Prova1 -Diurno- Gabarito

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GCC103 - Matemática Discreta
Prova 1 - Turno Diurno
2011-2
Prof. Eric Fernandes de Mello Araujo
30 de Agosto de 2011
1. (20%) Suponha que lhe peçam que prove uma afirmação da
forma �Se A ou B, então C�. Explique por que é preciso provar (a)
�Se A, então C� e também (b) �Se B, então C�. Por que não é suficiente
provar apenas uma das partes (a) e (b)?
Resposta: Analisando a expreção a ser provada, e transformando-a para
uma linguagem simbólica, teríamos a seguinte expressão: (A ∨ B) → C. Daí,
transformando essa expressão em uma que utiliza apenas os conectivos lógicos
¬, ∨ e ∧, temos: ¬(A ∨ B) ∨ C. Aplicando a Lei de DeMorgan, temos que a
expressão anterior é equivalente a (¬A∧¬B)∨C. Aplicando a distributividade,
temos (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ C). Do mesmo modo como convertemos a expressao
condicional para uma que só utilize os conectivos básicos, podemos converter
essa em expressões condicionais, sendo: (A→ C)∧ (B → C). Repare então que
a primeira parte da expressão é a prova da letra (a) do enunciado do problema,
enquanto a segunda parte é correspondente à letra (b). Desse modo, provar
(A ∨B)→ C é logicamente equivalente a provar (a) (A→ C) e (b) (B → C).
2. (20%) Determine a oposta, a contrapositiva e a inversa de cada
uma das proposições condicionais:
(a) Se nevar hoje, esquiarei amanhã.
Contrapositiva →Se eu não esquiarei amanhã então não vai nevar hoje.
Oposta →Se esquiarei amanhã então vai nevar hoje.
Inversa →Se não nevar hoje, não esquiarei amanhã
(b) Eu venho à aula sempre que há uma prova. (ou Se há uma
prova então eu venho à aula)
Contrapositiva →Se eu não venho à aula, não há uma prova.
Oposta →Se eu venho à aula, então há uma prova.
Inversa →Se não há uma prova, então eu não venho à aula.
(c) Um inteiro positivo é um primo apenas se não tem divisores
além de 1 e dele mesmo. (ou Se um inteiro positivo não tem divisores
além de 1 e dele mesmo, então é um primo)
Contrapositiva →Se um inteiro positivo não é um primo, então ele tem
divisores além de 1 e dele mesmo.
1
Oposta →Se um inteiro positivo é um primo, então ele não tem divisores
além de 1 e dele mesmo.
Inversa→Se um inteiro positivo tem divisores além de 1 e dele mesmo, então
não é um primo.
3. (20%) Determine se cada um dos argumentos abaixo é válido.
Se o argumento estiver correto, qual regra de inferência foi utilizada?
Se não, quais erros lógicos foram cometidos?
(a) Se n é um número real, tal que n > 1, então n2 > 1. Suponha
que n2 > 1, então n > 1.
Resposta: Considerando as seguintes proposições simbólicas:
p: n é um número real tal que n > 1 e
q: n2 > 1,
temos que o argumento é posto da seguinte forma:
p→ q
q
∴ p
Esse argumento é inválido, sendo o erro cometido conhecido como erro
oposto.
(b) Se x2 6= 0, em que x é um número real, então x 6= 0. Considere
a como um número real com a2 6= 0; então a 6= 0.
Resposta: Considerando os seguintes predicados simbólicos:
P(x): x é um número real onde x2 6= 0
Q(x): x 6= 0
Temos o argumento posto da seguinte forma:
∀xP (x)→ Q(x)
P (a)
∴ Q(a)
Esse argumento é válido e a regra de inferência utilizada foi Modus Ponens
Universal.
4. (20%) Use as regras de inferência para mostrar que se ∀x(P (x)→
(Q(x)∧S(x))) e ∀x(P (x)∧R(x)) são verdadeiras, então ∀x(R(x)∧S(x)) é
verdadeira.
Resposta: Sejam as premissas e a conclusão colocadas abaixo:
P1: ∀x(P (x)→ (Q(x) ∧ S(x)))
P2: ∀x(P (x) ∧R(x))
Conclusão: ∀x(R(x) ∧ S(x))
Os seguintes passos podem ser utilizados para estabelecer a conclusão a
partir das premissas:
1. ∀x(P (x)→ (Q(x) ∧ S(x))) (P1)
2. P (a)→ (Q(a) ∧ S(a)) (Instanciação Universal de 1)
3. P (a) ∧R(a) (Instanciação Universal de P2)
4. P (a) (Simplificação de 3)
5. Q(a) ∧ S(a) (Modus Ponens de 2 e 4)
6. S(a) (Simplificação de 5)
7. R(a) (Simplificação de 3)
8. R(a) ∧ S(a) (Conjunção de 6 e 7)
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9. ∀x(R(x) ∧ S(x)) (Generalização Universal)
Conforme queríamos demonstrar.
5. (20%) Demonstre ou contrarie que o produto de um número
racional diferente de zero e um número irracional é irracional.
Questão anulada. A questão correta seria �Demonstre ou contrarie que o
produto de um número racional (diferente de zero) e um número irracional é
irracional�.
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