Limites

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LIMITE
Propriedades operatórias dos limites 
Se 
 e 
 existirem e c for um número real qualquer, então:
(a) 
.
(b) 
 sendo c uma constante.
(c) 
.
(d) 
e) 
 para qualquer inteiro positivo n.
(f) 
 , se 
e n inteiro ou se 
e n inteiro positivo impar.
(g) 
 se 
.
(h) 
(i) 
 
 (j) 
.
Calcule: (Utilizando as propriedades para cálculo de limites)
1) 
	2) 
	3) 
.
Exercícios. Resolva os limites explicitando as propriedades.
1) 
 	2) 
		3) 
 
 
4) 
		5) 
 
DEFINIÇÃO DE LIMITE INFINITO
Exemplos: 
 e 
. Verifique utilizando o gráfico de 
.
Definições.
.
.
Propriedades.
	As propriedades operatórias dos limites, citadas anteriormente permanecem válidas para os limites infinitos, mas devemos tomar cuidado quando fazemos combinações desses limites.
	Veremos agora, outras propriedades válidas para os limites infinitos.
1) Se 
 e 
, então 
.
2) Se 
 e 
, então 
.
Obs. daqui para frente vamos escrever de forma simplificada.
3) +
 + k = +
 qualquer 
 4) - 
 + k = - 
 qualquer 
5) (+ 
) (+
) = + 
 6) (+
) (-
) = - 
 
7) (-
) (-
) = + 
 8) + 
 . k = 
 
9) -
 . k = 
. Observe que não colocamos 
.
Indeterminações: existem outras possibilidades que são as indeterminações (expressões indeterminadas), ou seja, não dá para calcular o limite assim como ele se apresenta e não dá para prever o resultado. Nestes casos devemos efetuar operações convenientes com as funções que aparecem no limite, sem alterá-las, para se calcular o mesmo. Estas indeterminações são: 
Exemplos.
1)
 ou simplesmente 
 porque 
 (quanto mais próximo os valores de x estão do zero, o denominador está mais próximo de zero, então as imagens 
são infinitamente grandes e, nas vizinhanças do 0, 
 é sempre positivo).
2) Vamos calcular 
. Quando x se aproxima de 3 pela direita (
), ou seja, por valores maiores que 3, temos que 3 – x é negativo e 3 – x se aproxima de zero “negativamente”, isto é, 
, assim a expressão 
, em valor absoluto tende a 
mas é sempre negativa. 
Então 
. Observação: 
, logo, não existe 
DEFINIÇÃO DE LIMITE NO INFINITO
Exemplo 1) 
 pois quando x cresce arbitrariamente, o que simbolicamente se indica 
, 
 também cresce arbitrariamente e assim a fração 
 diminui muito, ou seja, se aproxima de zero. Analogamente, 
.
EXEMPLOS Utilizando todas as propriedades citadas anteriormente, temos
1) 
 2)
 3) 
 4) 
 
 5) 
 (por quê?) 6) 
. 
 
7) 
 Neste caso temos a indeterminação 
, mas fazendo 
 e, sabendo que 
 e 
, temos 
 .
8) 
 Aqui temos uma indeterminação do tipo 
, mas, se dividirmos o numerador e o denominador da fração que aparece no limite por 
 (podemos fazer isso? Por quê?) , teremos 
 .
9) 
.
10)
 
EXERCÍCIOS Calcule os limites:
1) 
 2) 
3) 
 4) 
5) 
 6) 
7) 
 8) 
 
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�PAGE �1�
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