2010-1_ListaTeorica2-GABARITO

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2010.1 
 
Lista Teórica 2 - GABARITO 
 
SEÇÃO 1 
 
1. De acordo com a “hipótese de eficiência dos mercados” (HEM), nenhuma informação disponível 
antes do período t deveria ajudar a prever o retorno de um ativo no período t. Definindo o 
retorno do índice do Ibovespa como y, a HEM implica que: 
( ) ( )tttt yEyyyE =−− ,...,| 21 
Supondo que a HEM seja válida, qual deve ser o valor do coeficiente associado a yt-1 na 
regressão de yt em uma constante e em yt-1? Você espera que o estimador de MQO seja 
consistente nessa regressão? Não-viesado? 
[Dica: veja os Exemplos 11.3 e 11.4 do Wooldridge] 
 
RESPOSTA: 
O valor do coeficiente de y(t-1) deveria ser 0 na regressão de yt em y(t-1) e uma constante. 
MQO será viesado nessa regressão, pois a hipótese de exogeneidade estrita é violada, mas é 
provável que seja consistente, pois espera-se que os choques que afetam o retorno em t não 
estejam sistematicamente relacionados aos choques que determinam o retorno em t-1. Veja a 
resposta da próxima questão para maiores detalhes sobre as condições para 
consistência/ausência de viés. 
 
2. Para cada um dos casos abaixo, quais você espera que sejam as propriedades do estimador de 
MQO (em termos de ausência de viés e consistência)? 
Variável dependente Regressores (além da constante) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1 e t-2) 
 
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RESPOSTA: 
A condição básica para ausência de viés do estimador de MQO é a exogeneidade estrita dos regressores: 
E(ut|X)=0 (isto é, independência entre ut e os x observados em qualquer ponto do tempo). Para o 
estimador ser consistente, é necessária a exogeneidade contemporânea dos regressores: E(ut|xt)=0 (na 
verdade é suficiente que cov(ut,xt)=0), além de dados fracamente dependentes/estacionários. Assim, a 
resposta à questão depende do tipo de relação que acreditemos existir entre a taxa de câmbio real e os 
outros determinantes das exportações que se encontram “escondidos” no erro da regressão (u). 
Na minha opinião, o estimador de MQO será viesado em todos os casos citados. No caso 1, isso decorre 
da idéia de que o câmbio depende das exportações – ou seja, existe na economia uma equação na qual a 
variável dependente é o câmbio e, entre as variáveis explicativas, encontram-se as exportações – de modo 
que há “viés de simultaneidade” (que vocês aprenderam em Econometria): correlação entre ut e o câmbio 
em t. No caso 2, haverá viés caso algum choque que afete as exportações em t acabe afetando também o 
câmbio em t+1 ou t+2 etc., o que também parece bastante provável – por exemplo, o aumento 
contemporâneo das exportações pode aumentar a “solvência” do país, permitindo que nos períodos 
seguintes o país absorva mais capital externo, o que deve afetar o câmbio observado. Nos casos 3 e 4 
temos entre os regressores a variável dependente defasada, de modo que a condição de exogeneidade 
estrita é necessariamente violada (ut afeta yt, que é o valor do regressor yt-1 no período seguinte; logo, há 
correlação entre ut e o regressor no período seguinte) – e, portanto, MQO é viesado. Notem a diferença no 
que acabo de dizer: nos casos 1 e 2 MQO provavelmente é viesado, enquanto nos demais casos MQO é 
necessariamente viesado. 
No que se refere à consistência do estimador, sabemos que, no caso 1, o estimador será consistente se 
cov(ut,câmbio em t)=0. Isso é razoável? Provavelmente não, pela mesma razão apontada acima 
(correlação entre ut e o câmbio em t associada à endogeneidade contemporânea do câmbio em relação às 
exportações). No caso 2, tudo que precisamos para consistência de MQO é que os choques ut não 
dependam do que ocorreu com o câmbio no período anterior (t-1), o que parece mais provável do que a 
condição do caso 1 – afinal, mesmo que o câmbio em t dependa das exportações em t, isso não afetaria a 
consistência do estimador. Os casos 3 e 4 são semelhantes ao caso 2, pois incluem o câmbio defasado e 
não contemporâneo. Entretanto, há uma complicação adicional: caso a equação não capte adequadamente 
a dinâmica das exportações, é possível que tenhamos erros autocorrelacionados, o que implica, como 
visto em sala de aula, correlação entre ut e o valor defasado da variável dependente, e portanto 
inconsistência do estimador de MQO. Nesse sentido, tendo em vista que o caso 4 inclui uma defasagem a 
mais da variável dependente, permitindo captar uma dinâmica mais rica, nesse caso é mais provável que o 
erro não seja autocorrelacionado, e portanto que MQO não seja inconsistente. 
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3. Um economista deseja analisar a relação entre as taxas de crescimento do salário real e do nível de 
emprego na indústria brasileira, representadas por sal e emp, respectivamente. Os gráficos dessas séries 
no período 2000.1-2005.8 são apresentados abaixo: 
 
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
2000 2001 2002 2003 2004 2005
SAL
-.008
-.004
.000
.004
.008
.012
2000 2001 2002 2003 2004 2005
EMP
 
Inicialmente, o economista estima por MQO, para o período acima, os seguintes processos auto-regressivos 
para sal e emp (estatísticas-t entre parênteses): 
 
 
ttt usalsal 11
)07,2()76,1(
ˆ247,0003,0 ++=
−
 (1) 
obs = 67; R2 = 0,07; Durbin-Watson = 2,06 
 
 
ttt uempemp 21
)42,6()72,1(
ˆ63,0001,0 ++=
−
 (2) 
obs = 67; R2 = 0,39; Durbin-Watson = 2,21 
 
 
a) A partir dos gráficos e das estimações acima, você diria que as séries em questão parecem 
realizações de processos estocásticos estacionários? Justifique. 
 
b) “Os valores da estatística de Durbin-Watson nas regressões acima permitem concluir que os erros 
não são auto-correlacionados”. Comente. 
 
c) Os estimadores de MQO das equações acima são não-viesados? 
 
Em seguida, o economista estima por MQO as seguintes equações, tendo como variáveis dependentes os 
resíduos das equações (1) e (2): 
 
tttt usalu 31121101 ˆˆ εδδδ +++= −− (3) 
tttt uempu 41221102 ˆˆ εγγγ +++= −− (4) 
 
Com base nos resultados da estimação de (3) e (4), o economista conclui que: 
 
(I) sal parece bem representado por um modelo AR(1), mas para emp possivelmente um modelo AR(2) seria 
mais adequado; 
 
(II) o estimador de MQO do coeficiente auto-regressivo na equação (2) é inconsistente. 
 
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d) Qual pode ter sido o objetivo da estimação das equações (3) e (4)? Que tipo de resultado teria levado 
o economista às conclusões (I) e (II) acima? 
 
Finalmente, o economista estima (sempre por MQO) duas regressões relacionando as taxas de crescimento 
do salário real e do nível de emprego (estatísticas-t entre parênteses): 
 
ttt uempsal 5
)52,2()01,1(
ˆ919,0001,0 ++= (5) 
obs = 67; R2 = 0,089; Durbin-Watson = 1,64 
 
ttt uempsal 61
)42,2()96,0(
ˆ899,0001,0 ++=
−
 (6) 
obs = 67; R2 = 0,083; Durbin-Watson = 1,66 
 
e) Você espera que os estimadores de MQO das equações (5) e (6) sejam não-viesados? Consistentes? 
 
RESPOSTA: 
(a) Sim. De acordo com os gráficos, as séries aparentam flutuar em torno de uma média 
aproximadamente constante, com variância também aproximadamente
constante. Além disso, as 
estimações (1) e (2) apresentam coeficientes autoregressivos com valor absoluto significativamente 
menor do que 1, o que também aponta na direção da estacionariedade. 
 
(b) A afirmativa é falsa. O teste de DW só é válido na presença de regressores estritamente exógenos – 
condição claramente violada nas equações acima, que incluem a variável dependente defasada. 
 
(c) Não. O estimador de MQO só pode ser não-viesado na presença de regressores estritamente exógenos – 
condição violada nas equações acima, como dito no item anterior. 
 
(d) O economista desejava testar a hipótese nula de ausência de correlação serial nos erros das equações (1) e 
(2). No caso da equação (1), essa hipótese equivale a δ2=0; provavelmente essa hipótese não foi rejeitada, 
levando à conclusão de que o modelo AR(1) da equação (1) captou adequadamente a autocorrelação presente 
na série de salário [primeira parte da conclusão I]. No caso da equação (2), a hipótese de ausência de 
correlação serial nos erros equivale a γ2=0; provavelmente essa hipótese não rejeitada, levando à conclusão 
de que o modelo AR(1) da equação (1) não captou adequadamente a autocorrelação presente na série de 
emprego, sendo necessária a inclusão de pelo menos mais um termo autoregressivo na equação [segunda 
parte da conclusão I]. Dado que, na presença de erros autocorrelacionados, MQO será inconsistente em 
modelos que incluem a variável dependente defasada como regressor, conclui-se que MQO é inconsistente 
na equação (2) acima [conclusão II]. 
 
(e) A condição básica para ausência de viés do estimador de MQO é a exogeneidade estrita dos regressores: 
E(ut|X)=0. Para o estimador ser consistente, é necessária a exogeneidade contemporânea dos regressores: 
E(ut|xt)=0, além de dados fracamente dependentes/estacionários. Possivelmente ambas as condições são 
violadas na equação (5), caso salário e emprego sejam determinados simultaneamente – havendo, assim, 
correlação entre u5t e o regressor empt. Na equação (6), a exogeneidade estrita continuaria sendo violada, 
pois u6t seria correlacionado com empt (que o valor do regressor empt-1 no período t+1); mas é razoável que 
não haja correlação entre u6t e empt-1, de modo que o estimador poderia ser consistente. 
 
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4. Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
 
pipiλpi tEttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +−= − )( 1 piγ (2) 
1−= t
E
t pipi (3) 
)( pipiρ −+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 média com i.i.d. choques"" ,
)(constante inflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
≥<<−<<
=
=
=
=
=
=
=
ργλ
pi
pi
pi
pi y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para o coeficiente ρ na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
(c) Um economista (que não conhece o “verdadeiro” modelo da economia apresentado acima) deseja 
estimar a relação entre inflação e hiato do produto, por MQO, a partir da seguinte regressão: 
 
ttt ey ++= 10 ββpi 
 
Na sua opinião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
(d) Um segundo economista (que também não conhece o “verdadeiro” modelo da economia) decide 
estimar por MQO a seguinte equação: 
 
tttt ey +++= −1210 piβββpi 
 
Na sua opinião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
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RESPOSTA: 
(a) Você deve usar as equações (2), (3) e (4) para reescrever a equação (1) em função de 
defasagens da inflação, dos choques u e de termos constantes (como a meta de inflação etc.), 
chegando a um AR(1): 
( )
( )
piλ
ρλγφ
piρλγφ
piφφpi
t
y
tt
ttt
uue
i
onde
e
+=
−+=
−=
++=
−
11
:
1
0
110
 
(b) A condição de estacionariedade da inflação é: 11 <φ . Pelas hipóteses do enunciado, 
sabemos que 01 <<− λγ . Logo, o único valor de ρ que garante a estacionariedade da 
inflação é 2. Se ρ =1, a inflação segue um passeio aleatório (com deslocamento) e, se ρ =0, 
o processo é explosivo. A conclusão é que a política monetária deve reagir fortemente aos 
desvios da inflação em relação à meta, a fim de garantir uma inflação “bem comportada”. 
(c) Viesado e inconsistente: a expectativa de inflação, que afeta diretamente o hiato, foi omitida 
da equação. Logo, há correlação entre o erro da regressão e o regressor (hiato). 
(d) Viesado, pois a regressão inclui a variável dependente defasada e, portanto, viola a hipótese 
de exogeneidade estrita. Mas consistente, pois a especificação da regressão corresponde 
exatamente à equação (1), na qual o erro não tem correlação com as variáveis explicativas. 
 
 
 
5. Um economista decide estimar o multiplicador de longo prazo do crescimento do nível de emprego na 
economia brasileira em relação ao crescimento do salário médio na indústria, através da seguinte 
equação, estimada em base mensal por MQO: 
 
 
tttt usalsalemp ˆ124.0172.0142.0 1)50.3()84.4()02.4( +++−= −− 
 
R2 = 0.30 DW=0.60 n=125 
 
 
onde emp é a taxa de crescimento do emprego e sal é a taxa de crescimento salarial (ambas definidas em 
porcentagens – por exemplo, o valor 1 denota um aumento de 1%, e assim por diante). Os valores entre 
parênteses são as estatísticas-t, n é o número de observações e DW é a estatística de Durbin-Watson. 
 
(a) A partir da equação acima, qual deve ser, no longo prazo, o efeito sobre o crescimento do emprego 
de um aumento permanente de 1 ponto percentual na taxa de crescimento salarial? 
 
(b) É possível, a partir da equação acima, testar a hipótese nula de que o multiplicador de longo prazo é 
igual a 1? Caso positivo, realize o teste. Caso negativo, descreva em detalhe como você realizaria o 
teste. 
 
 
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Um segundo economista também deseja estimar o efeito de longo prazo do crescimento do salário sobre o 
crescimento do emprego, mas opta por fazê-lo a partir da estimação (por MQO) da equação a seguir: 
 
 
tttt uempsalemp ˆ78.0048.003.0 1)0.14()97.1()46.1( +++−= −− 
 
R2 = 0.71 DW=2.28 n=125 
 
 
(c) Qual é a diferença fundamental entre a dinâmica da resposta de emp a um aumento permanente em 
sal segundo cada um
dos modelos acima? 
 
(d) Calcule o multiplicador de longo prazo do crescimento do emprego em relação ao crescimento do 
salário estimado a partir dessa nova equação. 
 
(e) “O uso da estatística de Durbin-Watson é certamente inválido em uma das equações acima, e 
provavelmente inválido na outra”. Comente cuidadosamente. 
 
(f) Quais seriam as consequências da presença de autocorrelação nos distúrbios das equações acima 
para as propriedades do estimador de MQO? Descreva em detalhe o procedimento que você adotaria 
para verificar a existência (ou não) de autocorrelação nos distúrbios dessas equações. 
 
RESPOSTA: 
(a) 0,172+0,124 = 0,296 
(b) Já temos uma estimativa pontual do multiplicador de LP (ver item (a)), mas falta o erro-
padrão dessa estimativa para podermos realizar o teste de hipótese de interesse. Podemos 
reescrever o modelo de modo que o multiplicador de LP seja estimado diretamente pela 
regressão, e então realizar um teste-t convencional (pois a regressão já nos fornecerá o erro-
padrão do multiplicador de LP). O modelo poderia ser reescrito da seguinte forma (ver 
também item iv da questão 10 acima): 
( )
( ) ttttt
tttt
tttt
usalsalsalemp
doreescreven
usalsalemp
dosubstituin
LRP
defina
usalsalemp
+−++=
++−+=
−=⇒
+==
+++=
−
−
−
11
111
10
10
110
:
:
:
βθα
ββθα
βθβ
ββθ
ββα
 
 
Ou seja, se estimarmos uma equação de emp(t) em função de sal(t) e da primeira diferença de 
sal [sal(t)-sal(t-1)], a hipótese de interesse pode ser testada através de um teste-t no coeficiente 
associado a sal(t). 
 
(c) No primeiro modelo, emp atinge seu novo nível de equilíbrio após dois períodos; no 
segundo modelo, emp vai se aproximando gradualmente de seu novo nível de equilíbrio. 
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(d) 0,048/(1-0,78) = 0,048/0,22=0,218 
(e) Afirmação correta. No segundo modelo, que inclui a variável dependente defasada, a 
hipótese de exogeneidade estrita é violada, de modo que a estatística DW não é válida. No 
primeiro modelo, tal hipótese também é provavelmente violada, pois deve haver algum tipo 
de feedback de emp para sal (afinal, o crescimento do nível de emprego pode impactar no 
crescimento dos salários, contemporaneamente ou após algum tempo), de modo que o uso 
da est-DW também não seria válido. 
(f) Na primeira equação, a presença de autocorrelação geraria ineficiência de MQO e impediria 
o uso das estatísticas-t e F padrão, enquanto que, na segunda equação, a autocorrelação 
implicaria a inconsistência (e viés) de MQO, dada a presença da variável dependente 
defasada entre os regressores. Para testar autocorrelação, deveríamos usar o teste de 
Breusch-Godfrey: primeiro, estima-se uma regressão dos resíduos da regressão original em 
função dos resíduos defasados até a ordem p e dos regressores da regressão original; 
segundo, testa-se a hipótese nula de que os coeficientes dos resíduos defasados são 
conjuntamente nulos (usando a estatística-F ou a estatística-LM). 
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SEÇÃO 2 
 
Questão 1 - Esta questão trata do teste Dickey-Fuller. 
 
(a) “A rejeição da hipótese nula do teste Dickey-Fuller implica que a variável em questão é estacionária”. 
Comente essa afirmação. 
 
(b) O que diferencia o teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) do teste Dickey-Fuller (DF)? Explique como 
você decidiria qual dos dois testes utilizar em determinada situação, apontando as vantagens e 
desvantagens de cada procedimento. 
 
(c) Uma das dificuldades na aplicação do teste Dickey-Fuller refere-se à decisão de incluir ou não termos 
determinísticos (constante/tendência) na regressão de teste. Discuta, para cada uma das séries 
apresentadas no gráfico abaixo, os possíveis problemas derivados da omissão dos termos determinísticos 
na regressão do teste. [Faça referência às hipóteses nula e alternativa do teste] 
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_1
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_3
5.2
5.6
6.0
6.4
6.8
7.2
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_4
 
 
(d) A realização de testes ADF para a Série 2 acima (S2) e suas diferenças gera os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
S2t -2,254 -3,467 
∆S2t -4,615 -3,467 
∆2S2t -6,195 -3,468 
 
Qual é a ordem de integração da variável? 
 
RESPOSTA: 
 
a) Isso não é verdade. A rejeição da hipótese nula do teste DF indica que a série não possui raiz 
unitária, e portanto tendência estocástica. Mas a série pode conter uma tendência determinística e, 
assim, ser não estacionária. 
b) O teste ADF inclui defasagens de tY∆ na regressão de teste, de modo a eliminar a possível 
existência de autocorrelação nos resíduos dessa regressão – que prejudica o teste. Assim, por um 
lado o teste ADF é “melhor” que o teste DF por corrigir (pelo menos parcialmente) o problema da 
autocorrelação residual; por outro lado, sabemos que os testes de raiz unitária possuem baixa 
potência, e que esse problema se agrava com a inclusão de termos desnecessários na regressão de 
teste; logo, o teste ADF só será realmente melhor do que o teste DF se as defasagens incluídas forem 
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realmente necessárias. Mas como saber o número de defasagens de tY∆ a serem incluídas na 
regressão é realmente necessário? Geralmente, essa escolha pode ser feita com base em diversos 
critérios; por exemplo: (i) parte-se de um número elevado de defasagens, para o qual os resíduos não 
apresentem autocorrelação (segundo algum teste, por exemplo o teste LM de Breusch-Godfrey) e 
eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a eliminação de certa defasagem 
seja rejeitada por implicar a ocorrência de autocorrelação residual; (ii) parte-se de um número 
elevado de defasagens e eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a 
eliminação de certa defasagem seja rejeitada pelo teste-t; (iii) a regressão é estimada várias vezes, 
cada vez com um número diferente de defasagens, e escolhe-se o número de defasagens para o qual 
algum “critério de informação” (por exemplo, o critério de Schwarz ou o critério de Akaike) 
apresente o menor valor. Se o número de defasagens de tY∆ selecionado for 0, temos o teste DF. 
c) O que um teste de raiz unitária faz é, basicamente, analisar uma série temporal e verificar qual dentre 
dois processos estocásticos teóricos – um com raiz unitária e outro sem raiz unitária – teria maior 
probabilidade de ter gerado a série em questão. O quadro abaixo resume as possíveis conclusões do 
teste DF/ADF sob H0 e H1, segundo a especificação da regressão de teste: 
 
 Especificação da regressão de teste 
 (I) 
Não inclui constante ou 
tendência 
(II) 
Inclui uma constante 
(III) 
Inclui uma constante e uma 
tendência linear 
H0 Processo com raiz unitária 
(passeio aleatório) 
Processo com raiz unitária e, 
possivelmente, tendência 
determinística linear de 
crescimento (passeio aleatório 
com deslocamento) 
Processo com raiz unitária e, 
possivelmente, tendência 
determinística exponencial de 
crescimento 
H1 Processo estacionário 
(AR(1) estacionário com 
média 0) 
Processo estacionário 
(AR(1) estacionário com 
média possivelmente diferente 
de 0) 
Processo estacionário ou 
estacionário em torno de uma 
tendência determinística 
 
 
 A questão básica a ser considerada na escolha da especificação a ser usada é que ambas
H0 e H1 
devem ser compatíveis com as propriedades da série analisada; caso contrário, o teste estará viesado no 
sentido de favorecer uma das hipóteses. Por exemplo, se uma série apresenta clara tendência de crescimento 
ao longo do tempo (como as séries 1 e 2 acima), não faz sentido usar as especificações (I) ou (II), pois sob 
H1 o processo é estacionário, o que é claramente incompatível com a evolução da série; logo, se usássemos 
uma dessas especificações, seríamos claramente levados a não rejeitar H0, pois o processo sob H1 não faria o 
menor sentido para a série em questão. No caso da série 4, seria importante não omitir a constante, dado que 
a série tem média claramente diferente de zero. Já no caso 3, a especificação (I) seria adequada, pois a série 
não apresenta tendência e parece girar em torno de 0. 
 
d) A estatística ADF para a série em nível não rejeita H0, indicando a presença de uma raiz unitária; 
mas a estatística para a série em primeira diferença rejeita H0, indicando a ausência de raiz unitária. 
Logo, dado que é necessário tirar uma vez a diferença da série para torná-la estacionária, a série deve 
ser I(1). 
 
 
Questão 2 - Suponha que se deseje aplicar o teste Dickey-Fuller a séries geradas pelos seguintes processos 
ARIMA [onde tu ~ ),0( 2σN ]: 
 
a) ttt uYY += −15,0 
b) ttt uYY += −1 
c) 14,0 −−= ttt uuY 
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 11
d) tttt uYYY +−= −− 21 14,09,0 
e) 121 5,014,09,0 −−− −+−= ttttt uuYYY 
Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua 
resposta. 
 
RESPOSTA: 
 
Esperaríamos que a hipótese nula fosse rejeitada para os processos estacionários, ou seja: (a), 
(c), (d) e (e). [É fácil verificar que para todos os processos, exceto (b), que é um passeio 
aleatório, as raízes da equação característica são maiores que 1 em módulo] 
 
 
 
Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas 
diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. 
 
 
Série Estatística 
ADF 
Valor crítico a 
5% 
Yt -2,07 -2,52 
Xt -1,21 -2,52 
Zt -1,58 -2,52 
∆Yt -3,41 -2,81 
∆Xt -2,16 -2,81 
∆Zt -2,29 -2,81 
∆2Yt -6,12 -3,06 
∆2Xt -3,48 -3,06 
∆2Zt -3,81 -3,06 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 
 
 
Com base nos resultados da tabela, responda: 
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 12
 
(a) Qual é o grau de integração de Yt, Xt e Zt? 
 
(b) Defina cointegração. Como você testaria se duas ou mais variáveis são cointegradas? 
 
(c) Um economista afirma que não é possível que as três séries sejam cointegradas, pois apesar de 
integradas elas têm graus de integração diferentes. Confirme ou desminta essa afirmativa, explicando 
detalhadamente. 
 
(d) A partir dos resultados anteriores, como você construiria um modelo para captar a dinâmica de curto 
prazo da variável Y? 
 
 
RESPOSTA: 
 
a) Lembre: a ordem de integração de uma variável corresponde ao número de vezes que se deve tirar a 
diferença da variável de modo a “eliminar” suas raízes unitárias. Note ainda que a hipótese nula do 
teste ADF, que é a presença de raiz unitária, será rejeitada se a estatística-ADF for menor que o valor 
crítico apropriado. Como Y possui raiz unitária em nível (-2,07 > -2,52, logo H0 não é rejeitada) mas 
não na primeira diferença (-3,41 < -2,81, logo H0 é rejeitada), trata-se de um processo I(1). Para X e 
Z, a hipótese nula de raiz unitária só é rejeitada na segunda diferença, indicando tratar-se de 
processos I(2). 
 
b) Duas ou mais variáveis são cointegradas se, individualmente, elas forem integradas de ordem d 
(onde d >0), mas existir uma combinação linear delas que seja integrada de ordem menor do que d. 
No caso mais popular, duas ou mais variáveis I(1) são cointegradas se existir uma combinação linear 
delas que seja I(0). Note que a definição formal pressupõe que todas as variáveis tenham a mesma 
ordem de integração d. A fim de testar se duas ou mais variáveis são cointegradas, devemos primeiro 
certificarmo-nos de que todas tenham a mesma ordem de integração, através de um teste de raiz 
unitária. Depois, podemos rodar uma regressão de uma dessas variáveis nas demais, e testar a 
presença de raiz unitária no resíduo da regressão; se o resíduo for estacionário, esse é um indício de 
que as séries são cointegradas – pois, nesse caso, teríamos uma combinação linear de variáveis 
integradas, dada pela série de resíduos, que seria estacionário. 
 
c) Apesar da definição formal de cointegração pressupor que todas as variáveis tenham a mesma ordem 
de integração, podemos ter uma situação como a seguinte: X e Z são I(2), mas existe uma 
combinação linear delas, digamos W=X+bZ, que é I(1); além disso, existe uma combinação linear 
das variáveis I(1) W e Y, digamos W+cY, que é I(0). Logo, podemos encontrar uma combinação 
linear das variáveis originais Y, X e Z que é I(0): X+bZ+cY. Esse parece ser o caso no nosso 
exemplo, de modo que é razoável dizer que as séries Y, X e Z são cointegradas, apesar de terem 
ordem de integração diferentes. 
 
d) Você poderia construir um “modelo de correção de erro”, onde a variável dependente seria a 
primeira diferença de Y e as explicativas seriam as segundas diferenças de X e Z e o resíduo 
defasado da regressão de Y em X e Z. 
 
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 13
Questão 4 - Um economista estima a seguinte equação por MQO: 
tttt uzxy ˆ5,05,2
)70.2()20.3(
++= 
R2 = 0,81 DW = 1,45 SC = -8,22 
OBS.: Estatísticas-t entre parênteses; DW = estatística Durbin-Watson; 
SC = critério de informação de Schwarz. 
 
A realização de testes ADF para as variáveis (em nível e em primeira diferença) e para o resíduo da equação 
geram os seguintes resultados: 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
yt -1,922 -2,90 
xt -1,343 -2,90 
zt -2,140 -2,90 
∆yt -4,088 -2,90 
∆xt -3,450 -2,90 
∆zt -3,880 -2,90 
ût -3,300 -3,10 
 
A partir desses resultados, o economista afirma: 
“AS VARIÁVEIS SÃO I(1) E SÃO COINTEGRADAS. 
LOGO, ESSA REGRESSÃO NÃO É ESPÚRIA”. 
 
Responda (justificando suas respostas adequadamente): 
 
a) O que significa uma série ser I(1)? Você diria que as séries acima são realmente I(1)? 
 
b) O que significa duas ou mais séries serem cointegradas? Você diria que as séries acima são realmente 
cointegradas? 
 
c) O que é uma regressão espúria? Você diria que a regressão acima realmente não é espúria? 
 
d) Suponha que o economista deseje estimar uma equação que capte a dinâmica de curto prazo entre as 
variáveis. A partir dos resultados acima, você diria que o procedimento mais correto seria estimar um 
modelo com as variáveis em primeiras diferenças? 
 
RESPOSTA: 
 
a) Sim, as séries parecem ser I(1), pois possuem raiz unitária em nível mas não na primeira diferença (a 
hipótese nula de raiz unitária, em todos os casos, não é rejeitada para as variáveis em nível, mas é 
rejeitada para as variáveis em diferença). 
b) Sim, as séries parecem ser cointegradas, pois os resíduos da regressão estática de Y em x e Z são 
estacionários. 
c) Uma regressão espúria pode ser definida como uma regressão entre variáveis não-estacionárias que, 
devido à tendência (estocástica ou determinística) presente nas séries, sugere a existência de 
correlação significativa entre elas – caracterizando-se por coeficientes estatisticamente significativos 
e elevado R2 –, apesar das variáveis serem, na verdade, independentes. No caso em questão, a 
regressão não parece ser espúria, pois as variáveis
são cointegradas e, portanto, possuem tendências 
estocásticas comuns – o que implica que há uma correlação “verdadeira” entre elas. 
[Cabe notar que o termo “regressão espúria” é usualmente empregado para definir uma 
regressão entre variáveis I(1). Entretanto, alguns autores (p.ex. o Wooldridge) usam o termo 
“regressão espúria” de modo mais abrangente, para definir a regressão entre quaisquer 
variáveis não estacionárias (independentemente dessas variáveis apresentarem tendência 
estocástica ou determinística). Aqui, estamos adotando esse critério mais abrangente.] 
d) Não, pois isso implicaria “jogar fora” a informação relativa à relação de longo prazo entre as 
variáveis, ao omitir o termo de correção de erro. 
 
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 14
Questão 5 - Dois economistas desejam analisar a relação entre a demanda de moeda (m) e a renda nacional 
(y). Eles estimam os seguintes modelos (variáveis em logaritmos, dados anuais): 
 
Economista A: 
ttt uym += )20.3(
1.1 (1) 
R2 = 0.7 DW = 1.4 
 
Economista B: 
ttt ym ε+∆=∆ )44.2(
7.0 (2) 
R2 = 0.4 DW = 1.2 
 
onde os valores entre parênteses são as estatísticas-t. 
 
A realização de testes ADF para as variáveis e os resíduos de (1) e (2) gera os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
mt -1,422 -2,06 
yt -1,213 -2,06 
ut -3,202 -2,46 
∆mt -2,822 -2,06 
∆yt -3,415 -2,06 
εt -2,505 -2,46 
 
 
a) Qual é a ordem de integração de m e y? 
 
b) O que o teste ADF nos resíduos de (1) indica a respeito da relação entre m e y? 
 
c) Considerando as respostas anteriores, você diria que os modelos (1) e (2) estão corretamente 
especificados? Justifique. 
 
RESPOSTA: 
 
a) Ambas são I(1) – raiz unitária no nível mas não na primeira diferença. 
 
b) Variáveis cointegradas, pois o resíduo da regressão entre elas é estacionário. 
 
c) Dado que as variáveis são cointegradas, a equação (1) é adequada para captar a relação de 
longo prazo entre as variáveis (MQO é um estimador consistente – na verdade, “super-
consistente” – nesse caso). A equação (2), porém, não está especificada corretamente, pois 
omite o termo de correção de erro relativo à relação de longo prazo entre as variáveis. 
 
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 15
Questão 6 
 
(a) Um economista investiga a relação entre a taxa de câmbio real e o volume de exportações de um país que 
pratica um regime de câmbio flutuante. Os gráficos abaixo mostram as séries mensais do volume de 
exportações e da taxa de câmbio para o período da década de noventa, além das estatísticas ADF 
correspondentes. 
 
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -1,63
ADF crít. 5% = -2,89
EXPORTAÇÕES
 
145
150
155
160
165
170
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -0,10
ADF crít. 5% = -2,89
TAXA DE CÂMBIO
 
 
Com base nessas estatísticas e nos gráficos, comente acerca da estacionariedade dos processos geradores 
das séries em questão. 
 
(b) O economista decide testar a existência de cointegração entre os dois processos. Para isso, ele estima 
uma regressão estática em que a variável dependente são as exportações e o regressor é a taxa de câmbio. 
Examinando o gráfico dos resíduos dessa regressão (abaixo) e sua estatística ADF, o economista conclui 
que não há cointegração. Escreva a equação da regressão estática e explique qual foi o raciocínio do 
economista. 
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -1,72
ADF crít. 5% = -2,89
Resíduos da
regressão estática
 
 
(c) Não satisfeito com o resultado do item anterior, o economista decide aumentar o tamanho de sua amostra 
para novamente testar cointegração. Essa estratégia faz sentido? Por quê? 
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 16
 
(d) Ele consegue obter as mesmas séries de exportações e taxa de câmbio para todo o século XX: 
 
4000
6000
8000
10000
12000
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
EXPORTAÇÕES
 
80
100
120
140
160
180
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
TAXA DE CÂMBIO
 
 
Novamente, ele estima uma regressão estática, agora com a amostra expandida. A estatística ADF 
obtida para os resíduos é igual a –7,57, para um valor crítico a 5% igual a –2,86. O que essa 
estatística diz sobre os resíduos e sobre a possibilidade de cointegração entre os dois processos? 
 
RESPOSTA: 
 
a) Certamente os processos geradores são não-estacionários, pois as séries não flutuam em torno de um 
valor constante no tempo. Além disso, as estatísticas- ADF sugerem a presença de raiz unitária. 
 
b) Os resíduos da regressão também tem “cara” de processo não-estacionário; além disso, a estatística 
do teste ADF sugere a presença de raiz unitária. Logo, as variáveis não são cointegradas. 
 
c) Sim, faz sentido. Cointegração tem a ver com o longo prazo, e se realmente as variáveis são 
cointegradas isso ficará claro se dispusermos de uma amostra suficientemente grande. Por outro 
lado, em uma amostra pequena é possível que, apesar de cointegradas, duas séries pareçam evoluir 
de modo relativamente independente. Pense no exemplo do bêbado e seu cachorro: enquanto ambos 
perambulam por determinado quarteirão, é possível que o cachorro fique muito para trás, atravesse a 
rua etc., aparentando não estar acompanhando seu dono; mas, no “longo prazo”, ambos chegarão em 
casa, revelando que suas trajetórias realmente possuíam algo em comum. 
 
d) Agora o teste ADF sugere que os resíduos são estacionários, e, portanto, que as séries são 
cointegradas. 
 
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Questão 7 – Considere as seguintes regressões estimadas por MQO para o período de janeiro de 1991 a 
dezembro de 2002 (os valores entre parênteses são as estatísticas-t): 
 
CSFt = -9.1619 + 2.583 Ut (i) 
 (-6.47) (11.21) 
R2 = 0.469 Número de obs.: 144 
 
CSFt = -3.535 + 0.556 Ut + 0.091 t (ii) 
 (-5.16) (4.10) (23.46) 
R2 = 0.892 Número de obs.: 144 
 
Ut = 4.706 + 0.018 t (iii) 
 (30.49) (9.85) 
R2 = 0.406 Número de obs.: 144 
 
Onde: 
CSFt = Número de cheques sem fundo (para cada 1.000 compensados). 
Ut = taxa de desemprego 
t = tendência linear 
 
a) Como você explicaria a diferença entre os coeficientes estimados para o efeito do desemprego sobre 
o número de cheques sem fundo nas regressões (i) e (ii)? 
b) Como você interpreta o coeficiente estimado para a tendência na regressão (ii)? 
 
RESPOSTA: 
 
a) Na equação (i), o coeficiente associado a Ut provavelmente está superestimado devido ao fato de 
ambas as variáveis CSF e U apresentarem tendência positiva de crescimento, conforme se observa pela 
significância da tendência linear nas equações (ii) e (iii); logo, na equação (i) o coeficiente de U capta 
não apenas o efeito líquido de U sobre CSF, mas também o efeito da tendência temporal. Na equação 
(ii), a inclusão da tendência temporal na regressão corrige esse problema, de modo que o coeficiente de 
U passa a ser o efeito de u sobre CSF, líquido do efeito da tendência. 
 
b) A cada período (mês) que passa, o número de cheques sem fundo tende a aumentar em 0.091 cheques 
para cada 1000 compensados, já considerado o efeito do desemprego. 
 
 
Questão 8 – Considere os resultados do teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) para a série de cheques sem 
fundo (CSF) da questão anterior: 
 
 
Especificação da 
regressão de teste 
Estatística 
ADF 
Valor crítico
a 5% 
(I) Com constante -0.90 -2.88 
(II) Com constante e tendência -3.62 -3.44 
 
 
O gráfico abaixo apresenta o comportamento a série de cheques sem fundo (CSF) entre janeiro de 1995 e 
agosto de 2005 (período para o qual foi realizado o teste ADF): 
 
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 18
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
 
(a) Escreva a regressão do teste ADF sob cada uma das especificações acima e indique com clareza as 
hipóteses nula e alternativa do teste. 
 
(b) Qual é a conclusão do teste a partir de cada uma das especificações acima? Discuta os resultados à luz do 
gráfico da série. 
 
RESPOSTA: 
 
a) A especificação (II) é a especificação mais geral da equação do teste ADF: 
tktkttt uYYYtY +∆++∆+++=∆ −−− ββγαα ...11121 
A especificação (I) se diferencia pela exclusão da tendência determinística da equação acima. 
Em ambos os casos, a hipótese nula é: 
unitária) (raiz 0:0 =γH 
A rejeição dessa hipótese implica, no caso (I): 
 riedade)(estaciona 0:1 <γH 
E, no caso (II): 
 tica)determinís tendênciauma de 
 tornoem ntepossivelme riedade,(estaciona 0:1 <γH
 
 
b) No caso (I) não rejeitamos H0; no caso (II), rejeitamos. Isso faz sentido, pois dada a clara 
tendência de crescimento da série CSF, a não inclusão da tendência determinística na regressão 
torna a rejeição de H0 altamente improvável (estamos comparando um processo com tendência 
estocástica – sob H0 – com um processo sem qualquer tendência – sob H1 – como a melhor 
aproximação ao processo gerador dos dados; evidentemente, H0 parece uma opção mais razoável, 
dada a forte tendência de crescimento da série). Logo, não rejeitamos H0 no caso (I) a qualquer 
nível de significância usual. Já no caso (II), estamos comparando um processo com tendência 
estocástica – sob H0 – com um processo com tendência determinística – sob H1 –; dado que a 
tendência de crescimento de CSF é aproximadamente linear (ver o gráfico), H1 é agora uma opção 
razoável e H0 acaba sendo rejeitada. 
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Questão 9 – A tabela abaixo apresenta os resultados dos testes de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) para 
o consumo per capita (Ct), o PIB per capita (Yt), e as produções de café (Cft) e de energia elétrica (Et) do 
Brasil entre 1947 e 2004. Os testes são aplicados para as variáveis em nível e em primeira diferença, usando 
as especificações com e sem tendência. 
 
 Estatísticas ADF - 
com constante 
Valor crítico 
(10%) - com 
constante 
Estatísticas ADF 
- com constante 
e tendência 
Valor crítico 
(10%) - com 
constante e 
tendência 
Consumo per capita -1.091 - 2,57 -1.885 -3,12 
∆ Consumo per capita -5.320 - 2,57 -5.319 -3,12 
PIB per capita -0.917 - 2,57 1.760 -3,12 
∆ PIB per capita -4.248 - 2,57 -4.237 -3,12 
Log da produção de energia elétrica 0.437 - 2,57 -1.945 -3,12 
∆ Log da produção de energia elátrica -5.416 - 2,57 -5.417 -3,12 
Produção de café (toneladas) -3.382 - 2,57 -3.351 -3,12 
∆ Produção de café (toneladas) -4.486 - 2,57 -4.556 -3,12 
 
a) Qual é a ordem de integração de cada uma das variáveis? 
 
b) Suponha que você deseje estimar o efeito do PIB per capita sobre a produção de café. Como você 
especificaria essa relação? 
 
c) Pode existir algum problema em estimar uma regressão por MQO usando o PIB per capita como 
variável dependente e o log da produção de energia elétrica como variável independente? Explique. 
 
Estimando uma regressão por MQO com o consumo per capita como variável dependente e o PIB per capita 
como regressor, encontramos o seguinte resultado (os valores entre parênteses são as estatísticas-t):: 
 
Ct = 59043.5 + 0.767436 Yt 
 (2.027) (104.67) 
 
O Teste de Dickey-Fuller Aumentado (sem constante e sem tendência) para os resíduos da regressão acima 
apresenta o seguinte resultado: 
 
ADF(4): t = -3.06427 
[O valor crítico para o nível de significância de 10% é –1,62] 
 
d) Analisando esses resultados, podemos dizer que as duas variáveis (Ct e Yt) são cointegradas pelo 
teste de Engle-Granger? Justifique a sua resposta. 
 
RESPOSTA: 
 
a) Todas, exceto a produção de café, são I(1) – pois possuem raiz unitária em nível mas não na primeira 
diferença. Café é I(0), pois é estacionária no nível. 
 
b) Queremos uma equação “balanceada”- isto é, com a mesma ordem de integração dos dois lados. Como 
PIB é I(1) e café I(0), devemos regredir café na primeira diferença do PIB. 
 
c) Como as duas variáveis são I(1), podemos incorrer no problema de regressão espúria – ou seja, obter um 
resultado ilusoriamente bom em termos estatísticos, com coeficiente significativo e R2 elevado, mesmo que 
as duas séries na verdade não tenham qualquer relação “real”. 
 
d) Sim. Segundo o teste ADF, os resíduos da equação são estacionários; logo, as variáveis são cointegradas: 
elas são individualmente I(1), mas existe uma combinação linear delas que é I(0). 
 
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 20
Questão 10 – Um certo país mantém sua taxa de câmbio real controlada, igual a 1. Essa taxa determina um 
nível de exportações de equilíbrio (Y*), ao qual as exportações observadas (Y) tendem a convergir. 
Subitamente, o país sofre um choque cambial, no qual a moeda local se desvaloriza 100%. Essa 
desvalorização determina um novo nível ideal de exportações. 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X(t)
Y(t)
Y*(t)
 
 
 
(a) Para modelar a relação entre a taxa de câmbio real e as exportações, um economista propõe o seguinte 
modelo ADL: 
ttttt uXXYY +++= −− 1101 ββα 
 
Mostre que esse modelo ADL tem uma representação de correção de erro e identifique na equação o 
termo que representa o “erro”. De que “erro” exatamente se trata? 
 
(b) O economista estima α igual a 0,9 e β0 igual a 0,3. Estime o valor do terceiro parâmetro do modelo 
ADL. Para que valor as exportações tenderão, a longo prazo, se a taxa de câmbio sofrer uma segunda 
desvalorização de 100%? 
 
(c) Podemos afirmar algo sobre a relação entre as séries de taxa de câmbio e de exportações, com base no 
fato de que o modelo que as associa tem uma representação de correção de erro? 
 
 
RESPOSTA: 
 
(a) Isso foi visto em sala de aula: (i) subtraia 1−tY dos dois lados, obtendo tY∆ do lado esquerdo e 
1)1( −− tYα do lado direito; (ii) adicione e subtraia 10 −tXβ do lado direito e rearrume, obtendo: 
 
ttttt uXYXY +



−
+
−−+∆=∆
−− 1
10
10 1
)1(
α
ββ
αβ 
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 21
O “erro” é o termo entre colchetes, e corresponde ao “erro” (desvio) em relação ao equilíbrio de longo 
prazo entre as variáveis; se o termo é positivo, Y está acima do nível de equilíbrio e, se o termo é 
negativo, Y está abaixo do nível de equilíbrio. 
 
(b) Pelo gráfico, nota-se que o “multiplicador de longo prazo” de Y em relação a X é igual a 5: quando 
X é 1, Y converge para 5; e, quando X sobe para 2, Y passa a convergir para 10. 
 
Lembre que um modelo ADL pode ser representado por 
 
ttt uXLBYLA += )()( 
 
onde )...1()( 221 kk LLLLA ααα −−−−= 
 )...()( 2210 nnLLLLB ββββ ++++= 
 
Supondo que as variáveis sejam estacionárias (ou cointegradas), podemos definir o equilíbrio de 
longo prazo como a situação em que Y e X encontram-se em seus valores (esperados) de longo 
prazo: 
 
**
21
210*
)1(
)1(
...1
... X
A
BXY
k
n
=
−−−−
++++
=
ααα
ββββ
 
 
O termo B(1)/A(1) é o multiplicador de longo prazo de Y em relação a X. 
 
 No caso em questão,
temos: 
 
 5
9,01
3,0
1)1(
)1( 110
=
−
+
=
−
+
=
β
α
ββ
A
B
 
 
 Resolvendo para 1β , obtemos o valor de 0,2. 
 
(c) Sim: as variáveis são estacionárias ou cointegradas, pois existe uma relação estável entre elas no 
longo prazo. Note qie, pelo “teorema da Representação de Granger”, um vetor de variáveis 
cointegradas CI(1,1) sempre tem uma representação de correção de erro e, alternativamente, para que 
um vetor de variáveis I(1) tenha uma representação de correção de erro, é necessário que as variáveis 
sejam cointegradas. 
 
 
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 22
Questão 10 – Considere o modelo abaixo, baseado em artigo publicado em 1993 na Applied Financial 
Economics, vol. 3(1), pelo economista Dorian Owen: 
e
ttt ir pi−≡ (1) 
t
e
tt ur ++= βpiα (2) 
A equação (1) é a identidade que define a taxa de juros real (r) como a diferença entre a taxa de juros 
nominal (i) e a taxa de inflação esperada (πe). A equação (2) é a equação de determinação da taxa de juros 
real, que depende de variáveis agregadas no termo estacionário tu e, possivelmente, da inflação esperada, 
caso o valor do parâmetro β seja diferente de zero (note que, em princípio, esse parâmetro poderia ser 0). 
 
Suponha que esse modelo descreva adequadamente o funcionamento da economia (ou seja, que todas as 
hipóteses acima sejam verdadeiras). Dada uma mudança nas expectativas de inflação, a identidade (1) 
implica que pelo menos uma das taxas r e i deve se alterar. Podemos distinguir dois casos extremos: 
 
• “Hipótese de Fisher”: uma variação em πe acarreta igual variação em i, de modo que a taxa de juros 
real r se mantém constante. Logo, na equação (2) devemos ter β=0 (pois r não varia com πe). 
 
• “Hipótese de Fisher invertida”: uma variação em πe acarreta variação em r de igual magnitude mas 
com sinal invertido, de modo que a taxa de juros nominal i se mantém constante. Isso significa que, 
na equação (2), devemos ter β = -1. 
 
A principal distinção entre as duas hipóteses acima diz respeito, portanto, ao fato de β ser ou não ser igual a 
zero. De acordo com Owen, é possível verificar qual dessas hipóteses é mais plausível para certo país, a 
partir da identificação da ordem de integração de r, i e πe. Considere os seguintes casos possíveis: 
 
 CASO (I) CASO (II) 
r I(0) I(1) 
i I(1) I(0) 
π
e
 I(1) I(1) 
 
(a) Qual das duas hipóteses (“Fisher” ou “Fisher invertida”) é compatível com cada um dos casos 
acima? Explique sua argumentação cuidadosamente. [Dica: Para responder a essa pergunta, você 
deve analisar com cuidado o modelo formado por (1) e (2), lembrando que, na equação (2), u é 
estacionário por hipótese, e que a diferença entre as duas hipóteses diz respeito ao valor de β.] 
(b) Sob cada um dos casos acima, é possível afirmar que duas ou mais variáveis são cointegradas? 
Explique. [Vale a mesma dica acima] 
Visando preparar uma questão interessante, inteligente e original, seu modesto professor decide aplicar a 
metodologia acima para o Brasil. A realização de testes ADF para as variáveis em questão (em nível e em 
primeira diferença) gera os seguintes resultados: 
Variável Estatística-ADF 
π
e
t -2,550 
it -1,910 
rt -3,608 
∆ πet -4,672 
∆it -3,298 
∆rt -11,138 
 Valor crítico a 5% = -2,9165 
 
(c) De acordo com o teste acima, qual é a ordem de integração das variáveis r, i e πe? O que isso 
indica acerca da validade das hipóteses de Fisher/Fisher invertida para o Brasil? 
 
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 23
RESPOSTA: 
Inicialmente, note que: 
 
• A soma de duas variáveis I(0) é necessariamente I(0). [I(0) + I(0) = I(0)] 
• A soma de uma variável I(1) e uma variável I(0) é necessariamente I(1). [I(1) + I(0) = I(1)] 
• A soma de duas variáveis I(1) pode ser I(0) ou I(1), dependendo das variáveis serem ou não 
cointegradas. [I(1) + I(1) = I(1) se as variáveis não forem cointegradas, ou I(0) se as variáveis 
forem cointegradas] 
 
(a)-(b) No Caso I, r é I(0) e πe é I(1). Como u é, por hipótese, I(0), a equação (2) só faz sentido 
se tivermos β=0 – caso contrário, estaríamos dizendo que uma variável I(0), r, é igual à soma de uma 
variável I(1), πe, e outra I(0), u. Logo, esse caso é compatível com a Hipótese de Fisher. Cabe notar 
ainda que, pela equação (1), esse caso implica que i e πe são cointegradas, pois se trata de duas variáveis 
I(1) que, combinadas linearmente, resultam em uma variável I(0), r. 
 
No Caso II, r é I(1) e πe é I(1). Como u é, por hipótese, I(0), a equação (2) só faz sentido se 
tivermos β≠0 – caso contrário, estaríamos dizendo que uma variável I(1), r, é igual a uma variável I(0), 
u. Logo, esse caso é compatível com a Hipótese de Fisher Invertida. Cabe notar ainda que, pela equação 
(2), esse caso implica que r e πe são cointegradas, pois se trata de duas variáveis I(1) para as quais há 
uma combinação linear que é I(0): 
t
e
tt ur =+− )( βpiα 
A mesma conclusão poderia ser tirada observando-se a equação (1), a partir da qual: 
t
e
tt ir =+ pi 
 
(c) i e πe são I(1), pois a hipótese nula de raiz unitária não é rejeitada para as variáveis em nível mas é 
rejeitada para as variáveis em primeira diferença, e r é I(0), pois a hipótese nula de raiz unitária já é 
rejeitada para a variável em nível. Logo, os dados indicam que a Hipótese de Fisher parece válida para o 
Brasil. 
 
 
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 24
Questão 11 - Um economista deseja saber qual a relação entre duas variáveis Yt e Zt. Para tal, ele estima a 
seguinte regressão: Yt = a + b Zt + ut. Os valores estimados para os coeficientes, bem como as estatísticas 
de teste relevantes estão apresentadas abaixo: 
 
 
Parâmetros Valores Estimados Erro-padrão Estatística-t p-valor 
a 454,31 3,88 117,06 <0,001 
b -1,26 0,01 -95,24 <0,001 
R2 0,947 
Durbin-Watson: 1,201 
 
Como pode ser observado na tabela acima, a correlação entre as variáveis é negativa e altamente significante, 
com ótimo ajuste aos dados. Ao apresentar os dados a outro economista, este diz que se trata de uma 
“regressão espúria” e pede para o primeiro economista verificar se as variáveis são estacionárias. 
 
Abaixo estão as tabelas com os resumos dos testes ADF para ambas as séries: 
 
Variável dependente: ∆Yt 
 Coeficientes Estimados Estatística-t p-valor 
Yt-1 -0,509 -13,31 - 
∆Yt-1 0,291 6,75 <0,001 
Constante 6,174 10,33 <0,001 
Tendência 0,153 13,21 <0,001 
 
 
 
Variável dependente: ∆Zt 
 Coeficientes Estimados Estatística-t p-valor 
Zt
-1 -0,678 -16,79 - 
∆Zt-1 0,427 10,36 <0,001 
Constante 203,89 16,76 <0,001 
Tendência 0,135 16,50 <0,001 
 
 
Valores Críticos do Teste ADF 
 Equação com intecepto Equação com Intercepto e Tendência 
5% -2,86 -3,41 
10% -2,57 -3,12 
 
 
Com base nesses dados responda os itens a seguir. 
 
(a) Por que o economista incluiu a constante, a tendência e uma defasagem da primeira diferença na equação 
do teste ADF? 
(b) Quais séries são não-estacionárias e qual a ordem de integração de cada uma delas? Justifique. 
(c) Quais são os principais indicadores que levaram o segundo economista a pensar que se trata de uma 
“regressão espúria”? Com base nos resultados apresentados acima e em sua resposta do item anterior, ele 
pode estar correto? Justifique. 
(d) Explique detalhadamente como o primeiro economista deve redefinir a regressão acima para convencer o 
segundo economista sobre sua validade. Apresente todos os passos necessários, explicando como 
proceder em cada um deles; todas as novas variáveis que devem ser definidas e todas as regressões que 
devem ser feitas. 
 
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RESPOSTA: 
(a) A inclusão da constante e da tendência na regressão de teste é importante para permitir testar 
a hipótese nula de raiz unitária contra a hipótese alternativa de que o processo gerador das 
variáveis analisadas contenha uma tendência determinística (caso não incluíssemos a 
tendência, estaríamos comparando um processo com tendência estocástica – sob H0 – com 
um processo sem qualquer tendência – sob H1 – como a melhor aproximação ao processo 
gerador dos dados, que pode ser uma comparação “injusta” caso as séries apresentem algum 
tipo de tendência na amostra). A inclusão da defasagem da primeira diferença na equação do 
teste ADF visa evitar que os erros da equação apresentem autocorrelação. 
 
(b) Nenhuma das duas variáveis possui raiz unitária, pois em ambos os casos a estatística do 
teste (-13,31 e -16,79, respectivamente) é muito menor do que o valor crítico correspondente 
à equação com intercepto e tendência (-3,41 para o nível de significância de 5%), de modo 
que a hipótese nula de raiz unitária é rejeitada. Mas, nas duas equações, a tendência 
determinística é altamente significativa, indicando que ambas as variáveis apresentam 
tendência determinística. Logo, nenhuma delas é estacionária; trata-se de processos I(0) em 
torno de uma tendência determinística. 
 
(c) Uma “regressão espúria” costuma apresentar R2 relativamente elevado, estatísticas-t 
altamente significativas e resíduos com forte autocorrelação; todas essas características estão 
presentes na equação estimada (note o elevado R2, as altíssimas estatísticas-t dos 
coeficientes estimados e o baixo valor da estatística Durbin-Watson), o que levou o 
economista à afirmação de que se trata de uma regressão espúria. 
 
O termo “regressão espúria” é usualmente empregado para definir uma regressão entre duas 
variáveis I(1) independentes que sugere, porém, uma relação significativa entre elas; como 
as variáveis em questão não são I(1), essa definição não seria, portanto, aplicável. 
Entretanto, alguns autores (p.ex. o Wooldridge) usam o termo “regressão espúria” de modo 
mais abrangente, para definir a regressão entre quaisquer variáveis não estacionárias 
(independentemente dessas variáveis apresentarem tendência estocástica ou determinística). 
De acordo com esse critério mais abrangente, poderíamos dizer que a regressão é espúria. 
 
(d) A solução é incluir a tendência determinística na regressão, de modo a controlar para o 
efeito dessa tendência sobre Y e Z. 
 
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 26
Questão 12 - Suponha que a relação entre duas variáveis econômicas, x e y, satisfaça as seguintes condições: 
 
tttttt
tttttt
uuuyx
uuuyx
,21,22,2,22
,11,11,1,11
 onde 
 onde 
ερβ
ερβ
+==+
+==+
−
−
 
 
e ε1t , ε2t são distúrbios estacionários. 
 
Para cada um dos casos abaixo, indique: (i) o grau de integração (número de raízes unitárias) de x e y; (ii) se 
x e y são cointegradas; (iii) o vetor de cointegração, caso as variáveis sejam cointegradas. Se houver 
múltiplas alternativas possíveis, indique todas elas (p.ex.: “O grau de integração de x pode ser A ou B...”). 
 
Caso (I): 0,0,0 2121 ==≠= ρρββ 
Caso (II): 1,1,0,0 2121 <<≠= ρρββ 
Caso (III): 1,1, 2121 <<≠ ρρββ 
Caso (IV): 1,1,0 211 <== ρρβ 
Caso (V): 1,1,0 212 <== ρρβ 
Caso (VI): 1,1,0 212 <=≠ ρρβ 
 
RESPOSTA: 
Esta questão é como um “quebra-cabeça”. Inicialmente, a partir dos valores de 21 e ρρ , inferimos 
o grau de integração de u1 e u2. Em seguida, inferimos (i), (ii) e (iii) usando os fatos de que: 
• I(0) + I(0) = I(0) 
• I(1) + I(0) = I(1) 
• I(1) + I(1) = I(1) se as variáveis não forem cointegradas, ou I(0) se as variáveis forem 
cointegradas 
 
• Caso (I): 
Dado que 021 == ρρ , temos: 
)0(~
)0(~
,2,2
,1,1
Iu
Iu
tt
tt
ε
ε
=
=
 
Como 01 =β , temos: 
 I(0)~ 
,1 tt ux = 
Logo, para que a relação 
)0(
,2
(??)
2
)0( I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
seja satisfeita, devemos ter y ~ I(0). Evidentemente, como x e y são I(0), não faz sentido falar de 
cointegração entre elas. 
 
• Caso (II): 
Dado que 1,1 21 << ρρ , temos: 
)0(~
)0(~
,2
,1
Iu
Iu
t
t
 
Como 01 =β , temos: 
 I(0)~ 
,1 tt ux = 
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 27
Logo, para que a relação 
)0(
,2
(??)
2
)0( I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
seja satisfeita, devemos ter y ~ I(0). Evidentemente, como x e y são I(0), não faz sentido falar de 
cointegração entre elas. 
 
• Caso (III): 
Dado que 1,1 21 << ρρ , temos: 
)0(~
)0(~
,2
,1
Iu
Iu
t
t
 
Se tivermos 01 =β ou 02 =β , a situação será idêntica ao caso II. Se ambos os coeficientes forem 
diferentes de zero, teremos então duas combinações lineares I(0) entre x e y. Logo, essas variáveis 
devem ser ambas I(0) (pois, caso fossem I(1) e cointegradas, só poderia haver uma combinação 
linear estacionária entre elas). Evidentemente, como x e y são I(0), não faz sentido falar de 
cointegração entre elas. 
 
• Caso (IV): 
Dado que 1,1 21 <= ρρ , temos: 
)0(~
)1(~
,2
,1
Iu
Iu
t
t
 
Como 01 =β , temos: 
 I(1)~ 
,1 tt ux = 
Logo, para que a relação 
)0(
,2
(??)
2
)1( I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
seja satisfeita, devemos ter y ~ I(1) e cointegrada com x, com vetor de cointegração ),1( 2β . 
 
• Caso (V): 
Dado que 1,1 21 <= ρρ , temos: 
)0(~
)1(~
,2
,1
Iu
Iu
t
t
 
Como 02 =β , temos: 
 I(0)~ 
,2 tt ux = 
Logo, para que a relação 
)1(
,1
(??)
1
)0( I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
seja satisfeita, devemos ter y ~ I(1). Evidentemente, como x é I(0), não faz sentido falar de 
cointegração entre x e y. 
 
• Caso (VI): 
Dado que 1,1 21 <= ρρ , temos: 
)0(~
)1(~
,2
,1
Iu
Iu
t
t
 
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 28
Como 02 ≠β , temos: 
)0(
,2
(??)
2
(??) I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
Essa relação, por si só, implicaria que x e y poderiam ser ambas I(0), ou ambas I(1) e cointegradas, 
com vetor de cointegração ),1( 2β . Mas se x e y fossem I(0), a relação 
)1(
,1
)0(
1
)0( I
t
I
t
I
t uyx =+ β 
não faria sentido (para qualquer valor de 1β ). Logo, elas devem ser I(1) e cointegradas, com vetor 
de cointegração ),1( 2β . 
 
 
Questão 13 – Considere as séries mensais de taxa de câmbio real e PIB real para o Brasil no período 1992-
1997: 
.068
.072
.076
.080
.084
.088
.092
1992 1993 1994 1995 1996 1997
TCR
95
100
105
110
115
120
125
130
1992 1993 1994 1995 1996 1997
PIBR
 
Um economista decide testar a existência de raiz unitária nos “processos geradores” dessas séries através do 
teste Dickey-Fuller baseado na seguinte regressão, onde Y é a série de interesse: 
 
ttt uYY +=∆ −1γ (*) 
 
Explique por que o teste acima pode gerar resultados “enganosos” para as séries em questão, e como você 
resolveria esse problema, de modo a testar adequadamente a hipótese de raiz unitária. 
 
RESPOSTA: 
No caso da TCR, a série apresenta uma clara “quebra estrutural” que poderia viesar o teste no 
sentido de acharmos que o processo gerador da série possui uma raiz unitária mesmo que isso não 
fosse verdade. De fato, de acordo com o gráfico, a TCR parece estacionária antes e depois da 
“quebra” que ocorre em 1994 (Plano Real). A fim de verificar adequadamente a presença de raiz 
unitária, é portanto necessário levar explicitamente em consideração tal quebra, através da inclusão 
de uma dummy na equação de teste (teste de Perron – ver Enders, cap.4). 
No caso
do PIBR, a série apresenta uma clara tendência de crescimento. Em casos como esse, a não 
inclusão da tendência determinística na regressão de teste também deve viesar o teste no sentido de 
acharmos que o processo gerador da série possui uma raiz unitária, pois torna a rejeição de H0 
altamente improvável (estamos comparando um processo com tendência estocástica – sob H0 – 
com um processo sem qualquer tendência – sob H1 – como a melhor aproximação ao processo 
gerador dos dados; evidentemente, H0 parece uma opção mais razoável, dada a forte tendência de 
crescimento da série). Logo, não rejeitaremos a qualquer nível de significância usual. A solução é, 
portanto, realizar o teste ADF com intercepto e tendência. 
 
 
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Questão 14 – Um economista deseja estimar a seguinte equação de demanda de moeda para o Brasil: 
 
upym +++= 210 βββ (1) 
 
onde m é o logaritmo do estoque real de moeda, y o logaritmo do pib, p a taxa de inflação e u um distúrbio 
aleatório. Os dados são trimestrais (dessazonalizados) para o período 1991.1-2002.4. 
 
Antes de estimar a equação (1), o economista estima as seguintes equações (estat.-t em parênteses): 
 
ttttt vmmmtm ˆ18.035.023.071.106.12 2)25.1(1)47.2(1)09.3()19.3()88.1(
+∆−∆+−+=∆
−
−
−−
−
 (2) 
R2=0.33 DW=1.85 SC=8.61 No.Obs.: 45 
ttttt wyyyty ˆ43.029.022.015.052.22 2)46.3(1)24.2(1)76.1()63.1()85.1(
+∆−∆+−+=∆
−
−
−−
−
 (3) 
R2=0.43 DW=1.79 SC=4.07 No.Obs.: 45 
ttttt zpppp ˆ34.058.008.002.0 2)39.2(1)21.4(1)47.1()58.0(
+∆−∆+−=∆
−
−
−−
−
 (4) 
R2=0.34 DW=1.89 SC=-0.24 No.Obs.: 45 
 
onde t é uma tendência determinística, zwv ˆ,ˆ,ˆ são os resíduos das regressões estimadas, DW é a estatística 
de Durbin-Watson e SC o critério de informação de Schwarz. 
 
(a) O que o economista pretende testar ao estimar as equações (2)-(4)? Por que os resultados dessas 
regressões são relevantes para a estimação correta da equação de interesse, isto é, a equação (1)? 
Interprete os resultados numéricos obtidos. (2 PONTOS) 
 
Após estimar (2)-(4), o economista estima a equação (1), obtendo o seguinte resultado: 
 
tttt upym ˆ46.070.238.7 )26.6()53.6()71.3(
+−+−=
−−
 (1’) 
R2=0.86 DW=0.28 SC=-0.36 No.Obs.: 48 
Eis o gráfico dos resíduos da regressão acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Baseando-se nas informações disponíveis até o momento, o economista afirma: “É provável que a 
regressão (1’) seja espúria”. O que é uma regressão espúria? Você concorda ou discorda da afirmação 
do economista? Caso a regressão não seja espúria, o que se pode dizer sobre a relação entre as variáveis? 
(1 PONTO) 
 
(c) A fim de verificar se (1’) é realmente uma regressão espúria, o que o economista deveria fazer? Explique 
cuidadosamente. (0,5 PONTO) 
 
(d) Observe abaixo os gráficos das séries m, y e p para o período analisado (1991.1-2002.4). A partir desses 
gráficos, que tipo de crítica poderia ser feito à análise realizada pelo economista acima? (0,5 PONTO) 
 
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 1992 1994 1996 1998 2000 2002
u
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 30
4.0
4.4
4.8
5.2
5.6
6.0
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
M
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
Y
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
P
 
RESPOSTA: 
(a) As equações (2)-(4) são as regressões dos testes ADF para as variáveis analisadas. Esses testes são 
importantes para verificarmos se as variáveis são estacionárias ou não, e portanto para sabermos se 
há possibilidade da regressão de interesse ser espúria. Em todos os casos, a hipótese nula de raiz 
unitária não é rejeitada ao nível de 5%. De fato, para esse nível de significância o valor crítico do 
teste é -3,41 e as estatísticas de teste são: 
• Eq.(2) = -3,09 
• Eq.(3) = -1,76 
• Eq.(4) = -1,47 
Logo, as variáveis m, y e p parecem possuir pelo menos uma raiz unitária, de modo que a regressão 
(1) pode ser espúria. 
 
(b) Já vimos a definição de regressão espúria em questões anteriores: na definição mais abrangente, 
trata-se de uma regressão entre variáveis não-estacionárias que, devido à tendência (estocástica ou 
determinística) presente nas séries, sugere a existência de correlação significativa entre elas, apesar 
das variáveis serem, na verdade, independentes. 
 
Ao realizarmos uma regressão com variáveis “integradas” (isto é, que possuam uma raiz unitária), 
temos basicamente duas possibilidades: ou a regressão é espúria, ou as variáveis são cointegradas. 
No caso em questão, já verificamos que as variáveis analisadas parecem possuir pelo menos uma raiz 
unitária, de modo que, se a regressão não for espúria, as variáveis devem ser cointegradas. 
 
A afirmação do economista faz sentido, pois a regressão estimada apresenta todas as características 
de uma regressão espúria: (i) as variáveis m, y e p são “integradas”; (ii) R2 elevado; (iii) estatísticas-t 
elevadas; (iv) o resíduo da regressão parece ser não-estacionário: note a forte autocorrelação 
(“inércia”) no gráfico do resíduo e no baixo valor da estatística Durbin-Watson (DW), característica 
de um passeio aleatório. 
 
(c) É necessário realizar um teste de cointegração. Um teste possível é o teste de Engle-Granger, que 
consiste em realizar um teste ADF no resíduo da regressão estimada. Se a hipótese nula de raiz 
unitária não for rejeitada, as variáveis não são cointegradas e a regressão é espúria; se H0 for 
rejeitada, as variáveis são cointegradas (pois há uma combinação linear das variáveis m, y e p que é 
estacionária – ou seja, o resíduo). [Na verdade, quando estamos analisando a relação entre mais de 
duas variáveis, há testes de cointegração mais adequados do que o teste de Engle-Granger – em 
particular, o teste de Johansen.] 
 
(d) A taxa de inflação claramente sofreu uma “quebra estrutural” que mudou totalmente as 
características do processo a partir de 1994. Essa quebra deveria ser considerada explicitamente na 
realização do teste de raiz unitária e na especificação da regressão de interesse, o que não foi feito. 
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 31
 
SEÇÃO 3 
 
Questão 1 – [Adaptado de Hamilton, 1994] Considere um ativo que pague dividendos Dt. Suponha que o 
retorno esperado do ativo seja o valor constante R, de modo que o preço do ativo, Pt, deve satisfazer a 
equação: 






= +
∞
=
−∑ st
s
s
tt DREP
1
 (*) 
 
Evidentemente, essa expressão deixa claro que D causa P. Suponha, porém, que Dt evolua de acordo com 
um processo MA(1). Mostre que, em termos de causalidade de Granger, é P que causa D, e não o inverso. 
Explique esse aparente paradoxo. 
 
[Dica: primeiro, calcule o valor esperado de Dt+s para diferentes valores de s e substitua em (*). Resolva, 
então, para Pt e Dt em função de seus valores defasados e dos choques aleatórios que determinam a 
evolução de Dt] 
 
RESPOSTA 
 
Como Dt segue um MA(1), 
 
1−++= ttt uuD θµ (**) 
 
Dado que 0)( =+stt uE para todo s>0, 
( ) ( )



>
=+
=++=
−+++ 1s para 
1s para 
1 µ
θµθµ tststtstt
u
uuEDE 
 
Substituindo em (*): 
 
t
t
s
s
st
s
s
tt
uR
R
uRR
DREP
θµ
θµ
1
1
1
1
1
 
 
−
−
∞
=
−
+
∞
=
−
+
−
=
+=






=
∑
∑
 (***) 
 
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 32
Note que essa expressão implica que: 
 
θ
φ
µ
θ
φ
φφ
R
R
R
Pu tt
=






−






−=
+=
1
0
10
 e
1
 onde 
Podemos usar essa expressão para escrever, na equação (***), ut-1 em função de Pt: 
 
( )
( )
tt
tt
tt
ttt
uP
uP
Pu
uuD
++=
+++=
+++=
++=
−
−
−
−
110
110
110
1
 
 
 
δδ
θφθφµ
φφθµ
θµ
 (****) 
 
Observando as equações (***) e (****), vemos então que: 
 
• valores defasados de D não ajudam a prever P (cuja evolução depende apenas de choques 
imprevisíveis) 
 
• valores defasados de P ajudam a prever D 
 
 
Logo, D não causa P no sentido de Granger, mas P causa D no sentido de Granger, que é o oposto do que 
ocorre em termos econômicos! 
 
O que explica isso? Simplesmente o fato de que os agentes procuram antecipar o futuro, de modo que o 
preço em determinado período já incorpora a expectativa de variação futura nos dividendos. Como estes 
últimos contém um componente “inercial” – e, portanto, previsível –, captado pelo modelo MA(1) em (**), a 
observação do preço do ativo em determinado período nos ajuda a prever a evolução futura dos dividendos. 
Note que se a variação dos dividendos fosse puramente aleatória (por exemplo, tt uD += µ ), isso não 
ocorreria. 
 
 
Questão 2 – “As vendas de ovos de Páscoa não causam a Páscoa no sentido econômico – isto é, não 
determinam a ocorrência da Páscoa. Entretanto, elas causam a Páscoa no sentido de Granger”. 
Comente. 
 
RESPOSTA 
 
A afirmativa está correta. Evidentemente, a causalidade verdadeira é no sentido Páscoa → vendas de ovos; 
mas, dado que as vendas de ovos precedem a Páscoa no tempo, podemos dizer que elas causam a Páscoa 
no sentido de Granger: a observação das vendas de ovos nos permitiria prever a chegada da Páscoa. A 
idéia aqui é a mesma da questão anterior: o comportamento “antecipatório” dos agentes explica a decisão de 
comprar os ovos de Páscoa antes desta. 
 
 
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 33
Questão 3 – Um VAR para 3 variáveis macroeconômicas foi estimado com o número de defasagens de cada 
variável variando entre 1 e 5. A tabela abaixo apresenta os valores dos critérios de informação de Schwarz, 
Akaike e Hannan-Quinn obtidos para cada especificação: 
 
Número de 
defasagens 
AIC SC HQ 
1 19.33201 19.60494 19.44288 
2 19.10852 19.58615 19.30255 
3 19.09986 19.78219 19.37704 
4 19.10670 19.99373 19.46703 
5 19.00596 20.09768 19.44944 
 AIC: Akaike information criterion 
 SC: Schwarz information criterion 
 HQ: Hannan-Quinn information criterion 
 
(a) Qual é o número ótimo de defasagens do VAR segundo cada critério? 
(b) Além dos critérios de informação acima, aponte outros dados que poderiam nos 
ajudar a selecionar o número ótimo de defasagens de um VAR. 
(c) Quais são as conseqüências de estimar um VAR com número insuficiente de 
defasagens? E de estimar o modelo com número excessivo de defasagens? 
 
RESPOSTA 
 
(a) AIC = 5 defasagens; SC = 2 defasagens; HQ = 2 defasagens. 
 
(b) Testes de diagnóstico dos resíduos para verificar a adequação das hipóteses usuais da estimação por 
MQO – em especial, a ausência de autocorrelação residual. Por exemplo, apesar do critério de 
Schwarz indicar 2 defasagens no modelo acima, talvez o modelo com 2 defasagens apresente 
autocorrelação serial, enquanto que com 3 defasagens isso não ocorra. Nesse caso, seria 
recomendável estimar o modelo com 3 defasagens. 
 
(c) Se o número de defasagens for insuficiente, temos um problema de viés de variáveis omitidas; se o 
número for excessivo, temos perda de eficiência (excesso de parâmetros sendo estimados) 
 
 
Questão 4 – Um economista decide analisar a relação entre a taxa de juros e o hiato do produto, com o 
objetivo de investigar a existência de efeitos reais da política monetária. O hiato do produto é definido como 
o desvio do PIB em relação à sua “tendência de longo prazo”. 
 
a) Cite dois métodos através dos quais seria possível calcular o hiato do produto. Sob que condições 
você esperaria que os dois métodos gerassem resultados semelhantes? 
 
O economista postula que a relação entre a taxa de juros (y1) e o hiato do produto (y2) possa ser representada 
pelo seguinte modelo “estrutural”: 
 
ttt uyyB Γ 1
,2
,1
1,2
1,1
2221
1211
,2
,1
2221
1211
+=






+











=











−
−
−
t
t
t
t
t
t
u
u
y
y
y
y
bb
bb
γγ
γγ
 
 
b) Mostre que a forma reduzida desse modelo é um modelo VAR, explicitando a relação entre os 
coeficientes das formas reduzida e estrutural. [Sugestão: use notação matricial (caso contrário,você 
terá muito mais trabalho e precisará usar o verso da página!)] 
 
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 34
c) “Os dados que observamos permitem estimar a forma reduzida do modelo. Entretanto, em geral não 
é possível recuperar os parâmetros da forma estrutural a partir da forma reduzida”. Comente. 
 
O economista estima o VAR correspondente à forma reduzida do modelo acima, obtendo: 
 
tttt
tttt
eyyy
eyyy
,21,2)9.3(1,1)5.2(,2
,11,2)0.1(1,1)0.3(,1
ˆ8.02.0
ˆ1.05.0
++−=
++=
−−
−−
 
 
d) “Dado que te ,1ˆ é uma estimativa dos choques na taxa de juros, os resultados do VAR acima nos 
permitem afirmar que um choque restritivo de política monetária no período t não afeta o hiato do 
produto contemporaneamente, mas causa uma redução do hiato do produto no período t+1”. 
Comente cuidadosamente (mas sucintamente!). 
 
e) O economista decide estimar as “funções de resposta a impulso” do modelo através do método 
padrão na análise de modelos VAR, baseado na “decomposição de Choleski”. 
 
(e.1) O que é uma “função de resposta a impulso”? 
 
(e.2) Explicite todas as restrições que devem ser impostas ao modelo estrutural através do método da 
decomposição de Choleski, explicando de que forma a imposição dessas restrições resolve o 
problema de identificação do modelo estrutural. 
 
f) No caso de um VAR bivariado, a decomposição de Choleski pode ser obtida através de duas 
especificações alternativas da matriz de relações contemporâneas B. O que diferencia essas 
especificações? Qual delas você julga mais adequada ao caso em questão? Por quê? 
 
g) “De acordo com o VAR estimado acima, é possível afirmar que a taxa de juros causa o hiato do 
produto no sentido de Granger. Mas isso não significa necessariamente que a política monetária 
tenha efeitos reais”. Comente cuidadosamente. 
 
RESPOSTA 
 
a) Método 1: Regressão do PIB em uma tendência determinística linear; nesse caso, o hiato do produto 
seria dado pelo resíduo da regressão. Método 2: decomposição do PIB em componentes de 
“tendência” e “ciclo” pelo filtro de Hodrick-Prescott (HP). A diferença entre os dois métodos reside 
no fato de que, sob o método 1, a tendência estimada de crescimento do PIB é constante ao longo da 
amostra, enquanto que, sob o método 2, essa tendência pode variar de modo “suave”. Espera-se que 
os dois métodos gerem resultados semelhantes se a tendência de crescimento do PIB ao longo da 
amostra for de fato aproximadamente constante. 
 
b) A forma reduzida é dada por: 
tt
ttt
ttt
uBvB
vyy
uByBByB
11
1
1
1
11
Γ,:
Γ
−−
−
−
−
−−
==Π
+Π=⇒
+=
onde
 
 
c) A forma reduzida resume a dinâmica das variáveis endógenas como função de variáveis exógenas ou 
predeterminadas e pode, portanto, ser estimada sem problemas (pois não há problemas de 
endogeneidade na estimação).
Entretanto, existem infinitos modelos estruturais compatíveis com 
determinada forma reduzida, de modo que a estimação da forma reduzida – isto é, das correlações 
entre variáveis endógenas e exógenas – não permite saber qual é o modelo estrutural subjacente. 
Esse problema pode ser verificado facilmente ao constatar-se que a forma reduzida contém menos 
parâmetros do que a forma estrutural, de modo que, na ausência de restrições adicionais ao modelo 
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 35
estrutural, existem infinitas combinações dos parâmetros do modelo estrutural compatíveis com os 
parâmetros estimados da forma reduzida. 
 
d) A afirmativa é falsa. O VAR é a forma reduzida de um modelo estrutural, de modo que seus resíduos 
não podem ser interpretados como “choques estruturais”. Na verdade, os resíduos do VAR são 
combinações lineares dos choques estruturais (choque de juros e no hiato do produto) e, portanto, 
não são facilmente interpretáveis. Note que um choque nos juros pode afetar ambos os resíduos e1 e 
e2 do VAR e, portanto, causar aumentos imediatos em ambas as variáveis endógenas. 
 
e) (e.1) Uma função de resposta a impulso traça o efeito esperado de um choque em uma variável do 
sistema sobre outra ao longo do tempo, desde o momento do choque. 
 
(e.2) A forma estrutural contém, em geral, um excesso de N2 parâmetros em relação à forma 
reduzida, onde N é o número de variáveis endógenas do sistema. No caso em questão, temos, 
portanto, um excesso de 4 parâmetros, que pode ser eliminado através da imposição de pelo menos 4 
restrições à forma estrutural. O primeiro conjunto de restrições do procedimento padrão de 
identificação seria a normalização da matriz B – ou seja, definir b11=b22=1 (logo, duas restrições). 
O segundo conjunto de restrições envolve a hipótese de que os choques estruturais não são 
correlacionados, de modo que a matriz de variância-covariância dos distúrbios estruturais (u) é 
diagonal; no caso em questão, essa é uma matriz 2x2, de modo que essa hipótese implica uma 
restrição adicional (covariância zero entre u1 e u2). Finalmente, o terceiro conjunto de restrições 
determina uma “ordenação causal” das variáveis endógenas pela suposição de que uma variável é 
afetada contemporaneamente apenas pelo seu próprio choque, a segunda variável é afetada 
contemporaneamente pelo seu choque e pelo choque da primeira variável, e assim por diante. No 
caso em questão, poderíamos supor b12=0 ou b21=0, dependendo de qual variável julgássemos 
“mais exógena”, obtendo assim a última restrição necessária para identificar o modelo estrutural. 
 
f) Conforme dito acima, poderíamos supor b12=0 ou b21=0, dependendo de qual variável julgássemos 
“mais exógena”. No caso em questão, seria mais razoável supor b21=0 se acreditássemos que o 
Banco Central fosse capaz de observar o hiato do produto contemporâneo e reagisse a ele mexendo 
na taxa de juros (provavelmente com o objetivo de controlar a inflação, que depende do hiato do 
produto), ao passo que o hiato demoraria pelo menos 1 período a reagir aos juros. 
 
g) A afirmativa está correta. Dado que a taxa de juros defasada é significativa na equação do hiato 
(estatística-t=2,5), rejeita-se a hipótese nula de não-causalidade. Mas esse pode ser um resultado 
meramente estatístico, pois, como vimos nas questões 1 e 2 desta lista, o comportamento 
antecipatório dos agentes econômicos pode gerar situações “espúrias” de causalidade de Granger. 
 
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 36
Questão 5 – Suponha que as relações entre 3 variáveis possam ser descritas por um VAR(p): 
 
tptp2t21t1t vxΠ...xΠxΠx ++++= −−− 
 
onde: 
xt = vetor (3 x 1) de variáveis (X1, X2 e X3) 
ΠΠΠΠi = matrizes (3 x 3) de parâmetros 
vt = vetor (3 x 1) de distúrbios 
 
a) Que método de estimação você usaria para estimar o modelo VAR acima? Como você 
determinaria a ordem de defasagens (p) do modelo? 
b) Suponha que um economista tenha decidido identificar o modelo estrutural associado ao 
VAR acima através da imposição de uma estrutura recursiva de relações contemporâneas 
com a seguinte ordenação causal: X1⇒X2⇒X3. Além disso, suponha que X2 não cause X1 
no sentido de Granger. Com base unicamente nessas informações, o que podemos dizer 
sobre as matrizes ΠΠΠΠi do VAR? E sobre as funções de resposta a impulso do modelo? 
Explique sua resposta. 
 
RESPOSTA 
 
a) Estimaria cada equação por MQO. A fim de determinar a ordem de defasagens do VAR, pode-se 
estimar o modelo para todas as possíveis defasagens entre 1 e um número máximo arbitrário, e 
selecionar a especificação para a qual o valor calculado de algum critério de informação (Akaike ou 
Schwarz, por exemplo) seja o mais baixo, e cujos resíduos não apresentem auto-correlação. 
 
b) Como X2 não causa X1 no sentido de Granger, sabemos que os elementos (1,2) das matrizes 
ΠΠΠΠi do VAR são todos zero. No que se refere às funções de resposta a impulso, sabemos que 
X1 é afetada contemporaneamente apenas por seu próprio choque estrutural (dada a 
estrutura recursiva de relações contemporâneas suposta), mas pode ser afetada pelos demais 
choques em períodos posteriores, pois os choques de X2 e X3 afetam essas variáveis, que 
por sua vez aparecem defasadas na equação de X1. Note que, apesar de X2 não afetar X1 
diretamente (tanto contemporaneamente como com defasagem), um choque em X2 pode 
afetar X1 indiretamente, através de X3. 
 
 
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 37
Questão 6 – Com o objetivo de testar a hipótese de “neutralidade da moeda” – isto é, a hipótese de 
que a moeda não tem efeitos reais –, um economista decide verificar se a moeda causa o produto no 
sentido de Granger a partir do seguinte VAR, estimado com 120 dados trimestrais 
dessazonalizados: 
 
1
1)5.3(1)0.5()1.2(
ˆ15.060.001.0 tttt uymm +++= −− 
2
1)2.4(1)0.3()1.2(
ˆ30.020.001.0 tttt uymy +++= −− 
 
onde m é a taxa de emissão monetária, y é a taxa de crescimento do produto e ituˆ denota o resíduo 
da i-ésima equação. Os valores entre parênteses são as estatísticas-t. 
 
(a) (1,0 ponto) É possível, a partir dessas informações, testar se a moeda causa o produto no 
sentido de Granger? Caso positivo, realize o teste. Caso negativo, indique como você 
poderia realizar o teste. 
 
(b) (1,0 ponto) Suponha que m e y façam parte de um sistema de equações mais amplo, que 
inclua uma terceira variável macroeconômica (x) e cuja dinâmica possa ser representada 
pelo VAR abaixo: 
 










+




















=










−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
y
x
m
y
x
m
,3
,2
,1
1
1
1
3332
22
1211
0
00
0
γγ
γ
γγ
 
 
 À luz dessa nova informação, comente sobre a validade do teste do item anterior 
 como forma de testar a hipótese de “neutralidade da moeda”. 
 
RESPOSTA 
 
(a) Sim, é possível testar se a moeda causa o produto no sentido de Granger. Para tanto, 
devemos simplesmente testar a significância da defasagem de m na equação de y. Como a 
estatística-t em questão (3) é muito maior do que o valor crítico aproximado de 2 (ao nível 
de significância de 5%), podemos rejeitar a hipótese nula de que esse coeficiente é zero – e, 
portanto, concluir que m causa y no sentido de Granger. 
 
(b) O sistema deixa claro que m não causa y no sentido de Granger, pois o coeficiente de m(t-1) 
na equação de y(t) é zero. Logo, o teste do item anterior estaria nos levando a uma 
conclusão equivocada. A razão para isso decorre, como podemos ver, do fato de que o VAR 
bivariado
anterior omitia a variável x, que na verdade causa m e y no sentido de Granger 
(note que os coeficientes de x(t-1) nas equações de m e y não são nulos). Assim, o teste 
anterior estava viesado devido a um problema de variável omitida. 
 
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 38
Questão 7 – Um economista estima um modelo VAR para o PIB e o déficit fiscal, com o número de 
defasagens de cada variável variando entre 1 e 5. A tabela abaixo apresenta os valores do critério de 
informação de Akaike para cada especificação: 
 
Número de 
defasagens 
C.I. 
Akaike 
1 10.18 
2 10.08 
3 10.02 
4 10.20 
5 10.45 
 
i) Qual é o número ótimo de defasagens do VAR segundo o critério de Akaike? O que você pode 
dizer sobre o número ótimo de defasagens do VAR a que o economista teria chegado se ele 
tivesse se baseado no critério de informação de Schwarz? (0,75 PONTO) 
 
ii) Um economista deseja testar a hipótese de que o déficit fiscal causa o PIB no sentido de 
Granger. Explique como ele poderia realizar esse teste, especificando adequadamente as 
hipóteses nula e alternativa. (0,5 PONTO) 
 
iii) Após realizar os testes apropriados, o economista conclui que o déficit fiscal causa o PIB no 
sentido de Granger, sendo que déficits mais elevados são seguidos por valores mais baixos do 
PIB. Na opinião do economista, esse resultado corrobora a tese de que a política fiscal tem 
efeitos “não-keynesianos” – ou seja, aumentos de gastos e/ou reduções de impostos, que levem 
ao aumento do déficit, geram redução da atividade econômica. Por que o resultado do teste de 
causalidade de Granger não corrobora necessariamente a tese dos efeitos não-keynesianos da 
política fiscal? Exemplifique sua resposta através de dois argumentos econômicos distintos. (1 
PONTO) 
 
iv) Outro economista argumenta que, a fim de testar a hipótese de efeitos não-keynesianos da 
política fiscal, o mais correto seria estimar o efeito de um “choque” fiscal sobre o PIB, através da 
estimação de “funções de resposta a impulso”; para tanto, porém, seria necessário identificar o 
“modelo estrutural” que teria dado origem ao VAR em questão. Explique o que é uma função de 
resposta a impulso, e por que esse tipo de análise só faz sentido quando realizado com base no 
modelo na “forma estrutural” (e não na “forma reduzida”). (0,75 PONTO) 
 
v) Explique detalhadamente como o economista poderia identificar o modelo estrutural que teria 
dado origem ao VAR estimado acima. (1 PONTO) 
 
RESPOSTA 
 
i) O critério de Akaike sugere 3 defasagens (menos valor da estatística). O critério de informação de 
Schwarz nunca leva a um modelo com mais parâmetros do que o critério de Akaike; logo, de acordo 
com o critério de Schwarz, o número ótimo de defasagens será, no máximo, 3. 
 
ii) O objetivo é testar a significância conjunta das defasagens do déficit na equação do PIB, com: 
• H0: os coeficientes de todas as defasagens do déficit na equação do PIB são nulos 
• H1: algum desses coeficientes é diferente de zero 
Sob H0, o déficit não causa o PIB; sob H1, causa. 
 
iii) O teste de causalidade de Granger tem a ver com a idéia de “precedência temporal”, mais do que 
com “causalidade no sentido econômico”. É possível que a observação de certa variável X no 
período t ajude a prever outra variável Y no período t+1, mesmo que X não “cause” Y no sentido 
econômico. No caso em questão, é possível que déficits fiscais sejam seguidos de quedas no PIB 
devido, por exemplo, a: (i) comportamento antecipatório do governo, que, prevendo que o PIB cairá 
no futuro, aumenta seus gastos no presente, de modo a sustentar o nível de atividade (nesse caso, a 
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 39
atuação do governo estaria evitando uma queda maior do PIB); (ii) efeito de alguma variável 
omitida, como a taxa de juros, que aumente o déficit no presente e reduza o PIB no futuro. 
 
iv) Uma função de resposta a impulso é uma representação (gráfica ou numérica) da resposta, ao longo 
do tempo, de certa variável Y a um aumento inesperado (“choque”) em outra variável X. O VAR é a 
forma reduzida de um modelo estrutural, de modo que seus resíduos não podem ser interpretados 
como “choques estruturais”. Na verdade, os resíduos do VAR são combinações lineares dos choques 
estruturais, que são os choques que nos interessam. Daí a necessidade de identificar o modelo 
estrutural 
 
v) A forma estrutural contém, em geral, um excesso de N2 parâmetros em relação à forma reduzida, 
onde N é o número de variáveis endógenas do sistema. No caso em questão, temos, portanto, um 
excesso de 4 parâmetros, que pode ser eliminado através da imposição de pelo menos 4 restrições à 
forma estrutural. Uma possibilidade seria usar o método de Cholesky. Seja o modelo estrutural dado 
por: 
 
tt2t21t1t uxΓxΓxΓBx +++= −−− 33 
 
onde: 
xt = vetor (2 x 1) de variáveis (déficit, PIB) 
ΠΠΠΠi = matrizes (2 x 2) de parâmetros 
ut = vetor (2 x 1) de distúrbios 
 
O primeiro conjunto de restrições do procedimento padrão de identificação seria a normalização da 
matriz de relações contemporâneas B – ou seja, definir b11=b22=1 (logo, duas restrições). O 
segundo conjunto de restrições envolve a hipótese de que os choques estruturais não são 
correlacionados, de modo que a matriz de variância-covariância dos distúrbios estruturais (u) é 
diagonal; no caso em questão, essa é uma matriz 2x2, de modo que essa hipótese implica uma 
restrição adicional (covariância zero entre u1 e u2). Finalmente, o terceiro conjunto de restrições 
determina uma “ordenação causal” das variáveis endógenas pela suposição de que uma variável é 
afetada contemporaneamente apenas pelo seu próprio choque, a segunda variável é afetada 
contemporaneamente pelo seu choque e pelo choque da primeira variável, e assim por diante. No 
caso em questão, poderíamos supor b12=0 ou b21=0, dependendo de qual variável julgássemos 
“mais exógena”, obtendo assim a última restrição necessária para identificar o modelo estrutural. 
 
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