Aula 4 - Limites no Infinito

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Aula 4 – Limites no Infinito 
Prof. Ronaldo Portela 
Limites no Infinito 
• Vamos analisar a seguinte função quando x cresce 
indefinidamente. 
 
 
 
 
 
 
• Podemos observar que f (x) tende a 2 quando x cresce 
indefinidamente. 
2
2
2
( )
1
x
f x
x


x f (x) 
10 1,98 
100 1,9998 
1.000 1,9999 
2 
Limites no Infinito 
• Definição: Seja f uma função definida em um 
intervalo (a, +∞) o limite de f (x) quando x cresce 
indefinidamente é L, escrito 
 
 
 se para todo ϵ > 0, não importa quão pequeno, existir 
um número N > 0 tal que: 
se x > N então |f (x) – L|< ϵ. 
lim ( )
x
f x L


3 
Limites no Infinito 
• Vamos analisar a seguinte função quando x decresce 
indefinidamente. 
 
 
 
 
 
 
• Podemos observar que f (x) tende a 2 quando x 
decresce indefinidamente. 
2
2
2
( )
1
x
f x
x


x f (x) 
-10 1,98 
-100 1,9998 
-1.000 1,9999 
4 
Limites no Infinito 
• Definição: Seja f uma função definida em um 
intervalo (- ∞, a) o limite de f (x) quando x decresce 
indefinidamente é L, escrito 
 
 
 se para todo ϵ > 0, não importa quão pequeno, existir 
um número N < 0 tal que: 
se x < N então |f (x) – L|< ϵ. 
lim ( )
x
f x L


5 
Limites no Infinito 
• Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então 
1
) lim 0
1
) lim 0
rx
rx
i
x
ii
x




6 
Limites no Infinito 
• Exemplo: Determine: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
2
2
2
lim
1x
x
x 
2
3
2 5
lim
4 1x
x x
x
 

2
3 4
lim
2 5x
x
x


7 
Assíntota Horizontal 
• Definição: A reta y = b é denominada uma assíntota 
horizontal do gráfico da função f se PELO MENOS 
UMA das seguintes afirmações for válida: 
) lim ( ) ;
) lim ( ) ;
x
x
i f x b
ii f x b




8 
Assíntota Horizontal 
• Exemplo: Determine as assíntotas horizontais e faça 
um esboço do gráfico da função definida por 
2
( )
1
x
f x
x


9 
Assíntotas Horizontais e Verticais 
• Exemplo: Encontre as assíntotas vertical e horizontal 
e trace um esboço do gráfico da função. 
 
2 1
) ( )
1
4 3
) ( )
1
x
a f x
x
x
b g x
x






10 
Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
11