Aula_06__series_sazonais_ho_b

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APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
 
Aula 6 – Métodos de amortecimento exponencial para série sazonais 
 
 
1. Introdução 
 
 A sazonalidade de uma série temporal pode ser modelada de duas formas: 
 
1) Por meio de fatores sazonais, séries de S valores, um para cada período do ciclo sazonal. 
 
2) Por meio de funções trigonométricas, que descrevam o ciclo sazonal por combinações de 
senos e cossenos. Este método é menos usado na prática. 
 
 
1.1. Modelos baseados em fatores sazonais 
 
O fator sazonal correspondente ao mês t será representados por ρm(t). A cada instante, a 
média da série será somada (modelo aditivo) ou multiplicada (modelo multiplicativo) pelo 
fator correspondente ao mês t. 
 
Cada modelo será composto portanto de três componentes: 
 
- um valor médio, que pode ser uma constante ou uma função de t: 
µ (modelo constante) ou 
tt δµµ += 0 (modelo linear) 
- um fator sazonal ρm(t), correspondente ao mês t 
- um erro aleatório εt 
 
Estes componentes podem ser combinados de duas formas: 
Modelo aditivo: 
t
tm
ttZ ερµ ++= )( 
 
Modelo multiplicativo: 
t
tm
ttZ ερµ += )( 
 
 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
2. Modelos 
 
2.1. Modelo sazonal constante aditivo 
 
a) Modelo: 
t
tm
tZ ερµ ++= )( 
 
 
b) Previsão: 
)|(ˆ | TkTTkT ZEZ Z++ = 
)(
| ˆˆˆ
kTm
TTTkTZ
+
+ += ρµ 
 
onde )( kTmT +ρ é o fator sazonal correspondente ao mês para o qual se faz a previsão 
(T+k), estimado no instante T. 
 
c) Atualização dos parâmetros: [ ] 1)(1 ˆ)1(ˆˆ −− −+−= TTmTTT Z µαραµ 
[ ] )(1)( ˆ)1(ˆˆ TmTTTTmT Z −−+−= ργµγρ 
 
Observações: 
 
1) Na primeira equação, o termo 
)(
1ˆ
Tm
TTZ −− ρ 
 
a diferença entre o valor observado e o fator sazonal é uma estimativa dessazonalizada 
do nível µ 
 
da série; o que a equação faz é uma média ponderada entre esta estimativa e 
a estimativa que tinha sido obtida anteriormente, 1ˆ −Tµ . 
 
2) Na segunda equação, o termo 
TTZ µˆ− 
 
Ou seja, a diferença entre o valor observado e o nível da série é uma estimativa do 
fator sazonal para aquele mês; o que a equação faz, portanto, é tirar a média entre esta 
estimativa e a estimativa anterior, )(1ˆ
Tm
T −ρ . 
 
3) A cada mês, só é atualizado um fator sazonal (o que corresponde àquele mês); os 
outros permanecem inalterados: 
)(
1
)(
ˆˆ
jm
T
jm
T −= ρρ para ∀ j ≠ T 
 
Por exemplo, se estamos em setembro, e queremos os parâmetros µ e ρ: [ ] 1)(1 ˆ)1(ˆˆ −− −+−= TsetmTTT Z µαραµ 
[ ] )(1)( ˆ)1(ˆˆ setmTTTsetmT Z −−+−= ργµγρ 
 
Onde )(1ˆ setmT −ρ é a estimativa que tínhamos, até no mês passado (agosto), para o fator 
sazonal correspondente a setembro (calculada, na verdade, em setembro do ano 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
passado); e )(ˆ setmTρ é a estimativa atualizada deste fator sazonal, pode ser feita agora 
que temos o valor de ZT em setembro. 
Contudo, depois de atualizarmos o valor de )(ˆ TmTρ , teremos que normalizar toda a série 
de fatores - isto é, teremos que reajustar todos os fatores a cada instante (ver item (d)). 
 
d) Normalização: 
 
A cada mês, a série de fatores deve ser normalizada a cada instante, para que seja 
obedecida a restrição: 
0
1
)(
=∑
=
S
i
im
Tρ onde S é o período sazonal 
 
Isto é feito pela expressão: 
S
S
i
im
T
jm
T
jm
T
∑
=
−=
1
*)(
*)()(
ˆ
ˆˆ
ρ
ρρ , para j=1,2,...,S 
 
onde *ˆ )( jmTρ indica os fatores sazonais antes da normalização 
 
 
2.2. Modelo constante multiplicativo 
 
a) Modelo 
t
tm
tZ εµρ += )( (5.3.1) 
 
b) Previsão 
)(
| ˆˆˆ
kTm
TTTkTZ
+
+ = ρµ 
 
c) Atualização dos parâmetros: 
1)(
1
ˆ)1(
ˆ
ˆ
−
−
−+





= TTm
T
T
T
Z µα
ρ
αµ 
)(
1
)(
ˆ)1(
ˆ
ˆ
Tm
T
T
TTm
T
Z
−
−+





= ργ
µ
γρ 
 
Note que os fatores sazonais são atualizados uma vez por ano, no mês correspondente; 
no resto do ano, permanecem os mesmos: 
)(
1
)(
ˆˆ
jm
T
jm
T −= ρρ para ∀ j ≠ T 
 
Contudo, depois de atualizarmos o valor de )(ˆ TmTρ , teremos que normalizar toda a série 
de fatores - isto é, teremos que reajustar todos os fatores a cada instante (ver item (d)). 
 
d) Normalização 
Os fatores devem ser normalizados a cada instante, de forma que: 
S
S
j
jm
T =∑
=1
)(ρˆ onde S é o período sazonal 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
 
Isto é feito da seguinte forma: 
∑
=
= S
i
im
T
jm
T
jm
T
S
1
)(
)()(
*ˆ
*ˆˆ
ρ
ρρ para j=1,2,...,S 
 
 onde *ˆ )( jmTρ indica os fatores sazonais antes da normalização 
 
 
2.3. Modelo linear aditivo 
 
a) Modelo 
 t
tm
ttZ ερµ ++= )( 
 onde tt δµµ += 0 
 
 fazendo T=0 
T
Tm
TTZ ερµ ++= )( 
1
)1(
11 +
+
++ ++= T
Tm
TTZ ερµ onde δµµ +=+ TT 1 
2
)2(
22 +
+
++ ++= T
Tm
TTZ ερµ onde δµµ 22 +=+ TT 
kT
kTm
kTkTZ +
+
++ ++= ερµ )( onde δµµ kTkT +=+ 
 
b) Previsão (supondo T=0) 
)(
| ˆˆˆˆ
kTm
TTTTkT kZ
+
+ ++= ρδµ 
 
 
c) Atualização 
Do nível µ: 
)ˆˆ)(1()ˆ(ˆ 11)(1 −−− +−+−= TTTmTTT Z δµαραµ 
 
Da declividade δ: 
 11
ˆ)1()ˆˆ(ˆ
−−
−+−= TTTT δβµµβδ 
 
Dos fatores sazonais: 
)(
1
)(
ˆ)1()ˆ(ˆ TmTTTTmT Z −−+−= ργµγρ 
)(
1
)(
ˆˆ
jm
T
jm
T −= ρρ para j=1,2,...S; j ≠ T 
 
 
d) Normalização 
Idêntica a do modelo constante aditivo 
 
 
2.4. Modelo linear multiplicativo (Método de Holt-Winters) 
 
a) Modelo 
 t
tm
ttZ ερµ += )( 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
 onde tt δµµ += 0 
 
b) Previsão 
)(
| ˆ)ˆˆ(ˆ kTmTTTTkT kZ ++ += ρδµ 
 
c) Atualização 
Do nível: 
)ˆˆ)(1(
ˆ
ˆ 11)(
1
−−
−
+−+





= TTTm
T
T
T
Z δµα
ρ
αµ 
 
Da declividade: 
11
ˆ)1()ˆˆ(ˆ
−−
−+−= TTTT δβµµβδ 
 
Dos fatores sazonais: 
)(
1
)(
ˆ)1(
ˆ
ˆ
Tm
T
T
TTm
T
Z
−
−+





= ργ
µ
γρ 
)(
1
)(
ˆˆ
jm
T
jm
T −= ρρ j=1,2,...S; ∀ j ≠ T 
 
d) Normalização 
Idêntica a do modelo constante multiplicativo