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A´lgebra Linear I - Aula 7
1. Posic¸o˜es relativas e sistemas de equac¸o˜es.
Roteiro
1 Sistemas de equac¸o˜es lineares (posic¸a˜o re-
lativa de treˆs planos)
Considere os planos de equac¸o˜es cartesianas
pi1 : a1 x + b1 y + c1 z = d1,
pi2 : a2 x + b2 y + c2 z = d2,
pi3 : a3 x + b3 y + c3 z = d3,
e o sistema linear de equac¸o˜es
a1 x + b1 y + c2 z = d1,
a2 x + b2 y + c2 z = d2,
a3 x + b3 y + c3 z = d3.
Os planos se intersectam se (e somente se) o sistema tem soluc¸a˜o. Se a
soluc¸a˜o e´ u´nica enta˜o a intersec¸a˜o e´ um ponto, caso contra´rio sera´ uma reta
ou um plano.
As oito posic¸o˜es poss´ıveis dos planos pi1, pi2 e pi3 sa˜o as seguintes:
a) os treˆs planos coincidem,
b) dois planos coincidem e sa˜o paralelos a um terceiro,
c) dois planos coincidem e intersectam ao terceiro ao longo de uma reta,
d) os treˆs planos sa˜o paralelos entre si,
e) dois planos sa˜o paralelos e o terceiro os intersecta ao longo de retas
paralelas,
1
f) os treˆs planos teˆm uma reta em comum (intersec¸a˜o ao longo de uma
reta),
g) os planos se intersectam dois a dois ao longo de retas paralelas,
h) os treˆs planos se intersectam em exatamente um ponto.
Considere vetores normais aos planos n1, n2 e n3.
Se n1 · (n2×n3) 6= 0 (vetores na˜o coplanares) enta˜o o sistema tem soluc¸a˜o
u´nica, isto e´, os planos se intersectam em um ponto (esta afirmac¸a˜o se justifica
usando escalonamento).
Consideraremos agora as diferentes possibilidades que podem aparecer
quando n1 · (n2 × n3) = 0.
1.1 Sistemas com soluc¸a˜o (os planos teˆm intersecc¸a˜o
comum)
Se n1 · (n2 × n3) = 0 os vetores sa˜o coplanares. Enta˜o teremos, por exemplo
n1 = σ2 n2 + σ3 n3.
Enta˜o necessariamente, para que o sistema tenha soluc¸a˜o deveremos ter
d1 = σ2 d2 + σ3 d3.
As possibilidades sa˜o:
• Os planos teˆm intersec¸a˜o ao longo de uma reta (por exemplo, n2 e n3
na˜o paralelos, n1 = σ2n2 + σ3n3, e d1 = σ2d2 + σ3d3.
• dois planos sa˜o iguais e o terceiro na˜o e´ paralelo.
• os treˆs planos sa˜o iguais (n2 = σ2n1 e n3 = σ3n1, d2 = σ2d1 e d3 = σ3d1).
1.2 Sistemas sem soluc¸a˜o (os planos na˜o se intersec-
tam)
As possibilidades sa˜o as seguintes:
• Treˆs planos paralelos diferentes,
2
• Dois planos paralelos (por exemplo pi1 e pi2) e o terceiro pi3 intersecta
pi1 e pi2 de forma que r1 = pi1 ∩ pi3 e r2 = pi2 ∩ pi3 sa˜o retas paralelas.
• Os planos se intersectam dois a dois ao longo de retas paralelas r1 =
pi1 ∩ pi3, r2 = pi1 ∩ pi2, e r3 = pi2 ∩ pi3, e sa˜o retas paralelas.
1.3 Exemplos
Exemplo I: Considere os planos
pi1 : x + y + z = 1,
pi2 : 2x + 2y + 2z = 2,
pi3 : 5x + 5y + 5z = 5.
Os treˆs planos sa˜o iguais (caso (a))
Exemplo II: Considere os planos
pi1 : x + y + z = 1,
pi2 : 2x + 2y + 2z = 2,
pi3 : 3x + 3y + 3z = 1.
Os dois primeiros planos sa˜o iguais e pi3 e´ paralelo a pi1 e pi2 (caso (b)).
Exemplo III: Considere os planos
pi1 : x + y + z = 1,
pi2 : 2x + 2y + 2z = 2,
pi3 : x + 2y + 3z = 1.
Os dois primeiros planos sa˜o iguais e pi3 os intersecta ao longo de uma reta
(caso (c)).
Exemplo IV: Considere os planos
pi1 : x + y + z = 1,
pi2 : x + y + z = 2,
pi3 : x + y + z = 3.
Os treˆs planos sa˜o paralelos e diferentes (caso (d)).
3
Exemplo V: Considere os planos
pi1 : x− 2y + 3z = 4,
pi2 : 2x− 4y + 6z = 0,
pi3 : x + y + z = 3.
Os planos pi1 e pi2 sa˜o paralelos e diferentes e pi3 os intersecta ao longo de
retas paralelas (caso (e)).
Exemplo VI: Considere os planos
pi1 : x + 2y − 3z = 4,
pi2 : 2x + 3y + 4z = 5,
pi3 : 4x + 7y − 2z = 13.
Os planos pi1, pi2 e pi3 teˆm uma reta em comum (caso (f)).
Exemplo VII: Considere os planos
pi1 : x + 2y − 3z = 4,
pi2 : 2x + 3y + 4z = 5,
pi3 : 4x + 7y − 2z = 3.
Os planos pi1, pi2 e pi3 se intersectam dois a dois ao longo de retas paralelas
diferentes (caso (g)).
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A´lgebra Linear I - Aula 1
1. Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares.
2. Me´todos de substituic¸a˜o e escalonamento.
3. Coordenadas em R2 e R3.
Roteiro
1 Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Uma equac¸a˜o linear e´ uma equac¸a˜o onde todas as inco´gnitas (que denotare-
mos por x1, x2, . . . , xn, ou simplesmente por x, y, z quando ha´ apenas treˆs ou
menos inco´gnitas) que aparecem teˆm todas grau igual a um. Por exemplo:
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
e´ uma equac¸a˜o linear com n inco´gnitas.
Por exemplo x2 + y = 5 e x y = 3 na˜o sa˜o equac¸o˜es lineares.
Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o anterior e´ qualquer conjunto ordenado (ℓ1, ℓ2, . . . , ℓn)
de n nu´meros tal que
a1 ℓ1 + a2 ℓ2 + · · · + an ℓn = b.
Em geral (eliminando os casos triviais, quais?) uma equac¸a˜o linear tem
sempre soluc¸a˜o. Por exemplo, se supomos que a1 6= 0 temos que (b/a1, 0, . . . , 0)
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Analogamente, se supomos que a2 6= 0 temos que
(0, b/a2, 0, . . . , 0) tambe´m e´ uma soluc¸a˜o. Pore´m, em geral ha´ soluc¸o˜es mais
complicadas. Por exemplo, se consideramos a equac¸a˜o
x + y = 1
e´ simples verificar que as soluc¸o˜es sa˜o da forma (t, 1− t), onde t ∈ R. Usando
o me´todo anterior, obteriamos (apenas) as soluc¸o˜es (1, 0) e (0, 1).
1
Um sistema linear de m equac¸o˜es com n inco´gnitas e´ um conjunto de m
equac¸o˜es lineares com as mesmas n inco´gnitas x1, x2, . . . xn. Uma diferenc¸a
importante entre os sistemas e as equac¸o˜es lineares e´ que (novamente elimi-
nando os casos triviais) os primeiros nem sempre teˆm soluc¸a˜o. Por exemplo,
as duas equac¸o˜es lineares x = 1 e x = 2 teˆm soluc¸a˜o. Pore´m o sistema linear
de duas equac¸o˜es
x = 1, x = 2
na˜o tem soluc¸a˜o. Ao longo do curso (e nesta aula) veremos casos mais inter-
essantes de sistemas lineares sem soluc¸a˜o.
O objetivo desta aula e´ relembrar como resolver sistemas lineares de
forma simples.
Existem dois tipos de sistemas lineares, os que na˜o admitem soluc¸a˜o (im-
poss´ıveis) e os que admitem soluc¸a˜o. Estes u´ltimos se subdividem em deter-
minados (a soluc¸a˜o e´ u´nica) e indeterminados (existem infinitas soluc¸o˜es).
Vejamos alguns exemplos:
• Imposs´ıvel:
x + y = 1, x + y = 2.
• Com soluc¸a˜o u´nica (determinado):
x + y = 1, x− y = 1.
• Com infinitas soluc¸o˜es (indeterminado):
x + y = 1, 2x + 2y = 2.
Mostraremos dois me´todos de resoluc¸a˜o de sistemas: me´todo de substi-
tuic¸a˜o e de escalonamento ou de eliminac¸a˜o gaussiana. Observamos que
no caso em que o sistema na˜o tem soluc¸a˜o estes me´todos fornecem esta in-
formac¸a˜o.
1.1 Me´todo de substituic¸a˜o
Neste me´todo isolamos uma das varia´veis e a escrevemos em func¸a˜o das
outras.
Exemplo 1. Resolva o sistema x + y = 2, x− y = 1.
2
Resposta: Da primeira equac¸a˜o temos, x = 2 − y. Substituindo o valor
de x na segunda equac¸a˜o, 2 − y − y = 1, logo y = 1/2. Portanto, x = 3/2.
Neste exemplo, temos um sistema (com soluc¸a˜o) determinado (u´nica). ¤
Lembre sempre de verificar que o resultado esta´ certo!
Exemplo 2. Resolva o sistema linear de duas equac¸e˜s
x + y = 2, 2x + 2y = 4.
Resposta: Da primeira equac¸a˜o obtemos
x = 2 − y.
Substituindo o valor de x na segunda equac¸a˜o,
4 − 2y + 2y = 4, 4 = 4.
Isto e´, a segunda equac¸a˜o na˜o impo˜e nenhuma condic¸a˜o nova (de fato, e´
obtida multiplicando a primeira por 2 (!)). As soluc¸o˜es do sistema sa˜o da
forma
x = 2 − y, (2 − y, y),
onde y pode ser qualquer valor de R. Isto e´ as soluc¸o˜es do sistema de-
terminam uma reta no plano R2. Logo o sistema admite infinitas soluc¸o˜es
(indeterminado).
Para verificar que a soluc¸a˜o esta´ correta substituimos nas equac¸o˜es:
(2 − y) + y = 2, 2 = 2,
2(2 − y) + 2y = 4, 4 − 2y + 2y = 4, 4 = 4.
A resoluc¸a˜o do exemplo agora esta´ completa. ¤
Exemplo 3. Resolva o sistema linear
x + y = 2, x + y = 3.
Resposta: Da primeira equac¸a˜o temos x = 2−y. Substituindo na segunda,
2 − y + y = 3,
isto e´, 2 = 3(!), o que e´ absurdo. Portanto, o sistema na˜o admite soluc¸a˜o
(imposs´ıvel). ¤
3
Exemplo 4. Resolva o sistema linear
x + y + z = 1, x− y = 2.
Resposta: Da segunda equac¸a˜o, temos x = 2 + y, e substituindo na
primeira,
2 + 2y + z = 1, z = −1 − 2y.
Portanto, as soluc¸o˜es sa˜o da forma
(2 + t, t,−1 − 2t), t ∈ R.
Observe que estamos escolhendo y = t como paraˆmetro. Logo, para cada
valor de t, obtemos uma soluc¸a˜o. As soluc¸o˜es formam uma reta.
Verifiquemos que a resposta e´ correta: Substituindo nas equac¸o˜es:
x + y + z = (2 + t) + t + (−1 − 2t) = 1, x− y = (2 + t) − t = 2.
Observamos que poderiamos ter escolhido outra varia´vel como paraˆmetro.
Por exemplo, escolhendo x como paraˆmetro, temos, x = t, y = x−2 = −2+t
e z = 1 − x− y = 3 − 2t.
Observe que na˜o e´ poss´ıvel escolher a varia´vel z como paraˆmetro (tente!,
justifique!). ¤
Exemplo 5. Determine k para que o sistema o linear
x + y = 1, 2x + 2y = k
tenha soluc¸a˜o. Estude se em tal caso o sistema e´ determinado ou indetermi-
nado.
Resposta: Da primeira equac¸a˜o obtemos x = 1 − y. Substituindo na
segunda, 2 − 2y + 2y = k, logo k = 2. O sistema tem infinitas soluc¸o˜es
(indeterminado): todo ponto da forma (1 − t, t), t ∈ R e´ soluc¸a˜o. Verifique
sua resposta. ¤
4
1.2 Me´todo de escalonamento
Este me´todo consiste em, dado um sistema linear, encontrar outro sistema
linear equivalente (com as mesmas soluc¸o˜es) tal que no novo sistema na se-
gunda equac¸a˜o aparec¸a (no mı´nimo) uma inco´gnita a menos que na primeira,
e assim sucessivamente. Desta forma, isolaremos uma varia´vel e a partir
desta, obteremos sucessivamente as outras.
Por exemplo o sistemas
x + y = 4, 2x + 3 y = 11
e
x + y = 4, y = 3
sa˜o equivalentes (a u´nica soluc¸a˜o dos sistemas e´ x = 1 e y = 3, confira). Mas
e´ muito mais simples resolver os segundo: ja´ conhecemos o valor de y. De
fato, o segundo sistema ja´ esta´ em forma de escada.
Vejamos o me´todo de escalonamento com um exemplo, considere o sis-
tema
x + y + z = 2, 2x− y + z = 5, x− 2y + 3z = 9.
Em primeiro lugar, eliminaremos a varia´vel x das segunda e terceira equac¸o˜es.
Para isto, efetuamos as seguintes operac¸o˜es:
• substituimos a segunda equac¸a˜o pela segunda equac¸a˜o menos duas
vezes a primeira equac¸a˜o, e
• substituimos a terceira equac¸a˜o pela terceira equac¸a˜o menos a primeira.
Assim obtemos,
x + y + z = 2, −3 y − z = 1, −3y + 2z = 7.
Este sistema linear e´ equivalente ao primeiro (isto e´, tem as mesmas soluc¸o˜es).
Para eliminar a varia´vel y da terceira equac¸a˜o, consideraremos a terceira
menos a segunda, obtendo
x + y + z = 2, −3 y − z = 1, +3 z = 6.
Portanto, z = 2. Da segunda equac¸a˜o, temos, y = −1 e finalmente x = 1.
Portanto, o sistema tem soluc¸a˜o u´nica (determinado). Verifique que a soluc¸a˜o
achada e´ correta.
5
Exemplo 6. Resolva o sistema linear de treˆs equac¸o˜es
x + y + z = 0, 2x + y = 4, x− z = 4.
Resposta: Eliminaremos a varia´vel x da segunda e da terceira equac¸o˜es.
Para isto, subtrairemos da segunda equac¸a˜o duas vezes a primeira e da ter-
ceira a primeira. Obtemos,
x + y + z = 0, −y − 2z = 4, −y − 2z = 4.
Vemos que as duas u´ltimas equac¸o˜es esta˜o repetidas. Podemos suprimir uma
delas e obtemos o sistema de duas equac¸o˜es nas treˆs varia´veis
x + y + z = 0, y + 2z = −4.
Isto significa que no sistema inicial uma das equac¸o˜es na˜o fornece informac¸a˜o
alguma: a terceira equac¸a˜o e´ a segunda equac¸a˜o menos a primeira.
Neste ponto ja´ na˜o e´ poss´ıvel fazer mais eliminac¸o˜es. Escolhemos z como
paraˆmetro e escrevemos as outras varia´veis em func¸a˜o de z = t ∈ R. Temos,
y = −4 − 2 t, x = −y − z = 4 + 2 t− t = 4 + t.
Logo, a soluc¸a˜o e´ da forma:
(4 + t,−4 − 2 t, t), t ∈ R.
Portanto, o sistema e´ indeterminado (existem infinitas soluc¸o˜es). ¤
Exemplo 7. Resolva o sistema linear,
x + y + z = 1, x− y − z = 2, 3x + y + z = 10.
Resposta: Eliminaremos x da segunda e da terceira equac¸o˜es (segunda
menos primeira e terceira menos treˆs vezes a primeira). Obtemos,
x + y + z = 1, −2y − 2z = 1, −2y − 2z = 7.
Ao eliminar y da terceira equac¸a˜o temos,
0 = 6,
o que e´ imposs´ıvel, logo o sistema e´ imposs´ıvel e por isso na˜o admite soluc¸a˜o.
¤
6
X
Y
k
m
(m, k)
x = m
y = k
Figure 1: Retas paralelas aos eixos
X
X X
YY
Y
Z
ZZ
m
m
m
y = mz = m
Figure 2: Planos paralelos aos eixos
2 Coordenadas em R2 e R3
Em primeiro lugar lembramos o significado geome´trico das equac¸o˜es x = k,
y = k (em R2 e R3) e z = k (em R3).
Equac¸o˜es das retas e planos paralelos aos planos e os eixos coordenados.
Exemplo 8. Seja P um paralelep´ıpedo com faces paralelas aos planos coorde-
nados. Sabendo que A = (1, 1, 1) e B = (3, 4, 5) sa˜o dois ve´rtices determine
os outros 6.
Resposta: (1, 1, 5), (1, 4, 1), (1, 4, 5), (3, 4, 1), (3, 1, 1) e (3, 1, 5). ¤
7
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A´lgebra Linear I - Aula 2
1. Vetores.
2. Distaˆncias.
3. Mo´dulo de um vetor.
Roteiro
1 Vetores
Nesta sec¸a˜o lembraremos brevemente os vetores e suas operac¸o˜es ba´sicas.
Definic¸a˜o de vetor v¯. Vetor v¯ determinado por dois pontos A e B (extre-
mos inicial e final) vetor AB.
Exemplos: Escreva os vetores determinados pelos pontos A = (1, 1, 1) e
B = (2, 3, 4), e C = (2, 3, 5) e D = (3, 5, 8). Interprete.
1.1 Operac¸o˜es com vetores
Considere os vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), e o nu´mero real λ.
• soma (lei do paralelogramo): u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3),
• subtrac¸a˜o ou diferenc¸a (lei do paralelogramo): u − v = (u1 −
v1, u2 − v2, u3 − v3),
• multiplicac¸a˜o pelo escalar λ ∈ R: λu = (λu1, λ u2, λ u3),
• vetor nulo: 0¯ = (0, 0, 0),
• produto escalar (ou produto interno): u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
(o resultado e´ um nu´mero real!).
Vetores paralelos.
1
u¯
u¯
u¯u¯
v¯
v¯v¯
v¯
u¯ + v¯
v¯ − u¯−u¯
u¯− v¯
−v¯
Figura 1: Lei do paralelogramo
Exemplo 1. Considere o paralelogramo que tem como ve´rtices os pontos A =
(a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3) e C = (c1, c2, c3). Sabendo que AB e AC sa˜o lados
do paralelogramo. determinemos o quarto ve´rtice D do paralelogramo. Estude
as possibilidades que aparecem quando AB e AC na˜o sa˜o simultaneamente
lados do paralelogramo.
A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
C
C
D
D
D
AB
AD
AC
Figura 2: Os paralelogramos de veˆrtices A, B, C e D
Resposta: Seja X = (x1, x2, x3) o quarto ve´rtice do paralelogramo. Pela
lei do paralelogramo, sabemos que:
AB + AC = AX.
2
Logo,
(b1 + c1 − 2 a1, b2 + c2 − 2 a2, b3 + c3 − 2 a3) = (x1 − a1, x2 − a2, x3 − a3).
Portanto, como os dois vetores sa˜o iguais as coordenadas devem coincidir:
x1 = b1 + c1 − a1, x2 = b2 + c2 − a2, x3 = b3 + c3 − a3.
Concluimos assim o exemplo. ¤
Exerc´ıcio 1. Encontre as coordenadas do vetor v¯ de extremos inicial A =
(4, 6, 1) e final B = (1, 2, 3).
Exerc´ıcio 2. Considere o vetor v¯ = (1, 2, 3). Sabendo que seu extremo inicial
e´ (1, 2, 3) determine seu extremo final.
Exerc´ıcio 3. Considere os vetores u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, 8) e w =
(6,−1,−4). Seja r um vetor tal que 2u − v + r = 2r + w. Determine r.
Estude se existe um vetor k tal que 2u− v + k = k + w.
2 Distaˆncias
2.1 Distaˆncia entre dois pontos
A
distaˆncia entre dois pontos A e B, denotada por d(A,B), e´ o comprimento
do segmento de extremos A e B. Calcularemos a distaˆncia entre dois pontos
usando o teorema de Pita´goras.
Distaˆncia entre dois pontos em R2: dados dois pontos, A = (a, b) e
B = (c, d) a distaˆncia entre eles e´
d(A,B) =
√
(c− a)2 + (d− b)2.
Para obter esta fo´rmula considere o triaˆngulo retaˆngulo ∆ de ve´rtices A,
B e C = (c, b). A hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo ∆ e´ exatamente o
segmento AB (cujo comprimento queremos calcular). Os catetos de ∆ sa˜o os
segmentos AC e CB paralelos aos eixos coordenados e cujos comprimentos
sa˜o conhecidos. Agora e´ so´ aplicar o teorema de Pita´goras. Veja a figura.
3
A=(a,b,c)
a
a
b
b
c
c
d
A
B
0
Figura 3: Distaˆncias
Distaˆncia entre dois pontos em R3: Dados dois pontos, A = (a, b, c) e
B = (d, e, f), a distaˆncia entre eles e´
d(A,B) =
√
(d− a)2 + (e− b)2 + (f − c)2.
Esta fo´rmula e´ obtida como no caso anterior mas e´ necessa´rio considerar
dois passos. Considere o ponto auxiliar C = (d, e, c). Os pontos A e C esta˜o
no mesmo plano z = c. Portanto, podemos calcular a distaˆncia entre A e C,
nesse plano, usando o item precedente:
d(A,C) =
√
(d− a)2 + (e− b)2.
Veja agora que os ve´rtices A, B e C determinam um novo trinˆgulo retaˆngulo
Υ cuja hipotenusa e´ o segemento AB e cujos catetos sa˜o os segmentos AC
(cujo comprimento acabamos de calcular) e BC. Mas o comprimento do
cateto BC e´ trivialmente |f − c|. Agora e´ so´ aplicar novamente o teorema
de Pita´goras. Veja a figura 5.
Exemplo 2. A circunfereˆncia de raio r e centro P = (a, b) (conjunto dos
pontos de R2 a distaˆncia r de P ) e´ o conjunto de pontos X = (x, y) tais que
d(X,P ) = r,
√
(x− a)2 + (y − b)2 = r.
A superf´ıcie esfe´rica de raio r e centro P (conjunto dos pontos de R3 a
distaˆncia r de P = (a, b, c)) e´ o conjunto de pontos X = (x, y, z) tais que
d(X,P ) = r,
√
(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r.
4
Exemplo 3 (Lugares geome´tricos). Lugar geome´trico L dos pontos equidis-
tantes de A = (a, 0, 0) e B = (−a, 0, 0), isto e´, o conjunto dos pontos X de
R
3 tais que d(XA) = d(X,B)).
d
d
d d
X
A
A
B
B
L
L
Figura 4: Lugar geome´trico
Por definic¸a˜o, um ponto X = (x, y, z) que pertence a L deve verificar,
d(X,A) = d(X,B),
onde d representa a distaˆncia. Como a distaˆncia e´ um nu´mero na˜o negativo,
isto e´ equivalente a
d(X,A)2 = d(X,B)2, (x−a)2+y2+z2 = (x+a)2+y2+z2, 4ax = 0, x = 0.
Ou seja, o lugar geome´trico procurado esta´ formado pelos pontos em um
plano coordenado (qual?).
Fac¸a como exerc´ıcio o caso geral A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3).
Exemplo 4. Determine o ponto do eixo Y equidistante de A = (3,−2, 4) e
B = (−2, 6, 5).
Resposta: Os pontos X que procuramos sa˜o da forma X = (0, y, 0) (pois
esta˜o no eixo Y) e devem verificar:
d(X,A) = d(X,B), 9 + (y + 2)2 + 16 = 4 + (y − 6)2 + 25, y = 9/4.
Deˆ agora um exemplo de dois pontos de R2 tais que na˜o existam pontos
do eixo Y que lhes sejam equidistantes. (Resposta: A = (5, 0) e B = (7, 0),
justifique). ¤
5
3 Mo´dulo ou norma de um vetor
A norma ou mo´dulo do vetor u¯ = (u1, u2, u3) de R
3 e´
||u¯|| =
√
u2
1
+ u2
2
+ u2
3
.
Geometricamente a fo´rmula significa que o mo´dulo do vetor u¯ e´ o compri-
mento do segmento OU , onde O e´ a origem e U e´ o ponto de R3 de coorde-
nadas (u1, u2, u3).
O mo´dulo de um vetor do plano R2 e´ definido de forma ana´loga e tem o
mesmo significado geome´trico.
Observe que se verifica a seguinte relac¸a˜o entre mo´dulo e produto escalar:
||u¯||2 = u¯ · u¯.
Temos as seguintes propriedades do mo´dulo de um vetor:
• ||u|| = 0 se, e somente se, u = 0,
• Desigualdade triangular :
||u + v|| ≤ ||u||+ ||v||.
A interpretac¸a˜o geome´trica da desigualdade e´ a seguinte: dado um
triaˆngulo a soma dos comprimentos de dois lados do mesmo e´ maior
que o comprimento do terceiro lado),
• λ ∈ R, ||λ v|| = |λ| ||v||.
As provas da primeira e da terceira propriedades sa˜o simples e ficam
como exerc´ıcio. Vejamos a desigualdade triangular no caso (simplificado)
u¯ = (u1, 0) e v¯ = (v1, v2). Observe que quadrando ambos os membros, a
desigualdade triangular e´ equivalente a
(||u + v||)2 = (u + v) · (u + v) ≤ (||u||+ ||v||)2 = ||u||2 + ||v||2 + 2 ||u|| ||v||.
Desenvolvendo o primeiro membro da desigualdade temos:
(u + v) · (u + v) = u · u + 2 u · v + v · v = ||u||2 + ||v||2 + 2 u · v.
6
Desenvolvendo o segundo membro:
(||u||+ ||v||)2 = ||u||2 + ||v||2 + 2 ||u|| ||v||.
Portanto, a desigualdade triangular e´ equivalente a:
||u||2 + ||v||2 + 2 u · v ≤ ||u||2 + ||v||2 + 2 ||u|| ||v||,
ou seja,
u · v ≤ ||u|| ||v||.
Usando que u = (u1, 0) e v = (v1, v2), temos que a desigualdade triangular e´
equivalente a
u1 v1 ≤
√
u2
1
√
v2
1
+ v2
2
.
Mas esta desigualdade e´ sempre verdadeira pois
√
u2
1
≥ |u1| e
√
v2
1
+ v2
2
≥ |v1|.
Na˜o faremos a prova da desigualdade triangular no caso geral, apenas jus-
tificaremos a simplificac¸a˜o com uma figura e um breve comenta´rio. Considere
os pontos U = (u1, u2), V = (v1, v2) e a origem O = (0, 0) que determinam
um triaˆngulo ∆. Queremos provar que o comprimento do lado UV e´ menor
que a soma dos comprimentos dos lados OU e OV (este e´ exatamente o signi-
ficado da desigualdade triangular). Para ver isto e´ suficiente girar o triaˆngulo
∆ obtendo um novo triaˆngulo ∆′ de ve´rtices O, U ′ e V ′ cujos lados teˆm os
mesmos comprimentos e de forma que o lado OU ′ agora e´ paralelo ao eixo X,
isto e´, o vetor u e´ da forma (u1, 0) e estamos no caso provado anteriormente.
Observe que
||u¯ + v¯|| = ||u¯||+ ||v¯||
se, e somente se, v¯ = k u¯ onde k e´ um nu´mero real positivo. Em vista dos
comenta´rios anteriores e como u1 v1 ≤ |u1| |v1| a igualdade se tem quando
√
u2
1
= |u1| e
√
v2
1
+ v2
2
= |v1| (ou seja v2 = 0)
e u1 v1 = |u1| |v1|, (ou seja u1 e v1 teˆm o mesmo sinal).
7
U
V ∆
U ′
V ′
∆′
Figura 5: Desigualdade triangular
3.1 Vetores unita´rios
Um vetor v¯ e´ unita´rio quando seu mo´dulo e´ igual a 1.
A cada vetor u¯ na˜o nulo associamos o vetor 1
||u||
u¯ que, por definic¸a˜o tem
mo´dulo 1, e tem a mesma direc¸a˜o e sentido que o vetor u¯.
Exemplo 5. Vetores unita´rios na circunfereˆncia trigonome´trica de R2: sa˜o
os vetores da forma (cos t, sin t) onde t ∈ [0, 2pi]. De fato, em R2 todos os
vetores unita´rios sa˜o da forma (cos t, sin t).
8
u¯
v¯
u¯
||u¯||
v¯
||v¯||
x2 + y2 = 1
Figura 6: Vetores unita´rios associados (no plano)
cos θ
sin θ
r = 1
θ
Figura 7: Vetores unita´rios na circunfereˆncia trigonome´trica
9
AULA 3.pdf
A´lgebra Linear I - Aula 3
1. Produto escalar. Aˆngulos.
2. Desigualdade triangular.
3. Projec¸a˜o ortogonal de vetores.
Roteiro
1 Produto escalar
Considere dois vetores u¯ = (u1, u2, u3) e v¯ = (v1, v2, v3) de R
3. O produto
escalar de u e v e´ definido da seguinte forma:
u¯ · v¯ = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3.
A definic¸a˜o para o produto escalar de dois vetores do plano R2 e´ similar, se
u¯ = (u1, u2) e v¯ = (v1, v2) enta˜o
u¯ · v¯ = u1 v1 + u2 v2.
As principais propriedades do produto escalar (todas de simples verificac¸a˜o)
sa˜o as seguintes:
• comutativa: u¯ · v¯ = v¯ · u¯,
• distributiva: (u¯ + w¯) · v¯ = u¯ · v¯ + w¯ · v¯,
• λ ∈ R, (λ u¯) · v¯ = λ (u¯ · v¯).
• u¯ · u¯ = 0 se, e somente se, u¯ = 0¯.
Observe que, como ja´ referido, se verifica a seguinte propriedade do
mo´dulo de um vetor:
||u¯||2 = u¯ · u¯.
1
1.1 Produto escalar e aˆngulos
Dizemos que dois vetores u¯ e v¯ (na˜o nulos) sa˜o ortogonais se verificam
u¯ · v¯ = 0.
Veremos a seguir que a noc¸a˜o de vetores ortogonais corresponde a noc¸a˜o
de perpendicularidade. Por simplicidade, veremos esta propriedade no plano
R
2. Suponha que
u¯ = (u1, u2) e v¯ = (v1, v2).
Considere os pontos
A = (u1, u2) e B = (v1, v2).
Propriedade 1.1. Os vetores u¯ e v¯ sa˜o ortogonais (u¯ · v¯ = 0) se, e somente
se, o triaˆngulo de ve´rtices 0 (a origem), A e B e´ retaˆngulo. (Veja a figura).
A
B
v¯
u¯
Figura 1: Ortogonalidade
Prova: Observamos, em primeiro lugar que, pelo teorema de de Pita´goras,
o triaˆngulo OAB e´ retaˆngulo se, e somente se,
d(A,B)2 = d(0, A)2 + d(0, B)2. (1)
Observe que
d(A,B) = ||u¯− v¯||, d(0, A) = ||u¯||, d(0, B) = ||v¯||
e que se verificam as igualdades
||u¯− v¯||2 = (u¯− v¯) · (u¯− v¯), ||u¯||2 = u¯ · u¯, ||v¯||2 = v¯ · v¯,
2
A igualdade (1) e´ equivalente a:
(u¯− v¯) · (u¯− v¯) = u¯ · u¯ + v¯ · v¯.
Usando as propriedades do produto escalar e simplificando, obtemos,
2 (u¯ · v¯) = 0.
Ou seja, o triaˆngulo e´ retaˆngulo se, e somente se, u¯ · v¯ = 0, como queremos
provar. ¤
A seguir veremos uma fo´rmula que relaciona produto escalar e aˆngulos e
que imediatamente implica a Propriedade 1.1.
Propriedade 1.2. O produto escalar dos vetores u¯ e v¯ tambe´m e´ dado pela
fo´rmula
u¯ · v¯ = |u¯| |v¯| cos α,
onde α e´ o aˆngulo formado por u¯ e v¯, com 0 ≤ α ≤ pi.
Em particular, o aˆngulo α entre dois vetores e´ dado pela fo´rmula
cos α =
u¯ · v¯
|u¯||v¯| .
Prova: Provaremos a afirmac¸a˜o para vetores do plano. Suponhamos pri-
meiro que os vetores sa˜o unita´rios. Como os vetores sa˜o unita´rios (veja a
Aula 2) temos que
u¯ = (cos φ, sin φ), v¯ = (cos θ, sin θ),
para certos aˆngulos φ e θ.
Logo, pela fo´rmula do coseno da soma de dois aˆngulos,
u¯ · v¯ = cos φ cos θ + sin φ sin θ = cos(φ− θ) = cos α.
O que termina o caso em que os vetores sa˜o unita´rios.
No caso geral, escrevemos
u¯ = |u¯| e¯ e v¯ = |v¯| f¯ ,
onde e¯ e f¯ sa˜o vetores unita´rios paralelos a u¯ e v¯.
3
θ
φ
v¯
u¯
Figura 2: Produto escalar
e¯f¯
v¯
u¯
Figura 3: Produto escalar (continuac¸a˜o)
Aplicando as propriedades do produto escalar,
u¯ · v¯ = (|u¯| e¯) · (|v¯| f¯) = (|u¯| |v¯|) (e¯ · f¯).
Agora e´ suficiente observar que, pela primeira parte, e¯·f¯ e´ o coseno do aˆngulo
entre e¯ e f¯ que e´ igual ao aˆngulo entre u¯ e v¯.
Os argumentos acima fornecem o seguinte: o aˆngulo α entre dois vetores
e´ dado pela fo´rmula
cos α =
u¯ · v¯
|u¯||v¯| . (2)
Isto termina a prova da propriedade. ¤
Observac¸a˜o 1. A fo´rmula em (2) implica que se u¯ · v¯ = 0 enta˜o os vetores
sa˜o ortogonais: |u¯| |v¯| cos θ = 0, onde θ e´ o aˆngulo formado por u¯ e v¯, logo,
como |u¯| 6= 0 6= |v¯|, cos θ = 0, e, portanto, θ = pi/2.
4
Exemplo 1. Considere os vetores u¯ = (1, k) e v¯ = (2, 1). Determine k para
que os vetores sejam ortogonais e para que formem um aˆngulo de pi/4.
Resposta: Para que os vetores sejam ortogonais devemos ter a relac¸a˜o
u¯ · v¯ = 0 = 2 + k = 0,
logo k = −2.
Para que os vetores formem um aˆngulo de pi/4 devemos ter a relac¸a˜o
u¯ · v¯ = 2 + k =
√
5
√
1 + k2 (
√
2/2).
Agora e´ suficiente resolver a equac¸a˜o de segundo grau:
4 + k2 + 4 k = 5 (1 + k2)
1
2
= 0, 3 k2 − 2 k − 3 = 0.
Ou seja,
k =
2±√4 + 36
6
=
2± 2√10
6
=
1±√10
3
.
Tente justifivar geometricamente porqueˆ neste caso temos duas soluc¸o˜es para
k e no caso precedente (vetores ortogonais) apenas uma soluc¸a˜o. ¤
Exemplo 2. Calcule o aˆngulo entre a diagonal de um cubo e suas arestas.
d¯
k
k
k
X
Y
Z
Figura 4: Cubo com vetor diagonal
Resposta: Consideraremos o cubo com arestas paralelas aos eixos coorde-
nados. Sejam a origem (0, 0, 0) e os pontos (k, 0, 0), (0, k, 0) e (0, 0, k) quatro
ve´rtices do cubo (veja a figura). Considere agora o vetor diagonal, isto e´,
5
o vetor d¯ obtido considerando a origem e o ve´rtice oposto (k, k, k). Enta˜o,
o aˆngulo θ entre o vetor diagonal e a aresta (por exemplo) ux = (k, 0, 0) e´
obtido como segue:
d¯ · u¯x = (k, k, k) · (k, 0, 0) = |d¯| · |u¯x| cos θ, k2 =
√
3 k2 k cos θ,
Logo, cos θ = 1/
√
3, e θ = arccos(1/
√
3), onde escolhemos a determinac¸a˜o
do arccos em (0, pi). Os aˆngulos com as outras arestas sa˜o iguais.
Observe que o aˆngulo obtido e´ sempre independente da escolha de k ¤
2 A desigualdade triangular (novamente)
Usando as fo´rmulas do produto escalar podemos obter novamente a a desi-
gualdade triangular:
Propriedade 2.1 (Desigualdade triangular). Dados dois vetores u¯ e v¯ se
verifica
||u¯ + v¯|| ≤ ||u¯|+ ||v¯||.
Ale´m disto a igualdade ‖u¯ + v¯‖ = ‖u¯‖ + ‖v¯‖ se verifica, e somente se,
u¯ = λ v¯ ou v¯ = λ u¯ para algum nu´mero real λ (isto e´, se os vetores sa˜o
paralelos).
Prova: Observe que e´ suficiente provar
(‖u¯ + v¯‖)2 ≤ (‖u¯‖+ ‖v¯‖)2.
Temos as igualdades
(‖u¯ + v¯‖)2 = (u¯ + v¯) · (u¯ + v¯) = ‖u¯‖2 + 2 u¯ · v¯ + ‖v¯‖2,
(‖u¯‖+ ‖v¯‖)2 = ‖u¯‖2 + 2 ‖u¯‖ ‖v¯‖+ ‖v¯‖2.
Portanto, para provar a desigualdade e´ suficiente observar que
u¯ · v¯ = ‖u¯‖ ‖v¯‖ cos α ≤ ‖u¯‖ ‖v¯‖,
onde α e´ o aˆngulo entre os vetores.
Para ver a segunda parte da propriedade, observe que se verifica
‖u¯ + v¯‖ = ‖u¯‖+ ‖v¯‖
6
se, e somente se,
u¯ · v¯ = ‖u¯‖ ‖v¯‖ cos α = ‖u¯‖ ‖v¯‖,
ou seja, α = 0. Logo u¯ = λ v¯ para λ ≥ 0. ¤
Exerc´ıcio 1. Mostre a identidade:
‖u¯ + v¯‖2 + ‖u¯− v¯‖2 = 2 (‖u¯‖2 + ‖v¯‖2).
Resposta: E´ suficiente observar que:
‖u¯ + v¯‖2 = (u¯ + v¯) · (u¯ + v¯) = ‖u¯‖2 + ‖v¯‖2 + 2 u¯ · v¯,
‖u¯− v¯‖2 = (u¯− v¯) · (u¯− v¯) = ‖u¯‖2 + ‖v¯‖2 − 2 u¯ · v¯.
Somando as duas expresso˜es obtemos,
‖u¯ + v¯‖2 + ‖u¯− v¯‖2 = 2 ‖u¯‖2 + 2 ‖v¯‖2,
obtendo o resultado pedido. ¤
3 Projec¸a˜o ortogonal em um vetor
Dado um vetor na˜o nulo u¯, a projec¸a˜o ortogonal do vetor v¯ no vetor u¯ e´ um
novo vetor (paralelo ao vetor v¯) definido como:
piu¯(v¯) =
( u¯ · v¯
u¯ · u¯
)
u¯.
Interpretac¸a˜o geome´trica da projec¸a˜o ortogonal: o vetor piu¯(v¯) e´ a compo-
nente vetorial do vetor v¯ na direc¸a˜o u¯. Dito de outra forma, o vetor v¯ e´
a soma da sua projec¸a˜o ortogunal no vetor u¯ e um vetor ortogonal a u¯ (veja
a figura e o comenta´rio a seguir).
Propriedade 3.1. O vetor (v¯ − piu¯(v¯)) e´ ortogonal a u¯.
Prova: Para comprovar a propriedade e´ suficiente calcular o produto escalar
u¯ · (v¯ − piu¯(v¯)) e ver que e´ nulo:
u¯ · (v¯ − piu¯(v¯)) = u¯ · v¯ − u¯ · v¯
u¯ · u¯ u¯ · u¯ = u¯ · v¯ − u¯ · v¯ = 0.
Assim a propriedade esta´ provada. ¤
7
v¯
v¯
u¯
u¯
piu¯(v¯)
piu¯(v¯)
Figura 5: Projec¸a˜o ortogonal
Exemplo 3. Estude se e´ poss´ıvel ter dois vetores diferentes e na˜o nulos u¯ e
v¯ tais que
piu¯(v¯) = piv¯(u¯).
Resposta: Observe em primeiro lugar que se os vetores sa˜o ortogonais,
isto e´, u¯ · v¯ = 0, enta˜o piu¯(v¯) = piv¯(u¯) = 0¯, e a resposta e´ afirmativa.
Vejamos agora que acontece quando os vetores na˜o sa˜o ortogonais. Neste
caso a resposta e´ negativa. Em primeiro lugar, os vetores devem ser paralelos
(justifique!). Logo v¯ = λ u¯ para algum λ. Portanto, usando as fo´rmulas das
projec¸o˜es, temos,
piu¯(v¯) =
u¯ · v¯
u¯ · u¯ u¯ =
λ ‖u‖2
‖u‖2 u¯ = λ u¯ = v¯.
Analogamente,
piv¯(u¯) =
u¯ · v¯
v¯ · v¯ v¯ =
λ ‖u‖2
λ2‖u‖2 λ u¯ = u¯.
Logo a u´nica possibilidade e´ u¯ = v¯, logo a resposta e´ negativa.
Resumindo, piu¯(v¯) = piv¯(u¯) se e somente u¯ · v¯ = 0 ou u¯ = v¯.
¤
8
AULA 4.pdf
A´lgebra Linear I - Aula 4
1. Determinantes (revisa˜o).
2. Significado geome´trico.
3. Ca´lculo de determinantes.
4. Produto vetorial.
5. Aplicac¸o˜es do produto vetorial.
Roteiro
1 Determinantes (revisa˜o ra´pida)
1.1 Ca´lculo de determinantes
Em primeiro lugar, lembramos como calcular determinantes 2 × 2 e 3 × 3 e
introduziremos uma notac¸a˜o para o determinante.
Determinantes 2 × 2: ∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
Determinantes 3 × 3:∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = a
∣∣∣∣ e fh i
∣∣∣∣ − b
∣∣∣∣ d fg i
∣∣∣∣ + c
∣∣∣∣ d eg h
∣∣∣∣ .
Neste caso, dizemos que desenvolvemos o determinante pela primeira linha.
E´ poss´ıvel desenvolver o determinante usando outras linhas (ou colunas),
obtendo o mesmo resultado. O desenvolvimento pela segunda linha fornece:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = −d
∣∣∣∣ b ch i
∣∣∣∣ + e
∣∣∣∣ a cg i
∣∣∣∣ − f
∣∣∣∣ a bg h
∣∣∣∣ .
1
Finalmente, o desenvolvimento pela terceira linha e´:∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = g
∣∣∣∣ b ce f
∣∣∣∣ − h
∣∣∣∣ a cd f
∣∣∣∣ + i
∣∣∣∣ a bd e
∣∣∣∣ .
De forma mais geral, consideramos o determinante∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣
e denotamos por Aij o determinante 2 × 2 onde eliminamos a i-e´sima linha
e a j-e´sima coluna. Por exemplo,
A13 =
∣∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣∣ .
Temos que o desenvolvimento do determinante pela i-e´sima linha e´∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = (−1)
i+1ai1 Ai1 + (−1)i+2ai2 Ai2 + (−1)i+3ai3 Ai3.
De forma similar, o desenvolvimento do determinante pela i-e´sima coluna e´∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = (−1)
1+ia1i A1i + (−1)2+ia2i A2i + (−1)3+ia3i A3i.
Obviamente, a melhor estrate´gia e´ desenvolver o determinante por uma linha
ou coluna com “muitos” zeros.
Notac¸a˜o: Considere os vetores de R3
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3).
Usaremos a seguinte notac¸a˜o: det(u, v, w) representa o determinante que tem
por linhas as coordenadas dos vetores u, v e w:∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ .
2
1.2 Propriedades dos determinantes
Os determinantes verificam as seguintes propriedades (que formularemos para
determinantes 3 × 3):
• Dado qualquer nu´mero real σ, det(u, σu, w) = 0 = det(u, v, σu) (um
determinante com uma linha proporcional a outra e´ nulo).
• det(u, v, w) = − det(v, u, w) = − det(w, v, u) (ao permutar duas linhas
de um determinante este muda o sinal).
• det(u + u′, v, w) = det(u, v, w) + det(u′, v, w).
• Dado qualquer nu´mero real σ se verifica,
det(σu, v, w) = det(u, σv, w) = det(u, v, σw) = σ det(u, v, w).
Exerc´ıcio 1. Verifique as propriedades acima para determinantes 2 × 2.
As propriedades anteriores tambe´m podem ser formuladas usando colunas
em vez de linhas (verifique no caso 2 × 2).
1.3 Exemplos de ca´lculo de determinantes
A seguir calcularemos alguns determinantes usando as propriedades dos de-
terminantes da sec¸a˜o precedente (operac¸o˜es com linhas e/ou colunas).
Exemplo 1. Verifique que
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (b − a) (c − a)(c − b).
Restando da segunda coluna a primera e da terceira a primeira obtemos
que ∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
a b − a c − a
a2 b2 − a2 c2 − a2
∣∣∣∣∣∣ .
3
Agora, desenvolvendo pela primeira linha, temos:
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ b − a c − ab2 − a2 c2 − a2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ b − a c − a(b − a) (b + a) (c − a) (c + a)
∣∣∣∣ .
Como (b − a) e (c − a) multiplicam a primeira e a segunda coluna temos
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = (b − a) (c − a)
∣∣∣∣ 1 1(b + a) (c + a)
∣∣∣∣ =
= (b − a) (c − a)
∣∣∣∣ 1 0(b + a) (c − b)
∣∣∣∣ .
Na u´ltima operac¸a˜o consideramos a segunda coluna menos a primeira. Agora
e´ suficiente desenvolver o determinante pela primeira linha.
Exemplo 2. Calcule o determinante
∣∣∣∣∣∣
3333 3333 3333
6666 6667 6668
9999 1000 1002
∣∣∣∣∣∣ .
Consideramos as seguintes operac¸o˜es com as linhas: segunda menos 2
vezes a primeira, e terceira menos 3 vezes a primeira:
∣∣∣∣∣∣
3333 3333 3333
6666 6667 6668
9999 1000 1002
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
3333 3333 3333
0 1 2
0 1 3
∣∣∣∣∣∣ .
Portanto, ∣∣∣∣∣∣
3333 3333 3333
6666 6667 6668
9999 1000 1002
∣∣∣∣∣∣ = 3333
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
0 1 2
0 1 3
∣∣∣∣∣∣ .
Desenvolvendo o u´ltimo determinante pela primeira coluna obtemos
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
0 1 2
0 1 3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1 21 3
∣∣∣∣ = 3 − 2 = 1
4
Portanto, ∣∣∣∣∣∣
3333 3333 3333
6666 6667 6668
9999 1000 1002
∣∣∣∣∣∣ = 3333.
Exemplo 3. Sem calcular diretamente verifique que
∣∣∣∣∣∣
sin α cos α sin(α + δ)
sin β cos β sin(β + δ)
sin γ cos γ sin(γ + δ)
∣∣∣∣∣∣ = 0
Observe que
sin(α + δ) = sin α cos δ + sin δ cos α.
Portanto, ∣∣∣∣∣∣
sin α cos α sin α cos δ + sin δ cos α
sin β cos β sin β cos δ + sin δ cos β
sin γ cos γ sin γ cos δ + sin δ cos γ
∣∣∣∣∣∣ .
Pelas propriedades dos determinantes, este na˜o muda se restamos da terceira
coluna (cos δ) vezes a primeira coluna mais (sin δ) vezes a segunda coluna.
Mas este resultado fornece uma coluna (a terceira) formada exclusivamente
por zeros. Desenvolvendo por esta coluna obtemos o resultado.
2 Interpretac¸a˜o geome´trica dos determinan-
tes 2 × 2: A´rea de um paralelogramo.
Significado geome´trico do determinante: O valor absoluto do determi-
nante ∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = |ad − bc|.
e´ igual a a´rea do paralelogramo P que tem por ve´rtices a origem e os pontos
A = (a, b) e B = (c, d).
Observe que a a´rea do paralelogramo anterior e´ independente da escolha
do quarto ve´rtice. Veja figura. Escolheremos o quarto ve´rtice C do paralelo-
gramo P da forma C = (a + c, b + d).
5
A
AA
BBB
C
00 0
Figura 1: Paralelogramos com ve´rtices 0, A e B
Estrate´gia: Para obter o resultado transformaremos o paralelogramo P em
um paralelogramo da mesma a´rea com lados paralelos aos eixos coordena-
dos e tendo a origem como ve´rtice. Portanto, calcular a a´rea deste novo
paralelogramo e´ muito simples!.
AA
B
C
B′
B′
B′
C ′
C ′
Aˆ
Cˆ′
Figura 2: Significado geome´trico do determinante
Passo 1: A a´rea de P e´ igual a` a´rea de qualquer paralelogramo P ′ com
ve´rtices 0, A e B′ e C ′, onde B′ e C ′ esta˜o na reta r determinada pelos
pontos B e C (veja a figura). A afirmac¸a˜o decorre da fo´rmula a´rea de P ,
a´rea(P ) = (b)ase × (h)altura,
todos estes paralelogramos teˆm a mesma base b (o segmento 0A) e a mesma
6
altura h:
h = |0B| sin θ,
onde θ e´ o aˆngulo formado pelos segmentos 0A e 0B. Veja a figura.
Dos paralelogramos acima, escolheremos o que tem o ve´rtice B′ no eixo
Y. Para determinar B′ devemos calcular as coordenadas da intersec¸a˜o da
reta r contendo a B e C e o eixo Y. A equac¸a˜o parame´trica da reta r acima
e´
r : (c + ta, d + tb), t ∈ R.
A reta r intersecta o eixo Y quando t = −c/a. Logo o ponto de intersec¸a˜o
da reta r e o eixo Y e´
B′ = (0, d − (cb)/a).
Passo 2: A a´rea de P ′ e´ igual a` a´rea de qualquer paralelogramo Pˆ com
ve´rtices 0, Aˆ e B′ e Cˆ ′, onde Aˆ e Cˆ ′ esta˜o na reta s determianda pelos pontos
A e C ′ (veja a figura). Observe que s reta s e´ paralela ao eixo Y e sua equac¸a˜o
parame´trica e´
s : (a, d + t), t ∈ R.
Escolhemos Aˆ como o ponto de intersecao de s com o eixo X, ou seja Aˆ =
(a, 0).
Passo 3: O retaˆngulo Pˆ tem como ve´rtices os pontos
(0, 0), B′ = (0, d − (cb)/a) e Aˆ = (a, 0).
Portanto, sua a´rea e´
a (d − (cb)/a) = ad − cb,
que e´ exatamente o determinante procurado.
3 Produto vetorial
Definic¸a˜o: Dados vetores u¯ = (u1, u2, u3) e v¯ = (v1, v2, v3) de R
3 definimos
o produto vetorial u¯ × v¯ como o vetor
u¯ × v¯ =
∣∣∣∣∣∣
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ =
(∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣ ,−
∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣
)
,
onde
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
7
3.1 Propriedades do produto vetorial
• O vetor u¯ × v¯ e´ ortogonal aos vetores u¯ e v¯, isto e´,
u¯ · (u¯ × v¯) = v¯ · (u¯ × v¯) = 0.
Para provar a afirmac¸a˜o e´ suficiente interpretar u¯ · (u¯ × v¯) como um
determinante com duas linhas iguais. Veja que
u¯ · (u¯ × v¯) = (u1, u2, u3) ·
(∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣ ,−
∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣
)
=
= u1
∣∣∣∣ u2 u3v2 v3
∣∣∣∣ − u2
∣∣∣∣ u1 u3v1 v3
∣∣∣∣ + u3
∣∣∣∣ u1 u2v1 v2
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
• u¯× v¯ = −v¯ × u¯ (a troca da ordem de duas linhas de um determinante
muda o sinal).
• u¯× u¯ = 0 (um determinante de uma matriz com duas linhas iguais vale
zero).
• (u¯ + u¯′) × v¯ = (u¯ × v¯) + (u¯′ × v¯),
• (σu¯) × v¯ = σ(u¯ × v¯), para todo σ ∈ R.
• u¯ × v¯ = 0 se, e somente se, os vetores u¯ e v¯ sa˜o paralelos (v¯ = σu¯).
Tambe´m temos as seguintes propriedades:
• O mo´dulo do produto vetorial u¯× v¯ e´ a a´rea de um paralelogramo
de lados u¯ e v¯, (lembre o significado geome´trico de um determinante
dois por dois como a´rea de um paralelogramo).
• O mo´dulo do produto vetorial verifica a fo´rmula:
||u¯ × v¯|| = ||u¯|| ||v¯|| sen α,
onde α e´ o aˆngulo entre os vetores u¯ e v¯.
8
• Orientac¸a˜o do vetor u¯× v¯: o sentido de u¯× v¯ pode ser determinado
usando a regra da ma˜o direita, se θ e´ o aˆngulo formado pelos vetores
u¯ e v¯, e u¯ e´ girado um aˆngulo ate´ coincidir com v¯, se os dedos da ma˜o
direita se fecharem no sentido desta rotac¸a˜o enta˜o o polegar aponta no
sentido de u¯ × v¯. Dito de outra forma, primeiro colocamos o canto da
ma˜o coincidindo com o primeiro vetor com a parte que corresponde ao
dedo polegar sobre a origem do vetor. Depois fazemos girar a ma˜o ate´
coincidir con o vetor v¯ (usando o caminho mais curto), deste jeito, o
polegar apontara no sentido do vetor u¯ × v¯.
Exemplo 4. Verificam-se as igualdades
i× j = k, i× k = −j, j× k = i.
Observac¸a˜o 1. Na˜o e´ va´lida, em geral, a fo´rmula
u¯ × (v¯ × w¯) = (u¯ × v¯) × w¯.
Por exemplo,
i× (j× j) = 0
pois j× j = 0). Pore´m
(i× j) × j = k× j = −i.
Portanto, a expressa˜o u¯× v¯× w¯ na˜o tem sentido: sa˜o necessa´rios pareˆnteses
para saber quais sa˜o os produtos vetorias que devemos calcular.
4 Aplicac¸o˜es do produto vetorial
4.1 Ca´lculo da a´rea de um paralelogramo
Exemplo 5. Determine a a´rea do paralelogramo de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 2, 3)
e (2, 1, 1).
Resposta: A a´rea e´ igual ao mo´dulo do produto vetorial dos vetores (1, 2, 3)
e (2, 1, 1). Temos que
(1, 2, 3) × (2, 1, 1) =
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 2 3
2 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1, 5,−3).
9
Verifiqe que este vetor e´ ortogonal aos vetores (1, 2, 3) e (2, 1, 1). Temos
‖(−1, 5, 3)‖ =
√
1+52 + 32 =
√
35.
Portanto, a a´rea e´
√
35. ¤
Questa˜o 1. O quarto ve´rtice do paralelogramo do exemplo anterior esta´
determinado? Quantas possibilidades existem? (um desenho ajuda, veja os
desenhos do significado geome´trico do determinante).
Exemplo 6. Considere um paralelogramo P cujos ve´rtices sa˜o a origem, o
ponto A = (1, 2, 3) e um terceiro ve´rtice C na reta (t, t, t). Determine C de
forma que o paralelogramo P tenha a´rea 1.
Resposta: Para cada t, sejam Ct = (t, t, t) e Pt um paralelogramo com
ve´rtices (0, 0, 0), (1, 2, 3) e (t, t, t). A a´rea de Pt e´ |t|
√
6 (justifique). Logo o
ponto procurado e´ (por exemplo) C = (1/
√
6, 1/
√
6, 1/
√
6).
Existem outras possibilidades? Em caso Caso afirmativo determine os
diferentes casos. ¤
4.2 Ca´lculo de vetores ortogonais a dois vetores dados
u e v
Observe que dados dois vetores u¯ e v¯ para determinar um vetor ortogonal
aos dois vetores e´ suficiente calcular u¯ × v¯.
Exemplo 7. Determine um vetor ortogonal a u¯ = (1, 2, 3) e v¯ = (2, 1, 1).
Resposta: Por exemplo, o vetor u¯ × v¯ = (−1, 5,−3) (verifique, usando o
produto escalar, a ortogonalidade). ¤
10
AULA 5.pdf
A´lgebra Linear I - Aula 5
1. Produto misto.
2. Equac¸a˜o parame´trica da reta.
3. Retas paralelas e reversas.
4. Equac¸a˜o parame´trica do plano.
5. Ortogonalizade.
Roteiro
1 Produto Misto
Dados treˆs vetores de R3
u¯ = (u1, u2, u3), v¯ = (v1, v2, v3) e w¯ = (w1, w2, w3)
definimos o produto misto u¯ · (v¯ × w¯) como
u¯ · (v¯ × w¯) =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
.
Observe que a expressa˜o (u¯ · v¯)×w na˜o faz sentido: na˜o e´ poss´ıvel calcular
o produto vetorial de um nu´mero (u¯ · v¯) por um vetor.
1.1 Significado geome´trico do produto misto
Propriedade 1.1 (Volume e produto misto). O valor absoluto
|u¯ · (v¯ × w¯)|
e´ o volume do paralelep´ıpedo de arestas u¯, v¯ e w¯.
1
u¯
v¯
w¯
h
n¯
Figura 1: Produto misto
Prova: Para provar a propriedade considere o vetor n¯ = v¯ × w¯. Suponha
que a base do paralelep´ıpedo conte´m os vetores v¯ e w¯. A a´rea A da base e´
A = |n¯| (esta afirmac¸a˜o segue do significado geome´trico do produto vetorial).
Enta˜o, a altura h do paralelep´ıpedo e´ |u¯| cos α, onde α e´ o aˆngulo formado
por n¯ e u¯. Portanto, o volume do paralelep´ıpedo e´ base por altura, isto e´,
Ah = |n¯||u¯| cos α = |u¯ · n¯| = |u¯ · v¯ × w¯|.
Obtemos assim a propriedade. ¤
1.2 Propriedades do produto misto
Enumeraremos as principais propriedades do produto misto. Estas proprie-
dades decorrem das propriedades dos determinantes.
• u¯ ·(u¯× v¯) = 0 = u¯ ·(v¯× u¯), pois u¯× v¯ = n¯ e´ ortogonal a u¯, logo u¯ · n¯ = 0
(v. tambe´m pode interpretar como um determinante com duas linhas
iguais).
• O produto misto verifica as seguines relac¸o˜es (correspondentes a trocar
a ordem de colunas em um determinante): u¯ · (v¯× w¯) = −u¯ · (w¯× v¯) =
w¯ · (u¯× v¯) = w¯ · (v¯ × u¯), etc.
2
• u¯ · (w¯ × w¯) = 0 = w¯ · (u¯× w¯).
Exemplo 1. Sabendo que
u¯ · (v¯ × w¯) = 2
determine
v¯ · (u¯× w¯), w¯ · (u¯× v¯), u¯ · (w¯ × v¯).
Observe que
v¯ · (u¯× w¯) = −u¯ · (v¯ × w¯) = −2.
Tambe´m
w¯ · (u¯× v¯) = −u¯ · (w¯ × v¯) = u¯ · (v¯ × w¯) = 2.
2 Equac¸a˜o parame´trica da reta
A Equac¸a˜o vetorial da reta reta r que conte´m um ponto P = (p1, p2, p3) e e´
paralela ao vetor v¯ = (v1, v2, v3) (o vetor diretor da reta) e´
X = P + tv¯,
A equac¸a˜o parame´trica da reta r e´:
x = p1 + tv1, y = p2 + tv2, z = p3 + tv3, t ∈ R.
P
0
OP
X
OX
v¯
tv¯
Figura 2: Reta
Existem diversas formas de determinar uma reta:
3
• reta r que conte´m dois pontos, P = (p1, p2, p3) e Q = (q1, q2, q3): o
vetor diretor da reta e´ PQ = (q1 − p1, q2 − p2, q3 − p3) e sua equac¸a˜o
vetorial e´ X = P + tPQ,
• reta r que conte´m um ponto P e e´ paralela a v¯: X = P + tv¯.
Mais tarde veremos retas obtidas como intersec¸o˜es de dois planos (equac¸o˜es
cartesianas).
Exemplo 2. Determine a intersec¸a˜o da reta r que conte´m os pontos
A = (0, 0, 1) e B = (1, 0, 0)
com a superf´ıcie z = x2 + y2.
Deˆ tambe´m um exemplo de uma reta s que na˜o intersecte a` superf´ıcie
anterior.
Resposta: O vetor diretor da reta e´ o vetor AB = (1, 0,−1), e um ponto
da reta e´ (1, 0, 0). Logo a equac¸a˜o parame´trica de r e´
(1 + t, 0,−t), t ∈ R.
Devemos encontrar o paraˆmetro t tal que
−t = (1 + t)2 + 02, t2 + 3t + 1 = 0, t = (−3±
√
5)/2.
Logo os pontos de intersec¸a˜o sa˜o:
((−1 +
√
5)/2, 0, (3−
√
5)/2) e ((−1−
√
5)/2, 0(3 +
√
5)/2))
Verifique que as respostas esta˜o certas.
Um exemplo de uma reta que na˜o intersecta a` superf´ıcie e´ obtido como
segue. Escolha o ponto (0, 0,−1). Veja que este ponto esta´ abaixo da su-
perf´ıcie (fac¸a um desenho e confira). Considere agora a reta s de vetor diretor
(a, b, c) que conte´m ao ponto (0, 0,−1):
s : (at, bt,−1 + ct), t ∈ R.
Calculemos (ou tentemos calcular) o ponto de intersec¸a˜o de s e a superf´ıcie.
Observe que na˜o ter intersec¸a˜o corresponde a uma equac¸a˜o sem soluc¸a˜o
(real). Devemos resolver:
ct− 1 = a2t2 + b2t2, t = 1±
√
c2 − 4(a2 + b2)
2
4
Portanto, e´ suficiente escolher a2 + b2 > c2/4 (radicando negativo). Ou seja
√
a2 + b2 > |c|/2 ou
√
a2 + b2 < −|c|/2.
Finalmente, verifiquemos que qualquer reta que conte´m um ponto da
forma (0, 0, k), k ≥ 0, intersecta a superf´ıcie. Repetimos os argumentos
anteriores e obtemos o seguinte. Agora a reta s e´ da forma (at, bt, k + ct),
para calcular as intersec¸o˜es devemos resolver:
c t + k = (a2 + b2) t2, t =
c±
√
c2 + 4k(a2 + b2)
2(a2 + b2)
.
Como o radicando e´ sempre na˜o negativo esta equac¸a˜o tem sempre soluc¸a˜o
real. ¤
2.1 Intersec¸a˜o de duas retas. Paralelismo
Para calcular a intersec¸a˜o de duas retas r e r′, digamos
r : X = P + tv¯, r′ : X = Q + su¯,
(equac¸o˜es vetoriais), devemos ver se o sistema
P + tv¯ = Q + su¯
tem soluc¸a˜o, onde s e t sa˜o as inco´gnitas.
Se P = (p1, p2, p3), Q = (q1, q2, q3), v¯ = (v1, v2, v3), e u¯ = (u1, u2, u3), o
sistema e´
p1 − q1 = s u1 − t v1, p2 − q2 = s u2 − t v2, p3 − q3 = s u3 − t v3,
onde s e t sa˜o as inco´gnitas. Se o sistema tem soluc¸a˜o os pontos de intersec¸a˜o
se obteˆm substituindo t ou s nas equac¸o˜es.
Temos a seguinte interpretac¸a˜o geome´trica do resultado:
• o sistema na˜o tem soluc¸a˜o: as retas na˜o se intersectam,
• o sistema tem soluc¸a˜o:
– soluc¸a˜o u´nica: intersec¸a˜o um ponto,
5
– infinitas soluc¸o˜es: retas iguais.
Observac¸a˜o 1. Temos a seguinte interpretac¸a˜o f´ısica. Seja M o ponto de
intersec¸a˜o das duas retas (supondo que o ponto exista) e suponha que o sis-
tema acima tem soluc¸a˜o t = t0 e s = s0. Considere agora um corpo C saindo
do ponto P e se movimentando com velocidade v¯. O corpo chegara´ ao ponto
M em t0 segundos. Analogamente, se v. considera um corpo K saindo do
ponto Q e se movimentando com velocidade u¯, o corpo K chegara´ ao ponto
M em s0 segundos. Em geral, t0 e s0 sa˜o diferentes e os corpos na˜o colidem
no ponto M . Temos que as trajetorias dos pontos (duas retas) se intersectam
mas na˜o ha´ colisa˜o.
Observe que se v. resolve o sistema
P + tv¯ = Q + tu¯
(isto e´, v. considera o mesmo paraˆmetro para as duas retas!) o que esta´
determinando na˜o e´ se os corpos C e K passam pelo ponto M (isto e´ as
retas se intersectam) mas se os corpos passam no mesmo instante pelo ponto
M , e portanto ha´ uma colisa˜o.
Exemplo 3.
• r1 = (1 + t, 2 + t, 3 + t), t ∈ R e r2 = (1 − t, 1 + 2t, 5 − t), t ∈ R (as
retas na˜o se intersectam)
• r1 = (3 + t, 4 + t, 3 + t), t ∈ R e r2 = (3− t, 4− 2t, 3), t ∈ R (intersec¸a˜o
em um ponto, no ponto (3, 4, 3),
• r1 = (1 + t, 2 + t, 3 + t), t ∈ R e r2 = (1 − t, 1 + 2t, 1 + 5t), t ∈ R,
(intersec¸a˜o em um ponto, no ponto (2/3, 5/3, 8/3),
• r1 = (1+ t, 2+ t, 3+ t), t ∈ R e r2 = (6+2t, 7+2t, 8+2t), t ∈ R (retas
iguais).
2.2 Retas paralelas e reversas
Duas retas r1 e r2 sa˜o paralelas se seus vetores diretores sa˜o paralelos, isto e´,
u¯ = σ v¯, onde u¯ e v¯ sa˜o os vetores diretores das retas.
Observe que dadas duas retas paralelas r1 e r2 ha´ duas possibilidades: ou
sa˜o iguais ou sa˜o disjuntas. Em outras palavras, duas retas paralelas que se
intersetam sa˜o iguais. Verifique.
Duas retas sa˜o reversas se na˜o sa˜o paralelas e na˜o se intersectam.
6
3 Equac¸a˜o parame´trica do plano
A equac¸a˜o vetorial do plano pi que conte´m um ponto P = (p1, p2, p3) e e´
paralelo aos vetores v¯ = (v1, v2, v3) e w¯ = (w1, w2, w3) e´ dada por:
X = P + t v¯ + s w¯, t, s ∈ R.
Os vetores v¯ e w¯ sa˜o vetores diretores ou paralelos ao plano pi.
Observe que um plano pode ter muitos vetores diretores na˜o paralelos
entre si. Por exemplo, o plano cartesiano z = 0 tem como vetores diretores
(1, 0, 0) e (0, 1, 0), e (1, 2, 0), e tambe´m (178, 159, 0).
0
X
v¯
tv¯
su¯
u¯
su¯ + tv¯
Figura 3: Plano
A equac¸a˜o parame´trica do plano pi acima e´
x = p1 + t v1 + s w1,
y = p2 + t v2 + s w2,
z = p3 + t v3 + s w3,
t, s ∈ R.
Observe que ha´ dois paraˆmetros t e s.
Veremos a seguir algumas formas de determinar um plano (alguns exemplos):
• plano que conte´m treˆs pontos na˜o colineares, P = (p1, p2, p3), Q =
(q1, q2, q3), e R = (r1, r2, r3): dois vetores paralelos ou diretores do
plano sa˜o PQ e PR. O fato dos pontos na˜o serem colineares garante
que os vetores na˜o sa˜o paralelos. A equac¸a˜o vetorial e´:
X = P + t PQ + s PR, t, s ∈ R,
7
• plano que conte´m um ponto P e a reta r : Q + tv¯ (que na˜o conte´m
P ): dois vetores diretores ou paralelos do plano sa˜o PQ e v¯, a equac¸a˜o
vetorial e´
X = P + tPQ + s v¯, t, s ∈ R,
• plano que conte´m dois pontos P e R e e´ paralelo a` reta r : Q + tv¯ (que
na˜o conte´m P nem R): os vetores paralelos do plano sa˜o PR e v¯, e
temos
X = P + t PR + s v¯, t, s ∈ R,
Note que pode na˜o existir tal plano (porqueˆ?, deˆ um exemplo dessa
situac¸a˜o), assim devemos verificar se Q satisfaz a equac¸a˜o obtida.
• plano determinado por duas retas paralelas diferentes r : Q + t v¯ e
r′ : P + t v¯: os vetores diretores do plano sa˜o PQ e v¯, e a equac¸a˜o
vetorial ou parame´trica e´
X = P + t PQ + s v¯, t, s ∈ R,
• plano determinado por duas retas r : Q+t v¯ e r′ : P +t w¯ e na˜o paralelas
com intersec¸a˜o na˜o vazia: os vetores paralelos do plano sa˜o v¯ e w¯, e a
equac¸a˜o e´
X = P + t w¯ + s v¯ = Q + t w¯ + s v¯, t, s ∈ R.
Exerc´ıcio 1. Ilustre com exemplos todas as situac¸o˜es descritas acima.
3.1 Intersec¸a˜o de planos. Paralelismo
Para calcular a intersec¸a˜o de dois planos procedemos exatamente como no
caso das retas. Neste caso teremos um sistema de treˆs equac¸o˜es (correspon-
dentes a`s coordenadas x, y e z) e quatro inco´gnitas (os paraˆmetros s e t do
primeiro plano, e α e β do segundo). Sistemas sem soluc¸a˜o correspondem a
planos que na˜o se intersectam.
Dizemos que dois planos pi e ρ sa˜o paralelos se sa˜o iguais ou na˜o se inter-
sectam. Temos os seguintes casos para a intersec¸a˜o de dois planos:
• planos paralelos (iguais ou distintos) e
• planos cuja intersec¸a˜o e´ uma reta.
8
Exerc´ıcio 2. Usando o me´todo de escalonamento veja que se dois planos se
intersectam em um ponto, enta˜o existem infinitas intersec¸o˜es (uma reta ou
o pro´prio plano, quando os dois planos sa˜o iguais).
pi
pi
ρ
ρ
r
Figura 4: Intersec¸o˜es de planos
Exemplo 4. Determinar a intersec¸a˜o do plano pi que conte´m os pontos
(1, 2, 3), (2, 3, 1) e (3, 2, 1), e o eixo X.
Resposta: Dois vetores diretores de pi sa˜o, por exemplo, (1, 1,−2) e
(1,−1, 0). Logo uma equac¸a˜o parame´trica de pi e´
(1 + t + s, 2 + t− s, 3− 2t), t, s ∈ R.
A equac¸a˜o parame´trica do exio X e´ (m, 0, 0), m ∈ R. Logo para calcular a
intersec¸a˜o devemos resolver
m = 1 + t + s, 0 = 2 + t− s, 0 = 3− 2t.
Ou seja, t = 3/2, s = 7/2 e m = 6. Logo o ponto e´ (6, 0, 0). ¤
4 Ortogonalidade
Duas retas sa˜o ortogonais quando se intersectam e seus vetores diretores sa˜o
perpendiculares (ou seja, seu produto escalar igual a zero)
Exemplo 5. As retas (1 + t, 2 + t, 1− t) e (2 + t, 3 + t, 2t) sa˜o ortogonais.
Uma reta e´ ortogonal a um plano quando seu vetor
diretor e´ ortogonal
a qualquer vetor paralelo ao plano (mais tarde voltaremos a esta questa˜o,
depois de introduzir equac¸o˜es cartesianas).
9
AULA 6.pdf
A´lgebra Linear I - Aula 6
1. Equac¸a˜o cartesiana do plano.
2. Equac¸a˜o cartesiana da reta.
3. Posic¸o˜es relativas: de duas retas, de uma reta e um plano, de dois
planos.
Roteiro
1 Equac¸a˜o cartesiana do plano
A equac¸a˜o cartesiana do plano pi e´ da forma
pi : a x + b y + c z = d.
O vetor n¯ = (a, b, c) e´ um vetor normal do plano.
Propriedade 1.1. O vetor normal n do plano e´ ortogonal a qualquer vetor
diretor ou paralelo do plano pi.
Prova: De fato, afirmamos que dados dois pontos quaisquer do plano
P = (p1, p2, p3) e Q = (q1, q2, q3) se verifica
n¯ · P¯Q = 0.
Observe que como os pontos pertencem ao plano pi,
a p1 + b p2 + c p3 = d, a q1 + b q2 + c q3 = d,
e considerando a segunda equac¸a˜o menos a primeira obtemos
a (q1 − p1) + b (q2 − p2) + c (q3 − p3) = d− d = 0,
mas a u´ltima expressa˜o e´ extamamente o produto escalar n¯ · P¯Q.
Agora e´ suficiente observar que qualquer vetor paralelo ao plano pi e´ da
forma PQ, onde P e Q sa˜o pontos do plano. ¤
1
1.1 Equac¸o˜es cartesianas e parame´tricas
A seguir veremos as relac¸o˜es entre as equac¸o˜es cartesiana e parame´trica de
um plano, e como passar de uma equac¸a˜o a` outra.
Veremos primeiro como passar de cartesianas a parame´tricas. Para isso
devemos determinar dois vetores diretores do plano pi e um ponto do plano.
Para isso e´ suficiente determinar treˆs pontos do plano: por exemplo, assu-
mindo que a, b e c sa˜o na˜o nulos, obtemos treˆs pontos do plano:
A = (d/a, 0, 0), B = (0, d/b, 0), C = (0, 0, d/c).
Agora ja´ conhecemos um ponto e dois vetores paralelos do plano, dados
suficientes para determinar uma equac¸a˜o parame´trica do plano.
Exemplo 1. Calcule a equac¸a˜o parame´trica do plano x + 2y + z = 1.
Resposta: Temos que treˆs pontos do plano sa˜o: (1, 0, 0), (0, 0, 1) e (0, 1,−1).
Logo dois vetores paralelos ao plano sa˜o: (1, 0,−1) e (1,−1, 1). Portanto,
uma equac¸a˜o parame´trica e´:
x = 1 + t + s, y = −s, z = −t + s, t, s ∈ R.
Obviamente, ha´ outras (muitas) possibilidades de equac¸o˜es parame´tricas.
Por exemplo, (2,−1, 0) e (0, 1,−2) sa˜o vetores paralelos do plano (pois sa˜o
ortogonais ao vetor normal) e o ponto (0, 1, 1) pertence ao plano, assim
x = 2 t, y = −t + s, z = 1− 2s, t, s ∈ R.
V. pode encontrar outras equac¸o˜es. ¤
Para passar da equac¸a˜o parame´trica a` equac¸a˜o cartesiana ha´ duas possi-
bilidades:
• consideramos dois vetores v e w paralelos ao plano v e w. Obtemos
o vetor normal do plano como n = v × w. Como ja´ conhecemos um
ponto, a equac¸a˜o cartesiana esta´ determinada.
• O me´todo de eliminac¸a˜o dos para´metros s e t que ilustramos a seguir
com um exemplo.
Exemplo 2 (Eliminac¸a˜o de paraˆmetros). Dado o plano pi de equac¸o˜es pa-
rame´tricas
x = 1− s, y = 1− t, z = t− 2s,
Calcule sua equac¸a˜o cartesiana.
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Resposta: Observe que da equac¸a˜o parame´trica obtemos dois vetores
paralelos ao plano v¯ = (−1, 0,−2) e w¯ = (0,−1, 1) e um ponto dele P =
(1, 1, 0).
Obtemos
s = 1− x, t = 1− y.
Substituindo na terceira equac¸a˜o obtemos:
2x− y − z = 1.
Verifique que (2,−1, 1) e´ ortogonal aos vetores paralelos do plano v¯ =
(−1, 0,−2) e w¯ = ((0,−1, 1).
Usando a equac¸a˜o parame´trica do plano escolha treˆs pontos de pi na˜o
colineares e verifique que satisfazem a equac¸a˜o cartesiana. ¤
Exemplo 3 (Equac¸a˜o cartesiana e produto vetorial). Determine a equac¸a˜o
cartesiana do plano paralelo aos vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 1, 1) que
conte´m o ponto A = (1, 2, 3).
Resposta: Sabemos que um vetor normal do plano e´
u× v = (−1, 5,−3).
Logo a equac¸a˜o cartesiana e´ da forma
x− 5y + 3z = d.
Determinamos o valor de d pelo ponto A = (1, 2, 3):
1− 10 + 9 = d, d = 0.
Assim temos sua equac¸a˜o cartesiana:
x− 5y + 3z = 0.
Note que isto implica que o plano conte´m a origem. ¤
3
2 Equac¸a˜o cartesiana da reta
Para obter a equac¸a˜o da cartesiana da reta r a escrevemos como intersec¸a˜o
de dois planos na˜o paralelos pi e ρ, onde os planos esta˜o escritos em equac¸o˜es
cartesianas:
r : a x + b y + c z = d, a′ x + b′ y + c′ z = d′.
Para passar de equac¸o˜es cartesianas a equac¸o˜es parame´tricas o mais sim-
ples e´ resolver o sistema escolhendo uma varia´vel como paraˆmetro.
Exemplo 4. Calcule a equac¸a˜o parame´trica da reta r de equac¸o˜es cartesianas
x− y + z = 0 e 2 x− y + 2 z = 1.
Resposta: Escalonando, obtemos o sistema,
x− y + z = 0, y = 1.
Logo, z = 1− x. Escolhendo x como paraˆmetro, a equac¸a˜o de r e´
(t, 1, 1− t), t ∈ R.
Verifiquemos que o resultado esta´ certo: e´ suficiente ver que este verifica as
equac¸o˜es dos planos. Por exemplo, substituindo no primeiro:
t− 1 + (1− t) = 0.
Verifique que o vetor diretor da reta e´ ortogonal aos vetores normais dos
planos. ¤
Observac¸a˜o 1. Por construc¸a˜o, o vetor diretor da reta e´ perpendicular aos
dois vetores normais dos planos
pi : a x + b y + c z = d, q ρ : a′ x + b′ y + c′ z = d′.
Portanto, um vetor diretor da reta e´
n = (a, b, c)× (a′, b′, c′).
Observac¸a˜o 2. Nem sempre e´ poss´ıvel escolher qualquer varia´vel como paraˆmetro.
Por exemplo, no exemplo anterior na˜o e´ poss´ıvel escolher y como paraˆmetro.
Veja tambe´m que na reta de equac¸o˜es cartesianas x − y = 2 e z = 2 na˜o e´
poss´ıvel escolher z como paraˆmetro.
Outra forma de calcular a equac¸a˜o parame´trica da reta e´ determinar dois
pontos A e B da reta (isto e´, encontrar duas soluc¸o˜es do sistema). Assim
temos o vetor diretor AB e um ponto A.
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3 Posic¸o˜es relativas
3.1 Posic¸a˜o relativa de duas retas
Quanto posic¸a˜o relativa, duas retas r : P + t v e e s : Q + t w podem ser:
• paralelas (se v = σw, σ ∈ R);
– iguais (se Q ∈ r);
– disjuntas (se Q 6∈ r);
• reversas: as retas na˜o sa˜o paralelas e na˜o se intersectam (isto e´, v e w
na˜o sa˜o paralelos e PQ · (v × w) 6= 0);
• concorrentes: se intersectam em um ponto (se v e w na˜o sa˜o paralelos
e PQ · (v × w) = 0).
Exemplo 5.
• As retas r : (1 + t, 2 t, t) e s : (5 + 2 t, 4 t, 2 t + 2) sa˜o paralelas e na˜o
disjuntas.
• As retas r : (1 + t, 2 t, t) e s : (t, 1, 2 t + 2) sa˜o reversas (escolha P =
(1, 0, 0), Q = (0, 1, 2) v = (1, 2, 1) e w = (1, 0, 2) e veja que
PQ · (v × w) = (−1, 1, 2) · ((1, 2, 1)× (1, 0, 2)) =
= (−1, 1, 2) · (4,−1,−2) = −4− 1− 4 = −9 6= 0.
3.2 Posic¸a˜o relativa de reta e plano
Quanto posic¸a˜o relativa, uma reta r : P + tv e o plano e pi : ax + by + cz = d
podem ser:
• paralelos (se v · n = 0, onde n = (a, b, c),)
– r contida em pi (se P ∈ pi)
– disjuntos (se P 6∈ pi)
• intersec¸a˜o em um ponto (n · v 6= 0).
Exemplo 6. A reta (1 + t, t, 2 t) e´ paralela ao plano pi : x + y − z = 1 e o
ponto (1, 0, 0) pertence ao plano, logo a reta esta´ contida no plano. A reta
(t, t, t) intersecta pi em um ponto (no ponto (1, 1, 1)).
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3.3 Posic¸a˜o relativa de dois planos
Quano posic¸a˜o relativa, dois planos
pi : ax + by + cz = d e ρ : a′x + b′y + c′z = d′
podem ser:
• paralelos (se n = σn′, onde σ 6= 0, n = (a, b, c) e n′ = (a′, b′, c′))
– iguais (se n = σn′ e d = σd′)
– disjuntos (se n = σn′ e d 6= σd′)
• se intersectam ao longo de uma reta (se n e n′ na˜o sa˜o paralelos).
Exemplo 7. Planos
• paralelos e diferentes: pi : x + y + z = 1 e ρ : 3x + 3y + 3z = 1,
• iguais: pi : x + y + z = 1 e ρ : 3x + 3y + 3z = 3,
• se intersectando ao longo de uma reta: pi : x+y+z = 1 e ρ : x+2y+3z =
1.
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