Apostila Analise Exploratória de Dados

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Análise Exploratória de Dados (CC0269) 
 
Professor: Paulo Rogério Faustino Matos 
Monitor: Felipe Deus 
Contatos: 
 paulomatos@caen.ufc.br felipedeusdanobrega@gmail.com 
Período: 2013 – I 
Carga horária/ Créditos: 64 horas/ 4 créditos 
Horário da Disciplina: 3a e 5a (18:30 – 20:10) 
Horário de atendimento do monitor: segunda-feira, das 14:00 às 18:00 (NCF/CAEN) 
Pré-requisitos: - x - 
 
 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
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Programa da disciplina 
 
I – OBJETIVO 
Com a atual disponibilidade dos recursos computacionais e a partir do aprofundamento do estudo 
das ciências matemática e estatística, inúmeros são os avanços evidenciados na análise de dados e 
modelagem de fenômenos, sejam estes de natureza comportamental, na área de saúde, econômica ou 
atuarial, diferenciando estas ciências das demais, ao permitir que se testem empiricamente arcabouços e 
modelos, por exemplo. 
Em suma, em um estudo empírico o pesquisador se depara com o usual problema de analisar e 
entender um determinado conjunto de dados relevante ao seu objetivo particular. Assim, o primeiro passo 
em estudos aplicados consiste em sujar as mãos com os dados, visando transformá-los em informações, de 
forma que possam fundamentar comparações e conclusões. 
Os objetivos serão: (i) propiciar ao aluno não somente um maior contato com métodos 
quantitativos per si, mas sim familiarizá-lo com as técnicas, fazendo-o reconhecer sua relevância e aplicação 
quando da solução de modelos econômicos e (ii) conjugar conhecimentos acadêmicos e profissionais através 
de uma exposição clara, didática e objetiva, abordando conceitos teóricos que norteiam a análise e o 
raciocínio analítico, como também propondo casos e exercícios, dos mais simples e usuais aos mais 
complexos e específicos. 
 
 
II – EMENTA 
Introdução; Análise dos dados; Métricas estatísticas; Análise bidimensional. 
 
 
III – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
#1. Introdução 
Estatística descritiva e inferencial 
 População e amostra 
Variáveis qualitativas e quantitativas 
 
#2. Análise dos dados (B&M: 2 e FBS&C: 2) 
 Tipos de variáveis 
 Representação gráfica 
 Representação tabular 
 
 
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#3. Métricas estatísticas (B&M: 3 e FBS&C: 3) 
 Medidas de posição 
 Medidas de dispersão 
 Quantis 
 Assimetria e curtose 
Box plot 
 
#4. Análise bidimensional (B&M: 4) 
Variáveis qualitativas 
Variáveis quantitativas 
 
 
IV – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS 
Bibliografia Básica: 
[B&M] Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, “Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010 
[FBS&C] Fávero, L. Belfiore, P., Silva, F. e Chan, B., “Análise de dados”. Ed. Campus, 1ª edição, 2009 
 
 
 
V – METODOLOGIA 
- Aulas presenciais teóricas 
- Apresentação de estudos de caso 
- Resolução de exercícios 
- Utilização de softwares (Excel) 
 
 
VI – AVALIAÇÃO 
A nota final será determinada pela média ponderada das seguintes notas parciais: 
- 40% referentes à avaliação individual 
- 40% referentes à trabalho em equipe 
- 20% referentes à lista de exercícios individual 
 
 
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VII – CURRICULUM RESUMIDO DO PROFESSOR 
Paulo Rogério Faustino Matos é Doutor em Economia pela Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV-RJ, 
2003 - 2006), onde foi bolsista Nota 10 da FAPERJ – destinada ao primeiro lugar do curso – e Engenheiro 
Civil pela Universidade Federal do Ceará (UFC, 1997 - 2002). Atualmente é Professor Adjunto III nos 
programas de Graduação em Ciências Atuariais da UFC e de Pós-Graduação em Economia da UFC 
(CAEN/UFC). Em termos de pesquisa, é pesquisador do CNPq, compõe o grupo de pesquisadores do 
Laboratório de Estudo da Pobreza (LEP/CAEN) e do Núcleo de Conjuntura Econômico-Financeira 
(NCF/CAEN), é parecerista de algumas das principais revistas em finanças e economia do país e membro 
da Sociedade Brasileira de Finanças (SBFin). Suas áreas de pesquisa são: i) Finanças Internacionais; ii) 
Apreçamento de Ativos e iii) Sistema Financeiro e Desenvolvimento. Participa atualmente como 
Conselheiro do Instituto de Desenvolvimento Econômico, Social e de Políticas Públicas (IDESPP). 
Endereço para CV lattes: http://lattes.cnpq.br/0288522400109962 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
1. Introdução ............................................................................................................................................................................ 6 
 
2. Análise dos dados ..................................................................................................................................................... 11 
 
3. Métricas estatísticas ............................................................................................................................................... 26 
 
4. Análise bidimensional ....................................................................................................................................... 53 
 
 
 
 
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1. Introdução 
1.1. Contexto histórico 
Desde a antigüidade, as civilizações já demonstravam preocupação em registrar o número de 
habitantes, de nascimento, de óbitos e até faziam estimativas das riquezas individual ou social. Uma 
aplicação bastante comum era a cobrança de impostos por parte do estado, o que possivelmente motivou o 
uso da ciência estatística, cuja origem vem de status, que significa em latim Estado. Com essa palavra faziam-
se as descrições e dados relativos aos Estados, tornando a Estatística um meio de administração para os 
governantes. 
Mais recentemente se passou a falar em estatística em várias ciências de todas as áreas do 
conhecimento humano, onde pode definir a Estatística como “um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que servem para estudar e medir os fenômenos coletivos”. Ao se estudar os fenômenos 
coletivos, o que interessa são os fatos que envolvem os elementos desses fenômenos, como eles se 
relacionam e qual o seu comportamento. 
 
1.2. Amostra e população 
A estatística consiste em uma espécie de matemática aplicada, podendo ser vista como um 
conjunto de técnicas utilizadas para planejar experimentos, obter dados e organizá-los, resumi-los, analisá-
los, interpretá-los e deles extrair conclusões. Esta ciência tal e qual a estudamos hoje em dia, faz uso do 
sistema numérico hindu-arábico, o qual foi introduzido nas sociedades que habitam o ocidente há cerca de 
oito séculos. 
Como veremos em detalhes na subseção a seguir, iremos trabalhar com dados numéricos ou não, 
os quais precisam ser coletados. A vertente da ciência que lida com a extração de dados consiste na teoria da 
amostragem, cujo estudo se dá durante o curso de inferência estatística. 
Mesmo antes de um estudo detalhado sobre esta teoria de amostragem, os conceitos de população 
a mostra precisam ser abordados. 
Definição 1: (População) População é o conjunto
constituído por todos os indivíduos que 
representam pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). Assim 
sendo, o objetivo das generalizações estatísticas está em dizer se algo acerca de diversas características da 
população estudada, com base em fatos conhecidos. 
Definição 2: (Amostra) Amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada 
da totalidade de observações abrangidas pela população, através da qual se faz inferência sobre as 
características da população. Uma amostra tem que ser representativa, a tomada de uma amostra bem como 
seu manuseio requer cuidados especiais para que os resultados não sejam distorcidos. 
Mas qual a relevância de se estudar uma amostra? Bem, em muitos fenômenos, ou é muito custoso, 
toma muito tempo, destrói a população ou é mesmo impossível se observar todos os elementos que 
compõem a população completa. Nestes casos, se observa um subconjunto, ou seja, uma amostra. Um 
exemplo interessante consiste na coleta de dados sobre a população brasileira. 
Exemplo 1: Em 2010, o IBGE realizará o XII Censo Demográfico, que se constituirá no grande 
retrato em extensão e profundidade da população brasileira e das suas características sócio-econômicas e, ao 
mesmo tempo, na base sobre a qual deverá se assentar todo o planejamento público e privado da próxima 
década. O Censo 2010 será um retrato de corpo inteiro do país com o perfil da população e as 
características de seus domicílios. 
 
 
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A fase preparatória da operação censitária teve início em 2007 e seus trabalhos foram 
intensificados a partir de 2008. A coleta está fixada para começar em 1º de agosto de 2010 e o início da 
divulgação dos resultados em dezembro do mesmo ano. Percorrer por inteiro um país como o Brasil, de 
dimensões continentais, com cerca de 8 milhões de km2 de um território heterogêneo e, muitas vezes, de 
difícil acesso, é uma tarefa que envolve grandes números. Veja, a seguir, as dimensões do Censo 2010. 
- Universo a ser recenseado: todo o Território Nacional 
- Número de municípios: 5.565 municípios 
- Número de domicílios: aproximadamente 58 milhões de domicílios 
- Número de setores censitários: 314.018 setores censitários 
- Pessoal a ser contratado e treinado: cerca de 240 mil pessoas 
- Orçamento previsto: R$ 1,4 bilhão 
A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD investiga anualmente, de forma 
permanente, características gerais da população, de educação, trabalho, rendimento e habitação e outras, 
com periodicidade variável, de acordo com as necessidades de informação para o País, como as 
características sobre migração, fecundidade, nupcialidade, saúde, segurança alimentar, entre outros temas. 
A PNAD 2009 investigou 399.387 pessoas em 153.837 domicílios por todo o país a respeito de temas como 
população, migração, educação, trabalho, família, domicílios e rendimento, tendo setembro como mês de 
referência. 
 
1.3. Áreas da estatística 
Em uma sequência tradicional, o estudo da estatística tem seu início caracterizado pela análise 
exploratória dos dados, ou seja, análise através de gráficos, tabelas ou métricas estatísticas descritivas a partir 
das informações coletadas junto às entidades portadoras de características comuns úteis na compreensão do 
comportamento de interesse. 
Após esta etapa, já de conhecimento dos elementos de probabilidade incondicional e condicional, 
faz-se uso de relações matemáticas funcionais paramétricas de forma que se possa modelar a probabilidade 
de se observar determinadas realizações em variáveis aleatórias isoladamente ou conjuntamente. 
Assim, somente a partir de uma amostra coletada, o fenômeno poderá ser estudado 
estatisticamente, sendo para tal, necessário descobrir qual distribuição que possui o melhor fitting e uma vez 
descrita esta distribuição, fazer uso de técnicas de estimação para que se obtenha valores para os parâmetros 
da distribuição ou de outras características de interessa desta população. Como estimar tais valores dos 
parâmetros populacionais a partir de amostras e analisar as propriedades destes parâmetros são etapas do 
estudo de inferência estatística. 
Por fim, é possível que um pesquisador se dedique mais especificamente às inúmeras técnicas de 
estimação dos parâmetros, as quais compõem a análise multivariada, onde se estuda análise de regressão, 
análise discriminante, correlação canônica, componentes principais, dentre outras ferramentas. Um vez 
modelado corretamente o fenômeno e usada a técnica de estimação adequada, além de se entender sobre os 
parâmetros populacionais, pode-se ainda realizar exercícios de previsão, de forma que tentemos antever 
resultados prováveis. 
Em suma, em um estudo científico rigoroso o qual envolva estatística, é estritamente necessário 
que se observe com detalhes os dados antes de levantar suposições estatísticas e testes de hipóteses. Mas o 
uso indiscriminado de pacotes estatísticos computacionais, sem o exame cuidadoso dos dados profissionais 
da área, conduz, às vezes, a resultados aberrantes. 
 
 
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1.4. Definições relevantes 
A seguir, apresentaremos as definições mais relevantes da estatística descritiva. 
Definição 3: (Dados estatísticos) Dados são tido como os elementos mais importantes quando do 
uso da estatística, os dados são os fatos e números coletados, a matéria-prima a ser analisada e sintetizada 
para apresentação e interpretação. 
É importante também que venhamos a trabalhar outras definições básicas, a fim de evitarmos o 
uso incorreto e impreciso da linguagem estatística. 
Definição 4: (Elementos) Elementos são as “entidades” sobre as quais os dados são coletados. 
Definição 5: (Variáveis) Variáveis são as características de interesse para os elementos, podendo ser 
observadas ou medidas 
Definição 6: (Observações) Observações são o conjunto de medidas coletadas para um 
determinado elemento. 
A mensuração de determinado fenômeno ou objeto é um processo por meio do qual os números 
ou símbolos são anexados a uma característica, em função de determinados procedimentos. 
Definição 7: (Variável qualitativa) Variável cujos “valores” não são numericamente mensuráveis, 
sendo expressos por atributos, classes, categorias ou qualidades: sexo, cor da pele, classe social, formação, 
etc. Se tais variáveis possuem uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização, são 
classificadas de qualitativas ordinais (por ex: classe social - baixa, média ou alta). Se não for possível 
estabelecer uma ordem natural entre seus valores, são classificadas como qualitativas nominais (por ex: sexo 
- masculino ou feminino). 
Definição 8: (Variável quantitativa) Variável que assume valores numéricos. Tais variáveis podem 
ser classificadas ainda em discretas ou contínuas. Variáveis discretas podem ser vistas como resultantes de 
contagens, e assumem, em geral, valores inteiros, como por exemplo, anos de estudo. Neste caso, é possível 
uma bijeção com um conjunto enumerável não necessariamente finito, como os inteiros. Já as variáveis 
contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo especificado e são, geralmente, resultados 
de uma mensuração. Neste caso, a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto dos 
números reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites, como o peso em kg 
de uma pessoa mensurado por uma
balança muito acurada. 
Para exemplificar, observemos a tabela 1.1. seguir. Nesta tabela, podemos identificar inicialmente 
que há 6 características de interesse, ou variáveis: formação, ter concluído pós-graduação, anos de estudo, 
altura e peso. Os dados (90 ao todo) desta amostra foram obtidos ao coletarmos as medidas ou observações 
para cada um dos elementos, ou seja, cada um dos funcionários. 
Uma primeira curiosidade que “salta aos olhos” consiste no fato de que há variáveis que assumem 
valores numéricos enquanto outras não, como a altura e a formação, respectivamente. Tal distinção ocorre, 
pois é possível analisarmos, para qualquer amostra, tanto variáveis qualitativas, como quantitativas. 
Outro aspecto a ser destacado nesta tabela é que a mesma nos fornece dados de apenas uma 
amostra dos funcionários e não de todos os funcionários da empresa em questão. Entendendo o termo 
população como o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum, 
definimos então amostra como sendo uma “pequena” parcela representativa da população que é examinada 
com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa população. 
Isso ocorre, pois em qualquer estudo científico enfrentamos o dilema de se analisar a população ou 
uma amostra. Obviamente teríamos uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, ou seja, 
a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. 
 
 
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Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudarmos a população em virtude de 
distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. 
 
Tabela 1.1. 
Amostra dos funcionários da Empresa XXX com suas respectivas características 
Funcionário Formação 
Pós-
graduação 
Anos de 
estudo 
Salário 
(R$) 
Altura 
(cm) 
Peso (Kg) 
Antônio Filho Administração Sim 24 5.500,00 156 65,8 
Bernardo Aguiar Contabilidade Não 21 3.650,00 175 80,9 
Carlos Smitch Economista Não 22 3.650,00 202 99,9 
Ciro Alcântara Engenharia Sim 25 35.000,00 180 79,1 
Débora Lima Psicologia Não 20 5.500,00 145 46,1 
Eduardo Rossi Marketing Sim 24 7.800,00 180 85,1 
Flavio Gomes Economista Não 23 2.800,00 165 67,7 
Ingrid Paes Engenharia Não 20 3.650,00 180 76,9 
João Mendonça Jornalista Sim 23 5.120,00 178 75,5 
Marcelo Vilar Direito Não 21 8.930,00 161 60,9 
Mirian Carvalho Comunicação Sim 24 4.500,00 168 65,1 
Noraide Mendes Direito Sim 22 8.930,00 150 54,7 
Orlando Moraes Odontologia Não 22 6.500,00 179 80,8 
Pedro Malta Engenharia Não 21 3.650,00 190 89,9 
Rodrigo Broa Nutrição Não 22 2.800,00 187 78,9 
 
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Neste contexto, 
mesmo não sendo pertencendo ao escopo desta seção, é importante que venhamos a saber que os 
parâmetros são valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la, sendo 
necessário examinar toda a população, enquanto, estimativa é um valor aproximado do parâmetro, 
calculado com o uso apenas de uma amostra. 
Neste contexto, devemos ainda definir o que seria uma estatística. Ainda com o objetivo de 
resumir, ou descrever o conjunto de dados, usaremos algumas medidas características, usadas para 
representar, de uma forma ou de outra, a própria distribuição do conjunto de dados. Qualquer medida 
obtida a partir das informações dos dados é chamada estatística. 
O objetivo de se calcular estatísticas é resumir as informações obtidas em um único valor, de modo 
que esse valor dê uma característica da amostra, que possa nos levar a ter uma idéia de uma característica da 
população. Exemplos básicos de estatísticas seriam, por exemplo, a soma dos anos de estudo dos 
funcionários pertencentes á amostra, ou mesmo, o valor de peso do aluno mais “magro” desta sala. 
Para que a inferência seja válida, é necessário que haja um bom uso da técnica de amostragem, 
determinando corretamente a população, dimensionando precisamente o tamanho da amostra e primando 
pela aleatoriedade, sendo esta última característica extremamente relevante para que venhamos a garantir, 
tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
 
 
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Um último aspecto a ser analisado é disposição dos dados em questão, se estes se encontram 
identificados pelo caráter variável ao longo do tempo ou se dentre diferentes elementos. 
Para melhor entendermos o primeiro caso, observemos a tabela 1.2. a seguir. 
 
Tabela 1.2. 
Indicadores financeiros selecionados da Empresa XXX (quadriêncio 2003 – 2006) 
Indicador 2003 2004 2005 2006 
Receita operacional bruta (R$ milhões) 20.895 29.020 35.350 46.746 
Exportações (US$ milhões) 4.229 5.534 7.021 9.656 
Exportações líquidas (US$ milhões) 3.672 4.618 6.339 8,784 
Lucro líquido (R$ milhões) 4.509 6.460 10.443 13.431 
Investimentos (US$ milhões) 1.988 2.092 4.998 26.324 
 
Nela, possuímos valores coletados de várias características, como por exemplo, receita operacional, 
exportações, etc., para apenas um elemento, ou seja, a Empresa XXX. Claramente os valores para cada uma 
dessas características estão sofrendo alteração de uma observação para outra em razão do efeito temporal. 
Estamos diante, portanto de séries temporais de características de uma mesma empresa. 
Para segundo caso, voltemos a observar a tabela 1.1. Nela não há efeito temporal influenciando os 
valores, uma vez que foram todos coletados em um mesmo período. O que faz com que haja diversos 
valores para uma mesma característica, como salário, por exemplo, são os diversos elementos observados, ou 
seja, os diversos funcionários da amostra. Dizemos comumente que estamos diante de dados cross-section, ou 
em corte transversal. Este detalhamento será explorado na seção seguinte. 
Em softwares como o Statistical Package for the Social Sciences (SPSS), ou ainda o Microsoft Access, é 
possível criar rótulos (labels) de variáveis qualitativas, sejam estas nominais ou ordinais, assim como 
planilhas ricas em macros para variáveis quantitativas. 
Com relação à obtenção direta dos dados a partir de questionários, é preciso que este seja 
estruturado tendo em vista o tratamento a ser realizado nos dados, assim como o objetivo final da pesquisa. 
Em teoria da amostragem, assim como nas disciplinas aplicadas, são abordadas práticas úteis na elaboração 
de questionários. 
 
 
 
 
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2. Análise de dados 
2.1. Introdução 
A análise exploratória de dados nos fornece um extenso repertório de métodos para um estudo 
detalhado dos dados, antes de adaptá-los, ou mesmo usá-los em inferências ou regressões. Nessa abordagem, 
a finalidade é obter dos dados a maior quantidade possível de informação, que indique modelos plausíveis a 
serem utilizados numa fase posterior, a análise confirmatória de dados ou inferência estatística. 
Em um estudo estatístico, uma vez definido o que se pretende pesquisar, ou seja, especificado 
corretamente o problema, as próximas etapas seriam o planejamento, a qual visa definir as questões 
relacionadas ao levantamento das informações e a coleta de dados, na qual se registra sistematicamente os 
dados observados. 
De posse dos dados, precisamos
começar a “tratá-los”, “manipulá-los”, para assim poder apresentá-
los e usá-los em inferências. 
Assim, de uma maneira mais formal, definimos as atividades de coleta, organização, descrição dos 
dados, cálculo e interpretação de coeficientes como compondo a estatística descritiva. 
Iremos nos ater aqui nesta seção à organização e descrição dos dados. Nas seções seguintes, iremos 
lidar com o cálculo e interpretação das estatísticas calculadas. 
 
2.2. Representação tabular e gráfica 
Basicamente, há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação 
tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. 
A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma 
visão rápida e clara do fenômeno. 
É importante conhecer e saber construir os principais tipos de tabelas, gráficos e medidas resumo 
para realizar uma boa análise descritiva dos dados. Vamos tentar entender como os dados se distribuem, 
onde estão centrados, quais observações são mais freqüentes, como é a variabilidade, etc., tendo em vista 
responder às principais questões do estudo. 
Cada ferramenta fornece um tipo de informação e o seu uso depende, em geral, do tipo de variável 
que está sendo investigada. 
A seguir, algumas das abordagens mais usadas e relevantes. 
 
2.2.1. Representação tabular 
Apresentação tabular numérica de dados é a representação das informações por intermédio de uma 
tabela. Uma tabela é uma maneira bastante eficiente de mostrar os dados levantados e que facilita a 
compreensão e interpretação dos dados. Para organizar uma série estatística ou uma distribuição de 
frequências, existem algumas normas nacionais ditadas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT) as quais devem ser respeitadas. Assim, toda tabela estatística de conter: 
a) Elementos essenciais 
∙ Título – indica a natureza do fato estudado (o quê?), as variáveis escolhidas na análise do fato 
(como?), o local (onde?) e a época (quando?). 
 
 
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∙ Corpo – é o conjunto de linhas e colunas que contém, respectivamente, as séries horizontais e 
verticais de informações. 
∙ Cabeçalho – designa a natureza do conteúdo de cada coluna. 
∙ Coluna indicadora – mostra a natureza do conteúdo de cada linha. 
b) Elementos complementares (se necessário) 
∙ Fonte – é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável pela sua organização ou 
fornecedora dos dados primários. 
∙ Notas – são colocadas no rodapé da tabela para esclarecimentos de ordem geral. 
c) Sinais convencionais 
∙ – (hífen), quando o valor numérico é nulo; 
∙ ... (reticência), quando não se dispõe de dado; 
∙ ? (ponto de interrogação), quando há dúvidas quanto à exatidão do valor numérico; 
∙ 0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela unidade 
utilizada, respeitando o número de casas decimais adotado; 
∙ X (letra x), quando o dado for omitido. 
d) Numerar as tabelas quando houver mais de uma. 
e) As tabelas devem ser fechadas acima e abaixo por linha horizontal, não sendo fechadas à direita 
e à esquerda por linhas verticais. É facultativo o emprego de traços verticais para separação de colunas no 
corpo da tabela. 
f) Os totais e subtotais devem ser destacados. 
g) Manter a uniformidade do número de casas decimais. 
A título de ilustração, observemos as tabelas 2.1. e 2.2. a seguir. 
Como exemplo, observemos este trecho abaixo extraído de Matos, Oquendo e Trompieri (2012). 
 
“Utilizam-se 155 observações de retornos mensais de índices de bolsas de valores dos BRICs entre janeiro/1998 
e novembro/2010 (fontes: CMA e Bloomberg). São eles Índice Bovespa (São Paulo, Brasil), Shanghai Composite 
(Xangai, China), SENSEX-30 (Bombaim, Índia) e o Russian Trading System Index (Moscou, Rússia). 
As características e códigos dos índices são descritas na tabela 2.1., enquanto as principais estatísticas 
descritivas estão na Tabela 2.2.” 
 
Tabela 2.1. 
 
 
 
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Tabela 2.2. 
 
 
O interessante nestas tabelas é que na primeira, há somente dados cadastrais, ou seja, qualitativos 
sobre os índices das bolsas, enquanto na segunda tabela, constam apenas dados numéricos, os quais não 
foram exatamente coletados de alguma fonte, mas sim calculados pelos autores. Trata-se de estatísticas 
descritivas associadas aos 4 momentos da distribuição de probabilidade, objeto de estudo da seção 3. 
 
2.2.2. Representação gráfica 
A seguir, algumas das representações mais usuais de dados através de gráficos. 
Diagrama circular: para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em 
setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (multiplica-se a freqüência relativa por 
100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. A título de ilustração, 
observemos os diagramas a seguir na figura 2.1. Como exemplo, segue trecho de Matos e Nogueira (2012). 
“O presente trabalho foca-se nos Fundos Multimercados Multiestratégia por poderem adotar mais de uma 
estratégia de investimento, sem o compromisso declarado de se dedicarem a uma em particular, admitindo alavancagem. 
Segundo a ANBIMA (2011), esse seguimento representa 54,5% da indústria Brasileira de Multimercados com mais de 
2.900 fundos e patrimônio total superior a R$ 216 bilhões, conforme observa-se na figura a seguir.” 
 
Figura 2.1: Participação % dos Fundos de Investimento Multimercado por Modalidade 
 
Fonte: ANBIMA (09/2011) 
0,65  1,48 
1,00 
1,48 
11,91  0,40 
54,50 
3,11 
23,53 
1,96 
Balanceados
Capital Protegido
Long And Short ‐Neutro
Long And Short ‐Direcional
Multimercados Macro
Multimercados Trading
Multimercados Multiestrategia
Multimercados Multigestor
Multimercados Juros e Moedas
Multimercados Estrategia Especifica
 
 
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Gráfico de barras: para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo 
das abscissas e suas as freqüências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável 
desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua freqüência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é 
interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a 
presença de tendência nos dados. Observe a figura 2.2. a seguir. 
 
Figura 2.2: Relação dívida/PIB 
 
 
Dispersão X vs. Y: Pode ser útil para a análise que se consiga visualizar em um locus gráfico, 
possíveis padrões de relação entre duas variáveis distintas, sendo neste caso aconselhável o uso de um 
gráfico de dispersão nos eixos X e Y. A título de ilustração, observemos os diagramas a seguir na figura 2.3. 
 
 
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15 
Como exemplo, observemos este trecho abaixo extraído de Pinto, Matos e Simonassi (2012). 
“Ainda sob esta ótica, Caetano (2006) afirma que países com características demográficas similares às 
brasileiras despendem com previdência como
proporção do PIB algo em torno de 4%. O autor ainda ressalta, dentre os 
52 países analisados em sua pesquisa, que o Brasil possui percentual de contribuintes na força de trabalho inferior a 
mediana internacional e valor médio da aposentadoria em relação à renda per capta equivalente a 59,4%, enquanto a 
medida internacional se situa em 48,3%. Tais indicadores demonstram que proporcionalmente o país possui 
representatividade contributiva modesta para níveis elevados de benefícios, revelando um perfil desastroso para a 
sustentabilidade de qualquer sistema previdenciário. 
 
Figura 2.3: Gastos com Previdência Social e proporção da população com 65 anos ou mais 
 
Fonte: Giambiagi et al. (2007, p.181) 
 
Perfazendo a análise de variáveis abordadas no estudo de Giambiagi et al. (2007), seria acertado esperar que 
a proporção de pessoas acima de 65 anos na população do país e o percentual do PIB gasto com benefícios 
previdenciários apresente uma correlação positiva. A Figura 5 traz esta realidade, em que se observa que países com 
populações mais idosas gastam mais com previdência, o que os coloca no quadrante direito superior. Por outro lado, 
países considerados jovens tendem a permanecer no quadrante esquerdo inferior. Já no quadrante direito inferior, apesar 
da população mais velha, situam-se nações que registram gastos modestos, geralmente explicado por questões culturais, 
sistemas eficientes alcançados por reformas prévias ou forte crescimento do PIB. O Brasil é o único país da análise que 
se encontra deslocado de sua realidade demográfica, mas com dispêndios em níveis semelhantes a de países como 
Holanda e Reino Unido. 
Diante deste cenário, verifica-se que o Brasil é um país fora do padrão internacional, com regras generosas, 
incompatibilidade demográfica, baixo esforço contributivo ao mesmo tempo em que repõe parcelas elevadas da renda. 
Um panorama tão custoso do ponto de vista fiscal exige a adoção mandatória de medidas em esforço mútuo por parte 
do Estado e da sociedade.” 
 
Distribuição de freqüência: quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem 
aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por 
 
 
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16 
classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe. Não há um modo 
único de se alocar valores em intervalos, mas sugere-se o seguinte procedimento: 
1. Determina-se o menor, o maior valor para o conjunto e a amplitude (maior – menor); 
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao 
menor valor das observações; 
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao 
maior valor das observações; 
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando ࡷ ൌ ૚ ൅ ૜, ૜. ࢒࢕ࢍሺ࢔ሻ ou ࡷ ൌ √࢔ 
, onde n é a quantidade de observações. K deve estar compreendido entre 5 a 15; 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude das classes assim: Ac = (Ls – Li)/K. Não é 
necessário que as classes tenham exatamente a mesma amplitude, mas usualmente assume-se isso; 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, definem-se os limites para cada classe 
(inferior e superior). 
Comumente, usamos o histograma para representar graficamente uma distribuição de freqüências. 
Este recurso consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à 
freqüência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de 
freqüência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns 
autores utilizam a freqüência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode 
ocasionar distorções (e, conseqüentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas 
nas faixas. Abaixo um histograma ilustrativo contendo a distribuição de freqüência (figura 2.4.). 
 
Figura 2.4: Histograma e possíveis distribuições (fitting) de operações descobertas de aquisição de títulos 
públicos do governo americano de curto prazo 
 
 
Normalmente, as operações com ativos financeiros possuem retornos brutos em torno de 1,0, 
sendo possível observar neste histograma (statigraphics ou easyfit) que há uma maior frequência de retornos 
entre 0,93 e 1,03, com poucas observações a partir de 1,15 ou abaixo de 0,89. É possível ainda observar que 
distribuições melhor fitam o histograma. 
 
 
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17 
Gráficos ou lineares: são freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com 
um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem 
intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo 
gráfico. A título de ilustração, observemos os diagramas a seguir na figura 2.5. 
Como exemplo, observemos este trecho extraído de Matos, Oquendo e Trompieri (2012). 
“É evidente ao se analisar os gráficos de retornos acumulados (Figura 3) que as bolsas destes países dividem uma 
tendência de longo prazo comum. A bolsa chinesa apresenta certo descolamento em alguns momentos. Todas apresentam 
valorização no período de “boom” econômico entre 2002 e 2007 aproximadamente, assim como forte queda por ocasião 
da crise financeira internacional de 2008, tendo as bolsas de China e Índia iniciado seu período de perdas mais cedo 
que Brasil e Rússia. Todas ainda apresentaram recuperação importante durante os anos 2009 e 2010, embora neste 
período a intensidade de recuperação tenha sido mais heterogêneo.” 
 
Figura 2.5: Retorno acumulado nominal mensal dos índices dos BRIC´s. 
 
 
Mapa: o uso de mapas com cores diferentes para variáveis quantitativas ou qualitativas é menos comum, 
mas igualmente útil quando da necessidade em se observar muitas observações ao mesmo tempo, todas elas 
sobre uma mesma variável, a qual assume diferentes valores em um mesmo instante de tempo para várias 
economias. 
Observe o exemplo da figura 2.6. 
 
 
 
 
 
 
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18 
Figura 2.6: Dívida pública per capita em diversas economias 
 
 
 
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19 
Como exemplo, visando apresentar um mix de tabelas e recursos gráficos disponíveis, observemos 
este trecho abaixo extraído de Pinto, Matos e Simonassi (2012). 
“No início de sua história como instituição, a previdência encontrava-se figurada através dos IAPs e CAPs. 
Ressalte-se que tais institutos eram configurados em moldes semelhantes aos fundos de previdência complementar 
conhecidos atualmente e regidos pela acumulação de seus recursos. 
Baseada em regimes capitalizados, a previdência, muitas vezes era utilizada como fonte de financiamento 
para diversos setores da economia. Segundo Oliveira et al. (1999), muitos recursos dos institutos foram investidos em 
hospitais e ambulatórios, na Companhia Vale do Rio Doce, na Companhia Hidroelétrica do Vale de São Francisco, 
bem como na construção de Brasília. O baixo rendimento das aplicações, associado ao não pagamento da cota de 
responsabilidade da União, a sonegação
por parte dos empregadores e o processo inflacionário, impossibilitaram, já na 
década de 1950, a manutenção de um sistema capitalizado, o que ocasionou a adoção do sistema praticado nos dias de 
hoje, o de repartição simples. 
Nas últimas décadas, tem-se observado as consideráveis dificuldades de países que adotam este tipo de regime e 
um movimento crescente de reformas e migrações a sistemas capitalizados. Tais modificações possuem origem na 
inadequação destes sistemas frente às mudanças demográficas, econômicas e sociais pelas quais o mundo tem passado. 
Em relação aos aspectos demográficos, destacam-se o forte processo de envelhecimento, o aumento progressivo 
da longevidade e as baixas taxas de natalidade. No Brasil, cenário semelhante ocasiona a diminuição da base de 
financiamento e o aumento das despesas com benefícios. Enquanto na década de 1940, registrava-se 31 contribuintes 
por beneficiário, esta proporção reduz para menos de 3 para 1 já no início dos anos 80. Somado a este fator o alto grau 
de informalidade registrado durante anos, a ampliação da cobertura sem apropriada fonte de custeio e a concessão de 
aposentadorias precoces, foi possível observar o surgimento do déficit previdenciário, despertando as discussões em torno 
do equilíbrio financeiro do RGPS. 
A Tabela 2.3 traz o histórico dos resultados anuais do RGPS. Nota-se o grande aumento no saldo 
previdenciário negativo na última década, chegando a contabilizar valores 60 vezes maiores do que há 15 anos. 
Segundo Dantas (2009), o ritmo de crescimento das despesas com benefícios do RGPS associado a pouca 
expansão da arrecadação desencadearam o debate sobre a necessidade de uma reforma da Previdência no Brasil. Na 
Figura 2.7, acompanha-se claramente este processo de ampliação dos gastos previdenciários, iniciado com o advento da 
Lei nº 8.213/91, em que se determinou a padronização dos benefícios urbanos e rurais. 
Notórias são as particularidades associadas aos benefícios rurais que contribuem para este movimento. 
Compostos em sua grande maioria de benefícios praticamente de caráter assistencial, mesmo que arrolados dentro do 
grupo dos previdenciários, apresentam-se carentes de financiamento através de contribuições, pela própria fragilidade e 
larga inexistência de relações de trabalho formalizadas. A segunda característica refere-se à menor idade de concessão de 
benefício em relação aos trabalhadores urbanos, que são os principais contribuintes do sistema. 
Em relação à arrecadação, também se observa a tendência de crescimento, porém em níveis inferiores às 
despesas. Segundo Dantas (2009), entre 1993 e 1992, as despesas com benefícios tiveram um aumento de 34,5%, 
enquanto as receitas cresceram 13,6%. 
Em 2010, os gastos previdenciários alcançaram a ordem de 6,9% do PIB, enquanto se registrou receitas 
correspondentes a 5,7%, gerando um déficit de 1,2% do PIB, porém, no início da década de 90, este resultado era 
superavitário. 
 
 
 
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Ano
Arrecadação Líquida
 (em milhões R$)
Despesas com Benefícios 
(em milhões R$)
Saldo Previdenciário
(em milhões R$)
1990 70.902,98 43.934,75 26.968,23
1991 63.736,56 46.067,49 17.669,07
1992 62.878,05 50.144,89 12.733,16
1993 71.451,90 67.463,36 3.988,55
1994 76.251,67 74.429,94 1.821,73
1995 91.596,05 92.326,85 (730,80)
1996 99.851,29 100.488,95 (637,66)
1997 103.285,17 110.463,79 (7.178,62)
1998 105.202,85 121.220,77 (16.017,92)
1999 105.448,80 125.598,18 (20.149,38)
2000 101.938,93 132.935,27 (30.996,34)
2001 117.467,40 141.404,53 (23.937,13)
2002 120.848,69 149.592,04 (28.743,35)
2003 117.727,41 156.130,44 (38.403,03)
2004 128.736,02 172.572,83 (43.836,81)
2005 140.843,11 189.625,33 (48.782,21)
2006 155.438,53 208.465,90 (53.027,37)
2007 169.617,72 223.915,81 (54.298,09)
2008 185.151,91 226.372,20 (41.220,29)
2009 196.511,04 242.945,40 (46.434,36)
2010 217.525,07 261.878,31 (44.353,24)
a Valores expressos em reais constantes, atualizados pelo INPC mensal, a preço de dezembro/2010.
b Fonte: Anuário Estatístico da Previdência Social.
Tabela 2.3.
Arrecadação líquida, Despesa com Benefícios e Saldo Previdenciário de 1990 a 2010 a, b
 
 
A partir de 1995, o aumento do universo de beneficiários, a crise econômica e a política de concessão de 
ganhos reais do salário mínimo serviram como catalisadores do déficit. Quando se registrou o primeiro resultado 
previdenciário negativo, iniciaram-se as tentativas de combate à sua expansão. Como reflexos desta necessidade, foram 
aprovadas a Emenda Constitucional n.º 20 de 1998, que estabeleceu, em linhas gerais, a relação entre a fonte de 
custeio e os benefícios, e a Lei n.º 9.876/99, normativo que instituiu o fator previdenciário com objetivo de desestimular 
a aposentadoria precoce. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
Figura 2.7: Evolução do saldo previdenciário, da arrecadação líquida e de despesas (benefícios) do RGPS 
 
Fonte: MPAS e BACEN. 
a Valores expressos em reais constantes, atualizados pelo INPC mensal, a preço de dezembro/2010. 
 
 
2.3. Exercícios 
Exercício #1. Observe a base de dados contida na Tabela 2.3. 
a) Construa um histograma para o saldo previdenciário. Comente. 
b) Construa um gráfico de dispersão (eixos X e Y) para as variáveis arrecadação líquida e despesas 
com benefícios. Comente se há algum padrão entre estas duas grandezas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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-2%
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2%
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‐50.000
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100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
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Saldo Previdenciário Arrecadação líquida Despesa com benefícios 
Saldo previdenciário/ PIB Arrecadação líquida/ PIB Despesa com benefícios/ PIB
 
 
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22 
Exercício #2. Observe os dados contendo índices de variação de preço (inflação) de diversas 
economias em vários continentes na Tabela 2.4. 
a) Identifique a melhor forma de representar graficamente estes dados. 
b) Monte um histograma para as inflações de 2007 e outro para as inflações de 2011. Compare e 
comente. 
 
Tabela 2.4. 
Inflações de um cross-section de economias 
 
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Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
23 
Exercício #3. Observe os dados na Tabela 2.5. Construa um gráfico linear mensal para as variáveis 
arrecadação líquida e despesas com benefícios. 
a) Comente se há algum padrão entre estas duas grandezas. 
b) Há algum sinal de sazonalidade, ou seja, comportamento atípico de determinados meses do ano. 
Comente possíveis razões. 
Tabela 2.5. 
Rubricas previdenciárias 
Arrecadação líquida (em 
R$ constantes de 
dez/2010, com base no 
INPC)
Despesa com benefícios 
previdenciários (em R$ 
constantes de dez/2010, 
com base no INPC)
Fonte: Ministério da 
Previdência
Fonte: Ministério da 
Previdência
jan-08 R$ 13.136.719.488,11 R$ 19.101.981.368,67
fev-08 R$ 13.914.652.924,72 R$ 16.279.693.997,70
mar-08 R$ 14.083.655.906,04 R$ 17.143.108.589,12
abr-08 R$ 14.579.536.959,18 R$ 17.794.034.758,48
mai-08 R$ 14.450.551.944,75 R$ 17.595.963.323,85
jun-08 R$ 14.651.635.955,58 R$ 17.893.000.207,87
jul-08 R$ 14.890.654.608,24 R$ 17.341.226.683,78
ago-08 R$ 14.817.939.080,00 R$ 19.378.247.043,72
set-08 R$ 15.061.302.428,95 R$ 23.378.659.125,25
out-08 R$ 15.037.390.509,53 R$ 17.167.824.220,64
nov-08 R$ 15.073.245.317,91 R$ 19.769.724.189,65
dez-08 R$ 25.454.628.028,69 R$ 23.528.738.804,19
jan-09 R$ 13.251.852.623,69 R$ 20.232.230.517,16
fev-09 R$ 14.459.740.664,57 R$ 17.300.501.644,76
mar-09 R$ 15.570.977.058,99 R$ 19.001.555.312,52
abr-09 R$ 15.355.171.289,37 R$ 18.732.887.606,59
mai-09 R$ 15.600.531.036,88 R$ 18.568.515.481,32
jun-09 R$ 15.171.832.478,08 R$ 18.819.665.713,72
jul-09 R$ 15.377.570.789,89 R$ 18.707.118.886,46
ago-09 R$ 15.486.615.247,63 R$ 21.069.840.498,57
set-09 R$ 15.129.898.190,81 R$ 24.978.985.964,58
out-09 R$ 15.922.634.805,59 R$ 18.894.270.131,49
nov-09 R$ 17.938.128.217,27 R$ 21.263.839.552,30
dez-09 R$ 27.246.091.981,71 R$ 25.375.989.760,03
jan-10 R$ 14.855.323.907,21 R$ 18.769.047.175,40
fev-10 R$ 15.937.738.791,82 R$ 19.900.395.957,84
mar-10 R$ 16.528.421.372,26 R$ 23.528.196.285,23
abr-10 R$ 16.870.588.671,01 R$ 19.982.094.010,55
mai-10 R$ 17.057.213.183,57 R$ 19.720.992.901,31
jun-10 R$ 17.074.542.192,17 R$ 19.935.688.207,42
jul-10 R$ 17.358.693.215,77 R$ 20.002.666.791,96
ago-10 R$ 17.872.271.156,77 R$ 23.457.111.363,54
set-10 R$ 17.567.935.279,61 R$ 26.995.411.173,70
out-10 R$ 17.850.969.383,15 R$ 20.059.136.441,42
nov-10 R$ 18.027.644.911,00 R$ 22.478.634.723,89
dez-10 R$ 30.523.729.644,36 R$ 27.048.937.407,80
Data
 
 
Exercício #4. Observe os Patrimônios líquidos das empresas registradas junto à ANS como 
filantrópicas nos anos de 2008 a 2010 (Tabela 2.6.). Monte um histograma de cada cross-section para cada 
ano. É possível inferir algo sobre a crise financeira de 2008 sobre este segmento? Seria necessário ou 
recomendável retirar algumas das observações, em razão do seu comportamento extremo na amostra? 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
24 
Tabela 2.6. 
PL de filantrópicas 
 
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Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
25 
Exercício #5. Observe os retornos (variação de cotação) dos índices das principais bolsas de valores 
da A. Latina (Tabela 2.7). Identifique qual a melhor representação gráfica para ambas as séries temporais. 
 
Tabela 2.7. 
PL de filantrópicas 
BOGOTÁ UENOS AIRE CARACAS LIMA SANTIAGO SÃO PAULO
IGBC MERVAL IBVC IGBVL IPSA IBOVESPA
jan-08 -12,519% -7,743% -8,087% -13,183% -3,732% -7,334%
fev-08 1,053% 2,512% -6,543% 14,908% -1,646% 6,212%
mar-08 2,109% 0,547% 4,717% 6,520% 10,269% -4,496%
abr-08 8,420% -4,669% 2,871% -7,666% -5,701% 10,446%
mai-08 -1,090% 0,904% -11,792% -5,197% -6,405% 6,175%
jun-08 -19,444% -4,227% 4,431% -11,980% -11,808% -10,907%
jul-08 3,946% -10,620% 4,717% -12,309% 2,007% -8,734%
ago-08 -0,135% -3,674% 6,546% -4,609% -2,731% -6,670%
set-08 2,211% 1,688% 8,763% -3,454% 3,677% -11,424%
out-08 -20,712% -34,712% 3,346% -32,784% -17,266% -25,066%
nov-08 13,338% 8,164% 6,381% 15,594% 7,154% -2,048%
dez-08 6,456% 4,671% 1,490% -6,305% 3,258% 2,118%
jan-09 -5,876% -1,668% -0,445% -4,333% 8,604% 4,089%
fev-09 -2,713% -6,361% 7,704% -3,779% 2,028% -0,200%
mar-09 -0,661% 3,192% 13,591% 38,385% -0,459% 3,638%
abr-09 8,780% 6,062% -5,144% 6,682% -0,224% 15,007%
mai-09 7,310% 12,324% -12,026% 21,844% 9,204% 12,091%
jun-09 4,379% -4,932% 1,925% -5,012% 4,972% -3,489%
jul-09 5,824% 3,765% -1,703% 4,939% -2,368% 6,253%
ago-09 3,592% 4,120% 11,099% 1,361% -2,648% 2,901%
set-09 5,652% 9,462% -6,355% 2,973% 0,670% 8,599%
out-09 -10,612% -0,407% -1,437% -8,987% -1,390% -0,363%
nov-09 5,031% 1,491% 5,125% 0,621% 5,320% 8,532%
dez-09 -0,467% 6,704% 1,838% -1,632% 6,356% 1,541%
Data
 
 
 
 
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26 
3. Métricas estatísticas 
3.1. Introdução 
Comumente, ouvimos notícias em jornais tais como esta: “....... ao longo do último mês, o retorno 
médio de uma ação ON da Companhia Vale do Rio Doce (VALE 3) foi de 5,45 %, tendo portanto batido o mercado, 
apesar de ter apresentado uma maior oscilação, cerca de 1,98 % ....” 
Assim como a maioria das informações estatísticas contidas nos jornais, revistas e demais tipos de 
publicação, os fatos numéricos acima reportados consistem na manipulação de dados ou observações, de 
forma a reuni-los e apresentá-los de forma clara para que o leitor possa entender. Tais sumários, sejam 
tabulares, gráficos ou numéricos, são conhecidos como estatísticas descritivas. 
Vimos inicialmente, no capítulo anterior, que a representação gráfica adequada pode ser bem mais 
informativa que uma simples representação tabular, por permitir obervar comportamentos ao longo do 
tempo ou dentre um corte transversal de dados. Um passo adiante neste processo consiste no cálculo de 
métricas estatísticas a partir da amostra, ou mesmo, a partir de toda a população. A partir destes cálculos, 
será possível sumarizar em um ou poucos números representativos toda uma amostra. 
 
3.2. Conceitos básicos e definições 
Suponha que você esteja diante de um processo de entendimento sobre a distribuição de renda de 
toda uma população de funcionários públicos no Brasil, a qual segue uma determinada “função de 
distribuição de probabilidade”. Sua suspeita é a de que na média, a faixa salarial é superior à média 
observada na iniciativa privada, em torno de R$2.300,00. A partir de uma amostra “aleatória”, se observa a 
média amostral തܺ e pode se fazer inferência sobre sua hipótese em investigação. Mas o quão próximo teria 
que ser തܺ de R$2.300,00 para se afirmar que o setor público ganha melhor
ou pior que o setor privado? 
Perceba que o estudo das propriedades da distribuição de തܺ são fundamentais neste caso! Mesmo 
sendo este um assunto estudado apenas em inferência estatística, nesta etapa inicial e descritiva da pesquisa 
estatística, procede-se com o cálculo das estatísticas descritivas. Mais especificamente, iremos definir agora o 
que é uma estatística e depois apresentar as mais comumente extraídas da amostra. 
Definição 1: Seja ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡ uma amostra aleatória de tamanho n de uma população e 
ܶሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … , ݔ௡ሻ uma função com contradomínio em Թ௡ e cujo domínio contenha o espaço amostral de 
ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡. Então, uma variável ou vetor aleatório ܻ ൌ ܶሺ ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡ሻ que consista em uma 
função dos valores da amostra será dito uma estatística e sua distribuição de probabilidade será a dita 
distribuição amostral. Observe que esta definição é muito ampla, sendo a única restrição mais técnica, que 
esta não possa depender de um parâmetro da distribuição dos elementos da amostra aleatória. A estatística 
deverá ser simplesmente uma função dos elementos da amostra aleatória. 
As inúmeras estatísticas vão desde funções muito simples, como o maior valor da amostra, ás 
médias, ou métricas de dispersão, por exemplo, dentre outras. 
 
3.3. Medidas de tendência central 
3.3.1. Aspectos teóricos 
Qual seria o peso médio em Kg dos alunos desta turma? Apesar de delicada, essa seria uma questão 
simples, facilmente a partir de uma coleta direta de dados junto aos próprios alunos. Estamos assim, diante 
de uma situação que requer o uso de estatísticas que de certa forma procuram identificar um valor em 
 
 
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27 
torno do qual os dados tendem a se agrupar. Podemos definir medidas de posição como sendo as 
estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação 
ao eixo horizontal do gráfico um histograma. Apesar desta definição um tanto prolixa, tais medidas são bem 
simples e extremamente comuns, como veremos a seguir. 
 Dentre todas as medidas de posição, destacamos como as mais importantes, as medidas de 
tendência central ou promédias – estatísticas que visam localizar o centro de um conjunto de dados.1 
As medidas de tendência central mais utilizadas são: a média aritmética, a moda e a mediana.2 
Média aritmética: Definimos a média aritmética amostral ( തܺ) como sendo simplesmente a razão 
entre a soma dos valores de todas as observações e a quantidade total destas observações que compõem a 
amostra. Formalmente, esta estatística pode ser obtida através da seguinte fórmula: 
 
തܺ ൌ
ݔଵ ൅ ݔଶ ൅ڮ൅ ݔ௡
݊
ൌ෍
ݔ௜
݊
௡
௜ୀଵ
 
 
Quando do cálculo de algumas estatísticas, passa a ser relevante que venhamos a definir se estamos 
trabalhando com toda a população ou se apenas com uma amostra desta. Sendo a média a estatística em 
questão, quando do estudo de uma população e não de uma amostra, o que muda é apenas a letra que 
denota a média populacional aritmética (ࣆ), apesar de ࣆ e ࢄഥ possuírem exatamente a mesma fórmula. 
Exemplo 3.1: Calcule o a receita operacional média e o lucro líquido médio da empresa XXX, com 
base na amostra de tempo durante 2003 a 2006. Compare estes valores. Ver Tabela 3.1., a seguir. 
 
Tabela 3.1. 
Indicadores financeiros selecionados da Empresa XXX (quadriêncio 2003 – 2006) 
Indicador 2003 2004 2005 2006 
Receita operacional bruta (R$ milhões) 20.895 29.020 35.350 46.746 
Exportações (US$ milhões) 4.229 5.534 7.021 9.656 
Exportações líquidas (US$ milhões) 3.672 4.618 6.339 8,784 
Lucro líquido (R$ milhões) 4.509 6.460 10.443 13.431 
Investimentos (US$ milhões) 1.988 2.092 4.998 26.324 
 
Baseado na definição, podemos constatar que a média aritmética várias propriedades: 
1ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores das 
observações de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
2ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores observados de uma variável por 
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
3ª propriedade: Uma característica que torna a utilização da média vantajosa em certas aplicações 
é o fato de que quando se pretende representar a quantidade total expressa pelos dados, podemos utilizar a 
média, uma vez que, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade 
pretendida. 
 
1 Algumas das outras medidas de posição existentes são as separatrizes, as quais que englobam: os decis, os quartis e os percentis. 
2 Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática. 
 
 
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28 
4ª propriedade: A soma algébrica do desvio de cada uma das observações em relação à média 
aritmética é nula. 
5ª propriedade: Há unicidade na média de uma amostra. 
É importante que se tenha maturidade para perceber que se por um lado tal estatística possui 
características desejáveis, como por exemplo, a extrema facilidade de seu cálculo e sua interpretação, por 
outro lado, trata-se de uma medida extremamente sensível aos dados, ou mais especificamente, bastante 
sensível a mudanças nos valores observados, sendo, portanto necessário ter cuidado com a sua utilização, 
pois a mesma pode dar uma imagem “distorcida” dos dados. 
Mais especificamente, veremos nos exemplos que, ao levar em consideração todos os dados 
coletados da amostra ou população, a média passa a depender dos valores extremos, ou outliers. Outras 
métricas de tendência central, não necessariamente. 
Extensões: Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., 
definiu que existiam três tipos de média: i) um número é a média aritmética de dois outros quando o 
excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, ii) a média geométrica 
quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e iii) a 
média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à 
quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro. 
Assim, quando diante de uma série que evolua, ao longo do tempo, por exemplo, não de maneira 
linear, mas exponencial, então a média geométrica (ܩ) pode ser mais indicada, assim como no caso de uma 
evolução recíproca, onde a média harmônica (ܪ) é mais indicada. 
Seguem as relações destas métricas, ambas para um conjunto de observações positivas: 
 
ܩ ൌ ඥݔଵ. ݔଶ … . ݔ௡
೙ ൌ ඩෑݔ௜
௡
௜ୀଵ
೙
 
 
ܪ ൌ
݊
1
ݔଵ
൅ 1ݔଶ
൅ڮ൅ 1ݔ௡
ൌ ݊.෍
1
ݔ௜
௡
௜ୀଵ
 
 
Exemplo 3.2: Em uma certa situação, a média harmônica provê a correta noção de média. Por 
exemplo, se metade da distância de uma viagem é feita a 40 km por hora e a outra metade da distância a 60 
km por hora, então a velocidade média para a viagem é dada pela média harmônica, que é 48; isso é, o total 
de tempo para a viagem seria o mesmo se se viajasse a viagem inteira a 48 quilômetros por hora. Note, 
entretanto que se a viagem fosse metade do tempo em uma velocidade e a outra metade na outra 
velocidade, a média aritmética, nesse caso 50 km por hora, proveria a correta noção de média. 
Exemplo 3.3: Em finanças, a média harmônica é usada para calcular o custo médio de ações 
compradas durante um período. Por exemplo, um investidor
compra $1000 em ações todo mês durante 
três meses. Se os preços na hora de compra forem de $8, $9 e $10, então o preço média que o investidor 
pagou por ação é de $8,926. Entretanto, se um investidor comprasse 1000 ações por mês, a média 
aritmética seria usada. Outras utilizações são em previsões do tempo que é o campo estudado pelos 
meteorologistas. 
Exemplo 3.4: Se um investimento rende 50% no primeiro ano e 90% no segundo ano, qual o 
rendimento médio desse investimento? 
 
 
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29 
Moda: A moda (ܯ݋) ou valor modal, como o próprio nome diz, trata-se do valor mais observado 
dentro da amostra, do conjunto de dados em questão, isto é, aquele valor que ocorre com maior frequência 
em uma série de valores. A moda deve ser utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e 
aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais “típico da distribuição”. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda. 
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais obviamente não se pode calcular a média e 
por vezes a mediana. Quando estivermos lidando com dados em tempo contínuo, então graficamente 
poderemos identificar a classe modal. 
É interessante que observemos que apesar de simples e intuitiva, não há necessidade formalizarmos 
muito a definição desta estatística, como por exemplo, através de uma fórmula. 
Exemplo 3.5: (Qualitativamente) Qual seria a formação modal de todos os estudantes desta sala de 
aula? 
Exemplo 3.6: (Quantitativamente) Qual seria o peso modal dos alunos desta sala? 
Baseado na definição, podemos analisar as propriedades da moda: 
1ª propriedade: Não se pode assegurar a unicidade da moda, nem mesmo a sua existência. Sendo, 
portanto a moda uma estatística facilmente reconhecida, bastando para isso procurar o valor (ou a categoria 
para casos qualitativos) que mais apareça, o que poderíamos dizer no caso de uma amostra onde nenhum 
valor se repete mais de uma vez? E isso ocorre com freqüência? Neste caso, estamos diante de uma amostra 
amodal. 
Exemplo 3.7: Qual seria a data de aniversário modal das alunas desta sala? 
E o que poderíamos dizer no caso da existência de mais de um valor ou mais de uma categoria que 
se repete bastante? Teríamos uma amostra bimodal, caso houvesse duas modas, trimodal, se três e assim 
sucessivamente. 
Exemplo 3.8: (Quantitativamente) Qual a idade modal de todos os estudantes desta sala? 
Mediana: A mediana (ܯ݀) de um conjunto de valores observados, os quais estejam dispostos 
segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor (pertencente ou não ao conjunto) situado de tal 
forma que, o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos, ou seja, a mediana é o valor 
que divide esse conjunto ordenado ao meio, com 50% dos elementos sendo menores ou iguais à mediana e 
os outros 50% sendo maiores ou iguais à mediana. 
De outra forma, podemos entender esta estatística como sendo o valor que ocupa a posição central 
dos dados ordenados. Com base na definição, atentemos para o fato de que o primeiro passo para o cálculo 
de uma mediana é ordenar os dados, na ordem crescente ou decrescente, indiferentemente. Feito isto, uma 
primeira especificidade desta estatística consiste no fato de que sua fórmula muda dependendo da 
quantidade de observações. 
Assim, se o número de observações for ímpar, teremos que a mediana será o termo da amostra de 
ordem dada por ሺ݊ ൅ 1ሻ/2. Quando de uma amostra contendo uma quantidade par de observações, o 
valor mediano será então a média aritmética dos dois valores centrais, ou seja, os termos de ordem ݊/2 e 
ሺ݊ ൅ 2ሻ/2 . 
Baseado na definição, podemos analisar as propriedades da mediana: 
1ª propriedade: Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência 
da mediana com um dos elementos da série. 
2ª propriedade: Porém, quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
 
 
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30 
 Veremos a seguir, que uma vez exemplificado, torna-se bem simples esta de obter esta intuitiva 
estatística. 
Exemplo 3.9: Qual seria a mediana do rendimento mensal que os funcionários desta sala 
gostariam de possuir quando da aposentadoria? Qual seria agora esse valor do rendimento mensal desejado 
mediano, caso essa amostra incluísse também o professor? 
Em suma, vimos as 3 métricas de tendência central mais comumente reportadas em estudos 
empíricos. Listaremos a seguir algumas observações, as quais estabelecem comparações interessantes entre as 
estatísticas de medida central aqui estudadas. 
1ª observação: Em uma série, em um conjunto qualquer de valores observados, a mediana, a 
média e a moda não possuem, necessariamente, o mesmo valor. 
2ª observação: A mediana depende da posição e não dos valores per si dos elementos na série 
ordenada. Essa é uma das diferenças mais marcantes entre mediana e a média, uma vez que esta última por 
refletir todos os dados da amostra, se deixa influenciar fortemente pelos valores extremos. 
3ª observação: Suponhamos um caso em que os dados estejam distribuídos de uma maneira 
aparentemente, ou graficamente, simétrica. Podemos claramente deduzir que neste caso, a média aproxima-
se da mediana. De fato, isto somente ocorrerá, quando em distribuições simétricas ou pertencentes à 
família Cauchy. Ver Casela e Berger (2002) para maiores detalhes deste teorema. 
Exemplo 3.10: Seja a unidade de Carajás, a que possui atualmente o maior volume anual de 
extração de minério de ferro extraído. Suponha que, esta apresente no próximo ano um aumento muito 
significativo desse volume, enquanto as demais unidades permaneçam com o mesmo volume, teremos 
então que o volume médio de uma unidade sofrerá um notável aumento (a média é muito sensível a valores 
extremos), o mesmo não ocorrendo com a mediana, a qual permanece constante. Tal diferença faz com que 
o uso da mediana seja recomendado quando da observação de valores muito extremos, "muito grandes" ou 
"muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os 
responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a 
mediana, como podemos observar no exemplo a seguir. 
 Exemplo 3.11: Suponha que nesta sala, dos n funcionários, n-1 possuam salários cujos valores 
possuem uma mesma ordem aproximada de grandeza e apenas um dos alunos (felizardo) possua um salário 
extremamente mais elevado que os dos demais. Neste caso, seria justo e “informativo” incluir este 
funcionário com melhor remuneração na amostra, tira a média aritmética e divulgar na imprensa o salário 
médio de um funcionário da companhia? Não seria mais apropriado e intuitivo obter a mediana? 
 Exemplo 3.12: Observemos a Tabela 3.1, seria mais informativo reportar o investimento anual 
médio ou mediano da empresa XXX, ao longo do período compreendido entre 2003 e 2006? 
Tomemos cuidado, pois o “mau” uso da estatística descritiva, por mais simples que seja, pode 
informar de maneira distorcida a amostra em questão. É preciso que se use a medida de tendência central 
que melhor represente esta amostra. 
 
3.4. Medidas de dispersão 
3.4.1. Aspectos teóricos 
Observe a seguinte afirmação: “Imaginem uma situação na qual
o professor avisa aos alunos de uma 
turma que a média aritmética das notas desta turma em uma prova final foi 8,0. Essa parece sempre uma boa nota, de 
forma que nenhum aluno deveria se preocupar, não é verdade? Ou não!” 
 
 
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31 
Esse é um exemplo simples e bastante comum, no qual são conhecidas apenas as medidas de 
tendência central – estatísticas de localização do centro de uma distribuição de dados. O problema é que 
apesar de sempre fornecem informações valiosas, tais estatísticas em geral, não são suficientes para descrever 
e discriminar diferentes conjuntos de dados. 
Para constatar tal fato, analisemos o caso acima ilustrado. Suponha que houvesse duas turmas, 
ambas com a mesma média na prova do professor, porém uma delas com notas muito dispersas, enquanto 
outra com dispersão baixíssima. Em qual delas um aluno deveria ter mais motivos para se preocupar com 
reprovação? 
Visando melhor compreender a distribuição das notas de cada uma das turmas e responder esse 
tipo de pergunta, é necessário que estudemos as medidas de dispersão ou variabilidade, as quais nos 
permitem quantificar e visualizar a maneira como os dados espalham-se (ou concentram-se) em torno de um 
valor central tomado como ponto de comparação. 
Para mensurarmos esta dispersão, as estatísticas mais utilizadas seriam: a amplitude total, a 
variância, o desvio padrão e coeficiente de variação.3 
Amplitude total: Podemos definir a amplitude total, ܣܶ, como sendo a diferença entre o maior e 
o menor valor observado na amostra. Formalmente: 
 
ܣܶ ൌ ݔ௠á௫ െ ݔ௠í௡ 
 
Nesta relação, ݔ௠á௫ e ݔ௠í௡ são as observações de maior e menor valor na amostra, respectivamente. 
Observemos o exemplo básico a seguir, para melhor compreendermos tal medida, a única 
estatística de dispersão que não faz uso de nenhuma medida de posição como ponto de referência. 
Exemplo 3.13: Observemos novamente a tabela 3.1. Qual a amplitude do investimento da 
empresa XXX, ao longo do período compreendido entre 2003 e 2006? 
Observando os dados e aplicando a definição de a amplitude, obtemos o valor de dado por 25.324 
– 1988, em US$ milhões. 
O mais sério inconveniente em se usar apenas a amplitude total como medida de dispersão em 
uma análise consiste no fato de que esta estatística só leva em conta os dois valores extremos da série, 
desconsiderando todo o conjunto de valores intermediários. Porém, por mais simples e pouco informativa 
que possa parecer, fazemos uso da amplitude total diariamente, quando, por exemplo, queremos 
determinar a amplitude da temperatura ao longo de um dia, ou mesmo no controle de qualidade ou como 
uma medida de cálculo bem rápido, sem muita exatidão. 
Inconveniências e limitações a parte, passamos agora ao estudo de medidas de dispersão mais 
relevantes, as quais fazem uso da média aritmética como referência, por a considerarem a mais importante 
das medidas de tendência. Neste contexto, novamente passa a ser relevante que venhamos a definir se 
estamos trabalhando com toda a população ou se apenas com uma amostra desta. 
Variância: A variância populacional, ߪଶ, é uma medida dada pela razão entre soma dos quadrados 
dos desvios de todas as observações (relativamente à sua média) e quantidade total de observações dessa 
população. A razão dos desvios elevados ao quadrado se dá, pois, de acordo com a propriedade 4 da média, 
caso fizéssemos uso apenas dos desvios, esta soma seria nula! 
A priori, tida como complicada e de difícil determinação, estamos diante de uma medida 
extremamente relevante e de fácil manuseio, como veremos a partir dos exemplos e exercícios. 
 
3 Para casos bem específicos de análise de dispersão, poderia vir a ser útil ainda o uso da distância interquartílica. 
 
 
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32 
Visando calcular a variância, primeiramente é necessário obter a média populacional, ߤ, a partir de 
todas as observações coletadas. O segundo passo consiste em se calcular o desvio de cada uma das 
observações em relação à média e depois. Em seguida, elevamos cada um desses desvios ao quadrado e 
depois somamos. Por fim, dividimos tal somatório pela quantidade total de observações da amostra. 
Formalmente: 
 
ߪଶ ൌ
ሺݔଵ െ ߤሻଶ ൅ ሺݔଶ െ ߤሻଶ ൅ڮ൅ ሺݔ௡ െ ߤሻଶ
݊
ൌ෍
ሺݔ௜ െ ߤሻଶ
݊
௡
௜ୀଵ
 
 
Novamente, temos que na maioria das aplicações estatísticas, os dados que estão analisados são 
para uma amostra apenas, em razão da dificuldade ou mesmo da inviabilidade de se observar toda a 
população. Assim, como nas demais estatísticas, quando calculamos uma variância amostral, ܵଶ, estamos na 
realidade interessados em usá-la para inferir algo sobre a variância populacional. Sendo esse o caso, 
podemos assegurar que para que tenhamos uma estimativa não viesada de ߪଶ, a fórmula da variância 
amostral terá que sofrer uma “curiosa” modificação, passando a ser dada pela seguinte relação: 
 
ܵଶ ൌ
ሺݔଵ െ തܺሻଶ ൅ ሺݔଶ െ തܺሻଶ ൅ ڮ൅ ሺݔ௡ െ തܺሻଶ
݊ െ 1
ൌ෍
ሺݔ௜ െ തܺሻଶ
݊ െ 1
௡
௜ୀଵ
 
 
Não iremos nos ater à a explicação detalhada deste resultado, uma vez que a demonstração 
matemática do mesmo “foge” do escopo desta disciplina. A mesma será dada em inferência estatística. 
 
Definição 2 (Viés): Um conceito desejável para toda estatística é que esta seja não viesada, ou seja, 
o valor esperado desta é igual ao respectivo parâmetro populacional. Ou seja, dado que ଵܺ, ܺଶ, ܺଷ, … , ܺ௡ 
compõem uma amostra aleatória de tamanho n de uma população função de distribuição de probabilidade 
௑݂ሺݔ|ߠଵ, ߠଶ, … , ߠ௞ሻ, um estimador ଵܹ do parâmetro ߠଵ será não viesado, se satisfizer a seguinte relação: 
ॱሺ ଵܹሻ ൌ ߠଵ. 
Exemplo 3.14: Calcule a variância da receita operacional bruta e do lucro líquido da empreza 
XXX, com base nos valores de 2003 a 2006 contidos na tabela 3.1. Em termos de que unidade você 
expressaria esse resultado? Qual a intuição desse resultado? Estamos diante de um conjunto de observações 
que constitui toda a população ou apenas uma amostra? Compares os valores e diga qual das duas amostras 
parece ser mais dispersa. Agora coloque ambas em um gráfico e veja se o resultado anterior, com relação à 
amostra mais dispersa se mantém. 
O exemplo anterior ilustra bem duas das principais desvantagens da variância com medida de 
dispersão: i) o fato de não ser tão intuitiva ou informativa, em razão da própria unidade em que a 
expressamos e ii) a sensibilidade da variância à ordem de grandeza dos dados em questão, limitando a 
comparação entre duas amostras. 4 
Desvio padrão: De forma bastante objetiva, definimos o desvio padrão populacional (amostral) 
como sendo a raiz quadrada da variância populacional (amostral). Dessa forma, denotamos os desvios 
populacional e amostral, respectivamente por ߪ e ܵ. 
 
4 Por envolver a soma de quadrados, a unidade em que se exprime a variância não é a mesma dos dados. 
 
 
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33 
Por levar em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, por ser um indicador de 
variabilidade bastante estável e por possuir a mesma unidade dos valores observados, o desvio padrão é sem 
dúvidas a estatística de dispersão mais empregada! 
1ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma 
variável,
o desvio padrão não se altera. 
2ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante (c) diferente de zero, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa mesma constante. 
Exemplo 3.15: Calcule o desvio padrão do PL das operadoras filantrópicas para os anos de 2008 a 
2010 e identifique em qual deles houve maior dispersão. Este resultado é corroborado a partir da análise do 
histograma? 
Exemplo 3.16: O que ocorreria se todos os dados tivessem que ser corrigidos pela inflação, de 
forma que fossem comparados os PL´s em R$ de 2008? Para tal, considere que as inflações de 2008 a 2010 
foram de: 5, 91%, 4,31%, e 5,90%, respectivamente. 
Coeficiente de variação: Observe que o desvio padrão visava aperfeiçoar a variância, uma vez que 
esta possuía a mesma unidade dos dados da amostra ou população. Com o intuito de lidar com a 
sensibilidade de ambas à ordem de grandeza dos dados, iremos fazer uso do coeficiente de variação. Assim, 
em determinadas situações, podemos estar interessados não no índice desvio padrão, como no exemplo 
anterior, mas sim na relação entre o desvio e a média. Tal fato se justifica, pois ao ser informado que uma 
determinada amostra de observações sobre salários possui um desvio de R$100,00, você pode se perguntar 
se isso reflete uma dispersão significativa ou não, o que obviamente depende da ordem de grandeza dos 
salários. Se estivéssemos falando de salários na ordem de menos de R$ 500,00, estaríamos diante de um 
quadro possivelmente com uma considerável desigualdade de renda. Porém, no caso de tais salários serem 
da ordem de R$ 10.000,00, então certamente, tal desvio não deveria estar sinalizando uma desigualdade 
preocupante. 
Uma vez que ambas as estatísticas em questão são expressas na mesma unidade, então podemos 
ainda obter esta última relação em termos percentuais. Estamos assim, interessados em uma estatística 
adimensional de variabilidade relativa chamada coeficiente de variação de Pearson (CVP). 
Formalmente, no caso populacional, o coeficiente de variação passa a ser expresso pela relação 
 
ܥܸܲ ൌ
ߪ
ߤ
 
 
A relação amostral é análoga, porém com base nos momentos amostrais e não populacionais. 
 Alguns especialistas consideram: 
∙ Baixa dispersão: CVP ≤ 15% 
∙ Média dispersão: 15% < CVP < 30% 
∙ Alta dispersão: CVP ≥ 30% 
Por fim, lembremos ainda que em alguns casos, nos quais, a média possa não ser tão informativa, 
em razão, por exemplo, da presença de outliers, então a mediana poderia ser considerada como uma medida 
de tendência central mais adequada. Neste contexto, podemos passar a usar o coeficiente de variação de 
Thorndike, o qual é semelhante ao coeficiente de Pearson, sendo a única alteração o uso da mediana, em 
substituição à média. 
Exemplo 3.17: Caso a companhia tivesse interesse em obter algum índice que mensurasse a 
redistribuição salarial, que índice você aconselharia ao setor de Recursos Humanos? Caso a amostra de 
 
 
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34 
observações disponíveis fosse a da tabela 3.2, qual índice você aconselharia? Por fim, caso o setor de RH 
julgasse haver uma má distribuição, que medida você aconselharia? 
Parece ser intuitivo, realista e bastante informativo o uso de alguma medida como o coeficiente de 
variação, seja o de Pearson ou o de Thorndike, o qual nos dá uma noção de dispersão, cuja ordem de 
grandeza permite interpretação. Observando a tabela 3.6, sabemos que o coeficiente de Pearson assume o 
valor de 1,1052, decorrente de um desvio superior à média, o que em geral pode ser considerado como um 
indicativo de uma significativa má distribuição salarial. Porém, é preciso observar que nesse caso há um 
outlier, o qual influencia fortemente no desvio padrão e na média. Mesmo que usássemos o coeficiente de 
Thorndike, o desvio padrão ainda assim seria influenciado. Uma possível medida, bastante aceitável nesse 
caso seria excluir o outlier e recalcular o coeficiente. Nesse caso, o coeficiente de Pearson, assumiria o valor 
de 0,4055, bastante próximo do coeficiente de Thorndike. 
 
Tabela 3.2. 
Amostra dos funcionários da CVRD com suas respectivas características5 
Funcionário Formação 
Pós-
graduação 
Anos de 
estudo 
Salário 
(R$) 
Altura 
(cm) 
Peso (Kg) 
Antônio Filho Administração Sim 24 5.500,00 156 65,8 
Bernardo Aguiar Contabilidade Não 21 3.650,00 175 80,9 
Carlos Smitch Economista Não 22 3.650,00 202 99,9 
Ciro Alcântara Engenharia Sim 25 35.000,00 180 79,1 
Débora Lima Psicologia Não 20 5.500,00 145 46,1 
Eduardo Rossi Marketing Sim 24 7.800,00 180 85,1 
Flavio Gomes Economista Não 23 2.800,00 165 67,7 
Ingrid Paes Engenharia Não 20 3.650,00 180 76,9 
João Mendonça Jornalista Sim 23 5.120,00 178 75,5 
Marcelo Vilar Direito Não 21 8.930,00 161 60,9 
Mirian Carvalho Comunicação Sim 24 4.500,00 168 65,1 
Noraide Mendes Direito Sim 22 8.930,00 150 54,7 
Orlando Moraes Odontologia Não 22 6.500,00 179 80,8 
Pedro Malta Engenharia Não 21 3.650,00 190 89,9 
Rodrigo Broa Nutrição Não 22 2.800,00 187 78,9 
 
3.4.2. Métricas de dispersão alternativas em finanças 
Além da amplitude (máximo menos mínimo, útil em temas climáticos) e do coeficiente de variação 
de Pearson (dado pela relação percentual entre desvio-padrão e média, útil quando do interesse 
adimensional e relativo da dispersão), a estatística descritiva universalmente utilizada visando mensurar a 
dispersão de uma variável aleatória, consiste no desvio padrão, por razões bastante óbvias: 
- leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, 
 
5 Tal amostra é completamente fictícia, sendo usada apenas para auxílio na compreensão da teoria e como base de dados para 
exemplos e exercícios. 
 
 
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35 
- é um indicador de variabilidade bastante estável 
- possui a mesma unidade dos valores observados 
- robusta à soma ou subtração de constante a todos os valores da variável 
- fácil obtenção quando da multiplicação de toda a série por uma constante 
- é construída a partir de desvios de valor absoluto, sendo uma estatística tida como simétrica 
- facilmente calculável para carteiras complexas e dinâmicas, sendo útil em problemas de 
otimização pela linearidade envolvida. 
Porém, em teoria financeira, em casos muito particulares, a variável aleatória em questão, 
comumente o retorno de um ativo financeiro, é tal que, sua dispersão não é sentida pelos agentes 
econômicos interessados de forma simétrica. Neste contexto, surgem críticas quanto à capacidade desta 
estatística de captar o comportamento dos investidores, os quais normalmente reagem de forma diferente a 
informações boas e ruins de mesma magnitude ou importância, ou a ganhos e perdas de mesmo valor. Uma 
notícia dada ao investidor de que a ação obteve um retorno nominal ao longo do dia de 10% gera uma 
felicidade, que se mensurada atingiria um valor diferente do valor absoluto da tristeza, quando do anúncio 
de uma queda de 10%, em vez de uma elevação de 10%, por exemplo. Os investidores estariam 
preocupados com oscilações, quando estas implicassem em perda de dinheiro, não em aumento. Ou seja, 
oscilações não são necessariamente ruins, apenas quando estas implicam em queda. 
Em outras palavras, é como se as surpresas boas fossem desejáveis, mas as ruins não. Sendo isso 
verdade no psicológico de um investidor, o desvio padrão ou qualquer outra
métrica simétrica não deve 
então, ser tão adequada. Assim, há artigos científicos que fazem uso de outras métricas de dispersão 
adequadas para finanças. 
Neste contexto, diversos autores vêm propondo medidas de risco e consequentemente de risco-
retorno (conhecidas também como medidas de performance) mais consistentes com a distribuição esperada 
de ganhos observadas na prática, isto é, distribuições não normais. Observe a seguinte gama de métricas de 
risco (Tabela 3.3) apresentadas em Castro e Baydia (2009), seguindo Duarte (1997), onde ݎ௜,௧ significa o 
retorno nominal real líquido do ativo ݅ no período ݐ: 
 
Tabela 3.3. 
Métricas Alternativas de dispersão mensurando risco 
 
ܦݎܽݓ݀݋ݓ݊൫ݎ௜,௧൯ ൌ ݍݑ݁݀ܽ ܽܿݑ݉ݑ݈ܽ݀ܽ ൫ݎ௜,௧൯ 
ܵ݁݉݅ݒܽݎ݅â݊ܿ݅ܽ൫ݎ௜,௧൯ ൌ ඩ
1
ܶ
෍ሾܯí݊൫ݎ௜,௧ െ ݎపഥ; 0൯ሿଶ
௡
௧ୀ଴
 
ܦ݋ݓ݊ݏ݅݀݁ ݎ݅ݏ݇൫ݎ௜,௧൯ ൌ ඩ
1
ܶ
෍ሾܯí݊൫ݎ௜,௧ െ ܶܯܣ௧; 0൯ሿଶ
௡
௧ୀ଴
 
 
Estas métricas podem ser modificadas, substituindo-se a elevação ao quadrado e o respectivo uso 
da raiz quadrada, pela simples média aritmética dos desvios absolutos em relação à média ou ao benchmark. 
Apesar de a métrica desvio padrão não satisfazer as características teóricas desejáveis no sentido de 
Artzner et al (1999), tais como alocação, subatividade, monotonicidade e homogeneidade de grau 1, a 
crítica aqui feita está mais associada ao caráter pscilógico do investidor não captado por esta métrica. Um 
 
 
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36 
exemplo interessante reportado em Castro e Baydia (2009) consiste na Figura 3.14, a seguir, em que há 
duas distribuições com mesma média e desvio padrão, porém, com características e demais momentos bem 
diferentes. 
 
Figura 3.1: Exemplos de distribuições com media 10 e variância de 152. 
 
 
 
3.4.3. Medidas de dispersão em dados repetitivos 
Em alguns casos, os dados discretos em uma amostra bastante numerosa se repetem, passam a 
ocorrer com uma frequência não desprezível. Em casos como estes, as fórmulas de dispersão, assim como a 
média, podem ser reescritas. A seguir, as relações de média aritmética e desvio-padrão reescritas, onde ௜݂ 
corresponde à frequência da observação ݔ௜: 
 
ߤ ൌ ଵ݂ݔଵ ൅ ଶ݂ݔଶ ൅ ڮ൅ ௡݂ݔ௡ 
 
ߪ ൌ ଵ݂ሺݔଵ െ ߤሻଶ ൅ ଶ݂ሺݔଶ െ ߤሻଶ ൅ڮ൅ ௡݂ሺݔ௡ െ ߤሻଶ 
 
Nestes casos, não há exatamente ݊ observações, mas sim ݊ tipos de observações diferentes! 
Exemplo 3.18: Suponha assim, que várias taxas de retorno nas ações VALE5 sejam possíveis 
dependendo do estado da economia, da própria companhia e demais companhias concorrentes ou que 
possuam algum tipo de sinergia. 
Simplificando, vamos nos ater apenas a três estados possíveis da economia: forte, normal e fraco. 
No estado forte, as vendas da companhia devem sofrer uma boa influência, sendo o retorno das ações 
VALE5 nesse caso de 20%. 
No estado normal, esse retorno será de 10%, enquanto no pior dos estados da economia, em razão 
de um enfraquecimento generalizado tal retorno será negativo, -15%. Observemos as tabelas 3.4. a 3.6, nas 
quais há a distribuição de probabilidade do retorno na VALE5, PETR4 e BBDC4. 
 
 
 
 
 
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37 
Tabela 3.4. 
Distribuição de probabilidade do retorno da VALE5 (2009.2) 
Estado da 
economia 
Taxa de retorno 
da VALE5 
Probabilidade 
de ocorrência 
Forte 20% 0,20 
Normal 10% 0,70 
Fraco -15% 0,10 
 
Tabela 3.5. 
Distribuição de probabilidade do retorno da PETR4 (2009.2) 
Estado da 
economia 
Taxa de retorno 
da VALE5 
Probabilidade 
de ocorrência 
Forte 35% 0,20 
Normal 10% 0,70 
Fraco -45% 0,10 
 
Tabela 3.6. 
Distribuição de probabilidade do retorno da BBDC4 (2009.2) 
Estado da 
economia 
Taxa de retorno 
da VALE5 
Probabilidade 
de ocorrência 
Forte -15% 0,20 
Normal 15% 0,70 
Fraco 20% 0,10 
 
De posse destes dados, calculemos o retorno médio e o desvio padrão dos retornos para as 3 ações. 
Qual delas você compraria. E se mudassem as médias obtidas, como proceder para escolher? 
 
3.4.4. Medidas de performance de ativos financeiros 
Em um arcabouço cujos agentes econômicos não sejam neutros ao risco, uma métrica estatística de 
performance que vise sintetizar informações sobre o retorno do ativo necessariamente precisa incorporar 
informações sobre os dois primeiros momentos da função de distribuição de probabilidade deste retorno. 
Estes dois momentos podem ser suficientes, caso esta distribuição seja caracterizada completamente pelos 
parâmetros associados à média e ao desvio padrão – aspecto comum às distribuições da família location-scale 
–, ou os agentes considerem com de segunda ordem os demais momentos centrados da distribuição. 
Neste contexto, dentre as medidas de avaliação de performance mais conhecidas, destaca-se o 
tradicional Índice de Sharpe (ISH), cuja interpretação geométrica está associada à inclinação da Linha de 
Alocação de Capital do referido ativo.6 Além da vantagem em termos de interpretação, esta métrica pode 
ser calculado diretamente a partir da série temporal de qualquer ativo financeiro, sem necessitar de dados 
adicionais sobre o ativo. Outra vantagem consiste em se calcular seu valor não somente para ativos 
individuais, mas também para portfolios. Portanto, no caso do cálculo de otimização do Índice de Sharpe de 
carteiras, tem‐se que, por serem o numerador e o denominador funções lineares dos momentos centrados 
 
6 Amplamente utilizado por acadêmicos e também no mercado financeiro, este índice Inicialmente foi chamado de reward‐to-variability 
ratio, e somente em 1994 intitulado com o nome de William Forsyth Sharpe. 
 
 
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38 
de primeira e segunda ordem, o mesmo se dá de forma computacionalmente acessível, sendo mais provável 
que se assegure propriedades interessantes de um problema de otimização com restrições, tais como 
existência e unicidade. 
Esta métrica consiste na razão entre o prêmio de risco pago pelo ativo em questão e sua 
volatilidade mensurada pelo respectivo desvio padrão. Formalmente, esta é a relação para o Índice de 
Sharpe do ativo ݅: 
 
ܫܵܪ൫ݎ௜,௧൯ ൌ
ܧ൫ݎ௜,௧൯ െ ݎ௙
ߪ൫ݎ௜,௧൯
 
 
onde, ݎ௜,௧ significa o retorno nominal real líquido do ativo ݅ no período ݐ, ܧ൫ݎ௜,௧൯ corresponde ao valor 
esperado incondicional para o retorno do ativo em questão, ߪ൫ݎ௜,௧൯ consiste no desvio padrão incondicional 
deste retorno e ݎ௙ denota o retorno nominal líquido da taxa livre de risco. Elemento central da moderna 
Teoria de Finanças desenvolvida em Markowitz (1952), por consistir na própria função objetivo a ser 
maximizada quando da composição de uma carteira com um portfolio arriscado e uma ativo livre de risco, 
este índice possui limitações associadas à métrica de risco utilizada. Em finanças, a variável aleatória em 
questão, comumente o retorno de um ativo financeiro, é tal que, sua dispersão não é sentida pelos agentes 
econômicos interessados de forma simétrica. 
Neste contexto, surgem críticas quanto à capacidade desta estatística captar o comportamento dos 
investidores, os quais normalmente reagem de forma diferente a informações boas e ruins de mesma 
magnitude ou importância, ou a ganhos e perdas de mesmo valor. Os investidores estão preocupados com 
oscilações, quando estas implicam em perda de dinheiro, não em ganho, de forma que nem todas as 
oscilações
sejam necessariamente ruins. Nem toda incertza é compreendida como risco. Assim, diversos 
autores vêm propondo medidas de risco e consequentemente de performance risco-retorno mais 
consistentes com a distribuição esperada de ganhos observadas na prática, isto é, distribuições não normais 
e com a racionalidade de investidores. Assim, apesar de a métrica desvio padrão não satisfazer as 
características teóricas desejáveis no sentido de Artzner et al (1999), tais como alocação, subatividade, 
monotonicidade e homogeneidade de grau 1, a crítica aqui feita está mais associada ao caráter psicológico 
do investidor não captado por esta métrica. 
Mais recentemente, especificamente na década de 80, foi proposto o Índice de Sortino, com 
aplicação em Sortino e Lee (1994). Esta métrica de performance oferece um valor para a compensação do 
ganho adicional relativo a um benchmark tido como minimamente atrativo (TMA) por unidade de risco 
assimétrica, a qual penaliza apenas desvios abaixo da média ou do referencial definido, diferentemente do 
desvio padrão que penaliza desvios oriundos de boas e más surpresas. 
Este índice para o ativo ݅ é expresso através da seguinte relação: 
 
ܫܱܵ൫ݎ௜,௧൯ ൌ
ܧ൫ݎ௜,௧൯ െ ܶܯܣ௧
ට1
ܶ∑ ሾܯí݊൫ݎ௜,௧ െ ܶܯܣ௧; 0൯ሿ
ଶ௡
௧ୀ଴
 
 
Neste caso, o denominador é conhecido como downside risk e será definido neste artigo a poupança 
como Taxa Mínima de Atratividade. 
 
 
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39 
O Índice de Calmar (ICA), foi proposto em Young (1991), menos usado e conhecido, cuja 
aplicação é mais restrita para hedge funds e operações envolvendo commodities. A diferença consiste somente 
na métrica de risco, a qual capta através do drawdown a queda acumulada na série de retorno do ativo 
financeiro em questão. Esta métrica evolui lentamente com o tempo, mas reage mais rapidamente aos 
movimentos dos ativos citados que métricas mais tradicionais. O Índice de Calmar do ativo ݅ é definido 
por: 
 
ܫܥܣ൫ݎ௜,௧൯ ൌ
ܧ൫ݎ௜,௧൯ െ ݎ௙
݀ݎܽݓ݀݋ݓ݊൫ݎ௧
௜൯
 
 
3.5. Medidas de assimetria e curtose 
3.5.1. Aspectos teóricos 
Não é incomum que um pesquisador, um investidor, um cidadão comum se depare com amostras 
as quais possuem a mesma média e o mesmo desvio padrão. Caso a análise se limitasse a esses dois 
primeiros momentos da distribuição, seria razoável inferir sobre a semelhança das duas distribuições, 
mesmo que ambas sejam completamente diferentes. Como exemplo, observe as seguintes bases de dados. 
Exemplo 1: Empresa 1: Balanços trimestrais em milhões de R$ 
Trimestre 1: R$0,00 Trimestre 2: R$30,00 Trimestre 3: R$45,00 Trimestre 4: R$45,00 
Empresa 2: Balanços trimestrais em milhões de R$ 
Trimestre 1: R$15,00 Trimestre 2: R$15,00 Trimestre 3: R$30,00 Trimestre 4: R$60,00 
Ambas possuem mesma média, R$30,00, mesmo desvio padrão, R$18,37, porém parecem ser bem 
diferentes, se observados os respectivos histogramas. Parece que a empresa 1, ao possuir um valor mínimo 
muito distante da média, apresenta uma cauda pra esquerda mais longa que a empresa 2, a qual possui 
cauda pra direita longa, ao possuir um valor máximo distante. Ambas parecem ser assimétricas, ou seja, não 
parece ser possível rebater a distribuição em torno da média, sem que sejam alterados os valores dos 
momentos. Este simples exemplo, principalmente quando aplicado à teoria financeira de carteiras, justifica 
a relevância de se estudar os desvios elevados ao cubo, ou à quarta potência, de forma que diferentes 
distribuições possam de fato ser distinguidas, mesmo que apresentem mesma média e desvio. Observe, 
como exemplo a figura abaixo. 
 
Figura 3.2: Exemplos de distribuições com media 10 e variância de 152. 
 
 
 
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40 
Parece que ambas são bem distintas, hein? Enquanto a vermelha apresenta-se como simétrica, em 
formato bem comportado de sino, a verde apresenta dois picos, comportamento bem assimétrico! 
Assimetria: Quando do estudo de distribuições de observações, uma característica relevante a ser 
analisada e mensurada, tanto analítica, como graficamente, consiste na simetria. Definimos formalmente 
que uma distribuição é simétrica, quando: média = mediana = moda. 
 
Figura 3.3: Gráficos ilustrativos de distribuições simétricas. 
 
 
Caso contrário, teremos uma distribuição assimétrica, com algum viés para um lado ou para outro, 
obviamente. Neste sentido, dizemos que há assimetria à esquerda ou negativa quando : média < mediana < 
moda. Analogamente, existirá assimetria à direita ou positiva quando : média > mediana > moda. 
 
Figura 3.4: Gráficos ilustrativos de distribuições simétricas e assimétricas para direita e esquerda. 
 
 Distribuição simétrica Distrib. assimétrica p/ direita Distrib. assimétrica p/ esquerda 
 
Observemos que de conhecimento apenas de medidas de tendência e de dispersão, ou mais 
especificamente, da média aritmética e do desvio padrão, não se pode falar muito sobre a assimetria, uma 
vez que o desvio padrão, assim como a variância, são medidas absolutas, levando em consideração os desvios 
(das observações em relação á média) ao quadrado, ou seja, negligenciando se tais desvios são em uma 
direção ou em outra. 
Apesar de em muitos casos ser possível detectar graficamente tal assimetria, como nos gráficos 
anteriores, é necessário e interessante que tenhamos como mensurá-la, o que se dá através do uso de uma 
nova estatística, o coeficiente de assimetria de Pearson. 
Para o caso amostral, tal coeficiente é dado expressão pela seguinte relação: 
 
ܣݏݏ݅݉݁ݐݎ݅ܽ ൌ
ሺݔଵ െ തܺሻଷ ൅ ሺݔଶ െ തܺሻଷ ൅ ڮ൅ ሺݔ௡ െ തܺሻଷ
݊
ܵଷ
ൌ
∑ ሺݔ௜ െ
തܺሻଷ
݊
௡
௜ୀଵ
ܵଷ
 
 
 No caso populacional, basta substituir as estatísticas amostrais pelas populacionais. A 
interpretação dos valores desta estatística, no sentido da ordem de grandeza, se dá de forma que se a 
assimetria for negativa (positiva), então há assimetria para esquerda (positiva). Caso seja nula, há simetria na 
 
 
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41 
distribuição. Para inferir sobre a assimetria, se esta é pequena, moderada ou elevada, é comum se fazer uso 
de uma “receita de bolo”, comparando-se o valor da relação entre a diferença entre a média e a mediana, 
esta dividida pelo respectivo desvio padrão. Caso seja em termos absolutos, inferior a 0,05, então tem-se 
assimetria leve, entre 0,05 e 0,33, assimetria moderada e superior a 0,33, assimetria elevada. 
Curtose: Uma última característica específica, mas de relevância considerável para analistas e 
consultores financeiros, por exemplo, consiste nas “caudas” de uma distribuição. Dizemos que uma 
distribuição possui "caudas" finas (grossas), quando observamos que nas extremidades há uma pequena 
(grande) concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição. 
 
Figura 3.5: Gráfico ilustrativo de distribuições com caudas leves, moderadas e pesadas. 
 
 
Visando mensurar este aspecto, fazemos uso da curtose, uma medida do grau de achatamento de 
uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a 
uma distribuição teórica de probabilidade). 
Assim, a curva normal, que é nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica. Já, uma 
distribuição que apresentar uma curva de frequência mais achatada
do que a normal é denominada de 
leptocúrtica, e a que apresentar uma curva de frequência mais aberta, recebe o nome de platicúrtica 
Formalmente, a curtose é dada pela seguinte relação: 
 
ܥݑݎݐ݋ݏ݁ ሺܭሻ ൌ
ሺݔଵ െ തܺሻସ ൅ ሺݔଶ െ തܺሻସ ൅ ڮ൅ ሺݔ௡ െ തܺሻସ
݊
ܵସ
ൌ
∑ ሺݔ௜ െ
തܺሻସ
݊
௡
௜ୀଵ
ܵସ
 
 
A curva normal, tida como base referencial, possui curtose de valor 3, de forma que distribuições 
com cauda grossa ou pesada (fina ou leve) possuem curtose acima de 3 (abaixo de 3). 
Observe a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
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42 
Figura 3.6: Best fitting distribution for returns on trading with foreign government bonds. 
 
 
 
 
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43 
Segundo Matos, Bevilaqua e Filho (2010), para um painel de 18 fundos cambiais, a melhor 
distribuição varia entre a Loglogistic e a Burr 4p, enquanto para os 66 fundos de renda fixa, tem-se que a 
Logistic e a Weibull geram o melhor fitting. Em ambos os casos, o período ia de janeiro de 2000 a 
dezembro de 2009, com freqüência mensal. Observando ainda os momentos centrados de terceira e quarta 
ordem (assimetria e curtose), percebe-se que para a maioria dos fundos cambiais (diferentemente da normal 
em que média=mediana=moda), há assimetria moderada/elevada para direita (cauda direita mais longa que 
a esquerda), enquanto os fundos de renda fixa possuem assimetria para esquerda. Para ambos, há caudas 
pesadas para a grande maioria dos fundos em questão, ou seja, curtose > 3 (normal). Portanto, assumir 
normalidade de fato pode não se adequado e assim gerar resultados equivocados e pouco confiáveis. Matos, 
Costa e Filho (2010) abordam esta questão para títulos estrangeiros e suas implicações. 
O estudo do quarto momento em gestão de risco é fundamental, pois lida com a probabilidade de 
se observar valores extremos, principalmente na cauda da esquerda. Isso pode ser mensurado pela própria 
curtose, no caso, semicurtose, ou por outras métricas mais refinadas, como expected value e conditional value 
at risk, dentre outros. 
 
3.6. Outliers 
3.6.1. Aspectos teóricos 
Possivelmente, uma das melhores frases sobre um oulier é esta, de Nassim Taleb: “O fato de você ainda não 
ter visto um cisne negro, não lhe permite afirmar que este não exista!” 
Um “outlier” pode ocorrer por acaso em qualquer amostra ou população, indicando um erro de 
medição ou sinalizando que a população tem uma distribuição de cauda pesada. 
No primeiro caso, ou seja, esses pontos aberrantes podem indicar dados defeituosos, 
procedimentos errados ou áreas onde uma determinada teoria poderá não ser válida normalmente. Assim, 
sugere-se o descarte desta observação distante, aberrante, ou ao menos, sugere-se o uso de estatísticas que 
sejam robustas à presença de valores extremos. 
No segundo caso, principalmente em amostras maiores de dados, a presença de alguns pontos de 
dados mais distantes da média da amostra do que o que é considerado razoável pode ser verdadeira mesmo, 
típica dos doados em questão. Ou seja, em grandes amostras, um pequeno número de valores aberrantes é 
de se esperar (e não devido a qualquer condição anômala). 
Os outliers, sendo as observações mais extremas, podem incluir o máximo de amostra ou amostra 
mínimo ou ambos, dependendo se eles são extremamente de alta ou de baixa. No entanto, o exemplo 
máximo e mínimo, nem sempre são "outliers" porque eles podem não ser invulgarmente longe de outras 
observações. Interpretação ingênua de estatísticas derivadas de conjuntos de dados que incluem valores 
atípicos pode ser enganosa, pois valores extremos podem ser indicativos de pontos de dados que pertencem 
a uma população diferente do que o resto do conjunto de amostras. 
No caso de dados distribuídos normalmente, cerca de 1 em 22 observações serão diferentes por 
duas vezes o desvio padrão ou mais da média, e 1 em 370 irá desviar-se três vezes o desvio padrão. Em uma 
amostra de 1000 observações, a presença de até cinco observações distantes da média em mais de três vezes 
o desvio padrão está dentro do intervalo de que se pode esperar, sendo inferior a duas vezes o número 
esperado e, portanto, dentro de um desvio padrão de o número esperado. Se o tamanho da amostra é de 
apenas 100, no entanto, apenas três valores extremos já são motivo de preocupação, sendo mais de 11 vezes 
o número esperado. 
 
 
 
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44 
3.6.2. Causas 
Outliers podem ter muitas causas anômalas. Um aparato físico para a tomada de medidas pode ter 
sofrido uma avaria passageira. Pode ter havido um erro na transmissão de dados ou de transcrição. Assim, 
outliers podem surgir devido às mudanças no comportamento do sistema, comportamento fraudulento, 
erro humano, erro de instrumento ou, simplesmente, através de desvios naturais nas populações. Uma 
amostra pode ter sido contaminada com elementos de fora da população a ser examinada. 
Alternativamente, um outlier poderia ser o resultado de uma falha na teoria assumida, chamando para uma 
investigação mais aprofundada pelo pesquisador. Além disso, a aparência patológica de outliers de uma 
certa forma aparece numa variedade de conjuntos de dados, o que indica que o mecanismo causador para 
os dados podem diferir no extremo (efeito King). 
Porém, a menos que se possa garantir que o desvio não é significativo, é imprudente ignorar a 
presença de outliers. Outliers que não podem ser facilmente explicada exigem atenção especial - ver risco de 
curtose e da teoria do cisne negro. 
 
3.6.3. Identificação de outliers 
Não existe uma definição rígida matemática do que constitui um outlier, de forma que determinar 
ou não se uma observação é um outlier é basicamente um exercício subjetivo. 
A detecção de um outlier pode identificar falhas de sistema e de fraude antes que cresçam com 
consequências potencialmente catastróficas. Os métodos de detecção de outlier originais eram arbitrárias, 
mas agora, as técnicas baseadas em princípios e sistemática são usados, provenientes de toda a gama de 
ciência da computação e da estatística. 
Há basicamente três abordagens fundamentais para o problema da detecção de outlier, as quais 
residem na hipótese de que os dados sejam normais. Em geral, os outliers são determinados sem o 
conhecimento prévio dos dados. Esta é essencialmente uma abordagem de aprendizagem semelhante ao de 
agrupamento não supervisionado. A abordagem processa os dados como uma distribuição estática, 
identifica os pontos mais remotos, e sinaliza-los como outliers potenciais. 
Outros métodos de observações bandeira com base em medidas como o intervalo interquartil. Por 
exemplo, se q1 e q3 são os quartis superiores e inferiores, respectivamente, em seguida, o pesquisador 
poderia definir um outlier para ser qualquer observação fora do intervalo, para um k previamente 
especificado: 
 
ሾݍଵ െ ݇. ሺݍଷ െ ݍଵሻ  ;   ݍଷ ൅ ݇. ሺݍଷ െ ݍଵሻሿ 
 
3.6.4. Lidando com outliers 
A escolha de como lidar com um outlier deveria depender da causa. 
Retenção: Mesmo quando um modelo de distribuição normal é apropriado para os dados a serem 
analisados, valores extremos são esperados para grandes tamanhos de amostra e não deve ser 
automaticamente descartado se for esse o caso. O aplicativo deve usar um algoritmo de classificação que é 
robusto a outliers para os dados do modelo
com que ocorrem naturalmente pontos discrepantes. 
Exclusão: Eliminação de dados discrepantes é uma prática controversa e franziu a testa em muitos cientistas 
e professores de ciências. Enquanto critérios matemáticos prevêem um método objetivo e quantitativo para 
a rejeição de dados, eles não fazem a prática mais cientificamente ou metodologicamente, especialmente em 
pequenos conjuntos ou onde um normal distribuição não pode ser assumida. Rejeição de outliers é mais 
 
 
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45 
aceitável em áreas de prática em que o modelo subjacente ao processo que está sendo medido e da 
distribuição normal de erros de medição são confiança conhecido. Assim , um outlier resultante de um erro 
de leitura do instrumento pode ser excluída, mas é desejável que a leitura seja, pelo menos, verificada. Se 
um ponto (ou pontos) é excluído da análise de dados, este deve ser claramente indicada em qualquer 
relatório subseqüente. 
 
3.7. Separatrizes 
3.7.1. Aspectos teóricos 
Apesar de extremamente úteis e de forte capacidade informativa sobre a base de dados, muitas das 
métricas usuais vista até aqui, associadas a qualquer um dos momentos da distribuição, possuem o defeito 
generalizado de serem muito sensíveis a valores extremos, uma vez que levam em consideração todos os 
valores coletados. Outra limitação já abordada consiste em se ater somente aos dois primeiros momentos, o 
que não permite visualizar aspectos associados à simetria ou caudas. 
Neste contexto, uma análise adicional pode ser relevante em casos pontuais. Essa análise se baseia 
em um conceito alinhado ao da mediana, ou seja, dividir os dados já disposto em ordem crescente ou 
decrescente em grupos. Não somente em dois grupos, como faz a mediana, mas em 5, 10, 100 grupos... 
Assim, os quintis, decis e percentis são muito similares à mediana, uma vez que também 
subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das frequências observadas. 
De forma geral, podemos definir um quantil de ordem p ou ainda p-quantil, indicado por q(p), 
onde p é a proporção entre 0 e 100% tal que, p(%) dos dados sejam menores que q(p). 
Mais comumente, temos os quartis, que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, 
isto é, 25% por parte: 
 
Figura 3.7: Quartis 
 
 
Observe que o primeiro quartil considera os 25% dos menores elementos, enquanto o segundo 
quartil, cujo limite Q2 coincide com a mediana, observa a metade inferior dos dados e o terceiro quartil 
observa até 75% dos dados. 
Analogamente, os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais, isto é, 10% por parte. 
Já, os percentis permitem dividir o conjunto de dados em 100 partes, sendo e 1% em cada parte. 
Para determinar o valor correspondente a um certo quartil, decil ou percentil, deve seguir a 
seguinte sequência: (i) Ordenar os dados do menor para o maior e (ii) Localizar a desejada posição L na 
amostra, dado por L = k. n, onde k corresponde ao percentual desejado e n é o número de valores do 
conjunto de dados. Caso esse valor seja quebrado, não inteiro, então com bom senso, é feito o 
arredondamento para o inteiro mais próximo, uma vez que não faz sentido observar um número ordinal 
não inteiro! 
Uma vez identificados as separatrizes de interesse, cuja escolha depende fundamentalmente do 
objetivo em questão e do tamanho da base de dados em questão, um passo comum e muito informativo 
 
 
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46 
consiste em obter o cálculo dos momentos, atendo-se a cada separatriz, ou seja, dentro de cada quartil, ou 
decil... 
Outra aplicação consiste em construir graficamente os quartis e definir intervalos inferior e 
superior tais que, estes definam os limites aceitáveis para que se identifique um dado como outlier! Isso será 
feito a partir do Box plot. 
 
3.7.2. Box plot 
O box plot é um recurso gráfico simples, introduzido pelo estatístico John Tukey em 1977. Este 
recurso permite representar graficamente os dados da distribuição de uma variável quantitativa em função 
de seus parâmetros. Para tal, precisamos apenas dos quartis e dos valores máximo e mínimo. 
O box plot também fornece informações importantes sobre o comportamento do conjunto de 
dados, como simetria e variabilidade. Se a amplitude for muito maior que à distância interquartílica, há 
forte indicação de grande dispersão das observações e se a mediana estiver mais próxima do 1º quartil do 
que do 3º quartil, há forte indicação de assimetria positiva. Observe a figura 3.8, a seguir: 
 
Figura 3.8: Box plot 
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
Ibovespa
 
Neste caso, temos o Box plot feito na vertical para cotações do Ibovespa, de 03.01.05 a 30.12.2010, 
em um total de 1482 observações (dias úteis). O q1 consiste na 371ª observação e o q3 na 1112ª, cujos 
valores respectivamente são: 36.792 e 63.046. A mediana, q2, é dado por 49.672, ou seja, a distância entre 
os quartil q1 e q2 é apenas um pouco menor que a distância entre o q2 e o q3. Porém, em sinal de leve 
assimetria para esquerda, a distância entre o mínimo valor e o q1 é de aproximadamente 13.180, enquanto 
a distância entre q3 e o máximo é inferior a 10.200. A amplitude é de 49.907, quase o dobro da distância 
interquantílica (q3 – q1), de exatos 26.254, sinalizando uma certa cauda pesada, ou seja, curtose elevada. 
Definindo um k=1,2, definimos os limites mínimo e máximo aceitáveis para identificação de um outlier: 
5.287,2 e 94.550,8, respectivamente. Não temos assim outliers, pois o mínimo e o máximo observados 
neste período para a cotação do Ibovespa são 23.609 e 73.516, respectivamente. Para tal, relembre que: 
 
ሾݍଵ െ ݇. ሺݍଷ െ ݍଵሻ  ;   ݍଷ ൅ ݇. ሺݍଷ െ ݍଵሻሿ 
 
 
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47 
3.8. Exercícios 
Exercício #1. Observe a seguinte base de dados na tabela 3.7. 
 
Tabela 3.7. 
PL de entidades filantrópicas 
2010 2009 2008
SANTA CASA DE MISERICORDIA DA BAHIA 0 105.657 104.233,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE ARAÇATUBA 9.002 11.692 18.800,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE BARRA MANSA 17.147 4.879 7.503,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE BARRETOS 6.393 1.602 4.687,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE CASA BRANCA -6.684 -5.683 -4.182,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE ITABUNA 38.084 2.091 3.244,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE ITAPEVA 22.214 22.647 19.293,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE JOSE BONIFACIO 2.246 2.160
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE JUIZ DE FORA 81.954 52.111 50.957,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE LORENA -851 -2.271 -8.492,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE MARINGÁ 7.114 5.408,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE PASSOS 26.121 23.805 19.639,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE SÃO JOSÉ DO RIO PARDO - HOSPITAL SÃO V 6.517 6.546 6.630,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE TUPÃ 4.314 3.502 2.630,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DE VITÓRIA DA CONQUISTA 18.182 1.553 706,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA DE VOTUPORANGA 40.598 26.438 20.206,00
SANTA CASA DE MISERICORDIA DONA CAROLINA MALHEIROS 19.552 22.102 23.615,00
SANTA CASA DE MISERICÓRDIA E ASILO DOS POBRES DE BATATAIS 17.271 18.131 18.697,00
Operadora filantrópica
PL (R$ mil)
 
 
a) Em razão das 5 métricas de tendência central vistas na subseção 3.3., calcule o valor para cada 
um dos 3 anos. 
b) A distribuição parece ser simétrica em algum dos anos? 
c) Seria confiável usar a métrica média
aritmética em todos os anos? Por que razão? 
d) Faria sentido usar a média geométrica ou harmônica? 
 
Exercício #2. Resolva os exemplos 3.3 e 3.4 da apostila, página 27. 
 
Exercício #3. Observe a seguinte base (tabela 3.8.) de dados acerca de variáveis macroeconômicas 
das unidades federativas da União. 
a) Calcule as médias aritmética, geométrica, harmônica, além de mediana e moda para o crédito 
per capita e para a renda per capita. Qual destas você usaria como métrica de tendência central? Justifique 
b) Visando melhorar a renda média per capita brasileira, seria melhor uma transferência lump sun, 
ou um aumento homogêneo proporcional? 
c) Como um pesquisador deve proceder para calcular a participação do crédito pessoa física em 
todo o território nacional? Identifique qual seria a relação e se dispomos nesta tabela de todos os dados 
necessários para este cálculo. 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
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Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
49 
Data
Saldo previdenciário 
acumulado/ PIB 
acumulado dos últimos 12 
meses
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jun/94 4,40624%
jul/94 4,34883%
ago/94 4,31566%
set/94 4,26504%
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fev/95 3,88956%
mar/95 3,74350%
abr/95 3,64692%
mai/95 3,60133%
jun/95 3,50488%
jul/95 3,44879%
ago/95 3,40104%
set/95 3,33985%
out/95 3,28428%
nov/95 3,19150%
dez/95 3,09203%
PRGPS
Tabela 3.9.
BBDC3 BBAS3 ITUB3
jan/00 -2,23% -6,12% -14,51%
fev/00 -10,90% -5,91% -1,72%
mar/00 9,44% -14,56% 3,66%
abr/00 -6,91% -4,61% -11,51%
mai/00 -5,02% -5,22% 5,06%
jun/00 18,79% 11,41% 13,97%
jul/00 0,58% -4,35% 0,88%
ago/00 6,46% 0,67% 6,75%
set/00 -5,33% 1,36% -4,73%
out/00 -16,87% -6,90% 11,44%
nov/00 34,90% -2,97% 3,79%
dez/00 19,72% 4,11% 10,67%
jan/01 -7,82% 32,09% 1,23%
fev/01 -9,24% -6,65% -7,95%
mar/01 -1,97% 0,02% -1,07%
abr/01 5,87% 18,51% 0,19%
mai/01 -1,71% -9,67% 9,33%
jun/01 -2,69% 20,69% -2,30%
jul/01 -3,28% -8,64% 0,40%
ago/01 -4,47% 2,31% -7,56%
set/01 -5,58% -18,28% -9,25%
out/01 -5,77% 3,56% 14,88%
nov/01 10,98% 17,54% -6,01%
dez/01 16,59% 15,60% 1,17%
Retornos de ações
Tabela 3.10.
Exercício #4. Observe a seguinte base de 
dados previdenciários para o Brasil (Tabela 3.9.). 
Calcule as médias aritmética, geométrica, harmônica, 
além de mediana e moda. Qual destas você usaria 
como métrica de tendência central? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício #5. Observe a seguinte base de 
dados contendo retornos reais líquidos mensais das 
ações do Bradesco, Banco do Brasil e Itaú (Tabela 
3.10). Calcule as médias aritmética, geométrica, 
harmônica, além de mediana e moda. 
a) Qual destas você usaria como métrica de tendência 
central? Justifique. 
b) Calcule o retorno acumulado e identifique se há 
contradições no ordenamento das ações em termos 
de suas medidas de tendência central das 
distribuições de seus retornos. 
 
 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
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Exercício #6: Questão 1, pág. 40, capítulo 3 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
 
Exercício #7: Questão 3, pág. 40, capítulo 3 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
 
Para responder às questões 8 a 15, abaixo, observar os dados da tabela 3.11, contendo os dados de 
retorno líquido real mensal de vários índices financeiros mundiais sob a ótica do investidor brasileiro. 
 
Exercício #8: Plote os gráficos dos índices abaixo, dividindo-os por continente levando-se em 
consideração o retorno acumulado. Obs.: Lembre que o retorno acumulado consiste no produto dos 
retornos brutos, os quais são o retorno líquido acrescido da unidade. Ou seja, se há um retorno líquido 
de 3%, então o retorno bruto é de 1 + 3% = 1,03. Fazendo isso pra todos os períodos da amostra em 
questão, basta multiplicar até o mês desejado e você terá o retorno acumulado até este mês. 
 
Exercício #9: Faça o histograma de cada um dos índices para a amostra de todo o período. 
 
Exercício #10: Calcule o retorno médio, geométrico e acumulado de todos os índices durante todo 
o período e durante apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? 
 
Exercício #11: Calcule o desvio padrão de todos os índices durante todo o período e durante 
apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? 
 
Exercício #12: Calcule agora a semivariância, o downside risk e o drawdown de todos os índices 
durante todo o período e durante apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? 
 
Exercício #13: Calcule os Coeficientes de variação de Pearson e de Thorndike, de todos os índices 
durante todo o período e durante apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? 
 
Exercício #14: Calcule os índices de Sharpe, Sortino e Calmar de todos os índices durante todo o 
período e durante apenas o ano de 2008. Para tal, considere como TMA a poupança, a qual rendeu 
constantemente 0,25% ao mês. 
 
Exercício #15: Você concorda com um puzzle intitulado home bias puzzle para o caso de um 
investidor brasileiro? 
 
Exercício #16: Observando as respostas dos itens anteriores, seria possível obter maiores níveis de 
ganho esperado e menores níveis de risco? Qual a sua intuição sobre essa possibilidade? Que aspectos 
precisariam ser observados visando este objetivo? Que ativos você colocaria na sua cesta internacional para 
atingir este objetivo? 
 
Exercício #17: Calcule o Coeficiente de assimetria de todos os índices durante todo o período e 
durante apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? Esse resultado corrobora sua prévia 
impressão obtida com o histograma? 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
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%
13
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‐1
2,
33
%
‐4
,9
9%
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
52 
Exercício #18: Calcule o Coeficiente de curtose de todos os índices durante todo o período e 
durante apenas o ano de 2008. Quais índices você compraria? Esse resultado corrobora sua prévia 
impressão obtida com o histograma? 
 
Exercício #19: Identifique se os valores extremos de cada um dos índices consistem em outliers 
durante todo o período e durante apenas o ano de 2008. Seria recomendável excluir esses outliers 
encontrados? Esse resultado corrobora sua prévia impressão obtida com o histograma? 
 
Exercício #20: Construa o gráfico de Box plot para todos os índices durante todo o período e 
durante apenas o ano de 2008. Esse resultado corrobora sua prévia impressão obtida nos itens 16, 17 e 18, 
sobre assimetria, curtose e outliers?? 
 
 
 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
53 
4. Medidas de associação de duas variáveis 
4.1. Introdução 
 Suponha que estamos diante de uma amostra composta pelos alunos desta sala. Será que haveria 
alguma “relação” entre os salários pagos e os anos de estudo, ou mesmo alguma relação entre altura e peso 
destes funcionários? 
Certamente, estudiosos sobre mercado de trabalho através do uso de seus modelos teóricos ou 
econométricos poderiam nos responder com fundamentos a primeira pergunta. Possivelmente, médicos, 
nutricionistas também nos seriam muito úteis em relação ao segundo questionamento. 
O nosso ponto aqui é um pouco mais simples, uma vez que existe uma simples ferramenta 
estatística que nos ajuda a mensurar o quanto ou se duas variáveis estão ou não “relacionadas”, desde que 
linearmente. 
 Até o presente momento, definimos, descrevemos e usamos diversas estatísticas visando analisar 
apenas uma específica variável em questão. No entanto, comumente, torna-se necessário tomar decisões, 
principalmente em finanças, como veremos a seguir, levando-se em consideração duas variáveis. Com este 
intuito, introduzimos agora o estudo das estatísticas: covariância e correlação. 
Covariância: A covariância amostral, estatística análoga à variância amostral, porém levando em 
consideração duas variáveis e não somente um, é obtida a partir da média dos produtos entre o desvio de 
uma variável X em relação a sua própria média e o desvio de Y também em relação à respectiva média. 
Assim, a covariância entre ambas se dá da seguinte forma: 
 
ܵ௑,௒ ൌ
ሺݔଵ െ തܺሻ. ሺݕଵ െ തܻሻ൅. . …൅ ሺݔ௡ െ തܺሻ. ሺݕ௡ െ തܻሻ
݊ െ 1
ൌ෍
ሺݔ௜ െ തܺሻ. ሺݕ௜ െ തܻሻ
݊ െ 1
௡
௜ୀଵ
 
 
Obviamente, assim como na variância, a qual consiste num caso particular da covariância em que 
X = Y, temos que a covariância populacional se dá pela divisão por n, em vez de n ‐ 1. 
Olhando a fórmula acima, observemos que o sinal da covariância será influenciado por uma maior 
frequência de desvios mais representativos em ambas as variáveis, os quais podem ser na mesma direção, 
implicando numa covariância positiva, ou em direção contrária, gerando covariância negativa. Para melhor 
a compreendermos, observemos o exemplo a seguir. 
 
Figura 4.1: Gráfico contendo pesos e alturas dos alunos da sala 
Peso (Kg)
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 Altura (m) 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
54 
O que o sinal da covariância permite inferir é se os desvios quando positivos em peso de um aluno 
(ponto azul) ou de uma aluna (ponto vermelho) podem ser justificados linearmente por respectivos desvios 
em altura na mesma direção! Para tal, olhamos os desvios nas métricas, aluno por aluno. 
 Observemos os quatro quadrantes identificados no gráfico. Para que ሺݔ௜ െ തܺሻ. ሺݕ௜ െ തܻሻ possua um 
sinal positivo é preciso que o ponto (ݔ௜, ݕ௜ሻ esteja ou no quadrante I ou no III. Analogamente, o produto 
dos desvios assumirá valores negativos nos quadrantes II e IV. Analiticamente, por consistir na média desses 
desvios e graficamente, podemos observar que uma covariância positiva (negativa) reflete uma certa relação, 
associação linear positiva (negativa) entre as variáveis X e Y. 
Se tivermos um caso no qual os pontos estão bem dispersos ao longo dos quatro quadrantes,
então 
isso implicará na ausência de uma relação linear e consequentemente em uma covariância 
aproximadamente nula. Uma primeira conclusão equivocada que um incauto poderia ter ao estudar pela 
primeira vez a covariância seria a de que um alto valor positivo (negativo) estaria implicando em uma forte 
associação linear positiva (negativa) entre as variáveis em questão. Apesar de legítima e aceitável, tal 
conclusão poderia ser facilmente contrariada com um simples exemplo. 
Exemplo 4.1: Sabemos que a covariância entre altura e peso dos alunos da amostra figura 4.1 é 
dada pelo valor 193,505. Poderíamos considerar tal valor como um indicativo de alta relação entre estas 
duas variáveis? Tomemos cuidado! Mudemos apenas as unidades da altura, de centímetro para metro. E 
agora? 
Usando a fórmula da covariância, o novo passa a ser dado por 1,935, ou seja, exatamente a 
covariância anterior dividida por cem, conseqüência da divisão dos dados de altura por este mesmo 
coeficiente. Caso mudássemos a unidade também do peso, multiplicando-o por outra constante, a 
covariância sofreria novamente alteração, sendo multiplicada por esta nova constante. 
Correlação: O exemplo anterior nos mostra que a questão da despadronização em termos de 
medida da covariância pode nos levar a concluir equivocadamente, quando do cálculo apenas desta 
estatística. A forma encontrada para resolver tal problema consiste em calcularmos o coeficiente de 
correlação, uma estatística adimensional que por assumir valores apenas no intervalo compreendido entre 
‐1 e 1, nos é de grande utilidade quando do interesse em se mensurar o grau de relação linear entre 
quaisquer duas variáveis. 
As fórmulas dos coeficientes de correlação amostral e populacional são, respectivamente: 
 
ݎ௑,௒ ൌ
ܵ௑,௒
ܵ௑. ܵ௒
 
 
e 
 
ߩ௑,௒ ൌ
ߪ௑,௒
ߪ௑. ߪ௒
 
 
Em geral, pode-se demonstrar que se todos os pontos em um conjunto de dados, tais como os 
dispostos no gráfico anterior, estão sobre uma linha reta tendo ima inclinação positiva (negativa), o valor do 
coeficiente de correlação é 1 (‐1), correspondendo a uma perfeita associação linear positiva (negativa). Em 
casos menos extremos, independente da unidade adotada para ambas as variáveis em questão, teremos que 
quanto mais os pontos se desviarem uma relação linear perfeita, mais o valor do coeficiente de correlação 
irá se aproximar de zero. 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
55 
Exemplo 4.2: Tomemos como base os dados do exemplo anterior. Calcule o coeficiente de 
correlação entre altura e peso, considerando a variável altura mensurada tanto em metros, como em 
centímetros. O que podemos afirmar sobre a relação linear entre estas variáveis? Parece intuitivo? 
De fato, a correlação foi de 0,9601, bastante alta, muito próxima do valor unitário, sinalizando a 
forte relação linear existente entre essas duas variáveis, o que fica muito claro também observado a figura 
4.1. 
Variância de duas variáveis aleatórias: Uma aplicação muito importante em gestão de risco 
consiste na variância da soma de variáveis. No caso, o interesse seria a variância e consequentemente o 
desvio padrão de uma carteira formada por dois ativos. Para tal, considere que o investidor deseja alocar 
num ativo D, com desvio Dσ e num ativo E, com desvio Eσ , os seguintes pesos, ou proporções: Dα e 
DE αα −=1 .  
Assim, a variância dessa soma, ou seja, dessa carteira com estes pesos será dada por: 
 
EDEDDDEDDDC ,
22222 )1(2)1( ρσσαασασασ −+−+= 
 
4.2. Exercícios finais sobre estatísticas descritivas 
Exercício #1: Questão 25, pág. 95, capítulo 4 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
Exercício #2: Questão 26, pág. 95, capítulo 4 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
Exercício #3: Questão 29, pág. 96, capítulo 4 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
Exercício #4: Questão 30, pág. 97, capítulo 4 do livro texto Bussab, Wilson e Morettin, Pedro, 
“Estatística básica”. Ed. Saraiva, 6ª edição, 2010. 
Exercício #5: Observe os dados de retornos líquidos mensais (%) temporais dos ativos financeiros 
Ibovespa, Índice de Energia Elétrica (IEE) e poupança dispostos na Tabela 4.1. 
a) Calcule o retorno líquido médio e o ganho líquido acumulado do Ibovespa e do IEE. 
b) Calcule o desvio padrão, a semivariância e o drawdown do Ibovespa e do IEE. 
c) Calcule a assimetria e a curtose do Ibovespa e do IEE. 
d) Calcule os índices de performance de Sharpe, Sortino e Calmar do Ibovespa e do IEE. 
e) Calcule a covariância e a correlação entre o Ibovespa e o IEE. 
f) Monte uma carteira com 50% no Ibovespa e 50% no IEE. Qual o desvio padrão dessa carteira? 
Recalcule esse valor, num caso hipoético em que a correlação fosse não o valor real, obtido no item 
anterior, mas sim 1, depois 0,5, depois zero, depois -0,5 e por fim, -1. Que conclusões podemos tirar 
correlação ao poder de diversificação, ou seja, redução de risco de carteira, tendo em vista o valor e sinal da 
correlação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Exploratória de Dados Prof. Dr. Paulo Matos 
 
 
56 
Tabela 4.1. 
Retorno de benchmark de mercado e setorial 
Data Ibovespa Poupança IEE
2‐jul ‐10 0,315% 0,027% 0,590%
5‐jul ‐10 ‐0,918% 0,025% 0,316%
6‐jul ‐10 1,970% 0,026% 0,983%
7‐jul ‐10 1,964% 0,028% ‐0,004%
8‐jul ‐10 0,305% 0,027% ‐0,657%
12‐jul ‐10 ‐0,813% 0,025% ‐0,727%
13‐jul ‐10 1,152% 0,026% 1,045%
14‐jul ‐10 ‐0,323% 0,028% ‐1,627%
15‐jul ‐10 0,016% 0,028% 0,105%
16‐jul ‐10 ‐1,811% 0,028% ‐0,728%
19‐jul ‐10 1,537% 0,024% 0,548%
20‐jul ‐10 1,841% 0,025% 0,092%
21‐jul ‐10 0,022% 0,027% 0,101%
22‐jul ‐10 1,973% 0,028% 1,590%
23‐jul ‐10 0,873% 0,026% 0,721%
26‐jul ‐10 0,182% 0,024% 0,421%
27‐jul ‐10 0,348% 0,025% ‐0,346%
28‐jul ‐10 0,201% 0,026% ‐0,086%
29‐jul ‐10 0,217% 0,026% 0,736%
30‐jul ‐10 0,839% 0,026% 0,950%