Integrais Definidas

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INTEGRAIS DEFINIDAS 
CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ 
1 
 
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
Integral definida 
Seja f uma função contínua definida num intervalo [ ]b ; a . 
Se dividirmos o intervalo [ ]b ; a em n subintervalos de comprimento 
n
ab
∆x
−
= , e 
considerarmos bxxxxxa n1n210 =<<<<<= −L os extremos destes intervalos então a 
integral definida de f no intervalo [ ]b ; a é dada por 
( ) ( )∆xxflimdxxfb
a
n
1i
*
i
n∫ ∑
=
+∞→
=
 
onde [ ]10*1 x;xx ∈ , [ ]21*2 x;xx ∈ , ... , [ ]n1-n*n x;xx ∈ 
 
Exemplo: Considere ( ) 1xxf 2 −= 
2n = 4n = 
 
 
8n = 40n = 
 
 
 
 
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Interpretação geométrica da integral definida 
Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a com ( ) [ ]b;ax0,xf ∈∀≥ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral definida da função f no intervalo [ ]b ; a representa geometricamente a área 
compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b. 
 
Teorema fundamental do cálculo 
Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a e F uma antiderivada da f em [ ]b ; a . 
Chamaremos de integral definida de f em [ ]b ; a ao número real obtido da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )∫ −=
b
a
aFbFdxxf 
Exemplo: 
( ) ( ) ?1F2Fdx3x
2
1
4
=−=∫ 
 
Sendo ( ) ∫ ∫ +=== C5
3xdxx3dx3xxF
5
44
 
 
 
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )
5
93
5
1.3
5
2.3
5
3x1F2Fdx3x
552
1
52
1
4
=





−





=





=−=∫ 
 
Cálculo via Maple 
> int(3*x^4,x=1..2); 
93
5 
 
a b 
A 
 
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3 
 
 
Propriedades da integral definida 
 
①①①① 
0f(x)dx
a
a
=∫ 
②②②② ∫ ∫ ∫ <<+=
b
a
c
a
b
c
bca sendo ,f(x)dx f(x)dxf(x)dx
 
③③③③ ∫ ∫−=
b
a
a
b
f(x)dxf(x)dx
 
④④④④ Se ∫∫ ≥∈∀≥
b
a
b
a
g(x)dxf(x)dxentãob][a;xg(x),f(x)
 
 
✔✔✔✔ Aplicações 
① Um estudo indica que, daqui a x meses, a população de determinada cidade crescerá a uma 
taxa de x62 + pessoas por mês. Qual será o aumento da população da cidade nos próximos 
quatro meses ? 
Resposta: 40 pessoas 
 
② Em certa fábrica, quando o nível de produção mantém-se em q unidades diárias, o custo 
marginal é $ ( )24q3 − / unidade produzida. Qual será o aumento verificado no custo total de 
fabricação se a média de produção crescer, passando de 6 para 10 unidades ? 
Resposta: $ 208,00 
 
③ Em certa comunidade, a demanda de gasolina cresce exponencialmente a uma taxa de 5% ao 
ano. Sendo a demanda atual de 4 milhões de litros por ano, que quantidade da gasolina será 
consumida na comunidade durante o período de 3 anos ? 
Resposta: 12,95 milhões de litros 
 
Valor médio de uma função 
Em muitas situações práticas é interessante conhecermos o valor médio de uma função contínua 
num intervalo. Exemplos: o nível médio de poluição do ar em determinado período, a velocidade 
média de um caminhão durante uma viagem, a produtividade média de um operário no trabalho, 
etc. 
O valor médio de uma função contínua ( )xf num intervalo bxa ≤≤ é dado por 
( )∫
−
=
b
a
dxxf
ab
1
médioValor 
 
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Exemplos: 
❶ Os registros indicam que, t horas após a meia-noite, a temperatura de certo local é de 
( ) 104t0,3ttf 2 ++−= graus Celsius. Qual era a temperatura média no local entre 9h da manhã e 
meio-dia ? 
Resposta: C18,7médiaaTemperatur o= 
 
❷ Um copo de limonada a uma temperatura de 40º F é deixado em uma sala cuja temperatura 
constante é de 70º F. Usando a lei do resfriamento de Newton pode-se mostrar que se a 
temperatura da limonada atingir os 52º F em uma hora, então sua temperatura T como função do 
tempo decorrido pode ser modelada por 
( ) t0,530e70tT −−= , 
onde a temperatura T é medida em graus Fahrenheit e o tempo t em horas. 
Encontre a temperatura média Tm da limonada ao longo das primeiras 5 horas. 
Resposta: Temperatura média F59o≈ 
 
Cálculo de área 
 
Exemplos 
Cálculo de áreas em destaque através da integral definida, sendo: 
❶ ( ) xxf = 
 
Resposta: u.a. 8A = 
 
 
❷ ( ) 4xxf 2 +−= 
 
 
Resposta: .u.a
3
32A = 
 
 
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❸ ( ) 4xxf 2 −= 
 
Resposta: .u.a
3
32A = 
 
 
❹ ( ) 2
2
x
xf +−= 
 
Resposta: .u.a5A = 
 
 
❺ ( ) 2x4xxf −= 
 
Resposta: .u.a
3
16A = 
 
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❻ ( ) ( )( ) ( )xsen xcos1xf −= 
 
Resposta: .u.a2A = 
 
 
Área da região entre curvas 
Em alguns casos a área a ser determinada envolve diferentes funções, conforme mostram os 
exemplos a seguir. 
 
Exemplos: 
❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xxf = e ( ) 2xxg +−= . 
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.a. 
4
3A = 
❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 2xxf = e ( ) xxg = . 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.a. 
3
1A = 
 
 
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❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xf = , ( ) 1xxg 2 −= e o eixo x. 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.a. 
3
28A = 
❹ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 9xf = e ( ) 2xxg = entre 1x = e 4x = . 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.a. 
3
38A = 
❺ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xsenxf = e o eixo x entre -πx = e 1x = . 
 
➨?➨?➨?➨? �������� ( )( )u.a. 1cos3A −= 
❻ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xlnxf = e o eixo x entre 1x = e 4x = . 
 
➨?➨?➨?➨? �������� ( )( )u.a. 2ln83A +−= 
 
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✔✔✔✔ Exercícios 
Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações 
são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados. 
① 







=
=
=
−=
0y
4x
0x
x3xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
3
19A = 
 
② 







=
=
−=
−=
0y
1x
2x
44xy 3
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a27A = 
 
③ 







=
=
−=
++=
0y
1x
1x
12xxy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
3
8A = 
 
 
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9 
 
④ 







=
=
−=
−=
0y
1x
1x
x3xy 35
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
54
29A = 
 
⑤ 



=
=++
0y
02y4xx 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
3
16A = 
 
 
⑥ 



=
=
4y
xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
3
32A = 
 
 
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⑦ 





≥
=
−=
0x
5xy
4xxy 3
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
4
81A = 
 
⑧ 



−=
=
x2y
xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
2
9A = 
 
⑨ 



−=
−=
x1y
1xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
2
9A = 
 
⑩ 







=
=
=
−=
2x
-2x
xy
3xxy 3
 Efetue a representação gráfica !! ➨?➨?➨?➨? �������� .u.a8A
= 
 
 
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⑪ 







=
=
+=
−=
1x
-2x
1xy
x3y 2
 Efetue a representação gráfica !! ➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
2
9A = 
 
⑫ 



=+
=
02x-y
xy2
 Efetue a representação gráfica !! ➨?➨?➨?➨? �������� .u.a
2
9A = 
 
 
 
 
Sólidos de revolução 
Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma 
reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução. 
 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo x 
Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [ ]b ; a e seja R a região limitada por 
( )xfy = , o eixo x e pelas retas ax = e bx = . O sólido de revolução gerado pela rotação da 
região R em torno do eixo x tem volume dado por 
 
( )[ ]∫=
b
a
2 dxxfπV
 
 
Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de 
método dos discos. 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 
0ye4x,xy === em torno do eixo x. 
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.8πV = 
 
 
✔✔✔✔ Exercícios 
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da 
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x. 
 
① 



=
−=
0y
x2xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
15
16V = 
 
 
 
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② 



=
+=
4y
3xy 2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
5
48V = 
 
 
③ 





=
=
=
0y
8x
y 3 x
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
5
96V = 
 
④ 








=
=
=
=
4x
1x
0y
x
2y
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π3V = 
 
 
Volume por discos perpendiculares ao eixo y 
O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por 
 
( )[ ]∫=
d
c
2 dyygπV
 
 
 
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Exemplos: 
❶ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 
0xe2y,xy === em torno do eixo y. 
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.
5
32πV = 
 
 
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❷ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas 
2yxexy 2 == em torno do eixo y. 
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
15
64V = 
 
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.
3
32πV = 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.
5
32πV = 
 
✔✔✔✔ Exercícios 
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da 
região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y. 
 
 
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① 




=
=
3
2
xy
xy
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
10
1V = 
 
② 



=+
=
02x-y
xy2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
5
72V = 
 
③ 





=
=
=
0y
4x
xy
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
5
128V = 
 
④ 




=
=
8xy
xy
2
2
 
 
➨?➨?➨?➨? �������� u.v.π
5
24V = 
 
 
Rotações efetuadas ao redor de uma reta paralela a um dos eixos 
coordenados 
 
➨? Se o eixo de revolução for a reta Ly = , temos: ( )[ ]∫ −=
b
a
2 dxLxfπV 
Exemplo: 
Determinar o volume do sólido gerado pela revolução, em torno da reta 2y = , da região 
limitada por 22xy = , 1x = , 2x = e 2y = . 
Representação gráfica: 
 
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Cálculo do volume: 
( ) ( ) u.v.
3
8π4x
3
8x
5
4x
πdx48x4xπdx22xπV
2
1
2
1
35
24
2
1
22
=





−−=−−=−= ∫∫ 
 
Na prática, ao efetuarmos o cálculo ( )22x 2 − estamos determinando uma nova região limitada 
pelo eixo x ( )0y = cujo volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x tem o 
mesmo valor do sólido originalmente proposto. Neste caso, o gráfico que representa a nova 
situação seria: 
 
Exercícios: 
① Calcular o volume do sólido gerado pela revolução, em torno da reta 2y = , da região 
limitada por 2x1y −= , -2x = , 2x = e 2y = . 
Resposta: .u.vπ
15
412V = 
② Calcular o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por xy = , 0y = e 
9x = gira em torno da reta 9x = . 
Resposta: .u.vπ
5
648V =