mat1162_lista_p3_2011_1

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MAT1162 - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
Lista de Exerc´ıcios para P3
Per´ıodo 2011.1
1 Exerc´ıcios do 2o Livro-Texto
1. Cap´ıtulo 3 — Integrais Duplas
Exerc´ıcios: todos das sec¸o˜es 3.1 ate´ 3.4
2. Cap´ıtulo 5 — Integrais Triplas
Exerc´ıcios: todos das sec¸o˜es 5.1 ate´ 5.4
2 Exerc´ıcios Complementares
1. Considere a integral iterada
I =
∫ 1
y=0
[∫ 2
x=2y
exp (−x2) dx
]
dy.
(a) Inverta a ordem de integrac¸a˜o de I.
(b) Calcule o valor de I.
2. Dada uma func¸a˜o real f e um domı´nio D ⊂ R2, o valor me´dio de f em D
e´ definido como
1
A(D)
∫ ∫
D
fdA,
onde A(D) e´ a a´rea de D.
Sendo D um disco de raio R, calcule
(a) O valor me´dio da distaˆncia ao centro de D.
(b) O valor me´dio do quadrado da distaˆncia ao centro de D.
3. Considere a regia˜o
U = {(x, y, z) ∈ R3| x
2 + y2
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≤ z ≤ 1}.
1
(a) Calcule o volume de U .
(b) Determine o valor de b de forma que o plano z = b divida U em duas
partes com volumes iguais.
4. Considere o tronco de cone
T = {(x, y, z) ∈ R3| z + 1 ≥
√
x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1}.
(a) Calcule o volume de T .
(b) Ache a posic¸a˜o do centro´ide de T .
5. Considere a regia˜o
U = {(x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
e a func¸a˜o f(x, y, z) =
√
x2 + y2. Denote por K a integral tripla de f em
U , ou seja,
K =
∫ ∫ ∫
U
√
x2 + y2 dV.
(a) Escreva K como treˆs integrais iteradas em coordenadas cil´ındricas.
(b) Escreva K como treˆs integrais iteradas em coordenadas esfe´ricas.
(c) Ache o valor de K.
6. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x e a regia˜o
R = {(x, y) ∈ R2| x2 + y4 ≤ 16, x+ 2y ≥ 4}.
Denote por L a integral dupla de f em R, ou seja,
L =
∫ ∫
R
x dA.
(a) Escreva L como duas integrais iteradas, integrando primeiro em x e
depois em y.
(b) Escreva L como duas integrais iteradas, integrando primeiro em y e
depois em x.
(c) Calcule o valor de L.
7. Considere a regia˜o
R = {(x, y) ∈ R2| exp (2x)− 1 ≤ y ≤ exp (x), x ≥ 0}.
(a) Esboce a regia˜o R, indicando o ponto de intersec¸a˜o (x0, y0) das curvas
y = exp(x) e y = exp (2x)− 1.
(b) Calcule a integral de f(x, y) = exp (−x) em R.
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8. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x e a regia˜o
R = {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 1}.
Denote por I a integral dupla de f em R, ou seja,
I =
∫ ∫
R
x dA.
(a) Escreva I como duas integrais iteradas em coordenadas cartesianas.
(b) Escreva I como duas integrais iteradas em coordenadas polares.
(c) Calcule o valor de I.
9. Considere a regia˜o
U = {(x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≥ 0, z ≥ 0}
e a func¸a˜o f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2. Denote por J a integral tripla de
f em U , ou seja,
J =
∫ ∫ ∫
U
√
x2 + y2 + z2 dV.
(a) Escreva J como treˆs integrais iteradas em coordenadas cil´ındricas.
(b) Escreva J como treˆs integrais iteradas em coordenadas esfe´ricas.
(c) Ache o valor de J .
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