LIVRO BOYCE E DIPRIMA 9TH EDICAO - Capitulo 4

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CAPiTULO
4
Equacôes Lineares de
Ordem Mais Alta
A estrutura teOrica e os metodos de resolucäo desenvolvidos no capftulo precedente para equocais line-
ares de segunda ordem podem ser estendidos, cliretamente, para equacOes lineares de terceira ordem e
de ordem mais alta. Neste capitulo, vainos revel- rapidamente essa generalizacao. apontando. em especial,
Os casos particulares em que aparecem fenamenos novos devido a grande variedade de situacoes que
podem ocorrer para equacöes de ordem mais alta.
4.1 Teoria Geral para Equacks Lineares de Ordem nn -__ • ___
lima equacilo diferencial linear de ordem it c Lima equacao da forma
(1"yPo(t)dt"
	
— + Pl(t) 
dt"- I 
+	 + P„_ 1 (t)	 + P„(t)y	 G(t).
Supomos que as func -Oes Po ,	 P„ e G siio fungfies reais e con t inuas detinidas em algum intervalo I: a <
< li, e que P„ nunca se anula nesse intervalo. Ent5o. dividindo a Eq. (1) por P„(t), obtemos
cl"y
	(I"-- I y
	
/AA = —dtn + 1)1 (t) det-1	 • • • + p,,_ (1)—t + p,,(t)y = g(t).	 (2)
0 operador diferencial linear 1, de ordem n deliniclo pela Eq. (2) é semelhante ao operador de segunda
ordem definiclo no Capitulo 3. A (curia matematica associada a Eq. (2) e inteiramente amiloga a teoria
para equacOes lineares de segunda ordem: por essa razao, apenas enunciaremos os resultados para o
problema de ordem n. As dernonstracOes da maioria dos resultados tambem sac) semelhantes as demons-
tracOes para as equacOes de segunda ordem e s5o, em geral, deixadas como exercicio.
Como a Eq. (2) envolve a ti-esima derivada de y em relacão a t, serilo necessarias, gross° modo, n inte-
graVies para se resolver a Eq. (2). Cada Lima dessas integracfies vai gerar uma constante arbitraria. Pode-
mos esperar, portanto, que para obter uma Unica solu0o sera preciso especificar n condiceiles iniciais
(n-1)
Y( tO) = yo. Y(to) = Yo,	 yl"	 (t„) = yo	,	 (3)
onde to pode ser qualquer ponto no intervalo 1e y,, ,	 y„'^-' e qualquer conjunto dado de constantes
reais. 0 teorema a seguir, semelhante ao Teorema 3.2.1, garante que o problema de valor inicial (2), (3)
tern solucao e que ela e finica.
Teorema 4.1.1 Se as funcOes p,, P2 ,	 p„ e g sdo continuos em um intervalo aberto I, entdo existe exatamente uma
soluciio y = (t) da equaciio diferencial (2) que tambem satisfaz as condicOes iniciais (3). Essa solucdo
existe em todo o intervalo I. 
171
(1)
172 CAPITULO QUATRO
Nao demonstraremos esse teorema aqui. No entanto, se os coeficientes p i ,	 p„ forem constantes,
entao podemos construir a solucao do problema de valor inicial (2), (3) de modo semelhante ao que
fizemos no Capfullo 3: veja as Seciies de 4.2 a 4.4. Embora possamos encontrar a solucao nesse caso, nao
saberemos se ela é Unica se nao usarmos o Teorema 4.1.1. Uma demonstracao desse teorema pode ser
encontrada nos livros de Ince (Seca° 3.32) e de Coddington (Capfullo 6).
A Equacdo Homogenea. Como no problema correspondente de segunda ordem, vamos discutir primeiro
a equacao homogénea
L[y] = y ` " ) + p 1 (t)y(" 1 ) + •
	 + p„ - 1(0.Y' + Pn(r)y = 0.	 (4)
Se as funcOes y i , y2 ,	 y„ sao solucitles da Eq. (4), segue, por calculo direto, que a combinacao linear
y = ciyi (t) + c2y2 (t) + •	 • + c„y„(t),	 (5)
onde c 1 ,	 sao constantes arbitrarias, e tambem solucao da Eq. (4). E natural, entao, perguntar se todas
as solucEies da Eq. (4) podem ser expressas como uma combinacao linear de y 1 ,	 y„. Isso sera verdade,
independentemente das condicOes iniciais (3) dadas, se for possivel escolher as constantes 	 c„ de
modo quc a combinacao linear (5) satisfaca as condicaes iniciais. Especificamente, para qualquer escolha
do ponto 1„ em / e para qualquer escolha de yo, yo ',	 precisamos ser capazes de determiner c,,
c„ de modo que as equticaes
ciyi (4))	 • •	 cnyn(to) =
ciy; (to) + • • • + cn.Y;, (to) = A	 (6)
	
n	 (n—h„	 (11-11
ClY
( —1) 
( t0)± • • • + cny„	 ( to) =	 .i 
sejam satisfeitas. As Eqs. (6) podem ser resolvidas de mancira Unica para as constantes c 1 ,	 c„ desde que
o determinante dos coeficientes nao seja nulo. Por outro lado, se o determinante dos coeficientes for nulo
entao sempre é possfvel escolher valores de yo, yo', ...,y;,"".° de modo que as Eqs. (6) nao tenham solucao.
Portanto, uma conclicao necessaria e suficiente para a existência de uma solucao para as Eqs. (6), para
valores arbitriirios do y„, yo' ,	 y;)" .1) . e que o wronskiano
Y 1 	 Y2	 Yn
Y 't 	 .)/2
v
(n-1)	 (n-1)
-	 Y2
W (Y1 ..... yn) = (7)
nao se anule em t = t„. Como to pode ser qua quer ponto do intervalo I, a necessario e suficiente quc W(y,,
y2 , ...,y,,) nao se anule em nenhum ponto do intervalo. Do mesmo modo que para equacaes de segunda
ordem, pode-se mostrar que, se y 1 , y2 ,	 y„ sao solucaes da Eq. (4), entao 14/(y,, y2 ,	 y„) ou 6 zero para
todo t no intervalo I, ou nunca se anula al; veja o Problema 20. Temos, portanto, o seguinte teorema:
Teorema 4.1.2	 Se as funcOes D D
.	 •••,Pn sao contfnuas no intervalo aberto I, se as funcOes y,, y2 ,	 y„ sao solucOes
	 da Eq. (4) e se My l , y2, ..., y„)(t) 0 para, pelo menos, urn ponto t cm 1, entao toda solucao da Eq. (4)
pode ser expressa como uma combinacao linear das solucOes y,, y2 ,	 y„.
Urn conjunto de solucOes V y2, •••, y„ da Eq. (4) cujo wronskiano nao se anula 6 chamado de conjunto
fundamental de soluciies. A existencia de um conjunto fundamental de solucOes pode ser demonstrada
exatamente da mesma forma que para equacoes 'Meares de segunda ordem (veja oTeorema 3.2.5). Como
todas as soluc -Oes da Eq. (4) sao da forma (5), usamos o termo solucao geral para nos referir a uma com-
binacao linear arbitraria de qualquer conjunto fundamental de solucties da Eq. (4).
Dependencia e Independencia Lineares. Vamos explorar agora a relacao entre conjuntos fundamentais de
solucnes e o conceito de indepen&ncia linear, uma ideia central no estudo de algebra linear. As fur-10es
EQUACOES LINEARES ut ORL)EM MATS ALTA 173
sac, ditas linearmente dependentes em urn intervalo I se exists urn conjunto de constantes Ic1,
k2 ,	 k„, nem todas nulas, tal que
kin(f) + kil2 (t) + • + knfn( t) —0	 (8)
para todo t ent I. As fungi:5es	 sac) ditas linearmente independentes em 1 se nao forem linearmente
dependentes a(.
EXEMPLO
1
EXEMPLO
2
Determine se as funcOesf,(r) = 1, f2(t) = t e Pt) = t- sao linearmente independentes ou linearmente dependentes
no intervalo I: —x < t < x.
Forme a combinacao linear
141(1) + k 2.12 (t) + k 3f3 (t) = k, + k 2 t + k3t2
e a iguale a zero para obter
	
k + k,t + k 3 1 2 = 0.	 (9)
Se a Eq. (9) for valida para todo t em I, entao ela certamente sera valida em tres pontos distintos em I. Quais-
quer tres pontos servirao para nosso propOsito, mas e conveniente escolher t = 0, t = 1 e t = —I. Calculando a Eq.
(9) em cada um desses pontos, obtemos o sistema de equagOes
k,	 = 0,
	
k i + k2 + k3 = 0,	 (10)
k, — k, + k3 = 0.
Da primeira das Eqs. (10) observamos que k, = 0; dais outras duas equagOes segue que k, = k, = 0 tambem.
Entao nao existe conjunto do constantes k,,	 k,, nem todas nulas, para as quaffs a Eq. (9) seja valida em tres
pontos cscolhidos, muito menos em todo I. Logo as funcOes dadas nao sao linearmente dependentes CM I c,
portanto, tern que ser linearmente independentes. De fato. elas sao linearmente independentes em qualquer
intervalo. Isso pode ser estabelecido como acabamos de fazer, possivelmente usando urn conjunto difcrcnte de
tres pontos.
Determine se as funcOes f,(t) = 1, f2(t) = 2 + t, f,(t) = 3 — t = e f,(t) = 4t + t= sao linearmente independentes ou
linearmente dependentes em qualquer intcrvalo /.
Forme a combinacao linear
k, ji(t) + k 2f2 (1) + k 3f3 (t) + k4f4 (t) = k, + k 2 (2 + t) + k3 (3 t2 ) + k 4 (41t + (2)
= (k, + 2k 2 + 3k 3 ) + (k, + 41( 4 )t + ( — k 3 + k4)t2.
Essa expressao e nula em todo um intervalo desde que
k, + 2k, + 3k 3 = 0, k2 + 4k 4 = 0, —k 3 + k4 = 0.
Essas ties
equagOes corn quatro incOgnitas tem muitas solucees. Por exemplo, se k 4 = 1, entao k 3 = 1, k 2 = —4 e
k, = 5. Logo, as funcbes dadas sao linearmente dependentes em qualquer intervalo.
0 conceito de independencia linear fornece uma caracterizacao alternativa do conjunto fundamental
de solucOes da equacao homogOnea (4). Suponha que as funcOes y i ,	 y, sao solucOes da Eq. (4) em urn
intervalo I e considere a equacao
k iY (t) + • • • + k„y„(t) = 0.	 (12)
Diferenciando repetidamente a Eq. (12), obtemos as n — 1 equacaes
k l y'l (t) + • • • + k„y;,(t) = 0.
(13)
k lyr i) (t) + • • • + knyLn-1) (t) = 0.
0 sistema consistindo nas Eqs. (12) e (13) é urn sistema de n equagOes algebricas lineares para as n incOg-
nitas k l , ..., kn . 0 determinante dos coeficientes desse sistema é o wronskiano W(y,....,y„)(t) de y i ,	 y„.
Isso nos leva ao teorema a seguir.
 
174 CAPITULO QUATRO 
Teorema 4.1.3 Se y,(t), 	y,,(t) formam urn conjunto fundamental de soluceoes da Eq. (4)
L[y] = y ( " ) + p i (t)y° -1) +	 + p„-t(t )y/ + p„(t)y = 0
em urn intervalo I, entao y l (t),	 y„(t) sao linearmente independentes em I. Reciprocamente, se y,(t),
y„(t) sac) soluceies da Eq. (4) lincarmente independentes em I, entao elas formam um conjunto fun-
damental de soluceles em I. 
Para demonstrar esse teorema. suponha primeiro quc y i (t),	 y„(t) seja urn conjunto fundamental de
solucties da Eq. (4) em I. Entao o wronskiano 11/(y,, ...,y„)(t) r 0 para todo t cm I. Logo y i (t),	 y„(t) nä°
podem ser lincarmente dependentes cm I e, portanto, tern quc ser linearmente independentes ali. 	 •
Para demonstrar a recfproca. scjam y,(t), 	y„(t) linearmente independentes em I. Para mostrar que
elas formam urn conjunto fundamental de solucOes, precisamos mostrar que seu wronskiano nunca se
anula em I. Suponha que isso nao seja verdade; entao existe pelo menos urn ponto to onde o wronskiano
e nulo. Nesse ponto o sistema (12), (13) tem uma solucao nao nula; vamos denotzi-la por k;,..., k,',. Forme
a combinacao linear
IcLvi (t) + • • • + k;;y„(t)•	 (14)
Entao	 satisfaz o problema de valor inicial
L [ v ]	 0.	 y(to) = 0, y' (to) = 0.	 , y(n-I) (to) = 0.	 (15)
A funciio satisfaz a equacilo diferencial porque 6 ulna combinacao linear de solucties; ela satisfaz as
condicepes iniciais porque estas sac) simplesmente as equagOes no sistema (12), (13) calculadas em to. No
entanto, a funcao y(t) = 0 para todo t cm I tambem satisfaz este problema de valor inicial e, pclo Teorema
4.1.1, a solucao 6 Unica. Logo OW = 0 para todo t em I. Em consequencia. y,(t), ...,y„(t) sao linearmente
independentes em I, uma contradicao. Entao a hipOtese de que existe urn ponto onde o wronskiano sc
anula nao a sustenttivel. Portanto, o wronskiano nunca se anula em I, como querfamos demonstrar.
Note que para um conjunto de funciies f,,	 f„ que nao sac) solucaes da Eq. (4), a recfproca no Teore-
ma 4.1.3 nao é necessariamcntc vercladeira. Elas podem ser linearmente independentes cm I mcsmo que
seu wronskiano sc anule em ikum ponto, ou ate em todos os pontos, mas corn conjuntos diferentes de
constitutes k,,	 k„ em pontos diferentes. Veja o Problema 25 para urn exempt°.
A Equaccio Ndo Homogkeo. Considere, agora, a equacao nao homogenca (2)
L[ .v] = y” + p i (t)y°1-1) + • • + p„(t)y = g(t).
Sc Y, e Y, sao duas solucOes quaisquer da Eq. (2), segue imediatamcnte da linearidade do operador L
que 
L[Y1 - Yll(t) = L[Y1 1(1) - LEY2 1(t) = g(t) - g(t) = 0.
Portanto, a diferenca entre duas solucOes quaisquer da equacao nao homogenea (2) 6 uma solucao da
equacao homogenea (4). Como qualquer solucao da equacao homogenea pode ser expressa como uma
combinacao linear de urn conjunto fundamental de softy-3es y,,	 y„, segue quc qualqucr solucao da
Eq. (2) pode ser escrita nit forma
y = ciy i (I) + czy2( t ) + • • • + cnyn(t) + Y( t ),	 (16)
onde Ye alguma solucao particular da equacao nä° homogenea (2). A combinacao linear (16) 6 chamada
de solucao geral da equacao nao homogenea (2).
Assim, o problem basic() é determinar um conjunto fundamental de solucOes y,, y2 ,	 y„ da equacao
homogenea (4). Se os coeficientes forem constantes, esse 6 urn problema relativamente simples. Se os
coeficientes nao forem constantes, e nccessario,em geral, usar metodos numericos como os do Capftulo 8
ou metodos de expansao em serie semclhantes aos do Capftulo 5. Esses Illtimos tendem a ficar cada vez
mais complicados quando a ordem da equacao aumenta.
0 metodo de reducao de ordem (Seca° 3.4) tambem se aplica a equitcOes lineares de ordem n. Se
y, 6 uma solucao da Eq. (4), entao a substituicao y = v(t)y,(t) levy a uma equacao diferencial linear de
ordem n - 1 para v' (veja o Problema 26 para o caso n = 3). No entanto, se n > 3, a equacao reduzida 6,
pelo menos, de segunda ordem. e apenas cm casos raros vai ser significativamcnte mais simples do que a
equacao original. Dessa forma, na przitica a reducao de ordem e raramente 661 para equacOes de ordem
maior do que dois. 
EQUAC&S LINEARES DE ORDEM MATS ALTA 175
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6 determine os intervalos nos quais existem, corn certeza,solucOes. 
1. y(4) + 4y"' + 3y = 1
3. 1 ( 1 - 1)y(4) + et)," + 4t2y = 0
5. (x - 1)y(4) + (x + 1)y" + (tan x)y = 0
2. ty"' + (sen t)y" + 3y = cos t
4. y" + ty" + t 2y' + t3y = In t
6. (x2 - 4)y(6>
 + y"' + 9y + 0 
Em cada um dos Problemas de 7 a 10 determine se o conjunto de fungi:5es dado c linearmente dependente ou
linearmente independente. Se for linearmente dependente, encontre uma relacab linear entre os elementos do
conjunto.
fi (t) = 2t 3, f2 (t) = 1 2 +1, f3( t ) = 2r 2 -
fl
 (t) = 2t - 3, h(t) = 21 2 + 1, f3( i ) = 3 2 t + t
fl(t) = 2t - 3, f2 (1)= r2 +1, f3(() = 22 - t, ft(t) = 12 r +1
fl (t) = 2t - 3, f2(1) = r3 + 1. f3 (t) = 2t 2 - r, f4(1) = r2 + r +
Em cada urn dos Problemas de 11 a 16 verifique que as funcOes dadas sâo soluceles da equacäo diferencial e
determine seu wronskiano.
y"' + y' = 0:	 1, cos t, sen t
y"' + y" = 0;	 1. t, cos t,	 sen t
y" + 2y" - y' - 2y = 0:	 et:	 _-1	 -2re	 e
yo' + 2y" . + y" = 0:	 1,	 t	 to-1
xy"' - y" = 0;	 1. x, .v3
x3y"' + x2y" - 2xy' + 2y = 0;	 x. x2 , 1/x
Most re que W(5, se& t, cos 2t) = 0 para todo t. Voce pode obter esse resultado sem calcular diretamente o
wronskiano?
Verifique que o operador diferencial definido por
LI). 1 = y01) ± (0?	 p y
é um operador diferencial linear. Ou seja, mostre que
Lic l y, + c2Y2I = c i LIYI I + c2LlY2I,
onde y, e y, sao funcOes n vexes diferenciaveis e c,, c, silo constantes arbitrarias. Portanto. mostre que se y,,y2,
y„ säo soluccies de L[y] = 0. entao a combinacao linear c,y, +	 + cj„ tambem c solucão dc L[y] = 0.
Seja L o operador diferencial linear definido por
= any"+ a l 	 + • • + a„y,
onde a,,, a,, ..., a „ sac) constantes reais.
(a) Encontre L[r].
(h) Encontre L[e].
(c) Determine quatro solucbes da equacäo yo) - 5y" + 4y = 0. Voce acha que essas quatro solucães formam
um conjunto fundamental de solucties? Por que?
Neste problema, mostramos como generalizar o Teorema 3.2.6 (teorema de Abel) para equagOes de ordem
maior. Vamos, primeiro, esbocar o procedimento para a equacao de terceira ordem
+ P MY" +p2(t)y' + p 3 (t)y = 0.
Sejam y„ y, y, solucties dessa equaciio em um intervalo I.
Se W W(y,, y,, y,),mostre que
yt	 Y2	 Y3
Yi	 Y2	 Y3
Sugestiio: A derivada de urn determinante 3 x 3 e a soma de tres determinantes 3 x 3 obtidos derivando-se
a primeira, a segunda e a terceira linha, respectivamente.
Substitua yr,	 e yr a partir da equacão diferencial; multiplique a primeira linha por p3, a segunda
por p2 e some a ultima linha para obter
= -pr(t)W.
W' =
176 CAIITULO QUATRO
Mostre que
W(Y1,Y2,Y3)(t) = c exp [- f pi (Odd .
Logo, W ou é sempre igual a zero ou nunca é nulo em I.
Generalize esse argumento para a equacão de ordcm n
y(n) + p l (t)y(n-1 ) + • • • + p„ (t)y = 0
corn solucries
y,,	 y,. Ou seja, estabeleca a formula de Abel
W (Yr, • • .,y,,)(t) = cexp [- f p i ( t) dt]
para esse caso.
Para cada urn dos Problemas de 21 a 24 use a fOrmula de Abel (Problema 20) para encontrar o wronskiano de
um conjunto fundamental de solucOes para a equacao diferencial dada.
21. y"' + 2y" - y' - 3y = 0	 22. y (4) + y = 0
23. ty"' + 2y" - y' + ty = 0	 24. t2y(4) + ty"' + y" - 4y = 0
25. (a) Mostre que as funcOesf(t) = t'Itle g(t) = t3 sdolinearmente dependentes em 0 < t < 1 e em -1 < t < 0.
Mostre que f(t) e g(t) sâo lincarmente independentes em -1 < t < 1.
Mostre que W(f, g)(t) e zero para todo t ern -1 < t < 1.
26. Mostre que se y, e uma soluy.lo de
y- + pl(t)y" + p2( t )y + p3(1)y = 0,
entäo a substituicao y = y,(t)u(t) nos leva a seguinte equacilo de segunda ordem para v':
y i v"' + (3y', + p ( y i )v" +(3Yi + 2p l y', P2Y1) v ' = 0.
Nos Problemas 27 e 28 use o mOtodo de reducäo de ordem (Problema 26) para resolver a equacao diferencial
dada.
(2 - t)y"' + (2t - 3)y" - ty' + y = 0, t < 2;	 Y, (t) = cr
(2 (1 + 3)y"' - 3t(t + 2)y" + 6(1 + t)y' - 6y = 0,	 t > 0;	 MO= t2 , y2 (t) =
4.2 Equaciies Homogeneas corn Coeficientes Constantes
Considere a equacäo diferencial linear homogenea de ordem n
L[y]	 aoy( " ) + aty(n-1) + • • • +	 + any = 0,	 (1)
onde a0. a,, ..., a „ säo constantes reais. Do que sabemos sobre equagOes lineares de segunda ordem corn
coeficientes constantes, é natural esperar que y = e" seja solucão da Eq. (1) para valores apropriados de
r. De fato,
L[ert] = e"(aorn + a i r" -1 + • • • + a„_ i r +a„) = en Z(r)	 (2)
para todo r, onde
Z(r) = aorn + a r" -1 + • • • + a„_ i r + a „.	 (3)
Para os valores de r tars que Z(r) = 0, segue que L[e] = 0 e y = e" é uma solucao da Eq. (1). 0 polinOmio
Z(r) é chamado de polinOmio caracteristico, e a equacao Z(r) = 0 é a equacao caracteristica da equacao
diferencial (1). Um polinOrnio de grau n tern n zeros,' digamos r,, r2 ,	 r„, alguns dos quais podem ser
iguais; podemos, portanto, escrever a equacilo caracteristica na forma
'Uma pergunta que foi importante em matematica durante mais de 200 anos era se toda equacao polinomial tinha pelo
menos uma raiz. A resposta afirmativa a essa pergunta, que é o teorema fundamental da algebra, foi dada por Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) em sua dissertacdo de doutorado em 1799, embora sua demonstracao nä° seja rigorosa o suficiente para
os padthes atuais. Diversas outras demonstracaes foram encontradas desde entao, incluindo tres pelo prOprio Gauss. Hoje
em dia, os alunos encontram o teorema fundamental da algebra, muitas vezes, em um primeiro curso de variaveis complexas,
onde pode ser demonstrado como consequencia de algumas propriedades basicas de functies analiticas.
EQUACOES LINE-ARES DE ORDEM MAIS ALTA 177
Z(r) = ao( r
 — ri)(r — r2) • •
	 ( r — r„).
	 (4)
Raizes Reais e Distintas. Se as raizes da equacäo caracteristica são reais e todas srlo diferentes, entäo
temos n solucOes distintas 	 er”,	 er"' da Eq. (1). Se essas funcOes forem linearmente independentes,
entâo a solucão geral da Eq. (1) é
y	 c, er ' t +	 + • • • + cne." ` .	 (5)
Urn modo de estabelecer a independencia linear de e'' ` , er",	 e`^t é calcular seu wronskiano. Outra ma-
neira esta esquematizada no Problema 40.
EXEMPLO
1
Encontre a solucäo geral de
y(4) + _	 _ y + 6y = 0.
Encontre, tambem, a solucdo que satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 1.	 y'(0) = 0,	 y"(0) = —2,	 y'"(0) = —1 
e desenhe seu grafico.
Supondo que y = e", precisamos determinar r resolvendo a equacao polinomial
r4 + r3 — 7 r2 — r + 6 = 0.
As rafzes dessa equacão säo r, = 1,r. = —1, r, = 2 e r, = —3. Portanto, a solucäo geral da Eq. (6) é
y = c l et
 + c2e' + c3 e2( + c4e-31
As condiciies iniciais (7) exigem que c,,	 c, satisfacam as quatro equaceles
CI + c2 ± C3 + Cy = 1,
Ci — C2 + 2C3 —	 3C4 = 0,
CI ± C2 + 4C3	 9C4 = —2,
c i — c 2 	— 27c4 = —1.
Resolvendo esse sistema de quatro equacijes algebricas lineares, encontramos
(10)
	
11	 5
	
CI = g ,	 C2 = = 4, Cy = —
Logo, a solucao do problema de valor inicial e
y=	 +	 — ie2r —	 3 
0 grafico da solucão esta ilustrado na Figura 4.2.1.
FIGURA 4.2.1 Solucäo do problema de valor inicial do Exemplo 1.
Como o Exemplo 1 ilustra, o procedimento para resolver uma equacäo diferencial linear de ordem
n corn coeficientes constantes depende da obtencäo das rafzes de uma equacdo polinomial de
ordem n associada. Se forem dadas condicties iniciais, torna-se necessario resolver urn sistema de n equa-
cOes algabricas lineares para se determinar os valores apropriados das constantes c,,	 Embora cada
L 	 
178 CAPfTULO QUATRO
uma dessas tarefas se tome calla vez mais complicada a medida que n cresce, elas podem ser feitas, em
geral, sem dificuldades corn uma calculadora ou urn computador.
Para polinOmios de terceiro e quarto graus existem fOrmulas,' analogas a fOrmula para a equacão de
segundo grau, s6 que mais complicadas, que fornecem expressOes exatas para as raizes. Algoritmos para
encontrar raizes estao disponfveis em calculadores cientfficas e computadores. Algumas vezes eles estao
incluldos no programa que resolve equagOes diferenciais, de modo que o processo de fatorar o polinOmio
caracteristico fica escondido e a solucäo da equacdo diferencial e produzida automaticamente.
Se voce tiver que fatorar o polinOmio caracteristico manualmente, eis urn resultado que ajuda as vezes.
Suponha que o polinOmio
(tor" +	 +... + a„_ i r + a,, = 0	 (12)
tem coeficientes inteiros. Sc r = plq é uma raiz racional. onde p e q nao tern fatores comuns, entao p tem
que ser um fator de a„ e q tern que ser um fator de a„. Por exemplo. na Eq. (8). os fatores de a„ sac) ±1 e
os de a„ sao ±1, ±2, ±3 e ±6. Dessa forma, as Onicas raizes racionais possiveis para essa equacao sac) ±1,
±2, ±3 e ±6. Testando essas raizes possfveis, encontramos que 1, -1, 2 e -3 são raizes de fato. Nesse caso
nao existem outras raizes, ja que o polinOmio tern grau quatro. Se algumas raizes forem irracionais ou
complexes, como é o caso em geral, ent5o esse processo nao vai encontralas, mas pelo menos o grau do
polinOmio pode ser reduzido dividindo-o pclos fatores correspondentes as raizes racionais.
Se as raizes da equacao caracteristica forem reais e distintas, vimos que a solucao geral (5) e, sim-
plesmentc, uma soma de funcOcs exponcnciais. Para valores grandes de t a solucao sera dominada pela
parcela correspondcnte a raiz algebricamente major. Se essa raiz for positiva, as solucOes se tornarao
exponencialmentc ilimitadas, enquanto se a raiz for negativa as solucOes tenderao exponencialmente a
zero. Finalmente, se a major raiz for nula, as solucOes tendert-1"o a uma constante nä° nula quando t se tor-
nar muito grande. E claro que para determinadas condicOcs iniciais os coeficientes da parcela que seria a
dominante podem ser nulos; nesse caso a natureza (la solucao para valores grandes de t sera determinada
pela major raiz presentc na solucAo.
Raizes Complexas. Se a equacao caracteristica liver rains complexes, elas tem que aparecer em pares
conjugados,?, f i1t. ja que os coeficientes au ,	 a„ sao reais. Desde quc nenhuma raiz se repita, a solucao
geral da Eq. (1) ainda e da forma (4). No entan to, da mesma forma que para equagOes de segunda ordem
(Secao 3.3), podemos substituir as solucOes complexas 	 e	 pela solucOes reais
eA cos pi,	 e sen tit	 (13)
obtidas com p as partes real e imaginfiria de	 Dessa forma. mesmo que algumas das raizes da equa-
gão caracteristica sejam complexas, ainda é possfvel expressar a soluc5o geral da Eq. (1) como combina-
cAo linear de solucOes reais.
EXEMPLO Encontre a solucao geral de
2
	
	
y(41 - v, 	 0.	 (14)
Encontre, tambern, a solucão que satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 7/2,	 y'(0) = -4,	 y"(0) = 5/2,	 y- (0) = — 2	 (15)
e desenhe seu grafico.
Substituindo y por e", vemos que a equacao caracteristica
é
r4 _ 1 = (r2 _ 1)(r	 1)	 0.
Logo, as raizes sac) r = 1,r = - 1,r=ier= -i,e a solucAo geral da Eq. (14)
y = c l e' + c2 e-` + c3 cos t + c4 sen t
'0 metodo para resolver equaceies de terceiro grau foi descoberto, aparentemente, por Scipione dal Ferro (1465-1526) em
torno de 1500, embora tenha sido publicado primeiro cm 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) cm sua obra Ars Magna.
Este livro content. tambem, urn metodo para resolver equagOes de quarta ordem, cuja autoria é atribuida, por Cardano, a seu
aluno Ludovico Ferrari (1522-1565). 0 problema de existencia de formulas anilogas para as raizes de equagOes de ordem
mais alta permaneceu em aberto por mais de dois seculos, ate 1826,quando Niels Abel mostrou que nao podem existir formu-
las para a soluciio geral de equagOes polinomiais de grau cinco ou major. Uma teoria mais geral foi desenvolvida por Evariste
Galois (1811-1832) em 1831, mas, infelizmente, nao se tornou amplamente conhecida por muitas decadas.
•
EQUACOES LINEAFLES DE ORDEM MATS ALTA 179
Se impusermos as condicaes iniciais (15), encontraremos
c, = 0,	 c2 = 3,	 c3 = 1/2,	 C4 = -1;
assim, a solucilo do problema de valor initial dado é
y =	 + 1 cost - sent.	 (16)
O grafico desta solucäo esta ilustrado na Figura 4.2.2.
Observe que as condicOes iniciais (15) fazem corn que o coeficiente c, da parcela exponencial crescente
na solucäo geral seja zero. Essa parcela, portanto, esta ausente na solucäo (16), que descreve urn decaimento
exponencial para uma oscilacäo estacionaria, como mostra a Figura 4.2.2. No entanto, se as condicOes iniciais
forem ligeiramente alteradas ent5o c, não sera, provavelmente, nulo, e a natureza da solucäo vai mudar tremen-
damente. Por exemplo, se as tres primeiras condicOes iniciais permanecem iguais, mas o valor de y"'(0) muda de
-2 para -15/8, ent5o a solucao do problema de valor Uncial se torna
v =	 +	 + ;cost - ib sent.	 (17)
Os coeficientes na Eq. (17) diferem pouco dos da Eq. (16). mas a parcela que cresce exponencialmente, mesmo
corn o coeficiente relativamente pequeno 1/32, domina por completo a solucão quando t se torna maior do que,
ou em torno de, 4 ou 5. Isso pode ser visto claramente na Figura 4.2.3, que mostra o grafico das duas solucOes
(16) e (17).
FIGURA 4.2.2 Um grafico da solucao
(16).
FIGURA 4.2.3 Graficos das soluciies (16)
(curva mais fina) e (17) (curva mais grossa).
Raizes Repetidas. Se as rafzes da equacito caracteristica näo forem distintas — ou seja, se algumas das
raizes forem repetidas — ent5o a soluc5o (5) n5o é, obv riamente, a solucao geral da Eq. (1). Lembre-se de
que se r, for uma raiz repetida para a equacao linear de segunda ordem auy" + a,y' + troy = 0, ent5o as duas
solucaes I nearmen te independentes silo e'" e te'''. Para uma equacao de ordem n, se uma raiz de Z(r) = 0,
digamos r = r 1 , tem in tilt iplicidade s (onde s < n), ent5o
	
er i t ,	 ter i t ,	 tzetir,
	
t`- ent	 (18)
sfio as solucOes correspondentes da Eq. (1); veja o Problema 41 para ulna demonstracdo desta afirmacdo.
Se uma raiz complexa + ip aparece repetida s vezes, a raiz complexa conjugada X - ip tambdm
aparece s vezes. Correspondendo a essas 2s solucOes complexas, podemos encontrar 2s solucOes reais
observando que as partes real c ima g_inaria de ei"'",teR'i")1, ...,t`-'e()."'"tamb6m s5o solucOes linearmente
independentes:
	
e't cos l it,	 e'ti senp t,	 te" cos p1, text se n it
	
.. . ,	 e" cos pt, is-l eAt sen t
Portanto, a solucäo geral da Eq. ( 1 ) sempre pode ser expressa como uma combinacäo linear de n solucOes
reais. Considere o exemplo a seguir.
EXEMPLO
	 Encont re a solucao geral de
3	 y(4) + 2y" + y = O.	 (19)
A equacao caracteristica
r4 + 2r 2+ 	 1 = (r2 + 1 )(r2 + 1) = 0.
180 CAPITULO QUATRO
EXEM PLO
As raizes säo r = i,i,-i,-i,e a solucAo geral da Eq. (19) 6
y= c, cos t c2 sent+ c3t cost+c4t sent.
Na determinacAo das raizes de uma equacäo caracteristica pode ser necessario calcular raizes ctibicas,
ou quartas, ou ate mesmo raizes de ordem maior de urn mimero (que pode ser complexo). Em geral, a ma-
neira mais conveniente de fazer isso a usando a fOrmula de Euler e" = cos t + i sen t e as regras algebricas
dadas na Secäo 3.3. Isso esta ilustrado no exemplo a seguir.
Encontre a solucäo geral de
4
A equacdo caracterfstica é
y(4) + y = 0.
	
r4 	= 0.
Para resolver a equacao precisamos encontrar as raizes quartas de -I. Mas, considerado como urn ntImero
complexo,-1 é -1 + Oi.Tem modulo 1 e Angulo polar 7r. EntAo,
-1 = cos 7r + i sen = ea" .
Alem disso, o Angulo esta determinado a menos de urn nniltiplo de 27r. Assim,
-1 = cos(7r + 2m7r) + i sen (n. + 2nur) =
onde m é zero ou qualquer inteiro positivo ou negativo. Logo,
\1) 1 /4 = eilnpli-m7/2)	 7r	 nut
	
= cos (—	 —) sen( Tr
	)+
	
4	 2	 4	 2
As raizes quartas de -1 sAo obtidas fazcndo-se m = 0, 1, 2 e 3; elas sâo
1 + i	 - 1 + i	 -1 - i	 1 - i
'	 4 	 '	 f •
E fAcil verificar que para qualquer outro valor de in obtemos uma dessas quatro raizes. For exemplo, correspon-
dendo a in 4, obtemos (1 + 0/4. A solucao geral da Eq. (20) é
t
../2 t
y =	 (c1 cos —t,„. + sen— + e-114 (c3 cos	 + c4sen--t--,.,1
si 2	 N/2
Para concluir, observamos que o problema de encontrar todas as raizes de uma equacAo polinomial
pode nä° ser inteiramente filed, mesmo corn a ajuda de urn computador. Por exemplo, pode ser dificil de-
terminar se duas raizes sdo iguais ou se est -At), simplesmente, muito prOximas. Lembre-se de que a forma
da solucAo geral e diferente nesses dois casos.
Se as constantes ao,a,,	 a„ na Eq. (1) forem mimeros complexos, a solucdo da Eq. (1) ainda é da for-
ma (4). Nesse caso, no entanto, as raizes da equacäo caracteristica sdo em geral complexas e nä° 6 mais
verdade que o complexo conjugado de uma raiz é tambern raiz. As solucOes correspondences tomarn
valores complexos.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6 expresse o mimero complexo dado na forma R(cos 9 + i sen 9) = Rem. 
1. 1 + i
3. -3
5. f —
2. -1 +
4. - i
6. -1 - i
Em cada um dos Problemas de 7 a 10 siga o procedimento ilustrado no Exemplo 4 para determinar as raizes
indicadas do nirmero complexo dado.
	
7. 1 0	8. (1 - 01)2
	9. 11/4
	
10. [2(cos7r/3 + isen 7r/3)] 1/2
EQUACOES LINEARES DE ORDEN MAIS ALTA 181
Em cada um dos Problemas de 11 a 28 encontre a solucao geral da equacäo diferencial dada.
11. y"' — y" — y' + y = 0 12. y"' — 3y" + 3y' — y = 0
13. 2y"' — 4y" — 2y' + 4y = 0 14. y(4) - 4y"' + 4y" = 0
15. y(6) + y = 0 16. y(4) — 5y" + 4y = 0
17. /6) _ 3),(4)	 3/' — y = 0 18. y(6) — y" = 0
19. y(5) — 3/4) + 3y"' — 3y" + 2y' = 0 20. y(4) - 8y' = 0
21. y(8) + 8/4) + 16y = 0 22. y(4) + 2y" + y = 0
23. yy" — 5y" + + y = 0	 24. y"' + 5y" + 6y' + 2y = 0
02, 25. 18y"' + 21y" + 14y' + 4y = 0
4P, 27. 12y4)+ 31y"'+ 75y"+ 37y'+ 5y =
Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solucäo do problema de valor inicial dado e faca seu grafico.
Como a solucdo se comporta quando t cc?
02, 29. y'" + y 0;	 y(0) = 0, /(0) = 1,	 y"(0) = 2
0.2,30. y(4) + y = 0;	 y(0) = 0, y'(0) = 0,	 y"(0) = —1, y"'(0) = 0
02, 31. y(4) — 4y"' + 4y" = 0;	 y(1) = —1, y'(1) = 2, y"(1) = 0, y"'(1) = 0
02, 32. y"' — y" + y — y = 0;	 y(0) = 2,	 y'(0) = —1, y"(0) = —2
412, 33. 2/4) — y" — 9y" + 4/ + 4y = 0;	 y(0) = —2,	 y'(0) = 0, y"(0) = —2, y"(o) = 0
•;)0, 34. 4/" + y' + 5y = 0;	 y(0) = 2, y'(0) = 1, y"(0) = —1
02, 35. 6y"' + 5/' + y' = 0;	 y(0) = —2, y'(0) = 2,	 y"(0) = 0
02, 36. / 4) + 6y" + 17y" + 22y' + 14y =	 y.(0) = 1, y'(0) = —2, y"(0) = 0, y"'(0) = 3
Mostre que a solucao geral de / 4 )— y = 0 pode ser escrita como
y=c 1 COS! 4- C2 sen t + c3 cosh t + c4 senh t.
Determine a soluczio que satisfaca as condicties iniciais y(0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = 1, y-(0) = 1. Por que
conveniente usar as soluciies cosh t e senh t, em vez de e' e e-s?
Considere a equacTto / 4 ' — y = 0.
Use a formula de Abel [Problema 20(d)
da Segfio 4.1] para encontrar o wronskiano de um conjunto
fundamental de solucaes da equacilo dada.
Determine o wronskiano das solucOes 	 cos t e sen 1.
(c) Determine o wronskiano das solucOes cosh t, senh t, cos t e sen t.
39. Considere o sistema mola-massa ilustrado na Figura 4.2.4, consistindo em duas massas unitarias suspensas
de molas corn constantes 3 e 2, respectivamente. Suponha que nao haja amortecimento no sistema.
(a) Mostre que os deslocamentos u, e u, das massas a partir de suas respectivas posicOes de equilibrio
satisfazem as equacOes
u" + 50 1
 = 202,	 + 20 2 = 2u1.	 (i)
1,), 26. y(4 ) — 7y"' + 6y" + 30y' — 36y = 0
0 442, 28. y(4) + 6/" + 17y" + 22y' + 14y = 0
UT FIGURA 4.2.4 Urn sistema corn duasmolas e duas massas.
(b) Resolva a primeira das Eqs. (i) para u, e substitua o resultado na segunda equacdo, obtendo, assim, a
seguinte equacdo de quarta ordem para
144) + 7u' + 6u 1 = 0.	 (ii)
182 CAPITULO QUATRO
Encontre a solucao geral da Eq. (ii).
Suponha que as condicOes iniciais sejam
	
u l
 (0) = 1,	 u1(0) = 0,	 112(0) = 2,	 u'2(0) = 0.	 (iii)
Use a primeira das Eqs. (i) e as conclicOes iniciais (iii) para obter os valores de i1l'(0) e de it,'(0). Depois
mostre que a solucdo da Eq. (ii) que satisfaz as quatro condicOes iniciais em u, é 11 1 (t) = cos t. Mostre que
a solucao correspondente u 2 a u 2(t) = 2 cos t.
Suponha, agora, que as condicries iniciais sejam
	
it ) (0) = -2,	 it, (0) = 0,	 112(0) = 1,	 t4(0) = 0.	 (iv)
Proceda como no item (c) para mostrar que as solucties correspondentes sac) 11,(t) = -2 cos ../6 t e u2(t) = cos ,./T)t.
(e) Observe que as solucOes obtidas nos itens (c) e (d) descrevem dois modos de vibracao distintos. No
primeiro, a frequéncia do movimento 6 1 e as duas massas movem-se cm fase, ambas se movendo para
cima ou para baixo. juntas; a segunda massa se move duas vezes mais rdpido do que a primeira. 0 se-
gundo movimento tern frequ'encia f e as massas se movem fora de fase, uma em relacäo a outra, uma
movendo-se para baixo enquanto a outra se move para cima e vice-versa. Nesse modo, a primeira massa
se move duas vezes mais rapid° do que a segunda. Para outras condicaes iniciais que näo säo proporcio-
nais A Eq. (iii) nem a (iv), o movimento das massas e urna combinacao desses dois modos de vibrac5o.
40. Esquematizamos, neste problema, urn modo de mostrar que, se r,,	 r„ sao reais e distintos, então e'
e" são linearmente independentes em -x < r < r. Para fazer isso, vamos considerar a relacão linear
c i er '' + • • • +	 = 0,	 -oc <t < oo
	 (i)
e mostrar que todas as constantes sdo nulas.
Multiplique a Eq. (i) pore'' e derive em relac5o a t obtendo, assim.
	
c2 (r2 -	 + • • • + c„(r„ -	 = 0.
Multiplique o resultado do item (a) por 	 e derive em relac5o a t para obter
c3(r3 - r2 )(r3 - r 1 (e(r3-" + • • • + c„(r„ - r,)(r„ - rl)e(r"-':" = 0.
Continue o procedimento iniciado nos liens (a) e (b) obtendo, finalmente.
c„(r„ - rn- 1) • • • ( rn - ri)e(r"-r--0 = 0.
Logo, c„ = 0 c, portanto.
c i en ' t + •	 + c„_ I er"-'' = 0.
Repita o argumento precedente para mostrar que c„., = 0. De maneira andloga, segue que 	 =	 =
c, = 0. Portanto, as fungi:5es	 e"' sac) linearmente independentes.
41. Neste problem indicamos urn modo de mostrar que se r = r, é uma raiz de multiplicidade s do polinOmio
caracterfstico Z(r), entao	 sit° solucOes da Eq. (1). Este problema estende para equagOes de
ordem n o metodo para equaceies de segunda ordem dado no Problema 22 da Secäo 3.4. Comecamos da
Eq. (2) no texto
L[e"I = er: Z(r) (r)
e diferenciamos repetidas vezes em relacao a r, fazendo r = r, depois de cada diferenciac5o.
Note que se r, e uma raiz de multiplicidade s ent5o Z(r) = (r - r,)'q(r), onde q(r) 6 urn polinOrnio de
grau n - s e q(r,) * 0. Mostre que Z(r,), Z' (r,),	 Z('-')(r,) s5o todos nulos, mas Z'(r,) * 0.
Diferenciando a Eq. (i) diversas vezes em relacäo a r, mostre que
—
r
Lie"' = 1
r
e"] = L[terl,
rs- 1 L[en	Lie -I err I.
(c) Mostre que e'", ten '	 e-1 er" sao solucOes da Eq. (1).
as- 1
EXEMPLO
1
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA 183
4.3 0 Metodo dos Coeficientes Indeterminados
Uma soluc5o particular Y da equacäo linear nao homogenea de ordem n corn coeficientes constantes
L[yl = no? ) + aly ( " -1 ) + • • • + an-tY' + anY g(t)	 (1)
pode ser obtida pelo metodo dos coeficientes indeterminados*, desde que g(t) tenha uma forma apropria-
da. Embora o metodo dos coeficientes indeterminados n5o seja tao geral quanto o metodo de variacão
dos parametros descrito na prOxima seek), e muito mais ficil de usar, em geral, quando aplicavel.
Como no caso de equacOes lineares de segunda ordem, quando o operador diferencial linear corn co-
eficientes constantes L e aplicado a um polinOmio /1„t"' + A,t"'-' +	 + A„„ a uma func5o exponential
a uma funcao seno sen 8t ou a uma func5o cosseno cos pt. o resultado e urn polinOrnio, uma func5o exPo-
nencial ou uma combinac5o linear de tune -6es seno e cosseno, respectivamente. Logo, quando g(t) é uma
soma de pohnOrnios, exponenciais, senos e cossenos ou urn produto de tais funcOes, esperamos que seja
possivel encontrar Y(t) atraves de uma escolha conveniente de combinacOes de polinOrnios, exponenciais
etc. multiplicadas por um mimero de constantes indeterminadas. As constantes sao, entao, determinadas
de modo que a Eq. (1) seja satisfeita.
A diferenca principal em utilizar este metodo para equagOes de ordem mais alta vem do fato de que as
rafzes da equacâo polinomial caracteristica podem ter multiplicidade major do que 2. Em consequencia,
pode ser necessario multiplicar as parcelas propostas para a parte näo homogenea da soluedo por poten-
cias mais altas de t de modo a obter funcOes diferentes das correspondentes a solucäo da equacrio homo-
genea associada. Os prOximos exemplos ilustram isso. Nesses exemplos omitimos muitos passos algebri-
cos diretos. pois nosso objetivo principal t: mostrar como chegar A forma correta da pretensa soluc5o.
Encontre a solucäo geral de
y'" - 3y- + 3y' - y = 4e`
	 (2)
0 polinOmio caracterfstico para a equacAo homogenea associada a Eq. (2) e
r3 - 3r2 + 3r - 1 = (r - 1)3,
de modo que a soluciio geral da equaeäo homogenea
.Yc(t) = e' + c2 te` + c3t2e`
	
(3)
Para encontrar Unlit solucao particular Y(t) da Eq. (2). comecamos supondo que Y(t) = Ae'. No entanto,como
e', te r e l'c' s5o todas solucOes da equac5o homogenea, precisamos multiplicar nossa escolha inicial por t 3 . Assim,
nossa hipOtese finale supor que Y(t) = At'e', onde A 6 um coeficiente indeterminado. Para encontrar o valor
correto de A, diferenciamos Y(t) tres vezes, usamos esses resultados para substituir y e suas derivadas na Eq.
(2) e juntamos os termos correspondentes na equaciio resultante. Dessa mancira, obtemos
6tiet =
Portanto,A=iea solucao particular 6
Y(t) = it3e`.	 (4)
A soluciio geral da Eq. (2)6 a soma de y,.(t) da Eq. (3) e Y(t) da Eq. (4), ou seja
y = c l ef + c•te`	 c3 t 2 e' + 3t3et.
Encontre uma solucao particular da equaciio
EXEMPLO
2
ytal + 2y” + y = 3 sen t - 5 cos t.
Vimos, no Exemplo 3 da So 4.2, que a solucao geral da equacäo homogenea é
Yr(t) = c i cos t + sen t + c3 t cos t + c4 t sent,
t:0 
correspondendo as rafzes r = i,i,-i,-i da equacäo caracteristica. Nossa hipOtese inicial para uma solucào parti-
cular é Y(t) = A sen t + B cos t, mas precisamos multiplicar essa escolha por t2 para torna-la diferente de todas
* Tambem conhecido como metodo dos coeficientes a determinar. (RT.)
184 CAPITULO QUATRO
as solucaes da equacao homogenea. Nossa hipOtese final 6, entao,
Y(t) = A t2 sen t + Bt2 cos t.
A seguir, diferenciamos Y(t) quatro vezes, substituimos na equacao diferencial (4) e juntamos os termos cor-
respondentes, obtendo, finalmente,
-8A sen t - 8B cos t = 3 sen t - 5 cos t.
Assim, A =	 = e a solucao particular da Eq. (4) 6
Y(t) = 42 sen t + 8 cos t.	 (7)
Se
g(t) for uma soma de diversas parcelas, 6 mais facil, muitas vezes, calcular separadamente a solucao
particular correspondente a cada parcela que comp& g(t). Como para equagOes de segunda ordem, a
solucao particular do problema completo 6 a soma das solucOes particulares dos problemas componentes.
Isso esta ilustrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO
3
Encontre uma solucao particular de
y"' -4y' = t + 3 cos t + e -2`.	 (8)
Vamos resolver primciro a equacao homoOnea. A equacao caracteristica e r3 - 4r = 0 e as rafzes sac) 0. ±2;
portanto,
Mt) = C1 + c2 e2' + c3e-
Podemos escrever uma solucao particular da Eq. (8) como uma soma das solucaes particulares das equagOes
diferenciais
y'" - 4y' = t,	 y"' - 4y' = 3cos t,	 y'''	 = e-2i.
Nossa escolha inicial para uma solucao particular Y ,(t) da primeira equacao é Ad + A 1 , mas como uma constan-
te e solucao da equacao homogénea, multiplicamos por t. Assim,
Y1(t) = t(Aot + A1).
Para a segunda equacao cscolhemos
Y2( t ) = B cost + C sen t,
e nao ha necessidade de modificar essa escolha inicial, ja que cos t e sen t nao sac) soluciies da equacao homoga-
nea. Finalmente, para a terceira equacao, como e-"6 uma solucao da equacao homogénea, supomos que
Y3(t ) = Ere-2'
As constantes sao determinadas substituindo-se as escolhas nas equagOes diferenciais individuals; elas sao A, =
- .1g, A, = 0, B = 0, C = - s e E = 8. Portanto, uma solucao particular da Eq. (8) 6
Y(t) = At2 - S sen t +	 .	 (9)
Voce deve ter em mente que a quantidade de algebra necessaria para se calcular os coeficientes pode
ser bem grande para equagOes de ordem mais alta, especialmente se o termo nao homogéneo for compli-
cado, ainda que moderadamente. Um sistema de algebra computational pode ser extremamente titil na
execucao desses calculos algthricos.
0 metodo de coeficientes indeterminados pode ser usado sempre que for possivel inferir a forma
correta de Y(t). No entanto, isso a impossivel, em geral, para equagOes diferenciais que nao tern coefi-
cientes constantes ou que contOm termos nao homogeneos diferentes dos descritos anteriormente. Para
problemas mais complicados podemos usar o mOtodo de variacao dos parametros, que sera discutido na
prOxima secao.
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA 185
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 8 determine a solucao geral da equaciio diferencial dada.
1. y"
 - y" -y'+y= 2e'+3
3. Y" +y"+y' +y=e-'+4t
5. y(4) - 4y" = +
7. y(6) ±	 = I
2. y(4) - y = 3t + cost
4. y"' - y' =2sent
6. y(4) + 2y" + y = 3 + cos 2t
8. y(4) + y" = sen 2t
Em cada urn dos Problemas de 9 a 12 encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Depois faca um
grafico da
402, 9. y"' + 4y' = t;	 y(0) = y'(0) = 0, y"(0) = 1
402, 10. y(4) + 2y" + y = 3t + 4;	 y(0) = y'(0) = 0, y"(0) = ym (0) = 1
40?, 11. y" - 3y" + 2y'	 t + e';	 y(0) = 1, y'(0) =	 y"(0) = -;
t'2 12. y (4 ) + 2y"' + y" + 8y' - 12y = 12 sent - e";	 y(0) = 3, y'(0) = 0, y"(0) = -1, y"'(0) = 2
Em cada um dos Problemas de 13 a 18 determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o metodo dos
coeficientes indeterminados. Nao calcule as constantes.
13. y"' - 2y" + y' = t 3
 +2e'
15. y(4) - 2y" + y = el + sen t
17. yo)	 = 2y	 y + y t +4+tsent
14. y"' - = te" + 2 cost
16. y(4) + 4y" = sen 2t + + 4
18. y(4 ) + 2y"' + 2y" =	 + 2te" +
	 sen t
Considere a equacdo diferencial linear nao homogenea de ordem n
aoy (" ) +	 + • • • + a„y = g(t),	 (i)
onde	 ...,a„ sac, constantes. Veritique que se g(t) ti n er a forma
e' s (bot"' + • • • + b„,),
então a substituicao y = eq. (t) reduz a Eq. (i) A forma
kol." + k i
 v (" -1) + • • • + k„ V = bot"' + • • • + b„,,
onde	 sac constantes. Determine k„ e k„ em funcAo dos a, e de a. Assim, o problema de determinar
uma solucao particular da equacrlo original é reduzido ao problema mail simples de determinar uma so-
[KO° particular de uma equagOo corn coeficientes constantes e contendo um polinamio como termo nao
homogeneo.
0 Metodo dos Aniquiladores. Nos Problemas de 20 a 22 consideramos outra maneira de chegar a uma forma
adequada para Y(t) para usar no mótodo dos coeficientes indeterminados. 0 procedimento baseia-se na obser-
vacrio de que as funcOes exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funcOes) podem
ser consideradas como solucOes de certas equagOes diferenciais lineares homogeneas corn coeficientes cons-
tantes. E conveniente usar o simbolo D para d/dt. EntAo, por exemplo, e" é uma solucão de (D + 1)y = 0: diz-se
que o operador diferencial D 1 aniquila, ou c urn aniquilador de, e-'. Analogamente, D 2 + 4 é urn aniquilador
de sen 2t ou cos 2t, (D - 3)2 = D 2 - 6D + 9 é um aniquilador de e" ou te", e assim por diante.
Mostre que os operadores diferenciais lineares corn coeficientes constantes comutam. Ou seja, mostre
que
(D - a)(D - b)f = (D - b)(D - a)f
quaisquer que sejam a funcâo duas vezes diferenciavel f e as constantes a e b. 0 resultado pode ser ime-
diatamente estendido a qualquer namero finito de fatores.
21. Considere o problema de encontrar a forma da solucao particular Y(t) de
	
(D - 2) 3 (D + 1)Y = 3e2' - to-`,	 (i)
onde a expressno a esquerda do sinal de igualdade na equacdo esta escrita de uma forma que corresponde
A fatoracdo do poliaimio caracteristico.
Mostre que D - 2 e (D + 1) 2 sao aniquiladores, respectivamente, das parcelas a direita do sinal de
igualdade na Eq. (i) e que o operador composto (D - 2)(D + 1)2 aniquila ambas as parcelas simulta-
neamente.
Aplique o operador (D - 2)(D + 1) 2 a Eq. (i) e use o resultado do Problema 20 para obter
	
(D - 2)4 (D + 1) 3 Y = 0.	 (ii)
186 CAPITULO QUATRO
Logo, Y e uma solucao da equacao homog8nea (ii). Resolvendo a Eq. (ii), mostre que
	
Y(t) = cle.21 + c2 te" + c3 t2	+ c4 t 3e" + cse' + c6 te -` + c7 t2 e - ' ,
onde c 1 ,	 constantes. ainda indeterminadas.
(c) Note que
	 te' [2e-21 e sao solucOes da equacao homogOnea associada a Eq. (i): portanto, essas ex-
pressaes nao servem para resolver a equacao nao homogaea.Escolha, entao, c,, c2 , c3 e cc como zero
na Eq. (iii), de modo que
Y(t)	 c4 t3	 + c6 te-1 + c7 1 2 e `.	 (iv)
Essa é a forma da solucao particular Y da Eq. (i). Os valores dos coeficientes c,, c, e c7 podem ser encon-
trados usando-se a Eq. (iv) na (Num* diferencial (i).
Resumo. Suponha que
L(D)y = g(t), (v)
onde L(D) 6 urn operador diferencial linear corn coeficientes constantes e g(t) e uma soma ou produto de
funcOes exponenciais. polinomiais ou scnoidais. Para encontrar a forma da solucao particular da Eq. (v), voce
pode proceder da seguinte maneira:
Encontre urn operador diferencial ](D) corn coeficientes constantes que aniquila g(t), ou seja, urn opera-
dor tal que H(D)g(t) = 0.
Aplique H(D) a Eq. (v), obtendo
H (D)L(D)y = 0,	 (vi)
que 6 uma equacao homogenea de ordem maior.
Resolva a Eq. (vi).
Elimine da solucao encontrada em (c) os termos que tambem apareccm na solucao de L(D)y = 0. Os ter-
mos restantes constituem a forma correta da solucao particular para a Eq. (v).
22. Use o metodo dos aniquiladores para encontrar a forma de uma solucao particular Y(t) para cada uma das
equagOes nos Problemas de 13 a 18. Nao calcule os coeficientes.
4.4 0 Metodo de Variasao dos Parametros
O metodo de variacao dos parametros para determinar uma solucao particular de uma equacao diferen-
cial linear nao homoOnea de ordem n
Lb') = y (n) + p i(t)y(n-1) +... + p
	
(1)y‘ + p„(1)y	 g(t)	 (1)
6 tuna extensao direta do metodo para equacaes diferenciais de segunda ordem (veja a Seca° 3.6). Como
antes, para se usar o metodo de variacao de parametros a necessario, primeiro, resolver a equacao di-
ferencial homogénea associada. Isso pode ser diffcil, em geral, a menos que os coeficientes sejam cons-
tantes. No entanto, o metodo de variacao dos parametros e mais geral do que o metodo de coeficientes
indeterminados, pois nos leva a ulna expressao para a solucao particular
para qualquer funcao continua
g, enquanto o metodo dos coeficientes indeterminados fica restrito, na pratica, a uma classe limitada de
funcoes g.
Suponha,entao,que conhecemos um conjunto fundamental de solucOesh,y,,...,y„ da equac5o homo-
génea. Entao, a solucao geral da equacao homogOnea 6
Yc(t ) = clYi (t) + czYz( t ) + • • • + cnY„(t)• 	 (2)
0 metodo de variacao dos parâmetros para determinar uma solucao particular da Eq. (1) depende da
possibilidade de se determinar n funcOes tr,, 11 2 ,	 II„ tais que Y(t) seja da forma
Y (t ) = u i (t)y (1) + 11 2 (t)y2 (1) + • • + u„(t)y„(1). 	 (3)
Como precisamos determinar n funcOes, teremos que especificar n condicOes. E claro que uma dessas
que Y satisfaca a Eq. (1). As outras n - 1 condicOes sac) escolltidas de modo a tornar os calculos os mais
simples possfvel. Como nao podemos esperar uma simplificacao na determinacao de Y se tivermos que
resolver equagOes diferenciais de ordem alta para 11,, ..., a„„, 6 natural impor condicties que suprimam as
parcelas contendo as derivadas de ordem mais alta de u,,	 u„. Da Eq. (3), obtemos
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA
	
187
=	 + /1 2.11 2' + •	 • +	 + (14'01 1 + 11 2' Y2 + • • +	 (4)
onde omitimos a variavel independente t, da qual dependem todas as funcOes na Eq. (4). Entao, a primei-
ra condicao que impomos e que
ttlYl + 14y2 + • • • + yi, = 0.	 (5)
Continuando esse processo de maneira semelhante ate a derivada n - 1 de Y, obtemos
Y(m) = Ul Yr )	 Ii2Y(2m)	 linY n(m)
	
m = 0, 1, 2, ... ,n - 1,	 (6)
e as n - 1 condicaes seguintes sobre as funcOes it,,	 u„:
	
di y(im-1) + u'2.),(27-1) + • • • +	 = 0,	 m = 1, 2, ... n - 1.n
	(7)
A n-esima derivada de Y 6
y(n)	 (II y (in)	 uny,(In)) + Oily (in-1) +	 u/ny,(:1-1)).
	 (8)
Finalmente, impomos a condicAo que Y tern que ser solucäo da Eq. (1). Usando as derivadas de Y
dadas pelas Eqs. (6) e (8), juntanclo termos semelhantes e usando o fato de quc L[y ;] = 0 para i = 1, 2, ...,
n, obtemos
	
11 1Y1	 +112Y2	 • • + U„Y„	 = g.
(n-1)
	 /	 (n-1)
	 (n-1)	 (9)
A Eq. (9), junto corn as n - 1 Eqs. (7), nos da n equagOes al g.,6bricas lineares näo homogeneas simultâneas
para et,, u;,
Y1 111 + Y2 1 6 + • • • + )1„ 11 ;, = 0,
y'2 u; + •	 +	 = 0,
	
+	
• • - y;;It„ = 0,	 (10)
(n-1) it i + • • + y n`" -1) 11'n = g.
0 sistema (10) 6 um sistema algébrico linear para as quantidades desconhecidas u,' ,	 u„' . Resolven-
do esse sistema e integrando as expressOes resultantes, voce pode obter os coeficientes 1.1 1 ,	 u„. Uma
condicäo suficiente para a existacia de uma soluc5o do sistema de Eqs. (10) 6 que o determinante dos
coeficientes nil() seja nulo para cada valor de t. No entanto. o determinante dos coeficientes a exatamente
14/(y,, y 2 ,	 y„), que nunca se anula, ja que y,,	 y„ formam urn conjunto fundamental de soluce5es da
equaciio homogenea. Portanto, 6 possivel determinar 11 1'.	 u,;. Usando a regra de Cramer', podemos
escrever a solucao do sistema de Eqs. (10) na forma
,g(t)Wm(t)
	
w(t)	 m = 1,2, ... , n.	 ( 1 1)
Aqui, W(t) = W(y,, y 2, ...,y„)(t) e W„, é o determinante obtido de W substituindo-se a nr-esima coluna pela
coluna (0, 0, ..., 0, 1). Corn essa notacdo, uma solucilo particular da Eq. (1) é dada por
	
Y (t) =	 y,,(() J r g(s)Wm(s) ds,W	 (12)(s)
m=i
onde t„ e arbitririo. Embora o procedimento seja bastante direto, os calculos envolvidos na determinacäo
de Y(t) pela Eq. (12) se tornam cada vez mais complicados quando n aumenta. Em alguns casos, os calcu-
los podem ser urn pouco simplificados usando-se a identidade de Abel (Problema 20 da Secäo 4.1)
	
W (t) = W (y i ,	 , y„)(t)	 c exp [- f p i (t) dd.
A constante c pode ser determinada calculando-se 14/ ern algum ponto conveniente.
30 credit° da regra de Cramer e dado a Gabriel Cramer (1704-1752). professor na Academia de Calvin em Genebra, que
publicou a regra em uma forma geral (mas sem demonstracao) em 1750. Para sistemas pequenos, o resultado já era conhecido
antes.
188 CANTULO QUATRO
EXEMPLO
1
Sabendo que y,(t) = e', y2(t) = e y3(t) = e-' sdo solucties da equacao homogenea associada a
+ y = g
determine uma solucao particular da Eq. (13) como uma integral.
Usaremos a Eq. (12). Ern primeiro lugar, temos
te`
W (t) = W (e` , ,e-1 )(1) = e` (t + 1)e' —
e` (t + 2)e'
Fatorando e' das dual primeiras colunas e e-' da terceira coluna, obtemos
1 t 1
W (t) = e` 1 t + 1 —1
1 t + 2 1
Subtraindo, entao, a primeira linha da segunda e da terceira, temos
1 t 1
W (t) = e` 0 1 —2
0 2 0
Finalmente, calculando este ultimo determinante expindindo em relacâo a primeira coluna, vemos que
W (t) = 4e`.
A seguir,
W1 (t) =
re'
0	 (t + 1)e'
1	 (t + 2)e' 
Expandindo cm relacdo a primeira coluna, obtemos
W,
De maneira andloga,
W2(t)
W3(t) =
(t)
e'
= a!
e`
a'
(t
e`
te!
(t + 1)e'
0	 e-
0
1
ter	 0
1)e'	 0
+ 2)e'	 1
=
= —2t — 1.
e`	 e-t
—
e`	 —
a'	 te'
e`	 (t + 1)e'
= 2,
= e21 .
Substituindo esses resultados na Eq. (12), temos
Y	 fp, g(s)( —1 — 2s)(t) = a`	 cis + fr.' i ' g(s)e2s dsg(s) (2) ds4e + e-' fl:	 4es4e'.1,0
= -I	 1- f le's [-1 + 2(t — s)] + e-(' -') } g(s) ds .4 4)
Em cada um dos Problemas de 1 a 6 use o mOtodo de variacào dos pardmetros para determinar a solucão geral
da equacAo diferencial dada.
1. yy" + y' = tan t ,	 0 < t <	 2. y"' — y' = t
3. y	 2y, y 4. 2y el/	 4. y"' + y' = sec t,	 —n/2 <t < 7r/2
5. y"' — y" + y' — y = ` sen t 	6. y(4) + 2y" + y = sen t
PROBLEMAS
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA 189
Em cada urn dos Problemas 7 e 8 encontre a solucao geral da equacào diferencial dada. Deixe sua resposta em
funcao de uma ou mais integrais.
y" — y" + y' — y = sec t,	 —7/2 <t < 7r/2
y" — y' = csc t,	 0 < t < 7r
Em cada um dos Problemas de 9 a 12 encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Depois fa4a urn
grafico da solucao.
9. y"'" + y' = sect;	 y(0) = 2, y'(0) = 1, y"(0) = —2
0-2, 10. y( 4 ) + 2y" + y sen t;	 y(0) = 2, Y(0) = 0, Y'(0) = — 1. y'"(0) = 1
	
?, 11. y" . — y" + y' — y = sec t;	 y.(0) = 2, y'(0) = —1, y"(0) = 1
	
dr, 12. y— — y = csc t;	 y(7/2) = 2, y'(r/2) = 1, y"(rr/2) = —1
Dado que x, x2 e 1/x sao solucães da equacâo homogaea associada a
x3y",
 + x2y" — 2ry' + 2y = 2.v 4 .	 x > 0,
determine uma solucäo particular.
Encontre uma formula envolvendo integrals para uma solucäo particular da equaciio diferencial
y ." — y" + — y = g(t).
Encontre uma formula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
y14)	 y = g (f ).
Sttgestän: as funcOes sen t, cos I. senh t e cosh t formam urn conjunto funda mental de solucties para a equa-
cao homogénea.
Encontre uma fOrmula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
— 3y" + 3y' — y = g(t).
Se g(t) r'-e', determine Y(t).
17. Encontrc uma fOrmula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
x3y"' - 3x2 " + 6xy' — 6y = g(x),
	 x > 0.
Sugestuo: verifique que .r, x' e x3 sao solucaes da equa45o homogenea.
REFER È. NCIAS Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 1961;
New York: Dover, 1989).
Ince. E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans. Green, 1927: NewYork: Dover, 1953).
	Page 1
	Page 2
	Page 3
	Page 4
	Page 5
	Page 6
	Page 7
	Page 8
	Page 9
	Page 10
	Page 11
	Page 12
	Page 13
	Page 14
	Page 15
	Page 16
	Page 17
	Page 18
	Page 19