Para calcular os limites da função \( f(x) = \frac{x+1}{|x|-1} - \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}} \), vamos analisar cada um dos limites solicitados. (a) Limite quando \( x \rightarrow \infty \): - Para \( x \) positivo, \( |x| = x \): \[ f(x) = \frac{x+1}{x-1} - \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}}. \] - Simplificando: \[ \frac{x+1}{x-1} \rightarrow 1 \quad \text{e} \quad \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}} \rightarrow 2. \] - Portanto, \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1 - 2 = -1 \). (b) Limite quando \( x \rightarrow -\infty \): - Para \( x \) negativo, \( |x| = -x \): \[ f(x) = \frac{x+1}{-x-1} - \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}}. \] - Simplificando: \[ \frac{x+1}{-x-1} \rightarrow -1 \quad \text{e} \quad \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}} \rightarrow 2. \] - Portanto, \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -1 - 2 = -3 \). (c) Limites laterais em \( x = 0 \): - \( \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) \): \[ f(x) = \frac{x+1}{x-1} - \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}} \rightarrow \frac{1}{-1} - 0 = -1. \] - \( \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) \): \[ f(x) = \frac{x+1}{-x-1} - \frac{2x^2+1}{x\sqrt{x^2+2}} \rightarrow \frac{1}{-1} - 0 = -1. \] - Portanto, \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 \). (d) Limites laterais em \( x = 1 \): - \( \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) \): \[ f(x) = \frac{2}{0} - \text{(indeterminado)} \rightarrow +\infty. \] - \( \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) \): \[ f(x) = \frac{2}{0} - \text{(indeterminado)} \rightarrow -\infty. \] - Portanto, \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) não existe. (e) Limites laterais em \( x = -1 \): - \( \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) \): \[ f(x) = \frac{0}{-2} - \frac{1}{-1\sqrt{1}} = 0 + 1 = 1. \] - \( \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x) \): \[ f(x) = \frac{0}{-2} - \frac{1}{-1\sqrt{1}} = 0 + 1 = 1. \] - Portanto, \( \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 1 \). Resumindo: - \( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -1 \) - \( \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -3 \) - \( \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -1 \) - \( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) \) não existe - \( \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = 1 \)