Resolução do exercicio 4 da pagina 331 - Guidorizzi

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Resolução do exercicio 4 da pagina 331
Consideramos g(x,y) = x² - y = 0
Como queremos saber distância entre pontos, usamos a fórmula:
d² = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
considerando x2 = 14 e y2 = 1
Sendo que d² = f(x,y) = (x - 14)² + (y - 1)² = x² + y² - 28x -2y + 197
Usando os multiplicadores de lagrange, temos a seguinte relação:
grad f(x,y) = lambda.grad g(x,y)
g(x,y) = 0
onde grad f(x,y) = <2x-28, 2y-2> e grad g = < 2x, -1 >
Montamos o sistema:
2x - 28 = 2x.lambda (chamamos de I)
2y - 2 = -lambda (chamamos de II)
x² = y (chamamos de III)
Manipulando I, II e III, teremos:
III -> x² = y
Usando III em II, teremos:
2 (x²) - 2 = - lambda, portanto: lambda = -2x² + 2
Usando o resultado acima em I, teremos, por fim:
2x - 28 = 2x(-2x² + 2), obtendo após os calculos o seguinte polinômio:
4x³ - 2x - 28 = 0
Testando as raízes, na sorte, sabemos que x = 2. Logo usamos Briot-Ruffini
pra diminuir o grau do polinômio:
ficando 4x² + 8x + 14 = 0
Procurando as raízes dessa equação, descobrimos que delta < 0
logo não podemos usar essas raízes (imaginárias), usando apenas x = 2
como raíz real.
Para x = 2, temos que y = x² = 4
Por fim, sabemos que o ponto de y = x² mais próximo de (14, 1) é (2,4)