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Análise e previsão de séries temporais. Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 12 – Processos AR 
 
 
1. Introdução 
 
O modo mais óbvio de modelar as autocorrelações existentes em uma série é usar um 
modelo que relacione diretamente o valor atual zt com os valores defasados zt-k. Por exemplo, 
um modelo da forma: 
tptpttt azzzz +++++= −−− φφφξ ...2211 (1) 
 
Este modelo faz a regressão do valor atual da série nos p valores anteriores da mesma série e 
num choque at; é chamado por isso de modelo auto-regressivo de ordem p. Se escrevermos 
em termos dos valores centrados µ−= tt zz , 
tptpttt azzzz ++++= −−− φφφ ...2211 (2) 
 
Agrupando os valores de zt no lado esquerda da equação, 
tptpttt azzzz =−−−− −−− φφφ ...2211 
tt
p
pttt azBzBzBz =−−−− φφφ ...221 
tt
p
p azBBB =−−−− )...1( 221 φφφ 
tt azB =Φ )( 
 
É claro portanto que um modelo destes não é mais do que um caso especial do filtro linear 
que vimos antes, na sua forma invertida, 
...
2
21 +++= tttt zBBzza pipi (3) 
 
onde )()( BB Π=Φ . 
 
 
2. Condições de estacionariedade e invertibilidade de um modelo AR 
 
2.1. Estacionariedade 
 
 Como vimos antes, iremos nos interessar a princípio por processos estacionários. Por 
isso, precisaremos investigar quais as condições necessárias para que cada modelo represente 
um processo estacionário. 
Por exemplo, para um processo AR(1) definido como 
ttt azz += −11φ 
 
é fácil ver que é necessário que |φ| < 1, caso contrário tz cresceria indefinidamente. 
Para um processo AR(p) em geral, as condições de estacionariedade de são bem 
conhecidas, da teoria dos sistemas lineares. Dado um sistema definido em (3), o polinômio 
p
pBBBB φφφ −−−−=Φ ...1)( 221 (4) 
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é chamado de polinômio característico do processo. Igualando este polinômio a zero, 
obtemos a equação característica do processo: 
 0...1 221 =−−−−
p
pBBB φφφ (5) 
 
Para que um processo AR seja estacionário, é necessário que as raízes da equação 
característica estejam fora do círculo unitário; i.e., que 
1|| >B 
 
Por exemplo, o processo definido pelo modelo 
tttt azzz ++= −− 21 3.06.0 
tttt azzz =−− −− 21 3.06.0 
tt azBB =−− )3.06.01( 2 
 
é estacionário, porque as raízes de sua equação característica 
03.06.01 2 =−− BB 
 
tem ambas módulos maiores que a unidade: 
 B1 = 1,0817 e B2 = -3,0817 
 
Por outro lado, o processo definido pelo modelo 
tttt azzz ++= −− 21 3.08.0 
 
não é estacionário, porque sua equação característica 
03.08.01 2 =−− BB 
 
tem uma das raízes com módulo menor que a unidade: 
B1 = -3.5941 e B2 = 0.9274 
 
 
2.2. Invertibilidade: 
 
Um processo AR(p) será sempre invertível, uma vez que poderá ser escrito na forma 
inversa do filtro linear 
tt azB =Π )( 
 
com uma sequência de pesos pi finita. 
 
 
 
3. Propriedades estatísticas de um processo AR 
 
 
3.1. Média 
 
Para obtermos a média do processo AR(p), tomamos o valor esperado de ambos os 
membros da eq. (1): 
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tptpttt azzzz +++++= −−− φφφξ ...2211 
)...()( 11 tptptt azzEzE ++++= −− φφξ 
)(...)()()( 2211 ptpttt zEzEzEzE −−− ++++= φφφξ 
 
Se o processo é estacionário, os valores esperados a cada instante serão todos iguais 
µ=====
−−−
)(...)()()( 21 ptttt zEzEzEzE 
 
portanto, 
µφφφξµ )...( 21 p++++= 
ξµφφφµ =+++− )...( 21 p 
pφφφ
ξµ
−−−−
=
...1 21
 
 
No caso do modelo escrito com valores centrados em (2), a média µ do processo será nula, já 
que ξ=0. 
 
 
 
3.2. Função de autocorrelação 
 
(i) Cálculo recursivo da FAC 
 
Para séries centradas, de média nula µ=0, a função de autocovariância pode ser 
calculada como o valor esperado do produto cruzado tz × ktz − : 
kkttkttktt zzzzEzzE γµµ ==−−= −−− ),cov()])([()( (6) 
 
Lembrando da relação entre a série original e a série centrada (onde µz é a média da série 
original), 
ztt zz µ−= 
zktkt zz µ−= −− 
 
vemos que a função de autocovariância da série original também é dada pelo valor esperado 
do produto cruzado: 
kkttzktztktt zzzzEzzE γµµ ==−−= −−− ),cov()])([()( (7) 
 
Portanto, a função de autocovariância da série centrada tz é idêntica à da série original tz , e 
ambas serão representadas por γk. 
 
Para calcular o valor esperado do produto cruzado, uma relação de recorrência pode 
ser obtida multiplicando-se 
tptpttt azzzz ++++= −−− φφφ ...2211 
 
por ktz − , o que leva a 
tktktptpkttkttktt azzzzzzzzz −−−−−−−− ++++= φφφ ...2211 
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Tomando o valor esperado, 
)()(...)()()( 2211 tktktptpkttkttktt azEzzEzzEzzEzzE −−−−−−−− ++++= φφφ (8) 
 
O último termo de (8) é nulo, 
0)( =
− tkt azE 
 
porque ktz − depende apenas dos choques até o instante t-k, que são independentes do choque 
que acontecerá mais tarde, at. Obtemos portanto de (8) uma expressão que relaciona as 
covariâncias de defasamentos crescentes: 
pkpkkk −−− +++= γφγφγφγ ...2211 
 
Dividindo pela variância 0
2 γσ =z , obtemos a função de autocorrelação: 
pkpkkk −−− +++= ρφρφρφρ ...2211 (9) 
 
Observe que esta equação tem exatamente a mesma sequência de parâmetros do modelo 
AR(p) para a série zt (a única diferença é a parcela de erro, at): 
tptpttt azzzz ++++= −−− φφφ ...2211 
 
Portanto, dados os parâmetros φi de um modelo, podemos usar estas equações para 
calcular a FAC teórica deste modelo. Esta FAC será fundamental para a modelagem, uma vez 
que a metodologia de Box & Jenkins é baseada na comparação da FAC empírica de uma série 
dada com as FACs teóricas de um repertório de modelos candidatos. 
 
Pode ser demonstrado que as FACs dos processos AR estacionários formam uma 
sequência decrescente infinita, como uma mistura de exponenciais amortecidas ou de 
senóides amortecidas. É fácil de entender isto, intuitivamente. Suponhamos o modelo mais 
simples, o AR(1) centrado definido como 
ttt azz += −11φ 
 
É evidente no modelo que tz é dependente de 1−tz , e que existe portanto uma 
autocorrelação entre valores de instantes consecutivos, 01 ≠ρ . Contudo, tz também depende 
de 2−tz . Se escrevermos 
ttt azz += −11φ 
1211 −−− += ttt azz φ 
 
e substituimos 1−tz , 
 tttt aazz ++= −− )( 1211 φφ 
 tttt aazz ++= −− 112
2
1 φφ 
 
vemos que tz é função de 2−tz , e que portanto existe uma dependência entre tz e 2−tz , ainda 
que mais fraca que a dependência entre tz e 1−tz , uma vez que o coeficiente é menor 
( )121 φφ < ; existirá assim uma autocorrelação 02 ≠ρ . Prosseguindo neste raciocínio, veremos 
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que tz é também depende de 3−tz , 4−tz , etc. ; na verdade, tz irá depender de todos os valores 
passados da série, com autocorrelações cada vez menores, e a série de kρ será infinita. 
 
 
(ii) Equações de Yule-Walker 
 
Se fazemos sucessivamente k = 1, 2, ..., ρ, na equação (9), obtemos um sistema de equações 
lineares: 
112011 ... +−− +++= ppρφρφρφρ 
202112 ... +−+++= ppρφρφρφρ 
... 
02211 ... ρφρφρφρ pppp +++= −− 
 
Uma vez que a função de autocorrelação é simétrica (ρ
-k=ρk), e que ρ0=1: 
11211 ... −+++= ppρφρφφρ
22112 ... −+++= ppρφφρφρ 
... 
pppp φρφρφρ +++= −− ...2211 (10) 
 
- As equações que formam este sistema de equações lineares são chamadas de equações de 
Yule-Walker. 
 
- Permitem calcular os ρk de um modelo teórico, dados os φi, a partir de 10 =ρ 
 
- Permitem estimar os coeficientes φi, dadas estimativas amostrais da autocorrelação kρˆ 
(estas estimativas, contudo, não serão muito boas; estimativas melhores poderão ser 
obtidas por meio de regressão linear). 
 
 
3.3. Variância 
 
Na expressão (8), se fazemos k = 0, 
)()(...)()()( 2211 tttptptttttt azEzzEzzEzzEzzE ++++= −−− φφφ 
 
e usamos os resultados em (6), obtemos 
)(...22110 ttpp azE++++= −−− γφγφγφγ 
 
Lembrando que a autocorrelação é uma função par (γ
-k = γk), podemos reescrever esta 
expressão como 
)(...22110 ttpp azE++++= γφγφγφγ (11) 
 
Para calcular o valor do último termo em (11), escrevemos zt na forma de filtro linear 
(combinação linear choques at), 
...2211 +++= −− tttt aaaz ψψ 
 
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Multiplicando ambos os termos por at, 
...2211 +++= −− tttttttt aaaaaaaz ψψ (12) 
 
Uma vez que os choques são descorrelatados, quando tomamos os valores esperados todos os 
termos à direita em (12) serão anulados, com exceção do primeiro: 
2)()( atttt aaEazE σ== 
 
onde σa é a variância do ruído branco. Daí, podemos reescrever (11) e obter uma expressão 
que relaciona a variância do ruído branco com as autocorrelações da série zt: 
2
22110 ... app σγφγφγφγ ++++= 
 
Dividindo por γ0, 
0
2
2211 ...1 γ
σρφρφρφ app ++++= 
pp
a ρφρφρφ
γ
σ
−−−−= ...1 2211
0
2
 
 
Lembrando que γ0 é idêntico à variância 2zσ da série, 
0
2 γσ =z 
 
obtemos finalmente 
pp
a
z ρφρφρφ
σ
σ
−−−−
=
...1 2211
2
2
 (13) 
 
Note que variância do processo é independente de t (o que era esperado, já que o processo é 
estacionário).