Pacote Prova 2

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Prova 2/Aula 5 Parte 2.pdf
1
Probabilidade e EstatProbabilidade e Estatíística stica 
Aula 5 Aula 5 –– Parte 2Parte 2
2
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
� A distribuição Normal é talvez a mais importante das 
distribuições de probabilidade. 
� Muitos fenômenos físicos ou econômicos são 
freqüentemente modelados pela distribuição Normal. 
� É utilizada para descrever inúmeras aplicações 
práticas:
Exemplo:
� Altura e peso de pessoas e objetos
� Nível de chuvas
� Altura de árvores em uma floresta
3
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
� A distribuição Normal tem a forma de um sino, e possui 
dois parâmetros, µµµµ e σσσσ2 .
� A distribuição Normal é também chamada de 
Gaussiana em homenagem ao matemático Carl 
Friederich Gauss (1777 - 1855).
� A distribuição Normal também funciona como uma boa 
aproximação para outras densidades. 
Por exemplo: sob algumas condições pode-se provar que a 
densidade Binomial pode ser aproximada pela Normal.
4
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– FunFunçção de ão de 
Densidade de ProbabilidadeDensidade de Probabilidade
� Notação: X ~ N( µ , σ2 )
� Densidade Normal (com média µµµµ e variância σσσσ2)
( )
Reondeexf
x
∈>=
−
−
µσ
piσ
σ
µ
0.
2
1)( 22
2
2
2
5
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– GrGrááfico fico 
Densidade NormalDensidade Normal
Densidades Normais com média zero e variâncias 1, 2 e 4
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
-
3
-
2 . 8
-
2 . 6
-
2 . 4
-
2 . 2 - 2
-
1 . 8
-
1 . 6
-
1 . 4
-
1 . 2 - 1
-
0 . 8
-
0 . 6
-
0 . 4
-
0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2 2 . 2 2 . 4 2 . 6 2 . 8 3
N(0,1) N(0,2) N(0,4)
� A densidade é simétrica em torno de µ, e quanto maior o 
valor da variância σ2, mais "espalhada" é a distribuição.
6
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- GrGrááficofico
� A distribuição normal é completamente caracterizada por 
sua média µµµµ e seu desvio-padrão σσσσ
� A média define o deslocamento horizontal da curva, 
enquanto o desvio-padrão define o seu achatamento
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
5 10 15
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2 7 12 17
µµµµ=10 µµµµ=12
σσσσ =2,5
σσσσ =1,5
7
Distribuição Normal - Propriedades
� Propriedades:
1) f(x) como definida integra a 1.
2) f(x) > 0 sempre.
3) Os limites de f(x) quando x tende a + ∞∞∞∞ e - ∞∞∞∞ são 
iguais a zero.
4) A densidade N(µµµµ, σσσσ2) é simétrica em torno de µµµµ,
ou seja: f(µ µ µ µ + x) = f(µµµµ - x)
5) O valor máximo de f(x) ocorre em x = µµµµ
6) Os pontos de inflexão de f(x) são:
x = µ + σµ + σµ + σµ + σ e x = µ µ µ µ – σ.σ.σ.σ.
8
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– MMéédia, dia, 
Variância e FunVariância e Funçção de Distribuião de Distribuiççãoão
� Média e Variância:
Se X ~ N( µ , σ2 ) então: 
1) E(X) = µ ,
2) VAR(X) = σ2
� Função de Distribuição:
( )F x X x u du
x
( ) Pr( ) exp= ≤ = − −




−∞
∫
1
2 22
2
2
piσ
µ
σ
Não é possível resolver analiticamente esta integral –
precisamos de uma tabela!
9
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– Tabela de Tabela de 
Valores da FunValores da Funçção de Distribuião de Distribuiççãoão
� Nos livros temos a Tabela de probabilidade para a 
distribuição N(0,1)
� Problema: Não é possível criar uma tabela para cada uma das 
(infinitas) densidades Normais existentes
� É possível transformar uma variável N(µµµµ,σσσσ2) numa N(0,1) sem 
grandes dificuldades, e então podemos tabelar os valores da 
função de distribuição de uma N(0,1), e esta tabela pode ser 
usada para encontrar probabilidades envolvendo qualquer 
variável aleatória Normal.
� Solução: Trabalha-se com a densidade Normal com média 0 e 
variância 1, e converte-se todas as outras Normais para esta, 
chamada de Normal padrão ou Normal standard.
� A maioria dos livros de estatística fornece tabelas de 
probabilidade para a distribuição normal padronizada.
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DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal ––
TransformaTransformaççãoão
TransformaTransformaçção de ão de N( N( µµµµµµµµ , , σσσσσσσσ22 ) ) numa N(0,1)numa N(0,1)
�� Se X ~ N( Se X ~ N( µµ , , σσ22 ) ) entãoentão Z = (X Z = (X –– µµµµµµµµ)/)/σσσσσσσσ éé uma variuma variáável vel 
Normal com mNormal com méédia 0 e variância 1. dia 0 e variância 1. 
� Logo, para transformar uma variável aleatória Normal 
com quaisquer parâmetros numa Normal (0,1) você 
deve:
1- Subtrair a média 
2- Dividir o resultado por σσσσ, o desvio padrão
� A variável aleatória resultante deste procedimento é
uma N(0,1).
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DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal --
TransformaTransformaççãoão
� Se X pertence a uma distribuição normal com média µµµµ
e desvio-padrão σσσσ, seu valor normalizado é dado por 
Z:
� Tipos de Tabela: Existem dois tipos de tabela, que 
fornecem basicamente a mesma coisa:
1) Pr(0≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z0), ou seja, a probabilidade do lado 
direito da curva normal a partir da média até o 
valor z0
2) ΦΦΦΦ(z0) = Pr ( Z ≤≤≤≤ z0) = 0.5 + Pr (0≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ z0)
� Iremos trabalhar com a tabela da função de 
distribuição, isto é: ΦΦΦΦ(z0) 
A variável Z é Normal 
com média 0 e 
variância 1σ
µ−
=
XZ
12
Resumo:
� Toda variável Normal pode ser transformada numa 
Normal com média 0 e variância 1 (Normal Padrão).
� Logo, só existe a necessidade de criar uma única 
tabela para a função de distribuição acumulada.
� Se X é N( µµµµ , σσσσ2 ) então a variável Z = ( X - µ µ µ µ ) /σσσσ tem 
distribuição Normal com média zero e variância um, 
isto é, Z é N(0,1).
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal --
TransformaTransformaççãoão
13
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– CCáálculo lculo 
de Probabilidadesde Probabilidades
� TEOREMA: Cálculo de probabilidades para uma 
variável N(µ,σ2) usando a tabela da função de 
distribuição da N(0,1):
� Se X é uma variável Normal com média µµµµ e desvio 
padrão σσσσ então:
� onde Φ Φ Φ Φ é a função de distribuição da N(0,1), que é tabelada. 
� Nota: ΦΦΦΦ(z) = Pr ( Z ≤≤≤≤ z) (fornecido pela tabela)
� Através do teorema podemos calcular probabilidades de 
qualquer variável aleatória normal a partir da função de 
distribuição de N(0,1) tabelada





 −Φ−




 −Φ=≤≤





 −≤≤−=




 −≤−≤−=≤≤
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
abbXa
bZabXabXa
)Pr(
PrPr)Pr(
14
TabelaTabela dada N(0,1)N(0,1) ((ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = Pr(Z ) = Pr(Z ≤≤≤≤≤≤≤≤ zz00))))
z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z )
0 . 0 0 0 . 5 0 0 0 0 . 6 2 0 . 7 3 2 4 1 . 2 4 0 . 8 9 2 5 1 . 8 6 0 . 9 6 8 6
0 . 0 2 0 . 5 0 8 0 0 . 6 4 0 . 7 3 8 9 1 . 2 6 0 . 8 9 6 2 1 . 8 8 0 . 9 6 9 9
0 . 0 4 0 . 5 1 6 0 0 . 6 6 0 . 7 4 5 4 1 . 2 8 0 . 8 9 9 7 1 . 9 0 0 . 9 7 1 3
0 . 0 6 0 . 5 2 3 9 0 . 6 8 0 . 7 5 1 7 1 . 3 0 0 . 9 0 3 2 1 . 9 2 0 . 9 7 2 6
0 . 0 8 0 . 5 3 1 9 0 . 7 0 0 . 7 5 8 0 1 . 3 2 0 . 9 0 6 6 1 . 9 4 0 . 9 7 3 8
0 . 1 0 0 . 5 3 9 8 0 . 7 2 0 . 7 6 4 2 1 . 3 4 0 . 9 0 9 9 1 . 9 6 0 . 9 7 5 0
0 . 1 2 0 . 5 4 7 8 0 . 7 4 0 . 7 7 0 4 1 . 3 6 0 . 9 1 3 1 1 . 9 8 0 . 9 7 6 1
0 . 1 4 0 . 5 5 5 7 0 . 7 6 0 . 7 7 6 4 1 . 3 8 0 . 9 1 6 2 2 . 0 0 0 . 9 7 7 2
0 . 1 6 0 . 5 6 3 6 0 . 7 8 0 . 7 8 2 3 1 .
4 0 0 . 9 1 9 2 2 . 0 2 0 . 9 7 8 3
0 . 1 8 0 . 5 7 1 4 0 . 8 0 0 . 7 8 8 1 1 . 4 2 0 . 9 2 2 2 2 . 0 4 0 . 9 7 9 3
0 . 2 0 0 . 5 7 9 3 0 . 8 2 0 . 7 9 3 9 1 . 4 4 0 . 9 2 5 1 2 . 0 6 0 . 9 8 0 3
0 . 2 2 0 . 5 8 7 1 0 . 8 4 0 . 7 9 9 5 1 . 4 6 0 . 9 2 7 9 2 . 0 8 0 . 9 8 1 2
0 . 2 4 0 . 5 9 4 8 0 . 8 6 0 . 8 0 5 1 1 . 4 8 0 . 9 3 0 6 2 . 1 0 0 . 9 8 2 1
0 . 2 6 0 . 6 0 2 6 0 . 8 8 0 . 8 1 0 6 1 . 5 0 0 . 9 3 3 2 2 . 1 2 0 . 9 8 3 0
0 . 2 8 0 . 6 1 0 3 0 . 9 0 0 . 8 1 5 9 1 . 5 2 0 . 9 3 5 7 2 . 1 4 0 . 9 8 3 8
0 . 3 0 0 . 6 1 7 9 0 . 9 2 0 . 8 2 1 2 1 . 5 4 0 . 9 3 8 2 2 . 1 6 0 . 9 8 4 6
0 . 3 2 0 . 6 2 5 5 0 . 9 4 0 . 8 2 6 4 1 . 5 6 0 . 9 4 0 6 2 . 1 8 0 . 9 8 5 4
0 . 3 4 0 . 6 3 3 1 0 . 9 6 0 . 8 3 1 5 1 . 5 8 0 . 9 4 2 9 2 . 2 0 0 . 9 8 6 1
0 . 3 6 0 . 6 4 0 6 0 . 9 8 0 . 8 3 6 5 1 . 6 0 0 . 9 4 5 2 2 . 2 2 0 . 9 8 6 8
0 . 3 8 0 . 6 4 8 0 1 . 0 0 0 . 8 4 1 3 1 . 6 2 0 . 9 4 7 4 2 . 2 4 0 . 9 8 7 5
0 . 4 0 0 . 6 5 5 4 1 . 0 2 0 . 8 4 6 1 1 . 6 4 0 . 9 4 9 5 2 . 2 6 0 . 9 8 8 1
0 . 4 2 0 . 6 6 2 8 1 . 0 4 0 . 8 5 0 8 1 . 6 6 0 . 9 5 1 5 2 . 2 8 0 . 9 8 8 7
0 . 4 4 0 . 6 7 0 0 1 . 0 6 0 . 8 5 5 4 1 . 6 8 0 . 9 5 3 5 2 . 3 0 0 . 9 8 9 3
0 . 4 6 0 . 6 7 7 2 1 . 0 8 0 . 8 5 9 9 1 . 7 0 0 . 9 5 5 4 2 . 3 2 0 . 9 8 9 8
0 . 4 8 0 . 6 8 4 4 1 . 1 0 0 . 8 6 4 3 1 . 7 2 0 . 9 5 7 3 2 . 3 4 0 . 9 9 0 4
0 . 5 0 0 . 6 9 1 5 1 . 1 2 0 . 8 6 8 6 1 . 7 4 0 . 9 5 9 1 2 . 3 6 0 . 9 9 0 9
0 . 5 2 0 . 6 9 8 5 1 . 1 4 0 . 8 7 2 9 1 . 7 6 0 . 9 6 0 8 2 . 3 8 0 . 9 9 1 3
0 . 5 4 0 . 7 0 5 4 1 . 1 6 0 . 8 7 7 0 1 . 7 8 0 . 9 6 2 5 2 . 4 0 0 . 9 9 1 8
0 . 5 6 0 . 7 1 2 3 1 . 1 8 0 . 8 8 1 0 1 . 8 0 0 . 9 6 4 1 2 . 4 2 0 . 9 9 2 2
0 . 5 8 0 . 7 1 9 0 1 . 2 0 0 . 8 8 4 9 1 . 8 2 0 . 9 6 5 6 2 . 4 4 0 . 9 9 2 7
0 . 6 0 0 . 7 2 5 7 1 . 2 2 0 . 8 8 8 8 1 . 8 4 0 . 9 6 7 1 2 . 4 6 0 . 9 9 3 1
15
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– CCáálculo lculo 
de Probabilidadesde Probabilidades
� Alguns valores importantes da função de distribuição 
de N(0,1) são:
Φ (Φ (Φ (Φ (1.96) = 0.975, ΦΦΦΦ (1.645) = 0.95 e Φ Φ Φ Φ (2.326) = 0.99
� Exemplo:
� Como: ΦΦΦΦ(z) = Pr ( Z ≤≤≤≤ z)
� A probabilidade de uma v.a Normal (0,1) estar abaixo de 
1.96 é 97.5%
� O ponto da distribuição N(0,1) tal que a probabilidade 
de estar abaixo deste ponto é 97.5%, é 1.96.
16
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExcelExcel
� O Excel fornece diretamente o valor da função de 
distribuição ΦΦΦΦ(z0) através da função 
DIST.NORMP. 
� O único argumento para esta função é o valor z0
para o qual você quer calcular a probabilidade de 
estar abaixo, pois a função pressupõe que a 
distribuição usada é a Normal padrão (média 0 e 
variância 1).
17
TabelaTabela dada N(0,1)N(0,1) usando usando ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00))
-
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.3
0.4
0.4
Φ(Φ(Φ(Φ(z) = Pr(Z ≤ z)
z
Densidade
N(0,1)
� Para todo z, o valor da função ΦΦΦΦ(z) é a área hachurada.
z
18
Tabela da N(0,1) Tabela da N(0,1) -- SimetriasSimetrias
Por simetria:
Φ(Φ(Φ(Φ(−−−−z) = 1- Φ(Φ(Φ(Φ(z) ; se z > 0
� ISSO É IMPORTANTE POIS A TABELA SÓ
CONTÉM VALORES DE z POSITIVOS!
-t 0 t
1 - ΦΦΦΦ (t) = Pr (Z > t)ΦΦΦΦ (- t)
Densidade N(0,1)
19
Tabela da N(0,1) Tabela da N(0,1) -- SimetriasSimetrias
� Probabilidade de um intervalo simétrico em torno 
de zero
� Pr (-t < Z < t ) = 1 - 2{ΦΦΦΦ(-t) } = 1 - 2 {1 - ΦΦΦΦ(t)} 
Pr (-t < Z < t ) = 2. ΦΦΦΦ(t) - 1 onde Z ~ N(0,1)
-t 0 t
1 - ΦΦΦΦ (t) = Pr (Z > t)ΦΦΦΦ (- t)
Densidade N(0,1)Pr (-t < Z < t)
20
Tabela da N(0,1) Tabela da N(0,1) -- DicasDicas
� DICAS:
� Você precisa explorar as simetrias da N(0,1) pois a 
tabela só é dada para valores positivos de z0.
� Por causa da simetria em torno de zero:
ΦΦΦΦ(0) = 0.5 e ΦΦΦΦ(z0) < 0.5 se z0<0, ou seja z0 for um 
número negativo.
� Se você tiver dúvidas, faça um desenho!
� Lembre-se sempre que ΦΦΦΦ(z0) é uma função de distribuição, ou seja, mede a probabilidade de 
estarmos ABAIXO do ponto z0 .
21
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
� Exemplo No. 1:
� Seja X ~ N( N( µµ , , σσ22 )) e k > 0 . Mostre que:
� Pr{ µµµµ - kσσσσ < X < µµµµ + kσσσσ } só depende de k (não depende 
de µµµµ e σσσσ ).
� Solução
� Note que a probabilidade desejada é a probabilidade 
de X estar a uma distância menor ou igual a k desvios 
padrões da sua média.
( ) ( )
( ) 1)(.2PrPr
PrPrPr
−Φ=+<<−=





<
−
<−=






+<
−
<−=+<−<−=+<<−
kkZkkXk
kXkkXkkXk
σ
µ
σ
σ
σ
µ
σ
σ
σµσσµσµ
22
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
Como: 
� As probabilidades para alguns valores k estão abaixo:
Pr( µ - σ < X < µ + σ) = 2.Φ(1) - 1 = 0.6826 ���� k=1
Pr( µ - 1.645σ < X < µ + 1.645σ) = 2.Φ(1.645) - 1 = 0.90 ���� k=1.645
Pr( µ - 1.96σ < X < µ + 1.96σ) = 2.Φ(1.96) - 1 = 0.95 ���� k=1.96
Pr( µ - 2.57σ < X < µ + 2.57σ) = 2.Φ(2.57) - 1 = 0.99 ���� k=2.57
� Na verdade, aquela “regra de bolso” que diz que:
- 68% dos valores estão a uma distância de 1 d.p. da média 
- 95% dos valores estão a dois desvios da média 
� Mas note que isso só é realmente verdade para a distribuição 
Normal!
� Note que a probabilidade desejada é a probabilidade de X estar a uma 
distância menor ou igual a k desvios padrões da sua média.
( ) 1)(.2Pr −Φ=+<<− kkXk σµσµ
23
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
� Exemplo No. 2:
Numa agência bancária localizada numa grande cidade 
brasileira, verificou-se que os clientes pessoa física 
mantêm, em média, um volume de R$ 4800,00 aplicados 
no banco. 
� A dispersão entre os volumes de recursos, medida pelo 
desvio padrão, é R$ 1600,00. Além disso, pode-se 
encarar os saldos dos correntistas como independentes 
entre si e Normalmente distribuídos.
� O banco pretende abrir uma nova agência e seus 
executivos imaginam que o poder aquisitivo nesta nova 
área é semelhante ao dos clientes desta agência.
24
� a) Um cliente é VIP se está entre os 5% com maior 
volume de recursos. Quanto uma pessoa deveria manter 
no banco para ser considerada cliente VIP?
� b) O banco pretende cobrar tarifas mais altas dos 
clientes que têm um baixo volume de recursos aplicados 
na instituição. 
� Os clientes cujos volumes de recursos estão entre os 
10% mais baixos terão de pagar esta tarifa mais alta. 
Abaixo de qual volume um cliente será alvo desta tarifa 
diferenciada?
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
25
Solução:
� Seja X = variável que mede o volume de recursos (saldo) de 
um cliente típico da agência. 
� Então X é Normal (4800, (1600)2). 
� O valor normalizado de X ���� tem densidade 
Normal padrão.
a) Um cliente é VIP se está entre os 5% com maior volume de 
recursos. Quanto uma pessoa deveria manter no banco para 
ser considerada cliente VIP?
� Para estar entre os 5% mais “ricos”, precisamos encontrar z0
tal que ΦΦΦΦ(z0) = Pr(Z < z0)=95% (ou seja calcular o percentil95%).
���� Usando a função INV.NORMP do Excel, encontramos que:
z0 = 1.645. Logo, 
� Ou seja, clientes com volume de recursos acima de R$ 7432 
terão tratamento VIP.
1600
4800−
=
XZ
7432)1600(645.14800
1600
4800645.1 =+=⇒−== XXZ
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
26
b) Abaixo de qual volume um cliente será alvo da tarifa 
diferenciada?
� Para estar entre os 10% mais “pobres” precisamos 
encontrar z0 tal que ΦΦΦΦ(z0) = Pr(Z < z0)=
10% (ou seja o 
percentil 10%). 
� A função INV.NORMP do Excel fornece z0 = -1.281. Logo, 
� Ou seja, clientes com volume de recursos abaixo de R$ 
2750 estarão sujeitos a uma tarifa mais alta. 
40.2750)1600(281.14800
1600
4800281.1 =−=⇒−=−= XXZ
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
27
Exemplo No. 3:
� O saldo devedor dos usuários de um certo cartão de 
crédito é uma variável aleatória Normal com média 
R$ 200 e desvio padrão R$ 75. 
a) Qual a probabilidade do saldo devedor de um 
usuário estar entre R$ 100 e R$ 300?
b) Qual deve ser o seu saldo devedor para que você 
esteja entre os 5% mais endividados?
Solução:
� X = saldo devedor dos usuários de um certo cartão de 
crédito
� X é Normal com média 200 e desvio padrão 75 
� O valor normalizado de X é: ���� Z =(X- 200)/75 é N(0,1).
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
28
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
a) Qual a probabilidade do saldo devedor de um usuário estar entre 
R$ 100 e R$ 300?
b) Qual deve ser o seu saldo devedor para que você esteja entre os 
5% mais endividados?
� Para que você esteja entre os 5% mais endividados, precisamos 
encontrar z0 tal que ΦΦΦΦ(z0) = Pr(Z < z0)=95% (ou seja calcular o percentil 95%).
� ���� Para que você esteja entre os 5% mais endividados, o saldo 
devedor padronizado deve ser igual a 1.645 (veja tabela da 
Normal), Dai: 
� ���� X= 323.38 é o saldo para estar entre os 5% com maior saldo 
devedor.
( ) ( ) ( ) 8176.01333.1.2333.1333.1)333.1333.1Pr(
75
200300
75
200100Pr300100Pr)300100Pr(
=−Φ=−Φ−Φ=+<<−=





 −
<<
−
=




 −
<
−
<
−
=<<
Z
ZXX
σ
µ
σ
µ
σ
µ
38.323)75(645.1200
75
200645.1 =+=⇒−== XXZ
29
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
Exemplo No. 1: (para casa)
� O consumo médio residencial de energia elétrica
nos meses de verão numa certa cidade é uma
variável Normal com média 210 kWh e desvio
padrão 18 kWh.
� a) Qual a probabilidade de que o consumo no 
verão exceda 225 kWh?
� b) Calcule a probabilidade de que o consumo no 
verão seja inferior a 190 kWh.
� c) Quanto você deve consumir para estar entre 
os 2.5% que mais gastam energia?
30
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
Exemplo No. 2: (para casa)
� Numa certa empresa de informática, o salário 
anual médio dos funcionários com menos de 5 
anos de experiência é R$ 24000, com desvio 
padrão de R$ 3000. Suponha que os salários têm 
distribuição Normal e calcule os valores pedidos 
a seguir. 
� a) Qual a probabilidade do salário anual de um 
funcionário qualquer com menos de 5 anos de 
experiência ser menor que R$ 20000?
31
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal -- ExemploExemplo
� b) Qual deve ser o valor do salário anual de um 
funcionário com menos de 5 anos de experiência se 
95% dos funcionários (com menos de 5 anos de 
experiência) tem salário abaixo dele?
� c) Toma-se uma amostra de 36 funcionários com 
menos de 5 anos de experiência. Qual a 
probabilidade do salário médio na amostra exceder 
R$ 24500?
� d) Toma-se uma amostra de 12 funcionários com 
menos de 5 anos de experiência. Qual a 
probabilidade do maior salário na amostra exceder 
R$ 28000?
32
CombinaCombinaçções Lineares de ões Lineares de 
VariVariááveis Normaisveis Normais
� Sejam:
X1, X2, ...., Xn variáveis aleatórias independentes, 
onde Xi ~ N( µi , σi2) 
� e seja Y = X1 + X2 + ... + Xn . 
� Então Y tem distribuição Normal com média µy e 
variância σy2 dadas por:
∑
∑
=
=
=
=
n
i
iy
n
i
iy
1
22
1
σσ
µµ
33
CombinaCombinaçções Lineares de ões Lineares de 
VariVariááveis Normaisveis Normais
� Dois casos particulares importantes são: 
� se os Xi ´s forem iid N(µµµµ, σσσσ2), então sua soma é
Normal com média n. µµµµ e variância n. σσσσ2 e 
� a média amostral é Normal com média µµµµ e 
variância σσσσ2/n.
� Nota: iid significa independentes e identicamente distribuídos
34
DistribuiDistribuiçção Normal ão Normal –– ExemploExemplo
� Exemplo (continuação)
� Considere o exemplo dos saldos em aplicações 
bancárias. Suponha que tomamos uma amostra de 16 
clientes da agência. 
� Qual a probabilidade de que o saldo médio das 
aplicações dos clientes na amostra exceda R$ 4900?
� Solução:
� Do exemplo No 2:
� X = variável que mede o volume de recursos (saldo) 
de um cliente típico da agência. 
� X é Normal (4800, (1600)2).
35
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
a) Qual a probabilidade de que o saldo médio das aplicações dos 
clientes na amostra exceda R$ 4900?
Já que n=16
Então:
( )
( ) ( ) 401.0599.0125.0125.0Pr
400
100Pr
4
1600
48004900
4
1600
4800Pr4900Pr4900Pr
=−=Φ−=>=





>=








−
>
−
=




 −
>
−
=>
ZZ
XXX
σ
µ
σ
µ
( )








=





16
1600
,4800, ãodistribuiç tem
amostra. na clientes dos saldos dos média a Seja
22
N
n
NX
X
σµ
36
DistribuiDistribuiçção Normal (para casa)ão Normal (para casa)
� Exemplo No. 3: (para casa)
� Um estudante universitário gasta em média R$ 
600,00 em livros por ano. A dispersão entre os 
valores gastos, medida pelo desvio padrão, é R$ 
240,00. 
� Além disso, pode-se encarar os valores gastos 
pelos universitários como independentes entre si 
e Normalmente distribuídos. Também, a maioria 
dos estudantes adquire livros pela Internet.
37
DistribuiDistribuiçção Normal (para casa)ão Normal (para casa)
� a) Uma grande livraria na Internet pretende 
oferecer um cartão VIP aos clientes que mais 
compram livros. Apenas os 1% que mais 
consomem livros num período de um ano 
receberão o cartão. Acima de qual volume anual 
de compras um consumidor se candidata ao 
cartão VIP?
� b) Considere 16 estudantes universitários. Qual a 
probabilidade do gasto médio anual em livros 
destas 16 pessoas ultrapassar R$ 660,00? 
� c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, 
qual a probabilidade do estudante que menos 
consumiu livros ter gasto mais de R$ 650 no 
ano?
38
DistribuiDistribuiçção Normal (para casa)ão Normal (para casa)
� Exemplo No. 4: (para casa)
� Um apartamento de 2 quartos numa certa região 
da cidade custa, em média R$ 260 mil. A 
dispersão entre os valores, medida pelo desvio 
padrão, é R$ 100 mil. 
� Além disso, pode-se encarar os preços dos 
apartamentos como independentes entre si e 
Normalmente distribuídos.
39
DistribuiDistribuiçção Normal (para casa)ão Normal (para casa)
� a) Uma imobiliária pretende oferecer uma viagem de 
presente aos compradores de apartamentos de 2 
quartos neste bairro que comprem os apartamentos 
situados na faixa dos 10% mais caros. A partir de 
quanto deve custar o seu apartamento para que você 
ganhe a viagem de “presente”? 
� b) Considere 16 compradores de apartamentos de 2 
quartos neste bairro. Qual a probabilidade do preço 
médio pago por eles ser inferior a R$ 300 mil? 
� c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, qual a 
probabilidade do comprador que pagou mais caro por 
um apartamento ter pago menos de R$ 285 mil?
40
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal
� A distribuição Lognormal é uma distribuição de 
probabilidade
contínua usada para dados positivos. 
� Esta distribuição é freqüentemente usada na 
modelagem do preço de ações e outros ativos 
financeiros, e também pode modelar o tempo até a 
ocorrência de um defeito de uma máquina.
� Veja o link:
http://www.inf.ethz.ch/personal/gut/lognormal/
para um simulador interessante de variáveis 
lognormais e normais.
� Se você se interessar, o artigo do link:
http://stat.ethz.ch/~stahel/lognormal/bioscience.pdf
discute o uso da lognormal nas ciências.
41
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal
COMO CRIAR UMA VARIÁVEL LOGNORMAL?
� Seja X ~ N(µµµµ, σσσσ2). Seja Y = exp(X). 
���� Então Y tem densidade Lognormal com 
parâmetros µµµµ e σσσσ2. 
� A densidade de Y é dada por:
( )2
22
log( )1 1( ) . .exp onde y > 0
22
yf y
y
µ
σpiσ
 
− 
= −       
42
A DistribuiA Distribuiçção ão LognormalLognormal --
ExemplosExemplos
� Densidades Lognormais com µµµµ = 0.05 e 0.25 e σσσσ = 0.30
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.51.323
0
f x 0.05, 0.30,( )
f x 0.25, 0.30,( )
70.01 x
monicamonica@@ele.pucele.puc--rio.rio.brbr 43
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal --
ExemplosExemplos
� Densidades Lognormais com µµµµ = 0 e diversos 
valores para σσσσ.
44
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal
Atenção:
� A distribuição Lognormal, ao contrário do que o 
nome indica, não significa a densidade do 
logaritmo de uma variável Normal, pois uma 
variável Normal admite valores negativos, onde o 
logaritmo não está definido. 
� Uma variável aleatória com densidade Lognormal
é encontrada tomando-se a exponencial de uma 
variável aleatória Normal!
45
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal
� A densidade Lognormal pode ser pensada como 
gerada pelo PRODUTO de diversos fatores que 
são todos independentes entre si.
� Por que? Pois Y = exp(X) e X é Normal, que pode 
ser encarada como a soma de fatores 
independentes (é a idéia do Teorema Central do 
Limite). Ao exponenciarmos, esta soma torna-se 
um produto... 
46
LognormalLognormal como modelo para como modelo para 
o preo preçço de uma ao de uma aççãoão
� Uma forma de descrever a incerteza sobre o preço de 
uma ação é supor que as variações no preço entre os 
instantes t e t+∆∆∆∆t podem ser divididas em 2 
componentes, uma aleatória e a outra determinística, 
como a seguir:
Onde : S t+∆∆∆∆t = Preço de uma ação no instante t+∆∆∆∆t
S t = Preço de uma ação no instante t
Z é uma variável N(0,1) 
µµµµ e σσσσ > 0 são parâmetros conhecidos.
= componente deterministica
= componente aleatória
� O parâmetro µµµµ representa a taxa média de 
crescimento do preço ao longo do tempo.
( ){ }. exp . .t t tS S t Z tµ σ+∆ = ∆ + ∆
t∆.µ
tZ ∆.σ
47
LognormalLognormal como modelo para como modelo para 
o preo preçço de uma ao de uma aççãoão
� Note que, se σσσσ = 0, a evolução dos preços é
puramente determinística, e então:
����
� Nesta expressão percebemos que a tendência 
determinística dos preços é crescente desde que µµµµ > 
0.
� Se σσσσ > 0, então existe uma componente aleatória no 
comportamento dos preços. 
� Esta componente aleatória é dada por uma variável 
aleatória N(0,1), e assim o efeito desta variável pode 
ser o de atenuar o crescimento determinístico no 
preço, pois Z pode ser negativo. 
� Note que a variável exp(Z) é Lognormal.
( ){ }. exp .t t tS S tµ+∆ = ∆( ){ }. exp . .t t tS S t Z tµ σ+∆ = ∆ + ∆
48
DistribuiDistribuiçção ão LognormalLognormal -- MMéédia dia 
e variânciae variância
� Média e Variância
� Se Y ~ Lognormal(µµµµ, σσσσ2) então:
1) E(Y) = exp( µµµµ + σσσσ2/2) 
2) ( ) ( )22( ) exp 2 . 1VAR Y eσµ σ= + −
Prova 2/Aula 6 Parte 1.pdf
1
Probabilidade e Estatística
Aula 6 – Parte1
2
SumarioSumario
� Transformações de v.a. discretas
� Transformações de v.a. contínuas
� O método da função de distribuição
� O método do Jacobiano
3
ObjetivosObjetivos
� Seja X uma v.a. discreta ou contínua com função de 
probabilidade (ou densidade) conhecida.
���� Queremos encontrar a densidadeencontrar a densidade (ou função de 
probabilidade) de Y=h(X)de Y=h(X) onde h(.) é uma função 
conhecida. 
� Transformações de uma variável aleatória:
� Funções de uma variável discreta
� Funções de uma variável contínua – o mméétodo da todo da 
funfunçção de distribuião de distribuiççãoão
4
TransformaTransformaçções de uma Variões de uma Variáável vel 
AleatAleatóória Discretaria Discreta
� Exemplo No. 1:
� Seja X = número de “caras” em três jogadas de uma 
moeda. 
� A função de probabilidade de X é:
� Qual a função de probabilidade de Y= 2X-1?
� Solução:
� Y é também uma v.a. discreta, e 
� cada valor de X leva a um valor de Y diferente (ou 
seja, Y = 2X –1 é uma função injetora).
x Pr(X =x) = f(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
5
TransformaTransformaçções de uma Variões de uma Variáável vel 
AleatAleatóória Discretaria Discreta
� Especificamente, os valores possíveis de Y são:
� Y = 2X –1 ����
� Note que o valor:
Y = -1 ocorre apenas quando X = 0, 
Y = 1 apenas quando X = 1 e assim sucessivamente. 
� Logo, a tabela anterior nos fornece a função de 
probabilidade de Y, basta associar cada valor de Y ao 
valor correspondente(s) de X.
y Pr(Y =y) = f(y)
-1 1/8
1 3/8
3 3/8
5 1/8
x Pr(X =x) = f(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
6
TransformaTransformaçções de uma Variões de uma Variáável vel 
AleatAleatóória Discretaria Discreta
� Exemplo No. 2:
� Seja X uma v.a. discreta com função de probabilidade:
f(x) = Pr( X = x) = (1/2)x onde x = 1, 2, 3, .....
� Seja: Y = +1 se X é par, e 
Y = -1 se X é ímpar.
� Obviamente a função h(.), que relaciona X e Y não não éé injetorainjetora
pois, por exemplo, todos os números pares são levados em 
Y = 1. 
� Ache a função de probabilidade de Y.
7
TransformaTransformaçções de uma Variões de uma Variáável vel 
AleatAleatóória Discretaria Discreta
� Solução:
� Dica: Para resolver o problema precisamos usar a 
série geométrica infinita:
� como: f(x) = Pr( X = x) = (1/2)x onde x = 1, 2, 3, .....
� Note que:
Pr(Y = -1) = Pr( X ímpar) = 1 - Pr(Y = 1) = 1- 1/3 = 2/3
3
11
3
41
4/11
11
4
1
4
1
4
1
4
1
2
1
)2/1()2/1()2/1(),6,4,2Pr()Pr()1Pr()1(
00
0
11
2
642
=−=−
−
=−





=





−





=





=





=
=+++======
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
= k
k
k
k
k
k
k
k
XparXYg LL
∑
∞
=
<
−
=
0
1 que desde 
1
1
k
k a
a
a
8
TransformaTransformaçção de uma Varião de uma Variáável vel 
AleatAleatóória Contria Contíínuanua
� OBJETIVOS:
� Seja X uma v.a. contínua, e h(.) uma função 
conhecida. 
Então Y = h(X) é também uma v.a. e desejamos 
encontrar sua densidade.
� Dois métodos serão apresentados:
�� O mO méétodo da funtodo da funçção de distribuião de distribuiççãoão
�� O mO méétodo do jacobianotodo do jacobiano
�� Cada mCada méétodo tem (obviamente) suas vantagens e todo tem (obviamente) suas vantagens e 
limitalimitaççõesões
9
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiççãoão
� PROCEDIMENTO:
� Sejam X e Y = h(X) variáveis aleatórias contínuas. 
���� A densidade de Y pode ser encontrada através do 
seguinte procedimento:
� 1) Encontre o conjunto de todos os valores possíveis 
de Y.
� 2) Calcule a função de distribuição de Y, ou seja, para 
cada valor y da variável aleatória Y compute G(y) = Pr 
(Y ≤≤≤≤ y) escrevendo-a em termos do evento equivalente 
para X.
� 3) Calcule a derivada de G(y) com relação a y. Isto 
fornece a densidade de Y, g(y).
10
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiççãoão
� Estes 3 passos são usualmente conhecidos 
como o "método da função de distribuição". 
� Note que o método é bastante geral, e nenhuma 
condição é imposta à função h(.) que relaciona as 
variáveis X e Y. Por exemplo, não é necessário 
que esta função seja injetora.
11
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
ExemploExemplo
�� Exemplo No. 1:Exemplo No. 1:
� Seja X uma v.a. Uniforme(0,1). 
� Seja Y = - log (X) onde log indica o logaritmo na base e. 
� Encontre a função de distribuição e a densidade de Y.
�� SoluSoluççãoão
� Se X ~ Unif(a,b) então sua densidade é:
� ���� f(x)=1/(1-0)=1 para x no intervalo (0,1) e zero fora desse 
intervalo
� Os valores possíveis de Y estão no intervalo [0, + ∞∞∞∞], pois 
quando:
- X tende a zero, log(X) tende a -∞∞∞∞, e Y tende a +∞∞∞∞. 
- X tende a 1, log(X) = 0.




∉
∈
−
=
b)(a, x se 0
b)(a, x se 1)( abxf
12
� A função de distribuição de Y é:
� A densidade de Y é obtida por diferenciação de G(y) 
com respeito a y.
� Note que Y assim gerado é uma v.a. com densidade 
Exponencial e parâmetro λλλλ = 1. Pois a densidade de Y 
é:
0,)1()1()()( ≥=−−=−== −−
−
yee
dy
ed
dy
ydGyg yy
y
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
ExemploExemplo
y
ee
y edxdxxfeX
yXyXyYYG
yy
−−
−===≥=
−≥=≤−=≤=
∫∫
−−
1.1)()Pr(
)Pr(log)logPr()Pr()(
11
( ) 0 e 0 onde .exp.)( ≥>−= yyyg λλλ
13
� Este exemplo é uma aplicação importante do método da 
função de distribuição que pode ser utilizado na geração 
de variáveis aleatórias com densidade Exponencial, 
como mostrado a seguir.
� Logo, se X é Unif(0,1) então Y = - log(X) é Exponencial(1).
�� Qual a importância disso?Qual a importância disso?
Variáveis exponenciais servem para modelar tempos de 
duração de equipamentos, ou tempos entre ocorrências 
(quando o número de ocorrências é Poisson). 
� O Excel possui um simulador para diversas distribuições 
de probabilidade, mas nãonão para a Exponencial. Por que? 
Porque o algoritmo padrão é exatamente este que 
acabamos de mostrar, ou seja, é muito FÁCIL gerar 
variáveis exponenciais.
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
ExemploExemplo
monica@ele.pucmonica@ele.puc--rio.brrio.br 14
� Exemplo No. 2: Simulação - Geração de v.a exponenciais no Excel
� Considere o exemplo anterior e suponha que geramos uma 
amostra aleatória de 10000 observações da densidade Unif(0,1) no 
Excel, como mostrado nas próximas figuras.
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo -- SimulaSimulaççãoão
monica@ele.pucmonica@ele.puc--rio.brrio.br 1515
Intervalo de 
definição, neste 
caso, densidade 
Unif(0,1)
Célula inicial de 
armazenamento dos 
dados
Número de 
variáveis 
geradas (uma, 
neste caso)
Número de 
valores gerados 
(10000 neste 
caso)
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo -- SimulaSimulaççãoão
16
� O histograma das 10000 observações geradas é:
Histograma - 10000 observações da Unif(0,1)
-100
100
300
500
700
900
1100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 More
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo -- SimulaSimulaççãoão
17
� Agora criamos uma nova coluna de 10000 
observações usando a transformação Y = - log (X) 
onde X é um valor gerado da distribuição Unif(0,1). 
� O histograma da nova amostra deve ter um 
comportamento decrescente, que se “pareça” com 
uma densidade Exponencial com parâmetro λλλλ = 1 e 
media = 1/λ λ λ λ = 1/1= 1. Este histograma é mostrado na 
próxima figura.
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo -- SimulaSimulaççãoão
18
Histograma (Variável Exponencial)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0
.
0
0
0
0
.
3
7
2
0
.
7
4
4
1
.
1
1
6
1
.
4
8
8
1
.
8
6
0
2
.
2
3
2
2
.
6
0
4
2
.
9
7
6
3
.
3
4
8
3
.
7
2
0
4
.
0
9
2
4
.
4
6
4
4
.
8
3
5
5
.
2
0
7
5
.
5
7
9
5
.
9
5
1
6
.
3
2
3
6
.
6
9
5
7
.
0
6
7
7
.
4
3
9
7
.
8
1
1
8
.
1
8
3
8
.
5
5
5
8
.
9
2
7
M
o
r
e
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo -- SimulaSimulaççãoão
19
� Generalização:
� Suponha que desejamos generalizar este exemplo de 
maneira a gerar uma v.a. Exponencial com parâmetro 
λ λ λ λ qualquer.
� Novamente, X é Unif(0,1).
� Note que a função de distribuição de X é:
� Neste caso só nos interessam os valores de x entre 0 
e 1.
( )





>
≤≤
<
=≤=
11
10
00
Pr)(
x
xx
x
xXxF
 se 
 se 
 se 
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
20
� Seja: 
onde λλλλ é > 0 e log indica o logaritmo natural. 
� Qual a função de distribuição de Y? 
Note que Y ≥≥≥≥ 0 sempre.
� Mas, das propriedades da densidade Exponencial, 
notamos que Y assim definido é Exponencial com 
parâmetro λλλλ, por tanto a sua densidade é: 
( )XY log1λ
−
=
( ) ( ) ( )
( ) y
eee
y edxdxdxxfeX
yXyXyYyG
yyy
λλ
λλλ
λλ
−−
−==−==≥=
−≥=




 ≤
−
=≤=
∫∫∫
−−−
1.1).01/(1)(Pr
logPrlog1PrPr
111
( ) 00exp.)( >≥−= λλλ e onde yyyg
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
21
� CONCLUSÃO:
� Logo, a transformação:
� Gera, a partir de uma variável Unif(0,1), uma 
variável Exponencial com parâmetro λλλλ e média 1/λλλλ. 
� No próximo “slide” exibimos uma aplicação deste 
resultado.
( )XY log1λ
−
=
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
22
� O histograma de 20000 observações geradas da 
Unif(0,1) está a seguir.
Histograma das 20000 v.a. Unif(0,1) geradas
1890
1910
1930
1950
1970
1990
2010
2030
2050
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 More
Intervalos
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
MMéétodo
da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
23
� A seguir está o 
histograma de 
20000 observações 
geradas a partir da 
transformação para 
λλλλ = 2 : 
����
����
� Estas observações 
devem ter 
densidade 
Exponencial com 
parâmetro λλλλ = 2.
( )XY log
2
1−
=
( )XY log1λ
−
=
Histograma da 20000 observações geradas da Expo(2)
0
200
400
600
800
1000
1200
0 . 0
0
0 . 1
3
0 . 2
6
0 . 4
0
0 . 5
3
0 . 6
6
0 . 7
9
0 . 9
2
1 . 0
6
1 . 1
9
1 . 3
2
1 . 4
5
1 . 5
8
1 . 7
1
1 . 8
5
1 . 9
8
2 . 1
1
2 . 2
4
2 . 3
7
2 . 5
1
2 . 6
4
2 . 7
7
2 . 9
0
3 . 0
3
3 . 1
7
3 . 3
0
3 . 4
3
3 . 5
6
3 . 6
9
3 . 8
2
3 . 9
6
intervalo
f
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
24
� Podemos calcular empiricamente algumas 
probabilidades e compará-las com os valores reais, 
obtidos da densidade Exponencial.
� O resultado teórico é: 
Pr(Y≤≤≤≤ y) = 1- exp(- λλλλy)
como λ=2λ=2λ=2λ=2 ���� Pr(Y≤≤≤≤ y) = 1- exp(-2y)
� A mesma probabilidade pode ser estimada 
(empiricamente) através de:
( )
20000
Pr y geradas sobservaçõe de número ≤≅≤ yY
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
25
y
Pr(Y<=y) 
empírica
Pr(Y<=y) 
teórica y
Pr(Y<=y) 
empírica
Pr(Y<=y) 
teórica
0.10 18.08% 18.13% 1.20 90.87% 90.93%
0.20 33.27% 32.97% 1.30 92.53% 92.57%
0.30 45.30% 45.12% 1.40 93.94% 93.92%
0.40 54.95% 55.07% 1.50 95.08% 95.02%
0.50 63.05% 63.21% 1.75 97.12% 96.98%
0.60 69.65% 69.88% 2.00 98.28% 98.17%
0.70 75.36% 75.34% 2.25 98.91% 98.89%
0.80 79.72% 79.81% 2.50 99.32% 99.33%
0.90 83.45% 83.47% 2.75 99.58% 99.59%
1.00 86.50% 86.47% 3.00 99.77% 99.75%
1.10 88.91% 88.92%
Comparação dos valores das probabilidades obtidas 
empiricamente com os correspondentes valores reais (obtidos da 
densidade Exponencial)
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Exemplo Exemplo –– SimulaSimulaçção (Generalizaão (Generalizaçção)ão)
Prova 2/Aula 6 Parte 2.pdf
1
Probabilidade e Estatística
Aula 6 – Parte 2
2
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2
� A Transformação Y = X2 :
� Seja X uma variável aleatória contínua com densidade 
f(x) e função de distribuição F(x). 
� Seja Y = X2. Então a densidade de Y é:
�� Nota: o Nota: o úúnico cuidado que dever ser tomado ao usar nico cuidado que dever ser tomado ao usar 
esta festa fóórmula rmula éé fazer as adaptafazer as adaptaçções necessões necessáárias quando rias quando 
X (a variX (a variáável original) for definida apenas na região x vel original) for definida apenas na região x ≥≥≥≥≥≥≥≥ 0 0 
(ou x (ou x ≤≤≤≤≤≤≤≤ 0), pois neste caso um dos termos 0), pois neste caso um dos termos √√√√√√√√y ou y ou -- √√√√√√√√y y 
acima seracima seráá nulo.nulo.
[ ]g y y f y f y( ) . . ( ) ( )= + −12
3
� Demonstração:
� A função de distribuição de Y = X2 é:
� A densidade de Y é encontrada por diferenciação:
)()(
)Pr()Pr()Pr()( 2
yFyF
yXyyXyYyG
−−=
≤≤−=≤=≤=
[ ])()(.
.2
1)(.
.2
1)(.
.2
1
)(.
2
)(.
2
)()(
2/12/1
yfyf
y
yf
y
yf
y
yfyyfy
dy
ydGyg
−+=−+=
−







−−







==
−−
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2
4
� Exemplo No. 3:
� Seja X uma v.a. contínua com densidade:
� Veremos depois que esta é a densidade Normal (ou 
Gaussiana) com média zero e variância 1. 
� Seja Y = X2 . Encontre a densidade de Y utilizando o 
teorema anterior.
 real numero um e x onde,.
2
1)( 2/2xexf −=
pi
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2 : Exemplo: Exemplo
5
� Solução:
� Do teorema sabe-se que:
� Fazendo 
� A densidade de Y será:
� Veremos depois que esta é a densidade Qui-Quadrado com 1 
grau de liberdade.
[ ])()(.
.2
1)( yfyf
y
yg −+=
0y para .
2
1
2
2
.
.2
1
2
1
2
1
.
.2
1)(
2/2/12/
2/)(2/)( 22
≥=





=
=





+=
−−−
−−−
yy
yy
eye
y
ee
y
yg
pipi
pipi
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão --
Transformação Y = X2 : Exemplo: Exemplo
yxeyx −==
6
MMéétodo da Funtodo da Funçção de Distribuião de Distribuiçção ão ––
Vantagens e DesvantagensVantagens e Desvantagens
� VANTAGENS E DESVANTAGENS DO MÉTODO
� O método da função de distribuição é bastante geral, 
pois pode ser empregado para transformações não 
injetoras. 
� Mas muitas vezes é difícil escrever a função de 
distribuição de Y e derivá-la. 
� Por isso apresentamos um método adicional para 
calcular a densidade de uma função de uma variável 
aleatória, que é chamado de método do Jacobiano. 
� O método do Jacobiano requer que a função Y = h(X) 
seja injetora.
7
MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Seja X uma variável aleatória contínua definida num 
intervalo (a,b), com densidade f(x) e função de 
distribuição F(x). 
� Seja Y = h(X) onde h(.) é uma função contínua e 
injetora (ou seja, cada x é levado num y diferente). 
� Então a densidade de Y, g(y), pode ser encontrada 
da seguinte maneira:
dy
dx
xfyg ).()( =
8
MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Por que o módulo |dx/dy| aparece na fórmula 
anterior?
���� Para garantir que g(y) seja sempre ≥≥≥≥ 0, pois dx/dy
pode ser negativo!
Também, x na expressão anterior está escrito em 
função de y, ou seja, a variável “velha” está em 
função da variável “nova”.
� Na expressão anterior, x = h-1(y) é expresso em 
termos da "nova" variável y.
9
MMéétodo do Jacobianotodo do Jacobiano
� Se h(.) for uma função crescente (isto é, x1 ≤≤≤≤ x2
implica em h(x1) ≤≤≤≤ h(x2)) ���� então o intervalo de 
valores possíveis para Y é (h(a), h(b)). 
� Se h(.) é decrescente, ���� o intervalo de definição de Y 
é (h(b), h(a)).
10
MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Exemplo No. 1:
� Seja X uma variável aleatória contínua com 
densidade:
� Esta densidade é chamada de densidade Weibull, e é
muito usada para modelar o tempo de duração de 
componentes eletrônicos. 
� Seja Y = Xm . Encontre a densidade de Y.




=
−−
contrário caso 0
0> 0, > m 0, > x se ..)(
/1 α
α
αmxm
ex
m
xf
11
MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Solução:
� Note que Y = Xm é injetora quando x > 0.
� Pelo método do Jacobiano, a densidade de Y é:
� Calculando a derivada
11/1
.
1 −
=⇒=⇔= mmm y
mdy
dxyxxy
dy
dx
xfyg ).()( =
12
MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano -- ExemploExemplo
� Substituindo na densidade de Y:
� Após simplificações, encontramos:
� Note que
Y tem densidade Exponencial com parâmetro λλλλ
= 1/αααα , média αααα e variância αααα2.
0 y para >= − α
α
/
.
1)( yeyg
( ) ( )


















−==
−
−
m
yyym
dy
dx
xfyg
m
mm
mm
11/11/1
.exp..).()(
αα
11/1
.
1 −
==
mm y
mdy
dx
eyx
13
MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano ––
Exemplo (para casa)Exemplo (para casa)
� Exercício No. 1:
� A velocidade de uma molécula de gás é uma variável 
aleatória contínua V com densidade dada por:
� E a > 0 é uma constante determinada a partir do fato 
de f(v) integrar a 1 no intervalo (0, + ∞∞∞∞). Seja Z a 
energia cinética da molécula de gás, dada por:
� Encontre a densidade de Z (você pode usar o método 
do Jacobiano ou o da função de distribuição)
0>v e gás do depende que constante uma é b onde,..)( 22 bvevavf −=
2
2mVZ =
14
MMéétodo do Jacobiano todo do Jacobiano ––
Exemplo (para casa)Exemplo (para casa)
� Exercício No. 2:
� A duração (Y) de componentes eletrônicos é às vezes 
modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a 
seguir.
� Encontre a densidade de U = Y2.
� Use o resultado acima para achar a média e variância 
de U.
( ) 0 y onde >





−






=
θθ
2
exp2 yyyf
15
TransformaTransformaçções de Variões de Variááveis veis ––
ExercExercíício (para casa)cio (para casa)
� Exercício No. 3:
� Seja X uma v.a. contínua com densidade:
� Encontre a densidade de Y = 1/X
4
3( ) 1f x x
x
= >
16
� Exercício No. 4:
� O preço de um ativo financeiro é uma v.a. contínua 
com densidade: 
� Encontre a densidade de Y = X2.
( ) 22 onde x > 0xf x xe−=
TransformaTransformaçções de Variões de Variááveis veis ––
ExercExercíício (para casa)cio (para casa)
17
Tabela N(0,1)
18
TabelaTabela dada N(0,1)N(0,1) ((ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = Pr(Z ) = Pr(Z ≤≤≤≤≤≤≤≤ zz00))))
z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z ) z φ (φ (φ (φ ( z )
0 . 0 0 0 . 5 0 0 0 0 . 6 2 0 . 7 3 2 4 1 . 2 4 0 . 8 9 2 5 1 . 8 6 0 . 9 6 8 6
0 . 0 2 0 . 5 0 8 0 0 . 6 4 0 . 7 3 8 9 1 . 2 6 0 . 8 9 6 2 1 . 8 8 0 . 9 6 9 9
0 . 0 4 0 . 5 1 6 0 0 . 6 6 0 . 7 4 5 4 1 . 2 8 0 . 8 9 9 7 1 . 9 0 0 . 9 7 1 3
0 . 0 6 0 . 5 2 3 9 0 . 6 8 0 . 7 5 1 7 1 . 3 0 0 . 9 0 3 2 1 . 9 2 0 . 9 7 2 6
0 . 0 8 0 . 5 3 1 9 0 . 7 0 0 . 7 5 8 0 1 . 3 2 0 . 9 0 6 6 1 . 9 4 0 . 9 7 3 8
0 . 1 0 0 . 5 3 9 8 0 . 7 2 0 . 7 6 4 2 1 . 3 4 0 . 9 0 9 9 1 . 9 6 0 . 9 7 5 0
0 . 1 2 0 . 5 4 7 8 0 . 7 4 0 . 7 7 0 4 1 . 3 6 0 . 9 1 3 1 1 . 9 8 0 . 9 7 6 1
0 . 1 4 0 . 5 5 5 7 0 . 7 6 0 . 7 7 6 4 1 . 3 8 0 . 9 1 6 2 2 . 0 0 0 . 9 7 7 2
0 . 1 6 0 . 5 6 3 6 0 . 7 8 0 . 7 8 2 3 1 . 4 0 0 . 9 1 9 2 2 . 0 2 0 . 9 7 8 3
0 . 1 8 0 . 5 7 1 4 0 . 8 0 0 . 7 8 8 1 1 . 4 2 0 . 9 2 2 2 2 . 0 4 0 . 9 7 9 3
0 . 2 0 0 . 5 7 9 3 0 . 8 2 0 . 7 9 3 9 1 . 4 4 0 . 9 2 5 1 2 . 0 6 0 . 9 8 0 3
0 . 2 2 0 . 5 8 7 1 0 . 8 4 0 . 7 9 9 5 1 . 4 6 0 . 9 2 7 9 2 . 0 8 0 . 9 8 1 2
0 . 2 4 0 . 5 9 4 8 0 . 8 6 0 . 8 0 5 1 1 . 4 8 0 . 9 3 0 6 2 . 1 0 0 . 9 8 2 1
0 . 2 6 0 . 6 0 2 6 0 . 8 8 0 . 8 1 0 6 1 . 5 0 0 . 9 3 3 2 2 . 1 2 0 . 9 8 3 0
0 . 2 8 0 . 6 1 0 3 0 . 9 0 0 . 8 1 5 9 1 . 5 2 0 . 9 3 5 7 2 . 1 4 0 . 9 8 3 8
0 . 3 0 0 . 6 1 7 9 0 . 9 2 0 . 8 2 1 2 1 . 5 4 0 . 9 3 8 2 2 . 1 6 0 . 9 8 4 6
0 . 3 2 0 . 6 2 5 5 0 . 9 4 0 . 8 2 6 4 1 . 5 6 0 . 9 4 0 6 2 . 1 8 0 . 9 8 5 4
0 . 3 4 0 . 6 3 3 1 0 . 9 6 0 . 8 3 1 5 1 . 5 8 0 . 9 4 2 9 2 . 2 0 0 . 9 8 6 1
0 . 3 6 0 . 6 4 0 6 0 . 9 8 0 . 8 3 6 5 1 . 6 0 0 . 9 4 5 2 2 . 2 2 0 . 9 8 6 8
0 . 3 8 0 . 6 4 8 0 1 . 0 0 0 . 8 4 1 3 1 . 6 2 0 . 9 4 7 4 2 . 2 4 0 . 9 8 7 5
0 . 4 0 0 . 6 5 5 4 1 . 0 2 0 . 8 4 6 1 1 . 6 4 0 . 9 4 9 5 2 . 2 6 0 . 9 8 8 1
0 . 4 2 0 . 6 6 2 8 1 . 0 4 0 . 8 5 0 8 1 . 6 6 0 . 9 5 1 5 2 . 2 8 0 . 9 8 8 7
0 . 4 4 0 . 6 7 0 0 1 . 0 6 0 . 8 5 5 4 1 . 6 8 0 . 9 5 3 5 2 . 3 0 0 . 9 8 9 3
0 . 4 6 0 . 6 7 7 2 1 . 0 8 0 . 8 5 9 9 1 . 7 0 0 . 9 5 5 4 2 . 3 2 0 . 9 8 9 8
0 . 4 8 0 . 6 8 4 4 1 . 1 0 0 . 8 6 4 3 1 . 7 2 0 . 9 5 7 3 2 . 3 4 0 . 9 9 0 4
0 . 5 0 0 . 6 9 1 5 1 . 1 2 0 . 8 6 8 6 1 . 7 4 0 . 9 5 9 1 2 . 3 6 0 . 9 9 0 9
0 . 5 2 0 . 6 9 8 5 1 . 1 4 0 . 8 7 2 9 1 . 7 6 0 . 9 6 0 8 2 . 3 8 0 . 9 9 1 3
0 . 5 4 0 . 7 0 5 4 1 . 1 6 0 . 8 7 7 0 1 . 7 8 0 . 9 6 2 5 2 . 4 0 0 . 9 9 1 8
0 . 5 6 0 . 7 1 2 3 1 . 1 8 0 . 8 8 1 0 1 . 8 0 0 . 9 6 4 1 2 . 4 2 0 . 9 9 2 2
0 . 5 8 0 . 7 1 9 0 1 . 2 0 0 . 8 8 4 9 1 . 8 2 0 . 9 6 5 6 2 . 4 4 0 . 9 9 2 7
0 . 6 0 0 . 7 2 5 7 1 . 2 2 0 . 8 8 8 8 1 . 8 4 0 . 9 6 7 1 2 . 4 6 0 . 9 9 3 1
19
TabelaTabela dada N(0,1) N(0,1) -- Pr(Z Pr(Z > > > > > > > > zz00))
Para calcular Para calcular ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) ) ::
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = Pr(Z ) = Pr(Z ≤≤≤≤≤≤≤≤ zz00))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(z(z00) = 1) = 1-- Pr(Z Pr(Z > > > > > > > > zz00))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(0,22) = 1(0,22) = 1-- Pr(Z Pr(Z > 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22> 0,22))
ΦΦΦΦΦΦΦΦ(0,22) = 1(0,22) = 1--0,4129 = 0,58710,4129 = 0,5871
Prova 2/P2-PROBEST_2011-1.docx
P2 - Probabilidade e Estatística – 2011.1
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio.
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana Jimenez Contreras
Problema 1 (1.6 pts) (Demonstrações
(0.4 pt) - Se X é uma v.a. discreta, descreva o domínio de X, caso X fosse: Bernoulli, Binomial, Binomial Negativa, Geométrica e Poisson.
(0.4 pt) - Descreva como se faz uma transformação de uma v.a. pelo método de Jacobiano? Qual a restrição para a utilização deste método?
(0.4 pt) - Seja uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N(μ,. Se , quem é a distribuição de Y? E da v.a . 
(0.4 pt) - Se X é uma , qual seria a distribuição de ? Qual o domínio de X e Y?
Problema 2 (2.0 pts) 
 No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 40% das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:
(0,60 pt) - Qual a probabilidade da primeira reclamação da conta ocorrer até a 2ª chamada.
 (0,80 pt) - A média, variância e coeficiente de variação desta variável aleatória.
(0,60 pt) - E qual seria a probabilidade de ocorrer a terceira reclamação da conta na sétima chamada”.
Problema 3 (2,0 pts) 
Seja ; λ>0 e X>0. Calcule:
a) (1.0 pt.) - A densidade da v.a Y=X+2, em seguida as seguintes probabilidades:
b)_(1.0 pt.) - Prob e Prob 
Problema 4 (2.4 pts): Os resultados de um certo teste psicológico que mede a ansiedade em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 25 e variância 100. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:
(0.8 pt.) Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos? 
(0.8 pt.) Se os 16 alunos matriculados em Engenharia que fazem a matéria de estatística passarem no teste, qual é a probabilidade que tenham tido uma pontuação media abaixo de 30? 
(0.8 pt.) Dentre 15 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que mais pontuou, não exceder 28 no teste?
Problema 5 (2.0 pts): Uma empresa eletrônica observa que o número de componentes que falham antes de chegar a 100 horas de operação é uma variável aleatória discreta sendo o número médio destas falhas igual a 8:
(1.0 pt.) - Qual é a probabilidade de que falhe um componente em 25 horas? 
(1.0 pt.) - Qual é a probabilidade de que falhe não mais de dois componentes em 50 horas? 
Boa sorte!
FORMULÁRIO:
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = p
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = n.p
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = 1/p
VAR(X) = q/p2 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = r/p
VAR(X) = r.q/p2 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = μ
VAR(X) = μ 
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Notação : X ~ Uniforme(a,b)
Função de probabilidade:
Distribuição Exponencial
Notação : X ~ Exp (λ)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = 1/λ
VAR(X) = 1/λ2 
Distribuição Normal
Notação : X ~ Normal (μ,σ2)
Função de probabilidade:
Média e Variância: E(X) = μ
VAR(X) = σ2
Se X~N(μ,σ2) 
Exemplo: 
TABELA NORMAL
		Desv. 
Normal z
		0.00
		0.01
		0.02
		0.03
		0.04
		0.05
		0.06
		0.07
		0.08
		0.09
		0.0
		0.5000
		0.4960
		0.4920
		0.4880
		0.4840
		0.4801
		0.4761
		0.4721
		0.4681
		0.4641
		0.1
		0.4602
		0.4562
		0.4522
		0.4483
		0.4443
		0.4404
		0.4364
		0.4325
		0.4286
		0.4247
		0.2
		0.4207
		0.4168
		0.4129
		0.4090
		0.4052
		0.4013
		0.3974
		0.3936
		0.3897
		0.3859
		0.3
		0.3821
		0.3783
		0.3745
		0.3707
		0.3669
		0.3632
		0.3594
		0.3557
		0.3520
		0.3483
		0.4
		0.3446
		0.3409
		0.3372
		0.3336
		0.3300
		0.3264
		0.3228
		0.3192
		0.3156
		0.3121
		0.5
		0.3085
		0.3050
		0.3015
		0.2981
		0.2946
		0.2912
		0.2877
		0.2843
		0.2810
		0.2776
		0.6
		0.2743
		0.2709
		0.2676
		0.2643
		0.2611
		0.2578
		0.2546
		0.2514
		0.2483
		0.2451
		0.7
		0.2420
		0.2389
		0.2358
		0.2327
		0.2296
		0.2266
		0.2236
		0.2206
		0.2177
		0.2148
		0.8
		0.2119
		0.2090
		0.2061
		0.2033
		0.2005
		0.1977
		0.1949
		0.1922
		0.1894
		0.1867
		0.9
		0.1841
		0.1814
		0.1788
		0.1762
		0.1736
		0.1711
		0.1685
		0.1660
		0.1635
		0.1611
		1.0
		0.1587
		0.1562
		0.1539
		0.1515
		0.1492
		0.1469
		0.1446
		0.1423
		0.1401
		0.1379
		1.1
		0.1357
		0.1335
		0.1314
		0.1292
		0.1271
		0.1251
		0.1230
		0.1210
		0.1190
		0.1170
		1.2
		0.1151
		0.1131
		0.1112
		0.1093
		0.1075
		0.1056
		0.1038
		0.1020
		0.1003
		0.0985
		1.3
		0.0968
		0.0951
		0.0934
		0.0918
		0.0901
		0.0885
		0.0869
		0.0853
		0.0838
		0.0823
		1.4
		0.0808
		0.0793
		0.0778
		0.0764
		0.0749
		0.0735
		0.0721
		0.0708
		0.0694
		0.0681
		1.5
		0.0668
		0.0655
		0.0643
		0.0630
		0.0618
		0.0606
		0.0594
		0.0582
		0.0571
		0.0559
		1.6
		0.0548
		0.0537
		0.0526
		0.0516
		0.0505
		0.0495
		0.0485
		0.0475
		0.0465
		0.0455
		1.7
		0.0446
		0.0436
		0.0427
		0.0418
		0.0409
		0.0401
		0.0392
		0.0384
		0.0375
		0.0367
		1.8
		0.0359
		0.0351
		0.0344
		0.0336
		0.0329
		0.0322
		0.0314
		0.0307
		0.0301
		0.0294
		1.9
		0.0287
		0.0281
		0.0274
		0.0268
		0.0262
		0.0256
		0.0250
		0.0244
		0.0239
		0.0233
		2.0
		0.0228
		0.0222
		0.0217
		0.0212
		0.0207
		0.0202
		0.0197
		0.0192
		0.0188
		0.0183
		2.1
		0.0179
		0.0174
		0.0170
		0.0166
		0.0162
		0.0158
		0.0154
		0.0150
		0.0146
		0.0143
		2.2
		0.0139
		0.0136
		0.0132
		0.0129
		0.0125
		0.0122
		0.0119
		0.0116
		0.0113
		0.0110
		2.3
		0.0107
		0.0104
		0.0102
		0.0099
		0.0096
		0.0094
		0.0091
		0.0089
		0.0087
		0.0084
		2.4
		0.0082
		0.0080
		0.0078
		0.0075
		0.0073
		0.0071
		0.0069
		0.0068
		0.0066
		0.0064
		2.5
		0.0062
		0.0060
		0.0059
		0.0057
		0.0055
		0.0054
		0.0052
		0.0051
		0.0049
		0.0048
		2.6
		0.0047
		0.0045
		0.0044
		0.0043
		0.0041
		0.0040
		0.0039
		0.0038
		0.0037
		0.0036
		2.7
		0.0035
		0.0034
		0.0033
		0.0032
		0.0031
		0.0030
		0.0029
		0.0028
		0.0027
		0.0026
		2.8
		0.0026
		0.0025
		0.0024
		0.0023
		0.0023
		0.0022
		0.0021
		0.0021
		0.0020
		0.0019
		2.9
		0.0019
		0.0018
		0.0018
		0.0017
		0.0016
		0.0016
		0.0015
		0.0015
		0.0014
		0.0014
		3.0
		0.0013
		0.0013
		0.0013
		0.0012
		0.0012
		0.0011
		0.0011
		0.0011
		0.0010
		0.0010
Prova 2/RESPOSTAS EXERC�CIOS AULA-5.pdf
 
EXERCÍCIOS PARA CASA - AULA-5 
 
Distribuição Uniforme 
 
 
 
 
 
- Exemplo pg. 9 (para casa) 
 
O retorno de uma aplicação financeira de risco num intervalo de uma semana é 
uma variável com distribuição Uniforme no intervalo –2% a 1.8%. Calcule: 
 
I- A probabilidade do retorno do investimento nesta semana ser positivo. 
II- A probabilidade do retorno estar entre –1% e +1%. 
III- A probabilidade do retorno exceder 0.5%. 
 
RESPOSTA: 
 
I - Pr (0<x<1,8) F(x) = 47,37% 
II - Pr (-1<0<1) F(x) = 52,63% 
III - Pr(0,5<x<1,8) F(x) = 34,21% 
 
 
 
Distribuição Exponencial 
 
 
 
 
 
 
- Exemplo pg.18 (para casa) 
 
O tempo até a ocorrência de um defeito (isto é, o tempo de duração) numa 
TV é uma variável Exponencial com parâmetro λ = 1/3 anos. 
 
I- Calcule a probabilidade de uma TV “pifar” nos primeiros 2 anos de uso. 
II- Calcule a probabilidade de uma TV durar mais de 5 anos. 
III- Calcule a probabilidade de uma TV durar entre 3 e 5 anos. 
 
RESPOSTA: 
 
I - Pr (T≤2) F(x) = 48,67% 
II - Pr (T>5) F(x) = 18,89 % 
III - Pr (3<x<5) F(x) = 17,90% 








b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf











a x se 1
b)(a, x se 
a-b
a-x
a xse 0
)Pr()( xXxF
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
   
 
x
xu e
x
eduuxXxF
0
.. 1
0
.exp.Pr)( 
 
Distribuição Normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Exemplo pg. 55 (para casa) 
 
O consumo médio residencial de energia elétrica nos meses de verão 
numa certa cidade é uma variável Normal com média 210 kWh e desvio 
padrão 18 kWh. 
 
a) Qual a probabilidade de que o consumo no verão exceda 225 kWh? 
b) Calcule a probabilidade de que o consumo no verão seja inferior a 
190 kWh. 
c) Quanto você deve consumir para estar entre os 2.5% que mais 
gastam energia? 
 
 
RESPOSTA: 
 
a) Pr (X > 225) = 20,23% 
b) Pr (X < 190) = 13,33% 
c) Pr (X) = 2,5% X = 245,28 kWh 
 
 
 
- Exemplo pg. 56 (para casa) 
 
Numa certa empresa de informática, o salário anual médio dos 
funcionários com menos de 5 anos de experiência é R$ 24000,
com 
desvio padrão de R$ 3000. Suponha que os salários têm distribuição 
Normal e calcule os valores pedidos a seguir. 
 
a) Qual a probabilidade do salário anual de um funcionário qualquer 
com menos de 5 anos de experiência ser menor que R$ 20000? 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
F x X x
u
du
x
( ) Pr( ) exp  
 








1
2 22
2
2







 





 






 







 



















ab
b
Z
abXa
bXa PrPr)Pr(
b) Qual deve ser o valor do salário anual de um funcionário com 
menos de 5 anos de experiência se 95% dos funcionários (com 
menos de 5 anos de experiência) tem salário abaixo dele? 
c) Toma-se uma amostra de 36 funcionários com menos de 5 anos de 
experiência. Qual a probabilidade do salário médio na amostra 
exceder R$ 24500? 
d) Toma-se uma amostra de 12 funcionários com menos de 5 anos de 
experiência. Qual a probabilidade do maior salário na amostra 
exceder R$ 28000? 
 
 
RESPOSTA: 
 
a) Pr (X < 20.000) = 9,12% 
b) Pr (X) = 95% X = R$28.935,00 
 ) Pr ( > 24.500) = 15,87% 
d) Pr (V > 28.000) = 68,26% 
 
 
 
- Exemplo pg. 63 (para casa) 
 
Um estudante universitário gasta em média R$ 600,00 em livros por 
ano. A dispersão entre os valores gastos, medida pelo desvio padrão, é 
R$ 240,00. 
Além disso, pode-se encarar os valores gastos pelos universitários 
como independentes entre si e Normalmente distribuídos. Também, a 
maioria dos estudantes adquire livros pela Internet. 
 
a) Uma grande livraria na Internet pretende oferecer um cartão VIP 
aos clientes que mais compram livros. Apenas os 1% que mais 
consomem livros num período de um ano receberão o cartão. 
Acima de qual volume anual de compras um consumidor se 
candidata ao cartão VIP? 
b) b) Considere 16 estudantes universitários. Qual a probabilidade do 
gasto médio anual em livros destas 16 pessoas ultrapassar R$ 
660,00? 
c) c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, qual a 
probabilidade do estudante que menos consumiu livros ter gasto 
mais de R$ 650 no ano? 
 
 
RESPOSTA: 
 
a) Pr (X) = 1% X = R$1.158,31 
b) Pr ( > 660) = 15,87% 
c) Pr ( U > 650) = 8,52.10-7 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Exemplo pg. 65/66 (para casa) 
 
Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em 
média R$ 260 mil. A dispersão entre os valores, medida pelo desvio 
padrão, é R$ 100 mil. 
Além disso, pode-se encarar os preços dos apartamentos como 
independentes entre si e Normalmente distribuídos. 
 
a) Uma imobiliária pretende oferecer uma viagem de presente aos 
compradores de apartamentos de 2 quartos neste bairro que 
comprem os apartamentos situados na faixa dos 10% mais caros. A 
partir de quanto deve custar o seu apartamento para que você ganhe 
a viagem de “presente”? 
b) Considere 16 compradores de apartamentos de 2 quartos neste 
bairro. Qual a probabilidade do preço médio pago por eles ser 
inferior a R$ 300 mil? 
c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, qual a probabilidade do 
comprador que pagou mais caro por um apartamento ter pago 
menos de R$ 285 mil? 
 
 
 
RESPOSTA: 
 
a) Pr (X) = 90% X = R$388.160,00 
 ) Pr ( < 300.000) = 94,52% 
c) Pr ( U < 285.000) = 2,72.10-4 = 0,03% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PARA CASA - AULA-5 
 
Variáveis Contínuas 
 
 
Distribuição Uniforme 
 
Notação : X ~ Unif(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
 
Média e Variância: 
 
 
 
Distribuição Exponencial 
 
Notação : X ~ Exp(λ) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
 
Distribuição Normal 
 
Notação : X ~ N(μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
 
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
   
 
x
xu e
x
eduuxXxF
0
.. 1
0
.exp.Pr)( 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
du
u
xXxF
x

 




 

2
2
2 2
exp
2
1
)Pr()( 










b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf











a x se 1
b)(a, x se 
a-b
a-x
a xse 0
)Pr()( xXxF
 
2
( ) , ( ) 
2 12
b aa b
E X VAR X

 
 
 
 
 
Tabelas 
Ta ela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
0.10 0.5398 0.72 0.7642 1.34 0.9099 1.96 0.9750
0.12 0.5478 0.74 0.7704 1.36 0.9131 1.98 0.9761
0.14 0.5557 0.76 0.7764 1.38 0.9162 2.00 0.9772
0.16 0.5636 0.78 0.7823 1.40 0.9192 2.02 0.9783
0.18 0.5714 0.80 0.7881 1.42 0.9222 2.04 0.9793
0.20 0.5793 0.82 0.7939 1.44 0.9251 2.06 0.9803
0.22 0.5871 0.84 0.7995 1.46 0.9279 2.08 0.9812
0.24 0.5948 0.86 0.8051 1.48 0.9306 2.10 0.9821
0.26 0.6026 0.88 0.8106 1.50 0.9332 2.12 0.9830
0.28 0.6103 0.90 0.8159 1.52 0.9357 2.14 0.9838
0.30 0.6179 0.92 0.8212 1.54 0.9382 2.16 0.9846
0.32 0.6255 0.94 0.8264 1.56 0.9406 2.18 0.9854
0.34 0.6331 0.96 0.8315 1.58 0.9429 2.20 0.9861
0.36 0.6406 0.98 0.8365 1.60 0.9452 2.22 0.9868
0.38 0.6480 1.00 0.8413 1.62 0.9474 2.24 0.9875
0.40 0.6554 1.02 0.8461 1.64 0.9495 2.26 0.9881
0.42 0.6628 1.04 0.8508 1.66 0.9515 2.28 0.9887
0.44 0.6700 1.06 0.8554 1.68 0.9535 2.30 0.9893
0.46 0.6772 1.08 0.8599 1.70 0.9554 2.32 0.9898
0.48 0.6844 1.10 0.8643 1.72 0.9573 2.34 0.9904
0.50 0.6915 1.12 0.8686 1.74 0.9591 2.36 0.9909
0.52 0.6985 1.14 0.8729 1.76 0.9608 2.38 0.9913
0.54 0.7054 1.16 0.8770 1.78 0.9625 2.40 0.9918
0.56 0.7123 1.18 0.8810 1.80 0.9641 2.42 0.9922
0.58 0.7190 1.20 0.8849 1.82 0.9656 2.44 0.9927
0.60 0.7257 1.22 0.8888 1.84 0.9671 2.46 0.9931
 
 
μ X 
σZ 
 
 
 
TABELA NORMAL 
Desv. 
Normal z 
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 
0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 
1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271
0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 
1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 
2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 
2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 
2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 
2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 
2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 
2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 
2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 
2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 
3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
Prova 2/RESPOSTAS EXERC�CIOS AULA-6.doc.pdf
Aula - 6 
 
Método do Jacobiano – exemplo (para casa) 
 
- Exemplo pg. 37 (para casa) 
 
 velocidade de uma molécula de gás é uma variável aleatória contínua V 
com densidade dada por: 
 
 
 
 E a > 0 é uma constante determinada a partir do fato de f(v) integrar a 1 no 
intervalo (0, + ). Seja Z a energia cinética da molécula de gás, dada por: 
 
 
 
 Encontre a densidade de Z (você pode usar o método do Jacobiano ou o da 
função de distribuição) 
 
 
RESPOSTA 
 
 Encontre a densidade de Z 
 
Método Jacobiano 
 
 
 
2
. 2Vm
Z 
 é injetora quando v>0 
 
m
bz
e
m
z
azg
2
3
.
2
.)(


 
 
 
 
- Exemplo pg.38 (para casa) 
 
 A duração (Y) de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade 
Rayleigh, mostrada a seguir. 
 
 
 
 
I- Encontre a densidade de U = Y2. 
 
II- Use o resultado acima para achar a média e variância de U. 
 
0>v e gás do depende que constante uma é b onde,..)(
22 bvevavf 
2
2mV
Z 
  0 y onde 












 
2
exp
2 yy
yf
0>v e gás do depende que constante uma é b onde,..)(
22 bvevavf 
 
 
RESPOSTA 
 
I- Encontre a densidade de U = Y2. 
 
Método Jacobiano 
 
 
 
 
U = Y2 é injetora quando y>0 
 


u
eug

 .
1
)(
 
 
 
II- Use o resultado acima para achar a média e variância de U. 
 
Média (U) 
)(UE
 
 
Variância (U) 
2)( UVAR
 
 
 
 
- Exemplo pg. 39(para casa) 
 
 Seja X uma v.a. contínua com densidade: 
 
 
 
 
 Encontre a densidade de Y = 1/X 
 
 
 
RESPOSTA 
 
 
 Encontre a densidade de Y = 1/X 
 
Método Jacobiano 
 
 
 
X
Y
1

 é injetora quando x>1 
 
23)( yyg 
 
 
4
3
( ) 1f x x
x
 
  0y onde exp
2 2













 
yy
yf
4
3
( ) 1f x x
x
 
 
 
- Exemplo pg. 40 (para casa) 
 
 O preço de um ativo financeiro é uma v.a. contínua com densidade: 
 
 
 
 
 Encontre a densidade de Y = X2. 
 
 
RESPOSTA 
 
 
 Encontre a densidade de Y = X2 
 
Método Jacobiano 
 
 
 
2XY 
 é injetora quando x>0 
 
 
yeyg )(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 onde x > 0xf x xe
 
2
2 onde x > 0xf x xe
 
 
 
TABELA NORMAL 
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 
0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 
0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 
0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 
1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 
1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 
2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 
2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 
2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 
2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 
2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 
2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 
2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 
2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 
3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 
 
 
 
 
Exemplo: