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Introdução à Estatística Prof.: Anderson Novanta e Prof.: Angelo Siqueira
Capítulo 6
Noções de Probabilidade
6.1 Experimentos Aleatórios
Definição
Experimentos Aleatórios (E) são aquelas que, mesmo repetidos várias vezes, sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Ex:
	E1: Lançar uma moeda e observar a face de cima.
	E2: Lançar um dado e observar o número da face de cima.
E3: Um casal pretende ter dois filhos. Observam-se as seqüências dos sexos.
E4: De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 brancas, selecionar uma bola e observar sua cor.
E5: Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores desta moléstia.
6.2 Espaço Amostral 
Definição
Espaço Amostral (S) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Ex:	E1: Lançar uma moeda e observar a face de cima.
		S1 = {k, c}, onde k – cara e c – coroa
	E2: Lançar um dado e observar o número da face de cima.
		S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E3: Um casal pretende ter dois filhos. Observa-se as seqüências dos sexos.
S3 = {(m, m); (m, f); (f, m); (f, f)}, onde m – masculino. e f – feminino.
E4: De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 brancas, selecionar uma bola e observar sua cor.
	S4 = {v, b}, onde v – vermelho e b - branco.
E5: Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia, selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores desta moléstia.
	S5 = {0, 1, 2, ..., 20}
6.3 Evento
Definição
Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Exercício 6.1:
E1: Um dado é lançado e observa-se a face de cima.
		S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Determine os eventos:
	A: ocorrência de número ímpar. A = 
	B: ocorrência de número primo. B = 
	C: ocorrência de número maior do que 4. C = 
	D: ocorrência de número maior do que 6. D = 
E2: Um casal pretende ter três filhos, e observa-se as seqüências dos sexos. 
Determine os eventos:
	A: ocorrência de sexo masculino (m) no 1º nascimento.
		A =
	B: ocorrência de exatamente um filho do sexo feminino (f).
		B =
	C: ocorrência de, no máximo, dois filhos do sexo feminino (f).
		C =
	D: ocorrência de pelo menos dois filhos do sexo masculino (m).
		D =
6.4 Probabilidade em Espaços Finitos
Definição
Dada uma experiência aleatória E, definida num espaço amostral finito S, digamos S = {a1, a2, ..., an}. A cada evento elementar {ai} vamos associar um número real, indicado por pi, chamado probabilidade do evento {ai}, satisfazendo as seguintes condições:
0 ( pi ( 1;
p1 + p2 + … + pn = 1
6.5 Probabilidade em Espaços Finitos Equiprováveis
Definição
Dada uma experiência aleatória uniforme E, definida num espaço amostral finito equiprovável S, define-se probabilidade de um evento A, contido em S, como sendo o quociente entre o número de elementos do evento A e o número de elementos do espaço amostral S, isto é, é o número de casos favoráveis ao evento, dividido pelo número total de casos.
onde:
n(A) é o número de elementos do evento A.
n(S) é o número de elementos do espaço amostral S.
6.5.1 Propriedades
Para todo evento A, 0( P(A) ( 1;
P(S) =1;
Se A ( B ( ( então P(A ( B) = P(A) + P(B).
Obs: Se A e B forem eventos quaisquer, então
 
P(A ( B) = P(A) + P(B) – P(A ( B)
Exercício 6.2: Determinar as probabilidades dos eventos do exercício 6.1.
6.6 Probabilidade Condicionada
Definição
Dados dois eventos, A e B, denotaremos por P(A|B) a probabilidade condicionada do evento A, quando o evento B tiver ocorrido, por:
, com P(B) ( 0.
ou
, com n(B) ( 0.
Ex: Seja o seguinte experimento E: Lançar um dado e observar a face de cima e sejam os seguintes eventos A: sair o número 5 e B: sair um número ímpar.
	P(A) = 
 (probabilidade de ocorrer o número 5)
	P(A|B) = 
 (probabilidade de ocorrer o número 5, dado que ocorreu um número ímpar)
6.7 Teorema da Multiplicação
Definição
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade da ocorrência simultânea desses dois eventos, do mesmo espaço amostral, é dada por
P(A ( B) = P(A) ( P(B), se A e B forem independentes.
P(A ( B) = P(A) ( P(B|A), se A e B não forem independentes.
Obs: Dois eventos são ditos independentes, quando a realização de um dos eventos não afeta a realização do outro.
Exercício 6.3
Uma moeda será lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas?
Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade das duas bolas serem brancas?
Obs: Dado um evento A, com probabilidade P(A), a probabilidade de que esse evento se repita n vezes é dada por
Se a ocorrência do evento A em cada uma das vezes não for afetada pelas ocorrências anteriores, então
Exercício 6.4
Em uma farmácia temos 12 frascos do medicamento “Y”, dos quais 4 estão com a validade vencida. Se um freguês vai comprar dois desses frascos, qual a probabilidade de levar os dois com validade vencida ?
A probabilidade de determinado teste para a AIDS dar resultado negativo em portadores de anticorpos contra o vírus (falso negativo) é 10%. Supondo que falsos negativos ocorrem independentemente, qual é a probabilidade de um portador de anticorpos contra o vírus da AIDS, que se apresentou três vezes para o teste, ter tido, nas três vezes resultado negativo ?
6.8 Árvore das Probabilidades
	Na solução de alguns problemas onde entram dois ou mais estágios, é conveniente utilizarmos métodos sistemáticos para o cálculo de eventos compostos. Um método gráfico que se mostrou muito útil, neste caso, é a árvore das probabilidades. Tais métodos são indicados sempre que o experimento diversos estágios. Com o intuito de mostrar como se constrói esta árvore, observe os exercícios abaixo.
	
Exercício 6.5: Em uma urna temos três bolas azuis, duas bolas brancas e uma bola vermelha. Duas bolas serão retiradas sem reposição.
Exercício 6.6: Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica, são:
moléstia X: 0,8
moléstia Y: 0,9
moléstia Z: 0,95
Um enfermo saiu curado desta clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a moléstia Y?
Exercícios
Um casal pretende ter três filhos. Construa o espaço amostral e determine a probabilidade de:
os três filhos serem do sexo feminino ?
exatamente dois desses filhos serem do sexo masculino ?
pelo menos um desses filhos ser do sexo masculino ?
No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas (aa) ocorrem ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se estas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem ervilhas amarelas e verdes, na proporção de três para uma. Suponha que foram pegas ao acaso, três ervilhas resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a probabilidade das três serem verdes ?
Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sangüíneo O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o fator Rh independe do tipo sangüíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser:
O e Rh+
AB e Rh– 
Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de acordo com a tabela
Solteiro
(S)
Casado
(C)
Desquitado
(D)
Viúvo
(V)
Masculino (M)
50
60
40
30
Feminino (F)
150
40
10
20
	Uma pessoa é escolhida ao acaso, determine:
	a) P(S) b)
P(S|M) c) P(F ( V) d) P(F ( D) e) P(M|C)
Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado. Qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste?
Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi positivo?
Sabe-se que um homem e uma mulher são heterozigotos para um gene recessivo que causa o albinismo. Se eles tiverem dois filhos (não importa o sexo), a probabilidade de os dois serem normais é:
O albinismo (ausência de pigmentação da epiderme) é condicionado por gene recessivo. O alelo dominante condiciona pigmentação normal. Dois indivíduos normais, netos de uma mesma avó albina e, portanto, primos em primeiro grau, tiveram um filho albino. Qual a probabilidade de ser albina uma outra criança que esse casal venha a ter?
Observe o heredograma abaixo, que representa a ocorrência de uma anomalia numa família:
A probabilidade de nascer uma menina afetada do cruzamento 3 com 11 é:
O heredograma abaixo esquematizado se refere à herança de uma doença autossômica, transmitida segundo o que determina a primeira lei de Mendel:
Feita a análise genotípica do heredograma em estudo, com relação a condição fenotípica da prole do casal formado pelos indivíduos 9 e 10, constata-se que há duas possibilidades em relação ao genótipo do referido casal:
1ª) permite gerar filhos normais e doentes;
2ª) permite gerar apenas filhos normais.
Determine a probabilidade de que o referido casal tenha genótipo que só permita gerar filhos normais.
O heredograma abaixo representa uma família com casos de albinismo, anomalia herdada como autossômica recessiva.
Há probabilidade de o casal III.3 x III.4 ter descendentes albinos? Por quê?
O casal III.3 e III.4 tiveram uma criança albina, qual a probabilidade deles terem uma segunda criança albina?
A acondroplasia é uma distrofia osteocartilaginosa de fundo hereditário que implica no mau desenvolvimento do esqueleto, justificando a manifestação do nanismo (característica do anão). O heredograma abaixo mostra a transmissão do nanismo acondroplásico numa família. Veja o gráfico e, depois, responda ao que se pede.
O nanismo acondroplásico é causado por gene dominante ou recessivo?
Qual a probabilidade de o casal n.º 4 ter um filho que apresente a anomalia?
Qual a probabilidade que existe de o casal n.º 4 vir a ter 3 filhos seguidos todos normais, não importando o sexo das crianças?
Bibliografia Suplementar
[1]	TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro, LTC, 1999.
[2]	LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. São Paulo, Makron Books, 1993.
[3] LEVINE, D.L., et al. Estatística: Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro, LTC, 1998.
[4] MEYER, P.L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro, LTC, 1983.
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Capítulo 6: Noções de Probabilidades
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