et al, 2000]. Apresentaremos, a seguir, algumas idéias necessárias para um 
entendimento elementar da Computação Quântica. 
 
2.1. Superposição Linear 
Um fato interessante na Mecânica Quântica é a existência de partículas (fótons, elétrons, 
etc) em mais de um estado diferente ao mesmo tempo. Isto é chamado de fenômeno da 
Superposição Linear. Por exemplo, um estado 
2
10 + representa uma superposição de 
dois estados: 0 e 1 com probabilidade 
2
1
2
1
2
==P de estar em qualquer um dos dois 
estados. 
 5
Na realidade, quando se realiza uma medição, ou seja, quando se aplica uma 
observável (operador) ao estado, chega-se a um valor real representando o estado da 
partícula após a medição. Esta operação "colapsa" um estado de superposição em um 
estado simples, ou seja, o sistema, antes composto por diversos estados, será reduzido a 
um dos seus estados elementares possíveis. 
Do ponto de vista matemático, para criar um estado de superposição (ou seja, 
assumir diferentes estados ao mesmo tempo), são utilizados operadores lineares simples 
como o operador Hadamard, que recebe um qubit como entrada, e o coloca em estado 
de superposição. 
 
2.2. Emaranhamento 
Um sistema composto por partículas é dito emaranhado quando não é possível 
representar o seu estado como o produto tensorial1 dos estados componentes, ou seja, 
não podemos expressar o estado do sistema na forma de uma equação apropriada. 
Quando um estado composto de dois subsistemas está emaranhado, não podemos 
atribuir um estado quântico puro para cada subsistema sozinho. É possível escrevermos 
estados quânticos misturados para cada subsistema considerado sozinho. 
O emaranhamento consiste na necessidade de usar várias moléculas 
representantes independentes (na realidade, ortogonais) para cada um dos sistemas, 
juntamente com o fato desses representantes estarem associados (ou correlacionados) 
aos pares, um para cada sistema, com o mesmo autovalor (do auto-espaço do sistema). 
O emaranhamento é responsável por interessantes possibilidades relacionadas à 
Teleportação, Criptografia Quântica e Computação Quântica. 
Uma forma de produzir estados emaranhados é através da passagem de um feixe 
de luz (tipicamente um laser) através de um cristal não-linear. O feixe é dividido em 
dois outros feixes de comprimento de onda igual à metade do feixe original. Os fótons 
presentes nos dois feixes têm uma polarização bem definida, uma parte tem polarização 
vertical e a outra horizontal. Mas os fótons que estão nos dois pontos de intercessão 
entre os dois feixes estão correlacionados pela polarização, se um está com polarização 
vertical, o outro estará na polarização horizontal. Neste caso, estão emaranhados. A 
Figura 1 apresenta um pequeno esquema da criação de pares emaranhados, ou fótons 
gêmeos. 
 
Figura 1. Criação de pares emaranhados. 
 
1 O produto de Kronecker, ou produto tensorial, é útil para resolver equações lineares em que a incógnita 
é uma matriz. 
 6
2.3. Coerência e Decoerência 
Os fenômenos da coerência e decoerência estão intimamente ligados a superposição 
linear. Um sistema quântico é dito ser coerente se ele está em superposição linear de 
seus estados básicos. Por outro lado, decoerência é o processo pelo qual um sistema 
quântico decai para um estado clássico através de sua iteração com o ambiente, ou seja, 
há uma perturbação do sistema, reduzindo-o a um único estado. 
 
3. Modelos de Redes Neurais Quânticas 
Acredita-se que a Computação Quântica apresente grandes vantagens em relação à 
Computação
Clássica, podendo resolver ou minimizar uma série de seus problemas. 
Neste sentido, espera-se também que as Redes Neurais Quânticas possam apresentar 
vantagens em relação às Redes Neurais Clássicas. Dentre algumas das características 
atribuídas a Redes Neurais Quânticas, pode-se citar a capacidade exponencial de 
memória (resultante da possibilidade de uma partícula estar em mais de um estado ao 
mesmo tempo, aumentando, assim, a quantidade de informação que pode ser 
armazenada num sistema quântico) [Ventura et al., 1998], a rápida capacidade de 
aprendizagem (se os vetores de pesos forem representados como uma superposição 
linear de estados, o processo de aprendizagem de múltiplos padrões pode ocorrer 
paralelamente em cada um dos estados), a eliminação do problema do esquecimento 
catastrófico (sendo a rede treinada independentemente para cada novo padrão, não há o 
problema de esquecimento de padrões anteriormente aprendidos, na presença de novos 
padrões de treinamento), soluções utilizando redes de uma única camada para 
problemas linearmente inseparáveis [Menneer et al., 1995], dentre outros. 
Nos últimos anos, com o crescente interesse por Mecânica Quântica, o 
desenvolvimento de áreas a ela relacionadas tem sido intenso. Dessa forma, seguindo a 
mesma tendência, a área de Redes Neurais Quânticas tem sido fonte de vários trabalhos 
que exploram os conceitos e ferramentas da Mecânica Quântica para superar limitações 
e problemas existentes, propondo novos modelos e introduzindo novos conceitos. 
Existem opiniões bastante díspares sobre o que seja uma Rede Neural Quântica. 
Muitos pesquisadores aplicam suas próprias analogias e estabelecem conexões 
divergentes entre os conceitos relativos à Mecânica Quântica e às Redes Neurais 
Artificiais [Ventura et al., 2000], sintetizados na Figura 2. 
 
Mecânica Quântica Redes Neurais Artificiais 
Função de Onda Neurônios 
Superposição (coerência) Interconexões 
Medição (decoerência) Evolução 
Emaranhamento Regra de aprendizagem 
Transformações unitárias Função de ativação 
 
Figura 2. Conceitos da Mecânica Quântica versus Conceitos de Redes 
Neurais Artificiais. 
 
Ainda não há, a princípio, uma correspondência direta entre os conceitos 
apresentados na figura acima. Na verdade, a tarefa de estabelecer uma analogia entre os 
conceitos é uma das tarefas mais árduas no momento de concepção de modelos de 
? 
 7
Redes Neurais Quânticas [Ventura et al., 2000]. Portanto, a área carece de uma 
organização do conhecimento. Atualmente, não há nenhum trabalho que realize uma 
análise dos principais modelos propostos e sugira uma classificação baseada em um 
conjunto de atributos escolhidos. Com este objetivo, realizamos uma pesquisa dos 
modelos de Redes Neurais Quânticas mais conhecidos na literatura. Nas subseções 
seguintes, uma breve descrição dos modelos coletados e analisados será apresentada. 
 
3.1. Implementação via Dispositivos Ópticos 
A abordagem proposta por Altaisky [Altaisky, 2004] sugere a implementação de uma 
rede neural baseada nos princípios da Informação Quântica, uma vez que Feynman 
[Feynman, 1982] propôs que computadores quânticos poderiam ter maior poder 
computacional do que máquinas clássicas de Turing. Assume-se a possível 
implementação em hardware [Knill et al., 2001], através de instrumentos ópticos (beam 
splitters, phase shifters, photon sources e photo detectors). O autor utiliza operadores 
lineares, apontando uma dificuldade em implementar operadores não-lineares em 
equipamentos ópticos. 
 Utilizando o perceptron como modelo clássico como analogia, e considerando 
um sistema quântico com n entradas n21 x,,x,x K , a saída y é dada por: 
∑
=
=
n
1j
jj xwˆFˆy 
em que as saídas ( y ) e as entradas ( jx ) são consideradas estados quânticos. Os pesos 
sinápticos são substituídos por matrizes 2×2 ( jwˆ ) de variáveis complexas que atenuam 
o sinal e mudam a fase do feixe, atuando nas bases ( 0 , 1 ). O autor insere, na equação 
acima, o operador desconhecido Fˆ , implementado por portas quânticas lógicas. A regra 
de aprendizagem é dada por: 
jjj x)y(t)dη((t)wˆ1)(twˆ −+=+ 
em que d é a saída desejada. 
 
3.2. Implementação via Circuitos Quânticos 
Esta abordagem de Gupta [Gupta et al., 2001] é baseada no modelo de redes 
computacionais quânticas, que consiste em uma máquina computacional formada por 
portas quânticas que realizam passos computacionais sincronizados (modelo de Deutsch 
[Deutsch, 1989]), ou seja, a mesma informação pode ser processada simultaneamente 
em mais de uma porta quântica, não afetando o resultado final da computação. Na 
Figura 3, estão representados alguns dos elementos que compõe as redes 
computacionais quânticas de Deutsch. 
 8
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Componentes do modelo de redes computacionais quânticas de 
Deutsch (adaptação de [Gupta et al., 2001]). 
 
Como em um modelo de Deutsch, ilustrado na Figura 3, o modelo proposto 
possui portas quânticas interconectadas por “fios”. Utilizam-se portas sources (porta 
quântica que gera qubits) e sinks (meio pelo qual o qubit deixa o sistema), além do 
operador unitário reversível. As unidades computacionais no modelo de Deutsch são as 
portas quânticas nas quais entradas e saídas são qubits. Para isso, propõe uma porta 
inversível e não-linear, o operador D-gate (D(m,δ) – limiar δ quando aplicado a um 
sistema com n ≥ m qubits). A porta D-gate pode ser interpretada como um operador que 
envolve estados gerais em torno de um simples (estável) estado m0 . Assim, esta porta 
não pode ser utilizada em um sistema isolado onde o único operador permitido é unário. 
Define-se o comportamento do operador D-gate da seguinte forma: seja o estado dos m 
qubits representados por números binários de 0 até 2m – 1 (ou, equivalentemente, strings 
binárias 0m até 1m); as amplitudes de probabilidade antes e depois da aplicação do 
operador D-gate são )jA( e )j(A' , respectivamente, ou seja, 
 
c0'A0A
00'A0A
mm
mm
=⇒δ>
=⇒δ<
 
 
em que a amplitude de probabilidade c denota uma constante usada para codificação. 
Por exemplo, se um sistema consiste de n qubits, então n
mA
2
1)0´( = é suficiente 
para o caso δ>)0( mA . Nesse caso, o limiar δ é escolhido tal que n210 <δ< . 
Verifica-se um comportamento semelhante à função threshold (limiar), bastante comum 
nas Redes Neurais Clássicas. 
O autor especula sua possível implementação, definindo uma rede neural 
quântica RNQ(s(n),d(n)) de precisão p(n) como um circuito de altura s(n) e 
comprimento d(n), construída a partir de portas D e U de precisão p(n). Altura denota o 
número de qubits em um circuito e comprimento denota a maior seqüência de portas da 
entrada até a saída. Altura, comprimento e precisão são importantes medidas de 
complexidade teórica que quantificam vários aspectos da computação. Na Figura 4, 
mostra-se um exemplo de tal rede. 
U
 
0
1
Operador Unitário Local Source Gates Sink Gate 
 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Uma Rede Neural Quântica de altura 5 e comprimento 4 
(adaptação de [Gupta et al., 2001]). 
 
O trabalho não apresenta resultados de experimentos de simulação do modelo 
proposto. Além dessa restrição, o modelo carece de uma descrição mais detalhada, já 
que o trabalho dá ênfase maior ao operador D-gate. Verifica-se, também, a inexistência 
da porta quântica introduzida no trabalho (D-gate) em simuladores de Portas Quânticas, 
o que limita possíveis simulações. 
 
 
3.3. Implementação via Quantum Dot Molecules 
A abordagem de Behrman [Behrman et al., 2000] explora simulações de redes neurais 
quânticas a partir de arrays de Quantum Dot Molecules2 (Figura 5), tecnologia que está 
bem dominada na indústria de semi-condutores. 
 
 
 
 
 
Figura 5. Um grupo de quatro moléculas pode ser depositado em um 
arranjo como pontos
em um dado (adaptação de [Behrman et al., 2000]) 
 
Assim, o trabalho mostra que uma simples Quantum Dot Molecule pode atuar 
como uma rede neural quântica temporal, pois as saídas resultantes do processamento 
da rede neural dependem do tempo no qual foram observadas. As entradas são inseridas 
fixando os estados iniciais de uma Quantum Dot Molecule e as saídas são verificadas 
através da leitura de seus valores em um tempo T. Como mostrado na Figura 6, as 
unidades de processamento são os estados da molécula (Quantum Dot Molecule) em 
sucessivos intervalos de tempo. Os nós são excitados usando de feixes de luz e depois, 
controlados externamente. Uma vez que a rede neural quântica tem seu comportamento 
modificado de acordo com o número de excitações, influenciando na aprendizagem, a 
quantidade de excitações pode servir como parâmetro de “peso” das sinapses. 
Utilizando o princípio de superposição de estados, múltiplas entradas podem ser 
codificadas em um único estado. Na Figura 6 também são apresentadas algumas 
 
2 Quantum Dot Molecules são pequenas regiões ou ilhas em um semicondutor compostas por um número 
de elétrons, ocupando estados quânticos discretos e bem-definidos. Se tais regiões no semicondutor estão 
muito próximas umas das outras, o excesso de elétrons pode fluir entre as ilhas (Behrman et al., 2000). 
U1 
 D(2,δ) 
 U2 
 D(2,δ) 
q1 
q2 
q3 
q4 
q5 
 10
iterações entre estados não seqüenciais, uma vez que nesse modelo não podemos 
afirmar se há uma propagação progressiva ou retroativa da informação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Representação da discretização de uma simples Quantum Dot 
Molecule interagindo com seu ambiente (adaptação de [Behrman et al., 
2000]). 
 
Os autores realizaram experimentos, através da implementação de seu modelo 
via hardware, utilizando uma simples Quantum Dot Molecule, tendo obtido resultados 
satisfatórios na simulação de duas portas lógicas clássicas: OR e AND. Após cerca de 
14.000 iterações (ou épocas de treinamento), o erro de aproximação das saídas da porta 
OR convergiu para 0.01%. No caso da porta AND, o erro convergiu para o mesmo 
patamar após 18.000 iterações. 
 
3.4. Baseado na Experiência da Dupla Fenda 
Esta abordagem de Narayanan [Narayanan et al., 2000] baseia-se na arquitetura da 
experiência da dupla fenda, que, segundo os autores, provê a base para redes neurais 
quânticas gerais. Os autores definiram uma arquitetura exemplificada na Figura 7, que 
assume as fendas como neurônios de entrada; as conexões entre a camada de entrada e a 
próxima camada são as ondas criadas pelo padrão, agora em superposição. As unidades 
de saída constituem o detector que reflete o padrão de chegada. 
 
 
 
Figura 7. Versão moderna do experimento da dupla-fenda de Young (figura 
adaptada de [Narayanan et al., 2000]). 
 11
Os pesos podem ser modificados inserindo filtros de mudança de fase. Podemos 
traçar uma arquitetura genérica em vários níveis. Para uma rede de duas camadas, 
podemos ter quatro componentes quânticos, gerando 16 tipos de redes neurais (entre 
quânticas e não-quânticas). Os quatro componentes citados (ver Figura 8) são: conexões 
de entrada para camada escondida, unidades escondidas, conexões da camada 
escondida para a de saída, e unidades de saída. Uma Rede Neural Artificial Quântica é 
definida como sendo uma rede que possui pelo menos um componente quântico. Cada 
padrão de treinamento é memorizado por um componente e apenas um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Uma rede neural quântica de duas camadas (adaptação de 
[Narayanan et al., 2000]) 
Como cada padrão de treinamento possui seu próprio componente, não há 
interferências entre os padrões durante o treinamento. Os componentes podem ser 
treinados através de duas formas: um conjunto de redes neurais clássicas que depois são 
combinadas em uma superposição; ou uma superposição das redes, sendo que esta 
última é mais eficiente, uma vez que haveria apenas uma mudança dos pesos. 
Uma Rede Neural Artificial Quântica é construída através da superposição dos 
pesos de cada componente. Os pesos do mesmo componente são emaranhados entre si 
de tal forma que, quando há colapso de um peso de um determinado componente, todo 
link sofre um colapso para os pesos daquele componente. Após treinar cada rede com 
apenas um único padrão de entrada, o padrão de teste é propagado pela rede e o 
resultado é comparado com o padrão de treinamento de cada universo. Se o resultado 
“casa”, então a fase do peso apropriado sofre uma rotação para aumentar a 
probabilidade de sofrer colapso. Caso contrário, o peso permanece o mesmo. Após essa 
fase, os pesos de cada componente são indexados por coeficientes, que dependem do 
inverso da diferença entre o valor de teste e o valor de treinamento. Depois, os 
coeficientes são somados e a Rede Neural Artificial Quântica sofre colapso para aquele 
componente que obteve maior soma. 
 
3.5. Implementação via Portas C-Not 
Uma porta C-Not (controlled NOT) é uma porta quântica com dois qubits de entrada, 
onde o primeiro qubit é conhecido como qubit de controle e o segundo como qubit alvo. 
Os dois qubits podem assumir qualquer um dos estados 0 ou 1 . Quando o primeiro 
padrões 
evolução 
unitária/ 
emaranhamento 
Conexões camadas entrada-escondida: clássicas/quânticas
Unidades escondidas: clássicas/quânticas
Conexões camadas escondida-saída: clássicas/quânticas
Unidades de saída: clássicas/quânticas
 12
qubit está no estado 1 então o segundo qubit troca de estado, ou seja, passa para o 
estado 1 se estava no estado 0 e vice-versa. Se o primeiro qubit está no estado 0 
então nada acontece, a saída da porta é igual à entrada. A porta C-Not é representada 
como na Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Representação para a porta controlled-NOT. A linha de 
cima representa o qubit de controle e a linha de baixo representa o qubit 
alvo. 
 
Shafee [Shafee et al., 2004] propõe uma Rede Neural Artificial Quântica onde os 
neurônios são qubits com estados determinísticos e operadores quânticos substituindo as 
funções de ativação. Dependendo da utilização de um threshold, o sistema pode mostrar 
oscilações periódicas como também oscilações correntes com uma certa periodicidade. 
Neste modelo, um neurônio recebe um estímulo da vizinhança, e quando seu próprio 
potencial excede o threshold, ativa toda a sua vizinhança. 
Em um processo quântico, todas as transições devem ser designadas por um 
operador unitário. Assim, ocorrem transformações unitárias que realizam rotações no 
estado de um vetor de um qubit. Em suma, o trabalho apenas propõe uma prévia de um 
modelo de neurônios integrados e excitados como qubits sendo interconectados com os 
vizinhos mais próximos através de portas C-Not (controlled NOT, que funciona como 
uma porta condicional para os dois estados do qubit). 
 
4. Análise Comparativa 
No geral, os modelos descritos anteriormente apresentam características como: 
tratamento da informação de diversas maneiras, arquitetura baseada em Redes Neurais 
Clássicas ou uma organização bem peculiar, apresentam diferentes formas de 
processamento da informação e são implementadas de formas distintas. 
A seguir, apresentamos os critérios utilizados na comparação dos modelos 
definindo cada um deles. Esses critérios foram escolhidos segundo as características 
básicas de uma rede neural como: camadas, unidades de processamento, tipos de 
conexões, etc. 
 
4.1. Critérios de Comparação 
Para se ter informações mais objetivas sobre os modelos examinados, foram definidos 
alguns critérios de classificação, e realizadas comparações entre os vários modelos com 
base nesses critérios. Decidimos classificar os critérios segundo certas perspectivas 
 13
sobre os modelos: tratamento da informação, arquitetura, unidade de processamento e 
implementação. 
O tratamento da informação diz respeito a como a informação é tratada na rede 
neural. Utilizamos dois critérios, tais como: Representação da Entrada para indicar qual 
o tipo da informação (vetor real, vetor complexo) utilizada pela rede neural quântica e 
Propagação, que indica como é o processo de propagação da informação desde o início 
da rede até a saída. 
A Arquitetura refere-se à maneira como estão dispostos os elementos de 
processamento em uma dada rede neural quântica. Utilizamos dois critérios na análise: 
As Camadas indicam se as unidades de processamento da rede neural quântica estão 
dispostas em camadas compostas (mais de uma camada) ou simples (somente uma 
camada), e as Conexões indicam a forma como as unidades de processamento estão 
conectadas entre si (referente aos pesos sinápticos em redes neurais clássicas). 
O processamento realizado pela rede neural quântica diz respeito ao modo de 
tratamento da informação e os elementos que realizarão toda a manipulação necessária 
da informação. O critério utilizado foi Unidade de Processamento que indica qual é o 
elemento de processamento da informação da rede neural quântica (equivalente ao 
neurônio da rede neural clássica). 
A Implementação diz respeito às possibilidades de simulação ou construção do 
modelo de rede neural proposta, segundo os autores. Utilizamos dois critérios na 
análise: Tecnologia, que indica qual a forma para implementação do modelo proposto, 
isto é, se é via software (simulação) ou hardware, e Custo, que indica se o custo de 
implementação é acessível ou não. 
Todos os modelos que possuem alguma forma de implementação relatam 
simulações com exemplos e resultados descritos. Convém lembrar que nenhum modelo, 
com exceção de Narayanan [Narayanan et al., 2000], descreve, de forma minuciosa a 
implementação do modelo, seja ela via software ou hardware. 
O valor real assumido pelas conexões de Behrman [Behrman et al., 2000] 
corresponde ao número de excitações ópticas dos nós. Embora cite as conexões entre os 
elementos de processamento, não evidencia seu papel de comunicação entre esses 
elementos. 
Cabe lembrar que, em Narayanan [Narayanan et al., 2000], os autores abrem 
espaço para duas possíveis simulações: uma apenas implementável em computadores 
quânticos e outra utilizando redes neurais clássicas. Apenas a última é considerada para 
nosso estudo, uma vez que a primeira não é passível de implementação tendo em vista a 
tecnologia atual, segundo os autores. 
As informações levantadas sobre os modelos de Redes Neurais Quânticas se 
encontram na Tabela 1. 
 
 14
Tabela 1. Análise comparativa dos modelos de Redes Neurais Quânticas. 
Arquitetura Implementação Modelos / 
Critérios 
Representação 
da Entrada Propagação Camadas Conexões 
Unidade de 
Processamento Tecnologia Custo 
Dispositivos 
Ópticos 
Vetor de 
estados 
complexo 
Progressiva Múltiplas camadas 
Portas 
Quânticas 
Portas 
Quânticas 
Hardware 
Aquisição 
de 
instrumentos 
óticos. 
Alto 
Circuitos 
Quânticos 
Vetor de 
estados 
complexo 
Progressiva Camada simples 
Ligações 
diretas 
Portas 
Quânticas 
Software 
Necessita 
apenas de 
simuladores 
de circuitos 
quânticos 
com porta 
D-gate. 
Baixo 
Quantum 
Dot 
Molecules 
Vetor de 
estados 
complexo 
 
Indeterminada 
(Progressiva 
ou Retroativa) 
Múltiplas 
camadas 
Valores 
reais 
Estado 
Quântico 
Temporal 
Hardware 
Domínio da 
tecnologia 
de Quantum 
Dot 
Molecules, 
já utilizada 
na pesquisa 
com 
condutores. 
Alto 
Experimento 
Dupla Fenda Vetor real Progressiva 
Camada 
simples 
Valores 
reais Neurônio 
Software 
Necessita 
apenas de 
simuladores 
de redes 
neurais 
clássicas. 
Baixo 
Porta 
C-NOT 
Vetor de 
estados 
complexo 
Progressiva Múltiplas camadas 
Portas 
Quânticas Qubit 
Software 
Necessita 
apenas de 
simuladores 
de circuitos 
quânticos. 
Baixo 
 
 
4.2. Discussão 
Observando as características apresentadas pelos diversos modelos considerados, temos 
uma idéia da diversidade de implementação, processamento, entre outros aspectos. A 
seguir, é apresentada uma análise comparativa com base nos critérios estabelecidos e 
nas características apresentadas na Tabela 1. 
 
4.2.1. Tratamento da Informação 
No tocante à representação da entrada, todos os modelos de Redes Neurais Quânticos 
descritos e analisados, com exceção de Narayanan [Narayanan et al., 2000], 
representam a informação através de um vetor complexo. Mais precisamente, todos 
citam o qubit como unidade de informação. Em Behrman [Behrman et al., 2000], por 
exemplo, o qubit é utilizado para representar o estado de uma Quantum Dot Molecule. 
Narayanan [Narayanan et al., 2000] utiliza vetor real uma vez que seu modelo utiliza 
pequenas variações de elementos existentes nas redes neurais clássicas, e, portanto, a 
mesma natureza de informação. 
 15
Quanto à propagação, todas os modelos apresentam propagação progressiva da 
informação, isto é, a informação segue o percurso da entrada à saída, sem retorno algum 
durante o seu processamento. Podemos associar tal característica, às redes feedforward 
clássicas. Com exceção do modelo de Behrman [Behrman et al., 2000], o qual os 
autores afirmam que não se pode definir para um instante t a forma de propagação da 
rede, podendo ser tanto progressiva quanto retroativa. 
 
4.2.2. Arquitetura 
Assim como redes neurais clássicas, os elementos de processamento podem estar 
dispostos em formas de camadas ou não. Caso a rede possua, além da camada de 
entrada e saída, outras camadas, evidencia-se um aumento do potencial do 
processamento. Altaisky [Altaisky, 2004], Behrman [Behrman et al., 2000] e Shafee 
[Shafee et al., 2004] apresentam apenas camada de entrada e de saída, e os demais 
apresentam mais camadas. Devido à carência de simulações de todos os modelos, de 
forma completa e detalhada, não podemos inferir a relação direta entre número de 
camadas e poder de processamento. 
Em relação às conexões, verificamos que seu conceito em redes neurais 
quânticas pode variar desde apenas um simples conector de elementos de 
processamento que não exerce nenhuma função no processamento da informação 
(Gupta [Gupta et al., 2001] e Faber [Faber et al., 2004]) até conexões que possuem 
pesos (Behrman [Behrman et al., 2000] e Narayanan [Narayanan et al., 2000]), tal como 
o conceito de pesos sinápticos das redes neurais clássicas. Cabe também lembrar que 
Altaisky [Altaisky, 2004] e Shafee [Shafee et al., 2004] possuem, como conexões, 
operadores (portas quânticas) que modificam o estado da informação propagada ao 
longo da rede neural quântica. 
 
4.2.3. Processamento 
As unidades de processamento assumem diferentes formas. É dúbia a definição de 
Shafee [Shafee et al., 2004] quanto ao seu elemento de processamento (qubit), uma vez 
que anteriormente fora definido o vetor complexo como tipo de informação e, logo 
após, considera o mesmo elemento da natureza da informação como elemento de 
processamento da informação. Narayanan [Narayanan et al., 2000] possui, como 
elemento de processamento o próprio neurônio oriundo das redes neurais artificiais 
clássicas. Apenas Altaisky [Altaisky, 2004], Gupta [Gupta et al., 2001] e Faber [Faber 
et al., 2004] apresentam, como elemento de processamento, o operador quântico (porta 
quântica). Behrman [Behrman et al., 2000] possui um peculiar processador: o estado de 
uma Dot Molecule no tempo T. Isso significa que apenas uma única Dot Molecule pode 
ser considerada uma rede neural quântica. 
 
4.2.4. Implementação 
No tocante à tecnologia, com exceção de Altaisky [Altaisky, 2004], todas as demais 
redes apresentam alguma forma
de implementação, segundo os autores. Embora nem 
todos as implementações sejam explicitamente descritas, podemos conhecê-las, sem 
muitos detalhes, através dos relatos de simulação produzidos ao longo do trabalho. 
Gupta [Gupta et al., 2001] não apresenta nenhuma simulação, contudo podemos 
 16
concluir que a implementação pode ser realizada através de um simulador de portas 
quânticas que possua a porta D-gate implementada. 
Evidencia-se o baixo custo de implementação dos modelos que utilizam, como 
forma de implementação, o software, já que se dispõe de vários simuladores de circuitos 
quânticos acessíveis (ver alguns exemplos em [Wallace, 1999], [Eck 2000], [Watanabe, 
2003]). Os modelos que são implementados via hardware são, em sua totalidade, caros, 
pois se torna necessária à aquisição de aparelhos [Altaisky, 2004], ou domínio de 
tecnologia até então desconhecida [Behrman et al., 2000]. 
 
 
5. Conclusões 
Sendo uma área relativamente nova, o campo de Redes Neurais Quânticas ainda não 
possui resultados concretos o suficiente para podermos comprovar na prática as 
possíveis vantagens das Redes Neurais Quânticas em relação às Redes Neurais 
Clássicas. Embora já existam pesquisas em Redes Neurais Quânticas, ainda não há 
consenso na comunidade em relação às características gerais e forma de implementação 
de uma Rede Neural Quântica. 
Alguns modelos apresentados possuem apenas descrições teóricas, necessitando 
assim, de resultados concretos, ou seja, simulações. Alguns dos modelos que dispõem 
de alguma simulação, ainda precisam de recursos tecnológicos avançados (e.g., 
[Behrman et al., 2000]). Existem também modelos que não estão suficientemente 
documentados (e. g., [Gupta et al., 2001] e [Shafee et al., 2004]). Dessa forma, a 
concepção de modelos de Redes Neurais Quânticas torna-se uma tarefa difícil. 
É importante destacar a carência de uma classificação ou sistematização dos 
modelos propostos com base em um conjunto de critérios consistentes. O presente 
trabalho, portanto, traz uma importante contribuição na medida em que apresenta e 
discute o estado da arte em Redes Neurais Quânticas, realizando uma análise 
comparativa entre os modelos existentes, a fim de que se possam extrair características 
comuns, identificar eventuais problemas e um possível rumo promissor para a 
concepção de um modelo mais concreto. 
Dando continuidade às pesquisas conduzidas, nossa próxima tarefa será propor 
um modelo de Rede Neural Quântica, a partir da análise dos modelos aqui apresentada. 
Concluímos que a implementação via Circuitos Quânticos é o modelo mais promissor 
por dois motivos: primeiro, já há uma suficiente experiência nesta área e, segundo, há a 
viabilidade de simulação, pois já existem muitos simuladores de Circuitos Quânticos 
desenvolvidos. 
 
 
Agradecimentos 
 
Agradecemos ao professor Aércio Ferreira de Lima pelos valiosos esclarecimentos e 
sugestões na produção desse artigo. 
 
 
 
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