Lista 10

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 10............22 - 04 - 13
1.- Os polinômios de Legendre são definidos como os coeficientes da expansão em
série de Taylor da função geratriz
Gx, t = 1
1 − 2xt + t2
= ∑
n=0
+∞
Pnxtn
(1) Dê a expressão de Pnx como coeficientes da série de Taylor (integrais de Cauchy)
(2) Dê a forma explícita dos 5 primeiros Pnx, n = 0, 1, 2, 3, 4.
(3) Mostre que a integral:
∮
|z|=1
1
1 − 2xz + z2
dz
zn+1
se transforma, através da mudança de variável ( z → w) definida por:
1 − zw = 1 − 2xz + z2 , na integral de Schläfli:
∮
|w−x|=1
w2 − 1n
2nw − xn+1
dw
(4) Obtenha da integral de Schläfli a fórmula de Rodrigues para os polinômios de
Legendre:
Pnx = 12nn!
dn
dxn x
2 − 1n
2.- Calcule a integral: I2k+1 = ∫
0
1
P2k+1xdx , k = 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Use o (M) para conferir os
resultados.
3.- Na EDO de Legendre
1 − x2 d
2
dx2
Pnx − 2x ddx Pnx + nn + 1Pnx
imponha uma solução da forma
Pnx = ∑
k=0
+∞
akxk
Substitua na EDO e resolva a relação de recorrência para os coeficientes ak, obtendo
assim a fórmula geral dos polinômios de Legendre:
Pnx = ∑
k=0
n/2
−1k 2n − 2k!2nk!n − k!n − 2k! x
n−2k
4.- Use a função geratriz dos polinômios de Legendre
Gx, t = 1
1 − 2xt + t2
= ∑
n=0
+∞
Pnxtn
para obter os seguinte seguintes resultados:
(A) As relações de recorrência
RR(1): n + 1Pn+1x − 2n + 1xPnx + nPn−1x = 0
RR(2): xPn′ x = nPnx + Pn−1′ x
(B) A EDO satisfeita pelos polinômios de Legendre:
1
1 − x2 d
2
dx2
Pnx − 2x ddx Pnx + nn + 1Pnx = 0
(C) A forma geral dos polinômios de Legendre:
Pnx = ∑
k=0
n/2
−1k 2n − 2k!2nk!n − k!n − 2k! x
n−2k
(D) As relações de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
∫
−1
+1
PmxPnxdx = 22n + 1 δmn
(E) As seguintes relações:
(1) Pn−x = −1nPnx (paridade)
(2) Pn1 = 1; Pn−1 = −1n
(3) P2n0 = −1n 2n!22nn!2
(F) A fórmula de Rodrigues:
Pnx = 12nn! 
d
dx 
nx2 − 1n
5.- Determine o potencial electrostático dentro de uma esfera metálica de raio a,
centrada na origem, carregada de tal modo que o potencial na sua superfície seja dado
por VR,θ = fθ, escolhida da lista abaixo:
(1) fθ = V0 0 ≤ θ < π/2
−V0 π/2 < θ ≤ π
; (2) fθ = sin2θ ; (3) fθ = V0 > 0 0 ≤ θ < π/2
0 π/2 < θ ≤ π
6.- Deduzir as seguintes relações de recorrência (RR):
(1) nPn−1x = Pn′ x − xPn−1′ x
(2) 2n + 1Pnx = Pn+1′ x − Pn−1′ x
(3) x2 − 1Pn′ x = nxPnx − nPn−1x
(4) x2 − 1Pn′ x = n + 1Pn+1x − n + 1xPnx
7.- Expandir fx em série de Legendre: fx = ∑
0
∞
cnPnx , com fx escolhida da lista
abaixo:
(1) fx = 1 − x2 (2) fx = xk , k = 1, 2, 3, 4, . . . (3) fx = 1
1−x2
(4) fx = 1 − x2
8.- Mostre que ∫
−1
+1
xkPnxdx = 0 se k < n.
9.- Na integral de Schläfli, defina o caminho Cx : |w − x| = 1 − x2 . Transforme a integral
e obtenha a representação integral de Laplace:
Pnx = 1π ∫
0
π
x + x2 − 1 cosθndθ = 12π ∫
0
2π
x + x2 − 1 sinθndθ
2