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Princípios de Amostragem 15/5/2013 1 ACS - Em uma amostragem casual simples as unidades amostrais são selecionadas seguencialmente e totalmente ao acaso de tal forma que: �Todos os indivíduos da população (unidade de amostragem) têm a mesma probabilidade de ser escolhidos para a amostra; �Cada possível subconjunto de indivíduos (amostra) tem a mesma probabilidade de ser escolhida. �A seleção pode ser feita com ou sem reposição Rosa Maria Salani Mota 1 Amostragem Casual Simples (ACS) ACS : Exemplo1 : Considerando o exemplo das camisas Rosa Maria Salani Mota 2 Você dispõe de 6 camisas distinguiveis para serem usadas nos 5 dias de trabalho da semana. Em cada dia da semana você irá escolhe ao acaso uma delas. �A mostragem é com reposição se no final do dia, após usa-la, você a repõe no guarda roupa com as demais. Neste caso, a camisa escolhida, por exemplo, no início da semana tem chance de ser escolhida em pelo menos um outro dia da semana. �A mostragem é sem reposição se no final do dia , após usa-la, você a coloca na lavanderia. Neste caso, você não a repõe no quarda roupa com as demais camisas e a camisa que, por exemplo, foi selecionada no inicio da semana não tem chance de ser selecionada nos demais dias da semana. Rosa Maria Salani Mota 3 ACS �A mostragem é ordenada quando a ordem (dia da semana) que a camisa é escolhida importa – neste caso a escolha das camisas (1,2,3,4,5) difere da escolha , por exemplo, do conjunto de camisas (2,1,3,4,5). �A mostragem é não ordenada quando o dia da semana em que a camisa é escolhida não é importante – neste caso a escolha das camisas (1,2,3,4,5) equivale a escolha , por exemplo, do conjunto de camisas (5,4,3,2,1). Rosa Maria Salani Mota 4 ACS O numero total e o numero de amostras que uma unidade populacional i (i, 1, 2,...,N) pertence a uma amostra será: �amostragem CS ordenada com reposição (ACSc): O numero total de amostras (k) de tamanho “n” em uma população de tamanho “N” é: k = NxNx....xN = Nn n vezes � numero de amostras de tamanho n tal que i �� , i Ω é ki = Nn – (N-1)n = Nn ( 1- ((N-1)/N)n) = Nn (1-(1-1/N)n) Rosa Maria Salani Mota 5 ACS �������: ���� �=� ������� � �=� ���� �� ������, - na ACS ordenada com reposição k = 65 = 7.776 possíveis combinações (amostras) das 6 camisas para serem usadas nos 5 dias de trabalho. Assim, P( ��)= �/� � = �/���� = �,������ a camisa i será ��������� �� ki = Nn – (N-1)n = 4.651 possíveis combinações (amostras) das 6 camisas. Assim, P(i ��� �����������)=�-(�–�/�)�=�-(�/�)�= = 0,598122 Rosa Maria Salani Mota 6 ACS Não é possível exibir esta imagem no momento. 46517776 Princípios de Amostragem 15/5/2013 2 �Na ACS ordenada sem reposição (ACSs) : O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma população de tamanho N é: : arranjo de N elementos n a n � numero de amostras de tamanho n tal que i �� , i Ω é é : ki = Rosa Maria Salani Mota 7 ACS k = N (N-1)....(N-(n-1)) = ∏ (N – (n − i)) ��−1��=1 = N!�N-n�! = A ������ ��. (��− 1)!(��− ��)! = ��. �����− 1��− 1� Em N=6 camisas para serem usadas em n=5 dias da semana, na ACS ordenada sem reposição, temos A = 720 possíveis combinações (amostras) das camisas e uma determinada camisa i pertencerá a ki =5. A = 600 dessas amostras. Assim, P( ��) = = �,����� � P(i ��� �����������)= = 0,83333 Rosa Maria Salani Mota 8 ACS 720 600 5 6 4 5 720 1 �Na a ACS não ordenada com reposição (ACSc) : O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma população de tamanho N é: � numero de amostras de tamanho n tal que i �� , i Ω é ki = combinação de N+n-2 elemento (n-1) a (n-1) Rosa Maria Salani Mota 9 ACS − −+ = −+ = − −+ = 1 11 )!1(! )!1( N nNC n nNC Nn nNk i − −+ = −+ − −+ 1 221 n nNC n nNC n nNC Para N=6 camisas para serem usadas em n=5 dias da semana, na ACS não ordenada com reposição, temos C = 252 possíveis combinações (amostras) das camisas e uma determinada camisa i pertencerá a amostra em ki = C = 126 dessas amostras. Assim, P(��) = � P(i ��� �����������)= = 0,50 Rosa Maria Salani Mota 10 ACS 252 126 5 10 4 9 252 1 �Na a ACS não ordenada sem reposição (ACSs): O numero total de amostras (k) de tamanho n em uma população de tamanho N é: � numero de amostras de tamanho n tal que i �� , i Ω é ki = combinação de N-1 elemento (n-1) a (n-1) e, � numero de amostras de tamanho n tal que i e j �� , i � , i e j Ω é kij = combinação de N-2 elemento (n-2) a (n-2). Rosa Maria Salani Mota 11 ACS k= ��!��! (��−��)! = C ������ combinação de N elementos n a n �����− 1��− 1� �Neste caso, na ACS não ordenada e sem reposição (ACSs): Para todo i ∈ Ω Para todo i e j ∈ Ω, i j Rosa Maria Salani Mota 12 ACS ���(�� ∈ ��������������) = ���� ��(�� ∉ ��������������) = 1 − ����= ��− ���� ���(�� �� �� ∈ ��������������) = ����( ��− 1��− 1) ��(�� �� ���� ��∉ ��������������) = 1 − ����( ��− 1��− 1) Princípios de Amostragem 15/5/2013 3 na ACSs para N=6 camisas e n=5 dias Enumerando as camisas por 1, 2, 3, 4, 5, 6 as possíveis amostras “sk“ de tamanho 5 (combinações de 5 camisas) são: s1 = (1,2,3,4,5) ; s2 = (1,2,3,4,6), s3 = (1,2,3, 5,6), s4 = (1,2,4,5,6), s5 = (1,3,4,5,6), s6 = (2,3,4,5,6). A probabilidade de uma determinada combinação das camisas (sk ) ser selecionada será P(sk) = 1/6 = , k=1, 2, 3, 4, 5, 6 . A camisa i = 1 é selecionada em 5 amostras �(� ��� �����������)= = Rosa Maria Salani Mota 13 ACS N n N 1 6 5 Em um levantamento por amostragem os valores obtidos para uma especificação (variável Y) qualquer das “N” unidades amostrais da população serão denotadas por: Y1 , Y2 , ....., YN ou Yi , i = 1, 2,..., N -os valores correspondentes das “ n” unidades na amostra serão denotadas por: y1 , y2 , ....., yn ou yi , i = 1, 2,..., n. 14 Amostragem – Definições e Notações Rosa Maria Salani Mota As características (parâmetros) da população que geralmente mais interessam são: -Valor médio de Y : -Valor Total de Y : -Valor Índice – Relação entre duas média ou totais: R= -Proporção de um unidades com uma determinada característica -Variância de Y : -desvio padrão de Y : 15 Amostragem – Definições e Notações Rosa Maria Salani Mota ��� = ∑ ��������=1�� ��. = � ��������=1 = ��. ∑ ���� ����=1�� = ����� ��.��. = ������ ��2 = ∑ (����− ���)2����=1 �� = (��− 1)��2�� ACS Rosa Maria Salani Mota 16 Pessoa (unidade de amostragem) Altura em metro (variável: Y) 1 1,60 2 1,65 3 1,60 4 1,70 5 1,58 • Os parâmetros populacionais para a variável altura: � altura média = μx = = = 1,626 ≈ 1,63m � variância da altura = σx 2 = = 0,001904 m2 � desvio padrão = σx = 0,043634 m �variância amostral da altura = S2x = (N/(N-1))σx 2 ≈ 1,25 x 0,001904= 0,00238 m2 X Exemplo1: Deseja-se conhecer a altura de um grupo de N = 5 (finito) pessoas : Supondo a altura de cada uma das pessoas da população igual a: ∑ ��������=1�� ∑ (����− ���)2����=1 �� 0,001904 Considerando que para estimar a os parâmetros populacionais foi usado um delineamento de ACSc ordenado com o tamanho da amostra n= 2 , - as possíveis amostras ordenadas com reposição (k=25) com as suas respectivas médias : ACS Rosa Maria Salani Mota 17 Amostra (pessoa :i,j) ak 11 22 33 44 55 12 13 14 15 23 24 25 34 y1 y2 1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,60 1,60 1,60 1,65 1,65 1,65 1,60 1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,70 1,58 1,70 1,60 1,65 1,60 1,70 1,58 1,625 1,6 1,65 1,59 1,625 1,675 1,615 1,65 amostra ak 35 45 21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 y1 y2 1,60 1,70 1,65 1,60 1,60 1,7 1,70 1,7 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,58 1,60 1,60 1,65 1,6 1,65 1,6 1,60 1,65 1,60 1,70 1.59 1,64 1,625 1,60 1,625 1,65 1,675 1,65 1,590 1,615 1,59 1,64 y y Função de distribuição das médias amostrais na ACSc ordenada: ACS Rosa Maria Salani Mota 18 altura media ( ) P( ) 1,580 1/25 1,590 4/25 1,600 4/25 1,615 2/25 1,625 4/25 1,640 2/25 1,650 5/25 1,675 2/25 1,700 1/25 Total 1 1,626 var( ) 0,000952 dp( ) 0,030854 y Fatos interessantes: = média das médias = E( )=1,626 = �amostra retirada com reposição: Var( )= E( - µ)2 = 0,000952 = e dp( ) = = �,�����=ep(Y) ep(Y) =erro padrão de Y Y y n 2σ n 2σy n σ y y ��� = ��� y y �� �� ( população: μx ≈ 1,626m; σx 2 = 0,001904 m2) Princípios de Amostragem 15/5/2013 4 Exemplo2: Na população do exemplo1 Através da ACSs não ordenadas , retirando amostras de tamanho n= 2 (k=10), encontram-se as amostra e as estimativas : ACS Rosa Maria Salani Mota 19 Amostras (si): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 X1 X2 1,60 1,60 1,60 1,60 1,65 1,65 1,65 1,60 1,60 1,70 1,65 1,60 1,70 1,58 1,60 1,70 1,58 1,70 1,58 1,58 Por amostra, estimativa dos parâmetros populacionais altura média ( si) 1,625 1,6 1,65 1,59 1,625 1,675 1,615 1,65 1,59 1,64 s2i(variância) 0,0012 0,0000 0,0050 0,0002 0,0012 0,0013 0,0024 0,0050 0,0002 0,0072 si (desvio padrão) 0,0354 0,0000 0,0707 0,0141 0,0354 0,0354 0,0495 0,0707 0,0141 0,0849 Função de distribuição das médias amostrais na ACSs não ordenada: ACS Rosa aria Salai ota 20 altura media ( s ) 1,590 0,2 1,600 0,1 1,615 0,1 1,620 0,1 1,625 0,1 1,640 0,1 1,650 0,2 1,675 0,1 Total 1,0 1.626 Var( ) 0,00071 dp( ) 0.02672 ��̿ X x nN nN 2) 1 ( σ − − nN nN 2) 1 ( σ − −x n S N n )1( − x ��̿ x x P ( ) ii xX = Fatos interessantes: = média das médias 1,626 E ( ) = média populacional = �Como a população é finita e a amostra é retirada sem reposição Var( )= 0,000714 = e dp( ) = ≈ = ep(X) x ( população: μx ≈ 1,626m; S 2 x ≈ 0,00238 m 2, N= 5, n=2 ) Definindo o indicador Ii , i= 1, ... N Ii = para todo i ∈Ω encontra-se que, Ii ~ B(1 ; pi) com, pi = P(i a amostra) e , para todo i ∈ Ω, E( Ii ) = pi ; var (Ii ) = pi (1-pi), para todo i e j ∈ Ω i�, cov (Ii , Ij ) = P(Ii = 1, Ij = 1) - P(Ii = 1)P(Ij = 1) No caso de Ii e Ij serem independentes cov (Ii , Ij ) = 0.Rosa Maria Salani Mota 21 ACS Propriedades da ACS amostra i se 0 amostra i se 1 ∉ ∈ Propriedade 1: Na ACSs não ordenada ; para todo i e j ∈ Ω, i � E( Ii ) = p = (1.1) ; var (Ii ) = p (1-p) = (1 - ) = ( ) e, para o todo i e j ∈ Ω, i �, �(��=�,��=�)=�((�,�)∈�)= (1.2) Ii Ij = cov (Ii , Ij ) = - = (1.3) Rosa Maria Salani Mota 22 ACS Propriedades na ACSs N n N n N n N n N nN − "#$ #%1 ���� �� ���� ∈ �������������� − ������ ��(1) = ��(��− 1)��(��− 1) 0 ���� �� �� ���� �� ∉ �������������� − ������ ��(0) = 1 − ��(��− 1)��(��− 1) ��(��− 1)��(��− 1) (����)2 '(��− 1)��− ��(��− 1)��(��− 1) ( ����= − ��(��− ��)��2(��− 1) 1)-N(N 1)-(nn �Propriedade 2: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples sem reposição de tamanho n em uma população de N. A média é um estimador não tendencioso de µy E ( )= e, Var() = (1–f ) onde e 23 ACS Rosa Maria Salani Mota ��2�� ���) = ��� = ∑ ��������=1�� Y ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� Propriedade do Estimador da Média Populacional na ACSs Demonstração: Como então E ( ) = E ( ) = E ( ) = Como Var() = var ( ) = 24 ACS Rosa Maria Salani Mota Não é possível exibir esta imagem no momento. ∑ ���� ��������=1�� ��� = ∑ ��������=1�� = ∑ ���� ��������=1�� ∑ ���� ��������=1�� por (1.1) � � ����2��2����=1 ������ (����) + � � ����������2 �� ��=����≠�� ������ �����, ���������=1 Princípios de Amostragem 15/5/2013 5 onde, e então var()= 25 ACS Rosa Maria Salani Mota ∑ ����2��2����=1 ������ (����) = ∑ ����2�� (��−��)(����)2����=1 por (1.2) por (1.3) � � ����������2����=1��≠�� ������ �����, ����� �� ��=1 = � � ����������2 (− �� ��=����≠�� (��(��− ��))��2(��− 1)����=1 ) = − ��(��− ��)(����)2(��− 1) � � �������� �� ��=1��≠�� �� ��=1 ��− ������2 � ����2 �� ��=1 − ��− ������2 . 1��− 1 � � �������� �� ��=����≠�� �� ��=1 = ��− ������2 (� ����2 �� ��=1 − 1��− 1 � � �������� �� ��=����≠�� �� ��=1 ) porem, como então, var()= onde OBS: se 0 então Var() = 26 ACS Rosa Maria Salani Mota (��− ��)����2����2 = (��− ��)��2���� = (1 − ��) ��2�� ∑ ����2����=1 − 1��−1 ∑ ∑ �������� ����=����≠������=1 = 1��−1 -��∑ ����2����=1 − . ∑ ����2����=1 + ∑ ∑ �������� ����=����≠������=1 /0 =1��−1 ���∑ ����2����=1 − � ∑ ��������=1 �2� = ����−1 �∑ ����2����=1 − �����2� = ����−1 �∑ (��������=1 − ���)2� = ��S2 ��= ���� ��= ���� ��2�� �Propriedade 3: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples sem reposição de tamanho n em uma população de N. é um estimador não tendencioso de 27 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Variância Populacional na ACSs ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 = ����− 1 ��21 ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 = ����2��− 1 ACS Rosa Maria Salani Mota 28 �(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2 �� ��=1 + � (�� � − ���)2 �� ��=1 − 2(�� � − ���) �(����− ���) �� ��=1 �(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2 �� ��=1 + ��(�� � − ���)2 − 2��(�� � − ���)2 �(���� − ���)2����=1 = �(����− ���)2 �� ��=1 − ��(�� � − ���)2 (���� − ���)2 = ((����− ���) − (�� � − ���))2 = (����− ���)2 + (�� � − ���)2 − 2(����− ���)(�� � − ���) Demonstração: Somando e subtraindo a média populacional “ “ na expressão encontra-se: (1.4) ��� �(���� − ���) Var( ) = E( - E( ))2 = E( - )2 = 29 ACS Rosa Maria Salani Mota Porem, como assim, sendo em (1.4) e, E( ) = Y ��.�(����− ���)2����=1 / = �(����− ���)2 �� ��=1 ��(���� ) = �����(����− ���)2 �� ��=1 = ��(��− 1)�� ��2 y y y y Y ��− ���� �� ��2 ����(�� � − ���)2 = ��− �� �� ��2 ��((��− 1)��2 ) = �� .�(����− ���)2����=1 / − �� ��(�� � − ���)2 = ��(��− 1)�� ��2 − ��− ���� ��2 ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 assim, 30 ACS Rosa Maria Salani Mota ��((��− 1)��2 ) = ��(��− 1)�� ��2 − ��− ���� ��2 = ��(��− 1)�� ��2 = (��− 1)��2 portanto, uma estimativa não tendenciosa para a Var() = (1–f ) é ��2�� ������(�� � )2 = �1 − �� ��� ����2 Princípios de Amostragem 15/5/2013 6 Total Populacional: = total dos valores observados de Y �Propriedade 4: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples sem reposição de tamanho n em uma população de N. Um estimador não tendencioso de Ty (total de Y) é ty = N ; com e, var(ty) = Var(N)= N 2(1–f) ; com e 31 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador do Total Populacional de Y na ACSs ��2�� � ��� = ∑ ��������=1�� y ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� ����= � ��������=1 = �� ��� Proporção Populacional: Se A é uma característica de interesse na população Ω e ΩA =conjunto populacional com a característica A #(A) = numero de elementos em ΩA = numero de vezes que A ocorre Define-se a proporção PA = = proporção da característica A Exemplo: Em 2007, avaliava-se a população do Brasil igual a 190.010.650 habitantes com os brancos de origem europeia representando cerca de 95.005.325 habitante: N=190.010.650, #(B)=95.005.325 PB= 0,5 B = brancos de origem europeia 32 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção ⋕ ���� Se A é uma característica de interesse na população e ΩA é o sub conjunto populacional com a característica A (ΩA ⊂ Ω ). A variável indicadora Yi , i=1,2, ..., N = �� 33 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS #���� = ∑ ��������=1�� = ��� ����= 51 ���� ��∈ ΩA0 ���� ��∉ ΩA 8 Exemplo: Em uma população de N=10 indivíduos: Yi = i= 1,...,10 A proporção de pessoas negras (A): = � � PA = = = 0,6 ou 60% 34 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cor Soma Yi 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 6 negra pessoa uma não i se 0 negra pessoa uma i se 1 é é #���� = ∑ ��������=1�� = ��� 610 Notações: Em uma população de tamanho N : Ainda como, respectivamente , Yi = 0 ou 1 Yi2 = 0 ou 1 então e 35 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS ∑ ����2����=1�� = ∑ ��������=1�� = #���� = ���� σ2 = ∑ ����2−�����2����=1 �� = ������−�� ����2�� = ����(1 − ����) ����= #���� = ∑ ��������=1�� = ��� S2 = ∑ ����2−����� 2����=1 ��−1 = ������−�� ����2��−1 = ����−1 (����(1 − ����)) = ����−1 ��2 Notações: Em uma amostra de tamanho n em uma população de tamanho N : definindo Ainda como, respectivamente, yi = 0 ou 1 yi2 = 0 ou 1 então 36 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS ����= #���� = ∑ ��������=1�� = ��� �������� #��= #�� ���� �������������� contrário aso 0 s i e i se 1 yi = ∈Ω∈ c A s2 = ∑ (����− ��� )2����=1��−1 = ∑ ����2−�����2����=1 ��−1 = ������−�� ����2��−1 = ����−1 (����(1 − ����)) Princípios de Amostragem 15/5/2013 7 �Propriedade 5: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ), yi com distribuição B(1,PA), é uma amostra casual simples sem reposição em uma população de N. A média da amostra é um estimador não tendencioso de PA com, Var( pA) = (1–f ) onde e 37 ACS Rosa Maria Salani Mota ��2�� Estimador da Proporção na ACS ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� ���� = #���� = ��� Demonstração: como para =pA pela propriedade 2, �( )= �(��) = Além disso, Var( ) = (1–f ) onde e Então, Var( ) = 38 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS � ��� ��� = � ��� ��2 = ∑ (����− ���)2����=1��− 1 ��= ���� contrário aso 0 i se 1 yi = Ω∈ c A = ����−1 (����(1 − ����)) ��� = ∑ ��������=1�� ��� = ���� ��2�� ��− ����− 1 (����(1 − ����)) �� �Propriedade 6: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples sem reposição de uma população de N onde yi ~ B(1,PA). Então é um estimador não tendencioso de com uma estimativa não tendenciosa para a var(pA ) igual a 39 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS s2 = ∑ (����− ��� )2����=1��− 1 = ����− 1 (����(1 − ����)) S2 = ����− 1 ��2 = ����− 1 (����(1 − ����)) ������(����)2 = (1 − ��) ����(1 − ����) ��− 1 �Propriedade 7: Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples sem reposição de uma população de N, com yi ~B(1;PA) . então, E(NpA ) = N PA = #A e var(NpA ) = N 2 Var( pA) = N 2 com, uma estimativa não tendenciosa para da var(NpA ) igual a 40 ACS Rosa Maria Salani Mota Estimador da Proporção na ACS ��− ����− 1 (����(1 − ����)) �� Observação: denominando a = ep(Y) = erro padrão de Y ou o erro padrão de uma amostra, de acordo com a teoria, tal valor na prática é desconhecido pois depende de S2 (variância da população). Assim, temos que estimar suas características a partir de uma amostra. A importância da estimativa do erro padrão é, principalmente, devido a três causas: 41 ACS Rosa Maria Salani Mota ;������(���) 1- Estimar a precisão obtida das estimativas em um processo de amostragem. 2- Estimar o tamanho mínimo necessário da amostra em um delineamento de amostragem. 3- Comparar a precisão obtida na ACS com a precisão de outros processos de amostragem 42 ACS Rosa Maria Salani Mota Princípios de Amostragem 15/5/2013 8 Exercícios : 1- Se y = (y1 , y2 ,..., yn ) é uma amostra casual simples de uma população de tamanho N. 1.1 - Demonstre as propriedades para o total populacional na ACSs (propriedade 4) . 1.2 - Demonstre que na ACS com reposição (ACSc ): � a média aritmética da amostra coletada é um estimador não tendencioso da média populacional com . � é uma estimativa não tendenciosa da 1.3 – Deduza e demonstre as propriedades do estimador do Total populacional e da proporção na ACSc. 43 ACS Rosa Maria Salani Mota EXERCÌCIOS: ACS ������(�� � )2 = ����2 ������(���) = ������(���) = ��2�� 2. Considere o jogo da mega sena que consiste em escolher 6 dezenas dentre as 60 dezenas disponíveis. Qual a probabilidade de uma aposta ser premiada? 3. Suponha que num lote com 20 peças existam cinco peças defeituosas. Escolhendo quatro peças do lote ao acaso, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevantes. – a) Qual o número de amostras com quatro elementos que podemos extrair do lote? – b) Calcule a probabilidade de ser escolhida duas peças defeituosas na amostra. 4. Se em uma sorveteria existem 15 sabores diferentes de sorvete, de quantas maneiras podemos formas um copo duplo? Qual a probabilidade de coincidir os sabores? 44 ACS Rosa Maria Salani Mota EXERCÌCIOS: ACS