Lista 11

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FFI 112: Física Matemática I
Lista # 11............08 - 05 - 13
1.- Expandir em série de Laurent, nas coroas indicadas, as seguintes funções:
(1) 1
zz−1 ; 1 < |z| (2) cotπz; 0 < |z − 1| < 1 (3) e
1
z−1 ; 0 < |z − 1|
(4) sinπz
z−1 ; 0 < |z − 1| (5) zsinπz ; (a) 0 < |z| < 1; (b) 0 < |z − 1| < 1
2.- Calcule a parte principal (PP) da série de Laurent das seguintes funções, nas coroas
indicadas:
(1) ze1/z; 0 < |z| (2) cosz
z4
; 0 < |z| (3) 1
z2+1
; 0 < |z − i| (4) sin z
z−1 ; 0 < |z − 1|
3.- Prove que o coeficiente c−1 da PP finita (i.e. com um número finito de termos) da
série de Laurent de uma função fz na coroa K : r < |z − a| < R, é dado por:
c−1 = limz→a
1
n − 1! 
d
dz 
n−1z − anfz
4.- Nos Exercícios # 1 e 2 acima, nas séries de Laurent com um número finito de termos
na PP, calcule o coeficiente c−1 por meio da fórmula do Ex # 3.
5.- Mostre que o ponto z = a é uma singularidade removível das seguintes funções:
(1) z2−1
z−1 (a = 1) (2) ztanz (a = 0 (3) 1−coszz2 (a = 0 (4) 1ez−1 − 1sinz (a = 0
6.- Mostre que o ponto z = a é um polo para as seguintes funções (determine a ordem
do polo):
(1) 1z (a = 0 (2) z1−cosz (a = 0 (3) zez−12 (a = 0 (4) cot πz  (a = ∞
7.- Mostre que o ponto z = a é uma singularidade essencial das seguintes funções:
(1) ez (a = ∞ (2) e−z2 (a = ∞ (3) sin π
z2
 (a = 0 (4) sinez (a = ∞ (5)
cos z
z+1  (a = −1
Em cada caso, determine a seqüência de Casorati-Weierstrass-Sokhotski.
8.- Localize e classifique todas as singularidades das seguintes funções:
(1) z
sinz (2) z2 sin zz+1  (3) 1z2−1 cos πzz2+1  (4) cotz − 1z (5) ecot
π
z 
9.- Determine a PP da série de Laurent das seguintes funções, nas vizinhanças do
ponto z = a indicado:
(1) z
z+22
(a = −2 (2) ez+1
ez−1 (a = 0,±2πi,±4πi, . . .  (3) z−1sin2z (a = 0
10.- Calcular o Resfz; z = ∞ para as seguintes funções:
(1) sinz
z2
(2) e 1z (3) z2 sin πz  (4) cosπ z+22z  (5) sin
1
z 
z−1 (6) cos
2 πz 
z+1 (7) zcos2 πz 
Usar o resultado do Ex # 16 abaixo.
11.- (*) Seja fz uma função da forma fz = PzQz , em que Pz e Qz são analíticas
num ponto z = a (finito) e que valem as relações: Qa = 0, Q′a ≠ 0. Prove então que:
Resfz; z = a = PaQ′a
12.- Verifique se as seguintes funções fz admitem série de Laurent nas vizinhanças
dos pontos z = a indicados:
(1) cos 1z  (a = 0 (2) cos 1z  (a = ∞ (3) sec 1z−1  (a=1)
1
13.- Localize e classifique todas as singularidades das seguintes funções:
1) sin 1
sin 1z 
 (2) sin 1
cos 1z 

14.- Localize e classifique todas as singularidades (finitas, infinitas, isoladas ou não) das
funções da lista abaixo. Nas isoladas, calcule o resíduo.
(1) 1
cos 1z 
(2)(*) πcotπz (3)(*) πcscπz (4) 1−cosz
sin2z
(5) ze 1z − 1 (6) 1
e
1
z −1
(7) 1
e
1
z2 +1
15.- Demonstre que ”a condição necessária e suficiente para que um ponto z = a seja
um polo de ordem n para uma função fz é que a parte principal (PP) da série de
Laurent de fz , na coroa K : r < |z − a| < R , contenha no máximo n termos ”:
z = a : polo de ordem n ⇔ C−n ≠ 0 e C−k = 0, k > n
16.- (*) Suponhamos que todas as N singularidades finitas de fz estejam contidas no
interior de um círculo CR de raio finito R. Prove então a seguinte relação:
∑
k=1
N
Res{fz; z = zk ∈ intCR + Resfz; z = ∞ = 0
Como aplicação, calcule o resíduo em z = ∞ das seguintes funções:
(1) z3
z−1z−2 (2) sin zz−1 (3) e
z
z−1z−2 (4) sinπzz−1
17.- Manipulação de séries. Considere as séries:
Sx = ∑
n=0
+∞
−1n x
2n+1
2n + 1! ; Cx = ∑
n=0
+∞
−1n x
2n
2n!
Calcule:
(a) Sx. Cx (b) S2x + C2x (c) SxCx
OBS.: Os exercícios marcados com ´´(*)´´ são particularmente importantes.
Comandos do MAPLE relevantes:
residue(expr, x=a);
singular(expr);
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